Comment trouver les points d'inflexion d'une fonction. Direction de convexité d'un graphe de fonction

À l'aide d'un calculateur en ligne, vous pouvez trouver points d'inflexion et intervalles de convexité du graphe de fonctions avec la conception de la solution dans Word. La matrice de Hesse permet de décider si une fonction de deux variables f(x1,x2) est convexe.

Règles de saisie des fonctions:

La direction de convexité du graphique d'une fonction. Points d'inflexion

Définition : La courbe y=f(x) est dite convexe vers le haut dans l'intervalle (a; b) si elle se situe en dessous de la tangente en tout point de cet intervalle.

Définition : Les intervalles dans lesquels le graphe d'une fonction est convexe vers le haut ou vers le bas sont appelés intervalles de convexité du graphe de la fonction.

La convexité vers le bas ou vers le haut d'une courbe qui est un graphique de la fonction y=f(x) est caractérisée par le signe de sa dérivée seconde : si dans un certain intervalle f''(x) > 0, alors la courbe est convexe vers le bas sur cet intervalle ; si f’’(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Définition : Un point sur le graphique d'une fonction y=f(x) séparant les intervalles de convexité directions opposées de ce graphique est appelé le point d’inflexion.

Les points d'inflexion ne peuvent servir points critiques II genre, c'est-à-dire points appartenant au domaine de définition de la fonction y = f(x) auxquels la dérivée seconde f''(x) disparaît ou présente une discontinuité.

La règle pour trouver les points d'inflexion dans le graphique d'une fonction y = f(x)

1. Trouvez la dérivée seconde f’’(x) .
2. Trouver les points critiques du deuxième type de la fonction y=f(x), c'est-à-dire le point auquel f''(x) disparaît ou connaît une discontinuité.
3. Étudiez le signe de la dérivée seconde f''(x) dans l'intervalle dans lequel les points critiques trouvés divisent le domaine de définition de la fonction f(x). Si le point critique x 0 sépare les intervalles de convexité de directions opposées, alors x 0 est l'abscisse du point d'inflexion du graphe de fonctions.
4. Calculez les valeurs de la fonction aux points d'inflexion.

Exemple 1. Trouvez les intervalles de convexité et les points d'inflexion de la courbe suivante : f(x) = 6x 2 –x 3.
Solution : Trouvez f '(x) = 12x – 3x 2 , f ''(x) = 12 – 6x.
Trouvons les points critiques de la dérivée seconde en résolvant l'équation 12-6x=0. x=2 .


f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Réponse : La fonction est convexe vers le haut pour x∈(2; +∞) ; la fonction est convexe vers le bas en x∈(-∞; 2) ; point d'inflexion (2;16) .

Exemple 2. La fonction a-t-elle des points d'inflexion : f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Exemple 3. Trouver les intervalles où le graphique de la fonction est convexe et courbe : f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

À rechercher une fonction et tracer son graphiqueà un moment donné, nous déterminons les points d'inflexion et les intervalles de convexité. Ces données ainsi que intervalles d'augmentation et de diminution permettent de représenter schématiquement le graphique de la fonction étudiée.

La présentation ultérieure suppose que vous pouvez faire jusqu'à un certain ordre et différents types.

Commençons par étudier le matériel avec définitions nécessaires et des notions. Ensuite, nous exprimerons le lien entre la valeur de la dérivée seconde d'une fonction sur un certain intervalle et la direction de sa convexité. Après cela, nous passerons aux conditions qui nous permettent de déterminer les points d'inflexion du graphe de fonctions. D'après le texte que nous donnerons exemples typiques avec des solutions détaillées.

Navigation dans les pages.

Convexité, concavité d'une fonction, point d'inflexion.

Définition.

convexe vers le bas sur l'intervalle X si son graphique n'est pas situé plus bas que la tangente à lui en tout point de l'intervalle X.

Définition.

La fonction à différencier s'appelle convexe vers le haut sur l'intervalle X si son graphique n'est pas situé plus haut que la tangente à lui en tout point de l'intervalle X.

Une fonction convexe vers le haut est souvent appelée convexe, et convexe vers le bas – concave.

Regardez le dessin illustrant ces définitions.

Définition.

Le point s'appelle point d'inflexion du graphe de fonction y=f(x) si en un point donné il y a une tangente au graphe de la fonction (elle peut être parallèle à l'axe Oy) et qu'il y a un voisinage du point à l'intérieur duquel à gauche et à droite du point M le graphique de la fonction a différentes directions de convexité.

En d'autres termes, le point M est appelé point d'inflexion du graphe d'une fonction s'il y a une tangente en ce point et que le graphe de la fonction change la direction de la convexité en passant par elle.

Si nécessaire, reportez-vous à la section pour rappeler les conditions d'existence d'une tangente non verticale et verticale.

La figure ci-dessous montre quelques exemples de points d'inflexion (marqués par des points rouges). Notez que certaines fonctions peuvent n'avoir aucun point d'inflexion, tandis que d'autres peuvent avoir un, plusieurs ou une infinité de points d'inflexion.

Trouver les intervalles de convexité d'une fonction.

Formulons un théorème qui permet de déterminer les intervalles de convexité d'une fonction.

Théorème.

Si la fonction y=f(x) a une dérivée seconde finie sur l'intervalle X et si l'inégalité est vérifiée (), alors le graphe de la fonction a une convexité dirigée vers le bas (vers le haut) par X.

Ce théorème permet de trouver les intervalles de concavité et de convexité d'une fonction ; il suffit de résoudre les inégalités et, respectivement, sur le domaine de définition de la fonction d'origine.

Il convient de noter que les points auxquels la fonction y=f(x) est définie et où la dérivée seconde n'existe pas seront inclus dans les intervalles de concavité et de convexité.

Comprenons cela avec un exemple.

Exemple.

Découvrez les intervalles sur lesquels le graphique de la fonction a une convexité dirigée vers le haut et une convexité dirigée vers le bas.

Solution.

Domaine de fonction- c'est beaucoup nombres réels.

Trouvons la dérivée seconde.

Le domaine de définition de la dérivée seconde coïncide avec le domaine de définition de la fonction originale, donc, pour connaître les intervalles de concavité et de convexité, il suffit de résoudre et en conséquence.

La fonction est donc convexe vers le bas sur l’intervalle et convexe vers le haut sur l’intervalle .

Illustration graphique.

La partie du graphique de fonction dans l’intervalle convexe est représentée en bleu et dans l’intervalle de concavité – en rouge.

Considérons maintenant un exemple où le domaine de définition de la dérivée seconde ne coïncide pas avec le domaine de définition de la fonction. Dans ce cas, comme nous l'avons déjà noté, les points du domaine de définition auxquels il n'existe pas de dérivée seconde finie doivent être inclus dans les intervalles de convexité et (ou) de concavité.

Exemple.

Trouvez les intervalles de convexité et de concavité du graphique de la fonction.

Solution.

Commençons par le domaine de la fonction :

Trouvons la dérivée seconde :

Le domaine de définition de la dérivée seconde est l'ensemble . Comme vous pouvez le voir, x=0 appartient au domaine de la fonction d'origine, mais n'appartient pas au domaine de la dérivée seconde. N'oubliez pas ce point ; il devra être inclus dans l'intervalle de convexité et (ou) de concavité.

Nous résolvons maintenant les inégalités sur le domaine de définition de la fonction d'origine. Appliquons. Numérateur d'expression va à zéro à ou , dénominateur – à x = 0 ou x = 1. Nous traçons schématiquement ces points sur la droite numérique et découvrons le signe de l'expression sur chacun des intervalles inclus dans le domaine de définition de la fonction d'origine (il est représenté par une zone ombrée sur la droite numérique inférieure). Pour une valeur positive on met un signe plus, pour une valeur négative on met un signe moins.

Ainsi,

Et

Par conséquent, en incluant le point x=0, nous obtenons la réponse.

À le graphe de la fonction a une convexité dirigée vers le bas, avec - convexité dirigée vers le haut.

Illustration graphique.

Une partie du graphique de la fonction sur l'intervalle de convexité est représentée en bleu, sur les intervalles de concavité - en rouge, la ligne pointillée noire est asymptote verticale.

Conditions nécessaires et suffisantes pour l’inflexion.

Condition nécessaire à l’inflexion.

Formulons condition nécessaire à l'inflexion graphiques de fonctions.

Laissez le graphique de la fonction y=f(x) avoir une inflexion en un point et avoir une dérivée seconde continue, alors l'égalité est vraie.

De cette condition il résulte que l'abscisse des points d'inflexion doit être recherchée parmi ceux auxquels la dérivée seconde de la fonction s'annule. MAIS, cette condition n'est pas suffisante, c'est-à-dire que toutes les valeurs dans lesquelles la dérivée seconde est égale à zéro ne sont pas des abscisses de points d'inflexion.

Il convient également de noter que la définition d'un point d'inflexion nécessite l'existence d'une ligne tangente, ou verticale. Qu'est-ce que cela signifie? Et cela signifie ce qui suit : les abscisses des points d'inflexion peuvent être tout depuis le domaine de définition de la fonction pour laquelle Et . Ce sont généralement les points auxquels le dénominateur de la dérivée première disparaît.

La première condition suffisante pour l’inflexion.

Après avoir trouvé tous les abscisses des points d'inflexion, vous devez utiliser la première condition suffisante pour l'inflexion graphiques de fonctions.

Laissez la fonction y=f(x) être continue au point, avoir une tangente (éventuellement verticale) et laisser cette fonction avoir une dérivée seconde dans un certain voisinage du point. Alors, si dans ce voisinage à gauche et à droite de , la dérivée seconde a différents signes, alors est le point d'inflexion du graphe de fonctions.

Comme vous pouvez le voir, la première condition suffisante ne nécessite pas l’existence de la dérivée seconde au point lui-même, mais nécessite son existence au voisinage du point.

Résumons maintenant toutes les informations sous la forme d’un algorithme.

Algorithme pour trouver les points d'inflexion d'une fonction.

On retrouve toutes les abscisses des points d'inflexion possibles du graphe de fonction (ou Et ) et découvrez en passant par quoi la dérivée seconde change de signe. Ces valeurs seront les abscisses des points d'inflexion et les points correspondants seront les points d'inflexion du graphe de fonctions.

Examinons deux exemples de recherche de points d'inflexion pour plus de clarté.

Exemple.

Trouver les points d'inflexion et les intervalles de convexité et de concavité du graphique d'une fonction .

Solution.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble des nombres réels.

Trouvons la dérivée première :

Le domaine de définition de la dérivée première est aussi l'ensemble des nombres réels, donc les égalités Et n'est remplie pour aucun.

Trouvons la dérivée seconde :

Voyons à quelles valeurs de l'argument x la dérivée seconde tend vers zéro :

Ainsi, les abscisses des points d'inflexion possibles sont x=-2 et x=3.

Reste maintenant à vérifier, à l'aide d'un signe d'inflexion suffisant, en quel de ces points la dérivée seconde change de signe. Pour ce faire, tracez les points x=-2 et x=3 sur axe des nombres et, comme dans méthode d'intervalle généralisée, on place les signes de la dérivée seconde sur chaque intervalle. Sous chaque intervalle, la direction de convexité du graphe de fonction est représentée schématiquement par des arcs.

La dérivée seconde change de signe de plus en moins, en passant par le point x=-2 de gauche à droite, et change de signe de moins en plus, en passant par x=3. Par conséquent, x=-2 et x=3 sont tous deux les abscisses des points d’inflexion du graphe de fonctions. Ils correspondent aux points du graphique et .

En examinant à nouveau la droite numérique et les signes de la dérivée seconde sur ses intervalles, nous pouvons tirer une conclusion sur les intervalles de convexité et de concavité. Le graphique d'une fonction est convexe sur l'intervalle et concave sur les intervalles et .

Illustration graphique.

La partie du graphique de fonction sur l'intervalle convexe est représentée en bleu, sur l'intervalle de concavité – en rouge, et les points d'inflexion sont représentés par des points noirs.

Exemple.

Trouver l'abscisse de tous les points d'inflexion du graphe de fonction .

Solution.

Le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des nombres réels.

Trouvons la dérivée.

La dérivée première, contrairement à la fonction originale, n'est pas définie à x=3. Mais Et . Par conséquent, au point d’abscisse x=3 il y a une tangente verticale au graphique de la fonction d’origine. Ainsi, x=3 peut être l'abscisse du point d'inflexion du graphe de fonctions.

On retrouve la dérivée seconde, son domaine de définition et les points où elle s'annule :

Nous avons obtenu deux autres abscisses possibles des points d'inflexion. Nous marquons les trois points sur la droite numérique et déterminons le signe de la dérivée seconde sur chacun des intervalles résultants.

La dérivée seconde change de signe en passant par chacun des points, ce sont donc toutes des abscisses de points d'inflexion.

Graphique d'une fonction oui=f(x) appelé convexe sur l'intervalle (une; b), s'il est situé en dessous de l'une de ses tangentes sur cet intervalle.

Graphique d'une fonction oui=f(x) appelé concave sur l'intervalle (une; b), s'il est situé au-dessus de l'une de ses tangentes sur cet intervalle.

La figure montre une courbe convexe à (une; b) et concave sur (b;c).

Exemples.

Considérons un critère suffisant qui permet de déterminer si le graphique d'une fonction dans un intervalle donné sera convexe ou concave.

Théorème. Laisser oui=f(x) différenciable par (une; b). Si en tous points de l'intervalle (une; b) dérivée seconde de la fonction oui = f(x) négatif, c'est-à-dire f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – concave.

Preuve. Supposons avec certitude que f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Prenons les fonctions sur le graphique y = f(x) point arbitraire M0 en abscisse x0 Î ( un; b) et tracez par le point M0 tangente. Son équation. Il faut montrer que le graphe de la fonction sur (une; b) se situe en dessous de cette tangente, c'est-à-dire à la même valeur x ordonnée de la courbe y = f(x) sera inférieur à l'ordonnée de la tangente.

L’équation de la courbe est donc y = f(x). Notons l'ordonnée de la tangente correspondant à l'abscisse x. Alors . Par conséquent, la différence entre les ordonnées de la courbe et la tangente pour une même valeur x volonté .

Différence f(x) – f(x 0) transformer selon le théorème de Lagrange, où c entre x Et x0.

Ainsi,

On applique à nouveau le théorème de Lagrange à l’expression entre crochets : , où c1 entre c 0 Et x0. D'après les conditions du théorème f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Ainsi, tout point de la courbe se situe en dessous de la tangente à la courbe pour toutes les valeurs x Et x0 Î ( un; b), ce qui signifie que la courbe est convexe. La deuxième partie du théorème se démontre de la même manière.

Exemples.

Point du graphique fonction continue, séparant sa partie convexe de la partie concave, est appelé point d'inflexion.

Évidemment, au point d'inflexion, la tangente, si elle existe, coupe la courbe, car d'un côté de ce point, la courbe se situe sous la tangente et de l'autre côté, au-dessus.

Déterminons les conditions suffisantes pour que point donné la courbe est le point d'inflexion.

Théorème. Laissez la courbe être définie par l'équation y = f(x). Si f ""(x 0) = 0 ou f ""(x 0) n'existe pas même en passant par la valeur x = x0 dérivé f ""(x) change de signe, puis le point du graphique de la fonction en abscisse x = x0 il y a un point d’inflexion.

Preuve. Laisser f ""(x) < 0 при x < x0 Et f ""(x) > 0 à x > x0. Puis à x < x0 la courbe est convexe, et quand x > x0– concave. Par conséquent, le point UN, allongé sur la courbe, en abscisse x0 il y a un point d’inflexion. Le deuxième cas peut être considéré de la même manière, lorsque f ""(x) > 0 à x < x0 Et f ""(x) < 0 при x > x0.

Ainsi, les points d'inflexion ne doivent être recherchés que parmi les points où la dérivée seconde disparaît ou n'existe pas.

Exemples. Trouvez les points d'inflexion et déterminez les intervalles de convexité et de concavité des courbes.

ASYMPTOTES DU GRAPHIQUE DE LA FONCTION

Lors de l'étude d'une fonction, il est important d'établir la forme de son graphique à une distance illimitée du point du graphique par rapport à l'origine.

Le cas est particulièrement intéressant lorsque le graphique d'une fonction, une fois supprimé point variableà l'infini il se rapproche d'une certaine ligne droite sans limite.

La ligne droite s'appelle asymptote graphiques de fonctions oui = f(x), si la distance du point variable M. graphiques sur cette ligne lors de la suppression d'un point M. vers l'infini tend vers zéro, c'est-à-dire un point du graphique d'une fonction, comme il tend vers l'infini, doit indéfiniment se rapprocher de l'asymptote.

Une courbe peut se rapprocher de son asymptote en restant d'un côté ou du côté de celle-ci. différents côtés, ensemble infini une fois traversé l'asymptote et passé d'un côté à l'autre.

Si on note d la distance du point M. courbe vers l'asymptote, alors il est clair que d tend vers zéro à mesure que le point s'éloigne M.à l'infini.

Nous distinguerons davantage les asymptotes verticales et obliques.

ASYMPTOTES VERTICALES

Laissez à x→ x0 de n'importe quelle fonction secondaire oui = f(x) augmente de manière illimitée en valeur absolue, c'est-à-dire ou ou . Alors de la définition d'une asymptote il résulte que la droite x = x0 est une asymptote. L’inverse est également évident si la ligne x = x0 est une asymptote, c'est-à-dire .

Ainsi, l'asymptote verticale du graphique de la fonction y = f(x) s'appelle une ligne droite si f(x)→ ∞ dans au moins une des conditions x→ x0– 0 ou x → x0 + 0, x = x0

Par conséquent, pour trouver les asymptotes verticales du graphique de la fonction oui = f(x) il faut trouver ces valeurs x = x0, auquel la fonction va vers l'infini (soit une discontinuité infinie). Alors l'asymptote verticale a l'équation x = x0.

Exemples.

ASYMPTOTES INCLINÉES

Puisque l’asymptote est une droite, alors si la courbe oui = f(x) a une asymptote oblique, alors son équation sera oui = kx + b. Notre tâche est de trouver les coefficients k Et b.

Théorème. Droit oui = kx + b sert d'asymptote oblique à x→ +∞ pour le graphique de la fonction oui = f(x) alors et seulement quand . Une affirmation similaire est vraie pour x → –∞.

Preuve. Laisser Député– longueur du segment, égale à la distance du point M.à asymptote. Selon l'état. Notons φ l'angle d'inclinaison de l'asymptote par rapport à l'axe Bœuf. Puis à partir de ΔMNP il s'ensuit que. Puisque φ est un angle constant (φ ≠ π/2), alors , mais

Instructions

Points inflexion fonctions doit appartenir au domaine de sa définition, qu'il faut trouver en premier. Calendrier fonctions est une ligne qui peut être continue ou avoir des cassures, diminuer ou augmenter de manière monotone, avoir un minimum ou un maximum points(asymptotes), être convexe ou concave. Changement brusque de deux derniers états et s'appelle une inflexion.

Condition préalable existence inflexion fonctions consiste en l’égalité de la seconde à zéro. Ainsi, en différenciant la fonction deux fois et en assimilant l'expression résultante à zéro, on peut trouver l'abscisse des points possibles inflexion.

Cette condition découle de la définition des propriétés de convexité et de concavité du graphe fonctions, c'est-à-dire négatif et valeur positive dérivée seconde. Au point inflexion changement brusque ces propriétés, ce qui signifie que la dérivée passe la barre zéro. Cependant, égal à zéro n’est pas encore suffisant pour indiquer une inflexion.

Il y a deux conditions suffisantes pour que l'abscisse trouvée à l'étape précédente appartienne au point inflexion:Grâce à ce point, vous pouvez tracer une tangente à fonctions. La dérivée seconde a des signes différents à droite et à gauche de celui attendu points inflexion. Ainsi, son existence au point lui-même n'est pas nécessaire ; il suffit de déterminer qu'en lui il change de signe. fonctions est égal à zéro et le troisième ne l'est pas.

Solution : Trouver. DANS dans ce cas il n'y a aucune restriction, c'est donc tout l'espace des nombres réels. Calculez la dérivée première : y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Veuillez noter. Il s'ensuit que le domaine de définition de la dérivée est limité. Le point x = 5 est perforé, ce qui signifie qu'une tangente peut le traverser, ce qui correspond en partie au premier signe de suffisance inflexion.

Déterminez l’expression résultante pour x → 5 – 0 et x → 5 + 0. Ils sont égaux à -∞ et +∞. Vous avez prouvé qu'une tangente verticale passe par le point x=5. Ce point peut s'avérer être un point inflexion, mais calculez d'abord la dérivée seconde : Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2x-22)/∛(x-5)^5.

Omettez le dénominateur puisque vous avez déjà pris en compte le point x = 5. Résolvez l’équation 2 x – 22 = 0. Elle a une seule racine x = 11. La dernière étape consiste à confirmer que points x=5 et x=11 sont des points inflexion. Analyser le comportement de la dérivée seconde dans leur voisinage. Évidemment, au point x = 5, il change de signe de « + » à « - », et au point x = 11 - vice versa. Conclusion : les deux points sont des points inflexion. La première condition suffisante est satisfaite.