Trouver le gradient d'une fonction en un point. Extrema d'une fonction de plusieurs variables

FONCTION GRADIENT u = f(x, y, z), donné dans certaines régions. espace (XYZ), Il y a vecteur avec des projections désignées par les symboles : grad Où je, j, k- coordonner les vecteurs unitaires. G.f. - il existe une fonction ponctuelle (x, y, z), c'est-à-dire qu'il forme un champ vectoriel. Dérivé en direction du G. f. atteint à ce stade valeur la plus élevée et est égal à : La direction du gradient est la direction de l’augmentation la plus rapide de la fonction. G.f. en un point donné est perpendiculaire à la surface plane passant par ce point. Efficacité de l'utilisation de G. f. au cours d'études lithologiques, il a été montré dans l'étude des exc. éoliens. Karakoum central.

Dictionnaire géologique : en 2 volumes. - M. : Nédra. Edité par KN Paffengoltz et al.. 1978 .

Voyez ce qu'est « FONCTION GRADIENT » dans d'autres dictionnaires :

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Grâce à un cours de mathématiques à l'école, nous savons qu'un vecteur sur un plan est un segment orienté. Son début et sa fin ont deux coordonnées. Les coordonnées vectorielles sont calculées en soustrayant les coordonnées de début des coordonnées de fin.

Le concept de vecteur peut être étendu à un espace à n dimensions (au lieu de deux coordonnées, il y aura n coordonnées).

Pente gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) est le vecteur des dérivées partielles de la fonction en un point, c'est-à-dire vecteur avec coordonnées.

On peut prouver que le gradient d'une fonction caractérise la direction de croissance la plus rapide du niveau d'une fonction en un point.

Par exemple, pour la fonction z = 2x 1 + x 2 (voir Figure 5.8), le gradient en tout point aura les coordonnées (2 ; 1). Vous pouvez le construire sur un plan de différentes manières, en prenant n'importe quel point comme début du vecteur. Par exemple, vous pouvez connecter le point (0 ; 0) au point (2 ; 1), ou le point (1 ; 0) au point (3 ; 1), ou le point (0 ; 3) au point (2 ; 4), ou ainsi de suite. (Voir Figure 5.8). Tous les vecteurs construits de cette manière auront des coordonnées (2 – 0 ; 1 – 0) = = (3 – 1 ; 1 – 0) = (2 – 0 ; 4 – 3) = (2 ; 1).

De la figure 5.8, il est clairement visible que le niveau de la fonction augmente dans le sens du gradient, puisque les lignes de niveau construites correspondent aux valeurs de niveau 4 > 3 > 2.

Figure 5.8 - Gradient de fonction z= 2x 1 + x 2

Considérons un autre exemple : la fonction z = 1/(x 1 x 2). Le gradient de cette fonction ne sera plus toujours le même en différents points, puisque ses coordonnées sont déterminées par les formules (-1/(x 1 2 x 2) ; -1/(x 1 x 2 2)).

La figure 5.9 montre les droites de niveau de la fonction z = 1/(x 1 x 2) pour les niveaux 2 et 10 (la droite 1/(x 1 x 2) = 2 est indiquée par une ligne pointillée, et la droite 1 /(x 1 x 2) = 10 est une ligne continue).

Figure 5.9 - Dégradés de la fonction z= 1/(x 1 x 2) en différents points

Prenez, par exemple, le point (0,5 ; 1) et calculez le gradient à ce point : (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Notez que le point (0,5; 1) se trouve sur la ligne de niveau 1/(x 1 x 2) = 2, car z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Pour dessiner le vecteur ( -4; -2) sur la figure 5.9, reliez le point (0,5; 1) au point (-3,5; -1), car (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Prenons un autre point sur la même ligne de niveau, par exemple le point (1 ; 0,5) (z=f(1 ; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calculons le gradient à ce stade (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Pour le représenter sur la figure 5.9, nous connectons le point (1 ; 0,5) avec le point (-1 ; -3,5), car (-1 - 1 ; -3,5 - 0,5) = (-2 ; - 4).

Prenons un autre point sur la même ligne de niveau, mais seulement maintenant dans un quartier de coordonnées non positif. Par exemple, point (-0,5 ; -1) (z=f(-0,5 ; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Le gradient à ce stade sera égal à (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Représentons-le sur la figure 5.9 en reliant le point (-0,5 ; -1) avec le point (3,5 ; 1), car (3,5 – (-0,5) ; 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Il convient de noter que dans les trois cas considérés, le gradient montre le sens de croissance du niveau de fonction (vers la ligne de niveau 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

On peut prouver que la pente est toujours perpendiculaire à la ligne de niveau (surface plane) passant par un point donné.

Extrema d'une fonction de plusieurs variables

Définissons le concept extrême pour une fonction de plusieurs variables.

Une fonction de plusieurs variables f(X) a au point X (0) maximum minimum), s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tous les points X de ce voisinage les inégalités f(X)f(X (0)) () sont satisfaites.

Si ces inégalités sont considérées comme strictes, alors l’extremum est appelé fort, et sinon, alors faible.

Notez que l’extremum ainsi défini est locale caractère, puisque ces inégalités ne sont satisfaites que pour un certain voisinage du point extremum.

Une condition nécessaire pour un extremum local d'une fonction différentiable z=f(x 1, . . ., x n) en un point est l'égalité à zéro de toutes les dérivées partielles du premier ordre en ce point :
.

Les points auxquels ces égalités se vérifient sont appelés Stationnaire.

D'une autre manière, la condition nécessaire pour un extremum peut être formulée comme suit : au point extremum, le gradient est nul. Une affirmation plus générale peut également être prouvée : au point extrême, les dérivées de la fonction dans toutes les directions disparaissent.

Les points fixes devraient être soumis à des recherches supplémentaires pour déterminer si les conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum local sont remplies. Pour ce faire, déterminez le signe de la différentielle du second ordre. Si pour any , non simultanément égal à zéro, il est toujours négatif (positif), alors la fonction a un maximum (minimum). S’il peut atteindre zéro non seulement avec des incréments de zéro, alors la question de l’extremum reste ouverte. S’il peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives, alors il n’y a pas d’extremum en un point stationnaire.

Dans le cas général, déterminer le signe de la différentielle est un problème assez complexe, que nous n'aborderons pas ici. Pour une fonction à deux variables, on peut prouver que si en un point stationnaire
, alors l'extremum est présent. Dans ce cas, le signe de la deuxième différentielle coïncide avec le signe
, c'est à dire. Si
, alors c'est le maximum, et si
, alors c'est le minimum. Si
, alors il n’y a pas d’extremum à ce stade, et si
, alors la question de l’extremum reste ouverte.

Exemple 1. Trouver les extrema de la fonction
.

Trouvons les dérivées partielles en utilisant la méthode de différenciation logarithmique.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

De même
.

Trouvons les points stationnaires du système d'équations :

Ainsi, quatre points stationnaires ont été trouvés (1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1) et (-1 ; -1).

Trouvons les dérivées partielles du second ordre :

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

De même
;
.

Parce que
, signe d'expression
ne dépend que de
. Notez que dans ces deux dérivées le dénominateur est toujours positif, vous ne pouvez donc considérer que le signe du numérateur, voire le signe des expressions x(x 2 – 3) et y(y 2 – 3). Définissons-le à chaque point critique et vérifions que la condition suffisante pour l'extremum est remplie.

Pour le point (1 ; 1) nous obtenons 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух nombres négatifs
> 0, et
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Pour le point (1; -1) on obtient 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Parce que produit de ces nombres
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Pour le point (-1; -1) nous obtenons (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Parce que produit de deux nombres positifs
> 0, et
> 0, le minimum se trouve au point (-1 ; -1). Il est égal à 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Trouver mondial maximum ou minimum (la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction) est un peu plus complexe que extrême local, puisque ces valeurs peuvent être atteintes non seulement dans points fixes, mais aussi à la limite du domaine de définition. Il n’est pas toujours facile d’étudier le comportement d’une fonction à la frontière de cette région.

Certains concepts et termes sont utilisés dans un cadre purement étroit. D'autres définitions se retrouvent dans des domaines nettement opposés. Par exemple, la notion de « dégradé » est utilisée par un physicien, un mathématicien et un manucure ou spécialiste Photoshop. Qu’est-ce que le dégradé en tant que concept ? Voyons cela.

Que disent les dictionnaires ?

Quelle est la particularité du "dégradé" dictionnaires de sujets interprétés par rapport à leurs spécificités. Traduit de langue latine ce mot signifie « celui qui va, grandit ». Et Wikipédia définit ce concept comme « un vecteur indiquant la direction de l'augmentation d'une quantité ». DANS dictionnaires explicatifs nous voyons la signification de ce mot comme « un changement d’une quantité quelconque d’une valeur ». Un concept peut avoir une signification à la fois quantitative et qualitative.

En bref, il s'agit d'une transition progressive et en douceur d'une valeur à une autre, un changement progressif et continu de quantité ou de direction. Le vecteur est calculé par des mathématiciens et des météorologues. Ce concept est utilisé en astronomie, en médecine, en art, infographie. Un terme similaire définit des types d'activités complètement différents.

Fonctions mathématiques

Quel est le gradient d’une fonction en mathématiques ? Ceci indique le sens de croissance d'une fonction dans un champ scalaire d'une valeur à une autre. L'ampleur du gradient est calculée à l'aide de dérivées partielles. Pour déterminer la direction de croissance la plus rapide d'une fonction, deux points sont sélectionnés sur le graphique. Ils définissent le début et la fin du vecteur. La vitesse à laquelle une valeur croît d’un point à un autre est l’ampleur du gradient. Fonctions mathématiques, sur la base des calculs de cet indicateur, sont utilisés dans l'infographie vectorielle dont les objets sont images graphiques objets mathématiques.

Qu'est-ce qu'un gradient en physique ?

La notion de gradient est courante dans de nombreuses branches de la physique : gradient d'optique, température, vitesse, pression, etc. Dans cette branche, la notion désigne une mesure d'augmentation ou de diminution d'une valeur de un. Il est calculé par calculs comme la différence entre deux indicateurs. Examinons certaines valeurs plus en détail.

Qu'est-ce qu'un gradient potentiel ? En travail avec champ électrostatique deux caractéristiques sont déterminées : la tension (puissance) et le potentiel (énergie). Ces des tailles différentes associés à l’environnement. Et bien qu'ils déterminent différentes caractéristiques, ont toujours un lien les uns avec les autres.

Pour déterminer la tension champ de force un gradient de potentiel est utilisé - une quantité qui détermine le taux de changement de potentiel dans la direction ligne électrique. Comment calculer? Différence potentielle entre deux points champ électrique est calculé à partir d'une tension connue en utilisant le vecteur tension, qui est égal au gradient de potentiel.

Termes des météorologues et géographes

Pour la première fois, le concept de gradient a été utilisé par les météorologues pour déterminer les changements d'ampleur et de direction de divers indicateurs météorologiques : température, pression, vitesse et force du vent. Il est la mesure changement quantitatif différentes tailles. Maxwell a introduit le terme en mathématiques bien plus tard. En définition conditions météorologiques Il existe des concepts de dégradés verticaux et horizontaux. Regardons-les de plus près.

Qu'est-ce qu'un gradient vertical de température ? Il s'agit d'une valeur qui montre l'évolution des indicateurs, calculée à une hauteur de 100 m. Elle peut être soit positive, soit négative, contrairement à l'horizontale, qui est toujours positive.

Le gradient montre l'ampleur ou l'angle de la pente au sol. Il est calculé comme le rapport entre la hauteur et la longueur de la projection du chemin dans une certaine section. Exprimé en pourcentage.

Indicateurs médicaux

La définition du « gradient de température » se retrouve également parmi termes médicaux. Il montre la différence dans les indicateurs correspondants les organes internes et les surfaces du corps. En biologie, un gradient physiologique enregistre les changements dans la physiologie de tout organe ou organisme dans son ensemble à n'importe quel stade de son développement. En médecine, l'indicateur métabolique est l'intensité du métabolisme.

Non seulement les physiciens, mais aussi les médecins utilisent ce terme dans leur travail. Qu'est-ce qu'un gradient de pression en cardiologie ? Ce concept définit la différence de pression artérielle dans toutes les parties interconnectées du système cardiovasculaire.

Un gradient décroissant d'automaticité est un indicateur d'une diminution de la fréquence des excitations du cœur dans la direction allant de sa base vers le sommet, se produisant automatiquement. De plus, les cardiologues identifient l'emplacement des lésions artérielles et leur degré en surveillant la différence d'amplitude des ondes systoliques. En d’autres termes, en utilisant le gradient d’amplitude de l’impulsion.

Qu'est-ce qu'un gradient de vitesse ?

Lorsqu'ils parlent du taux de changement d'une certaine quantité, ils entendent par là la vitesse de changement dans le temps et dans l'espace. En d'autres termes, le gradient de vitesse détermine le changement des coordonnées spatiales par rapport aux indicateurs temporels. Cet indicateur est calculé par des météorologues, des astronomes et des chimistes. Le gradient de taux de cisaillement des couches liquides est déterminé en Industrie du pétrole et du gaz, pour calculer la vitesse de montée du liquide dans un tuyau. Cet indicateur mouvements tectoniques- c'est le domaine des calculs des sismologues.

Fonctions économiques

Les économistes utilisent largement le concept de gradient pour étayer d’importantes conclusions théoriques. Lors de la résolution de problèmes de consommation, une fonction d’utilité est utilisée pour aider à représenter les préférences à partir d’un ensemble d’alternatives. « Fonction de contrainte budgétaire » est un terme utilisé pour désigner un ensemble de forfaits de consommation. Les gradients dans cette zone sont utilisés pour calculer la consommation optimale.

Dégradé de couleur

Le terme « dégradé » est familier individus créatifs. Même si elles sont loin des sciences exactes. Qu'est-ce qu'un dégradé pour un designer ? Depuis dans sciences exactes- il s'agit d'une augmentation progressive de la valeur de un, et en couleur, cet indicateur dénote une transition douce et étirée des nuances d'une couleur du plus clair au plus foncé, ou vice versa. Les artistes appellent ce processus « étirement ». Il est également possible de passer à différentes couleurs d'accompagnement dans la même gamme.

Les dégradés de nuances dans les salles de peinture ont pris une place importante parmi les techniques de conception. Le nouveau style ombré – un flux fluide d'ombre du clair au foncé, du clair au pâle – transforme efficacement n'importe quelle pièce de la maison ou du bureau.

Les opticiens utilisent des verres spéciaux dans leurs lunettes de soleil. Qu'est-ce qu'un dégradé dans les lunettes ? Il s'agit de la fabrication d'une lentille d'une manière particulière, lorsque de haut en bas la couleur passe d'une teinte plus foncée à une teinte plus claire. Les produits fabriqués à l'aide de cette technologie protègent les yeux radiation solaire et vous permettent de visualiser des objets même sous une lumière très vive.

La couleur dans la conception de sites Web

Pour ceux qui sont impliqués dans la conception de sites Web et infographie, l'outil universel « dégradé » est bien connu, à l'aide duquel une grande variété d'effets sont créés. Les transitions de couleurs se transforment en reflets, en arrière-plan bizarre et en tridimensionnalité. Manipuler les nuances et créer de la lumière et des ombres donne du volume aux objets vectoriels. A ces fins, plusieurs types de dégradés sont utilisés :

• Linéaire.
• Radial.
• En forme de cône.
• Miroir.
• En forme de diamant.
• Dégradé de bruit.

Beauté dégradée

Pour les visiteurs des salons de beauté, la question de savoir ce qu'est un dégradé ne sera pas une surprise. C'est vrai, et dans ce cas, la connaissance lois mathématiques et la physique de base n'est pas nécessaire. Il s'agit de Tout est question de transitions de couleurs. Les objets du dégradé sont les cheveux et les ongles. La technique de l'ombre, qui signifie « ton » en français, est devenue à la mode parmi les sportifs amateurs de surf et autres activités de plage. Les cheveux naturellement décolorés et repoussés sont devenus un succès. Les fashionistas ont commencé à se teindre spécialement les cheveux avec une transition de nuances à peine perceptible.

La technique de l'ombre n'est pas passée par les salons de manucure. Un dégradé sur les ongles crée une couleur avec un éclaircissement progressif de la plaque de la racine jusqu'au bord. Les maîtres proposent des variétés horizontales, verticales, avec transition et autres.

Travaux d'aiguille

Les couturières connaissent le concept de « dégradé » d'un autre côté. Une technique similaire est utilisée pour créer des objets fait soi-même dans un style découpage. De cette manière, de nouvelles choses antiques sont créées, ou d'anciennes sont restaurées : commodes, chaises, coffres, etc. Le découpage consiste à appliquer un motif à l'aide d'un pochoir dont la base est un dégradé de couleurs comme arrière-plan.

Les artistes textiles ont adopté cette méthode de teinture pour de nouveaux modèles. Les robes aux couleurs dégradées ont conquis les podiums. La mode a été reprise par les couturières - tricoteuses. Les articles tricotés avec une transition de couleur douce sont populaires.

Pour résumer la définition du « gradient », on peut dire à propos d'un domaine très large activité humaine, dans lequel se trouve ce terme. Le remplacement par le synonyme « vecteur » n'est pas toujours approprié, car un vecteur reste un concept fonctionnel et spatial. Ce qui détermine la généralité du concept, c'est un changement progressif dans une certaine quantité, substance, paramètre physique par unité pendant une certaine période. En couleur, c'est une transition de ton en douceur.