Décomposition canonique. Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ? Utilisation de tests de divisibilité pour la factorisation première

Cours 14 Processus aléatoires Expansion canonique des processus aléatoires. Décomposition spectrale stationnaire processus aléatoire. SluLeçon 14
Processus aléatoires
Expansion canonique de processus aléatoires.
Décomposition spectrale du hasard stationnaire
processus. Processus aléatoires avec indépendant
sections. Processus de Markov et chaînes de Markov.
Processus aléatoires normaux. Périodiquement
processus aléatoires non stationnaires
(Akhmetov S.K.)

Expansion canonique de processus aléatoires

Principales caractéristiques du SP définies par la décomposition canonique

Décomposition spectrale d'un SP stationnaire

Décomposition spectrale du SP stationnaire (2)

Décomposition spectrale du SP stationnaire (3)

Processus aléatoires avec sections efficaces indépendantes

Processus de Markov et chaînes de Markov

Processus aléatoires normaux (gaussiens)

La variable aléatoire V est appelée centré , si son espérance mathématique est égale à 0. Un processus aléatoire centré élémentaire est le produit d'une variable aléatoire centrée V et d'une fonction non aléatoire φ(t):X(t)=Vφ(t). Un processus aléatoire élémentaire centré présente les caractéristiques suivantes :

Expression de la forme
, où φ k ( t ), k =1;2;…-fonctions non aléatoires ; , k =1;2;…-variables aléatoires centrées non corrélées, appelées expansion canonique du processus aléatoireX ( t ), tandis que les variables aléatoires sont appelés les coefficients du développement canonique ; et fonctions non aléatoires φ k ( t ) - fonctions de coordonnées du développement canonique.

Considérons les caractéristiques d'un processus aléatoire

Puisque par condition
Que

Évidemment, le même processus aléatoire a différents types expansion canonique en fonction du choix des fonctions de coordonnées. De plus, même avec le choix des fonctions de coordonnées, il existe un arbitraire dans la distribution des variables aléatoires V k. En pratique, sur la base des résultats des expériences, des estimations sont obtenues pour l'espérance mathématique et la fonction de corrélation :
.
Après décomposition

en une double série de Fourier en fonctions de coordonnées φ à (t) :
obtenir les valeurs de variance

variables aléatoires V k .

4.2. Le concept de fonction généralisée. Fonction delta de Dirac. Représentation canonique intégrale de processus aléatoires. Fonction généralisée

est appelée la limite d'une séquence d'une famille de fonctions continues à un paramètre.
- Fonction delta de Dirac
c'est une fonction généralisée résultant du passage à la limite en

dans une famille de fonctions Parmi les propriétés

2.

-fonctions on note les suivantes : fonction continue, Que

Processus aléatoire X( t ), dont la fonction de corrélation a la forme appelée « bruit blanc » non stationnaire. Si W ( t 1 )= W - const , puis X( t )-« bruit blanc » stationnaire.

Comme il ressort de la définition, il n’y a pas deux sections, même si proches, « bruit blanc» ne sont pas corrélées. L'expression W(t) est appelée

intensité du « bruit blanc ». t Représentation canonique intégrale du processus aléatoire X(
) est appelée une expression de la forme
Où
- fonction centrée aléatoire ;

- fonction non aléatoire d'arguments continus

La fonction de corrélation d'un tel processus aléatoire a la forme :

On peut montrer qu’il existe une fonction non aléatoire G(λ) telle que

où G(λ 1) est la densité de dispersion ; δ(x) est la fonction delta de Dirac.

.

Nous obtenons

Par conséquent, la variance du processus aléatoire X(t) :

.

4.3. Transformations linéaires et non linéaires de processus aléatoires

Le problème suivant est considéré : un « signal d'entrée » ayant la nature d'un processus aléatoire X(t) est fourni à l'entrée du système (appareil, convertisseur) S. Le système le convertit en un « signal de sortie » Y(t) :

Formellement, la transformation d'un processus aléatoire X(t) en Y(t) peut être décrite à l'aide de ce que l'on appelle l'opérateur système A t :

Y(t)=A t (X(t)). L'indice t indique que cet opérateur effectue une conversion temporelle. Les formulations suivantes du problème de transformation d'un processus aléatoire sont possibles. Les lois de distribution sont connues ou

caractéristiques générales

processus aléatoire X(t) à l'entrée du système S, l'opérateur A t du système S est donné, il faut déterminer la loi de distribution ou les caractéristiques générales du processus aléatoire Y(t) à la sortie du système S.

Les lois de distribution (caractéristiques générales) du processus aléatoire X(t) et les exigences du processus aléatoire Y(t) sont connues ; il est nécessaire de déterminer le type d'opérateur A t du système S qui satisfait le mieux aux exigences kY(t) données.

Les lois de distribution (caractéristiques générales) du processus aléatoire Y(t) sont connues et l'opérateur A t du système S est donné ; il est nécessaire de déterminer les lois de distribution ou les caractéristiques générales du processus aléatoire X(t).

P.

La classification suivante des opérateurs A t du système S est acceptée :

Opérateurs système

Linéaire LNon linéaireN

Linéaire homogène L 0 Linéaire inhomogène L n

.

Considérons l'impact d'un système linéaire inhomogène

L n (...)=L 0 (...)+φ(t)

à un processus aléatoire X(t) ayant le développement canonique suivant :

.

On obtient :

fonction de corrélation du processus aléatoire Y(t) :

ainsi,

De l'autre côté

Variance du processus aléatoire Y(t) :

En conclusion de ce paragraphe, notons que les opérateurs de différenciation et d'intégration de processus aléatoires sont linéaires homogènes.

2. La transformation quadratique est considérée :

Oui(t)=(X(t)) 2 ,

V k variables aléatoires centrées ayant une distribution symétrique par rapport à zéro ; quatre d'entre eux sont conjointement indépendants.

Alors

Introduisons les fonctions non aléatoires

et variables aléatoires

alors le processus aléatoire Y(t) prend la forme

Une expansion canonique du processus aléatoire Y(t) est obtenue. Fonction de corrélationY(t) : Dans cet article vous trouverez tout informations nécessaires répondre à la question comment prendre en compte un nombre facteurs premiers. D'abord donné idée généraleà propos de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, des exemples de décompositions sont donnés. Montré plus loin forme canonique factoriser un nombre en facteurs premiers. Après cela, l'algorithme de décomposition est donné

nombres arbitraires

en facteurs premiers et des exemples de décomposition de nombres utilisant cet algorithme sont donnés. Des méthodes alternatives sont également envisagées pour vous permettre de factoriser rapidement de petits entiers en facteurs premiers à l'aide de tests de divisibilité et de tables de multiplication.

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Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?

Voyons d’abord ce que sont les facteurs premiers.

Il est clair que puisque le mot « facteurs » est présent dans cette phrase, alors il existe un produit de certains nombres, et le mot qualificatif « simple » signifie que chaque facteur est un nombre premier. Par exemple, dans un produit de la forme 2·7·7·23, il y a quatre facteurs premiers : 2, 7, 7 et 23. Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ? Cela signifie que numéro donné doit être présenté comme un produit de facteurs premiers, et la valeur de ce produit doit être égale au nombre d'origine. A titre d'exemple, considérons le produit de trois nombres premiers 2, 3 et 5, il est égal à 30, donc la décomposition du nombre 30 en facteurs premiers est 2·3·5. Habituellement, la décomposition d'un nombre en facteurs premiers s'écrit sous forme d'égalité ; dans notre exemple, ce sera comme ceci : 30=2·3·5. Nous soulignons séparément que les facteurs premiers du développement peuvent être répétés. Cela illustre clairement

exemple suivant : 144=2·2·2·2·3·3 . Mais une représentation de la forme 45=3.15 n'est pas une décomposition en facteurs premiers, puisque le nombre 15 est un nombre composé.: "Quels nombres peuvent être factorisés en facteurs premiers ?"

À la recherche d'une réponse à cette question, nous présentons le raisonnement suivant. Les nombres premiers, par définition, font partie de ceux supérieurs à un. Compte tenu de ce fait et , on peut affirmer que le produit de plusieurs facteurs premiers est un nombre entier nombre positif, dépassant un. Par conséquent, la factorisation n’a lieu que pour les entiers positifs supérieurs à 1.

Mais tous les nombres entiers supérieurs à un peuvent-ils être pris en compte en facteurs premiers ?

Il est clair qu’il n’est pas possible de factoriser des entiers simples en facteurs premiers. Cela s'explique par le fait que les nombres premiers n'ont que deux diviseurs positifs - un et lui-même, ils ne peuvent donc pas être représentés comme un produit de deux ou plus nombres premiers. Si l’entier z pouvait être représenté comme le produit des nombres premiers a et b, alors la notion de divisibilité permettrait de conclure que z est divisible à la fois par a et par b, ce qui est impossible en raison de la simplicité du nombre z. Cependant, ils pensent que tout nombre premier est en soi une décomposition.

Et les nombres composés ? Est-ce qu'ils se déplient ? nombres composés en facteurs premiers, et tous les nombres composés sont-ils sujets à une telle décomposition ? Le théorème fondamental de l’arithmétique donne une réponse affirmative à un certain nombre de ces questions. Le théorème de base de l'arithmétique stipule que tout entier a supérieur à 1 peut être décomposé en produit de facteurs premiers p 1, p 2, ..., p n, et la décomposition a la forme a = p 1 · p 2 · … · p n, et ce le développement est unique, si l'on ne prend pas en compte l'ordre des facteurs

Factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers

Dans le développement d’un nombre, les facteurs premiers peuvent être répétés. Les facteurs premiers répétitifs peuvent être écrits de manière plus compacte en utilisant . Supposons que dans la décomposition d'un nombre le facteur premier p 1 apparaisse s 1 fois, le facteur premier p 2 – s 2 fois, et ainsi de suite, p n – s n fois. Alors la factorisation première du nombre a peut s’écrire a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Cette forme d'enregistrement est ce qu'on appelle factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers.

Donnons un exemple de décomposition canonique d'un nombre en facteurs premiers. Faites-nous savoir la décomposition 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, sa notation canonique a la forme 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

La factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers permet de retrouver tous les diviseurs du nombre et le nombre de diviseurs du nombre.

Algorithme pour factoriser un nombre en facteurs premiers

Pour réussir à décomposer un nombre en facteurs premiers, vous devez avoir une très bonne connaissance des informations contenues dans l'article Nombres premiers et composés.

L’essence du processus de décomposition d’un nombre entier positif a supérieur à un ressort clairement de la preuve du théorème fondamental de l’arithmétique. Le point est découverte séquentielle les plus petits diviseurs premiers p 1 , p 2 , …, p n des nombres a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , ce qui permet d'obtenir une série d'égalités a = p 1 · a 1 , où a 1 = a : p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , où a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , où a n =a n-1 :p n . Lorsque nous obtenons a n =1, alors l'égalité a=p 1 ·p 2 ·…·p n nous donnera la décomposition souhaitée du nombre a en facteurs premiers. Il convient également de noter ici que p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Reste à comprendre comment trouver les plus petits facteurs premiers à chaque étape, et nous aurons un algorithme pour décomposer un nombre en facteurs premiers. Un tableau de nombres premiers nous aidera à trouver des facteurs premiers. Montrons comment l'utiliser pour obtenir le plus petit diviseur premier du nombre z.

Nous prenons séquentiellement les nombres premiers du tableau des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, etc.) et divisons le nombre z donné par eux. Le premier nombre premier par lequel z est divisé de manière égale sera son plus petit diviseur premier. Si le nombre z est premier, alors son plus petit diviseur premier sera le nombre z lui-même. Il convient également de rappeler ici que si z n'est pas nombre premier, alors son plus petit diviseur premier ne dépasse pas le nombre , où vient de z. Ainsi, si parmi les nombres premiers n'excédant pas , il n'y avait pas un seul diviseur du nombre z, alors on peut conclure que z est un nombre premier (plus d'informations à ce sujet sont écrites dans la section théorie sous la rubrique Ce nombre est premier ou composé ).

A titre d'exemple, nous allons montrer comment trouver le plus petit diviseur premier du nombre 87. Prenons le chiffre 2. Divisez 87 par 2, nous obtenons 87:2=43 (1 restant) (si nécessaire, voir article). Autrement dit, lorsque l’on divise 87 par 2, le reste est 1, donc 2 n’est pas un diviseur de 87. On prend le nombre premier suivant du tableau des nombres premiers, c'est le nombre 3. Divisez 87 par 3, nous obtenons 87:3=29. Ainsi, 87 est divisible par 3, donc le nombre 3 est le plus petit diviseur premier du nombre 87.

Notez que dans cas général Pour factoriser le nombre a en facteurs premiers, nous avons besoin d'un tableau de nombres premiers jusqu'à un nombre non inférieur à . Nous devrons nous référer à ce tableau à chaque étape, nous devons donc l'avoir à portée de main. Par exemple, pour factoriser le nombre 95 en facteurs premiers, nous n'aurons besoin que d'un tableau de nombres premiers jusqu'à 10 (puisque 10 est supérieur à ). Et pour décomposer le nombre 846 653, vous aurez déjà besoin d'un tableau de nombres premiers jusqu'à 1 000 (puisque 1 000 est supérieur à ).

Nous avons maintenant suffisamment d'informations pour écrire algorithme pour factoriser un nombre en facteurs premiers. L'algorithme de décomposition du nombre a est le suivant :

• En triant séquentiellement les nombres du tableau des nombres premiers, nous trouvons le plus petit diviseur premier p 1 du nombre a, après quoi nous calculons a 1 =a:p 1. Si a 1 = 1, alors le nombre a est premier, et il est lui-même sa décomposition en facteurs premiers. Si a 1 n'est pas égal à 1, alors nous avons a=p 1 ·a 1 et passons à l'étape suivante.
• Nous trouvons le plus petit diviseur premier p 2 du nombre a 1 , pour ce faire, nous trions séquentiellement les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 1 , puis calculons a 2 =a 1:p 2 . Si a 2 =1, alors la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers a la forme a=p 1 ·p 2. Si a 2 n'est pas égal à 1, alors nous avons a=p 1 ·p 2 ·a 2 et passons à l'étape suivante.
• En parcourant les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 2, on trouve le plus petit diviseur premier p 3 du nombre a 2, après quoi on calcule a 3 =a 2:p 3. Si a 3 =1, alors la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers a la forme a=p 1 ·p 2 ·p 3. Si a 3 n'est pas égal à 1, alors nous avons a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 et passons à l'étape suivante.
• On trouve le plus petit diviseur premier p n du nombre a n-1 en triant les nombres premiers, en commençant par p n-1, ainsi que a n = a n-1:p n, et a n est égal à 1. Cette étape est la dernière étape de l'algorithme ; on obtient ici la décomposition souhaitée du nombre a en facteurs premiers : a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Pour plus de clarté, tous les résultats obtenus à chaque étape de l'algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers sont présentés sous la forme du tableau suivant, dans lequel les nombres a, a 1, a 2, ..., an sont écrits séquentiellement dans une colonne à gauche de la ligne verticale et à droite de la ligne - les plus petits diviseurs premiers correspondants p 1, p 2, ..., p n.

Il ne reste plus qu'à considérer quelques exemples d'application de l'algorithme résultant pour décomposer les nombres en facteurs premiers.

Exemples de factorisation première

Maintenant, nous allons regarder en détail exemples de factorisation de nombres en facteurs premiers. Lors de la décomposition, nous utiliserons l'algorithme du paragraphe précédent. Commençons par cas simples, et nous les compliquerons progressivement afin de rencontrer toutes les nuances possibles qui surviennent lors de la décomposition des nombres en facteurs simples.

Exemple.

Factorisez le nombre 78 dans ses facteurs premiers.

Solution.

Nous commençons à chercher le premier plus petit diviseur premier p 1 nombres a=78 . Pour ce faire, nous commençons à trier séquentiellement les nombres premiers du tableau des nombres premiers. Nous prenons le nombre 2 et divisons 78 par celui-ci, nous obtenons 78:2=39. Le nombre 78 est divisé par 2 sans reste, donc p 1 =2 est le premier diviseur premier trouvé du nombre 78. Dans ce cas, a 1 =a:p 1 =78:2=39. On arrive donc à l'égalité a=p 1 ·a 1 de la forme 78=2·39. Évidemment, un 1 = 39 est différent de 1, on passe donc à la deuxième étape de l'algorithme.

Nous recherchons maintenant le plus petit diviseur premier p 2 du nombre a 1 =39. Nous commençons par énumérer les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 1 =2. Divisez 39 par 2, nous obtenons 39:2=19 (1 restant). Puisque 39 n’est pas divisible par 2, alors 2 n’est pas un diviseur. Ensuite, nous prenons le nombre suivant du tableau des nombres premiers (numéro 3) et divisons 39 par celui-ci, nous obtenons 39 : 3 = 13. Par conséquent, p 2 =3 est le plus petit diviseur premier du nombre 39, tandis que a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. On a l'égalité a=p 1 ·p 2 ·a 2 sous la forme 78=2·3·13. Puisque a 2 = 13 est différent de 1, passons à l’étape suivante de l’algorithme.

Ici, nous devons trouver le plus petit diviseur premier du nombre a 2 =13. À la recherche du plus petit diviseur premier p 3 du nombre 13, nous trierons séquentiellement les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 2 =3. Le nombre 13 n'est pas divisible par 3, puisque 13:3=4 (rest. 1), et 13 n'est pas non plus divisible par 5, 7 et 11, puisque 13:5=2 (rest. 3), 13:7=1 (reste 6) et 13:11 = 1 (reste 2). Le nombre premier suivant est 13, et 13 est divisible par lui sans reste, donc le plus petit diviseur premier p 3 de 13 est le nombre 13 lui-même, et a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Puisque a 3 =1, cette étape de l'algorithme est la dernière, et la décomposition souhaitée du nombre 78 en facteurs premiers a la forme 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Répondre:

78=2·3·13.

Exemple.

Exprimez le nombre 83 006 comme un produit de facteurs premiers.

Solution.

A la première étape de l'algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers, on trouve p 1 =2 et a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503, d'où 83 006=2·41 503.

Dans la deuxième étape, nous découvrons que 2, 3 et 5 ne sont pas des diviseurs premiers du nombre a 1 = 41 503, mais que le nombre 7 l'est, puisque 41 503 : 7 = 5 929. Nous avons p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929. Ainsi, 83 006=2 7 5 929.

Le plus petit diviseur premier du nombre a 2 =5 929 est le nombre 7, puisque 5 929:7 = 847. Ainsi, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, d'où 83 006 = 2·7·7·847.

Nous constatons ensuite que le plus petit diviseur premier p 4 du nombre a 3 =847 est égal à 7. Alors a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, donc 83 006=2·7·7·7·121.

On trouve maintenant le plus petit diviseur premier du nombre a 4 =121, c'est le nombre p 5 =11 (puisque 121 est divisible par 11 et non divisible par 7). Alors a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, et 83 006=2·7·7·7·11·11.

Enfin, le plus petit diviseur premier du nombre a 5 =11 est le nombre p 6 =11. Alors a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Puisque a 6 =1, cette étape de l'algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers est la dernière, et la décomposition souhaitée a la forme 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Le résultat obtenu peut s'écrire comme la décomposition canonique du nombre en facteurs premiers 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Répondre:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 est un nombre premier. En effet, il ne possède pas un seul diviseur premier n'excédant pas ( peut être grossièrement estimé à , puisqu'il est évident que 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Répondre:

897 924 289 = 937 967 991 .

Utilisation de tests de divisibilité pour la factorisation première

Dans des cas simples, vous pouvez décomposer un nombre en facteurs premiers sans utiliser l'algorithme de décomposition du premier paragraphe de cet article. Si les nombres ne sont pas grands, alors pour les décomposer en facteurs premiers, il suffit souvent de connaître les signes de divisibilité. Donnons des exemples pour clarifier.

Par exemple, nous devons factoriser le nombre 10 en facteurs premiers. D'après la table de multiplication, nous savons que 2·5=10, et que les nombres 2 et 5 sont évidemment premiers, donc la factorisation première du nombre 10 ressemble à 10=2·5.

Un autre exemple. À l’aide de la table de multiplication, nous allons factoriser le nombre 48 en facteurs premiers. Nous savons que six fait huit - quarante-huit, soit 48 = 6·8. Cependant, ni 6 ni 8 ne sont des nombres premiers. Mais nous savons que deux fois trois font six, et deux fois quatre font huit, c'est-à-dire 6=2·3 et 8=2·4. Alors 48=6·8=2·3·2·4. Il reste à rappeler que deux fois deux font quatre, on obtient alors la décomposition souhaitée en facteurs premiers 48 = 2·3·2·2·2. Écrivons ce développement sous forme canonique : 48=2 4 ·3.

Mais lorsque vous factorisez le nombre 3 400 en facteurs premiers, vous pouvez utiliser les critères de divisibilité. Les signes de divisibilité par 10, 100 permettent d'affirmer que 3 400 est divisible par 100, avec 3 400=34.100, et 100 est divisible par 10, avec 100=10.10, donc 3.400=34.10.10. Et à partir du test de divisibilité par 2, on peut dire que chacun des facteurs 34, 10 et 10 est divisible par 2, on obtient 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Tous les facteurs de l’expansion résultante sont simples, cette expansion est donc celle souhaitée. Il ne reste plus qu'à réorganiser les facteurs pour qu'ils soient classés par ordre croissant : 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Notons également la décomposition canonique de ce nombre en facteurs premiers : 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Lors de la décomposition d'un nombre donné en facteurs premiers, vous pouvez utiliser tour à tour les signes de divisibilité et la table de multiplication. Imaginons le nombre 75 comme un produit de facteurs premiers. Le test de divisibilité par 5 permet d'affirmer que 75 est divisible par 5, et on obtient que 75 = 5.15. Et d'après la table de multiplication, nous savons que 15=3·5, donc 75=5·3·5. C'est la décomposition requise du nombre 75 en facteurs premiers.

Références.

• Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.
• Vinogradov I.M. Fondamentaux de la théorie des nombres.
• Mikhelovich Sh.H. Théorie des nombres.
• Kulikov L.Ya. et autres. Recueil de problèmes d'algèbre et de théorie des nombres : manuel pour les étudiants en physique et en mathématiques. spécialités des instituts pédagogiques.