Qui a inventé le nok et le nod. Diviseur commun et multiple

De nombreux diviseurs

Considérons le problème suivant : trouver le diviseur du nombre 140. Évidemment, le nombre 140 n'a pas un diviseur, mais plusieurs. Dans de tels cas, on dit que le problème vient beaucoup décisions. Trouvons-les tous. Tout d'abord, décomposons numéro donné sur facteurs premiers:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Nous pouvons maintenant facilement écrire tous les diviseurs. Commençons par les facteurs premiers, c'est-à-dire ceux qui sont présents dans le développement donné ci-dessus :

Ensuite, nous notons ceux qui sont obtenus par multiplication par paires de diviseurs premiers :

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Ensuite - ceux qui contiennent trois diviseurs premiers :

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Enfin, n’oublions pas l’unité et le nombre décomposé lui-même :

Tous les diviseurs que nous avons trouvés forment beaucoup diviseurs du nombre 140, qui s'écrit entre accolades :

Ensemble de diviseurs du nombre 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Pour faciliter la perception, nous avons noté ici les diviseurs ( éléments de l'ensemble) par ordre croissant, mais, en général, cela n'est pas nécessaire. De plus, nous introduisons une abréviation de notation. Au lieu de « Ensemble des diviseurs du nombre 140 » nous écrirons « D(140) ». Ainsi,

De la même manière, vous pouvez trouver l’ensemble des diviseurs de tout autre nombre naturel. Par exemple, à partir de la décomposition

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

on obtient :

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

De l'ensemble de tous les diviseurs, il faut distinguer l'ensemble des diviseurs simples, qui pour les nombres 140 et 105 sont respectivement égaux :

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Il faut surtout souligner que dans la décomposition du nombre 140 en facteurs premiers, les deux apparaissent deux fois, alors que dans l'ensemble PD(140) il n'y en a qu'un. L’ensemble de PD(140) est, en substance, toutes les réponses au problème : « Trouver le facteur premier du nombre 140 ». Il est clair que la même réponse ne doit pas être répétée plus d’une fois.

Réduire les fractions. Plus grand diviseur commun

Considérons la fraction

On sait que cette fraction peut être réduite d'un nombre qui est à la fois diviseur du numérateur (105) et diviseur du dénominateur (140). Regardons les ensembles D(105) et D(140) et notons-les éléments communs.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105) ;

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Éléments communs aux ensembles D(105) et D(140) =

La dernière égalité peut s'écrire plus brièvement, à savoir :

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Ici l'icône spéciale «∩» («sac avec le trou vers le bas») indique celle des deux ensembles écrits selon différents côtésà partir de là, vous devez sélectionner uniquement les éléments communs. L’entrée « D(105) ∩ D(140) » se lit comme suit : « intersection ensembles de De de 105 et De de 140. »

[Notez en cours de route que vous pouvez effectuer diverses opérations binaires avec des ensembles, presque comme avec des nombres. Une autre opération binaire courante est association, qui est indiqué par l'icône « ∪ » (« sac avec le trou vers le haut »). L'union de deux ensembles comprend tous les éléments des deux ensembles :

PD(105) = (3, 5, 7) ;

PD(140) = (2, 5, 7) ;

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Nous avons donc découvert que la fraction

peut être réduit par l'un des nombres appartenant à l'ensemble

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

et ne peut être réduit par aucun autre nombre naturel. C'est tout moyens possibles abréviations (sauf l'abréviation inintéressante par un) :

Évidemment, il est plus pratique de réduire la fraction d’un nombre aussi grand que possible. DANS dans ce cas c'est le numéro 35, qu'ils disent être plus grand diviseur commun (PGCD) numéros 105 et 140. Ceci s’écrit

PGCD(105, 140) = 35.

Cependant, en pratique, si l’on nous donne deux nombres et que nous devons trouver leur plus grand diviseur commun, nous ne devrions construire aucun ensemble. Il suffit simplement de décomposer les deux nombres en facteurs premiers et de mettre en évidence ceux de ces facteurs qui sont communs aux deux décompositions, par exemple :

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

En multipliant les nombres soulignés (dans n'importe laquelle des extensions), nous obtenons :

pgcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Bien entendu, il est possible qu’il y ait plus de deux facteurs soulignés :

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

De là il ressort clairement que

pgcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

La situation mérite une mention particulière lorsque facteurs communs pas du tout et il n'y a rien à souligner, par exemple :

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Dans ce cas,

PGCD(42, 55) = 1.

Deux nombres naturels pour lesquels GCD égal à un, sont appelés mutuellement premier. Si vous faites une fraction à partir de ces nombres, par exemple,

alors une telle fraction est irréductible.

D'une manière générale, la règle de réduction des fractions peut s'écrire comme suit :

Ici, on suppose que un Et b sont des nombres naturels et la fraction entière est positive. Si nous ajoutons maintenant un signe moins aux deux côtés de cette égalité, nous obtenons la règle correspondante pour les fractions négatives.

Additionner et soustraire des fractions. Le plus petit commun multiple

Supposons que vous deviez calculer la somme de deux fractions :

Nous savons déjà comment les dénominateurs sont pris en compte dans les facteurs premiers :

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

De ce développement il résulte immédiatement que, pour réduire les fractions à dénominateur commun, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2 ∙ 2 (le produit des facteurs premiers non accentués du deuxième dénominateur), et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par 3 (le « produit » du facteurs premiers non accentués du premier dénominateur). En conséquence, les dénominateurs des deux fractions deviendront égaux au nombre, qui peut être représenté comme suit :

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Il est facile de voir que les deux dénominateurs initiaux (105 et 140) sont des diviseurs du nombre 420, et que le nombre 420, à son tour, est un multiple des deux dénominateurs - et pas seulement un multiple, c'est multiple le moins commun (CNP) les numéros 105 et 140. Il s'écrit ainsi :

LCM(105, 140) = 420.

En regardant de plus près la décomposition des nombres 105 et 140, on voit que

105 ∙ 140 = PGCD(105, 140) ∙ PGCD(105, 140).

De même, pour les nombres naturels arbitraires b Et d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ PGCD( b, d).

Complétons maintenant la sommation de nos fractions :

Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple sont essentiels notions arithmétiques, qui vous permettent d'opérer sans effort fractions ordinaires. LCM et sont le plus souvent utilisés pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions.

Concepts de base

Le diviseur d'un entier X est un autre entier Y par lequel X est divisé sans laisser de reste. Par exemple, le diviseur de 4 est 2 et 36 est 4, 6, 9. Un multiple d'un entier X est un nombre Y divisible par X sans reste. Par exemple, 3 est un multiple de 15 et 6 est un multiple de 12.

Pour toute paire de nombres, nous pouvons trouver leurs diviseurs et multiples communs. Par exemple, pour 6 et 9, le commun multiple est 18 et le commun diviseur est 3. Évidemment, les paires peuvent avoir plusieurs diviseurs et multiples, donc les calculs utilisent le plus grand diviseur GCD et le plus petit multiple LCM.

Le plus petit diviseur n’a aucun sens puisque pour tout nombre, il vaut toujours un. Le plus grand multiple n’a également aucun sens, puisque la séquence des multiples va vers l’infini.

Trouver pgcd

Il existe de nombreuses méthodes pour trouver le plus grand diviseur commun, dont les plus connues sont :

• recherche séquentielle de diviseurs, sélection des diviseurs communs pour une paire et recherche du plus grand d'entre eux ;
• décomposition des nombres en facteurs indivisibles ;
• Algorithme euclidien ;
• algorithme binaire.

Aujourd'hui à établissements d'enseignement Les plus populaires sont les méthodes de factorisation première et l'algorithme euclidien. Ce dernier, à son tour, est utilisé lors de la résolution d'équations diophantiennes : la recherche de GCD est nécessaire pour vérifier l'équation pour la possibilité de résolution en nombres entiers.

Trouver le CNO

Le multiple le plus petit commun est également déterminé par recherche séquentielle ou décomposition en facteurs indivisibles. De plus, il est facile de trouver le LCM si le plus grand diviseur a déjà été déterminé. Pour les nombres X et Y, le LCM et le GCD sont liés par la relation suivante :

LCD(X,Y) = X × Y / PGCD(X,Y).

Par exemple, si GCM(15,18) = 3, alors LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. L'exemple le plus évident d'utilisation de LCM consiste à trouver le dénominateur commun, qui est le plus petit commun multiple de fractions données.

Nombres premiers entre eux

Si une paire de nombres n’a pas de diviseur commun, alors une telle paire est appelée premier entre eux. Le pgcd de ces paires est toujours égal à un, et sur la base de la relation entre les diviseurs et les multiples, le pgcd des paires premières entre elles est égal à leur produit. Par exemple, les nombres 25 et 28 sont relativement premiers, car ils n'ont pas de diviseur commun, et LCM(25, 28) = 700, ce qui correspond à leur produit. Deux nombres indivisibles seront toujours premiers relativement.

Diviseur commun et calculateur multiple

À l'aide de notre calculatrice, vous pouvez calculer GCD et LCM pour un nombre arbitraire de nombres parmi lesquels choisir. Les tâches de calcul des diviseurs communs et des multiples se trouvent en arithmétique de 5e et 6e années, mais GCD et LCM sont notions clés mathématiques et sont utilisés en théorie des nombres, en planimétrie et en algèbre communicative.

Exemples concrets

Dénominateur commun des fractions

Le plus petit commun multiple est utilisé pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions. Laisser entrer problème arithmétique vous devez additionner 5 fractions :

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Pour additionner des fractions, l'expression doit être réduite à un dénominateur commun, ce qui se réduit au problème de trouver le LCM. Pour ce faire, sélectionnez 5 nombres dans la calculatrice et saisissez les valeurs des dénominateurs dans les cellules appropriées. Le programme calculera le LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Vous devez maintenant calculer des facteurs supplémentaires pour chaque fraction, qui sont définis comme le rapport du LCM au dénominateur. Les multiplicateurs supplémentaires ressembleraient donc à :

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Après cela, nous multiplions toutes les fractions par le facteur supplémentaire correspondant et obtenons :

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Nous pouvons facilement additionner ces fractions et obtenir le résultat 159/360. Nous réduisons la fraction de 3 et voyons la réponse finale - 53/120.

Résolution d'équations diophantiennes linéaires

Les équations diophantiennes linéaires sont des expressions de la forme ax + by = d. Si le rapport d / pgcd(a, b) est un nombre entier, alors l'équation peut être résolue en nombres entiers. Vérifions quelques équations pour voir si elles ont une solution entière. Vérifions d'abord l'équation 150x + 8y = 37. À l'aide d'une calculatrice, nous trouvons PGCD (150,8) = 2. Divisons 37/2 = 18,5. Le nombre n’est pas un nombre entier, donc l’équation n’a pas de racines entières.

Vérifions l'équation 1320x + 1760y = 10120. Utilisez une calculatrice pour trouver PGCD(1320, 1760) = 440. Divisons 10120/440 = 23. En conséquence, nous obtenons un nombre entier, par conséquent, l'équation diophantienne peut être résolue en coefficients entiers. .

Conclusion

GCD et LCM jouent un rôle important dans la théorie des nombres, et les concepts eux-mêmes sont largement utilisés dans la plupart des domaines. différents domaines mathématiques. Utilisez notre calculateur pour calculer les plus grands diviseurs et les moindres multiples d'un nombre quelconque de nombres.

L'une des tâches qui pose problème aux écoliers modernes, habitués à utiliser de manière appropriée et inappropriée les calculatrices intégrées aux gadgets, consiste à trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux nombres ou plus.

Il est impossible de résoudre quoi que ce soit problème de mathématiques, si l'on ne sait pas ce qu'ils demandent réellement. Pour ce faire, vous devez savoir ce que signifie telle ou telle expression., utilisé en mathématiques.

Il faut savoir :

1. Si un certain nombre peut être utilisé pour compter divers articles, par exemple, neuf piliers, seize maisons, alors c'est naturel. Le plus petit d’entre eux en sera un.
2. Lorsqu’un nombre naturel est divisible par un autre nombre naturel, on dit qu’il est plus petit nombre est un diviseur du plus grand.
3. Si deux ou plus différents numéros sont divisibles par un certain nombre sans reste, alors ils disent que ce dernier sera leur diviseur commun (CD).
4. Le plus grand des OD est appelé le plus grand diviseur commun (PGCD).
5. Dans ce cas, lorsqu’un nombre n’a que deux diviseurs naturels (lui-même et un), il est dit premier. Le plus petit d’entre eux est deux, et c’est aussi le seul nombre pair de leur série.
6. Si deux nombres ont un diviseur commun maximum égal à un, alors ils seront relativement premiers.
7. Un nombre qui a plus de deux diviseurs est appelé composé.
8. Le processus de recherche de tous les facteurs premiers qui, une fois multipliés ensemble, donneront le produit valeur initiale en mathématiques, on parle de factorisation. De plus, des facteurs identiques d’expansion peuvent apparaître plus d’une fois.

Les notations suivantes sont acceptées en mathématiques :

1. Diviseurs D (45) = (1;3;5;9;45).
2. DO (8 ; 18) = (1 ; 2).
3. PGCD (8 ; 18) = 2.

Différentes façons de trouver GCD

La façon la plus simple de répondre à la question est comment trouver pgcd dans le cas où le plus petit nombre est un diviseur du plus grand. Ce sera dans un tel cas plus grand diviseur commun.

Par exemple, PGCD (15 ; 45) = 15, PGCD (48 ; 24) = 24.

Mais de tels cas en mathématiques sont très rares, c'est pourquoi, pour trouver GCD, des techniques plus complexes sont utilisées, bien qu'il soit toujours fortement recommandé de vérifier cette option avant de commencer le travail.

Méthode de décomposition en facteurs simples

Si vous avez besoin de trouver le pgcd de deux nombres différents ou plus, il suffit de décomposer chacun d'eux en facteurs simples, puis d'effectuer le processus de multiplication de ceux d'entre eux qui sont présents dans chacun des nombres.

Exemple 1

Voyons comment trouver les GCD 36 et 90 :

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

PGCD (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Voyons maintenant comment trouver la même chose V cas de trois Nombres, prenons 54 comme exemple ; 162 ; 42.

Nous savons déjà comment décomposer 36, voyons le reste :

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

Ainsi, pgcd (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Il est à noter qu'il est totalement facultatif d'écrire une unité dans l'extension.

Considérons un moyen comment simplement prendre en compte les facteurs premiers, pour ce faire, nous écrirons le nombre dont nous avons besoin à gauche, et à droite nous écrirons de simples diviseurs.

Les colonnes peuvent être séparées à l'aide d'un signe de division ou d'une simple ligne verticale.

1. 36 / 2 nous poursuivrons notre processus de division ;
2. 18/2 plus loin ;
3. 9/3 et encore ;
4. 3/3 est désormais assez élémentaire ;
5. 1 - le résultat est prêt.

Requis 36 = 2*2*3*3.

Voie euclidienne

Cette option est connue de l'humanité depuis l'époque civilisation grecque antique, il est plus simple à bien des égards et est attribué au grand mathématicien Euclide, bien que des algorithmes très similaires aient été utilisés auparavant. Cette méthode consiste à utiliser l'algorithme suivant , nous partageons plus grand nombre avec le reste à moindre coût. Ensuite, nous divisons notre diviseur par le reste et continuons à le faire en cercle jusqu'à ce qu'une division complète se produise. Dernière valeur et s'avère être le plus grand diviseur commun souhaité.

Voici un exemple d'utilisation de cet algorithme :

Essayons de découvrir quel est le GCD des 816 et 252 :

1. 816 / 252 = 3 et le reste est 60. Maintenant, nous divisons 252 par 60 ;
2. 252 / 60 = 4 le reste cette fois sera 12. Continuons notre processus circulaire, divisons soixante par douze ;
3. 60 / 12 = 5. Puisque cette fois nous n'avons reçu aucun reste, nous avons un résultat tout prêt, douze sera la valeur que nous recherchons.

Donc, à la fin de notre processus nous avons GCD (816;252) = 12.

Actions s'il est nécessaire de déterminer le GCD si plus de deux valeurs sont spécifiées

Nous avons déjà compris quoi faire dans le cas où il y a deux nombres différents, nous allons maintenant apprendre comment agir s'il y en a 3 ou plus.

Malgré toute l'apparente complexité, cette tâche ne nous posera plus de problèmes. Maintenant, nous sélectionnons deux nombres et déterminons la valeur que nous recherchons. L'étape suivante consiste à trouver le pgcd du résultat obtenu et le tiers de définir des valeurs. Ensuite, nous agissons à nouveau selon le principe que nous connaissons déjà pour le quatrième cinquième et ainsi de suite.

Conclusion

Ainsi, malgré la complexité apparemment grande de la tâche qui nous était initialement proposée, en réalité tout est simple, l'essentiel est de pouvoir effectuer le processus de division avec précision et adhérez à l’un des deux algorithmes décrits ci-dessus.

Bien que les deux méthodes soient tout à fait acceptables, lycée la première méthode est beaucoup plus souvent utilisée. Cela est dû au fait que la factorisation en facteurs premiers sera nécessaire lors de l’étude des éléments suivants : sujet éducatif- détermination du plus grand commun multiple (LCM). Mais il convient tout de même de noter une fois de plus que l’utilisation de l’algorithme euclidien ne peut en aucun cas être considérée comme erronée.

Vidéo

Avec cette vidéo, vous apprendrez à trouver le plus grand diviseur commun.

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Cet article concerne trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) deux et plus Nombres. Tout d'abord, regardons l'algorithme d'Euclide ; il vous permet de trouver le pgcd de deux nombres. Après cela, nous nous concentrerons sur une méthode qui nous permet de calculer le pgcd des nombres comme le produit de leurs facteurs premiers communs. Ensuite, nous chercherons à trouver le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus, et donnerons également des exemples de calcul du pgcd de nombres négatifs.

Navigation dans les pages.

Algorithme euclidien pour trouver GCD

A noter que si nous nous étions tournés dès le début vers le tableau des nombres premiers, nous aurions découvert que les nombres 661 et 113 sont des nombres premiers, à partir desquels nous pourrions immédiatement dire que leur plus grand diviseur commun est 1.

Répondre:

PGCD(661, 113)=1 .

Trouver GCD en factorisant les nombres en facteurs premiers

Considérons une autre façon de trouver GCD. Le plus grand diviseur commun peut être trouvé en factorisant les nombres en facteurs premiers. Formulons une règle : PGCD de deux entiers nombres positifs un et b égal au produit tous les facteurs premiers courants trouvés dans les factorisations premières des nombres a et b.

Donnons un exemple pour expliquer la règle permettant de trouver GCD. Connaissons les décompositions des nombres 220 et 600 en facteurs premiers, ils ont la forme 220=2·2·5·11 et 600=2·2·2·3·5·5. Les facteurs premiers communs impliqués dans la factorisation des nombres 220 et 600 sont 2, 2 et 5. Par conséquent, PGCD(220, 600)=2·2·5=20.

Ainsi, si nous factorisons les nombres a et b en facteurs premiers et trouvons le produit de tous leurs facteurs communs, alors nous trouverons le plus grand diviseur commun des nombres a et b.

Considérons un exemple de recherche de GCD selon la règle indiquée.

Exemple.

Trouvez le plus grand diviseur commun des nombres 72 et 96.

Solution.

Factorisons les nombres 72 et 96 en facteurs premiers :

Autrement dit, 72=2·2·2·3·3 et 96=2·2·2·2·2·3. Les facteurs premiers courants sont 2, 2, 2 et 3. Ainsi, PGCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

Répondre:

PGCD(72, 96)=24 .

En conclusion de ce paragraphe, nous notons que la validité de la règle ci-dessus pour trouver GCD découle de la propriété du plus grand commun diviseur, qui stipule que PGCD(m une 1 , m b 1)=m PGCD(une 1 , b 1), où m est un entier positif.

Trouver le pgcd de trois nombres ou plus

Trouver le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus peut être réduit à découverte séquentielle PGCD de deux nombres. Nous l'avons mentionné lors de l'étude des propriétés de GCD. Là nous avons formulé et prouvé le théorème : le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres a 1, a 2, …, a k égal au nombre d k , qui est trouvé en calculant séquentiellement GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k - 1 , une k)=d k .

Voyons à quoi ressemble le processus de recherche du pgcd de plusieurs nombres en regardant la solution de l'exemple.

Exemple.

Trouvez le plus grand commun diviseur de quatre nombres 78, 294, 570 et 36.

Solution.

Dans cet exemple, un 1 =78, un 2 =294, un 3 =570, un 4 =36.

Tout d'abord, à l'aide de l'algorithme euclidien, nous déterminons le plus grand diviseur commun d 2 des deux premiers nombres 78 et 294. En divisant, on obtient les égalités 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 et 18=6·3. Ainsi, d 2 =PGCD(78, 294)=6.

Maintenant calculons ré 3 =PGCD(d 2, une 3)=PGCD(6, 570). Appliquons à nouveau l'algorithme euclidien : 570=6·95, donc d 3 = PGCD(6, 570)=6.

Reste à calculer ré 4 =PGCD(d 3, une 4)=PGCD(6, 36). Puisque 36 est divisible par 6, alors d 4 = PGCD(6, 36) = 6.

Ainsi, le plus grand diviseur commun des quatre nombres donnés est d 4 =6, c'est-à-dire pgcd(78, 294, 570, 36)=6.

Répondre:

PGCD(78, 294, 570, 36)=6 .

La factorisation des nombres en facteurs premiers vous permet également de calculer le pgcd de trois nombres ou plus. Dans ce cas, le plus grand diviseur commun est le produit de tous les facteurs premiers communs des nombres donnés.

Exemple.

Calculez le pgcd des nombres de l'exemple précédent en utilisant leurs factorisations premières.

Solution.

Factorisons les nombres 78, 294, 570 et 36 en facteurs premiers, nous obtenons 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Les facteurs premiers communs à ces quatre nombres sont les nombres 2 et 3. Ainsi, PGCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Mots clés du résumé :Nombres naturels. Opérations arithmétiques sur les nombres naturels. Divisibilité des nombres naturels. Simple et nombres composés. Factoriser un nombre naturel en facteurs premiers. Signes de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Plus grand commun diviseur (PGCD), ainsi que plus petit commun multiple (LCD). Division avec reste.

Nombres naturels- ce sont des nombres qui servent à compter les objets - 1, 2, 3, 4 , ... Mais le nombre 0 ce n'est pas naturel !

L'ensemble des nombres naturels est noté N. Enregistrer "3 ∈N" signifie que le nombre trois appartient à l'ensemble des nombres naturels, et la notation "0 ∉N" signifie que le nombre zéro n’appartient pas à cet ensemble.

Système de nombres décimaux - système de positionnement base 10 .

Opérations arithmétiques sur les nombres naturels

Pour les nombres naturels, les actions suivantes sont définies : addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation, extraction de racine. Les quatre premières actions sont arithmétique.

Soient a, b et c des nombres naturels, alors

1. AJOUT. Durée + Durée = Somme

Propriétés d'addition
1. Communicatif a + b = b + a.
2. Conjonctif a + (b + c) = (a + b) + c.
3. une + 0= 0 + une = une.

2. SOUSTRAIT. Minuend - Subtrahend = Différence

Propriétés de la soustraction
1. Soustraire la somme du nombre a - (b + c) = a - b - c.
2. Soustraire un nombre de la somme (a + b) - c = a + (b - c) ; (une + b) - c = (une - c) + b.
3. une - 0 = une.
4. une - une = 0.

3. MULTIPLICATIONS. Multiplicateur * Multiplicateur = Produit

Propriétés de multiplication
1. Communicatif a*b = b*a.
2. Conjonctive a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * une = une * 1 = une.
4. 0 * une = une * 0 = 0.
5. Distribution (a + b) * c = ac + bc ; (a - b) * c = ac - avant JC.

4. DIVISION. Dividende : Diviseur = Quotient

Propriétés de division
1. une : 1 = une.
2. une : une = 1. On ne peut pas diviser par zéro !
3. 0 : une= 0.

Procédure

1. Tout d’abord, les actions entre parenthèses.
2. Puis multiplication, division.
3. Et seulement à la fin de l'addition et de la soustraction.

Divisibilité des nombres naturels. Nombres premiers et composés.

Diviseur d'un nombre naturel UN est l'entier naturel auquel UN divisé sans reste. Nombre 1 est un diviseur de tout nombre naturel.

L'entier naturel s'appelle simple, si seulement il a deux diviseur : un et le nombre lui-même. Par exemple, les nombres 2, 3, 11, 23 - nombres premiers.

Un nombre qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite. Par exemple, les nombres 4, 8, 15, 27 sont des nombres composés.

Test de divisibilité travaux plusieurs nombres : si au moins un des facteurs est divisible par un certain nombre, alors le produit est également divisible par ce nombre. Travail 24 15 77 divisé par 12 , puisque le multiplicateur de ce nombre 24 divisé par 12 .

Test de divisibilité d'une somme (différence) nombres : si chaque terme est divisible par un certain nombre, alors la somme entière est divisée par ce nombre. Si une : b Et c:b, Que (a + c) :b. Et si une : b, UN c non divisible par b, Que a+c non divisible par un nombre b.

Si une : c Et c:b, Que une : b. Sur la base du fait que 72 :24 et 24 :12, nous concluons que 72 :12.

La représentation d'un nombre comme produit de puissances de nombres premiers est appelée factoriser un nombre en facteurs premiers.

Théorème fondamental de l'arithmétique: tout nombre naturel (sauf 1 ) ou est simple, ou il ne peut être factorisé que d'une seule manière.

Lors de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, les signes de divisibilité sont utilisés et la notation « colonne » est utilisée. Dans ce cas, le diviseur est situé à droite de la ligne verticale et le quotient est écrit sous le dividende.

Par exemple, tâche : factoriser un nombre en facteurs premiers 330 . Solution:

Signes de divisibilité en 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 et 11.

Il y a des signes de divisibilité en 6, 15, 45 etc., c'est-à-dire en nombres dont le produit peut être factorisé 2, 3, 5, 9 Et 10 .

Plus grand diviseur commun

Le plus grand nombre naturel par lequel chacun des deux nombres naturels donnés est divisible est appelé plus grand diviseur commun ces chiffres ( PGCD). Par exemple, PGCD (10 ; 25) = 5 ; et PGCD (18 ; 24) = 6 ; PGCD (7 ; 21) = 1.

Si le plus grand diviseur commun de deux nombres naturels est égal à 1 , alors ces nombres sont appelés mutuellement premier.

Algorithme pour trouver le plus grand diviseur commun(HOCHER LA TÊTE)

GCD est souvent utilisé dans les problèmes. Par exemple, 155 cahiers et 62 stylos ont été répartis à parts égales entre les élèves d'une classe. Combien d'élèves y a-t-il dans cette classe ?

Solution: Connaître le nombre d'élèves de cette classe revient à trouver le plus grand commun diviseur des nombres 155 et 62, puisque les cahiers et les stylos ont été répartis à parts égales. 155 = 5 31 ; 62 = 2 31. PGCD (155 ; 62) = 31.

Répondre: 31 élèves dans la classe.

Le plus petit commun multiple

Multiples d'un nombre naturel UN est un nombre naturel divisible par UN sans laisser de trace. Par exemple, le numéro 8 a des multiples : 8, 16, 24, 32 , ... Tout nombre naturel a une infinité de multiples.

Le plus petit commun multiple(LCM) est le plus petit nombre naturel multiple de ces nombres.

Algorithme pour trouver le multiple le plus petit commun ( CNP):

LCM est également souvent utilisé dans les problèmes. Par exemple, deux cyclistes ont démarré simultanément sur une piste cyclable dans la même direction. L’un fait un cercle en 1 minute et l’autre en 45 secondes. Dans combien de minutes minimum après le début du mouvement se retrouveront-ils au départ ?

Solution: Le nombre de minutes après lesquelles ils se retrouveront au départ doit être divisé par 1 minute, ainsi que sur 45 s. En 1 min = 60 s. C'est-à-dire qu'il est nécessaire de trouver le LCM (45 ; 60). 45 = 32 5 ; 60 = 22 3 5. LCM (45 ; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Le résultat est que les cyclistes se retrouveront au départ en 180 s = 3 min.

Répondre: 3 minutes.

Division avec reste

Si un nombre naturel UN n'est pas divisible par un nombre naturel b, alors tu peux faire division avec reste. Dans ce cas, le quotient résultant s’appelle incomplet. L'égalité est juste :

une = bn + r,

Où UN- divisible, b- diviseur, n- quotient incomplet, r- le reste. Par exemple, que le dividende soit égal 243 , diviseur - 4 , Alors 243 : 4 = 60 (reste 3). Autrement dit, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, alors 243 = 60 4 + 3 .

Nombres divisibles par 2 sans reste, sont appelés même: une = 2n, n ∈ N.

Les numéros restants sont appelés impair: b = 2n + 1, n ∈ N.

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