figure ombrée.
188. Prototype de la tâche B5 (n° 315124)
Sur papier à carreaux deux cercles sont dessinés. L'aire du cercle intérieur est de 9. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
189. Prototype de la tâche B5 (n° 315132)
Un cercle d'une aire de 48 est dessiné sur du papier quadrillé. Trouvez l'aire du secteur ombré.
190. Prototype de la tâche B5 (n° 315133)
Un cercle est représenté sur du papier quadrillé. Quelle est l'aire du cercle si l'aire du secteur ombré est de 32 ?
193. Prototype de la tâche B5 (n° 319057)
L'aire du parallélogramme ABCD est de 176. Le point E est le milieu du côté CD. Trouvez l'aire du triangle ADE.
194. Prototype de la tâche B5 (N° 319058)
Carré triangle ABCégal à 12.DE - la ligne médiane parallèle au côté AB. Trouvez l'aire du trapèzeABDE.
195. Prototype de la tâche B5 (n° 324460)
Les points A et B sont marqués sur du papier quadrillé d'un carré de 1 × 1. Trouvez la longueur du segment AB.
196. Prototype de la tâche B5 (n° 324461)
Un angle est représenté sur du papier quadrillé d’un carré de 1 × 1. Trouvez sa valeur en degré.
197. Prototype de la tâche B5 (n° 324462)
Sur du papier quadrillé d'un carré de 1 × 1, le triangle ABC est représenté. Trouver sa longueur ligne médiane, parallèle au côté AB.
198. Prototype de la tâche B5 (n° 324463)
Sur du papier quadrillé d'un carré de 1 × 1, le triangle ABC est représenté. Trouvez la longueur de sa hauteur abaissée du côté AB.
191. Prototype de la tâche B5 (n° 317338)
L'aire du parallélogramme ABCD est de 189. Le point E est le milieu du côté AD. Trouvez l'aire du trapèze AECB.
192. Prototype de la tâche B5 (n° 319056)
L'aire du parallélogramme ABCD est 153. Trouvez l'aire du parallélogramme A " B " C " D " dont les sommets sont les milieux des côtés de ce parallélogramme.
199. Prototype de la tâche B5 (n° 324464)
Un triangle rectangle isocèle est représenté sur du papier quadrillé d'un carré de 1 × 1. Trouvez la longueur de sa médiane tirée vers l'hypoténuse.
200. Prototype de la tâche B5 (n° 324465)
Les points A, B et C sont marqués sur du papier quadrillé d'un carré de 1 × 1. Trouvez la distance entre le point A et la ligne BC.
201. Prototype de la tâche B5 (n° 324466)
Un triangle est représenté sur du papier quadrillé d'un carré de 1 × 1. Trouvez le rayon du cercle décrit autour de lui.
Les cercles nécessitent une approche plus prudente et sont beaucoup moins courants dans les tâches B5. En même temps, régime général les solutions sont encore plus simples que dans le cas des polygones (voir la leçon « Aires de polygones sur une grille de coordonnées »).
Dans de telles tâches, il suffit de trouver le rayon du cercle R. Ensuite, vous pouvez calculer l'aire du cercle en utilisant la formule S = πR 2. Il résulte également de cette formule que pour la résoudre il suffit de trouver R 2.
Pour retrouver les valeurs indiquées, il suffit d'indiquer un point sur le cercle qui se situe à l'intersection des lignes du quadrillage. Et puis utilisez le théorème de Pythagore. Considérons exemples spécifiques calculs de rayon :
Tâche. Trouvez les rayons des trois cercles indiqués sur la figure :
Faisons-le constructions supplémentaires dans chaque cercle :
Dans chaque cas, le point B est choisi sur le cercle pour se trouver à l’intersection des lignes du quadrillage. Le point C dans les cercles 1 et 3 complète la figure pour triangle rectangle. Reste à trouver les rayons :
Considérons le triangle ABC dans le premier cercle. D'après le théorème de Pythagore : R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Pour le deuxième cercle tout est évident : R = AB = 2.
Le troisième cas est similaire au premier. À partir du triangle ABC en utilisant le théorème de Pythagore : R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Nous savons maintenant comment trouver le rayon d'un cercle (ou au moins son carré). Nous pouvons donc trouver la zone. Il existe des problèmes où vous devez trouver l'aire d'un secteur, et non le cercle entier. Dans de tels cas, il est facile de savoir à quelle partie du cercle se trouve ce secteur, et ainsi de trouver l'aire.
Tâche. Trouvez l’aire S du secteur ombré. Veuillez indiquer S/π dans votre réponse.
Évidemment, le secteur forme un quart de cercle. Par conséquent, S = 0,25 S cercle.
Il reste à trouver S du cercle - l'aire du cercle. Pour ce faire, nous effectuons une construction supplémentaire :
Le triangle ABC est un triangle rectangle. D'après le théorème de Pythagore nous avons : R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
On trouve maintenant l'aire du cercle et du secteur : S cercle = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S cercle = 2π.
Finalement, la valeur souhaitée est S /π = 2.
Zone de secteur avec un rayon inconnu
C'est absolument nouveau genre tâches, il n'y avait rien de tel en 2010-2011. Selon la condition, on nous donne un cercle certaine zone(à savoir la zone, pas le rayon !). Ensuite, à l'intérieur de ce cercle, un secteur est sélectionné dont il faut trouver l'aire.
La bonne nouvelle est que ces problèmes sont les plus faciles de tous les problèmes de domaine qui apparaissent dans l'examen d'État unifié de mathématiques. De plus, le cercle et le secteur sont toujours placés sur une grille de coordonnées. Par conséquent, pour savoir comment résoudre de tels problèmes, il suffit de regarder l'image :
Laissez le cercle d'origine avoir une aire S = 80. Ensuite, il peut être divisé en deux secteurs d'aire S = 40 chacun (voir étape 2). De même, chacun de ces « moitiés » de secteurs peut être à nouveau divisé en deux - nous obtenons quatre secteurs d'aire S = 20 chacun (voir étape 3). Enfin, nous pouvons diviser chacun de ces secteurs en deux autres - nous obtenons 8 secteurs « rebuts ». La superficie de chacun de ces « débris » sera S = 10.
Attention : il n'y a pas de partition plus petite dans aucun Tâche d'examen d'État unifié non en maths ! Ainsi, l'algorithme de résolution du problème B-3 est le suivant :
- Découpez le cercle original en 8 secteurs « chutes ». L'aire de chacun d'eux est exactement 1/8 de l'aire du cercle entier. Par exemple, si selon la condition le cercle a une aire S du cercle = 240, alors les « restes » ont une aire S = 240 : 8 = 30 ;
- Découvrez combien de « débris » tiennent dans le secteur d'origine, dont il faut trouver la superficie. Par exemple, si notre secteur contient 3 « débris » d'une aire de 30, alors l'aire du secteur souhaité est S = 3 · 30 = 90. Ce sera la réponse.
C'est tout! Le problème est résolu pratiquement oralement. Si quelque chose n’est toujours pas clair, achetez une pizza et coupez-la en 8 morceaux. Chacune de ces pièces sera le même secteur – des « chutes » qui peuvent être combinées en morceaux plus grands.
Examinons maintenant des exemples tirés de l'examen d'État unifié d'essai :
Tâche. Un cercle est dessiné sur du papier quadrillé d'une aire de 40. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
Ainsi, l'aire du cercle est de 40. Divisez-le en 8 secteurs - chacun avec une aire S = 40 : 5 = 8. Nous obtenons :
Évidemment, le secteur ombré est constitué exactement de deux secteurs « rebuts ». Son aire est donc 2 · 5 = 10. C'est toute la solution !
Tâche. Un cercle est dessiné sur du papier quadrillé d'une aire de 64. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
Encore une fois, divisez le cercle entier en 8 secteurs égaux. Évidemment, la superficie de l’un d’eux est exactement ce qu’il faut trouver. Son aire est donc S = 64 : 8 = 8.
Tâche. Un cercle est dessiné sur du papier quadrillé d'une aire de 48. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
Encore une fois, divisez le cercle en 8 secteurs égaux. L'aire de chacun d'eux est égale à S = 48 : 8 = 6. Le secteur requis contient exactement trois secteurs - « rebuts » (voir figure). Par conséquent, l'aire du secteur requis est de 3 6 = 18.
Bonjour les amis!DANS composition de l'examen d'État unifié mathématiquescomprend des tâches liées à la recherche de l'aire d'un cercle ou de ses parties (secteurs, éléments d'anneau). La figure est posée sur une feuille de papier selon un motif en damier. Dans certains problèmes, l'échelle de la cellule est donnée comme 1 × 1 centimètre, dans d'autres, elle n'est pas spécifiée - l'aire de l'élément du cercle ou du cercle lui-même est donnée.
Les tâches sont superficielles, vous devez vous souvenir de la formule de l'aire d'un cercle, être capable de déterminer visuellement (par cellules) le rayon du cercle, quelle proportion du cercle représente le secteur sélectionné. D'ailleurs, sur le blog sur le domaine du secteur. Son contenu n'a rien à voir avec la résolution des problèmes présentés ci-dessous, mais pour ceux qui veulent se souvenir de la formule de l'aire d'un cercle et de l'aire d'un secteur, elle sera très utile. Considérez les tâches (extraites de la banque de tâches ouverte) :
Trouvez (en cm 2) l'aire S de la figure représentée sur du papier quadrillé avec une cellule de 1 cm x 1 cm. Écrivez S/l dans votre réponse.
Afin d'obtenir l'aire d'une figure (anneau), il est nécessaire de soustraire l'aire d'un cercle de rayon 1 de l'aire d'un cercle de rayon 2. La formule de l'aire de un cercle est :
Moyens,
Divisez le résultat par Pi et notez la réponse.
Réponse : 3
Deux cercles sont dessinés sur du papier quadrillé. L'aire du cercle intérieur est de 51. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
L'aire de la figure ombrée peut être trouvée en calculant la différence entre l'aire du plus grand cercle et l'aire du plus petit. Déterminons combien de fois l'aire du plus grand diffère de l'aire du plus petit. Soit le rayon du plus petit égal à R, alors son aire est égale à :
Le rayon du plus grand cercle est deux fois plus grand (visible par les cellules). Son aire est donc égale à :
Nous avons constaté que sa superficie est 4 fois plus grande.
Il est donc égal à 51∙4 = 204 cm 2
Ainsi, l'aire de la figure ombrée est de 204 – 51 = 153 cm 2.
*Deuxième méthode. Il était possible de calculer le rayon du petit cercle, puis de déterminer le rayon du plus grand. Ensuite, trouvez l'aire du plus grand et calculez l'aire de la figure souhaitée.
Deux cercles sont dessinés sur du papier quadrillé. L'aire du cercle intérieur est de 1. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
Ce problème n'est pratiquement pas différent du précédent dans sa solution ; la seule différence est que les cercles ont des centres différents.
Malgré le fait qu'il soit clair que le rayon du plus grand cercle est 2 fois supérieur au rayon plus petit, je vous conseille de désigner la taille de la cellule avec la variable x (x).
Aussi bien que dedans tâche précédente, déterminons combien de fois l'aire du plus grand diffère de l'aire du plus petit. Exprimons l'aire du plus petit cercle, puisque son rayon est 3x :
Exprimons l'aire du plus grand cercle, puisque son rayon est 6x :
Comme vous pouvez le voir, l'aire du plus grand cercle est 4 fois plus grande.
Il est donc égal à 1∙4 = 4 cm 2
Ainsi, l'aire de la figure ombrée est de 4 – 1 = 3 cm 2.
Réponse : 3
Deux cercles sont dessinés sur du papier quadrillé. L'aire du cercle intérieur est de 9. Trouvez l'aire de la figure ombrée.
Notons la taille de la cellule par la variable x (x).
Déterminons combien de fois l'aire du plus grand cercle diffère de l'aire du plus petit. Exprimons l'aire du plus petit cercle. Puisque son rayon est de 3∙ x, alors
Exprimons l'aire du plus grand cercle. Puisque son rayon est de 4∙ x, alors
Divisez l'aire du plus grand par l'aire du plus petit :
C'est-à-dire que l'aire du plus grand cercle est de 16/9 fois plus de superficie moins, donc il est égal à :
Ainsi, l'aire de la figure ombrée est de 16 – 9 = 7 cm 2.
*Deuxième méthode.
Calculons le rayon du plus petit cercle. Son aire est de 9, ce qui signifie
Trouvons la taille de la cellule et nous pourrons ensuite déterminer le rayon du plus grand cercle. La taille de la cellule est :
Puisque le rayon du plus grand cercle correspond à 4 cellules, son rayon sera égal à :
Déterminez l'aire du plus grand cercle :
Trouvez la différence : 16 – 9 = 7 cm 2
Réponse : 7
Un cercle d'une aire de 48 est dessiné sur du papier quadrillé. Trouvez l'aire du secteur ombré.
Dans ce problème, il est évident que la partie ombrée représente la moitié de l'aire du cercle entier, c'est-à-dire égale à 24.
Réponse : 24
Un bref résumé.
Dans les problèmes liés à l'aire d'un secteur de cercle, il est nécessaire de pouvoir déterminer quelle proportion il représente par rapport à l'aire du cercle. Ce n'est pas difficile à faire, car dans de tels problèmes angle central le secteur est un multiple de 30 ou 45.
Dans les problèmes liés à la recherche des aires des éléments de l'anneau, il existe différentes façons pour la solution, les deux sont affichés dans les problèmes résolus. La méthode dans laquelle la taille de la cellule est indiquée par la variable x, puis les rayons sont déterminés, est plus universelle.
Mais le plus important est de ne pas mémoriser ces méthodes. Vous pouvez trouver une troisième et une quatrième solution. L'essentiel est de connaître la formule de l'aire d'un cercle et d'être capable de raisonner logiquement.
C'est tout. Bonne chance à toi!
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
