Niveau moyen

Cercle et angle inscrit. Guide visuel (2019)

Termes de base.

Dans quelle mesure vous souvenez-vous de tous les noms associés au cercle ? Au cas où, rappelons-le - regardez les photos - rafraîchissez vos connaissances.

Premièrement - Le centre d'un cercle est un point à partir duquel les distances de tous les points du cercle sont les mêmes.

Deuxièmement - rayon - un segment de droite reliant le centre et un point du cercle.

Il y a beaucoup de rayons (autant qu'il y a de points sur le cercle), mais Tous les rayons ont la même longueur.

Parfois pour faire court rayon ils l'appellent exactement longueur du segment« le centre est un point du cercle » et non le segment lui-même.

Et voici ce qui se passe si vous connectez deux points sur un cercle? Également un segment ?

Ce segment s’appelle donc "accord".

Tout comme dans le cas du rayon, le diamètre est souvent la longueur d'un segment reliant deux points d'un cercle et passant par le centre. Au fait, quel est le rapport entre le diamètre et le rayon ? Regarde attentivement. Bien sûr, rayon égal à la moitié diamètre

En plus des accords, il y a aussi sécantes.

Vous vous souvenez de la chose la plus simple ?

L'angle au centre est l'angle entre deux rayons.

Et maintenant - l'angle inscrit

Angle inscrit - l'angle entre deux cordes qui se coupent en un point d'un cercle.

Dans ce cas, on dit que l'angle inscrit repose sur un arc (ou sur une corde).

Regarde l'image:

Mesures d'arcs et d'angles.

Circonférence. Les arcs et les angles sont mesurés en degrés et en radians. Tout d’abord, à propos des diplômes. Il n'y a aucun problème pour les angles - vous devez apprendre à mesurer l'arc en degrés.

La mesure en degrés (taille de l'arc) est la valeur (en degrés) de l'angle central correspondant

Que signifie ici le mot « approprié » ? Regardons attentivement :

Voyez-vous deux arcs et deux angles centraux ? Eh bien, cela correspond à un arc plus grand angle plus grand(et c'est bien qu'il soit plus grand), et un arc plus petit correspond à un angle plus petit.

Nous sommes donc d’accord : l’arc contient le même nombre de degrés que l’angle au centre correspondant.

Et maintenant, parlons de ce qui fait peur : les radians !

Quel genre de bête est ce « radian » ?

Imagine ça: Les radians sont une façon de mesurer les angles... en rayons !

Un angle mesurant les radians est comme ça angle central, dont la longueur de l'arc est égale au rayon du cercle.

Alors la question se pose : combien y a-t-il de radians dans un angle droit ?

En d’autres termes : combien de rayons « tiennent » dans un demi-cercle ? Ou d’une autre manière : combien de fois la longueur d’un demi-cercle ? supérieur au rayon?

Les scientifiques ont posé cette question dès la Grèce antique.

Et ainsi, après une longue recherche, ils ont découvert que le rapport entre la circonférence et le rayon ne voulait pas être exprimé en nombres « humains » comme, etc.

Et il n’est même pas possible d’exprimer cette attitude à travers les racines. Autrement dit, il s'avère qu'il est impossible de dire qu'un demi-cercle est plusieurs fois ou plusieurs fois plus grand que le rayon ! Pouvez-vous imaginer à quel point c'était incroyable pour les gens de découvrir cela pour la première fois ?! Pour le rapport entre la longueur d'un demi-cercle et le rayon, les nombres « normaux » n'étaient pas suffisants. J'ai dû saisir une lettre.

Donc, c'est un nombre exprimant le rapport entre la longueur du demi-cercle et le rayon.

Nous pouvons maintenant répondre à la question : combien y a-t-il de radians dans un angle droit ? Il contient des radians. Précisément parce que la moitié du cercle est plusieurs fois plus grande que le rayon.

Des peuples anciens (et moins anciens) à travers les siècles (!) j'ai essayé de le calculer avec plus de précision numéro mystérieux, il vaut mieux l’exprimer (au moins approximativement) par des nombres « ordinaires ». Et maintenant, nous sommes incroyablement paresseux - deux signes après une journée bien remplie nous suffisent, nous avons l'habitude de

Pensez-y, cela signifie, par exemple, que la longueur d'un cercle de rayon un est à peu près égale, mais cette longueur exacte est tout simplement impossible à écrire avec un nombre « humain » - vous avez besoin d'une lettre. Et puis cette circonférence sera égale. Et bien sûr, la circonférence du rayon est égale.

Revenons aux radians.

Nous avons déjà découvert qu'un angle droit contient des radians.

Ce que nous avons:

Cela signifie que je suis content, c'est-à-dire que je suis content. De la même manière, on obtient une plaque avec les angles les plus populaires.

La relation entre les valeurs des angles inscrits et centraux.

Il y a un fait étonnant :

L'angle inscrit est la moitié de la taille de l'angle central correspondant.

Regardez à quoi ressemble cette déclaration sur l’image. Un angle central « correspondant » est un angle dont les extrémités coïncident avec les extrémités de l’angle inscrit et dont le sommet est au centre. Et en même temps, l'angle central « correspondant » doit « regarder » la même corde () que l'angle inscrit.

Pourquoi cela est-il ainsi? Voyons cela d'abord cas simple. Laissez l'un des accords passer par le centre. Ça arrive comme ça parfois, non ?

Que se passe t-il ici? Considérons. Il est isocèle - après tout, et - rayons. Alors, (les a étiquetés).

Maintenant, regardons. C'est le coin extérieur pour ! N'oubliez pas que le coin extérieur égale aux sommes deux internes, non adjacents, et écrivez :

C'est! Effet inattendu. Mais il y a aussi un angle central pour l’inscrit.

Cela signifie que dans ce cas, ils ont prouvé que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit. Mais ça fait trop mal cas particulier: N’est-il pas vrai que l’accord ne passe pas toujours directement par le centre ? Mais ce n’est pas grave, maintenant ce cas particulier va beaucoup nous aider. Regardez : deuxième cas : laissez le centre se trouver à l'intérieur.

Faisons ceci : dessinez le diamètre. Et puis... nous voyons deux images qui ont déjà été analysées dans le premier cas. Donc nous l'avons déjà

Cela signifie (sur le dessin, a)

Eh bien, je suis resté dernier cas: centre à l'extérieur du coin.

Nous faisons la même chose : dessinons le diamètre passant par la pointe. Tout est pareil, mais au lieu d’une somme, il y a une différence.

C'est tout!

Formons maintenant deux principaux et très conséquences importantes de l'affirmation selon laquelle l'angle inscrit est la moitié de l'angle central.

Corollaire 1

Tous les angles inscrits basés sur un arc sont égaux les uns aux autres.

Nous illustrons :

Il existe d'innombrables angles inscrits basés sur le même arc (nous avons cet arc), ils peuvent paraître complètement différents, mais ils ont tous le même angle central (), ce qui signifie que tous ces angles inscrits sont égaux entre eux.

Corollaire 2

L'angle sous-tendu par le diamètre est un angle droit.

Regardez : quel angle est central ?

Certainement, . Mais il est égal ! Eh bien, donc (ainsi que de nombreux autres angles inscrits reposant sur) et est égal.

Angle entre deux cordes et sécantes

Mais que se passe-t-il si l'angle qui nous intéresse n'est PAS inscrit ni central, mais, par exemple, comme ceci :

ou comme ça ?

Est-il possible de l’exprimer d’une manière ou d’une autre à travers certains angles centraux ? Il s'avère que c'est possible. Regardez : nous sommes intéressés.

a) (comme coin extérieur pour). Mais - inscrit, repose sur l'arc -. - inscrit, repose sur l'arc - .

Pour la beauté, ils disent :

L'angle entre les cordes est égal à la moitié de la somme des valeurs angulaires des arcs compris dans cet angle.

Ils écrivent ceci par souci de concision, mais bien sûr, lorsque vous utilisez cette formule, vous devez garder à l'esprit les angles centraux.

b) Et maintenant - « dehors » ! Comment être? Oui, presque pareil ! Seulement maintenant (encore une fois, nous appliquons la propriété de l'angle externe pour). C'est maintenant.

Et cela veut dire... Apportons beauté et brièveté aux notes et au libellé :

L'angle entre les sécantes est égal à la moitié de la différence des valeurs angulaires des arcs compris dans cet angle.

Eh bien, vous disposez désormais de toutes les connaissances de base sur les angles liés à un cercle. Allez-y, relevez les défis !

CERCLE ET ANGLE INSINALÉ. NIVEAU MOYEN

Même un enfant de cinq ans sait ce qu'est un cercle, n'est-ce pas ? Les mathématiciens, comme toujours, ont une définition abstruse à ce sujet, mais nous ne la donnerons pas (voir), mais rappelons plutôt comment s'appellent les points, les droites et les angles associés à un cercle.

Conditions importantes

Premièrement:

Deuxièmement:

Il existe une autre expression acceptée : « la corde contracte l’arc ». Ici, sur la figure, par exemple, la corde sous-tend l'arc. Et si un accord passe soudainement par le centre, alors il a nom spécial: "diamètre".

Au fait, quel est le rapport entre le diamètre et le rayon ? Regarde attentivement. Bien sûr,

Et maintenant – les noms des coins.

Naturel, n'est-ce pas ? Les côtés de l’angle s’étendent à partir du centre, ce qui signifie que l’angle est central.

C'est là que surgissent parfois des difficultés. Faites attention - AUCUN angle à l’intérieur d’un cercle n’est inscrit, mais seulement un dont le sommet « repose » sur le cercle lui-même.

Voyons la différence sur les photos :

Une autre façon de dire :

Il y a ici un point délicat. Quel est l’angle central « correspondant » ou « propre » ? Juste un angle avec le sommet au centre du cercle et les extrémités aux extrémités de l'arc ? Pas certainement de cette façon. Regardez le dessin.

Cependant, l’un d’eux ne ressemble même pas à un coin : il est plus grand. Mais un triangle ne peut pas avoir plus d’angles, mais un cercle le peut très bien ! Donc : le plus petit arc AB correspond à un angle plus petit (orange), et le plus grand arc correspond à un plus grand. Juste comme ça, n'est-ce pas ?

La relation entre les grandeurs des angles inscrit et central

Souvenez-vous de cette déclaration très importante :

Dans les manuels scolaires, ils aiment écrire ce même fait comme ceci :

N'est-il pas vrai que la formulation est plus simple avec un angle central ?

Mais quand même, trouvons une correspondance entre les deux formulations, et apprenons en même temps à retrouver dans les dessins l'angle central « correspondant » et l'arc sur lequel « repose » l'angle inscrit.

Regardez : voici un cercle et un angle inscrit :

Où est son angle central « correspondant » ?

Regardons à nouveau :

Quelle est la règle ?

Mais! Dans ce cas, il est important que les angles inscrits et centraux « regardent » l'arc d'un côté. Par exemple:

Bizarrement, le bleu ! Parce que l’arc est long, plus long que la moitié du cercle ! Alors ne vous trompez jamais !

Quelle conséquence peut-on déduire de la « moitié » de l’angle inscrit ?

Mais par exemple :

Angle sous-tendu par diamètre

Vous avez déjà remarqué que les mathématiciens aiment parler des mêmes choses. en des mots différents? Pourquoi ont-ils besoin de ça ? Voyez-vous, le langage des mathématiques, bien que formel, est vivant et, par conséquent, comme dans langage ordinaire, à chaque fois, j'ai envie de le dire d'une manière plus pratique. Eh bien, nous avons déjà vu ce que signifie « un angle repose sur un arc ». Et imaginez, la même image s’appelle « un angle repose sur une corde ». Sur quoi? Oui, bien sûr, à celui qui resserre cet arc !

Quand est-il plus pratique de s'appuyer sur une corde que sur un arc ?

Eh bien, en particulier lorsque cette corde est un diamètre.

Il existe une déclaration étonnamment simple, belle et utile pour une telle situation !

Regardez : voici le cercle, le diamètre et l'angle qui repose dessus.

CERCLE ET ANGLE INSINALÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

1. Concepts de base.

3. Mesures des arcs et des angles.

Un angle en radians est un angle au centre dont la longueur de l'arc est égale au rayon du cercle.

C'est un nombre qui exprime le rapport entre la longueur d'un demi-cercle et son rayon.

La circonférence du rayon est égale à.

4. La relation entre les valeurs des angles inscrits et centraux.

Le concept d'angle inscrit et central

Introduisons d’abord la notion d’angle central.

Note 1

Noter que la mesure en degrés d'un angle au centre est égale à la mesure en degrés de l'arc sur lequel il repose.

Introduisons maintenant la notion d'angle inscrit.

Définition 2

Un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés coupent le même cercle est appelé angle inscrit (Fig. 2).

Figure 2. Angle inscrit

Théorème de l'angle inscrit

Théorème 1

La mesure en degré d'un angle inscrit est égale à la moitié mesure de degré l'arc sur lequel il repose.

Preuve.

Donnons-nous un cercle dont le centre est le point $O$. Notons l'angle inscrit $ACB$ (Fig. 2). Les trois cas suivants sont possibles :

• Le rayon $CO$ coïncide avec n'importe quel côté de l'angle. Soit ce côté $CB$ (Fig. 3).

Figure 3.

Dans ce cas, l'arc $AB$ est inférieur à $(180)^(()^\circ )$, donc l'angle au centre $AOB$ est égal à l'arc $AB$. Puisque $AO=OC=r$, alors le triangle $AOC$ est isocèle. Cela signifie que les angles de base $CAO$ et $ACO$ sont égaux l'un à l'autre. Par le théorème de angle externe triangle, on a :

• La poutre $CO$ se divise coin interne sous deux angles. Laissez-le couper le cercle au point $D$ (Fig. 4).

Graphique 4.

On a

• Le rayon $CO$ ne divise pas l'angle intérieur en deux angles et ne coïncide avec aucun de ses côtés (Fig. 5).

Graphique 5.

Considérons les angles $ACD$ et $DCB$ séparément. D’après ce qui a été démontré au point 1, on obtient

On a

Le théorème a été prouvé.

Donne moi conséquences de ce théorème.

Corollaire 1 : Les angles inscrits qui reposent sur le même arc sont égaux entre eux.

Corollaire 2 : Un angle inscrit qui sous-tend un diamètre est un angle droit.

Angle central est un angle dont le sommet est au centre du cercle.
Angle inscrit- un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés le coupent.

La figure montre les angles centraux et inscrits, ainsi que leurs propriétés les plus importantes.

Donc, la grandeur de l'angle central est égale à la grandeur angulaire de l'arc sur lequel il repose. Cela signifie qu'un angle au centre de 90 degrés reposera sur un arc égal à 90°, c'est-à-dire un cercle. L'angle au centre, égal à 60°, repose sur un arc de 60 degrés, c'est-à-dire sur la sixième partie du cercle.

La grandeur de l'angle inscrit est deux fois inférieure à l'angle central basé sur le même arc.

De plus, pour résoudre des problèmes, nous aurons besoin du concept « d’accord ».

Des angles centraux égaux sous-tendent des accords égaux.

1. Quel est l’angle inscrit sous-tendu par le diamètre du cercle ? Donnez votre réponse en degrés.

Un angle inscrit sous-tendu par un diamètre est un angle droit.

2. L'angle au centre est de 36° plus grand que l'angle aigu inscrit sous-tendu par le même arc de cercle. Trouvez l’angle inscrit. Donnez votre réponse en degrés.

Soit l'angle au centre égal à x, et l'angle inscrit sous-tendu par le même arc soit égal à y.

On sait que x = 2y.
Donc 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Le rayon du cercle est égal à 1. Trouvez la valeur de l'angle inscrit obtus sous-tendu par la corde, égal à . Donnez votre réponse en degrés.

Soit la corde AB égale à . L'angle inscrit obtus basé sur cette corde sera noté α.
Dans le triangle AOB, les côtés AO et OB sont égaux à 1, le côté AB est égal à . Nous avons déjà rencontré de tels triangles. Évidemment, le triangle AOB est rectangulaire et isocèle, c'est-à-dire que l'angle AOB est de 90°.
Alors l'arc ACB est égal à 90°, et l'arc AKB est égal à 360° - 90° = 270°.
L'angle inscrit α est basé sur l'arc AKB et est égal à la moitié magnitude angulaire de cet arc, soit 135°.

Réponse : 135.

4. L'accord AB divise le cercle en deux parties dont les valeurs en degrés sont dans le rapport 5:7. Sous quel angle cette corde est-elle visible depuis le point C, qui appartient au plus petit arc de cercle ? Donnez votre réponse en degrés.

L'essentiel dans cette tâche est le dessin et la compréhension corrects des conditions. Comment comprenez-vous la question : « Sous quel angle la corde est-elle visible depuis le point C ?
Imaginez que vous êtes assis au point C et que vous avez besoin de voir tout ce qui se passe sur l'accord AB. C'est comme si l'accord AB était un écran dans une salle de cinéma :-)
Évidemment, vous devez trouver l’angle ACB.
La somme des deux arcs en lesquels la corde AB divise le cercle est égale à 360°, soit
5x + 7x = 360°
Donc x = 30°, et alors l'angle inscrit ACB repose sur un arc égal à 210°.
La grandeur de l'angle inscrit est égale à la moitié de la grandeur angulaire de l'arc sur lequel il repose, ce qui signifie que l'angle ACB est égal à 105°.

La planimétrie est une branche de la géométrie qui étudie les propriétés chiffres plats. Ceux-ci incluent non seulement tout le monde triangles célèbres, des carrés, des rectangles, mais aussi des lignes droites et des angles. En planimétrie, il existe également des notions telles que les angles dans un cercle : centraux et inscrits. Mais que veulent-ils dire ?

Qu'est-ce qu'un angle central ?

Afin de comprendre ce qu’est un angle central, vous devez définir un cercle. Un cercle est l'ensemble de tous les points équidistants d'un point donné (le centre du cercle).

Il est très important de le distinguer d'un cercle. Vous devez vous rappeler qu'un cercle est une ligne fermée et qu'un cercle fait partie d'un plan délimité par celle-ci. Un polygone ou un angle peut être inscrit dans un cercle.

Un angle au centre est un angle dont le sommet coïncide avec le centre du cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux points. L'arc qu'un angle limite par ses points d'intersection est appelé l'arc sur lequel repose l'angle donné.

Regardons l'exemple n°1.

Dans l'image, l'angle AOB est central, car le sommet de l'angle et le centre du cercle sont un point O. Il repose sur l'arc AB, qui ne contient pas le point C.

En quoi un angle inscrit diffère-t-il d’un angle central ?

Cependant, en plus des angles centraux, il existe également des angles inscrits. Quelle est leur différence ? Tout comme l'angle au centre, l'angle inscrit dans le cercle repose sur un certain arc. Mais son sommet ne coïncide pas avec le centre du cercle, mais se trouve dessus.

Donne moi exemple suivant.

L'angle ACB est appelé angle inscrit dans un cercle dont le centre est le point O. Le point C appartient au cercle, c'est-à-dire qu'il se trouve dessus. L'angle repose sur l'arc AB.

Pour résoudre avec succès les problèmes de géométrie, il ne suffit pas de pouvoir distinguer les angles inscrits des angles centraux. En règle générale, pour les résoudre, vous devez savoir exactement comment trouver l'angle au centre d'un cercle et être capable de calculer sa valeur en degrés.

Ainsi, l’angle au centre est égal à la mesure en degrés de l’arc sur lequel il repose.

Sur la photo, l'angle AOB repose sur l'arc AB égal à 66°. Cela signifie que l'angle AOB est également de 66°.

Ainsi, les angles centraux sous-tendus par arcs égaux, sont égaux.

Sur la figure, l’arc DC est égal à l’arc AB. Alors angle AOB égal à l'angle DOC.

Il peut sembler que l'angle inscrit dans le cercle est égal à l'angle au centre qui repose sur le même arc. Il s’agit cependant d’une grave erreur. En fait, même en regardant le dessin et en comparant ces angles entre eux, vous pouvez voir que leurs mesures en degrés auront différentes significations. Alors, quel est l’angle inscrit dans un cercle ?

La mesure en degrés d'un angle inscrit est égale à la moitié de l'arc sur lequel il repose, ou à la moitié de l'angle au centre s'ils reposent sur le même arc.

Regardons un exemple. L'angle ASV repose sur un arc égal à 66°.

Cela signifie que l'angle ACB = 66° : 2 = 33°

Considérons quelques conséquences de ce théorème.

• Les angles inscrits, s'ils sont basés sur le même arc, la même corde ou des arcs égaux, sont égaux.
• Si les angles inscrits reposent sur une corde, mais que leurs sommets se trouvent le long différents côtésà partir de là, la somme des mesures en degrés de ces angles est de 180°, puisque dans ce cas les deux angles reposent sur des arcs dont la mesure en degrés au total est de 360° (le cercle entier), 360° : 2 = 180°
• Si un angle inscrit est basé sur le diamètre d'un cercle donné, sa mesure en degrés est de 90°, puisque le diamètre sous-tend un arc égal à 180°, 180° : 2 = 90°
• Si les angles central et inscrit dans un cercle reposent sur le même arc ou corde, alors l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle central.

Où peut-on trouver des problèmes sur ce sujet ? Leurs types et solutions

Étant donné que le cercle et ses propriétés constituent l'une des sections les plus importantes de la géométrie, en particulier de la planimétrie, les angles inscrits et centraux dans un cercle sont un sujet largement et en détail étudié dans cours scolaire. Les problèmes consacrés à leurs propriétés se retrouvent principalement Examen d'état(OGE) et l'examen d'État unifié (USE). En règle générale, pour résoudre ces problèmes, vous devez trouver les angles d’un cercle en degrés.

Angles basés sur un arc

Ce type de problème est peut-être l'un des plus simples, car pour le résoudre, il suffit de connaître deux propriétés simples: si les deux angles sont inscrits et reposent sur la même corde, ils sont égaux ; si l'un d'eux est central, alors l'angle inscrit correspondant est égal à la moitié de celui-ci ; Cependant, lors de leur résolution, vous devez être extrêmement prudent : il est parfois difficile de remarquer cette propriété et les étudiants se retrouvent dans une impasse lorsqu'ils résolvent des problèmes aussi simples. Regardons un exemple.

Tâche n°1

Étant donné un cercle dont le centre est le point O. L'angle AOB est de 54°. Trouvez la mesure en degré de l'angle ASV.

Cette tâche est résolue en une seule action. La seule chose dont vous avez besoin pour trouver rapidement la réponse est de remarquer que l’arc sur lequel reposent les deux angles est commun. Après avoir vu cela, vous pouvez appliquer une propriété déjà familière. L'angle ACB est égal à la moitié de l'angle AOB. Moyens,

1) AOB = 54° : 2 = 27°.

Réponse : 54°.

Angles sous-tendus par différents arcs du même cercle

Parfois, les conditions problématiques n’indiquent pas directement la taille de l’arc sur lequel repose l’angle souhaité. Pour le calculer, vous devez analyser l'amplitude de ces angles et les comparer avec propriétés connues cercles.

Problème 2

Dans un cercle de centre au point O, l'angle AOC est de 120° et l'angle AOB est de 30°. Trouvez l'angle de VOUS.

Pour commencer, il convient de dire qu'il est possible de résoudre ce problème en utilisant les propriétés triangles isocèles, cependant, cela nécessitera d'exécuter grande quantité opérations mathématiques. Par conséquent, nous fournirons ici une analyse de la solution en utilisant les propriétés des angles centraux et inscrits dans un cercle.

Ainsi, l’angle AOS repose sur l’arc AC et est central, ce qui signifie que l’arc AC est égal à l’angle AOS.

De la même manière, l'angle AOB repose sur l'arc AB.

Connaissant cela et la mesure en degrés du cercle entier (360°), vous pouvez facilement trouver la magnitude de l'arc BC.

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

Le sommet de l'angle CAB, le point A, se trouve sur le cercle. Cela signifie que l'angle CAB est un angle inscrit et est égal à la moitié de l'arc NE.

Angle CAB = 210° : 2 = 110°

Réponse : 110°

Problèmes basés sur la relation des arcs

Certains problèmes ne contiennent pas du tout de données sur les valeurs d'angle, vous devez donc les rechercher uniquement en fonction de théorèmes célèbres et les propriétés d'un cercle.

Problème 1

Trouver l'angle inscrit dans le cercle qui sous-tend la corde, égal au rayon cercle donné.

Si vous tracez mentalement des lignes reliant les extrémités du segment au centre du cercle, vous obtiendrez un triangle. Après l'avoir examiné, vous pouvez voir que ces lignes sont les rayons du cercle, ce qui signifie que tous les côtés du triangle sont égaux. On sait que tous les angles triangle équilatéralégal à 60°. Cela signifie que l'arc AB contenant le sommet du triangle est égal à 60°. De là, nous trouvons l’arc AB sur lequel repose l’angle souhaité.

AB = 360° - 60° = 300°

Angle ABC = 300° : 2 = 150°

Réponse : 150°

Problème 2

Dans un cercle dont le centre est le point O, les arcs sont dans un rapport de 3:7. Trouvez le plus petit angle inscrit.

Pour résoudre, désignons une partie par X, puis un arc est égal à 3X et le second, respectivement, est 7X. Sachant que la mesure en degrés d'un cercle est de 360°, créons une équation.

3X + 7X = 360°

Selon la condition, vous devez trouver un angle plus petit. Évidemment, si la grandeur de l'angle est directement proportionnelle à l'arc sur lequel il repose, alors l'angle souhaité (plus petit) correspond à un arc égal à 3X.

Cela signifie que le plus petit angle est (36° * 3) : 2 = 108° : 2 = 54°

Réponse : 54°

Dans un cercle dont le centre est le point O, l'angle AOB est de 60° et la longueur du plus petit arc est de 50. Calculez la longueur du plus grand arc.

Afin de calculer la longueur d'un arc plus grand, vous devez créer une proportion - comment l'arc le plus petit est lié au plus grand. Pour ce faire, nous calculons la magnitude des deux arcs en degrés. Le plus petit arc est égal à l'angle qui repose sur lui. Sa mesure en degrés sera de 60°. L'arc majeur est égal à la différence entre la mesure en degrés du cercle (elle est égale à 360° quelles que soient les autres données) et l'arc mineur.

L'arc majeur est de 360° - 60° = 300°.

Puisque 300° : 60° = 5, le plus grand arc est 5 fois plus grand que le plus petit.

Grand arc = 50 * 5 = 250

Alors bien sûr, il existe d’autres approches pour résoudre tâches similaires, mais tous sont d'une manière ou d'une autre basés sur les propriétés des angles centraux et inscrits, des triangles et des cercles. Afin de les résoudre avec succès, vous devez étudier attentivement le dessin et le comparer avec les données du problème, ainsi que pouvoir appliquer votre connaissance théorique sur la pratique.

CERCLE ET CERCLE. CYLINDRE.

§ 76. INSCRIT ET QUELQUES AUTRES ANGLES.

1. Angle inscrit.

Un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés sont des cordes est appelé angle inscrit.

L'angle ABC est un angle inscrit. Il repose sur l'arc AC, enfermé entre ses côtés (fig. 330).

Théorème. Un angle inscrit se mesure par la moitié de l'arc sur lequel il sous-tend.

Il faut comprendre cela ainsi : un angle inscrit contient autant de degrés angulaires, de minutes et de secondes qu'il y a de degrés d'arc, de minutes et de secondes contenus dans la moitié de l'arc sur laquelle il repose.

Pour prouver ce théorème, trois cas doivent être considérés.

Premier cas. Le centre du cercle se trouve du côté de l'angle inscrit (Fig. 331).

Laisser / ABC est un angle inscrit et le centre du cercle O se trouve du côté BC. Il faut prouver qu'il est mesuré par la moitié de l'arc AC.

Relions le point A au centre du cercle. On obtient un isocèle /\ AOB, dans lequel
AO = OB, comme les rayons du même cercle. Ainsi, / UNE = / DANS. / AOC est externe au triangle AOB, donc / AOC = / A+ / B (§ 39, paragraphe 2), et puisque les angles A et B sont égaux, alors / B est 1/2 / AOC.

Mais / AOC est mesuré par l'arc AC, donc, / B est mesuré par la moitié de l'arc AC.

Par exemple, si AC contient 60° 18", alors / B contient 30°9".

Deuxième cas. Le centre du cercle se situe entre les côtés de l'angle inscrit (Fig. 332).

Laisser / ABD - angle inscrit. Le centre du cercle O se situe entre ses côtés. Il est nécessaire de prouver que / ABD est mesuré par la moitié de l’arc AD.

Pour le prouver, dessinons le diamètre du soleil. L'angle ABD est divisé en deux angles : / 1 et / 2.

/ 1 est mesuré par un demi-arc AC, et / 2 est mesuré par la moitié de l'arc CD, donc la totalité / ABD est mesuré par 1/2 AC + 1/2 CD, soit la moitié de l'arc AD.
Par exemple, si AD contient 124°, alors / B contient 62°.

Troisième cas. Le centre du cercle se trouve en dehors de l'angle inscrit (Fig. 333).

Laisser / MAD - angle inscrit. Le centre du cercle O est à l’extérieur du coin. Il est nécessaire de prouver que / MAD est mesuré par la moitié de l'arc MD.

Pour le prouver, dessinons le diamètre AB. / MAD = / MAV- / TOUCHE. Mais / MAV est mesuré à 1/2 MV, et / Le DAB est mesuré en 1/2 DB. Ainsi, / MAD est mesuré
1/2 (Mo - DB), soit 1/2 MD.
Par exemple, si MD contient 48° 38"16", alors / MAD contient 24° 19" 8".

Conséquences. 1. Tous les angles inscrits sous-tendant le même arc sont égaux entre eux, puisqu'ils sont mesurés par la moitié du même arc. (Figure 334, a).

2. Un angle inscrit sous-tendu par un diamètre est un angle droit, puisqu'il sous-tend un demi-cercle. Un demi-cercle contient 180 degrés d'arc, ce qui signifie que l'angle basé sur le diamètre contient 90 degrés d'arc (Fig. 334, b).

2. L'angle formé par une tangente et une corde.

Théorème. L'angle formé par une tangente et une corde se mesure par la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Laisser / CAB est composé de la corde CA et de la tangente AB (Fig. 335). Il est nécessaire de prouver qu'il est mesuré par la moitié du SA. Traçons une droite CD passant par le point C || UN B. Inscrit / ACD se mesure par la moitié de l'arc AD, mais AD = CA, puisqu'ils sont contenus entre la tangente et la corde qui lui est parallèle. Ainsi, / Le DCA est mesuré par la moitié de l’arc de CA. Depuis cela / CAB = / DCA, puis il est mesuré par la moitié de l'arc CA.

Des exercices.

1. Dans le dessin 336, trouvez les tangentes au cercle des blocs.

2. D'après le dessin 337, prouver que l'angle ADC est mesuré par la moitié de la somme des arcs AC et BC.

3. À l'aide du dessin 337, b, prouvez que l'angle AMB se mesure par la demi-différence des arcs AB et CE.

4. À l'aide d'un triangle de dessin, tracez une corde passant par le point A, qui se trouve à l'intérieur du cercle, de manière à ce qu'il se divise en deux au point A.

5. À l'aide d'un triangle dessiné, divisez l'arc en 2, 4, 8... parties égales.

6. Décrivez un cercle passant par deux points donnés avec un rayon donné. Combien de solutions le problème a-t-il ?

7. Combien de cercles peuvent être tracés ce point?