D'un point de vue pratique, le plus grand intérêt est d'utiliser la dérivée pour trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction. A quoi est-ce lié ? Maximiser les profits, minimiser les coûts, déterminer la charge optimale des équipements... En d'autres termes, dans de nombreux domaines de la vie, nous devons résoudre des problèmes d'optimisation de certains paramètres. Et ce sont les tâches consistant à trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.
Il convient de noter que le plus grand et plus petite valeur les fonctions sont généralement recherchées sur un intervalle X, qui est soit le domaine entier de la fonction, soit une partie du domaine. L'intervalle X lui-même peut être un segment, un intervalle ouvert 
, un intervalle infini.
Dans cet article, nous parlerons de la recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction explicitement spécifiée d'une variable y=f(x) .
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La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction - définitions, illustrations.
Examinons brièvement les principales définitions.
La plus grande valeur de la fonction 
ça pour n'importe qui 
l’inégalité est vraie.
La plus petite valeur de la fonction y=f(x) sur l'intervalle X est appelé une telle valeur 
ça pour n'importe qui l’inégalité est vraie.
Ces définitions sont intuitives : la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction est la plus grande (la plus petite) valeur acceptée sur l'intervalle considéré en abscisse.
Points fixes– ce sont les valeurs de l'argument pour lesquelles la dérivée de la fonction devient nulle.
Pourquoi avons-nous besoin de points stationnaires pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites ? La réponse à cette question est donnée par le théorème de Fermat. De ce théorème il résulte que si une fonction différentiable a un extremum ( minimum local ou maximum local) en un certain point, alors ce point est stationnaire. Ainsi, la fonction prend souvent sa plus grande (plus petite) valeur sur l'intervalle X en l'un des points stationnaires de cet intervalle.
De plus, une fonction peut souvent prendre ses valeurs les plus grandes et les plus petites aux points où la dérivée première de cette fonction n'existe pas et la fonction elle-même est définie.
Répondons immédiatement à l’une des questions les plus courantes sur ce sujet : « Est-il toujours possible de déterminer la plus grande (la plus petite) valeur d’une fonction » ? Non, pas toujours. Parfois les limites de l'intervalle X coïncident avec les limites du domaine de définition de la fonction, ou l'intervalle X est infini. Et certaines fonctions à l'infini et aux limites du domaine de définition peuvent prendre à la fois des valeurs infiniment grandes et des valeurs infiniment petites. Dans ces cas, on ne peut rien dire sur la valeur la plus grande et la plus petite de la fonction.
Pour plus de clarté, nous donnerons une illustration graphique. Regardez les images et beaucoup de choses deviendront plus claires.
Sur le segment
Dans la première figure, la fonction prend les valeurs les plus grandes (max y) et les plus petites (min y) aux points stationnaires situés à l'intérieur du segment [-6;6].
Prenons le cas représenté dans la deuxième figure. Changeons le segment en . Dans cet exemple, la plus petite valeur de la fonction est obtenue en un point stationnaire, et la plus grande au point dont l'abscisse correspond à la limite droite de l'intervalle.
Sur la figure 3, les points limites du segment [-3;2] sont les abscisses des points correspondant à la plus grande et à la plus petite valeur de la fonction.
Sur un intervalle ouvert
Dans la quatrième figure, la fonction prend les valeurs les plus grandes (max y) et les plus petites (min y) aux points stationnaires situés à l'intérieur de l'intervalle ouvert (-6;6).
Sur l'intervalle, aucune conclusion ne peut être tirée sur la plus grande valeur.
À l'infini
Dans l'exemple représenté sur la septième figure, la fonction prend valeur la plus élevée(max y) en un point stationnaire d'abscisse x=1, et la plus petite valeur (min y) est obtenue sur la limite droite de l'intervalle. À moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de y=3.
Sur l'intervalle, la fonction n'atteint ni la plus petite ni la plus grande valeur. À mesure que x=2 s'approche de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers moins l'infini (la droite x=2 est asymptote verticale), et comme l'abscisse tend vers plus l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de y=3. Une illustration graphique de cet exemple est présentée à la figure 8.
Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue sur un segment.
Écrivons un algorithme qui nous permet de trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment.
- On retrouve le domaine de définition de la fonction et on vérifie si elle contient tout le segment.
- On retrouve tous les points auxquels la dérivée première n'existe pas et qui sont contenus dans le segment (généralement ces points se trouvent dans les fonctions avec un argument sous le signe du module et dans fonctions de puissance avec un exposant fractionnaire-rationnel). S'il n'y a pas de tels points, passez au point suivant.
- Nous déterminons tous les points stationnaires tombant dans le segment. Pour ce faire, nous l'assimilons à zéro, résolvons l'équation résultante et sélectionnons les racines appropriées. S'il n'y a pas de points fixes ou si aucun d'entre eux ne tombe dans le segment, passez au point suivant.
- Nous calculons les valeurs de la fonction en des points stationnaires sélectionnés (le cas échéant), en des points où la dérivée première n'existe pas (le cas échéant), ainsi qu'en x=a et x=b.
- À partir des valeurs obtenues de la fonction, nous sélectionnons la plus grande et la plus petite - ce seront respectivement les valeurs les plus grandes et les plus petites requises de la fonction.
Analysons l'algorithme de résolution d'un exemple pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment.
Exemple.
Trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction
- sur le segment ;
- sur le segment [-4;-1] .
Solution.
Le domaine d'une fonction est l'ensemble nombres réels, sauf zéro, c'est-à-dire . Les deux segments relèvent du domaine de définition.
Trouver la dérivée de la fonction par rapport à : 
Évidemment, la dérivée de la fonction existe en tout point des segments et [-4;-1].
Nous déterminons les points stationnaires à partir de l'équation. La seule vraie racine est x=2. Ce point stationnaire appartient au premier segment.
Pour le premier cas, on calcule les valeurs de la fonction aux extrémités du segment et au point stationnaire, c'est-à-dire pour x=1, x=2 et x=4 : 
Donc la plus grande valeur de la fonction 
est atteint à x=1, et la plus petite valeur 
– à x=2.
Pour le deuxième cas, on calcule les valeurs de la fonction uniquement aux extrémités du segment [-4;-1] (puisqu'il ne contient pas un seul point stationnaire) : 
Laissez la fonction y =F(X) est continue sur l'intervalle [ un B]. Comme on le sait, une telle fonction atteint ses valeurs maximales et minimales sur ce segment. La fonction peut prendre ces valeurs soit point interne segment [ un B], ou sur la limite du segment.
Pour trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur le segment [ un B] nécessaire:
1) trouver les points critiques de la fonction dans l'intervalle ( un B);
2) calculer les valeurs de la fonction aux points critiques trouvés ;
3) calculer les valeurs de la fonction aux extrémités du segment, c'est-à-dire lorsque X=UN et x = b;
4) parmi toutes les valeurs calculées de la fonction, sélectionnez la plus grande et la plus petite.
Exemple. Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction
sur le segment.
Trouver les points critiques :
Ces points se situent à l'intérieur du segment ; oui(1) = ‒ 3; oui(2) = ‒ 4; oui(0) = ‒ 8; oui(3) = 1;
à ce point X= 3 et au point X= 0.
Etude d'une fonction de convexité et de point d'inflexion.
Fonction oui = F (X) appelé convexe entre (un, b) , si son graphique se situe sous la tangente tracée en tout point de cet intervalle, et s'appelle convexe vers le bas (concave), si son graphique se situe au-dessus de la tangente.
Le point par lequel la convexité est remplacée par la concavité ou vice versa est appelé point d'inflexion.
Algorithme d'examen de la convexité et du point d'inflexion :
1. Trouvez les points critiques du deuxième type, c'est-à-dire les points auxquels la dérivée seconde est égale à zéro ou n'existe pas.
2. Tracez les points critiques sur la droite numérique, en la divisant en intervalles. Trouvez le signe de la dérivée seconde sur chaque intervalle ; si , alors la fonction est convexe vers le haut, si, alors la fonction est convexe vers le bas.
3. Si, en passant par un point critique de seconde espèce, le signe change et qu'à ce point la dérivée seconde est égale à zéro, alors ce point est l'abscisse du point d'inflexion. Trouvez son ordonnée.
Asymptotes du graphique d'une fonction. Etude d'une fonction pour les asymptotes.
Définition. L'asymptote du graphe d'une fonction s'appelle droit, qui a la propriété que la distance entre n'importe quel point du graphique et cette ligne tend vers zéro lorsque le point du graphique s'éloigne indéfiniment de l'origine.
Il existe trois types d'asymptotes : vertical, horizontal et incliné.
Définition. La ligne droite s'appelle asymptote verticale graphiques de fonctions y = f(x), si au moins une des limites unilatérales de la fonction en ce point est égale à l'infini, c'est-à-dire
où est le point de discontinuité de la fonction, c'est-à-dire qu'elle n'appartient pas au domaine de définition.
Exemple.
D ( oui) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 – point de rupture.
Définition. Droit y =UN appelé asymptote horizontale graphiques de fonctions y = f(x)à , si
Exemple.
|
X | |||
|
oui |
Définition. Droit y =kx +b (k≠ 0) est appelé asymptote oblique graphiques de fonctions y = f(x)à , où
Schéma général d'étude des fonctions et de construction de graphiques.
Algorithme de recherche fonctionnelley = f(x) :
1. Trouvez le domaine de la fonction D (oui).
2. Trouver (si possible) les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées (si X= 0 et à oui = 0).
3. Examinez la régularité et l'impair de la fonction ( oui (‒ X) = oui (X) ‒ parité; oui(‒ X) = ‒ oui (X) ‒ impair).
4. Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction.
5. Trouvez les intervalles de monotonie de la fonction.
6. Trouvez les extrema de la fonction.
7. Trouvez les intervalles de convexité (concavité) et les points d'inflexion du graphique de fonctions.
8. Sur la base des recherches effectuées, construisez un graphique de la fonction.
Exemple. Explorez la fonction et construisez son graphique.
1) D (oui) =
X= 4 – point de rupture.
2) Quand X = 0,
(0 ; ‒ 5) – point d'intersection avec Oh.
À oui = 0,
3)
oui(‒
X)=
fonction vue générale(ni pair, ni impair).
4) Nous recherchons les asymptotes.
a) verticale
b) horizontale
c) trouver les asymptotes obliques où
‒équation asymptote oblique
5)B équation donnée il n'est pas nécessaire de trouver des intervalles de monotonie de la fonction.
6)
Ces points critiques divisent tout le domaine de définition de la fonction en l'intervalle (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) et (10; +∞). Il convient de présenter les résultats obtenus sous la forme du tableau suivant.
Soit la fonction $z=f(x,y)$ définie et continue dans un certain zone fermée$D$. Supposons que la fonction donnée dans cette région ait des dérivées partielles finies du premier ordre (sauf peut-être pour un nombre fini de points). Pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction de deux variables dans une région fermée donnée, trois étapes d'un algorithme simple sont nécessaires.
Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction $z=f(x,y)$ dans un domaine fermé $D$.
- Trouvez les points critiques de la fonction $z=f(x,y)$ appartenant au domaine $D$. Calculez les valeurs de la fonction aux points critiques.
- Étudiez le comportement de la fonction $z=f(x,y)$ à la limite de la région $D$, en trouvant les points de valeurs maximales et minimales possibles. Calculez les valeurs de fonction aux points obtenus.
- Parmi les valeurs de fonction obtenues dans les deux paragraphes précédents, sélectionnez la plus grande et la plus petite.
Quels sont les points critiques ? afficher\masquer
Sous points critiques impliquent des points auxquels les deux dérivées partielles du premier ordre sont égales à zéro (c'est-à-dire $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ et $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ou au moins une dérivée partielle n'existe pas.
Souvent, les points auxquels les dérivées partielles du premier ordre sont égales à zéro sont appelés points fixes. Ainsi, les points stationnaires sont un sous-ensemble points critiques.
Exemple n°1
Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction $z=x^2+2xy-y^2-4x$ dans une région fermée, limité par des lignes$x=3$, $y=0$ et $y=x+1$.
Nous suivrons ce qui précède, mais nous traiterons d'abord du dessin d'une zone donnée, que nous désignerons par la lettre $D$. On nous donne équations de trois des lignes droites qui délimitent cette zone. La droite $x=3$ passe par le point $(3;0)$ parallèle à l'axe des ordonnées (axe Oy). La droite $y=0$ est l'équation de l'axe des abscisses (axe Ox). Eh bien, pour construire la droite $y=x+1$, nous trouverons deux points par lesquels nous tracerons cette droite. Vous pouvez bien sûr remplacer quelques valeurs arbitraires au lieu de $x$. Par exemple, en remplaçant $x=10$, nous obtenons : $y=x+1=10+1=11$. Nous avons trouvé le point $(10;11)$ situé sur la droite $y=x+1$. Cependant, il est préférable de trouver les points où la droite $y=x+1$ coupe les droites $x=3$ et $y=0$. Pourquoi est-ce mieux ? Parce que nous allons faire d'une pierre deux coups : nous obtiendrons deux points pour construire la droite $y=x+1$ et en même temps découvrirons en quels points cette droite coupe d'autres droites limitant la zone donnée. La ligne $y=x+1$ coupe la ligne $x=3$ au point $(3;4)$, et la ligne $y=0$ se coupe au point $(-1;0)$. Afin de ne pas encombrer le déroulement de la solution avec des explications auxiliaires, je poserai la question de l'obtention de ces deux points dans une note.
Comment les points $(3;4)$ et $(-1;0)$ ont-ils été obtenus ? afficher\masquer
Partons du point d'intersection des droites $y=x+1$ et $x=3$. Les coordonnées du point souhaité appartiennent à la fois à la première et à la deuxième droite. Par conséquent, pour trouver les coordonnées inconnues, vous devez résoudre le système d'équations :
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
La solution d'un tel système est triviale : en substituant $x=3$ dans la première équation nous aurons : $y=3+1=4$. Le point $(3;4)$ est le point d'intersection souhaité des droites $y=x+1$ et $x=3$.
Trouvons maintenant le point d'intersection des droites $y=x+1$ et $y=0$. Composons et résolvons à nouveau le système d'équations :
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
En remplaçant $y=0$ dans la première équation, nous obtenons : $0=x+1$, $x=-1$. Le point $(-1;0)$ est le point d'intersection souhaité des droites $y=x+1$ et $y=0$ (axe des abscisses).
Tout est prêt pour construire un dessin qui ressemblera à ceci :
La question de la note semble évidente, car tout se voit sur la photo. Il convient toutefois de rappeler qu’un dessin ne peut servir de preuve. Le dessin est uniquement à titre indicatif.
Notre zone a été définie à l’aide des équations des lignes qui la délimitaient. Évidemment, ces lignes définissent un triangle, n'est-ce pas ? Ou n'est-ce pas tout à fait évident ? Ou peut-être qu’on nous donne une zone différente, délimitée par les mêmes lignes :
Bien entendu, la condition indique que la zone est fermée, donc l’image présentée est incorrecte. Mais pour éviter de telles ambiguïtés, mieux vaut définir les régions par les inégalités. Sommes-nous intéressés par la partie du plan située sous la droite $y=x+1$ ? Ok, donc $y ≤ x+1$. Notre zone doit-elle être située au-dessus de la ligne $y=0$ ? Super, cela signifie $y ≥ 0$. D'ailleurs, les deux dernières inégalités peuvent facilement être combinées en une seule : $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Ces inégalités définissent la région $D$, et elles la définissent sans ambiguïté, sans permettre aucune ambiguïté. Mais en quoi cela nous aide-t-il à répondre à la question posée au début de la note ? Cela aidera également :) Nous devons vérifier si le point $M_1(1;1)$ appartient à la région $D$. Remplaçons $x=1$ et $y=1$ dans le système d'inégalités qui définissent cette région. Si les deux inégalités sont satisfaites, alors le point se situe à l’intérieur de la région. Si au moins une des inégalités n’est pas satisfaite, alors le point n’appartient pas à la région. Donc:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.
Les deux inégalités sont valables. Le point $M_1(1;1)$ appartient à la région $D$.
Il est maintenant temps d’étudier le comportement de la fonction à la limite de la région, c’est-à-dire allons à . Commençons par la droite $y=0$.
La droite $y=0$ (axe des x) limite la région $D$ sous la condition $-1 ≤ x ≤ 3$. Remplaçons $y=0$ par fonction donnée$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Nous désignons la fonction d'une variable $x$ obtenue par substitution comme $f_1(x)$ :
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Maintenant, pour la fonction $f_1(x)$, nous devons trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites sur l'intervalle $-1 ≤ x ≤ 3$. Trouvons la dérivée de cette fonction et équivalons-la à zéro :
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
La valeur $x=2$ appartient au segment $-1 ≤ x ≤ 3$, nous ajouterons donc également $M_2(2;0)$ à la liste des points. De plus, calculons les valeurs de la fonction $z$ aux extrémités du segment $-1 ≤ x ≤ 3$, c'est-à-dire aux points $M_3(-1;0)$ et $M_4(3;0)$. À propos, si le point $M_2$ n'appartenait pas au segment considéré, alors, bien sûr, il ne serait pas nécessaire de calculer la valeur de la fonction $z$ qu'il contient.
Calculons donc les valeurs de la fonction $z$ aux points $M_2$, $M_3$, $M_4$. Vous pouvez bien sûr remplacer les coordonnées de ces points dans l'expression originale $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Par exemple, pour le point $M_2$ on obtient :
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Cependant, les calculs peuvent être un peu simplifiés. Pour ce faire, il convient de rappeler que sur le segment $M_3M_4$ on a $z(x,y)=f_1(x)$. Je vais écrire ceci en détail :
\begin(aligné) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aligné)
Bien entendu, dans un tel dossiers détaillés Habituellement, cela n'est pas nécessaire et, à l'avenir, nous noterons brièvement tous les calculs :
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Passons maintenant à la droite $x=3$. Cette droite limite la région $D$ sous la condition $0 ≤ y ≤ 4$. Remplaçons $x=3$ dans la fonction donnée $z$. À la suite de cette substitution, nous obtenons la fonction $f_2(y)$ :
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Pour la fonction $f_2(y)$ nous devons trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites sur l'intervalle $0 ≤ y ≤ 4$. Trouvons la dérivée de cette fonction et équivalons-la à zéro :
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
La valeur $y=3$ appartient au segment $0 ≤ y ≤ 4$, nous ajouterons donc également $M_5(3;3)$ aux points trouvés précédemment. De plus, vous devez calculer la valeur de la fonction $z$ aux points aux extrémités du segment $0 ≤ y ≤ 4$, c'est-à-dire aux points $M_4(3;0)$ et $M_6(3;4)$. Au point $M_4(3;0)$ nous avons déjà calculé la valeur de $z$. Calculons la valeur de la fonction $z$ aux points $M_5$ et $M_6$. Je vous rappelle que sur le segment $M_4M_6$ on a $z(x,y)=f_2(y)$, donc :
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aligné)
Et enfin, considérons la dernière limite de la région $D$, c'est-à-dire : ligne droite $y=x+1$. Cette droite limite la région $D$ sous la condition $-1 ≤ x ≤ 3$. En remplaçant $y=x+1$ dans la fonction $z$, nous aurons :
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Encore une fois nous avons une fonction d'une variable $x$. Et encore une fois, nous devons trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de cette fonction sur l'intervalle $-1 ≤ x ≤ 3$. Trouvons la dérivée de la fonction $f_(3)(x)$ et équivalons-la à zéro :
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
La valeur $x=1$ appartient à l'intervalle $-1 ≤ x ≤ 3$. Si $x=1$, alors $y=x+1=2$. Ajoutons $M_7(1;2)$ à la liste des points et découvrons quelle est la valeur de la fonction $z$ à ce stade. Points aux extrémités du segment $-1 ≤ x ≤ 3$, soit les points $M_3(-1;0)$ et $M_6(3;4)$ ont été considérés plus tôt, nous y avons déjà trouvé la valeur de la fonction.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
La deuxième étape de la solution est terminée. Nous avons reçu sept valeurs :
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Passons à. En choisissant les valeurs les plus grandes et les plus petites parmi les nombres obtenus dans le troisième paragraphe, nous aurons :
$$z_(min)=-4 ; \; z_(max)=6.$$
Le problème est résolu, il ne reste plus qu'à écrire la réponse.
Répondre: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.
Exemple n°2
Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction $z=x^2+y^2-12x+16y$ dans la région $x^2+y^2 ≤ 25$.
Tout d'abord, construisons un dessin. L'équation $x^2+y^2=25$ (c'est la ligne limite d'une zone donnée) définit un cercle avec un centre à l'origine (c'est-à-dire au point $(0;0)$) et un rayon de 5. L'inégalité $x^2 +y^2 ≤ $25 satisfait tous les points à l'intérieur et sur le cercle mentionné.
Nous agirons en conséquence. Trouvons les dérivées partielles et découvrons les points critiques.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
Il n'y a aucun point auquel les dérivées partielles trouvées n'existent pas. Voyons à quels points les deux dérivées partielles sont simultanément égales à zéro, c'est-à-dire trouvons des points stationnaires.
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8. \end(aligné) \right $$.
Nous avons point stationnaire$(6;-8)$. Cependant, le point trouvé n'appartient pas à la région $D$. C'est facile à montrer sans même recourir au dessin. Vérifions si l'inégalité $x^2+y^2 ≤ 25$ est vraie, qui définit notre région $D$. Si $x=6$, $y=-8$, alors $x^2+y^2=36+64=100$, c'est-à-dire l'inégalité $x^2+y^2 ≤ 25$ n'est pas vraie. Conclusion : le point $(6;-8)$ n'appartient pas à la zone $D$.
Il n'y a donc aucun point critique à l'intérieur de la région $D$. Passons à... Il faut étudier le comportement de la fonction à la limite d'une zone donnée, c'est-à-dire sur le cercle $x^2+y^2=25$. Nous pouvons, bien sûr, exprimer $y$ en termes de $x$, puis substituer l'expression résultante dans notre fonction $z$. A partir de l'équation d'un cercle on obtient : $y=\sqrt(25-x^2)$ ou $y=-\sqrt(25-x^2)$. En remplaçant, par exemple, $y=\sqrt(25-x^2)$ dans la fonction donnée, nous aurons :
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
La solution ultérieure sera totalement identique à l'étude du comportement de la fonction à la limite de la région dans l'exemple précédent n°1. Il me semble cependant plus raisonnable d’appliquer la méthode de Lagrange dans cette situation. Nous ne nous intéresserons qu’à la première partie de cette méthode. Après avoir appliqué la première partie de la méthode de Lagrange, nous obtiendrons des points auxquels nous examinerons la fonction $z$ pour les valeurs minimales et maximales.
On compose la fonction de Lagrange :
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
On retrouve les dérivées partielles de la fonction de Lagrange et composons le système d'équations correspondant :
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aligné) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 à droite \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(aligné)\right.$ $
Pour résoudre ce système, signalons immédiatement que $\lambda\neq -1$. Pourquoi $\lambda\neq -1$ ? Essayons de remplacer $\lambda=-1$ dans la première équation :
$$ x+(-1)\cdot x=6 ; \; x-x=6 ; \; 0=6. $$
La contradiction résultante $0=6$ indique que la valeur $\lambda=-1$ est inacceptable. Sortie : $\lambda\neq -1$. Exprimons $x$ et $y$ en termes de $\lambda$ :
\begin(aligné) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aligné)
Je pense qu'il devient ici évident pourquoi nous avons spécifiquement stipulé la condition $\lambda\neq -1$. Cela a été fait pour ajuster l'expression $1+\lambda$ dans les dénominateurs sans interférence. Autrement dit, pour être sûr que le dénominateur $1+\lambda\neq 0$.
Remplaçons les expressions résultantes pour $x$ et $y$ dans la troisième équation du système, c'est-à-dire dans $x^2+y^2=25$ :
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
De l'égalité résultante, il s'ensuit que $1+\lambda=2$ ou $1+\lambda=-2$. On a donc deux valeurs du paramètre $\lambda$, à savoir : $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. En conséquence, nous obtenons deux paires de valeurs $x$ et $y$ :
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aligné)
Nous avons donc deux points de possibilité conditionnel extrême, c'est à dire. $M_1(3;-4)$ et $M_2(-3;4)$. Retrouvons les valeurs de la fonction $z$ aux points $M_1$ et $M_2$ :
\begin(aligné) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aligné)
Nous devons sélectionner les valeurs les plus grandes et les plus petites parmi celles que nous avons obtenues aux première et deuxième étapes. Mais en dans ce cas le choix est restreint :) Nous avons :
$$z_(min)=-75 ; \; z_(max)=125. $$
Répondre: $z_(min)=-75 ; \; z_(max)=125$.
