Un ensemble flou est un ensemble de paires , où x prend une valeur informative, et m(x) mappe x dans un segment unitaire, prenant des valeurs de 0 à 1. De plus, m(x) représente le degré d'appartenance de x à quelque chose (0 - n'appartient pas , 1 - appartient à 100%).

Ainsi, par exemple, vous pouvez définir un ensemble pour le chiffre 7 :

<0/1>,<0.4/3>,<1/7>Cet ensemble indique que 7 est 0 % un, 40 % trois et 100 % sept.

La variable floue est définie comme .

A - nom de la variable,

X=(x) - domaine de définition d'une variable, ensemble des valeurs possibles de x,

Ca=( ) est un ensemble flou qui décrit les restrictions sur les valeurs possibles de la variable A (sémantique).

Exemple:<"Семь",{1,3,7},{<0/1>,<0.4/3>,<1/7>)>. Avec cette entrée, nous avons déterminé la correspondance entre le mot et certains nombres. De plus, tant dans le nom de la variable que dans les valeurs x, tous les enregistrements contenant des informations peuvent être utilisés.

La variable linguistique est définie comme .

B - nom de la variable.

T est l'ensemble de ses valeurs (ensemble de termes de base), constitué des noms de variables floues dont le domaine de définition de chacune est l'ensemble X.

G est une procédure syntaxique (grammaire) qui permet d'opérer avec des éléments de l'ensemble de termes T, notamment pour générer de nouveaux termes significatifs. T`=T U G(T) spécifie un ensemble de termes étendus (U est un signe d'union).

M est une procédure sémantique qui permet d'attribuer une sémantique floue à chaque nouvelle valeur d'une variable linguistique en formant une nouvelle ensemble flou.

Un ensemble flou (ou nombre flou) décrit certains concepts sous une forme fonctionnelle, c'est-à-dire des concepts tels que « approximativement égal à 5 ​​», « vitesse légèrement supérieure à 300 km/h », etc., comme vous pouvez le constater, ces concepts ne peuvent pas être représentés par un seul, même si en réalité les gens les utilisent très souvent.

Une variable floue est la même chose qu'un nombre flou, seulement avec l'ajout d'un nom qui formalise le concept décrit par ce nombre.

Une variable linguistique est un ensemble de variables floues, elle est utilisée pour donner description verbale un nombre flou obtenu à la suite de certaines opérations. Autrement dit, grâce à certaines opérations, la valeur la plus proche de la variable linguistique est sélectionnée.

Je veux donner quelques conseils pour votre programme. Il est préférable de stocker les nombres flous sous la forme d'un ensemble trié de paires (triés par support), ce qui vous permet d'accélérer l'exécution de toutes les opérations logiques et mathématiques. Lorsque vous mettez en œuvre des opérations arithmétiques, vous devez prendre en compte l'erreur de calcul, soit 2/4<>1/2 pour un ordinateur, quand j'ai rencontré cela, j'ai dû rendre un peu plus difficile la comparaison des paires, et je dois faire beaucoup de comparaisons. Les porteuses en nombres flous doivent être des multiples d'un certain nombre, sinon les résultats sont erronés. les opérations seront « laides », c'est-à-dire que le résultat sera inexact, cela est particulièrement évident lors de la multiplication.

En stockant les nombres flous sous forme triée, je me suis assuré que les opérations arithmétiques étaient effectuées selon une dépendance presque linéaire (dans le temps), c'est-à-dire qu'à mesure que la quantité de vapeur augmentait, la vitesse des calculs diminuait linéairement. J'ai trouvé et mis en œuvre l'arif exact. opérations dans lesquelles le nombre et la multiplicité des porteurs n'ont pas d'importance, le résultat sera toujours précis et « beau », c'est-à-dire si les nombres d'origine étaient similaires à une parabole inversée, alors le résultat sera similaire, mais avec des opérations ordinaires, il s'avère être par étapes. J'ai également introduit le concept de « nombres flous inverses » (même si je ne les ai pas pleinement mis en œuvre), à ​​quoi servent-ils ? Comme vous le savez, lors d'une soustraction ou d'une division, le nombre auquel l'autre est soustrait doit être plus large, et c'est un gros problème lors de la résolution d'équations complexes, mais les « nombres flous inverses » vous permettent de le faire.

Opérations de base sur les ensembles flous.

UNION : un nouvel ensemble est créé à partir d'éléments des ensembles d'origine, et pour éléments identiques l'adhésion est considérée comme maximale.

UNE U B = ( ) Maub(x) = max (Ma(x), Mb(x)) INTERSECTION : un nouvel ensemble est créé à partir d'éléments identiques aux ensembles d'origine, dont l'appartenance est considérée comme minimale. UN P B = ( ) Mapb(x) = min (Ma(x), Mb(x)) ADDENDUM : l'appartenance de chaque élément est inversée. C = ~UNE = ( ) Mc(x) = 1-Ma(x) POUVOIR : l'appartenance de chaque élément est élevée à une puissance. CON - concentration, degré=2 (réduit le degré de flou) DIN - étirement, degré=1/2 (augmente le degré de flou) DIFFÉRENCE : le nouvel ensemble est constitué d'éléments identiques aux ensembles originaux. A - B = ( ) Ma-b(x) = Ma(x)-Mb(a), si Ma(x)>Mb(x) sinon 0 CARRIER : est constitué d'éléments de l'ensemble d'origine dont l'appartenance est supérieure à zéro. Supp(A) = (x|x?X /\ Ma(x)>0) MULTIPLICATION PAR NOMBRE : l'appartenance des éléments est multipliée par le nombre. q*A = ( ) SUPREMUM : Sup - précis bord supérieur(valeur d'appartenance maximale présente dans l'ensemble).

NORMALISATION : un ensemble flou est normal si le supremum de l'ensemble est égal à un. Pour normaliser, les affiliations des éléments sont relues :

M"a(x) = Ma(x)/(Sup Ma(x)) ALPHA CUT : ensemble de niveaux alpha - les éléments de l'ensemble d'origine dont l'appartenance est supérieure ou égale à un seuil donné. Le seuil égal à 1/ 2 est appelé le point de transition . Aq = (x|x?X /\ Ma(x)>q) INCLUSION FUZZY : degré d'inclusion d'un ensemble flou V(A1,A2) = (Ma1(x0)->Ma2(. x0))&(Ma1(x1) ->Ma2(x1))&.. D'après Lukasiewicz : Ma1(x)->Ma2(x) = 1&(1-Ma1(x)+Ma2(x)) D'après Zade : Ma1(x)->Ma2(x ) = (1-Ma1(x)) \/ Ma2(x) ÉGALITÉ FUZZE : degré d'égalité floue R(A1,A2) = V(A1,A2) & V( A2,A1)

Dictionnaire

ADAPTATION - Tout changement dans la structure ou la fonction d'un organisme qui lui permet de survivre dans son environnement extérieur.

ALLÈS - Valeurs possibles gènes.

GA- Algorithme génétique. Exploration intelligente de la recherche aléatoire. . Introduction de Hollande 1975.

ISLAND MODEL GA (IMGA) - Une population GA est divisée en plusieurs sous-populations, dont chacune est initialisée de manière aléatoire et effectue une GA séquentielle indépendante sur sa propre sous-population. Parfois, des branches de décision viables migrent entre les sous-populations. [Par exemple. Levine 1994].

GÈNES - Variables sur un chromosome.

DÉRIVE GÉNÉTIQUE – Les membres d’une population convergent vers un certain point de l’espace des solutions en dehors de l’optimum en raison de l’accumulation d’erreurs stochastiques.

GÉNOTYPE - Structure réelle. Chromosome codé.

Médecin généraliste - Programmation génétique. Programmes d'application utilisant les principes d'adaptation évolutive à la conception de code procédural.

DIPLOÏDE – Chaque région du chromosome contient une paire de gènes. Cela permet de conserver la mémoire à long terme.

KGA - GA compact (CGA). Dans CGA, deux ou plusieurs assemblages de gènes interagissent et évoluent constamment.

CROSSINGOVER - Échange de segments de chromosomes des parents. Dans la fourchette de 75 à 95 %, les meilleurs individus apparaissent.

LOCUS - La position d'un gène sur un chromosome.

MUTATION - Modification arbitraire d'un chromosome.

SYNAPSE - Entrée d'un neurone.

SCHÉMA (shemma) - Un sous-ensemble de chromosomes similaires contenant un modèle de valeurs génétiques.

CONVERGENCE - Progression vers une homogénéité croissante. Un gène est considéré comme convergent lorsque 95 % de la population a la même valeur.

UNN - Réseau neuronal unifié.

FONCTION DE FITNESS - Une valeur qui est la valeur fonctionnelle cible d'une solution. On l'appelle également fonction d'évaluation ou fonction objectif dans les problèmes d'optimisation.

PHÉNOTYPE - Expression physique structures. Ensemble de gènes décodés.

CHROMOSOME - Un vecteur constitutif, une chaîne ou une solution.

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CONCEPTS DE BASE DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES FLUEUX ET DES VARIABLES LINGUISTIQUES

1. Concept et bases caractéristiques du flou ensembles

Définition 1.1. Soit X un ensemble universel. Ensemble flou A sur l'ensemble X (sous-ensemble flou A de l'ensemble X) est une collection de paires

UNE = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

où x X ,μ A (x ) .X est appelé domaine de définition ensemble flouA, etμ A – fonction d'adhésion de cette multitude. La valeur de la fonction d'appartenance μ A (x) pour un élément spécifique x X est appelée degré d'affiliation de cet élément à l'ensemble flou A.

L'interprétation de la fonction d'appartenance est une mesure subjective de la mesure dans laquelle l'élément x X correspond au concept dont la signification est formalisée par l'ensemble flou A. Dans ce cas, une valeur égale à 1 signifie une conformité totale (absolue), une valeur égale à 0 signifie un écart complet (absolu).

Définition 1.2. Les ensembles flous avec un domaine de définition discret sont appelés discret ensembles flous , Pas-

effacer les ensembles avec zone continue définitions – continu

aucun ensemble flou.

Les ensembles ordinaires (nets) peuvent également être considérés dans un contexte flou. La fonction d'appartenance d'un ensemble régulier ne peut prendre que deux valeurs : 0 si l'élément n'appartient pas à l'ensemble, et 1 si l'élément lui appartient.

Dans la littérature, on trouve diverses formes enregistrements d'ensembles flous. Pour zone discrète définition X =(x 1 ,x 2 , …,x n ) (le cas n = ∞ est également possible) les formes suivantes existent :

j = 1

où le signe intégral a du sens union ponctuelle surX. De plus, pour les cas discrets et continus, une forme de notation généralisée est utilisée :

B = (x x ≈ 2) – ensemble de nombres réels, approximativement égal 2, et C = (x x >> 1) – l'ensemble des nombres réels, sur-

beaucoup plus gros 1. Formes possibles Les fonctions d'appartenance de ces ensembles sont présentées schématiquement sur les figures 1.1 et 1.2, respectivement.

A titre d'exemple d'ensemble flou discret, on peut considérer D = (n n ≈ 1) – un ensemble d'entiers proches de 1,

une forme possible de spécification est la suivante :

N = (0,2/-3 ; 0,4/-2 ; 0,6/-1 ; 0,8/0 ; 1/1 ; 0,8/2 ; 0,6/3 ; 0,4/4 ; 0,2/5) (les points restants ont un degré de zéro adhésion) .

La forme spécifique de la fonction d'appartenance dépend du sens donné au concept formalisé dans les conditions tâche spécifique, et a souvent un caractère subjectif. La plupart des méthodes de construction des fonctions d'appartenance reposent, à un degré ou à un autre, sur le traitement d'informations obtenues par des moyens experts.

Remarque 1. Ici sup (supremum) est la limite supérieure exacte de la fonction d'appartenance. Si l'ensemble X (domaine de définition) est fermé, alors le supremum de la fonction coïncide avec son maximum.

Définition 1.5. Si h A = 1, alors l'ensemble flou A est appelé

semble normal, sinon (hA< 1) – субнормальным.

Définition 1.6. Le porteur d’un ensemble flou A est l’ensemble

éléments du domaine de définition qui correspondent au moins dans une certaine mesure au concept en cours de formalisation.

Note 2 : Les désignations sup et Supp ne doivent pas être confondues. Le premier est l’abréviation de suprême, le second de support.

Définition 1.7. Ensemble de niveaux α (α -tranche) de flou

Le noyau d’un ensemble flou contient ainsi tous les éléments du domaine de définition qui correspondent pleinement au concept en cours de formalisation.

d'où il s'ensuit que l'élément multiplicité le niveau α appartient également à tous les ensembles de niveaux plus petits β ≤α .

Définition 1.9. Soient A et B des ensembles flous sur l'ensemble X avec des fonctions d'appartenance μ A et μ B, respectivement. Govo-

On dit que A est un sous-ensemble flou de B(B inclut

A ), si la condition suivante est remplie :

Parmi les ensembles flous ayant un domaine de définition numérique, il existe également une classe de nombres flous et intervalles flous. Pour définir cette classe, la notion de convexité des ensembles flous est introduite.

Définition 1.11. Un sous-ensemble flou A de l'axe réel est dit convexe si la condition suivante est satisfaite :

En figue. La figure 1.3 montre des exemples d’ensembles flous convexes (à gauche) et non convexes (à droite).

Riz. 1.3. Vers la définition de la convexité d'un ensemble flou

Définition 1.12. Intervalle flou est appelé un ensemble flou normal convexe sur domaine numérique définitions qui ont fonction continue biens et un noyau non vide. Numéro flou est un intervalle flou dont le noyau contient exactement un élément.

Pour les intervalles flous et les nombres, il existe un théorème de représentation selon lequel un sous-ensemble flou A de l'axe réel est un intervalle flou si et seulement si sa fonction d'appartenance est représentable comme :

Les fonctions L A et R A sont appelées respectivement les branches gauche et droite de la fonction d'appartenance d'un nombre flou. Ces fonctions sont continues, tandis que L A sur le segment augmente de L A (a 0 ) = 0 à

L A (a 1 ) = 1, et R A sur le segment diminue de R A (b 1 ) = 1 à R A (b 0 ) = 0 (Fig. 1.4).

Riz. 1.4. Vers la définition d'un intervalle flou

Définition 1.13. Soit A = (A 1 ,A 2 ,… ,A n ) – une famille d'ensembles flous définis sur le domaine de définition X .Ã est appelée partition floue X avec le paramètre α (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

(c'est-à-dire que tout élément du domaine de définition appartient à au moins un des ensembles de la famille à de degré non inférieur à α - Fig. 1.5).

Flou(ou flou, indistinct) un tas de- un concept introduit par L. Zadeh, qui a élargi le concept classique (Cantor) d'ensemble, admettant que la fonction caractéristique (la fonction d'appartenance d'un élément à un ensemble) peut prendre n'importe quelle valeur dans l'intervalle, et pas seulement les valeurs 0 ou 1.

Définition: ensemble flou(un ensemble flou)

Laisser C il existe un ensemble universel (univers). Puis l'ensemble flou UN V C est défini comme un ensemble ordonné de paires

où est appelée la fonction d'appartenance (MF) de l'élément Xà l'ensemble flou UN.

FP attribue à chaque élément de C valeur de l'intervalle, appelée degré d'adhésion xÀ UN ou une mesure floue.

Une mesure floue peut être considérée comme le degré de vérité qu'un élément X fait parti UN.

Définition: base d'ensemble flou(un support d'un fuzzyset)

La base d'un ensemble flou UN est l'ensemble de tous les points tels que .

Ainsi, la définition d'un ensemble flou est une extension de la définition d'un ensemble classique, dans laquelle la fonction caractéristique peut prendre des valeurs continues comprises entre 0 et 1. Univers C peut être un ensemble discret ou continu.

Plusieurs types de fonctions paramétriques sont généralement utilisés pour représenter les FP.

Représentations typiques de FP

Triangulaire PT (Fig. 2.2, a) sont décrits par trois paramètres ( une, b, c), qui déterminent X Les coordonnées des trois coins du triangle sont les suivantes :

Trapézoïdal PT (Fig. 2.2, c) sont décrits par quatre paramètres ( a B c d), qui déterminent X Les coordonnées des quatre coins du trapèze sont les suivantes :

Riz. 2.2. AF triangulaire et trapézoïdal

Gaussienne Les FP (Fig. 2.3) sont spécifiés par deux paramètres et représentent la fonction suivante : .

Riz. 2.3. PT gaussien

Variables linguistiques

L'un des concepts fondamentaux, également introduit par L. Zadeh, est le concept de variable linguistique.

Définition: variable linguistique(LP) représente les cinq suivants, où est le nom de la variable, est un ensemble de termes qui spécifie l'ensemble des valeurs LP, qui sont des expressions linguistiques (syntagmes), X- l'univers, g– une règle syntaxique, à l’aide de laquelle on peut former des syntagmes, M– une règle sémantique, selon laquelle chaque syntagme se voit attribuer sa signification, qui est un ensemble flou dans l'univers X.

Un exemple de LP serait, par exemple, variable = « âge ». Son ensemble de termes peut être, par exemple, le suivant :

(âge) = ( Très jeune, jeune, plus ou moins jeune, d'âge moyen, vieux, très vieux}.

L'univers d'un LP donné peut être un certain ensemble de nombres réels, par exemple l'intervalle. Règle sémantique M attributs aux termes de T(âge) valeurs qui sont diverses modifications d'ensembles flous.

Revenons à notre exemple de contrôle du mouvement d'une voiture et décrivons les significations linguistiques des règles ci-dessus à l'aide d'ensembles flous. Considérez les variables linguistiques suivantes :

X – distance entre les voitures ;

oui– vitesse la voiture devant ;

z– l'accélération du véhicule conduit.

Les PF doivent être définis en fonction de la situation de gestion considérée. Ainsi, par exemple, une vitesse de 70 km/h est « élevée » lors de la conduite sur une route urbaine et peut être considérée comme « faible » lors de la conduite sur une autoroute.

Pour notre exemple, nous définissons les univers suivants :

[m], [km/h],

[km/h 2 ].

En figue. La figure 2.4 montre les FP pour décrire les significations linguistiques « petit » (lent) et « grand » (rapide) pour la vitesse et « proche » (court) et « grand » (long) pour la distance.

Riz. 2.4. Ensembles flous pour le problème du contrôle du mouvement le plus simple d'une voiture

Différences entre la représentation classique et la représentation floue

Discutons de ces différences à l'aide de l'exemple suivant. Considérez les représentations d'ensembles classiques et floues pour décrire la signification linguistique de « court » (pour distance).

En figue. 2.5 montre les différences entre la représentation classique et floue de l'ensemble UN pour cet exemple.

Riz. 2.5. Représentations classiques et floues de l'ensemble A

Définissons la représentation classique d'un ensemble UN comme le montre la fig. 2,5 à gauche. Dans ce cas, la fonction caractéristique sera :

Représentation d'ensemble flou UN montré sur la fig. 2,5 à droite. Dans ce cas, la fonction d'adhésion FP ressemble à ceci :

Posons-nous maintenant la question suivante: si le point m ou le point m appartient à l'ensemble UN?

D’un point de vue classique, la réponse est « non ». Du point de vue de la perception humaine, la réponse est plus probablement « oui » que « non ». D’un point de vue flou, la réponse est oui.

Ainsi, cet exemple simple montre clairement que l’approche floue est plus proche de l’approche naturelle, humaine, et présente une plus grande flexibilité que l’approche classique.

À l’aide d’ensembles flous, nous pouvons décrire des limites floues.

Opérations de base dans la théorie des ensembles flous

Définissons les principales opérations floues comme suit.

Définition: sous-ensemble flou(Confinement flou ou sous-ensemble flou). Ensemble flou UN contenu dans l'ensemble flou B(ou équivalent UN est un sous-ensemble B) si et seulement si pour tout le monde . Sous forme symbolique :

Définition:équivalence des ensembles flous(Égalité des ensembles flous). Équivalence (égalité) des ensembles flous UN Et B est défini comme suit :

Pour chaque .

Définition:union floue ou disjonction floue(Union floue). Union de deux ensembles flous. UN Et B(sous forme symbolique écrite comme ou UN OU B ou A B) est un ensemble flou dont PT est défini comme suit :

Définition:intersection floue(Fuzzy Intersection). L'intersection de deux ensembles flous. UN Et B(sous forme symbolique écrite comme , ou C=A ET B, ou C= A B) est un ensemble flou dont PT est défini comme suit :

Définition:addition floue. Ajout UN(sous forme symbolique écrite sous la forme ou) est flou, dont le PT est déterminé comme suit :

La figure 2.6 montre des exemples d'opérations floues sur des ensembles flous.

Riz. 2.6. Exemples d'opérations floues sur des ensembles flous

Caractéristiques des ensembles flous

Notons les caractéristiques importantes de la théorie des ensembles flous.

1) Loi du tiers exclu Et loi de la contradiction, où est l'ensemble vide sont vrais dans la théorie classique des ensembles, mais dans la théorie des ensembles flous en cas général Ils ne sont pas remplis.

La loi du tiers exclu et la loi de contradiction dans la théorie floue sont les suivantes : et .

2) Dans la théorie des ensembles classique point de l'ensemble UN peut avoir l'une des deux possibilités suivantes : ou . En théorie floue, un point peut appartenir à un ensemble UN et en même temps ne pas appartenir UN(c'est-à-dire appartenir à l'ensemble) avec différentes valeurs des fonctions d'appartenance et, comme le montre la Fig. 2.7.

Cours 4. Modélisation et prise de décision en SIG.

1. Ensembles flous

2. Méthodes d'optimisation

Ensembles flous

La propriété la plus étonnante de l’intelligence humaine est la capacité de prendre des décisions correctes face à des informations incomplètes et peu claires. La construction de modèles de raisonnement humain approximatif et leur utilisation dans les systèmes informatiques représentent aujourd'hui l'une des tâches importantes dans le développement des SIG, notamment dans leur application dans divers domaines de la gestion.

Des progrès significatifs dans cette direction ont été réalisés il y a 30 ans par le prophète de l'Université de Californie (Berkeley) Lotfi A. Zadeh. Son travail « Fuzzy Sets », paru en 1965 dans la revue Information and Control, n° 8, a jeté les bases de la modélisation de l'activité intellectuelle humaine et a été l'impulsion initiale pour le développement d'une nouvelle théorie mathématique.

Qu’a proposé Zadeh ? Premièrement, il a élargi le concept classique d'ensemble de Cantor, admettant que la fonction caractéristique (la fonction d'appartenance d'un élément à un ensemble) peut prendre n'importe quelle valeur dans l'intervalle (0,1)), et non, comme dans le théorie classique, seules les valeurs 0 ou 1. De tels ensembles étaient appelés flous (flou).

Il a également défini les opérations sur les ensembles flous et proposé des généralisations des méthodes connues d'inférence logique.

Considérons quelques dispositions fondamentales de la théorie des ensembles flous.

Soit E un ensemble universel, X -élément E, UN À- des biens. Sous-ensemble régulier (nettement) UN ensemble universel E, dont les éléments satisfont à la propriété R., est défini comme l'ensemble des paires ordonnées, où - fonction caractéristique, en prenant la valeur 1 , Si X satisfait la propriété R., Et 0 - sinon.

Un sous-ensemble flou diffère d'un sous-ensemble régulier en ce sens que pour les éléments X depuis E Il n'y a pas de réponse claire "Pas vraiment" concernant la propriété R.. À cet égard, le sous-ensemble flou UN ensemble universel E est défini comme l'ensemble des paires ordonnées, où - fonction d'appartenance caractéristique(ou simplement une fonction d'appartenance) prenant des valeurs dans un ensemble bien ordonné M(par exemple, M = ). La fonction d'appartenance indique le degré (ou niveau) d'appartenance d'un élément X sous-ensemble UN. Un tas de M appelé de nombreux accessoires. Si M = (0,1), alors le sous-ensemble flou UN peut être considéré comme un ensemble ordinaire ou croustillant.

Laisser M = Et UN- ensemble flou avec des éléments de l'ensemble universel E et de nombreux accessoires M.

La quantité s'appelle hauteur ensemble flou UN. Ensemble flou C'est OK, si sa hauteur est 1 , c'est-à-dire que la borne supérieure de sa fonction d'appartenance est égale à 1 ( =1 ). À< 1 нечеткое множест­во называется субнормальным.

Ensemble flou vide, si un ensemble subnormal non vide peut être normalisé par la formule

Les exemples ci-dessus utilisés droit méthodes lorsque l'expert fixe simplement la valeur de chacune ou définit une fonction de compatibilité. Généralement, des méthodes directes pour spécifier la fonction d'appartenance sont utilisées pour des concepts mesurables tels que la vitesse, le temps, la distance, la pression, la température, etc., ou lorsque des valeurs polaires sont extraites.

Indirect les méthodes de détermination des valeurs de la fonction d'appartenance sont utilisées dans les cas où il n'existe pas de propriétés élémentaires mesurables à travers lesquelles l'ensemble flou qui nous intéresse est déterminé. Il s’agit généralement de méthodes de comparaison par paires. Si les valeurs des fonctions d'appartenance nous étaient connues, par exemple, alors les comparaisons par paires peuvent être représentées par une matrice de relations , Où(opération de division).

En pratique, l'expert forme lui-même la matrice UN, on suppose que les éléments diagonaux sont égaux à 1, et pour les éléments symétriques par rapport à la diagonale, = 1/, c'est-à-dire que si un élément est évalué une fois plus haut qu'un autre, alors ce dernier devrait être 1/ fois plus fort. Dans le cas général, le problème revient à trouver un vecteur qui satisfait une équation de la forme , où est la plus grande valeur propre de la matrice UN.

L'introduction du concept de variable linguistique et l'hypothèse selon laquelle les ensembles flous agissent comme ses valeurs (termes) permettent en réalité de créer un appareil pour décrire les processus de l'activité intellectuelle, y compris le flou et l'incertitude des expressions.

Puisque la matrice UN Positif défini par construction, la solution de ce problème existe pour la valeur acceptée () et est positive. C(T), où C(T) est l'ensemble des termes générés, est appelé l'ensemble des termes étendus d'une variable linguistique ;

M est une procédure sémantique qui permet de transformer chaque nouvelle valeur d'une variable linguistique générée par la procédure C en une variable floue, c'est-à-dire de former un ensemble flou correspondant.

En introduisant le concept de variable linguistique et en supposant que ses valeurs (termes) sont des ensembles flous, il permet en réalité de créer un appareil pour décrire les processus de l'activité intellectuelle, y compris le flou et l'incertitude des expressions.

Ensemble flou- un concept clé de la logique floue. Laisser E- ensemble universel, X- élément E, un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) UN ensemble universel E, dont les éléments satisfont à la propriété R est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(X) / X},

Où µA (x) -fonction caractéristique, prenant la valeur 1 si X satisfait la propriété R, et 0 sinon.

Un sous-ensemble flou diffère d'un sous-ensemble régulier en ce sens que pour les éléments X depuis E il n’y a pas de réponse claire par oui ou par non concernant la propriété R. À cet égard, le sous-ensemble flou UN ensemble universel E est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(X) / X},

Où µA (x) — fonction d'appartenance caractéristique(ou simplement fonction d'adhésion), prenant des valeurs dans un ensemble complètement ordonné M(Par exemple, M = ).

La fonction d'appartenance indique le degré (ou niveau) d'appartenance d'un élément X sous-ensemble UN. Un tas de M appelé un ensemble d'accessoires. Si M= (0, 1), alors le sous-ensemble flou UN peut être considéré comme un ensemble ordinaire ou croustillant.

Exemples d'écriture d'un ensemble flou

Laisser E = {X 1 , X 2 , xz,X 4 , x5), M = ; UN est un ensemble flou pour lequel μ A ( X 1 )= 0,3 ; μUNE ( x2)= 0; μUNE ( X 3) = 1 ; μA (x 4) = 0,5 ; μUNE ( x5)= 0,9.

Alors UN peut être représenté sous la forme

UNE ={0,3/X 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

ou

UN={0,3/X 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

ou

Commentaire. Ici, le signe « + » ne désigne pas l’opération d’addition, mais a le sens d’union.

Caractéristiques de base des ensembles flous

Laisser M= et UN- ensemble flou avec des éléments de l'ensemble universel E et de nombreux accessoires M.

La quantité s'appelle hauteur ensemble flou UN. Ensemble flou C'est bon si sa hauteur est 1, c'est-à-dire la limite supérieure de sa fonction d'appartenance est 1 (= 1). À< 1нечеткое множество называется subnormal.

Ensemble flou vide, si ∀ XϵE μ UN ( X) = 0. Un ensemble subnormal non vide peut être normalisé à l'aide de la formule

Ensemble flou unimodal, Si μ UN ( X) = 1 sur un seul X depuis E.

. Transporteur ensemble flou UN est un sous-ensemble ordinaire avec la propriété μ UN ( X)>0, c'est-à-dire transporteur A = {X/x ϵE, μ UN ( X)>0}.

Éléments XϵE, Pour qui μ UN ( X) = 0,5 , sont appelés points de transition ensembles UN.

Exemples d'ensembles flous

1. Laissez E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Ensemble flou« Plusieurs » peut être défini comme suit :

« Plusieurs » = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8 ; ses caractéristiques :hauteur = 1, transporteur = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, points de transition — {3, 8}.

2. Laissez E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). L’ensemble flou « Petit » peut être défini :

3. Laissez E= (1, 2, 3,..., 100) et correspond au concept « Âge », alors l'ensemble flou « Jeune » peut être défini à l'aide de

Ensemble flou « Young » sur le plateau universel E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) est spécifié à l'aide de la fonction d'appartenance μ Jeune ( X) sur E =(1, 2, 3, ..., 100) (âge), appelé en relation avec E" fonction de compatibilité, tandis que :

Où X— L’âge de SIDOROV.

4. Laissez E= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - un ensemble de marques de voitures, et E"= est l'ensemble universel « Coût », puis sur E" on peut définir des ensembles flous du type :

Riz. 1.1. Exemples de fonctions d'adhésion

« Pour les pauvres », « Pour les classes moyennes », « Prestigieux », avec des fonctions d'affiliation comme la Fig. 1.1.

Avoir ces fonctions et connaître le coût des voitures de E V ce moment temps, nous déterminerons ainsi E" ensembles flous portant les mêmes noms.

Ainsi, par exemple, l'ensemble flou « Pour les pauvres », défini sur l'ensemble universel E =(ZAPOROZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), se présente comme indiqué sur la Fig. 1.2.

Riz. 1.2. Un exemple de spécification d'un ensemble flou

De même, vous pouvez définir l'ensemble flou « High-speed », « Medium », « Slow-speed », etc.

5. Laissez E- ensemble d'entiers :

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Alors le sous-ensemble flou des nombres, selon valeur absolue proche de zéro peut être défini, par exemple, comme ceci :

UNE ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Sur les méthodes de construction de fonctions d'appartenance d'ensembles flous

Les exemples ci-dessus utilisés droit méthodes lorsqu'un expert définit simplement pour chaque X ϵ E signification μA (x), ou définit une fonction de compatibilité. En règle générale, des méthodes directes pour spécifier la fonction d'appartenance sont utilisées pour des concepts mesurables tels que la vitesse, le temps, la distance, la pression, la température, etc., ou lorsque des valeurs polaires sont distinguées.

Dans de nombreux problèmes, lors de la caractérisation d'un objet, il est possible de sélectionner un ensemble de caractéristiques et pour chacune d'elles de déterminer des valeurs polaires correspondant aux valeurs de la fonction d'appartenance, 0 ou 1.

Par exemple, dans la tâche de reconnaissance faciale, on peut distinguer les échelles données dans le tableau. 1.1.

Tableau 1.1. Échelles dans la tâche de reconnaissance faciale

Pour une personne spécifiqueUNl'expert, en fonction de l'échelle donnée, fixeμ UN(x)ϵ, formant la fonction d'appartenance vectorielle (μ UN(x1) , μ UN(x2),…, μ UN(x9)}.

Avec les méthodes directes, les méthodes directes de groupe sont également utilisées, lorsque, par exemple, un groupe d'experts se voit présenter une personne spécifique et que chacun doit donner l'une des deux réponses suivantes : « cette personne est chauve » ou « cette personne n'est pas chauve », puis le nombre de réponses affirmatives réparties sur nombre total experts, donne du sens μ chauve ( de cette personne). (Dans cet exemple, vous pouvez agir via la fonction de compatibilité, mais vous devrez alors compter le nombre de cheveux sur la tête de chaque personne présentée à l'expert.)

Indirect les méthodes de détermination des valeurs de la fonction d'appartenance sont utilisées dans les cas où il n'existe pas de propriétés élémentaires mesurables à travers lesquelles l'ensemble flou qui nous intéresse est déterminé. En règle générale, il s’agit de méthodes de comparaison par paires. Si les valeurs des fonctions d'appartenance nous étaient connues, par exemple, μ UN(X-je) = ωje , je= 1, 2, ..., n, alors les comparaisons par paires peuvent être représentées par une matrice de relations UN= ( une ij ), où un ij= ωje/ j(opération de division).

En pratique, l'expert forme lui-même la matrice UN, dans ce cas on suppose que les éléments diagonaux sont égaux à 1, et pour les éléments symétriques par rapport à la diagonale a ij = 1/a ij , c'est-à-dire si un élément est évalué à α fois plus fort que l’autre, alors ce dernier doit être 1/α fois plus fort que le premier. Dans le cas général, le problème se réduit à trouver un vecteur ω qui satisfait une équation de la forme Oh= λmax w, où λ max est la plus grande valeur propre de la matrice UN. Puisque la matrice UN est positif par construction, une solution à ce problème existe et est positive.

Deux autres approches peuvent être notées :

• utilisation de formulaires standards courbes de spécification des fonctions d'appartenance (sous forme de type (L-R) - voir ci-dessous) avec clarification de leurs paramètres conformément aux données expérimentales ;
• utilisation de fréquences relativesselon l'expérience comme valeurs d'adhésion.