Construction de la fonction d'appartenance d'un ensemble flou. Ensembles flous

La fonction d'appartenance μ A (x) ∈ attribue à chaque numéro

x ∈ X est un nombre de l'intervalle caractérisant le degré d'appartenance de la solution au sous-ensemble A.

Ceux. il s'agit d'une mesure subjective non probabiliste du flou, déterminée à la suite d'une enquête auprès d'experts sur le degré de correspondance de l'élément x avec le concept formalisé par l'ensemble flou A. Contrairement à la mesure probabiliste, qui est une évaluation de l'incertitude stochastique, traitant de l'ambiguïté de l'occurrence d'un événement dans divers moments temps, la mesure floue est une évaluation numérique de l'incertitude linguistique associée à l'ambiguïté et au flou des catégories de la pensée humaine. Lors de la construction d'une fonction d'appartenance μ A (x), chaque ensemble flou A est associé à une certaine propriété, signe ou attribut qui caractérise un certain ensemble d'objets X. Plus un objet spécifique x ∈ X a cette propriété, plus il est proche de 1 la valeur correspondante μ A(x). Si un élément x ∈ X a définitivement cette propriété, alors μ A (x)=1, mais si x ∈ X n'a ​​certainement pas cette propriété, alors μ A (x)=0.

Principaux types de fonctions d'adhésion

En pratique, il est pratique d'utiliser les fonctions d'appartenance qui permettent une représentation analytique sous la forme d'une fonction mathématique simple.

1. Linéaire par morceaux,

utilisé pour préciser des incertitudes du type : « approximativement égale », « valeur moyenne », « située dans l'intervalle », « similaire à un objet », « similaire à un objet », etc.

Triangulaire trimf

Trapézoïdal piègemf

2. en forme de S,

utilisé pour spécifier des incertitudes telles que : " un grand nombre de», « grande valeur », « valeur significative », « niveau élevé », etc.

Spline en S quadratique smf

3. Z-en forme de,

utilisé pour spécifier des incertitudes telles que « petite quantité », « petite valeur de e », « valeur insignifiante », « niveau faible », etc.

QuadratiqueZ-spline zmf

4. En forme de U,

utilisé pour préciser des incertitudes du type : « approximativement comprise entre et jusqu’à », « approximativement égale », « environ », etc.

Ce type de fonction d'adhésion comprend la classe entière des courbes qui ressemblent à une cloche, à un trapèze aplati ou à la lettre « P ».

En forme de cloche gbellmf

a est le coefficient de concentration de la fonction d'appartenance ; b – coefficient de pente de la fonction d'appartenance ; c – coordonnée du maximum de la fonction d’appartenance.

Gaussien gaussmf

a – coordonnée du maximum de la fonction d'appartenance ; b – coefficient de concentration de la fonction d'appartenance.

Méthodes de construction de fonctions d'appartenance

Direct et indirect

En fonction du nombre d'experts impliqués dans l'enquête, les méthodes directes et indirectes sont divisées en célibataire Et groupe.

Direct

Dans les méthodes directes, un expert ou un groupe d'experts définit simplement pour chacun

x ∈ X est la valeur de la fonction d'appartenance μ A (x).

En règle générale, des méthodes directes de construction de fonctions d'appartenance sont utilisées pour des propriétés pouvant être mesurées sur une certaine échelle quantitative. Par exemple, des grandeurs physiques telles que la vitesse, le temps, la distance, la pression, la température et autres ont des unités et des normes correspondantes pour leur mesure.

Lors de la construction directe de fonctions d'appartenance, il convient de garder à l'esprit que la théorie des ensembles flous ne nécessite pas une spécification absolument précise des fonctions d'appartenance. Il suffit souvent d'enregistrer uniquement les éléments les plus valeurs caractéristiques et le type de fonction d’adhésion.

Ainsi, par exemple, s’il est nécessaire de construire un ensemble flou représentant la propriété « la vitesse de la voiture est d’environ 50 km/h », il peut suffire au début de représenter l’ensemble flou correspondant sous la forme d’une fonction d’appartenance triangulaire avec des paramètres a = 40 km/h, b = 60 km/h et s = 50 km/h. Par la suite, la fonction d'appartenance peut être affinée expérimentalement sur la base d'une analyse des résultats de la résolution de problèmes spécifiques.

Le processus de construction ou de spécification d'un ensemble flou basé sur une valeur quantitative connue d'un attribut mesurable a même reçu un nom spécial - fuzzification ou réduction au flou. Le fait est que même si nous connaissons parfois la valeur d'une quantité mesurable, nous reconnaissons le fait que cette valeur est connue de manière inexacte, éventuellement à cause d'une erreur ou d'une erreur. erreur aléatoire. De plus, moins nous avons confiance dans la précision de la mesure d'une caractéristique, plus l'intervalle de la porteuse de l'ensemble flou correspondant sera grand. Il ne faut pas oublier que dans la plupart des cas pratiques, la précision absolue des mesures n’est qu’une abstraction pratique pour construire des modèles mathématiques. C’est pour cette raison que la fuzzification nous permet de représenter de manière plus adéquate l’imprécision objectivement présente des résultats des mesures physiques.

Méthode de fréquence relative (groupe direct)

Qu'il y ait m experts, n 1 d'entre eux répondent positivement à la question de savoir si un élément x ∈ X appartient à un ensemble flou A. Une autre partie des experts n 2 = m – n Je réponds à cette question par la négative. Alors on accepte μ A (x) = n 1 / (n 1 + n 2) = n 1/m.

Exemple. Considérons l'ensemble flou A correspondant au concept de « taux moyen positif de changement de température ». Objet x – taux de changement de température. Les experts se voient présenter différentes valeurs pour le taux de changement de température x, et il est demandé à chacun d'eux si l'expert estime que ce taux de changement de température x est une moyenne positive. Les résultats de l'enquête sont résumés dans le tableau.

Comme représentation continue de cette variable floue, vous pouvez utiliser le FP gaussien gaussmf avec le maximum de la fonction d'appartenance a=5 et le coefficient de concentration de la fonction d'appartenance b=1,7 :

μ(x) = exp [ – (x–5) 2 / 2*1,7 2 ]

Indirect

Ils sont utilisés pour résoudre des problèmes pour lesquels les propriétés des grandeurs physiques ne peuvent être mesurées. Le plus courant parmi méthodes indirectes reçu la méthode des comparaisons appariées.

Méthode de comparaison par paires

L'intensité de l'adhésion est déterminée sur la base de comparaisons par paires des éléments considérés.

Pour chaque paire d'éléments de l'ensemble universel, l'expert évalue l'avantage d'un élément sur l'autre par rapport à la propriété ensemble flou. Il est pratique de représenter des comparaisons par paires avec la matrice suivante :

,

où est le niveau elementadvantage(), déterminé sur l'échelle Saaty en neuf points :

1 - s'il n'y a aucun avantage de l'élément sur l'élément ;

3 - s'il y a un faible avantage sur ;

5 - s'il existe un avantage significatif par rapport à ;

7 - s'il y a un net avantage sur ;

9 - s'il y a un avantage absolu sur ;

2, 4, 6, 8 - estimations comparatives intermédiaires.

Exemple.Construire la fonction d'appartenance d'un ensemble flou " un homme de grande taille" sur l'ensemble universel (170, 175, 180, 185, 190, 195), si les comparaisons expertes par paires suivantes sont connues :

avantage absolu 195 sur 170 ;

net avantage de 195 sur 175 ;

avantage significatif de 195 sur 180 ;

léger avantage 195 sur 185 ;

il n'y a aucun avantage de 195 sur 190.

Les déclarations d'experts données correspondent à la matrice suivante de comparaisons appariées :

Si les avis des experts sont cohérents, la matrice de comparaison appariée a les propriétés suivantes :

il est diagonal, c'est-à-dire a ii =1 ‚ i=1..n ;

elle est inversement symétrique, c'est-à-dire que les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont reliés par la dépendance a ij =1/a ji , i,j=1..n ;

il est transitif‚ c'est-à-dire a ik a kj =a ij , i,j,k=1..n .

La présence de ces propriétés nous permet de déterminer tous les éléments de la matrice de comparaison par paire :

Après avoir déterminé tous les éléments de la matrice de comparaison par paires, les degrés d'appartenance à l'ensemble flou sont calculés à l'aide de la formule :

Pour normaliser un ensemble flou, nous divisons tous les degrés d'appartenance en valeur maximum, c'est à dire. à 0,3588.

Lors de la résolution de problèmes, nous rencontrons des situations dans lesquelles un élément appartient dans une certaine mesure à un ensemble donné. Par exemple, de nombreuses petites quantités sont déterminées. Qui peut dire exactement à partir de quelle valeur une valeur peut être considérée comme petite ? Il n'y a pas de réponse claire à cette question. Par conséquent, une des manières description mathématique d’un ensemble flou consiste à déterminer le degré d’appartenance d’un élément à un ensemble flou. Le degré d'adhésion est spécifié par un nombre issu de l'intervalle. Les limites de l'intervalle - 0, 1, signifient respectivement « n'appartient pas » et « appartient ». Insecte. 1 élément d'affiliation X beaucoup UNécrit sous forme formelle xÎA. Cette entrée peut être représenté comme une fonction caractéristique :

L'appartenance à un ensemble peut être représentée graphiquement. Par exemple, en unidimensionnel espace arithmétique R. deux ensembles sont donnés AÎ R. Et BI R. . Affiliation xÎA peut être représenté par un rectangle P.A., montré sur la fig. 2.1, et affiliation xÎB- en forme de rectangle PV, montré sur la fig. 2.2. Affiliation X union d'ensembles xОАХВ représenté par un rectangle P AÇ V, montré sur la fig. 2.3. L'appartenance à un ensemble bidimensionnel sera représentée par un parallélépipède en espace tridimensionnel, et appartenance n–ensemble dimensionnel – ( n+1) parallélépipède dimensionnel.

Riz. 2.1 Fig. 2.2

Sous-ensemble flou UN ensembles X appelé l'ensemble des deux. Fonction mA, qui est le reflet des éléments xÎX dans les éléments de l'ensemble (m a:X®), est appelée fonction d'appartenance à l'ensemble flou, et X- ensemble de base.

Signification spécifique mA(x), spécifié pour l'élément X, est appelé degré d’appartenance d’un élément x à un ensemble flou. Le porteur d'un ensemble flou est un sous-ensemble IX, contenant ces éléments xÎX, pour lequel la valeur de la fonction d'appartenance Au dessus de zéro.

Exemple. Laisser X- un tas de nombres naturels X=(1,2,3, ...,x max ), destiné à déterminer le prix du produit. Le sous-ensemble flou « petit prix » peut être spécifié sous la forme suivante :

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x max >}.

L'appartenance des valeurs de prix au sous-ensemble flou « petit prix » est illustrée à la Fig. 2.4.

Si l'on considère l'ensemble X Comment ensemble continu nombres naturels, alors les valeurs de prix appartenant au sous-ensemble flou « petit prix » auront la forme d'une fonction continue, comme le montre la Fig. 2.5. Regardons les propriétés ensembles flous.

Hauteur (hauteur - hgt) d'un ensemble flou : .

Ensemble flou avec hgtA=1 est appelé normal, et quand hgtA<1 - anormal. Noyau (noyau, noyau, noyau) ou centre d'un ensemble flou : cœur =(xÎX/m A (x)=1). Fondation (support – supp) d’un ensemble flou : sup =(xÎX/mA(x)>1). Le point de croisement d’un ensemble flou est une collection noyau (xÎX/m A (x)=0,5). Niveau un, ou un– coupe (section) d'un ensemble flou : un=(xÎX/m A (x)³a). un– une coupe d'un ensemble flou est également notée : un-couper. Strict un– découpe d'un ensemble flou : un=(xÎX/mA(x)>a). Ensemble flou convexe : "x 1 ,x 2 ,x 3 ОX:x 1 £x 2 £x 3 ®m A (x 2)³min(m A (x 1),m A (x 3)). Si l’inégalité n’est pas vraie, l’ensemble flou est dit non convexe. En figue. La figure 2.6 fournit une illustration des propriétés ci-dessus.

Vue séparée ensemble flou UN est un nombre flou (singleton flou) si les conditions suivantes sont remplies : UN est convexe, la hauteur est normale ( poids A=1), m A (x) est fonction continue par morceaux, noyau ou centre d'un ensemble UN (noyau A) contient un point. Exemple d'affiliation X Le nombre flou « environ 5 » est représenté sur la figure. 2.7.

Un autre type d'ensemble flou est la spécification de certaines variables sous la forme d'un intervalle flou. La définition est connue.

Un intervalle flou est une quantité floue convexe UN, dont la fonction d'appartenance est quasi-concave, de sorte que

"u,v, "wÎ, m A (w)³min(m A (u), m A (v)), u,v,wÎX.

Le nombre flou est alors un intervalle flou semi-continu supérieur avec un support compact et une valeur modale unique. Spécifier les paramètres d’un problème sous la forme d’un intervalle flou est une forme très pratique pour formaliser des quantités imprécises. L'intervalle habituel est souvent une représentation insatisfaisante car... ses limites doivent être fixées. Les estimations peuvent être surestimées ou sous-estimées, ce qui jettera un doute sur les résultats des calculs. La définition des paramètres de la tâche sous la forme d'un intervalle flou sera à la fois surestimée et sous-estimée, et le porteur ( ensemble de base) de l'intervalle flou sera choisi pour que le noyau contienne les valeurs les plus plausibles et il sera garanti que le paramètre en question est dans les limites requises.

La définition des intervalles flous peut être effectuée par des experts comme suit. L'intervalle flou est spécifié par quatre paramètres M=() (voir Fig. 2.8), où et sont respectivement les valeurs inférieure et supérieure valeurs modales intervalle flou, et un Et b représentent les coefficients de flou gauche et droit. La définition d'un intervalle flou peut être effectuée des manières suivantes.

Option 1. Les valeurs modales inférieure et supérieure de l'intervalle sont les mêmes et a et b sont égaux à zéro. La valeur de x est déterminée avec incertitude égal à zéro. Pour définir une variable d'entrée floue sur l'ensemble X, nous définissons formellement un intervalle flou =(x min =x, x m ax =x,0,0), où x imin est la valeur modale inférieure et x m ax est la valeur modale supérieure. valeur.

Une affectation claire de x sur un ensemble de valeurs de X, comme le montre la Fig. 2.9 est un cas particulier de spécification d'un intervalle flou, et m A (x) est la valeur du degré d'appartenance à l'intervalle.

Option 2. Affectation X est déterminé avec une incertitude autre que zéro. Un exemple est montré sur la Fig. 2.10. L'intervalle flou est défini comme =(x min , x m ax =x min ,0,b), ceux. les valeurs modales supérieure et inférieure de l'intervalle coïncident.

Riz. 2.9 Fig. 2.10

Option 3. Affectation X peut être obtenu à partir de l'intervalle [UN B]. Un exemple est montré sur la Fig. 2.11. Le degré d'appartenance est égal à un, et =(A=x min ,B=x m ax ,0.0), Où UN– valeur modale inférieure (valeur minimale possible de la variable d'entrée X), DANS– valeur modale supérieure (valeur maximale de la variable d'entrée X.

Option 4. Valeur de la variable d'entrée x je peut être obtenu à partir d’une plage de valeurs [A,C] [UN B] (A£B£C). Formellement, l'intervalle flou est défini comme = (A=x min ,B=x max ,0,b). Un exemple de tâche est présenté sur la Fig. 2.12, où b = N-E.

Option 5. Valeur de la variable d'entrée q je peut être déterminé par des experts à partir de la gamme de valeurs [ANNONCE] de telle sorte que dans l'intervalle [AVANT JC] l'incertitude de réception est égale à un (A£B£C£D). Formellement, l'intervalle flou dans ce cas est défini comme = (B=x min ,C=x max ,a,b). Un exemple de spécification d'un intervalle flou est présenté dans la Fig. 2.13, où a = BA, b = DC.

Considérons les opérations sur les intervalles flous.

Riz. 2.11 Fig. 2.12

L'opération de sommation floue pour les intervalles flous est définie comme suit. Somme de deux intervalles flous M i =() et M j =(),écrit sous la forme M je Mj, il y a aussi un intervalle flou M je M j =, Où une=une je + une j ; b=b je + b j ;, . Somme n les intervalles flous sont déterminés par les formules :

.

Si un , où et sont des intervalles convexes, alors , et est un ensemble d'intervalles déterminés par les formules précédentes.

Le fonctionnement de différence d’intervalles flous est défini comme suit. La différence floue de deux intervalles flous est un intervalle trapézoïdal pour lequel c=|a-h|, d=|b-l|,, , où sont respectivement les valeurs modales inférieures des intervalles flous et sont les valeurs modales supérieures des intervalles flous.

La prise de décision est associée à des comparaisons de l'intervalle flou résultant soit par des experts, soit selon des données de modélisation avec un nombre réel. L'opération de comparaison d'un intervalle flou et d'un nombre réel s'effectue comme suit.

Nombre réel UN représente-le comme un intervalle (A,A,0,0). Définition de moins ou plus grande valeur intervalle flou par rapport à un nombre réel UN réalisé selon les formules :

UN, Si |A-()|£|A-()| Et A£;

UN, Si |A-()|³|A-()| Et A³ .

Pour les intervalles flous, il y a une opération de produit et de division. Le produit de deux intervalles flous est déterminé sous la forme d'un intervalle trapézoïdal dont les paramètres sont déterminés par les formules :

c = ah, d = bl, ; .

Ces règles de multiplication de deux intervalles flous en fonction des signes des nombres , , , prennent la forme :

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si , Que .

Considérons l'opération de division. La division de deux intervalles flous donnera un intervalle trapézoïdal dont les paramètres sont déterminés comme suit :

c = ah, d = bl, ; ,

et selon les signes des nombres , , , cette règle diviser deux intervalles flous ressemblera à ceci :

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si donc ;

Si , Que .

Fonctions d'adhésion

Les fonctions d'appartenance sont un concept subjectif, car ils sont déterminés par des personnes (experts) et chacun donne sa propre appréciation. Exister diverses méthodes attribution des fonctions d'adhésion.

Nous supposerons que la fonction d'appartenance est une incroyable mesure subjective du flou et qu'elle diffère de la mesure de probabilité, c'est-à-dire degré d'adhésion mA(x)élément X L'ensemble flou est une mesure subjective de la mesure dans laquelle un élément xÎX correspond à un concept dont le sens est formalisé par un ensemble flou.

Niveau de correspondance des éléments X Ce concept, formalisé par un ensemble flou, est déterminé par une enquête auprès d'experts et représente une mesure subjective.

Il existe deux classes de méthodes pour construire des fonctions d’appartenance à un ensemble : directes et indirectes.

2.2.1. Méthodes de construction directe. Les méthodes directes de construction de fonctions d'appartenance sont les méthodes dans lesquelles les degrés d'appartenance des éléments X ensembles X sont directement fixés soit par un expert, soit par une équipe d’experts. Les méthodes directes sont divisées en méthodes directes pour un expert et pour un groupe d'experts, en fonction du nombre d'experts.

La méthode directe pour un expert est qu'un expert pour chaque élément xÎX allumettes un certain degré accessoires mA(x), ce qui, à son avis, la meilleure façon est cohérent avec l’interprétation sémantique de l’ensemble.

Application méthodes simples pour un groupe d'experts permet d'intégrer les avis de tous les experts et de construire un graphique de correspondance entre les éléments d'un ensemble X. La procédure suivante pour construire la fonction d'appartenance est possible mA(x).

Les experts qui composent le groupe de m homme posant une question sur la propriété d'un élément xÎX ensemble flou. Que la partie des experts composée de n°1 personne a répondu positivement à la question, et l'autre partie des experts n 2 = m-n 1 a répondu négativement. Il est alors décidé que m A (x)=n 1 /m.

En plus cas général les expertises sont comparées aux coefficients de pondération une je О. Chances un je refléter le degré de compétence des experts. Le degré d'appartenance d'un élément x à un ensemble flou est déterminé

Où p je =1 si la réponse est positive et p je =0 si la réponse de l'expert est négative.

Les inconvénients des méthodes directes sont leur subjectivité inhérente car C'est dans la nature humaine de faire des erreurs.

2.2.2. Méthodes indirectes pour construire des fonctions d'appartenance. Les méthodes indirectes de construction de fonctions d'appartenance sont les méthodes dans lesquelles une réduction de l'influence subjective est obtenue grâce au partitionnement. tâche commune déterminer le degré d'adhésion mA(x), xÎX en un certain nombre de sous-tâches plus simples. L'une des méthodes indirectes est la méthode des comparaisons appariées. Considérons son essence.

Sur la base des réponses des experts, une matrice de comparaisons par paires est construite M=½½m ij ½½, dans lequel les éléments m je représentent des estimations de l'intensité d'appartenance des éléments x je ОX sous-ensemble par rapport aux éléments x j ОX. Fonction d'adhésion ma (x) déterminé à partir de la matrice M. Supposons que les valeurs de la fonction d'appartenance soient connues mA(x) pour toutes les valeurs xÎХ. Laisser m A (x)=r i , Ensuite, des comparaisons par paires sont définies m ij =r je /r j. Si les rapports sont exacts, alors le rapport est forme matricielle MR=n*R, Où R=(r 1 ,r 2 ,...,r n), n- valeur propre de la matrice M, à partir duquel le vecteur est reconstruit R. en tenant compte de la condition Vecteur empirique R. a une solution au problème des valeurs propres M*R=l max, Où lmax- le sens le plus propre. Le problème consiste à trouver le vecteur R., qui satisfait l'équation

M*R=l max *R. (2.1)

Cette équation a seule décision. Coordonner les valeurs vecteur propre, correspondant au maximum valeur propre lmax, divisés par leur somme, seront les degrés d'adhésion requis. Les concepts qui sont proposés aux experts, ainsi que la correspondance de ces concepts aux grandeurs m je, sont donnés dans le tableau 2.1.

Tableau 2.1

Les experts sont interrogés sur la valeur, à leur avis, m UNE (x je) dépasse la valeur m UNE (x je), c'est à dire. combien d'élément x je plus significatif pour le concept décrit par l'ensemble flou que pour l'élément xj. L'enquête vous permettra de construire une matrice de comparaisons par paires, qui a la forme

Définition de l'élément r je ОR se passe comme suit. La somme de chacun jème colonne de la matrice M. De la construction de la matrice M il s'ensuit que Il s'ensuit que r je =1/k je .

Après avoir déterminé toutes les quantités kj, on obtient les valeurs des éléments vectoriels R.. Basé sur le fait que la matrice M, en règle générale, est construit de manière inexacte, le vecteur trouvé R. utilisé comme initiale dans méthode itérative solutions à l’équation (2.1).

2.2.3. Types de fonctions d'adhésion. Il a été déterminé ci-dessus que les fonctions d'appartenance peuvent avoir une forme trapézoïdale (voir Fig. 2.7), vue triangulaire(voir Fig. 2.7). Les fonctions d'adhésion peuvent également avoir une forme en forme de cloche (Fig. 2.14).

Pour la forme en cloche, la fonction d'appartenance est définie par

,

Où m- un numéro donné, d- indicateur de flou.

Pour une vue trapézoïdale, la fonction d'appartenance est définie par l'expression : m A (x)=min(max(a-k|x-b|;0);1), Où un, b - nombres donnés, k- indicateur de flou.

Lors de la résolution de problèmes de contrôle flou, d'autres fonctions peuvent être utilisées :

m A (x)=e -kx , x>0; m A (x)=1-a x , 0£x£a -1/k ; m A (x)=(1+kx 2) -1, k>1.

Ensemble flou avec fonction d'appartenance unidimensionnelle mA(x) habituellement appelé ensemble flou du premier type.

Exister ensembles flous du deuxième type, pour lequel la fonction d'appartenance est : .

Ensemble flou bidimensionnel UN défini comme suit : UNE=(UNE 1 ´UNE 2: m UNE (x 1 ,x 2)), Où Un 1 ´Un 2- Produit cartésien, m A (x 1 ,x 2)=min(a-k 1 |x 1 -b| - k 2 |x 2 -c|; (x 1 =0, x 2 =0));- fonction d'appartenance trapézoïdale bidimensionnelle, dans laquelle : un, b, c - nombres donnés, k1, k2- des indicateurs de flou. Un exemple de spécification d'une fonction d'appartenance trapézoïdale bidimensionnelle est illustré à la Fig. 2.15.

Fonction 2D L'accessoire en forme de cloche est déterminé par la formule :

Où m1, m2- des numéros donnés, j 1, j 2- des indicateurs de flou.

Logique floue Boîte à outils comprend 11 fonctions accessoires intégrées qui utilisent les fonctions de base suivantes :

• linéaire par morceaux ;
• Distribution gaussienne;
• courbe sigmoïde ;
• courbes quadratiques et cubiques.

Pour plus de commodité, les noms de toutes les fonctions d'adhésion intégrées se terminent par mf. La fonction d'appartenance est appelée comme suit :

nommf(x, paramètres),

Où nommf– nom de la fonction d'adhésion ;
X– vecteur pour les coordonnées duquel il faut calculer les valeurs de la fonction d'appartenance ;
paramètres– vecteur de paramètres de la fonction d'appartenance.

Les fonctions d'appartenance les plus simples sont triangulaires ( trimf) et trapézoïdale ( piègemf) est formé en utilisant une approximation linéaire par morceaux. La fonction d'appartenance trapézoïdale est une généralisation de la fonction triangulaire ; elle permet de spécifier le noyau d'un ensemble flou sous la forme d'un intervalle. Dans le cas d'une fonction d'appartenance trapézoïdale, l'interprétation commode suivante est possible : le noyau d'un ensemble flou est une estimation optimiste ; le porteur d’un ensemble flou est une évaluation pessimiste.

Deux fonctions d'appartenance – gaussienne symétrique ( gaussmf) et gaussienne bilatérale ( gaussmf) est formé en utilisant une distribution gaussienne. Fonction gaussmf vous permet de spécifier des fonctions d’appartenance asymétriques. Fonction d'appartenance généralisée en forme de cloche ( gbellmf) ont une forme similaire aux gaussiennes. Ces fonctions d'appartenance sont souvent utilisées dans systèmes flous, puisque dans tout le domaine de définition, ils sont lisses et prennent des valeurs non nulles.

Fonctions d'adhésion sigmf,dsigmf, psigmf sont basés sur l’utilisation d’une courbe sigmoïde. Ces fonctions permettent de générer des fonctions d'appartenance dont les valeurs à partir d'une certaine valeur d'argument et jusqu'à + (-) sont égales à 1. De telles fonctions sont pratiques pour spécifier des termes linguistiques de type « élevé » ou « faible ».

L'approximation polynomiale est utilisée lors de la génération de fonctions zmf, pimf Et smf, images graphiques qui sont similaires aux fonctions sigmf,dsigmf, psigmf, respectivement.

Les informations de base sur les fonctions d'adhésion intégrées sont résumées dans le tableau. 6.1. En figue. 6.1 montre des représentations graphiques des fonctions d'appartenance obtenues à l'aide du script de démonstration mfdémo. Comme le montre la figure, les fonctions d'appartenance intégrées vous permettent de spécifier une variété d'ensembles flous.

DANS Boîte à outils de logique floue il est possible à l'utilisateur de créer propre fonction accessoires. Pour ce faire, vous devez créer m-fonction contenant deux arguments d'entrée - un vecteur pour les coordonnées duquel il faut calculer les valeurs de la fonction d'appartenance et un vecteur de paramètres de la fonction d'appartenance. L'argument de sortie de la fonction doit être un vecteur de degrés d'appartenance. Ci-dessous se trouve m-fonction qui implémente la fonction d'adhésion en forme de cloche :

fonction mu=bellmf(x, paramètres)
%bellmf – fonction d'adhésion à Bell ;
%x – vecteur d'entrée ;
%params(1) – coefficient de concentration (>0) ;
%params(2) – coordonnée du maximuma.
a=paramètres(1);
b=paramètres(2);
mu=1./(1+ ((x-b)/a).^2);

Graphique 6.1. Fonctions d'adhésion intégrées

Tableau 6.1. Fonctions d'adhésion

Ensemble flou- concept clé logique floue. Laisser E- ensemble universel, X- élément E, un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) UN ensemble universel E, dont les éléments satisfont à la propriété R est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(X) / X},

Où µA (x) —fonction caractéristique, prenant la valeur 1 si X satisfait la propriété R, et 0 sinon.

Le sous-ensemble flou est différent de sujets réguliers, qui concerne les éléments X depuis E il n’y a pas de réponse claire par oui ou par non concernant la propriété R. À cet égard, le sous-ensemble flou UN ensemble universel E est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(X) / X},

Où µA (x) — fonction d'appartenance caractéristique(ou simplement fonction d'adhésion), prenant des valeurs dans un ensemble complètement ordonné M(Par exemple, M = ).

La fonction d'appartenance indique le degré (ou niveau) d'appartenance d'un élément X sous-ensemble UN. Un tas de M appelé un ensemble d'accessoires. Si M= (0, 1), alors le sous-ensemble flou UN peut être considéré comme un ensemble ordinaire ou croustillant.

Exemples d'écriture d'un ensemble flou

Laisser E = {X 1 , X 2 , xz,X 4 , x5), M = ; UN est un ensemble flou pour lequel μ A ( X 1 )= 0,3 ; μUNE ( x2)= 0; μUNE ( X 3) = 1 ; μA (x 4) = 0,5 ; μUNE ( x5)= 0,9.

Alors UN peut être représenté sous la forme

UNE ={0,3/X 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

ou

UN={0,3/X 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

ou

Commentaire. Ici, le signe « + » ne désigne pas l’opération d’addition, mais a le sens d’union.

Caractéristiques de base des ensembles flous

Laisser M= et UN— ensemble flou avec des éléments de l'ensemble universel E et de nombreux accessoires M.

La quantité s'appelle hauteur ensemble flou UN. Ensemble flou C'est bon si sa hauteur est 1, c'est-à-dire limite supérieure sa fonction d'appartenance est 1 (= 1). À< 1нечеткое множество называется subnormal.

Ensemble flou vide si ∀ XϵE μ UN ( X) = 0. Un ensemble subnormal non vide peut être normalisé à l'aide de la formule

Ensemble flou unimodal, Si μ UN ( X) = 1 sur un seul X depuis E.

. Transporteur ensemble flou UN est un sous-ensemble ordinaire avec la propriété μ UN ( X)>0, c'est-à-dire transporteur A = {X/x ϵE, μ UN ( X)>0}.

Éléments XϵE, Pour qui μ UN ( X) = 0,5 , sont appelés points de transition ensembles UN.

Exemples d'ensembles flous

1. Laissez E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Ensemble flou« Plusieurs » peut être défini comme suit :

« Plusieurs » = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8 ; ses caractéristiques :hauteur = 1, transporteur = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, points de transition — {3, 8}.

2. Laissez E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). L’ensemble flou « Petit » peut être défini :

3. Laissez E= (1, 2, 3,..., 100) et correspond au concept « Âge », alors l'ensemble flou « Jeune » peut être défini à l'aide de

Ensemble flou « Young » sur le plateau universel E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) est spécifié à l'aide de la fonction d'appartenance μ Jeune ( X) sur E =(1, 2, 3, ..., 100) (âge), appelé en relation avec E" fonction de compatibilité, avec :

Où X— L’âge de SIDOROV.

4. Laissez E= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - un ensemble de marques de voitures, et E"= est l'ensemble universel « Coût », puis sur E" on peut définir des ensembles flous du type :

Riz. 1.1. Exemples de fonctions d'adhésion

« Pour les pauvres », « Pour les classes moyennes », « Prestigieux », avec des fonctions d'affiliation comme la Fig. 1.1.

Avoir ces fonctions et connaître le coût des voitures de E V ce moment temps, nous déterminerons ainsi E" ensembles flous portant les mêmes noms.

Ainsi, par exemple, l'ensemble flou « Pour les pauvres », défini sur l'ensemble universel E =(ZAPOROZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), se présente comme indiqué sur la Fig. 1.2.

Riz. 1.2. Un exemple de spécification d'un ensemble flou

De même, vous pouvez définir l'ensemble flou « High-speed », « Medium », « Slow-speed », etc.

5. Laissez E- ensemble d'entiers :

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Alors le sous-ensemble flou des nombres, selon valeur absolue proche de zéro, peut être défini par exemple comme ceci :

UNE ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Sur les méthodes de construction de fonctions d'appartenance d'ensembles flous

Les exemples ci-dessus utilisés droit méthodes lorsqu'un expert définit simplement pour chaque X ϵ E signification μA (x), ou définit une fonction de compatibilité. En règle générale, des méthodes directes pour spécifier la fonction d'appartenance sont utilisées pour des concepts mesurables tels que la vitesse, le temps, la distance, la pression, la température, etc., ou lorsque des valeurs polaires sont distinguées.

Dans de nombreux problèmes, lors de la caractérisation d'un objet, il est possible de sélectionner un ensemble de caractéristiques et pour chacune d'elles de déterminer des valeurs polaires correspondant aux valeurs de la fonction d'appartenance, 0 ou 1.

Par exemple, dans la tâche de reconnaissance faciale, on peut distinguer les échelles données dans le tableau. 1.1.

Tableau 1.1. Échelles dans la tâche de reconnaissance faciale

Pour une personne spécifiqueUNl'expert, en fonction de l'échelle donnée, fixeμ UN(x)ϵ, formant la fonction d'appartenance vectorielle (μ UN(x1) , μ UN(x2),…, μ UN(x9)}.

Avec les méthodes directes, les méthodes directes de groupe sont également utilisées, lorsque, par exemple, un groupe d'experts se voit présenter une personne spécifique et que chacun doit donner l'une des deux réponses suivantes : « cette personne est chauve » ou « cette personne n'est pas chauve », puis le nombre de réponses affirmatives réparties sur nombre total experts, donne du sens μ chauve ( de cette personne). (Dans cet exemple, vous pouvez agir via la fonction de compatibilité, mais vous devrez alors compter le nombre de cheveux sur la tête de chaque personne présentée à l'expert.)

Indirect les méthodes de détermination des valeurs de la fonction d'appartenance sont utilisées dans les cas où il n'existe pas de propriétés élémentaires mesurables à travers lesquelles l'ensemble flou qui nous intéresse est déterminé. En règle générale, il s’agit de méthodes de comparaison par paires. Si les valeurs des fonctions d'appartenance nous étaient connues, par exemple, μ UN(X-je) = ωje , je= 1, 2, ..., n, alors les comparaisons par paires peuvent être représentées par une matrice de relations UN= ( une ij ), où un ij= ωje/ j(opération de division).

En pratique, l'expert forme lui-même la matrice UN, dans ce cas on suppose que les éléments diagonaux sont égaux à 1, et pour les éléments symétriques par rapport à la diagonale a ij = 1/a ij , c'est-à-dire si un élément est évalué à α fois plus fort que l’autre, alors ce dernier doit être 1/α fois plus fort que le premier. Dans le cas général, le problème se réduit à trouver un vecteur ω qui satisfait une équation de la forme Oh= λmax w, où λ max est la plus grande valeur propre de la matrice UN. Puisque la matrice UN est positif par construction, une solution à ce problème existe et est positive.

Deux autres approches peuvent être notées :

• utilisation de formulaires standards courbes de spécification des fonctions d'appartenance (sous forme de type (L-R) - voir ci-dessous) avec clarification de leurs paramètres conformément aux données expérimentales ;
• utilisation de fréquences relativesselon l'expérience comme valeurs d'adhésion.

Soit X un ensemble universel (de base), x un élément de X et R une propriété. Un sous-ensemble ordinaire (net) A d'un ensemble universel X, dont les éléments satisfont à la propriété R, est défini comme l'ensemble des paires ordonnées
A = μ A x / x, où μ A x est une fonction caractéristique qui prend la valeur 1 si x satisfait la propriété R, et 0 sinon.

Un sous-ensemble flou diffère d'un sous-ensemble régulier en ce sens que pour les éléments x de X, il n'y a pas de réponse claire oui ou non concernant la propriété R. À cet égard, un sous-ensemble flou A d'un ensemble universel X est défini comme un ensemble de paires ordonnées A = μ A x / x , où μ A x – fonction d'appartenance caractéristique(ou simplement fonction d'adhésion), prenant des valeurs dans un ensemble complètement ordonné M = 0 ; 1 . La fonction d'appartenance indique le degré (ou niveau) d'appartenance d'un élément x à un sous-ensemble de A. L’ensemble M est appelé l’ensemble d’appartenances. Si M = 0 ; 1, alors le sous-ensemble flou A peut être considéré comme un ensemble ordinaire ou net. Le degré d'appartenance μ A x est une mesure subjective de la mesure dans laquelle un élément x ∈ X correspond au concept dont la signification est formalisée par l'ensemble flou A.

Transporteur L'ensemble flou A est un sous-ensemble clair S A de l'ensemble universel X avec la propriété μ A x > 0, c'est-à-dire S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . En d'autres termes, le porteur d'un ensemble flou A est un sous-ensemble S A de l'ensemble universel X, pour les éléments dont la fonction d'appartenance μ A x > 0 est supérieure à zéro. Parfois, le support d’un ensemble flou est désigné par le support A.

Si le porteur d'un ensemble flou A est un sous-ensemble discret S A , alors le sous-ensemble flou A d'un ensemble universel X constitué de n éléments peut être représenté comme une union nombre fini ensembles de points uniques μ A x / x en utilisant le symbole ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . Cela implique que les éléments x i sont classés par ordre croissant en fonction de leurs indices, c'est-à-dire x1< x 2 < x 3 < … < x n .

Si le porteur d'un ensemble flou A est un sous-ensemble continu S A, alors le sous-ensemble flou A de l'ensemble universel X, en considérant le symbole ∫ comme un analogue continu du symbole d'union introduit ci-dessus pour les ensembles flous discrets ∑, peut être représenté comme un union d'un nombre infini d'ensembles monopoints μ A x / x :

UNE = ∫ X μ UNE X / X .

Exemple. Soit l'ensemble universel X correspondant à l'ensemble des valeurs possibles d'épaisseur de produit de 10 mm à 40 mm avec un pas discret de 1 mm. L'ensemble flou A, correspondant à la notion floue de « faible épaisseur du produit », peut être représenté sous la forme suivante :

A = 1 / 10 ; 0,9/11 ; 0,8 / 12 ; 0,7/13 ; 0,5 / 14 ; 0,3 / 15 ; 0,1 / 16 ; 0 / 17 ; ... ; 0 / 40

A = 1/10 + 0,9/11 + 0,8/12 + 0,7/13 + 0,5/14 + 0,3/15 + 0,1/16 + 0/17 + … + 0/40,

où le signe de sommation désigne une non-opération addition arithmétique, mais en combinant des éléments en un seul ensemble. La porteuse de l'ensemble flou A sera un sous-ensemble fini (porteuse discrète) :

SA = 10 ; onze ; 12 ;

13 ; 14 ; 15 ; 16 . Si l'ensemble universel X est un ensemble

nombres réels de 10 à 40, soit l'épaisseur du produit peut tout accepter valeurs possibles

dans ces limites, alors le porteur de l'ensemble flou A est le segment S A = 10 ; 16 .

Exemple. Un ensemble flou avec une porteuse discrète peut être représenté sous forme de points individuels sur un plan, un ensemble flou avec une porteuse continue peut être représenté sous la forme d'une courbe, qui correspond à un ensemble discret et

fonctions continues appartenant à µ A x défini sur l'ensemble universel X (Fig. 2.1). Figure 2.1. Fonctions d'appartenance d'ensembles flous avec des porteuses (a) discrètes et (b) continues

Soit X = 0 ; 1 ; 2 ; ... est un ensemble d'entiers non négatifs. L'ensemble flou ital small peut être défini comme μ ital small x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 . Figure 2.2. Représentation graphique petit ensemble flou L’ensemble flou A est appelé final, si son support S A est un ensemble net fini. Dans ce cas, par analogie avec les ensembles ordinaires, on peut dire qu'un tel ensemble flou a une carte finie A = carte S A . L’ensemble flou A est appelé sans fin, si son support S A n'est pas un ensemble net fini. Où dénombrable un ensemble flou sera appelé un ensemble flou avec un milieu dénombrable ayant compter le pouvoir au sens habituel du terme en termes de théorie des ensembles nets, c'est-à-dire si S A contient nombre infiniéléments, qui peuvent cependant être numérotés avec les nombres naturels 1,2,3. . . , et il est fondamentalement impossible d'atteindre le dernier élément lors de la numérotation.

Exemple. Le concept flou de « très petit nombre de parties » peut être représenté comme un ensemble flou fini A = 1 / 0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + … avec capacité de carte (A) = 6 et support S A = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;

Exemple. 5, qui est un ensemble net fini. Le concept flou d’« un très grand nombre de parties » peut être représenté par A = 0 / 0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – un ensemble flou avec un support dénombrable infini S A ≡ N (ensemble de nombres naturels), qui a un pouvoir dénombrable au sens habituel.

Un ensemble flou indénombrable A correspondant à la notion floue « très chaud » est défini sur l'ensemble universel des valeurs de température (en Kelvin) par température x ∈ [ 0 ; ∞) et la fonction d'appartenance μ A = 1 − e − x , avec support S A ≡ R + (l'ensemble des nombres réels non négatifs), qui a une puissance continue indénombrable. hauteur La quantité sup x ∈ X μ A x est appelée

ensemble flou. Ensemble flou A Bien< 1 subnormal.

, si sa hauteur est 1, c'est-à-dire la limite supérieure de sa fonction d'appartenance est sup x ∈ X μ A x = 1 . Pour sup x ∈ X μ A x Un ensemble flou s’appelle vide

, si ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

, si sa hauteur est 1, c'est-à-dire la limite supérieure de sa fonction d'appartenance est sup x ∈ X μ A x = 1 . Pour sup x ∈ X μ A x Un ensemble subnormal non vide peut toujours être normalisé en divisant toutes les valeurs de la fonction d'appartenance par sa valeur maximale μ A x sup x ∈ X μ A x . unimodal , si μ A x = 1 pour un seul point x ( mode

, si sa hauteur est 1, c'est-à-dire la limite supérieure de sa fonction d'appartenance est sup x ∈ X μ A x = 1 . Pour sup x ∈ X μ A x ) de l'ensemble universel X. indiquer

, si μ A x > 0 seulement pour un point x de l'ensemble universel X. α Beaucoup-niveau

L'ensemble flou A défini sur un ensemble universel X est appelé un sous-ensemble clair A α de l'ensemble universel X, défini comme :

Exemple. A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α, où α ∈ 0 ; 1 .

A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4 , A 0,5 = 1 ; 2 ; 4, où A 0,5 est un ensemble clair, incluant les éléments x de paires ordonnées μ A x / x qui constituent l'ensemble flou A, pour lequel la valeur de la fonction d'appartenance satisfait à la condition μ A x ≥ α. Pour les ensembles de niveaux α, les éléments suivants sont valables : prochaine propriété

Les éléments x ∈ X pour lesquels μ A x = 0,5 sont appelés points de transition ensemble flou A.

Cœur un ensemble flou A défini sur un ensemble universel X est appelé un noyau d'ensemble clair A, dont les éléments satisfont à la condition noyau A = x ∈ X ∣ μ A x = 1.

Frontière d’un ensemble flou A défini sur un ensemble universel X est appelé un front d’ensemble net A dont les éléments satisfont à la condition front A = x ∈ X ∣ 0< μ A x < 1 .

Exemple. Soit X = 0 ; 1 ; 2 ; ... ; 10, M = 0 ; 1 . L'ensemble flou plusieurs peut être défini sur l'ensemble universel des nombres naturels comme suit : plusieurs = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8 ; ses caractéristiques : hauteur = 1, support = 3 ; 4 ;

5 ; 6 ; 7; 8, points de transition = 3 ; 8, noyau = 5 ; 6, bordure = 3 ; 4 ;< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

7;