Traditionnellement, les ensembles clairs sont généralement illustrés par des cercles aux limites bien définies. Les ensembles flous sont des cercles formés de points individuels : au centre du cercle il y a de nombreux points, et plus près de la périphérie, leur densité diminue jusqu'à zéro ; le cercle semble être ombré sur les bords. De tels « décors flous » peuvent être vus... sur un stand de tir - sur le mur où les cibles sont accrochées. Formulaire de marques de puces aléatoire ensembles dont les mathématiques sont connues. Il s'est avéré que pour la chirurgie ensembles flous l'appareil d'ensembles aléatoires, développé depuis longtemps, convient...

Concept de flou set - tentative formalisation mathématique informations floues dans le but de les utiliser dans la construction modèles mathématiques systèmes complexes. Ce concept repose sur l'idée que les éléments qui composent un ensemble donné et qui ont propriété commune, peuvent avoir cette propriété à des degrés divers et, par conséquent, appartenir à un ensemble donné à des degrés divers.

L'un des moyens les plus simples description mathématique ensemble flou– caractérisation du degré d'appartenance d'un élément à un ensemble par un nombre, par exemple issu de l'intervalle. Laisser X– un certain ensemble d’éléments. Dans ce qui suit, nous considérerons des sous-ensembles de cet ensemble.

Ensemble flou A dans X est appelé une collection de paires de la forme ( X, m Hache)), Où xÎX, et M UN- fonction X®, appelé fonction d'adhésion ensemble flou UN. valeur m Hache) cette fonction pour un X est appelé le degré d'appartenance de cet élément à l'ensemble flou UN.

Comme le montre cette définition, un ensemble flou est entièrement décrit par sa fonction d'appartenance, nous utiliserons donc souvent cette fonction comme désignation d'un ensemble flou.

Les ensembles ordinaires forment une sous-classe de la classe ensembles flous. En effet, la fonction d’appartenance d’un ensemble ordinaire BÌ X est son fonction caractéristique:m B(x)=1 si XÎ B et M B(x)=0 si XÏ B. Alors, conformément à la définition d’un ensemble flou, l’ensemble ordinaire DANS peut également être défini comme un ensemble de paires de la forme ( X, m B(x)). Ainsi, un ensemble flou est plus notion large qu'un ensemble ordinaire, dans le sens où la fonction d'appartenance d'un ensemble flou peut, d'une manière générale, être une fonction arbitraire ou même une application arbitraire.

Nous parlons ensemble flou. Et beaucoup quoi ? Pour être cohérent, il faut affirmer qu'un élément d'un ensemble flou s'avère être... un nouvel ensemble flou de nouveaux ensembles flous, etc. Tournons-nous vers exemple classique- À tas de céréales. Un élément de cet ensemble flou sera millions de grains, Par exemple. Mais un million de grains, ce n'est pas clair du tout élément, et nouveau ensemble flou. Après tout, lorsqu’on compte les grains (manuellement ou automatiquement), il n’est pas surprenant de se tromper – en prenant par exemple 999 997 grains pour un million. Ici, nous pouvons dire que l'élément 999 997 a une valeur de fonction d'appartenance pour l'ensemble « million » égale à 0,999997. De plus, le grain lui-même n'est pas non plus un élément, mais un nouvel ensemble flou : il existe un grain à part entière, et il y a deux grains fusionnés, un grain sous-développé ou simplement une enveloppe. Lorsqu’on compte les grains, une personne doit en rejeter certains, prendre deux grains pour un, et dans un autre cas, un grain pour deux. Un ensemble flou n'est pas si facile à intégrer dans un ordinateur numérique avec les langages classiques : les éléments d'un tableau (vecteur) doivent être de nouveaux tableaux de tableaux (vecteurs et matrices imbriqués, si l'on parle de Mathcad). Les mathématiques classiques (théorie des nombres, arithmétique, etc.) sont le crochet par lequel homme raisonnable se fixe (se détermine) dans le monde glissant et flou qui l'entoure. Et un crochet, comme vous le savez, est un outil plutôt rudimentaire, qui gâche souvent ce à quoi il s'accroche. Termes représentant des ensembles flous – « beaucoup », « légèrement », « un peu », etc. etc. - il est également difficile de le « mettre » dans un ordinateur parce qu'ils dépendant du contexte. C’est une chose de dire « Donnez-moi des graines » à une personne qui a un verre de graines, et une autre chose de dire à une personne assise au volant d’un camion avec des graines.

Sous-ensemble flou UN ensembles X caractérisé par la fonction d'appartenance m UN:X →, qui attribue à chaque élément XÎ X numéro m Hache)à partir de l'intervalle caractérisant le degré d'appartenance de l'élément X sous-ensemble UN. De plus, 0 et 1 représentent respectivement le plus bas et le plus haut degré appartenance d'un élément à un sous-ensemble spécifique.

Donnons des définitions de base.

· Valeur supplémentaire m UN(X) appelé hauteur ensemble flou UN. Ensemble flou UN Bien , si sa hauteur est 1 , c'est à dire. limite supérieure sa fonction d'appartenance est égale à 1. Quand souper mUN(X)<1 l'ensemble flou est appelé subnormal.

Un ensemble flou s’appelle vide, si sa fonction d'appartenance est égale à zéro sur l'ensemble X, c'est à dire. m 0 (x)= 0 " XÎ X.

Ensemble flou vide , Si " XÎ E m UNE ( X)=0 . Un ensemble subnormal non vide peut être normalisé par la formule

(Fig. 1).

Fig. 1. Normalisation d'un ensemble flou avec une fonction d'appartenance. .

Transporteur ensemble flou UN(désignation supplément A) avec fonction d'appartenance m Hache) appelé un ensemble de la forme supA={x|xÎ X, m Un(x)> 0). Pour Applications pratiques les porteurs d'ensembles flous sont toujours limités. Ainsi, le porteur d'un ensemble flou de modes admissibles pour un système peut être un sous-ensemble clair (intervalle), pour lequel le degré d'admissibilité n'est pas égal à zéro (Fig. 2).

Riz. 3. Noyau, transporteur et α- section d'un ensemble flou

Signification α appelé α -niveau. Le porteur (noyau) peut être considéré comme une section d'un ensemble flou sur zéro (unité) α -niveau.

Riz. 3 illustre les définitions porteur, noyau,α - sections etα - niveau ensemble flou.

CONCEPTS DE BASE DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES FLUEUX ET DES VARIABLES LINGUISTIQUES

1. Concept et principales caractéristiques d'un ensemble flou

Définition 1.1. Soit X un ensemble universel. Ensemble flou A sur l'ensemble X (sous-ensemble flou A de l'ensemble X) est une collection de paires

UNE = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

où x X ,μ A (x ) .X est appelé domaine de définition ensemble flouA, etμ A – fonction d'adhésion de cette multitude. La valeur de la fonction d'appartenance μ A (x) pour un élément spécifique x X est appelée degré d'affiliation de cet élément à l'ensemble flou A.

L'interprétation de la fonction d'appartenance est une mesure subjective de la façon dont l'élément x X correspond au concept dont la signification est formalisée par l'ensemble flou A. Dans ce cas, une valeur égale à 1 signifie une conformité totale (absolue), une valeur égale à 0 signifie un écart complet (absolu).

Définition 1.2. Les ensembles flous avec un domaine de définition discret sont appelés ensembles flous discrets, Pas-

effacer les ensembles avec zone continue définitions – continu

aucun ensemble flou.

Les ensembles ordinaires (nets) peuvent également être considérés dans un contexte flou. La fonction d'appartenance d'un ensemble régulier ne peut prendre que deux valeurs : 0 si l'élément n'appartient pas à l'ensemble, et 1 si l'élément lui appartient.

Dans la littérature, on trouve diverses formes enregistrements d'ensembles flous. Pour zone discrète définitions X = (x 1 ,x 2 , …,x n ) (le cas n = ∞ est également possible) les formes suivantes existent :

j = 1

où le signe intégral a du sens union ponctuelle surX. De plus, pour les cas discrets et continus, une forme de notation généralisée est utilisée :

B = (x x ≈ 2) – ensemble de nombres réels, approximativement égal 2, et C = (x x >> 1) – l'ensemble des nombres réels, sur-

beaucoup plus gros 1. Formes possibles Les fonctions d'appartenance de ces ensembles sont présentées schématiquement sur les figures 1.1 et 1.2, respectivement.

A titre d'exemple d'ensemble flou discret, on peut considérer D = (n n ≈ 1) – un ensemble d'entiers proches de 1,

une forme possible de spécification est la suivante :

N = (0,2/-3 ; 0,4/-2 ; 0,6/-1 ; 0,8/0 ; 1/1 ; 0,8/2 ; 0,6/3 ; 0,4/4 ; 0,2/5) (les points restants ont un degré de zéro adhésion) .

La forme spécifique de la fonction d'appartenance dépend du sens donné au concept formalisé dans les conditions tâche spécifique, et a souvent un caractère subjectif. La plupart des méthodes de construction des fonctions d'appartenance reposent, à un degré ou à un autre, sur le traitement d'informations obtenues par des moyens experts.

Remarque 1. Ici sup (supremum) est l'exact bord supérieur fonctions d’adhésion. Si l'ensemble X (domaine de définition) est fermé, alors le supremum de la fonction coïncide avec son maximum.

Définition 1.5. Si h A = 1, alors l'ensemble flou A est appelé

semble normal, sinon (hA< 1) – субнормальным.

Définition 1.6. Le porteur d’un ensemble flou A est l’ensemble

éléments du domaine de définition qui correspondent au moins dans une certaine mesure au concept en cours de formalisation.

Note 2 : Les désignations sup et Supp ne doivent pas être confondues. Le premier est l’abréviation de suprême, le second de support.

Définition 1.7. Ensemble de niveaux α (α -tranche) de flou

Le noyau d’un ensemble flou contient ainsi tous les éléments du domaine de définition qui correspondent pleinement au concept en cours de formalisation.

d'où il s'ensuit que l'élément multiplicité le niveau α appartient également à tous les ensembles de niveaux plus petits β ≤α .

Définition 1.9. Soient A et B des ensembles flous sur l'ensemble X avec des fonctions d'appartenance μ A et μ B, respectivement. Govo-

On dit que A est un sous-ensemble flou de B(B inclut

A), si la condition suivante est remplie :

Parmi les ensembles flous ayant un domaine de définition numérique, il existe également une classe de nombres flous et intervalles flous. Pour définir cette classe, la notion de convexité des ensembles flous est introduite.

Définition 1.11. Un sous-ensemble flou A de l'axe réel est dit convexe si la condition suivante est satisfaite :

En figue. La figure 1.3 montre des exemples d’ensembles flous convexes (à gauche) et non convexes (à droite).

Riz. 1.3. Vers la définition de la convexité d'un ensemble flou

Définition 1.12. Intervalle flou est appelé un ensemble flou normal convexe sur domaine numérique définitions qui ont fonction continue biens et un noyau non vide. Numéro flou est un intervalle flou dont le noyau contient exactement un élément.

Pour les intervalles flous et les nombres, il existe un théorème de représentation selon lequel un sous-ensemble flou A de l'axe réel est un intervalle flou si et seulement si sa fonction d'appartenance est représentable comme :

Les fonctions L A et R A sont appelées respectivement les branches gauche et droite de la fonction d'appartenance d'un nombre flou. Ces fonctions sont continues, tandis que L A sur le segment augmente de L A (a 0 ) = 0 à

L A (a 1 ) = 1, et R A sur le segment diminue de R A (b 1 ) = 1 à R A (b 0 ) = 0 (Fig. 1.4).

Riz. 1.4. Vers la définition d'un intervalle flou

Définition 1.13. Soit A = (A 1 ,A 2 ,… ,A n ) – une famille d'ensembles flous définis sur le domaine de définition X .Ã est appelée partition floue X avec le paramètre α (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

(c'est-à-dire que tout élément du domaine de définition appartient à au moins un des ensembles de la famille à de degré non inférieur à α - Fig. 1.5).

Généralisation du concept d'appartenance. Dans les exemples considérés, la fonction caractéristique prenait les valeurs 0 ou 1. Supposons que la fonction caractéristique prenne n'importe quelle valeur de . L’élément peut alors ne pas appartenir à l’ensemble, appartenir dans une certaine mesure ou être un élément de l’ensemble.

Ensemble flou . Sous-ensemble flou(ensemble flou) d'un ensemble est un ensemble de couples ordonnés, où est la fonction d'appartenance d'un élément à l'ensemble, caractérisant le degré d'appartenance de l'élément à cet ensemble, ou, en d'autres termes, la mesure de conformité de un élément d'un ensemble universel avec les propriétés d'un ensemble flou. Dans le cas d'un ensemble continu, la notation suivante est utilisée pour définir un ensemble flou : .

Beaucoup d'accessoires. L'ensemble des valeurs de la fonction d'appartenance est appelé Beaucoup d'accessoires. Si , alors est un ensemble ordinaire, c'est-à-dire qu'un ensemble net peut être considéré comme un cas limite d'un ensemble flou. Beaucoup de fournitures plus tard dans ce tutoriel.

Puissance d'un ensemble flou. Supposons qu'un ensemble flou soit spécifié sur un ensemble universel. Pouvoir ensemble flou ou son nombre cardinal est défini comme suit : .

Exemple 28. Sur l’ensemble universel, nous définissons l’ensemble flou suivant :

Définissons le nombre cardinal d'un ensemble flou :

L'appartenance d'un élément à un ensemble flou peut également être notée comme suit : .

Pour déterminer le degré d’appartenance d’un élément à un ensemble flou, il existe une terminologie particulière. Ainsi, un ensemble flou défini dans Exemple 28, contient dans une faible mesure l'élément, ne contient pas, dans une faible mesure contient, en grande partie – et, et contient l'élément.

Exemple 29. Un ensemble flou de petits nombres naturels peut être spécifié, par exemple, comme ceci :

Commentaire. Les valeurs sont données subjectivement.

Porteur d'un ensemble flou. Transporteur(support) d'un ensemble flou (supp) est l'ensemble des éléments pour lesquels .

vide si son support est l'ensemble vide. Le noyau d'un ensemble flou. Cœur

Un ensemble flou () est un ensemble d'éléments pour lesquels . . Hauteur d'un ensemble flou La quantité (pour les ensembles universels discrets) est appelée Hauteur

ensemble flou (). . Ensembles flous normaux et anormaux Ensemble flou Bien , si sa hauteur est 1. Si la hauteur est inférieure à 1, alors l'ensemble flou est appelé Subnormal

. Tout ensemble flou subnormal non vide peut être transformé en un ensemble flou normal en normalisant sa fonction d'appartenance : Ensembles flous unimodaux. Un ensemble flou s’appelle Unimodal

, ne serait-ce que pour un . Points de transition des ensembles flous. Les éléments pour lesquels sont appelés Points de transition

ensemble flou. . Ensembles flous unimodaux. Ensembles flous convexes Convexe

, Si: Exemple 30.

Soit l'ensemble universel l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire . Définissons un ensemble flou comme un ensemble de nombres proches d'un nombre (Fig. 4).

Figure 4

La fonction d'appartenance peut être spécifiée comme suit : , où . L'exposant est choisi en fonction du degré de proximité avec . Par exemple, pour décrire un ensemble de nombres très proches de , vous pouvez prendre ; pour un ensemble de nombres pas très éloignés de , . Exemple 31. Sur l'ensemble universel de Un ensemble flou est donné. Pour un ensemble flou : 1) déterminer sa cardinalité ; 2) déterminer le support, le noyau et la hauteur ; 3) savoir si c'est normal ou anormal. S'il est inférieur à la normale, convertissez-le en normal ; 4) vérifier si l'ensemble résultant est unimodal ; 5) déterminer les points de transition.

1. Par définition, la puissance (nombre cardinal) d'un ensemble flou défini sur un ensemble universel fini est déterminée par la formule : .

2. Utilisons les définitions du support, du noyau et de la hauteur d'un ensemble flou. Évidemment, , , .

3. L’ensemble flou donné est anormal. Construisons un ensemble normal flou qui lui correspond. Pour ce faire, on calcule les valeurs de la fonction d'appartenance de l'élément à l'aide de la formule :

Nous avons : , similaire à : , , , , . Ainsi, un ensemble normalisé flou.

4. L'ensemble est unimodal, puisqu'il ne contient qu'un seul élément pour lequel .

5. L'ensemble a un point de transition unique – , puisque seulement .

Multiplier des ensembles flous par un nombre. Si est un nombre positif tel que , alors pour un ensemble flou, la fonction d'appartenance est définie comme suit : .

Comparaison d'ensembles flous. Considérons deux ensembles flous et , définis sur l'ensemble universel .

Ils disent ça Contenu dans , c'est-à-dire s'il y en a . Graphiquement, cela signifie que la courbe définissant l'ensemble flou est située au-dessus de la courbe similaire de l'ensemble flou. Si la condition d’inclusion n’est pas remplie pour tout le monde, alors on parle de Degrés d'inclusion dans , qui est défini comme , où est l'ensemble sur lequel la condition d'inclusion est satisfaite.

Deux ensembles flous et Égal, s'ils sont contenus les uns dans les autres, c'est-à-dire s'il y en a .

Niveau du sous-ensemble. Un sous-ensemble du niveau -d'un ensemble flou , , est un sous-ensemble clair d'éléments pour lesquels . L'ensemble est également appelé -section d'un ensemble flou. Dans ce cas, si , alors on parle de section forte, et si , alors on parle de section faible. Se produit Propriété importante : si donc.

Pour l'analyse et la synthèse d'ensembles flous qu'ils utilisent Théorème de décomposition : un ensemble flou peut être décomposé en ensembles de niveaux comme suit : , où est le produit d'un nombre et de l'ensemble .

Exemple 32. Sur un ensemble universel, nous définissons un ensemble flou. Trouvons tous les sous-ensembles d'un ensemble flou :

D’après le théorème sur la décomposition des ensembles flous, nous représentons l’ensemble flou donné comme suit.

V. Ya. Pivkin, E. P. Bakulin, D. I. Korenkov

Ensembles flous dans les systèmes de contrôle

Édité par
Docteur en Sciences Techniques, Professeur Yu.N. Zolotukhina

Préface. 3

INTRODUCTION.. 4

1. ENSEMBLES FLUEUX... 5

Exemples d'écriture d'un ensemble flou. 5

Caractéristiques de base des ensembles flous. 5

Exemples d'ensembles flous. 6

Sur les méthodes de construction de fonctions d'appartenance d'ensembles flous. 7

Opérations sur les ensembles flous. 8

Représentation visuelle des opérations sur les ensembles flous. 9

Propriétés des opérations È et Ç. 9

Opérations algébriques sur les ensembles flous. dix

Distance entre ensembles flous, indices flous. 13

Principe de généralisation. 16

2. RELATIONS FLUES.. 17

Opérations sur les relations floues. 18

Composition de deux relations floues. 21

Sous-ensembles flous conditionnels. 23

3. VARIABLES FLUOUS ET LINGUISTIQUES... 27

Des chiffres flous. 28

Opérations sur les nombres flous. 28

Type de nombres flous (L-R). 29

4. ÉNONCÉS FLUEUX ET MODÈLES DE SYSTÈMES FLUEUX... 32

Règles de transformation des instructions floues. 33

Méthodes pour déterminer l'implication floue. 33

Description logico-linguistique des systèmes, modèles flous. 35

Modèle de contrôle de chaudière à vapeur.. 36

exhaustivité et cohérence des règles de gestion. 39

Littérature. 40

Préface

La propriété la plus frappante de l’intelligence humaine est peut-être sa capacité à prendre de bonnes décisions face à des informations incomplètes et peu claires. La construction de modèles de raisonnement humain approximatif et leur utilisation dans les systèmes informatiques des générations futures est aujourd'hui l'un des problèmes scientifiques les plus importants.

Des progrès significatifs dans cette direction ont été réalisés il y a 30 ans par Lotfi A. Zadeh, professeur à l'Université de Californie (Berkeley). Son travail "Fuzzy Sets", paru en 1965 dans la revue Information and Control, ╬ 8, a jeté les bases de la modélisation de l'activité intellectuelle humaine et a été l'impulsion initiale pour le développement d'une nouvelle théorie mathématique.

Qu’a proposé Zadeh ? Premièrement, il a élargi le concept cantorien classique ensembles, en supposant que la fonction caractéristique (la fonction d'appartenance d'un élément à un ensemble) peut prendre n'importe quelle valeur dans l'intervalle (0;1), et pas seulement les valeurs 0 ou 1. De tels ensembles ont été appelés par lui pas clair (flou). L. Zadeh a également défini un certain nombre d'opérations sur les ensembles flous et a proposé une généralisation des méthodes d'inférence logique bien connues modus ponens et modus tollens.

Après avoir introduit le concept variable linguistique et en supposant que les ensembles flous agissent comme ses valeurs (termes), L. Zadeh a créé un appareil pour décrire les processus de l'activité intellectuelle, y compris le flou et l'incertitude des expressions.

Les travaux ultérieurs du professeur L. Zadeh et de ses disciples ont jeté une base solide pour la nouvelle théorie et créé les conditions préalables à l'introduction de méthodes de contrôle flou dans la pratique de l'ingénierie.

Au cours des 5 à 7 dernières années, l'industrie a commencé à utiliser de nouvelles méthodes et modèles. Et bien que les premières applications des systèmes de contrôle flou aient eu lieu en Europe, c'est au Japon que ces systèmes sont mis en œuvre de manière plus intensive. Leur gamme d'applications est large : du contrôle du processus de départ et d'arrêt d'une rame de métro, au contrôle des monte-charges et des hauts fourneaux, en passant par les machines à laver, les aspirateurs et les fours à micro-ondes. Dans le même temps, les systèmes flous permettent d'améliorer la qualité des produits tout en réduisant les coûts en ressources et en énergie et offrent une plus grande résistance aux facteurs perturbateurs par rapport aux systèmes de contrôle automatique traditionnels.

En d’autres termes, de nouvelles approches permettent d’élargir le champ d’application des systèmes d’automatisation au-delà de l’applicabilité de la théorie classique. À cet égard, le point de vue de L. Zadeh est intéressant : « Je crois que le désir excessif de précision a commencé à avoir un effet qui annule la théorie du contrôle et la théorie des systèmes, car il conduit au fait que la recherche dans ce domaine est se concentrent sur ceux et uniquement sur les problèmes susceptibles d'être résolus avec précision. En conséquence, de nombreuses classes de problèmes importants dans lesquels les données, les objectifs et les contraintes sont trop complexes ou mal définis pour permettre une analyse mathématique précise ont été et restent de côté parce que. ils ne se prêtent pas à une interprétation mathématique, pour dire quoi que ce soit de significatif sur des problèmes de ce genre, nous devons abandonner nos exigences de précision et autoriser des résultats quelque peu vagues ou incertains.

Le déplacement de la recherche sur les systèmes flous vers des applications pratiques a conduit à la formulation d'un certain nombre de problèmes tels que de nouvelles architectures informatiques pour le calcul flou, la base élémentaire des ordinateurs et contrôleurs flous, des outils de développement, des méthodes d'ingénierie pour calculer et développer des systèmes flous. systèmes de contrôle, et bien plus encore.

L'objectif principal de ce manuel est d'attirer l'attention des étudiants, des étudiants diplômés et des jeunes chercheurs sur des problèmes flous et de fournir une introduction accessible à l'un des domaines les plus intéressants de la science moderne.

Professeur Yu.N.

INTRODUCTION

Théorie mathématique des ensembles flous proposée par L. Zade il y a plus d'un quart de siècle, permet de décrire des concepts et des connaissances floues, d'opérer avec ces connaissances et de tirer des conclusions floues. Les méthodes de construction de systèmes informatiques flous basées sur cette théorie élargissent considérablement la portée des applications informatiques. Récemment, le contrôle flou a été l'un des domaines de recherche les plus actifs et les plus productifs dans l'application de la théorie des ensembles flous. Le contrôle flou est particulièrement utile lorsque les processus technologiques sont trop complexes pour être analysés à l’aide de méthodes quantitatives conventionnelles, ou lorsque les sources d’informations disponibles sont interprétées de manière qualitative, imprécise ou vague. Il a été démontré expérimentalement que le contrôle flou donne de meilleurs résultats par rapport à ceux obtenus avec les algorithmes de contrôle conventionnels. Les méthodes floues aident à contrôler les hauts fourneaux et les laminoirs, les voitures et les trains, à reconnaître la parole et les images et à concevoir des robots dotés du toucher et de la vision. La logique floue, sur laquelle repose le contrôle flou, est plus proche dans l'esprit de la pensée humaine et des langages naturels que les systèmes logiques traditionnels. La logique floue constitue essentiellement un moyen efficace de représenter les incertitudes et les imprécisions du monde réel. La présence de moyens mathématiques pour refléter le flou de l'information initiale permet de construire un modèle adéquat à la réalité.

1. ENSEMBLES FLUEUX

Laisser E- ensemble universel, X - élément E, UN R.- des biens. Sous-ensemble régulier (nettement) UN ensemble universel E, dont les éléments satisfont à la propriété R., est défini comme l'ensemble des paires ordonnées UNE = ( m UNE ( X)/X } , Où

m UNE ( X) - fonction caractéristique, en prenant la valeur 1 , Si X satisfait la propriété R, Et 0 - sinon.

Un sous-ensemble flou diffère d'un sous-ensemble régulier en ce sens que pour les éléments X depuis E Il n'y a pas de réponse claire "Pas vraiment" concernant la propriété R.. À cet égard, le sous-ensemble flou UN ensemble universel E est défini comme l'ensemble des paires ordonnées UNE = ( m UNE ( X)/X } , Où

m UNE ( X) - fonction d'appartenance caractéristique(ou simplement une fonction d'appartenance) prenant des valeurs dans un ensemble bien ordonné M(Par exemple, M =). La fonction d'adhésion indique degré(ou niveau) d'appartenance à l'élément X sous-ensemble UN. Un tas de M appelé de nombreux accessoires. Si M = (0,1), alors le sous-ensemble flou UN peut être considéré comme un ensemble ordinaire ou croustillant.

Flou(ou flou, indistinct) un tas de- un concept introduit par L. Zadeh, qui a élargi le concept classique (Cantor) d'ensemble, admettant que la fonction caractéristique (la fonction d'appartenance d'un élément à un ensemble) peut prendre n'importe quelle valeur dans l'intervalle, et pas seulement les valeurs 0 ou 1.

Définition: ensemble flou(un ensemble flou)

Laisser C il existe un ensemble universel (univers). Puis l'ensemble flou UN V C est défini comme un ensemble ordonné de paires

où est appelée la fonction d'appartenance (MF) de l'élément Xà l'ensemble flou UN.

FP attribue à chaque élément de C valeur de l'intervalle, appelée degré d'adhésion xÀ UN ou une mesure floue.

Une mesure floue peut être considérée comme le degré de vérité qu'un élément X fait parti UN.

Définition: base d'ensemble flou(un support d'un fuzzyset)

La base d'un ensemble flou UN est l'ensemble de tous les points tels que .

Ainsi, la définition d'un ensemble flou est une extension de la définition d'un ensemble classique, dans laquelle la fonction caractéristique peut prendre des valeurs continues comprises entre 0 et 1. Univers C peut être un ensemble discret ou continu.

Plusieurs types de fonctions paramétriques sont généralement utilisés pour représenter les FP.

Représentations typiques de FP

Triangulaire PT (Fig. 2.2, a) sont décrits par trois paramètres ( une, b, c), qui déterminent X Les coordonnées des trois coins du triangle sont les suivantes :

Trapézoïdal PT (Fig. 2.2, c) sont décrits par quatre paramètres ( a B c d), qui déterminent X Les coordonnées des quatre coins du trapèze sont les suivantes :

Riz. 2.2. AF triangulaire et trapézoïdal

Gaussien Les FP (Fig. 2.3) sont spécifiés par deux paramètres et représentent la fonction suivante : .

Riz. 2.3. PT gaussien

Variables linguistiques

L'un des concepts fondamentaux, également introduit par L. Zadeh, est le concept de variable linguistique.

Définition: variable linguistique(LP) représente les cinq suivants, où est le nom de la variable, est un ensemble de termes qui spécifie l'ensemble des valeurs LP, qui sont des expressions linguistiques (syntagmes), X- l'univers, g– une règle syntaxique, à l’aide de laquelle on peut former des syntagmes, M– une règle sémantique, selon laquelle chaque syntagme se voit attribuer sa signification, qui est un ensemble flou dans l'univers X.

Un exemple de LP serait, par exemple, variable = « âge ». Son ensemble de termes peut être, par exemple, le suivant :

(âge) = ( Très jeune, jeune, plus ou moins jeune, d'âge moyen, vieux, très vieux}.

L'univers d'un LP donné peut être un certain ensemble de nombres réels, par exemple l'intervalle. Règle sémantique M attributs aux termes de T(âge) valeurs qui sont diverses modifications d'ensembles flous.

Revenons à notre exemple de contrôle du mouvement d'une voiture et décrivons les significations linguistiques des règles ci-dessus à l'aide d'ensembles flous. Considérez les variables linguistiques suivantes :

X – distance entre les voitures ;

oui– vitesse la voiture devant ;

z– l'accélération du véhicule conduit.

Les PF doivent être définis en fonction de la situation de gestion considérée. Ainsi, par exemple, une vitesse de 70 km/h est « élevée » lors de la conduite sur une route urbaine et peut être considérée comme « faible » lors de la conduite sur une autoroute.

Pour notre exemple, nous définissons les univers suivants :

[m], [km/h],

[km/h 2 ].

En figue. La figure 2.4 montre les FP pour décrire les significations linguistiques « petit » (lent) et « grand » (rapide) pour la vitesse et « proche » (court) et « grand » (long) pour la distance.

Riz. 2.4. Ensembles flous pour le problème du contrôle du mouvement le plus simple d'une voiture

Différences entre la représentation classique et la représentation floue

Discutons de ces différences à l'aide de l'exemple suivant. Considérez les représentations d'ensembles classiques et floues pour décrire la signification linguistique de « court » (pour distance).

En figue. 2.5 montre les différences entre la représentation classique et floue de l'ensemble UN pour cet exemple.

Riz. 2.5. Représentations classiques et floues de l'ensemble A

Définissons la représentation classique d'un ensemble UN comme le montre la fig. 2,5 à gauche. Dans ce cas, la fonction caractéristique sera :

Représentation d'ensemble flou UN montré sur la fig. 2,5 à droite. Dans ce cas, la fonction d'adhésion FP ressemble à ceci :

Posons-nous maintenant la question suivante: si le point m ou le point m appartient à l'ensemble UN?

D’un point de vue classique, la réponse est « non ». Du point de vue de la perception humaine, la réponse est plus probablement « oui » que « non ». D’un point de vue flou, la réponse est oui.

Ainsi, cet exemple simple montre clairement que l’approche floue est plus proche de l’approche naturelle, humaine, et présente une plus grande flexibilité que l’approche classique.

À l’aide d’ensembles flous, nous pouvons décrire des limites floues.

Opérations de base dans la théorie des ensembles flous

Définissons les principales opérations floues comme suit.

Définition: sous-ensemble flou(Confinement flou ou sous-ensemble flou). Ensemble flou UN contenu dans l'ensemble flou B(ou équivalent UN est un sous-ensemble B) si et seulement si pour tout le monde . Sous forme symbolique :

Définition:équivalence des ensembles flous(Égalité des ensembles flous). Équivalence (égalité) des ensembles flous UN Et B est défini comme suit :

Pour chaque .

Définition:union floue ou disjonction floue(Union floue). Union de deux ensembles flous. UN Et B(sous forme symbolique écrite comme ou UN OU B ou A B) est un ensemble flou dont PT est défini comme suit :

Définition:intersection floue(Intersection floue). L'intersection de deux ensembles flous. UN Et B(sous forme symbolique écrite comme , ou C=A ET B, ou C= A B) est un ensemble flou dont PT est défini comme suit :

Définition:addition floue. Ajout UN(sous forme symbolique écrite sous la forme ou) est flou, dont le PT est déterminé comme suit :

La figure 2.6 montre des exemples d'opérations floues sur des ensembles flous.

Riz. 2.6. Exemples d'opérations floues sur des ensembles flous

Caractéristiques des ensembles flous

Notons les caractéristiques importantes de la théorie des ensembles flous.

1) Loi du tiers exclu Et loi de la contradiction, où est l'ensemble vide sont vrais dans la théorie classique des ensembles, mais dans la théorie des ensembles flous dans le cas général, ils ne sont pas remplis.

La loi du tiers exclu et la loi de contradiction dans la théorie floue sont les suivantes : et .

2) Dans la théorie des ensembles classique point de l'ensemble UN peut avoir l'une des deux possibilités suivantes : ou . En théorie floue, un point peut appartenir à un ensemble UN et en même temps ne pas appartenir UN(c'est-à-dire appartenir à l'ensemble) avec différentes valeurs des fonctions d'appartenance et, comme le montre la Fig. 2.7.