Définition
Voisinage d'un point réel x 0
Tout intervalle ouvert contenant ce point est appelé :
.
Ici ε 1
et ε 2
- des nombres positifs arbitraires.
Epsilon - voisinage du point x 0
est l'ensemble des points à la distance à partir de laquelle pointer x 0
inférieur à ε :
.
Un quartier perforé du point x 0
est le voisinage de ce point dont le point x lui-même est exclu 0
:
.
Quartiers des points de terminaison
Au tout début, une définition du voisinage d'un point a été donnée. Il est désigné comme .
(1)
.
Mais vous pouvez indiquer explicitement que le voisinage dépend de deux nombres en utilisant les arguments appropriés :
Autrement dit, un voisinage est un ensemble de points appartenant à un intervalle ouvert. 1
Égalisation de ε 2
à ε
(2)
.
, on obtient epsilon - voisinage :
Un voisinage epsilon est un ensemble de points appartenant à un intervalle ouvert dont les extrémités sont équidistantes.
Bien entendu, la lettre epsilon peut être remplacée par n'importe quelle autre et considérer δ - quartier, σ - quartier, etc.
En théorie des limites, on peut utiliser une définition du voisinage basée à la fois sur l'ensemble (1) et sur l'ensemble (2). L'utilisation de l'un de ces quartiers donne des résultats équivalents (voir). Mais la définition (2) est plus simple, c'est pourquoi epsilon est souvent utilisé - le voisinage d'un point déterminé à partir de (2). Les notions de quartiers de gauche, de droite et perforés sont également largement utilisées. points de terminaison
. Voici leurs définitions. 0
Voisinage gauche d'un point réel x est un intervalle semi-ouvert situé sur axe réel 0
à gauche du point x
;
.
, y compris le point lui-même : 0
Voisinage du côté droit d'un point réel x 0
à gauche du point x
;
.
est un intervalle semi-ouvert situé à droite du point x
Quartiers perforés des points de terminaison 0 Quartiers perforés du point x
- ce sont les mêmes quartiers dont le point lui-même est exclu. Ils sont indiqués par un cercle au-dessus de la lettre. Voici leurs définitions. 0
:
.
Voisinage perforé du point x 0
:
;
.
Epsilon perforé - voisinage du point x:
;
.
Quartier côté gauche percé:
;
.
Proximité du côté droit perforé
Quartiers de points à l'infini En plus des points finaux, des quartiers à l'infini sont également introduits. Ils sont tous perforés car il n'y a pas de nombre réel à l'infini (le point à l'infini est défini comme la limite d'une suite infiniment grande).
.
;
;
.
Il était possible de déterminer les voisinages de points à l'infini comme ceci :
.
Mais au lieu de M, nous utilisons , de sorte que le quartier avec ε plus petit soit un sous-ensemble du quartier avec ε plus grand, comme pour les quartiers de points finaux.
Propriété de quartier
Ensuite, on utilise la propriété évidente du voisinage d'un point (fini ou à l'infini). Cela réside dans le fait que les voisinages des points avec valeurs plus petitesε sont des sous-ensembles de quartiers avec de grandes valeurs de ε.
Voici des formulations plus strictes.
Qu'il y ait un point final ou infiniment éloigné. Et qu'il en soit ainsi.
;
;
;
;
;
;
;
.
Alors
L’inverse est également vrai.
Equivalence des définitions de la limite d'une fonction selon Cauchy
Nous allons maintenant montrer que pour déterminer la limite d'une fonction selon Cauchy, vous pouvez utiliser à la fois un voisinage arbitraire et un voisinage aux extrémités équidistantes.
Théorème
Les définitions de Cauchy de la limite d'une fonction qui utilisent des quartiers arbitraires et des quartiers aux extrémités équidistantes sont équivalentes.
Preuve Formulons.
première définition de la limite d'une fonction
.
Preuve Un nombre a est la limite d'une fonction en un point (fini ou à l'infini), si pour tout nombre positif il existe des nombres qui en dépendent et qui pour tous appartient au voisinage correspondant du point a :.
deuxième définition de la limite d'une fonction Le nombre a est la limite de la fonction au point si pour n'importe quel nombre positif
.
il y a un nombre en fonction de ça pour tous :
Preuve 1 ⇒ 2
Montrons que si un nombre a est la limite d'une fonction selon la 1ère définition, alors c'est aussi une limite selon la 2ème définition.
Soit la première définition satisfaite. Cela signifie qu'il existe des fonctions et , donc pour tout nombre positif, ce qui suit est valable :
à, où.
.
Puisque les nombres sont arbitraires, nous les assimilons :
Soit la première définition satisfaite. Cela signifie qu'il existe des fonctions et , donc pour tout nombre positif, ce qui suit est valable :
Ensuite, il existe de telles fonctions et , donc pour tout ce qui suit est valable :
Noter que .
.
Soit le plus petit des nombres positifs et .
Ensuite, d'après ce qui a été noté ci-dessus,
Soit la première définition satisfaite. Cela signifie qu'il existe des fonctions et , donc pour tout nombre positif, ce qui suit est valable :
Si, alors.
Autrement dit, nous avons trouvé une telle fonction, donc pour n'importe quelle fonction, ce qui suit est valable :
Cela signifie que le nombre a est la limite de la fonction selon la deuxième définition.
Laissez la deuxième définition être satisfaite. Prenons deux nombres positifs et .
.
Et que ce soit le moindre d'entre eux. Alors, selon la deuxième définition, il existe une telle fonction , de sorte que pour tout nombre positif et pour tout , il s'ensuit que
.
Mais selon , .
.
Donc, de ce qui suit,
Ensuite pour tout nombre positif et , nous avons trouvé deux nombres, donc pour tout :
Cela signifie que le nombre a est une limite selon la première définition.
Le théorème a été prouvé. Littérature utilisée : L.D. Kudryavtsev. Bien
analyse mathématique. Tome 1. Moscou, 2003. Définition. Pointer vers l'infini plan complexe appelé point singulier isolénon ambigu(fonction analytique f z), Si dehors,
cercle d'un certain rayon non ambigu(fonction analytique).
R. 
ceux. pour , il n’y a pas de point singulier fini de la fonction
Pour étudier la fonction en un point à l'infini, on fait le remplacement ζ
Fonction
aura une singularité au point 
= 0, et ce point sera isolé, puisque
à l'intérieur du cercle ζ
Il n'y a pas d'autres points particuliers selon la condition. Être analytique dans ce domaine 
cercle (à l'exception de ce qu'on appelle ζ
= 0), fonction
peut être étendu dans une série Laurent en puissances fonction analytique. La classification décrite dans le paragraphe précédent reste totalement inchangée. fonction analytique Cependant, si l'on revient à la variable d'origine
, puis séries en puissances positives et négatives 1.
«changer» de place. Ceux. Le classement des points à l'infini ressemblera à ceci : fonction analytique =
Exemples.
.
2.
Point fonction analytique =
∞
je − pôle du 3ème ordre..
. Point
− de manière significative fonction analytique point singulier
non ambigu(fonction analytique§18. Résidu d'une fonction analytique en un point singulier isolé. non ambigu(fonction analytique Laissons le point 
0 est un point singulier isolé d'une fonction analytique à valeur unique 
analyse mathématique) . D'après le précédent, au voisinage de ce point) peut être représenté uniquement par la série Laurent : non ambigu(fonction analytique Où fonction analytique 0
Déduction fonction analytique) en un point singulier isolé 
appelé fonction analytique 0 .
nombre complexe [non ambigu(fonction analytique),fonction analytique 0 ].
, égal à la valeur de l'intégrale , pris dans le sens positif le long de tout contour fermé situé dans le domaine d'analyticité de la fonction et contenant en lui un seul point singulier.
La déduction est indiquée par le symbole Res Il est facile de constater que le résidu se trouve en un point singulier régulier ou amovibleégal à zéro
.
En un pôle ou un point essentiellement singulier, le résidu est égal au coefficient Avec 
.
-1 rang Laurent :
Exemple. Il est facile de constater que le résidu se trouve en un point singulier régulier ou amovible Trouver le résidu d'une fonction (Que ce soit facile de voir que coefficient non ambigu(fonction analytique),Exemples.
]
=
}
-1 est obtenu en multipliant les termes par n= 0:Rés[ non ambigu(fonction analytique Il est souvent possible de calculer les résidus de fonctions sur fonction analytique 0 pôle du premier ordre. Dans ce cas, le développement de la fonction dans une série de Laurent a la forme (§16) :. Multiplions cette égalité par (z−z 0) et allons à la limite en 
. On obtient ainsi : Res[ non ambigu(fonction analytique),fonction analytique 0 ] =
Alors, dans
Dans le dernier exemple, nous avons Res[ non ambigu(fonction analytique),Exemples.
]
=
.
Pour calculer les résidus aux pôles d'ordre supérieur, multipliez la fonction
sur 
(m− ordre des pôles) et différencier la série résultante ( m −
1) fois.
Dans ce cas on a : Res[ non ambigu(fonction analytique),fonction analytique 0 ]
En un pôle ou un point essentiellement singulier, le résidu est égal au coefficient Avec 
au point z= −1.
{
Rés[ non ambigu(fonction analytique),
−1]
}
Nous avons défini le voisinage de ce point comme l'extérieur des cercles centrés à l'origine : U
(∞, ε
) = {fonction analytique
∈ | |z
| > ε). Point fonction analytique
= ∞ est un point singulier isolé de la fonction analytique w
= non ambigu
(fonction analytique
), si dans un voisinage de ce point il n'y a pas d'autres points singuliers de cette fonction. Pour déterminer le type de ce point singulier, on fait un changement de variable, et le point fonction analytique
= ∞ va au point fonction analytique
1 = 0, fonction w
= non ambigu
(fonction analytique
) prendra la forme 
. Type de point singulier fonction analytique
= ∞ fonctions w
= non ambigu
(fonction analytique
) nous appellerons le type de point singulier fonction analytique
1 = 0 fonctions w
= φ
(fonction analytique
1). Si l'extension de la fonction w
= non ambigu
(fonction analytique
) par degrés fonction analytique
à proximité d'un point fonction analytique
= ∞, c'est-à-dire à des valeurs de module suffisamment grandes fonction analytique
, a alors la forme , en remplaçant fonction analytique
le, nous recevrons. Ainsi, avec un tel changement de variable, les parties principales et régulières de la série de Laurent changent de place, et le type du point singulier fonction analytique
= ∞ est déterminé par le nombre de termes dans la partie correcte du développement de la fonction dans la série de Laurent en puissances fonction analytique
à proximité d'un point fonction analytique
= 0. Donc
1. Pointer fonction analytique
= ∞ est un point singulier amovible si ce développement ne contient pas la bonne partie (sauf peut-être pour le terme UN
0);
2. Pointer fonction analytique
= ∞ - pôle (Que ce soit facile de voir que
-ième ordre si la partie droite se termine par un terme Un
· z n
;
3. Pointer fonction analytique
= ∞ est un point essentiellement singulier si la partie régulière contient une infinité de termes.
Dans ce cas, les critères des types de points singuliers par valeur restent valables : si fonction analytique= ∞ est un point singulier amovible, alors cette limite existe et est finie si fonction analytique= ∞ est un pôle, alors cette limite est infinie si fonction analytique= ∞ est un point essentiellement singulier, alors cette limite n'existe pas (ni finie ni infinie).
Exemples : 1. non ambigu
(fonction analytique
) = -5 + 3z
2 - fonction analytique
6. La fonction est déjà un polynôme en puissances fonction analytique
, le degré le plus élevé est le sixième, donc fonction analytique
Le même résultat peut être obtenu d’une autre manière. Nous remplacerons fonction analytique
sur, alors 
. Pour la fonction φ
(fonction analytique
1) point fonction analytique
1 = 0 est un pôle du sixième ordre, donc pour non ambigu
(fonction analytique
) indiquer fonction analytique
= ∞ - pôle du sixième ordre.
2. . Pour cette fonction, procurez-vous une extension de puissance fonction analytique
difficile, alors trouvons : 
; la limite existe et est finie, donc le point fonction analytique
3. . Partie correcte de l'extension de puissance fonction analytique
contient une infinité de termes, donc fonction analytique
= ∞ est un point essentiellement singulier. Sinon, ce fait peut être établi sur la base du fait qu'il n'existe pas.
Résidu d'une fonction en un point singulier infiniment éloigné.
Pour le dernier point singulier un
, Où γ
- un circuit n'en contenant aucun autre sauf un
, points singuliers, parcourus de telle sorte que la zone délimitée par celui-ci et contenant le point singulier reste à gauche (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).
Définissons de la même manière : 
, où Γ − est le contour limitant un tel voisinage U
(∞, r
) points fonction analytique
= ∞, qui ne contient pas d'autres points singuliers, et est traversable pour que ce quartier reste à gauche (c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre). Ainsi, tous les autres points singuliers (finaux) de la fonction doivent être situés à l’intérieur du contour Γ − . Changeons la direction de parcours du contour Γ − : 
. Par le théorème principal sur les résidus 
, où la sommation est effectuée sur tous les points singuliers finis. Donc finalement
,
ceux. résidu en un point singulier infiniment éloigné égal à la somme résidus sur tous les points singuliers finis, pris avec le signe opposé.
En conséquence, il y a théorème de la somme totale: si fonction w = non ambigu (fonction analytique ) est analytique partout dans le plan AVEC , sauf pour un nombre fini de points singuliers fonction analytique 1 , fonction analytique 2 , fonction analytique 3 , …,zk , alors la somme des résidus en tous les points singuliers finis et le résidu à l'infini est nulle.
Notez que si fonction analytique
= ∞ est un point singulier amovible, alors le résidu en celui-ci peut être différent de zéro. Donc pour la fonction, évidemment, ; fonction analytique
= 0 est le seul point singulier fini de cette fonction, donc 
, malgré le fait que, c'est-à-dire fonction analytique
= ∞ est un point singulier amovible.
Si une séquence converge vers nombre fini a , alors ils écrivent
.
Nous avons précédemment introduit en considération séquences infiniment longues. Nous avons supposé qu'ils étaient convergents et avons indiqué leurs limites avec les symboles et . Ces symboles représentent pointe à l'infini . Ils n'appartiennent pas à la multitude nombres réels
Définition
. Mais la notion de limite permet d'introduire de tels points et fournit un outil pour étudier leurs propriétés à l'aide de nombres réels. Pointer vers l'infini
, ou infini non signé, est la limite vers laquelle tend une séquence infiniment grande. Pointer vers l'infini plus l'infini
, est la limite vers laquelle tend une suite infiniment grande avec des termes positifs. Pointer vers l'infini moins l'infini
, est la limite vers laquelle tend une séquence infiniment grande avec des termes négatifs.
;
.
Pour tout nombre réel a, les inégalités suivantes sont vraies : En utilisant des nombres réels, nous avons introduit le concept.
voisinage d'un point à l'infini
Le voisinage d’un point est l’ensemble.
Enfin, le voisinage d’un point est l’ensemble.
Ainsi, nous avons élargi l'ensemble des nombres réels en y introduisant de nouveaux éléments. À cet égard, il y a définition suivante:
Droite numérique étendue ou ensemble étendu de nombres réels est l'ensemble des nombres réels complétés par les éléments et :
.
Tout d’abord, nous allons écrire les propriétés que les points et . Nous considérons ensuite la question de la stricte définition mathématique
opérations pour ces points et preuves de ces propriétés.
Propriétés des points à l'infini.
;
;
;
;
Somme et différence.
;
;
;
;
;
;
;
.
Produit et quotient.
Relation avec les nombres réels
;
;
;
;
;
.
Soit a un nombre réel arbitraire. Alors > 0
Laissez un
;
;
.
Soit a un nombre réel arbitraire. Alors < 0
Laissez un
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Alors
Opérations non définies
Preuves des propriétés des points à l'infini
Définir des opérations mathématiques Nous avons déjà donné des définitions pour les points à l'infini. Nous devons maintenant leur définir des opérations mathématiques. Puisque nous avons défini ces points à l’aide de séquences, les opérations avec ces points doivent également être définies à l’aide de séquences.
Donc,
somme de deux points
,
c = une + b,
,
appartenant à l'ensemble étendu des nombres réels,
nous appellerons la limite
où et sont des séquences arbitraires ayant des limites
Et .
Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont définies de manière similaire. Seulement, en cas de division, les éléments du dénominateur de la fraction ne doivent pas être égaux à zéro.
Alors la différence de deux points :
Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont définies de manière similaire. Seulement, en cas de division, les éléments du dénominateur de la fraction ne doivent pas être égaux à zéro.
- c'est la limite : .
Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont définies de manière similaire. Seulement, en cas de division, les éléments du dénominateur de la fraction ne doivent pas être égaux à zéro.
Produit de points : Privé:, .
Ici et sont des séquences arbitraires dont les limites sont respectivement a et b . DANS
ce dernier cas
Preuves de propriétés
.
Pour prouver les propriétés des points à l’infini, nous devons utiliser les propriétés de séquences infiniment grandes.
,
Considérez la propriété :
1
Pour le prouver, il faut montrer que
;
.
En d’autres termes, nous devons prouver que la somme de deux suites qui convergent vers plus l’infini converge vers plus l’infini.
.
les inégalités suivantes sont satisfaites :
Alors pour et nous avons :
Disons-le.
Alors
à ,
Où .
.
Cela signifie que.
,
D’autres propriétés peuvent être démontrées de la même manière. A titre d'exemple, donnons une autre preuve.
Montrons que : Pour ce faire, nous devons montrer que.
où et sont des séquences arbitraires, avec des limites et . 1
Pour le prouver, il faut montrer que
;
.
En d’autres termes, nous devons prouver que la somme de deux suites qui convergent vers plus l’infini converge vers plus l’infini.
.
les inégalités suivantes sont satisfaites :
Alors pour et nous avons :
Disons-le.
Alors
Autrement dit, nous devons prouver que le produit de deux suites infiniment grandes est infini.
grande séquence Prouvons-le. Puisque et , alors il existe des fonctions et , donc pour tout nombre positif M avec des points à l'infini ne sont pas définis. Pour montrer leur incertitude, il est nécessaire de donner quelques cas particuliers où le résultat de l'opération dépend du choix des séquences qui y sont incluses.
Considérez cette opération :
.
Il est facile de montrer que si et , alors la limite de la somme des séquences dépend du choix des séquences et .
En effet, prenons-le.
Les limites de ces séquences sont .
Plafond de montant
est égal à l'infini.
Prenons maintenant . Les limites de ces séquences sont également égales. Mais la limite de leur montant
égal à zéro.
