V. JVIRBLIS
Le ciel nocturne sans fond et le bruit incessant des vagues font généralement penser, contre notre gré, à l’infini. Infinité de l'espace et infinité du temps.
L’infini, cependant, n’est pas tant attrayant qu’effrayant. Vraiment, le givre envahit votre peau lorsque vous essayez de le visualiser. Et apparemment, c'est pourquoi l'homme, de l'Antiquité à nos jours, recherche et crée mentalement sans relâche un monde fini et confortable autour de lui.
Au début, afin de protéger le monde, l'homme a placé terre plate sur trois baleines ou trois éléphants et a inventé une légende sur la création du monde et la fin du monde. Mais tout comme autrefois, personne ne pouvait répondre à la question de savoir où nagent les baleines ou où se trouvent les éléphants, ce qui s'est passé avant la création du monde et ce qui se passera après la fin du monde, de même aujourd'hui, malgré l'existence de nombreux théories sophistiquées de l'univers, signification physique Le concept apparemment simple de « l’infini » reste très vague, et personne ne semble avoir encore trouvé le moyen de représenter l’infini de manière véritablement visuelle.
Bien que les mathématiciens soient des gens comme tout le monde, ils parcourent depuis longtemps avec courage les vastes étendues de l’infini.
Comment font-ils cela ? Que faut-il, par exemple, pour écrire un nombre avec une précision absolue ? e, désignant la base des logarithmes naturels ?
Il peut y avoir deux réponses à cette question.
Première réponse : une feuille de papier infiniment grande et grand moment, car peu importe la taille et la rapidité avec lesquelles nous écrivons des nombres, en remplissant une surface infiniment grande avec eux dans une rangée sans fin e= 2,71828... cela prendra une éternité. Dans ce cas, ils parlent d’infini potentiel, c’est-à-dire d’un infini qui n’existe que potentiellement, pour ainsi dire, en principe, mais qui ne peut jamais réellement prendre fin.
Deuxième réponse : n'importe quel morceau de papier et quelques secondes, pendant lesquelles vous pouvez esquisser une formule qui vous permet de calculer le nombre e avec une précision prédéterminée. Pour ce faire, dans la formule (on la retrouve dans l'ouvrage de référence), il suffit de substituer tour à tour les nombres de la série naturelle augmentant jusqu'à l'infini. Cette opération est généralement désignée par une combinaison de symboles n→ ∞; dans ce cas, l'infini est appelé actuel, c'est-à-dire comme s'il était une fois pour toutes réellement achevé, réellement existant, bien qu'il n'égale rien de défini.
L'astuce de cette dernière technique est que tout l'infini est caché dans une courte combinaison de symboles, à laquelle le temps participe sous une forme déguisée : après tout n nous devons l'augmenter tout le temps ! Mais les physiciens qui s’intéressent au monde réel ne peuvent pas suivre l’exemple des mathématiciens, qui agissent selon leur propre logique, ignorant complètement le temps.
DANS formules physiques l'infini surgit de temps en temps, et pour s'en débarrasser (après tout, en monde réel toutes les quantités doivent être finies), les physiciens sont dans une certaine mesure fourbes, remplaçant silencieusement les quantités infiniment grandes par des quantités très grandes, mais toujours finies, et ignorant simplement les quantités infiniment petites. Comme on dit, s’il n’y a pas d’infini, alors aucun problème n’y est associé.
Un tel « arrondi » des infinis est légitime lorsque nous parlons deà propos de l'interprétation résultats expérimentaux(après tout, la précision des mesures est toujours limitée), mais c'est totalement inacceptable dans une théorie « pure ». Par exemple, on est souvent confronté à des expressions totalement dénuées de sens, comme « masse infiniment grande (petite) » ou « vitesse infiniment petite (haute) ». Après tout, cela signifie que la masse augmente ou diminue tout le temps, que la vitesse diminue ou augmente tout le temps, c'est-à-dire que la masse et l'énergie proviennent d'endroits inconnus ou disparaissent vers des endroits inconnus. Peut-on imaginer une fusée dont la vitesse augmente constamment, mais dont les moteurs ne consomment aucun carburant ?
Cela signifie qu’il ne s’agit pas ici de quantités véritablement infiniment grandes ou infiniment petites, mais de quantités finies – soit inimaginablement grandes, soit négligeablement petites. Sinon, comment les physiciens pourraient-ils décrire des situations qui ne se produisent jamais ?
Le mot même « infini » semble indiquer qu’il s’agit de quelque chose qui n’a ni début ni fin. Ligne sans fin plan infini, espace infini... Il s'agit d'une image visuelle de l'infini potentiel. Un segment fini peut-il être considéré comme infini ? Dis, un centimètre de long ?
Du point de vue des mathématiques pures, un segment d'un centimètre de long et un segment égal au diamètre d'un atome d'hydrogène ou d'un électron peuvent être considérés comme infiniment grands. Et en général, n'importe quel segment, aussi petit soit-il, mais fini - le tout est de savoir comment le mesurer. Après tout, si une unité de mesure est infiniment petite (ou plutôt tend vers zéro), alors la taille de tout segment mesuré avec son aide est infiniment grande (plus précisément, tend vers l'infini).
Autrement dit, sans fin grande valeur il n'est pas nécessaire qu'il soit inimaginable ; il peut avoir n'importe quelle dimension finie (et même extrêmement petite de notre point de vue) si une valeur infiniment petite est utilisée pour le mesurer, c'est-à-dire décroissant continuellement dans le temps ; mais la même quantité finie peut aussi être considérée comme infinitésimale si elle est mesurée à l'aide d'une quantité qui augmente infiniment avec le temps.
C'est-à-dire qu'en substance, l'infini physique réel doit avoir deux régions inextricablement liées - la région de l'infiniment grand et la région de l'infiniment petit - et il ne peut donc pas être divisé en potentiel et réel. Une telle infinité doit simplement exister.
En fait, nous savons que la matière est constituée de molécules, que les molécules sont constituées d'atomes, que les atomes sont constitués d'électrons et de noyaux, et que les noyaux sont constitués de protons et de neutrons. De quoi sont constitués les électrons, les protons et les neutrons eux-mêmes ? Des quarks ? Et de quoi sont-ils faits ? Autrement dit, peu importe à quelle profondeur nous pénétrons dans la structure des particules de matière, nous pourrons sans cesse nous poser la même question sacramentelle : de quoi ?
Il s’avère que les baleines et les éléphants se trouvent non seulement dans la région de l’infiniment grand, mais aussi dans la région de l’infiniment petit…
Tout le monde sait très bien que les personnes qui opèrent dans l’espace ne sont pas les mêmes. lois physiques, qui est dans un microcosme. Là - la théorie de la relativité, restreinte et générale : ici - mécanique quantique. Et bien que les deux théories soient unies par la mécanique quantique relativiste, cela ne rend pas les choses plus faciles : toutes ces théories non classiques reflètent correctement les résultats expériences réelles, mais imaginez clairement le relativisme et effets quantiques impossible, car on ne peut imaginer mentalement que des phénomènes se produisant dans le monde quotidien limité, de tailles et de vitesses modérées, décrits du point de vue de ce qu'on appelle le « bon sens » (lire – sens physique) mécanique classique Newton. Et si oui, est-il vraiment possible d’essayer de visualiser le véritable infini physique ?
Le quantum relativiste ne diffère du quantum classique qu'en ce qu'il contient deux postulats supplémentaires - sur la finitude et l'invariance de la vitesse de la lumière et la finitude du quantum d'action - la constante de Planck. Plus la vitesse d’un corps est élevée et plus sa masse est faible, plus son comportement devient inhabituel. Et vice versa : que plus de masse corps et plus sa vitesse est faible, plus son comportement est décrit avec précision mécanique classique et plus il est facile de l'imaginer mentalement. De la même manière, la mécanique classique décrirait le comportement avec plus de précision. objets physiques, plus la vitesse de la lumière est grande et moins la constante de Planck est grande.
Alors, que décrit la mécanique classique ? Il s'avère qu'il ne semble rien décrire : il ne convient que pour décrire soit des objets réellement inexistants (avec une infinité de grande masse et vitesse infinitésimale) situés dans le monde réel, ou des objets réels existants situés dans le monde réel monde existant(avec une constante de Planck infinitésimale et infiniment grande vitesse Sveta)...
N'est-ce pas une conclusion étrange ? Cependant, cela peut aussi être interprété de cette façon : la mécanique classique nous donne un modèle purement spéculatif du monde réel, comme vu par un observateur « de l’extérieur », depuis l’infini. Naturellement, les propriétés d'un tel modèle ne peuvent pas être étudiées expérimentalement, puisque l'observateur ne peut pas mener d'expériences réelles sur des objets imaginaires ou infiniment éloignés. Mais les théories non classiques décrivent le même monde, mais seulement comme « de l'intérieur », du point de vue d'un observateur réel qui forme un tout avec le système qu'il étudie et est capable de l'influencer activement : dans ce cas, théorie et expérience donnent des résultats strictement cohérents les uns avec les autres, mais seuls ces résultats ne peuvent plus être imaginés de manière spéculative, en stricte conformité avec le « bon sens ».
En d’autres termes, une vision du monde « de l’intérieur » ne donne à l’observateur que des informations relativement vraies sur l’objet observé, inévitablement déformées par le fait que l’observateur et l’objet constituent un seul et même élément. système physique et s'influencer mutuellement. En revanche, regarder le monde « de l’extérieur », depuis l’infini, donnerait à l’observateur des informations absolument vraies sur l’objet. Mais pour avancer vers l’infini, il faut un temps infiniment grand… N’est-ce pas le sens physique spécifique des considérations philosophiques sur l’infinité du processus de connaissance de la vérité absolue ?
Le monde est un - seuls les points de vue sur celui-ci sont différents. Mais si l’image absolument vraie du monde ne peut en principe pas être observée, alors peut-être peut-elle être calculée ? Par exemple, en trouvant des transformations de coordonnées similaires à celles galiléennes ou lorentziennes, qui permettraient un passage invariant du point de vue du monde « de l’extérieur » au point de vue du monde « de l’intérieur » et vice versa. Ne s’avérerait-il pas alors que les postulats et les conclusions des théories non classiques qui sont étranges, à notre avis quotidien, ne sont qu’implicites et ne sont pas les plus étranges ? meilleure façon se débarrasser des infinis qui ne sont pas moins étranges, selon un physicien théoricien moderne modèle classique paix?
Les gens pensent le plus souvent à l’infini lorsqu’ils regardent un ciel étoilé sans lune. Mais l’infinité du ciel n’est, pour ainsi dire, que la moitié de l’infinité physique réelle, s’étendant non seulement dans la région de l’infiniment grand, mais aussi dans la région de l’infiniment petit. Et même pas la moitié, mais une infime partie.
Les gens ont dû faire face à l'image du véritable infini physique non pas en plein air, mais dans un cadre confortable. environnement familial, avec la divination sur les miroirs, à la mode autrefois. Cela s'est fait ainsi : dans un silence absolu et tout seul la jeune fille s'assit à table, plaçant un miroir devant elle et un autre derrière elle ; Elle plaça des bougies allumées de chaque côté, illuminant son visage d'une lumière vacillante. Et puis elle regarda attentivement sa réflexion sans cesse répétée, pensant à une question à laquelle elle aimerait recevoir une réponse. La question concernait naturellement le mariage...
On dit qu'après un certain temps, la diseuse de bonne aventure a commencé à imaginer quelque chose d'inconnu et, si elle ne jetait pas à temps une serviette spécialement préparée pour un tel événement sur l'un des miroirs, elle s'évanouirait de peur.
Ne riez pas, essayez simplement de rester assis dans le silence et l'obscurité entre deux miroirs pendant au moins quinze minutes, scrutant l'infini en mouvement, et vous serez un homme moderne et rationnel. homme pensant– vous vous sentirez également très, très mal à l’aise. Tôt ou tard, vous cesserez de comprendre où vous êtes et où se trouve votre reflet, et alors vous perdrez le sens de la réalité, vous perdant dans une rangée infinie de visages identiques...
J'ai moi-même accidentellement rencontré une image encore plus précise de l'infini physique réel dans ma lointaine enfance, dans années d'avant-guerre. À moi, alors âgé de quatre ans, le facteur m'a apporté le prochain numéro de "Murzilka", sur la couverture duquel était imprimée la photo suivante : une pièce, dans laquelle un garçon est assis sur le canapé et regarde le magazine "Murzilka". , sur la couverture de laquelle la même pièce est représentée encore et encore sur le même Un garçon est assis sur le canapé avec « Murzilka » dans les mains - et ainsi de suite, apparemment à l'infini.
Et soudain j'ai pensé : mais je suis aussi un garçon, et je suis aussi assis sur le canapé dans une pièce très similaire, et je regarde aussi le magazine Murzilka. Et si je suis moi-même représenté sur la couverture du même magazine et qu'il est regardé par un garçon qui est également assis sur le même canapé dans la même pièce et qui est lui-même représenté sur la couverture du magazine Murzilka ? Puis j'ai hurlé d'horreur, j'ai jeté le magazine et j'ai essayé de ne plus le revoir, même si pour une raison quelconque, j'avais passionnément envie de revoir la couverture...
Mais laissons de côté les superstitions absurdes, renonçons aux superstitions risquées. expériences psychologiques et nous raisonnerons sans émotions inutiles. Supposons que j'étais moi-même un garçon de nombre ordinal n et tenait dans ses mains un magazine sur la couverture duquel est représenté un garçon portant un numéro de série n– 1. Et en même temps je suis représenté sur la couverture d'un magazine tenu entre les mains d'un garçon de numéro de série n+ 1. Dans ce cas, nous supposerons que n augmente continuellement, tend vers l'infini. Autrement dit, le nombre de mondes imbriqués les uns dans les autres, comme des poupées gigognes, augmente. Cependant, quel que soit le nombre n, dans mon monde je resterai toujours moi-même et je ne pourrai pas remarquer qu'il grandit tout le temps ; De plus, je ne connais peut-être même pas l'existence de mondes avec des numéros de série n+ 1 et n– 1. De plus, je peux déchirer en petits morceaux un magazine dont la couverture m'a fait peur, détruisant aussitôt une infinité de mondes...
Mais qu’est-ce que cela va changer ? Si le magazine a été publié à un tirage de, disons, 1 000 000 d'exemplaires, alors 999 999 infinis seront préservés ; même si ces spécimens disparaissent, alors dans 999999 mondes de numéro de série n+ 1 999999 · 1000000 exemplaires du magazine seront conservés, ainsi que le nombre de mondes du numéro de série n+ 1, à son tour, est également égal à 1 000 000 - et ainsi de suite, à l'infini. En un mot, dans une telle infinité, il existe non seulement une infinité de numéros de série, mais aussi chacun des numéros est représenté par un nombre infini d'exemplaires.
Un tel infini peut paraître effrayant, non pas tant par son immensité et son inépuisabilité, son indestructibilité et, pour ainsi dire, son incréabilité, que par sa simplicité, allant jusqu'à l'absurdité. (Est-ce pour cela que le sentiment d'infini surgit souvent chez une personne lors d'une maladie grave ? Rappelez-vous la description du délire du prince Bolkonsky.) En d'autres termes, le véritable infini physique - tout ce qui existe dans notre monde - ne peut être ni détruit ni créé : il soit n'existe pas du tout (ce qui est impossible à imaginer), soit existe toujours, pour toujours (ce qui est également impossible à imaginer). Ainsi, la question - le monde a-t-il eu un début et aura-t-il une fin - n'a non seulement pas de réponse, mais aussi aucun sens, et l'inoubliable Kozma Prutkov avait raison, qui a laissé la parabole suivante à ce sujet : « Une fois, quand la nuit couvrait le ciel de sa couverture invisible , le célèbre philosophe français Descartes, assis sur les marches de l'escalier de sa maison et regardant l'horizon sombre avec une grande attention, un passant s'approcha de lui avec la question : « Dis-moi, sage, combien y a-t-il des étoiles dans ce ciel ? - « Canaille ! - répondit celui-ci, - personne ne peut embrasser l'immensité ! Ces paroles prononcées avec grand feu ont eu l’effet escompté sur le passant.
Bien entendu, nous ne vivons pas sur une couverture de magazine plate, mais dans un monde géométriquement tridimensionnel, comme nous l'avons convenu avec numéro de série n. Et il se pourrait très bien que ce monde ne soit qu'une insignifiante brique du monde avec un numéro de série. n+ 1, et notre monde, à son tour, se compose d'un nombre inimaginable de mondes avec des numéros de série n– 1, que nous appelons particules. Et ainsi de suite à l’infini – en largeur et en profondeur. Valery Bryusov a parlé d'un tel infini dans son poème « Le monde de l'électron » ; De nos jours, les physiciens expriment des hypothèses sérieuses selon lesquelles il existe des particules comme les « trous noirs » (par exemple, les « Friedmons » de l'académicien M.A. Markov), dont la structure ne se distingue pas de notre Univers, et des hypothèses selon lesquelles notre Univers tout entier est un « trou noir ». " - une particule d'un autre monde, inimaginablement plus grand...
Apparemment, seul un tel infini peut réellement exister : c'est le Grand Infini, quelque part au milieu duquel (mais quel genre de milieu l'infini peut-il avoir ?) notre monde est perdu ; tous les mondes du Grand Infini, pris ensemble, existent pour ainsi dire en dehors du temps, car s'il s'écoule sans fin, alors n'importe quel moment peut être considéré comme infiniment éloigné du début, qui n'a jamais existé, tout comme il peut être considéré comme fusionné avec le début.
Et si les mathématiques, qui ne craignent aucun infini, décrivent précisément Une plus grande infinité, alors la physique n'en décrit que sa partie incommensurablement petite, qui contient certainement à la fois le plus petit et le plus grand.
Partout où notre regard se tourne, nous verrons de la matière. Chaque gramme contient environ 10 particules : électrons, protons, neutrons. Si chacune de ces particules est un monde de numéro de série n– 1, cela signifie donc qu’à l’intérieur de chacune d’elles se trouvent des myriades d’étoiles qui brûlent, illuminant un nombre incalculable de planètes, parmi lesquelles il peut y avoir celles sur lesquelles vivent des créatures capables de penser à l’infini.
Seulement, tout dans ce monde se produit infiniment plus vite que dans le nôtre - probablement autant de fois que notre monde est plus grand que l'électron (si, à la suite de Bryusov, nous supposons que le monde de l'électron est impossible à distinguer du nôtre) environ 10 à 41 fois. Alors si pour nous un instant dure 0,1 seconde, alors dans le monde du numéro de série n– 1 pour ça le temps passera environ 10 23 milliards d'années, et ces 10 milliards d'années que notre monde existe, à l'échelle de temps du monde avec un numéro de série n+ 1 clignotera dans 10 à 24 secondes - infiniment plus court que notre instant.
Ces innombrables mondes tremblent dans chaque flamme de bougie et dans chaque cellule de notre corps. Le nombre des mondes croît comme une avalanche jusqu'à l'infini avec le mouvement en largeur et en profondeur de la matière, depuis l'un de ses niveau structurelà un autre. Tous ces mondes vivent vie pleine de sang, et même si la Terre est le seul berceau de l'intelligence, cela ne veut pas du tout dire que nous sommes seuls dans l'Univers : même dans chaque grain de poussière insignifiant contenant un nombre incalculable de mondes, il doit y avoir un nombre infiniment grand de planètes habité des êtres intelligents. Et peut-être que chaque acte de naissance d’une paire électron-positron est un acte de naissance d’innombrables mondes, et chaque acte d’annihilation est une preuve de leur mort ?
Tout cela conduit à des pensées trop tristes. Revenons à notre petite Terre, où le soleil brille le jour et les étoiles la nuit, où il y a à la fois la mer et le ciel, et où se trouvent des parents et des amis, à côté desquels on ne peut pas du tout penser à l'infini, ni à le fait que tout ce qui a un début a malheureusement aussi une fin.
Infini : en mathématiques...
A. FOMENKO
Chaque domaine des mathématiques modernes (géométrie, algèbre, etc.) possède son propre « modèle d'infini » et associe son propre ensemble de images psychologiques et les émotions. Naturellement, ces images sont plus claires en géométrie. L'infini géométrique est le plus accessible à la démonstration et en même temps extrêmement complexe, car il entre souvent en conflit avec notre intuition géométrique basée sur expérience quotidienne. Le fait est que mécanismes physiologiques la perception est probablement incapable de répondre de manière adéquate à la tâche intellectuelle abstraite consistant à « imaginer l’infini géométrique », et notre cerveau est obligé de remplacer le « véritable infini » par un objet géométrique intuitivement plus clair et plus grossier, commettant parfois une erreur imperceptible, une substitution. Par conséquent, l'intuition géométrique, étant un moyen puissant de comprendre la vérité mathématique, peut parfois insidieusement conduire à de graves erreurs contre lesquelles, comme le montre l'expérience, même les chercheurs expérimentés ne sont pas à l'abri. Prenons, par exemple, le concept familier d'une réplique scolaire. Si vous prenez votre temps et y réfléchissez plus attentivement, elle révélera bientôt toute sa complexité. Dans le langage mathématique, une ligne (courbe) est un « objet unidimensionnel », a « une dimension ». Euclide a essayé de définir une ligne comme « longueur sans largeur ». La mécanique classique des XVIIIe...XIXe siècles, basée sur des expériences spécifiques, a développé ce qui suit représentation naturelle autour d'une ligne (courbe). Si l'on considère un corps se déplaçant dans un espace de taille suffisamment petite (un point infinitésimal), alors la trajectoire de son mouvement peut être appelée une ligne. Ainsi, une ligne (courbe) est la trace d'un point en mouvement. Dans ce cas, bien entendu, le cas du « mouvement continu », lorsque la pointe ne fait pas de sauts instantanés et inattendus, c'est-à-dire lorsque sa trace ne présente pas de cassure, mérite d'être étudié en priorité. Puisque le mouvement d'un point se produit dans le temps, alors, en termes mathématiques, on peut dire qu'une ligne est l'image d'un segment de temps à affichage continu(segment) dans l’espace. Tant qu'il s'agit de problèmes ordinaires, pas très complexes systèmes mécaniques, cette notion de ligne nous convient plutôt bien. Il est intuitivement clair que le continu n’est pas très mouvement complexe les points sont représentés par un objet unidimensionnel - une ligne. Cependant, dès que l’on passe à considérer les « processus infinis », l’insuffisance de notre formulation et, par conséquent, les limites de notre intuition géométrique et mécanique sur laquelle reposait ce concept se révèlent immédiatement. Le fait est que lignes indiquées ne représentent que le mouvement « peu tortueux » de la pointe. Supposons maintenant qu’il commence à changer très souvent la direction de son mouvement et que le nombre de ces « plis » augmente et tende vers l’infini (tout cela peut être décrit assez précisément). La trace complexe d'un point peut alors s'avérer complètement différente d'une ligne unidimensionnelle ordinaire. Par exemple, il peut s'agir d'un carré, d'une sphère, d'une boule ou même de ce qu'on appelle n-figure dimensionnelle, où « dimension » n peut être aussi grand que vous le souhaitez. Encore une fois, en utilisant le langage mathématique, nous pouvons dire que tous ces objets sont des images continues d’un segment unidimensionnel. En même temps, selon notre définition originale, ce sont des lignes. Donc circonstance étrange a été remarqué pour la première fois par le mathématicien italien D. Peano en 1890, en son honneur les « courbes » décrites sont appelées courbes de Peano. Ainsi, notre intuition géométrique (qui nous dessine des « trajectoires unidimensionnelles du mouvement d’un point ») échoue face au processus sans fin de construction d’une ligne plutôt complexe.
La géométrie moderne connaît de nombreux exemples de ce genre, et dans chacun d'eux, d'une manière ou d'une autre, il existe une procédure infinie (l'infini réel), qui détruit finalement nos idées habituelles formées sur la base de l'expérience quotidienne « finie ». Il a profité avec succès de cette circonstance pour créer son merveilleux œuvres graphiques célèbre artiste français M.K. Escher, dont les gravures ont été publiées à plusieurs reprises dans notre presse scientifique populaire. D’un côté, il représente des « objets infiniment complexes », et de l’autre, des « objets impossibles » ( machines à mouvement perpétuel etc.), exploitant habilement les imperfections et les limites de notre intuition géométrique. Ce faisant, il s’est appuyé sur des constructions mathématiques utilisées dans l’algèbre moderne, la géométrie, la cristallographie, etc. C’est cette profonde pénétration dans la nature de l’infini géométrique qui explique le fort impact des œuvres « mathématiques » d’Escher sur le spectateur. Et en général, beaucoup sens développé l'infinité de l'espace environnant, présente dans les œuvres de nombreux artistes majeurs qui n'ont pas d'importance particulière enseignement des mathématiques, est enracinée dans le fait que chacun d’eux a créé ses propres techniques pour représenter l’infini par des « moyens finis ». Après tout, sur une toile, il est possible de représenter uniquement l'illusion de l'infini, mais pas l'infini lui-même, et celui qui parvient le mieux à « tromper le spectateur » y parvient. plus grand effet. C’est pourquoi, à partir de la Renaissance, de nombreux peintres ont sérieusement étudié non seulement la théorie de la perspective, mais aussi des structures mathématiques plus profondes, essayant de dépasser les limites fixées par la finitude de notre « monde confortable ».
En conclusion, je note que dans mathématiques modernes Il existe de nombreux concepts aussi profonds que le concept d’infini, et chacun d’eux mérite sa propre « histoire ».
...et en physique
M. HERZENSTEIN
Paroles et mathématiques - ce qui, semble-t-il, pourrait être le contraire. Mais les contraires convergent souvent, et parfois les paroliers posent des questions profondes aux mathématiciens. En règle générale, les mathématiciens (et avec eux les physiciens - après tout, aujourd'hui, il n'y a pas et il ne peut y avoir de physique sans mathématiques) écartent simplement ces questions. Mais parfois, au bout d’un moment, il s’avère soudain que les questions des paroliers avaient un sous-texte que les scientifiques ne soupçonnaient même pas.
Dans l'article physicien célèbre E. Wigner « L'efficacité incompréhensible des mathématiques en sciences naturelles« Il est à noter que les mathématiques sont la science des opérations ingénieuses effectuées selon des règles spécialement élaborées sur des concepts spécialement inventés. Qu’est-ce que cela a à voir avec le monde réel ? Et où et quand le strict respect des règles inventées par les mathématiciens peut-il conduire les physiciens à un résultat erroné ?
Prenons, par exemple, le monde des entiers réels. Nous savons que vous pouvez ajouter un à n'importe quel nombre entier et obtenir plus plus grand nombre. Si vous effectuez cette opération n→ ∞ fois, alors on obtient l'infini ; la même chose se produit si vous doublez le nombre. Cependant, n'importe quel nombre peut être divisé par deux, ce qui donne un nombre plus petit. nombre réel, qui peut être encore divisé en deux, en répétant cette opération au moins n→ ∞ fois.
Mais dans le monde réel, hélas, il n’est pas possible de faire la transition n→ ∞. Par exemple, si nous commençons à doubler un segment d'une longueur de seulement 1 cm, alors après seulement environ 100 opérations similaires, nous obtiendrons un segment égale à la taille dans tout notre Univers, et son doublement supplémentaire perdra sa signification physique. Et vice versa, si nous commençons à diviser un segment de 1 cm de long en deux, alors après seulement environ 50 opérations de ce type, nous obtiendrons un segment égal à la limite des petites distances à laquelle nous nous sommes approchés expérimentalement physique moderne. Alors pourquoi les mathématiques, qui utilisent des opérations avec des infinis qui sont clairement impossibles dans le monde réel, donnent-elles toujours à la physique les réponses correctes aux questions concernant le même monde réel ? C'est l'essence de la question posée par Wigner, si elle est liée au problème de l'infini.
C'est le moment pour Lyrics de se réjouir : si vous, physiciens, lorsque vous réfléchissez, recourez à des opérations impossibles dans le monde réel, alors n'est-il pas étonnant que vos théories produisent des infinis, et non des quantités finies raisonnables ? Pour justifier, nous pouvons dire que dans les mathématiques elles-mêmes, il existe des problèmes associés aux infinis.
En effet, jusqu'à récemment, les mathématiciens étaient sincèrement convaincus que dans leur science stricte, basée sur un système fini d'axiomes, il était impossible d'ajouter ou de soustraire quoi que ce soit. Mais non, il s'est avéré que dans le cadre d'un système fini d'axiomes, il peut y avoir des énoncés dont la vérité ou la fausseté ne peut être établie, et donc autant de nouveaux axiomes peuvent être ajoutés aux mathématiques, et leur harmonie ne sera pas perturbée...
Le parolier, à mon avis, « donne un coup de pied » aux physiciens en vain, écrivant même en mode subjonctif: "...il s'avère que la mécanique classique ne semble rien décrire." Toute description de la nature est une vérité relative, toujours proche de la vérité absolue qui nous est inconnue. approché à la fois pour des raisons d'ordre fondamental (imprécision des équations de la mécanique classique) et pour des raisons assez prosaïques (pour la pratique, une précision excessive de la description est parfois aussi néfaste qu'insuffisante).
Je n’aimais pas non plus les mots sur les visions du monde « de l’extérieur » et « de l’intérieur ». Je pense qu'ils mettent trop l'accent sur le rôle de l'observateur. Mais nous, physiciens, sommes également responsables de ce dernier point : ils parlent trop du rôle de l'observateur lorsqu'ils présentent les fondements de la mécanique quantique et de la théorie de la relativité.
Tant en mécanique quantique qu’en théorie de la relativité, nous devons avant tout relier d’une manière ou d’une autre l’espace et le temps aux objets étudiés par les mathématiciens – dans le cas le plus simple, aux nombres. Mais comment ? Le vide n’est pas la surface de la Terre ; on ne peut pas y placer de bornes milliaires ! Bien sûr, vous pouvez laisser un objet tranquille et le considérer comme un point de départ. Mais si cet objet se déplace par inertie avec une certaine vitesse initiale, alors pendant la durée de l'observation, le point de référence peut se déplacer dans une direction inconnue jusqu'à une distance inconnue. Que faire dans cette situation ? Comment construire un pont entre physique et mathématiques ?
Par conséquent, dans la théorie de la relativité, nous devons parler de système de coordonnées tel ou tel observateur, sans entrer dans les détails de ce que cela signifie. Néanmoins, c'est précisément cette approche qui a permis d'obtenir des conclusions intéressantes, confirmées expérimentalement. Je note que certaines caractéristiques du pont reliant les mathématiques à la réalité ont été découvertes relativement récemment : par exemple, il s'est avéré que, malgré la contraction de Lorentz, une boule en mouvement ne ressemble pas à un ellipsoïde, mais à une boule, et cela a également été confirmé expérimentalement. !
Les propriétés ondulatoires de l’électron déterminent la nature du spectre de rayonnement de l’atome, mais le spectre de rayonnement ne dépend pas du fait que quelqu’un l’observe ou non. Naturellement, si un quantum est absorbé à un endroit, il ne peut pas être simultanément absorbé ailleurs. Si un écran avec deux trous est placé sur le chemin du quantum, alors le quantum, comme toute onde, pénétrera à travers les deux trous à la fois et donnera un motif d'interférence qui peut être observé même sur distances cosmiques. Mais si des récepteurs de photons sont placés derrière les trous, alors le quantique forcera un seul d'entre eux à fonctionner, la question est : comment le deuxième récepteur a-t-il su (à une vitesse supraluminique, instantanément !) que le premier fonctionnait ?
Cependant, la mécanique quantique et la relativité sont des théories sans contradictions internes et, malgré le fait qu’ils contredisent ce qu’on appelle « bon sens», représentent des vérités relatives solidement établies.
En conclusion, quelques mots sur les mondes matriochka. Il ne fait aucun doute que l’idée elle-même est belle et qu’elle est souvent discutée dans la littérature sérieuse sur la physique. Mais, à mon avis, cela ne fait que témoigner de la pauvreté de l’imagination des auteurs. Changements quantitatifs conduisent toujours à des changements qualitatifs : les poupées gigognes ne peuvent pas être complètement identiques dans leurs propriétés, ne différant que par leur taille. En effet, de cette hypothèse poétique, il n’a pas encore été possible de tirer des conséquences concrètes accessibles à la vérification expérimentale, mais certaines de ses conclusions contredisent des faits déjà connus ;
Les réflexions lyriques sur l'infini se sont révélées assez profondes et nous ont permis de parler de ce qui est au premier plan science moderne. Il faut espérer que cette conversation se poursuive. Mais bien sûr, pas indéfiniment.
Source d'information :
« La technologie pour la jeunesse », n° 12, 1990.
Définition. Pointer vers l'infini plan complexe appelé point singulier isolé non ambigu fonction analytiquef(z), Si dehors cercle d'un certain rayon R.,
ceux. pour , il n’y a pas de point singulier fini de la fonction f(z).
Pour étudier la fonction en un point à l'infini, on fait le remplacement 
Fonction
aura une singularité au point ζ
= 0, et ce point sera isolé, puisque
à l'intérieur du cercle 
Il n'y a pas d'autres points singuliers selon la condition. Être analytique dans ce domaine
cercle (à l'exception de ce qu'on appelle ζ
= 0), fonction 
peut être étendu dans une série Laurent en puissances ζ
. La classification décrite dans le paragraphe précédent reste totalement inchangée.
Cependant, si l'on revient à la variable d'origine z, puis séries en puissances positives et négatives z«changer» de place. Ceux. classement à l'infini points éloignés ressemblera à ceci :
Exemples. 1.
. z =
Point
je
2.
− pôle du 3ème ordre. z =
∞
. Point − de manière significative.
point singulier
§18. Résidu d'une fonction analytique en un point singulier isolé. z Laissons le point
f(z 0 est un point singulier isolé d'une fonction analytique à valeur unique f(z) . D'après le précédent, au voisinage de ce point 
) peut être représenté uniquement par la série Laurent : 
Définition.Où Déduction f(z fonction analytique z 0
) en un point singulier isolé appelé nombre complexe 
, égal à la valeur de l'intégrale z 0 .
, pris dans le sens positif le long de tout contour fermé situé dans le domaine d'analyticité de la fonction et contenant en lui un seul point singulier [f(z),z 0 ].
La déduction est indiquée par le symbole Res
Il est facile de voir que le résidu en un point singulier régulier ou amovible est égal à zéro. En un pôle ou un point essentiellement singulier, le résidu est égal au coefficient Avec
.
-1 rang Laurent : Exemple. 
.
Trouver le résidu d'une fonction
(Que ce soit facile de voir que En un pôle ou un point essentiellement singulier, le résidu est égal au coefficient coefficient n-1 est obtenu en multipliant les termes par f(z),Point
]
=
}
= 0:Rés[ Il est souvent possible de calculer les résidus de fonctions sur d'une manière simple f(z. Laissez la fonction z) a incl. 
0 pôle du premier ordre. Dans ce cas, le développement de la fonction dans une série de Laurent a la forme (§16) :. Multiplions cette égalité par (z−z 0) et allons à la limite en f(z),z 0 ] =
. Le résultat nous obtenons : Res[
Alors, dans f(z),Point
]
=
.
Dans le dernier exemple, nous avons Res[
Pour calculer les résidus aux pôles d'ordre supérieur, multipliez la fonction 
(sur m sur −
− ordre des pôles) et différencier la série résultante (
1) fois. f(z),z 0 ]
-1 rang Laurent : Exemple. 
Dans ce cas on a : Res[
{
à z= −1. f(z),
−1]
}
Rés[
.
Si une séquence converge vers un nombre fini a, alors écrivez Auparavant, nous avions pris en compte les séquences infiniment grandes. Nous avons supposé qu'ils sont convergents et avons indiqué leurs limites avec les symboles et . Ces symboles représentent pointe à l'infini. Ils n'appartiennent pas à la multitude
nombres réels
Pointer vers l'infini, ou infini non signé, est la limite vers laquelle tend une séquence infiniment grande.
Pointer vers l'infini plus l'infini, est la limite vers laquelle tend une suite infiniment grande avec des termes positifs.
Pointer vers l'infini moins l'infini, est la limite vers laquelle tend une suite infiniment grande avec des termes négatifs.
Pour tout nombre réel a, les inégalités suivantes sont vraies :
;
.
En utilisant des nombres réels, nous avons introduit le concept voisinage d'un point à l'infini.
Le voisinage d’un point est l’ensemble.
Enfin, le voisinage d’un point est l’ensemble.
Ici M est un nombre réel arbitraire et arbitrairement grand.
Ainsi, nous avons élargi l'ensemble des nombres réels en y introduisant de nouveaux éléments. À cet égard, il y a définition suivante:
Droite numérique étendue ou ensemble étendu de nombres réels est l'ensemble des nombres réels complétés par les éléments et :
.
Tout d’abord, nous allons écrire les propriétés que les points et . Nous considérons ensuite la question de la stricte définition mathématique
opérations pour ces points et preuves de ces propriétés.
Propriétés des points à l'infini.
;
;
;
;
Somme et différence.
;
;
;
;
;
;
;
.
Produit et quotient.
Relation avec les nombres réels
;
;
;
;
;
.
Soit a un nombre réel arbitraire. Alors > 0
Laissez un
;
;
.
Soit a un nombre réel arbitraire. Alors < 0
Laissez un
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Alors
Opérations non définies
Preuves des propriétés des points à l'infini
Définir des opérations mathématiques Nous avons déjà donné des définitions pour les points à l'infini. Nous devons maintenant leur définir des opérations mathématiques. Puisque nous avons défini ces points à l’aide de séquences, les opérations avec ces points doivent également être définies à l’aide de séquences.
Donc,
somme de deux points
,
c = une + b,
,
appartenant à l'ensemble étendu des nombres réels,
nous appellerons la limite
où et sont des séquences arbitraires ayant des limites Et ..
Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont définies de manière similaire. Seulement, dans le cas d'une division, les éléments du dénominateur de la fraction ne doivent pas être
égal à zéro
Alors la différence de deux points :
égal à zéro
- c'est la limite : .
égal à zéro
Produit de points : Privé:, .
Ici et sont des séquences arbitraires dont les limites sont respectivement a et b . DANS
ce dernier cas
Preuves de propriétés
.
Pour prouver les propriétés des points à l’infini, nous devons utiliser les propriétés de séquences infiniment grandes.
,
En d’autres termes, nous devons prouver que la somme de deux suites qui convergent vers plus l’infini converge vers plus l’infini.
1
les inégalités suivantes sont satisfaites :
;
.
Alors pour et nous avons :
.
Disons-le.
Alors
à ,
Où .
Cela signifie que.
D’autres propriétés peuvent être démontrées de la même manière. A titre d'exemple, donnons une autre preuve.
.
Montrons que :
,
Pour ce faire, nous devons montrer que
où et sont des séquences arbitraires, avec des limites et .
Autrement dit, nous devons prouver que le produit de deux suites infiniment grandes est une suite infiniment grande. Prouvons-le. Puisque et , alors il y a quelques fonctions et , donc pour tout nombre positif 1
les inégalités suivantes sont satisfaites :
;
.
Alors pour et nous avons :
.
Disons-le.
Alors
à ,
Où .
M.
Opérations non définies Partie opérations mathématiques
avec des points à l'infini ne sont pas définis. Pour montrer leur incertitude, il est nécessaire de donner quelques cas particuliers où le résultat de l'opération dépend du choix des séquences qui y sont incluses.
.
Considérez cette opération :
Il est facile de montrer que si et , alors la limite de la somme des séquences dépend du choix des séquences et .
En effet, prenons-le.
Les limites de ces séquences sont .
Plafond de montant
est égal à l'infini. Prenons maintenant . Les limites de ces séquences sont également égales.
Mais la limite de leur montant
égal à zéro.
Tout était vraiment un conte de fées, je ne le nie pas, mais le jeu n'en valait pas la chandelle, ça n'en valait pas la peine de verser des larmes et de la douleur la nuit quand il n'y avait qu'un oreiller froid à proximité et que les culottes des autres étaient allongé dans le placard, il n'a même pas remarqué que sa petite amie avait laissé ses sous-vêtements presque sous mon nez, essayant de marquer mon territoire. Eh bien, elle l'a fait, je suis tombé en panne, à l'intérieur j'étais prêt à pleurer et à faire mes valises. Seule la pitié me retient, l'amour et la pitié, des choses qui ne semblent pas être des éléments du bonheur, mais qui ont trop d'influence sur les relations, je suis resté, pensant que tout allait changer, croyant et espérant désespérément que le meilleur.
Le meilleur était maintenant là, dans un club ou un bar, où il y a de tout, de l'alcool aux prostituées, où la musique est l'essentiel de la vie, et il fallait juste l'accepter, tout laisser tomber et passer à autre chose. Marcher après lui, agrippant la manche de sa chemise, arrachant les restes de fierté et de courage - je suis brisé, et la raison est son amour.
La cloche, la voix vile de l'autre côté de la porte, l'espoir stupide d'une bonne soirée ensemble se sont transformés en poussière en quelques secondes seulement. C'était lui, ce sont ses mains viles qui ont frappé la porte avec force, me glaçant le cœur. J'avais peur, peur qu'il devienne fou, qu'il ne ressente plus rien, que je ne sois qu'une personne pour lui, stupide, amoureuse. Après avoir enfilé à la hâte une veste, j'ai ouvert la porte en serrant la main, laissant la chaîne en place - c'est plus sûr. Il avait l'air encore pire que ce que j'avais imaginé - ses jointures étaient cassées, ses mains étaient égratignées, des bleus ornaient la majeure partie de son visage, sa lèvre était un spectacle terrifiant - les coins étaient couverts de sang, la peau était légèrement enflée. Je n'avais aucun doute sur la raison de la bagarre - il sentait la fumée, comme on dit, "à un kilomètre et demi".
Désolé, Vic, cela ne se reproduira plus. – Chaque fois qu’il rentrait à la maison dans un état d’euphorie totale, il répétait cette phrase, je ne me demandais même pas s’il l’avait bien comprise, est-ce que le concept de « plus » signifie pour lui la même chose que pour moi ? Je ne comprends pas quoi faire, j'appuie sur le cadenas et je l'ouvre en grand porte d'entrée, je me fiche de savoir comment il est, il est de retour, l’essentiel c’est qu’il soit là.
J'ai déjà oublié à quoi tu ressembles. Tu as disparu ce matin. – J’essaie de ne pas crier, je garde ça pour moi, je ne parle pas de l’appel matinal sur mon portable de sa maîtresse, ou pas de sa maîtresse – de la fatigue, c’est ce que je ressens maintenant. Il est un peu plus de deux heures du matin et, au lieu de me coucher, je regarde Igor dans les yeux, cherchant une réponse à sa question. propre question– est-ce qu'il m'aime, est-ce que je représente quelque chose pour lui ?
Désolé bébé, j'avais du travail à faire », le hoquet m'arrive et je gémis de manière perçante, sentant la lourdeur de mon corps. Il est trop lourd pour moi et je crie en faisant un pas, puis je tombe douloureusement avec lui sur le tapis. - Merde.
Il se lève lentement et avance, marchant à peine sur la surface du sol, contrôlant toujours à peine ses mouvements. Il s'avance sans me remarquer, en ce moment il prouve mes hypothèses - il vient de passer par là dans notre relation. Il n'a joué qu'un seul rôle - il parlait d'amour, de moyens financiers, et des doutes surgissent à ce sujet - était-ce de la poche de papa ? Je prends ma tête dans mes mains, cela ne peut pas durer aussi longtemps, je ne pourrais pas le supporter aussi longtemps. Dieu.
J'ai entendu du bruit dans la salle de bain, alors j'ai décidé de prendre une douche. Cela ne me ferait pas de mal non plus de sortir de mon état d’apathie totale et de me remettre en ordre, je suis une femme. Vous êtes une mauviette si vous vous laissez traiter de cette façon - mon subconscient crie et je comprends que c'est vrai. Que le monde est complètement différent, qu’il n’a aucune limite entre quatre murs, qu’il est pleinement développé, qu’il y a des gens là-bas, qu’il y a de la vie là-bas. Ici, dans cette maison, la vie s'est depuis longtemps transformée en air radioactif, qui vous fait mourir progressivement, tuer une partie de vous-même, le bonheur disparaît et la fierté s'évapore complètement de vos poumons.
Où est la serviette ?
Ma tête me fait terriblement mal, tout ce que je peux ressentir à part la boule duveteuse sur ma poitrine et la couverture à mes pieds. Je ne sens pas Igor, je n'essaye même pas de deviner où il se trouve. Il est allé expier sa culpabilité devant sa mère avec l'aide de l'alcool, c'est comme ça qu'il comprend le mot « perte », c'est comme ça que je comprends le mot « fin », c'est exactement lui. Dès que je sors du lit, je tombe sur une photo d'eux ensemble et un mot à proximité, est-ce vraiment un souhait de bonjour ?
Je suis parti. Pour toujours. Ce sera mieux ainsi, j'en ai marre de toi, de tes éternelles lamentations, des questions qu'on n'aurait pas dû poser, si tu connaissais la réponse. Tu es trop stupide. Au revoir.
Igor.
nombres réels
Sous-séquence (βn) appelé une séquence infiniment grande, si pour quelqu'un, arbitrairement grand nombre M, il y a une telle chose nombre naturel N M dépendant de M tel que pour tout naturel n > N M l'inégalité suivante est vraie :
|βn | >M.
Dans ce cas, ils écrivent
.
Ou à .
On dit qu'il tend vers l'infini, ou converge vers l'infini.
Si, à partir d'un certain nombre N 0
, Que
( converge vers plus l'infini).
Si alors
( converge vers moins l'infini).
Écrivons ces définitions en utilisant les symboles logiques de l'existence et de l'universalité :
(1)
.
(2)
.
(3)
.
Les séquences avec les limites (2) et (3) sont des cas particuliers de l'infini grande séquence(1). De ces définitions il résulte que si la limite d'une suite est égale à plus ou moins l'infini, alors elle est également égale à l'infini :
.
Bien entendu, l’inverse n’est pas vrai. Les membres d'une séquence peuvent avoir des signes alternés. Dans ce cas, la limite peut être égale à l'infini, mais sans signe précis.
Notez également que si une propriété est valable pour une séquence arbitraire avec une limite égale à l'infini, alors la même propriété est valable pour une séquence dont la limite est égale à plus ou moins l'infini.
Dans de nombreux manuels de calcul, la définition d'une séquence infiniment grande indique que le nombre M est positif : M > 0 . Toutefois, cette exigence est inutile. S'il est annulé, aucune contradiction ne surviendra. C’est juste que les valeurs petites ou négatives ne nous intéressent pas. Nous nous intéressons au comportement de la séquence pour des valeurs arbitrairement grandes. valeurs positives M. Par conséquent, si le besoin s'en fait sentir, alors M peut être limité d'en bas par n'importe quel, à l'avance
numéro donné a, c'est-à-dire supposons que M > a. Quand avons-nous défini ε - quartier > 0 point final , alors l'exigence ε est important. À
valeurs négatives
, l’inégalité ne peut pas du tout être satisfaite.
Quartiers de points à l'infini
Lorsque nous avons considéré des limites finies, nous avons introduit la notion de voisinage d'un point. Rappelons qu'un voisinage d'un point final est un intervalle ouvert contenant ce point. On peut également introduire la notion de voisinages de points à l'infini. Soit M un nombre arbitraire.
Quartier du point "infini" Soit M un nombre arbitraire.
, , est appelé un ensemble. Soit M un nombre arbitraire.
Quartier du point "plus l'infini"
(4)
,
A proximité du point "moins l'infini" 1
À proprement parler, le voisinage du point « infini » est l’ensemble 2
où M
Nous pouvons maintenant donner une définition unifiée de la limite d'une séquence qui s'applique à la fois aux domaines fini et.
aux limites infinies
Définition universelle de la limite de séquence numéro final membres d’une séquence, ou l’ensemble vide. Cette condition est nécessaire et suffisante. La preuve de cette propriété est exactement la même que pour limites finies.
Propriété de voisinage d'une séquence convergente
Pour qu'un point a (fini ou à l'infini) soit une limite de la suite, il faut et suffisant qu'en dehors de tout voisinage de ce point il existe un nombre fini de termes de la suite ou un ensemble vide.
Preuve .
Parfois aussi, les concepts de ε - voisinages de points à l'infini sont introduits.
Rappelons que le ε-voisinage d'un point fini a est l'ensemble .
Introduisons la notation suivante. Notons ε le voisinage du point a.
.
Puis pour le point final,
;
;
.
Pour les points à l'infini : En utilisant les concepts de ε - quartiers, on peut donner un autre définition universelle
limite de séquence : > 0
Un point a (fini ou à l'infini) est la limite de la suite si pour tout nombre positif ε
.
il existe un nombre naturel N ε dépendant de ε tel que pour tout nombre n > N ε les termes x n appartiennent au ε-voisinage du point a :
.
En utilisant les symboles logiques de l’existence et de l’universalité, cette définition peut s’écrire comme suit :
Exemples de séquences infiniment grandes
Nous examinerons d’abord trois exemples simples similaires, puis en résoudrons un plus complexe.
.
.
Exemple 1
(1)
.
Écrivons la définition d'une suite infiniment grande :
.
Dans notre cas
.
Nous introduisons les nombres et , en les reliant aux inégalités :
.
D’après les propriétés des inégalités, si et , alors
Notez que cette inégalité est valable pour tout n.
Par conséquent, vous pouvez choisir comme ceci :
à ;
.
à .
Ainsi, pour n’importe lequel, nous pouvons trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité.
Alors pour tout le monde,
.
(2)
.
Cela signifie que.
.
Autrement dit, la séquence est infiniment grande.
.
.
Exemple 2
.
En utilisant la définition d’une suite infiniment grande, montrer que
.
Le terme général de la suite donnée a la forme :
Alors pour tout le monde,
.
Entrez les chiffres et :
(3)
.
Cela signifie que.
.
Autrement dit, la séquence est infiniment grande.
.
Alors pour n’importe qui, on peut trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité, donc pour tout,
.
Cela signifie que.
.
Exemple 3
.
Écrivons la définition de la limite d'une suite égale à moins l'infini :
Alors pour tout le monde,
.
De là, il est clair que si et , alors Puisque pour n’importe quel nombre il est possible de trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité, alorsÉtant donné , comme N nous pouvons prendre n’importe quel nombre naturel qui satisfait l’inégalité suivante :
.
Écrivons la définition de la limite d'une suite égale à plus l'infini :
(2)
.
Puisque n est un nombre naturel, n = 1, 2, 3, ...
, Que
;
;
.
Nous introduisons des nombres et M, en les reliant aux inégalités :
.
Alors pour n’importe qui, on peut trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité, donc pour tout,
.
Ainsi, pour tout nombre M, nous pouvons trouver un nombre naturel qui satisfait l’inégalité.
.
En utilisant la définition d’une suite infiniment grande, montrer que
Alors pour tout le monde,
Littérature utilisée : L.D. Kudryavtsev. Bien analyse mathématique
. Tome 1. Moscou, 2003.
