La dernière question de la théorie de l'élasticité que je vais aborder est une tentative de calculer l'élasticité constantes matérielles, basé sur certaines propriétés des atomes qui composent ce matériau. Nous considérerons un cas simple ionique chlorure de sodium de type cristal cubique. La taille ou la forme du cristal déformé change. De tels changements entraînent une augmentation énergie potentielle cristal. Pour calculer la variation de l’énergie de déformation, vous devez savoir où va chaque atome. Faire pleine d'énergie le moins possible, les atomes du réseau de cristaux complexes se réorganisent très d'une manière complexe. Cela rend assez difficile le calcul de l’énergie de déformation. Mais il est encore possible de comprendre ce qui se passe dans le cas d’un simple cristal cubique. Les perturbations à l’intérieur du cristal seront géométriquement similaires aux perturbations sur ses faces externes.

Les constantes élastiques d'un cristal cubique peuvent être calculées comme suit. Tout d’abord, nous supposerons l’existence d’une certaine loi d’interaction entre chaque paire d’atomes du cristal. Ensuite, nous calculons le changement énergie interne cristal lorsqu'il s'écarte de sa forme d'équilibre. Cela nous donnera une relation entre l’énergie et la déformation, qui est quadratique en déformation. En comparant l'énergie ainsi obtenue avec l'équation (39.13), il est possible d'identifier les coefficients pour chaque terme à constantes élastiques C¡jkl .

Dans notre exemple, nous supposerons la loi d'interaction simple suivante : entre atomes voisins il y a central forces, c’est-à-dire qu’elles agissent le long d’une ligne reliant deux atomes adjacents. Nous nous attendons à ce que les forces dans les cristaux ioniques soient précisément de ce type, puisqu'elles sont basées sur un simple Interaction coulombienne. (À liaison covalente les forces sont généralement plus complexes, car elles entraînent également une pression latérale sur les atomes voisins ; mais nous n'avons pas besoin de toutes ces complications.) De plus, nous allons prendre en compte uniquement la force d'interaction de chaque atome avec le plus procheà lui et suivant voisins proches. En d’autres termes, nous ferons une approximation dans laquelle nous négligerons les forces entre atomes distants. Sur la fig. 39.10, et les forces dans le plan sont affichées hein, dont nous prendrons en compte. Il faut aussi prendre en compte les forces correspondantes dans les plans ouais Et zx.

Puisque nous ne nous intéressons qu'aux constantes élastiques, qui décrivent de petites déformations, et que, par conséquent, dans l'expression de l'énergie, nous n'avons besoin que de termes quadratiques dans les déformations, nous pouvons supposer que les forces entre chaque paire d'atomes changent linéairement avec le déplacement. Par conséquent, pour plus de clarté, nous pouvons imaginer que chaque paire d'atomes est reliée par un ressort « linéaire » (Fig. 39.10, b). Tous les ressorts entre les atomes de sodium et de chlore doivent avoir la même constante élastique, disons k1. Les ressorts entre deux atomes de sodium et deux atomes de chlore peuvent avoir des constantes différentes, mais je souhaite simplifier notre raisonnement, je supposerai donc que ces constantes sont égales. Notons-les par k 2 . (Plus tard, quand nous verrons comment se déroulent les calculs, vous pourrez revenir en arrière et les rendre différents.)

Supposons maintenant que le cristal soit perturbé par une déformation uniforme décrite par le tenseur e¡j. DANS cas général il aura des composants contenant x, y et z, mais pour plus de clarté nous ne considérerons que les déformations à trois composantes : e xx, e xy Et e ouais. Si l'un des atomes est choisi comme origine des coordonnées, alors le déplacement de tout autre atome est donné par une équation comme (39.9) :

Appelons l'atome avec ses coordonnées x=y=0"atome 1", et les numéros de ses voisins sont indiqués sur la Fig. 39.11. Désignant la constante de réseau par UN, nous obtenons X- et les composantes y du déplacement u x , u y écrites dans le tableau. 39.1

Nous pouvons maintenant calculer l'énergie stockée dans les ressorts, qui est égale au produit k 2 /2 par carré de tension de chaque ressort. Ainsi, l'énergie d'un ressort horizontal entre les atomes 1 et 2 sera égal

Notez que jusqu'au premier ordre (déplacement atomique 1 2 ne change pas la longueur du ressort entre les atomes 1 Et 2. Or, pour obtenir l’énergie de déformation du ressort diagonal, celle qui va à l’atome 3, nous devons calculer le changement de longueur dû aux déplacements verticaux et horizontaux.

Pour de petits écarts par rapport à l'origine du cube, le changement de distance à l'atome 3 peut être écrit comme une somme de composants leur Et toi V direction diagonale :

Utiliser les quantités leur et toi. on peut obtenir une expression de l'énergie

Pour l'énergie totale de tous les ressorts d'un avion xy nous avons besoin de la somme de huit termes de type (39.43) et (39.44). Se référant à cette énergie comme U 0, nous obtenons

Pour connaître l'énergie totale de tous les ressorts associés à un atome 1, nous devons faire quelques ajouts à l'équation (39.45). Bien que nous ayons seulement besoin X- et les composantes y de la déformation, une certaine énergie supplémentaire associée aux voisins diagonaux en dehors du plan y contribue hein. Cette énergie supplémentaire est égale à

Les constantes élastiques sont liées à la densité d'énergie w équation (39.13). L'énergie que nous avons calculée est associée à un atome, ou plutôt elle est doubléénergie par atome, car chacun des deux atomes reliés par un ressort devrait représenter la moitié de son énergie. Puisqu’il y a 1/a 3 atomes par unité de volume, alors w Et Uo lié par la relation

Pour trouver des constantes élastiques AVEC¡jkl , il vous suffit de mettre au carré les sommes entre parenthèses dans l'équation (39.45), d'ajouter (39.46) et de comparer les coefficients de e¡j e kl avec les coefficients correspondants dans l’équation (39.13). Par exemple, collecter des termes avec e 2 xx Et e 2 oui oui, on trouve que son multiplicateur est égal à

Dans les termes restants, nous rencontrerons une légère complication. Puisqu'on ne peut distinguer les œuvres e xx e aa à partir de e yy e xx, puis son coefficient dans l'expression de l'énergie égal à la somme deux termes dans l’équation (39.13). Coefficient à e xx e aa dans l'équation (39.45) est égal à 2k 2, donc on obtient

Cependant, en raison de la symétrie de l'expression de l'énergie, en réorganisant les deux premières valeurs avec les deux dernières, on peut supposer que Avec xxyy - Avec y uhx, C'est pourquoi

De la même manière, vous pouvez obtenir

Notons enfin que tout membre contenant une fois l'icône X ou oui,égal à zéro, comme cela a été constaté plus tôt à partir de considérations de symétrie. Résumons nos résultats :

Il s’avère donc que nous sommes capables de relier les constantes élastiques macroscopiques à propriétés atomiques, qui se manifestent en constante k1 Et k2. Dans notre cas particulier De xyxy = De xxyy. Ces termes pour un cristal cubique, comme vous l'avez probablement remarqué d'après les calculs, s'avèrent être Toujourségales, quelles que soient les forces que nous prenons en compte, mais seulement étant donné que, que les forces agissent le long de la ligne reliant chaque paire d'atomes, c'est-à-dire tant que les forces entre les atomes sont comme des ressorts et n'ont pas de composante latérale (qui existe sans aucun doute avec une liaison covalente).

Nos calculs peuvent être comparés à mesures expérimentales constantes élastiques. Dans le tableau La figure 39.2 montre les valeurs observées des trois coefficients élastiques pour certains cristaux cubiques. Vous avez probablement remarqué que Avec xxyy, en général, ce n'est pas pareil Avec xyxy . La raison en est que dans les métaux comme le sodium et le potassium, les forces interatomiques ne sont pas dirigées le long de la ligne reliant les atomes, comme le suppose notre modèle. Le diamant n'obéit pas non plus à cette loi, car les forces qu'il contient sont des forces covalentes qui ont propriété spéciale directionnalité : les « ressorts » préfèrent lier les atomes situés aux sommets du tétraèdre. Tel cristaux ioniques, comme le fluorure de lithium ou le chlorure de sodium, etc., contiennent presque tous propriétés physiques, supposé dans notre modèle ; selon les données du tableau. 39,2, constante Avec xxyy Et Avec xyxy ils sont presque égaux. Seul le chlorure d'argent, pour une raison quelconque, a l'inconvénient d'obéir à la condition Avec khhuu - Avec huhu.

Le dernier problème de la théorie de l’élasticité dont je discuterai est la tentative de calculer les constantes élastiques d’un matériau sur la base de certaines propriétés des atomes qui composent ce matériau. Nous considérerons le cas simple d'un cristal cubique ionique tel que le chlorure de sodium. La taille ou la forme du cristal déformé change. De tels changements entraînent une augmentation de l'énergie potentielle du cristal. Pour calculer la variation de l’énergie de déformation, vous devez savoir où va chaque atome. Pour rendre l’énergie totale aussi faible que possible, les atomes du réseau de cristaux complexes se réorganisent de manière très complexe. Cela rend assez difficile le calcul de l’énergie de déformation. Mais il est encore possible de comprendre ce qui se passe dans le cas d’un simple cristal cubique. Les perturbations à l’intérieur du cristal seront géométriquement similaires aux perturbations sur ses faces externes.

Les constantes élastiques d'un cristal cubique peuvent être calculées comme suit. Tout d’abord, nous supposerons l’existence d’une certaine loi d’interaction entre chaque paire d’atomes du cristal. Ensuite, nous calculons la variation de l’énergie interne du cristal lorsqu’il s’écarte de la forme d’équilibre. Cela nous donnera une relation entre l’énergie et la déformation, qui est quadratique en déformation. En comparant l'énergie ainsi obtenue avec l'équation (39.13), il est possible d'identifier les coefficients pour chaque terme à constantes élastiques.

Dans notre exemple, nous supposerons la loi d'interaction simple suivante : entre atomes voisins il y a forces centrales, ce qui signifie qu’ils agissent le long d’une ligne reliant deux atomes adjacents. Nous nous attendons à ce que les forces dans les cristaux ioniques soient précisément de ce type, puisqu’elles sont basées sur une simple interaction coulombienne. (Avec une liaison covalente, les forces sont généralement plus complexes, puisqu'elles conduisent également à une pression latérale sur les atomes voisins ; mais nous n'avons pas besoin de toutes ces complications.) De plus, nous allons prendre en compte uniquement la force d'interaction de chaque atome avec ses voisins les plus proches et les plus proches. En d’autres termes, nous ferons une approximation dans laquelle nous négligerons les forces entre atomes distants. Sur la fig. 39.10, et montre les forces dans le plan que nous prendrons en compte. Il faut également prendre en compte les forces correspondantes dans les plans et .

Figue. 39.10. Les forces interatomiques que nous prenons en compte (a) et le modèle dans lequel les atomes sont reliés par des ressorts (b).

Puisque nous ne nous intéressons qu'aux constantes élastiques, qui décrivent de petites déformations, et que, par conséquent, dans l'expression de l'énergie, nous n'avons besoin que de termes quadratiques dans les déformations, nous pouvons supposer que les forces entre chaque paire d'atomes changent linéairement avec le déplacement. Par conséquent, pour plus de clarté, nous pouvons imaginer que chaque paire d’atomes soit reliée par un ressort « linéaire » (Fig. 39.10b). Tous les ressorts entre les atomes de sodium et de chlore doivent avoir la même constante élastique, disons. Les ressorts entre deux atomes de sodium et deux atomes de chlore peuvent avoir des constantes différentes, mais je souhaite simplifier notre raisonnement, je supposerai donc que ces constantes sont égales. Notons-les par . (Plus tard, quand nous verrons comment se déroulent les calculs, vous pourrez revenir en arrière et les rendre différents.)

Supposons maintenant que le cristal soit perturbé par une déformation uniforme décrite par le tenseur. En général, il aura des composantes contenant , et , mais pour plus de clarté, nous ne considérerons que les déformations à trois composantes : , et . Si l'un des atomes est choisi comme origine des coordonnées, alors le déplacement de tout autre atome est donné par une équation comme (39.9) :

(39.42)

Appelons l'atome avec les coordonnées « atome 1 », et les numéros de ses voisins sont indiqués sur la Fig. 39.11. En désignant la constante de réseau par , nous obtenons les composantes - et - du déplacement , , écrites dans le tableau. 39.1.

Tableau 39.1 COMPOSANTS DU MOUVEMENT

Figue. 39.11. Déplacement des voisins les plus proches et les plus proches de l'atome 1. (L'échelle est fortement déformée.)

Nous pouvons maintenant calculer l’énergie stockée dans les ressorts, qui est égale au carré de l’étirement de chaque ressort. Ainsi, l'énergie d'un ressort horizontal entre les atomes 1 et 2 sera égale à

Notez que, jusqu'au premier ordre, déplacer l'atome 2 ne change pas la longueur du ressort entre les atomes 1 et 2. Cependant, pour obtenir l'énergie de déformation du ressort diagonal, celui allant à l'atome 3, nous devons calculer le changement en longueur en raison à la fois des mouvements verticaux et horizontaux. Pour de petits écarts par rapport à l'origine du cube, la variation de la distance à l'atome 3 peut s'écrire comme une somme de composantes et dans le sens diagonal :

En utilisant les quantités, nous pouvons obtenir une expression de l'énergie

. (39.44)

Pour l’énergie totale de tous les ressorts du plan, nous avons besoin de la somme de huit termes de type (39.43) et (39.44). En notant cette énergie par , on obtient

(39.45)

Pour trouver l’énergie totale de tous les ressorts associés à l’atome 1, nous devons faire quelques ajouts à l’équation (39.45). Bien que nous n'ayons besoin que des composantes - et - de la déformation, une certaine énergie supplémentaire associée aux voisins diagonaux en dehors du plan y contribue également. Cette énergie supplémentaire est égale à

. (39.46)

Les constantes élastiques sont liées à la densité d'énergie par l'équation (39.13). L'énergie que nous avons calculée est associée à un atome, ou plus précisément, elle est le double de l'énergie par atome, car chacun des deux atomes reliés par un ressort devrait représenter la moitié de son énergie. Puisqu’il y a des atomes dans une unité de volume, ils sont liés par la relation

Pour trouver les constantes élastiques, il suffit de mettre au carré les sommes entre parenthèses dans l'équation (39.45), d'ajouter (39.46) et de comparer les coefficients avec les coefficients correspondants dans l'équation (39.13). Par exemple, en regroupant les termes avec et , on trouve que son multiplicateur est égal à

.

Dans les termes restants, nous rencontrerons une légère complication. Puisque nous ne pouvons pas distinguer le produit de , son coefficient dans l’expression de l’énergie est égal à la somme des deux termes de l’équation (39.13). Le coefficient pour dans l'équation (39.45) est égal à , on obtient donc

.

Cependant, en raison de la symétrie de l'expression de l'énergie, en réorganisant les deux premières valeurs avec les deux dernières, on peut supposer que , donc

.

De la même manière, vous pouvez obtenir

.

Notons enfin que tout terme contenant une fois le symbole ou est égal à zéro, comme cela a été constaté précédemment pour des raisons de symétrie. Résumons nos résultats :

(39.47)

Ainsi, il s'est avéré que nous sommes capables de relier des constantes élastiques macroscopiques à des propriétés atomiques, qui se manifestent par des constantes et . Dans notre cas particulier. Ces termes pour un cristal cubique, comme vous l'avez probablement remarqué lors des calculs, s'avèrent toujours égaux, quelles que soient les forces que nous prenons en compte, mais uniquement à condition que les forces agissent le long de la ligne reliant chaque paire d'atomes, c'est-à-dire tant que les forces entre atomes s'apparentent à des ressorts et n'ont pas de composante latérale (ce qui existe sans doute avec une liaison covalente).

Nos calculs peuvent être comparés à des mesures expérimentales de constantes élastiques. Dans le tableau La figure 39.2 montre les valeurs observées des trois coefficients élastiques pour certains cristaux cubiques. Vous avez probablement remarqué que, d’une manière générale, n’est pas égal à . La raison en est que dans les métaux comme le sodium et le potassium, les forces interatomiques ne sont pas dirigées le long de la ligne reliant les atomes, comme le suppose notre modèle. Le diamant n'obéit pas non plus à cette loi, car les forces dans le diamant sont des forces covalentes qui ont une directionnalité particulière : les « ressorts » préfèrent lier les atomes situés aux sommets du tétraèdre. Les cristaux ioniques tels que le fluorure de lithium ou le chlorure de sodium, etc. possèdent presque toutes les propriétés physiques supposées dans notre modèle ; selon les données du tableau. 39,2, constant et presque égal. Seul le chlorure d'argent, pour une raison quelconque, ne veut pas obéir à la condition.

Tableau 39.2 CONSTANTES ÉLASTIQUES DES CRISTAUX CUBIQUES. V (V )

Constantes d'élasticité

L'élasticité est caractérisée quantitativement par des constantes caractéristiques de chaque matériau. Il faut tenir compte du fait que la plupart des propriétés, à l'exception de la densité et de la capacité thermique, sont associées à l'anisotropie de la structure. L'élasticité est une propriété anisotrope prononcée. Il faut donc distinguer élasticité des cristaux et des matériaux anisopropes et élasticité des corps isotropes.

Les corps et matériaux polycristallins sont généralement isotropes ; l'anisotropie de leurs propriétés n'apparaît que suite à un moulage ou un traitement, par exemple un pressage, un emboutissage, un laminage, un compactage, etc. Ainsi, une anisotropie se forme dans les propriétés des carreaux de céramique, des carreaux, des tôles d'acier, etc. Dans ce qui suit, seule l'élasticité des propriétés isotropes est considérée, pour laquelle les notions d'axes cristallographiques orientés, etc., ne sont pas applicables.

Compte tenu de ce qui précède, pour la plupart des produits naturels et matériaux artificiels (rochers, céramiques, béton, métaux, etc.) aux petites déformations, les relations entre les contraintes « σ » et les déformations « ε » peuvent être considérées comme linéaires (Fig. 5.2) et décrire par la loi de Hooke généralisée:

où E est le module d'élasticité (module de Young).

De même, la contrainte de cisaillement « τ » est directement proportionnelle à la déformation relative en cisaillement ou à l'angle de cisaillement y (Fig. 5.3) :

où G est le module de cisaillement.

Riz. 5.2. Relation classique contrainte-déformation :

A - céramique ; B - métaux ; C - polymères

Riz. 5.3. Déformation élastique d'un corps solide sous cisaillement

L'allongement de l'échantillon lors de la traction s'accompagne d'une diminution de son épaisseur (Fig. 5.4). Changement relatif d'épaisseur Δl/l au changement relatif de longueur Δd/d appelé coefficient de Poisson « μ » ou taux de compression latérale :

µ = (Δl/l) / (Δd/d).

Riz. 5.4. Déformation élastique d'un corps solide sous tension

Si, lorsqu'un corps est déformé, son volume ne change pas, et cela ne peut se produire que lors d'un écoulement plastique ou visqueux, alors μ = 0,5. Cependant, en pratique, cette valeur est nettement inférieure à l'indicateur théorique de différents matériaux c'est différent. Les matériaux élastiques (béton, céramique, etc.) ont de faibles valeurs du coefficient de Poisson (0,15-0,25), le plastique ( matériaux polymères) - plus élevé (0,3-0,4). Ceci s'explique par la relation entre les forces d'attraction et de répulsion et le changement de distance interatomique lors de la déformation.

Module de Young

Le module d'Young, ou module de déformation longitudinale E, montre la contrainte critique qu'une structure matérielle peut subir à sa déformation maximale avant la rupture ; a une dimension de contrainte (MPa).

Où : σ р – contrainte critique.

Les matériaux polycristallins présentent généralement des écarts par rapport à la linéarité. σ = ƒ(ε,), sans rapport avec l'énergie réseau cristallin, mais en fonction de la structure du matériau. Pour évaluer les propriétés élastiques de tels matériaux, deux modules d'élasticité sont utilisés : la tangente E = tanα et la sécante V = tanβ, appelée module de déformation (Fig. 5.5).

Riz. 5.5. Représentation schématique de la déformation réfractaire :

a - courbe de déformation ; b - point de destruction ;

σ ; - le stress ultime en cas d'échec ; ε - déformation

La valeur du module d'élasticité d'un système biphasé est la moyenne entre les valeurs des modules d'élasticité de chacune des phases, et expressions analytiques pour le trouver sont similaires à ceux utilisés lorsque différentes significations KTE linéaire.

Code du blog :

MODULES ÉLASTIQUES (constantes élastiques), grandeurs caractérisant les propriétés élastiques solides(voir Élasticité). Le module élastique est un coefficient dépendant de la déformation due à la contrainte mécanique appliquée (et vice versa). Dans le cas le plus simple de petites déformations, cette dépendance est linéaire, et le module d'élasticité est un coefficient de proportionnalité (voir loi de Hooke).

Nombre de modules élastiques pour cristaux anisotropes atteint 21 et dépend de la symétrie du cristal. Propriétés élastiques une substance isotrope peut être décrite par 2 constantes (voir constantes de Lamé) associées au module d'Young E = ?/? (? - contrainte de traction, ? - allongement relatif), coefficient de Poisson ? = ??y?/?х (?y - compression transversale relative, ?х - allongement longitudinal relatif), module de cisaillement G = ?/?/? (? - angle de cisaillement, ? - contrainte tangentielle) et avec module de volume K = ?/? (? - diminution du volume).

Les modules élastiques d'un matériau donné dépendent de sa composition chimique, prétraitement, température, etc.

À quoi cela ressemblera :

MODULES D'ÉLASTICITÉ (constantes élastiques), grandeurs caractérisant les propriétés élastiques des solides (voir Élasticité). Le module élastique est un coefficient dépendant de la déformation due à la contrainte mécanique appliquée (et vice versa). Dans le cas le plus simple de petites déformations, cette dépendance est linéaire, et le module d'élasticité est un coefficient de proportionnalité (voir loi de Hooke).

Le nombre de modules élastiques pour les cristaux anisotropes atteint 21 et dépend de la symétrie du cristal. Les propriétés élastiques d'une substance isotrope peuvent être décrites par 2 constantes (voir constantes de Lamé) associées au module d'Young E = ?/? (? - contrainte de traction, ? - allongement relatif), coefficient de Poisson ? = ??y?/?х (?y - compression transversale relative, ?х - allongement longitudinal relatif), module de cisaillement G = ?/?/? (? - angle de cisaillement, ? - contrainte tangentielle) et avec module de volume K = ?/? (? - diminution du volume).

Le module élastique d'un matériau donné dépend de sa composition chimique, de son prétraitement, de sa température, etc.