C'est le nom des nombres de la forme , où et - nombres réels, a est un nombre d'une espèce particulière dont le carré est égal à , c'est-à-dire . Les opérations sur les nombres complexes sont effectuées selon les mêmes règles que sur les polynômes, mais sont remplacées par . Par exemple:

;

;

.

L'égalité signifie cela et .

Les mathématiciens de la Grèce antique étaient considérés comme « réels » uniquement nombres naturels, mais dans des calculs pratiques pour deux millénaires avant JC. V Egypte ancienne Et Babylone antique Des fractions ont déjà été utilisées. Suivant étape importante dans le développement du concept de nombre, il y a eu l'introduction de nombres négatifs - cela a été fait par des mathématiciens chinois deux siècles avant JC. Les nombres négatifs étaient utilisés au IIIe siècle. ANNONCE l'ancien mathématicien grec Diophante, qui connaissait déjà les règles de fonctionnement sur eux, et au 7ème siècle. ANNONCE ces chiffres ont été étudiés en détail par des scientifiques indiens qui les ont comparés à la dette. À l’aide de nombres négatifs, il a été possible de décrire les changements de quantités de manière unifiée. Déjà au VIIIe siècle. ANNONCE il a été constaté que la racine carrée de nombre positif a deux significations - positive et négative, et les racines carrées ne peuvent pas être extraites de nombres négatifs : il n'existe pas de nombre tel que .

Au 16ème siècle en lien avec l'étude équations cubiques Il s’est avéré nécessaire d’extraire les racines carrées des nombres négatifs. La formule pour résoudre les équations cubiques (voir Équation algébrique) contient des racines cubiques et carrées. Cette formule fonctionne de manière fiable dans le cas où l'équation a une racine réelle (par exemple, pour l'équation), et si elle avait trois racines réelles (par exemple, ), alors sous le signe racine carrée s'est avéré être un nombre négatif. Il s'est avéré que le chemin vers ces trois racines de l'équation passe par l'opération impossible d'extraction de la racine carrée d'un nombre négatif.

"En plus et même contre la volonté de l'un ou l'autre mathématicien, des nombres imaginaires apparaissent encore et encore dans les calculs, et ce n'est que progressivement, à mesure que les avantages de leur utilisation sont découverts, qu'ils deviennent de plus en plus répandus." F. Klein

Pour expliquer le paradoxe qui en résulte, l'algébriste italien G. Cardano propose en 1545 d'introduire des nombres nouvelle nature. Il a montré qu'un système d'équations , qui n'a pas de solutions dans l'ensemble des nombres réels, a des solutions de la forme , , il suffit d'accepter d'agir sur de telles expressions selon les règles de l'algèbre ordinaire et de supposer que . Cardano a qualifié ces quantités de « purement négatives » et même de « sophistiquées négatives », les a considérées comme inutiles et a essayé de ne pas les utiliser. En fait, à l'aide de tels nombres, il est impossible d'exprimer ni le résultat de la mesure d'une quantité, ni la variation de cette quantité. Mais déjà en 1572, un livre de l'algébriste italien R. Bombelli fut publié, dans lequel furent établies les premières règles d'opérations arithmétiques sur de tels nombres, jusqu'à l'extraction des racines cubiques d'eux. Le nom de « nombres imaginaires » a été introduit en 1637. mathématicien français et le philosophe R. Descartes, et en 1777 l'un des plus grands mathématiciens du XVIIIe siècle. – L. Euler a suggéré d'utiliser la première lettre mot français imaginaire pour désigner un nombre (une unité « imaginaire ») ; ce symbole s'est généralisé grâce à K. Gauss (1831).

Au XVIIe siècle. La discussion s'est poursuivie sur la nature arithmétique des imaginaires et la possibilité de leur donner une interprétation géométrique.

La technique des opérations sur les nombres complexes s'est progressivement développée. Au tournant des XVIIe et XVIIIe siècles. a été construit théorie générale racines du ème degré d'abord à partir de nombres négatifs, puis à partir de n'importe quel nombre complexe, basé sur la formule suivante Mathématicien anglais A. Moivre (1707)

En utilisant cette formule, vous pouvez également dériver des égalités pour les cosinus et les sinus de plusieurs arcs. L. Euler a dérivé une formule remarquable en 1748

,

qui s'est lié fonction exponentielle avec les trigonométriques. En utilisant la formule d'Euler, vous pouvez élever un nombre à n'importe quelle puissance complexe. Il est intéressant, par exemple, que . Vous pouvez trouver les sinus et les cosinus de nombres complexes, calculer les logarithmes de ces nombres, c'est-à-dire construire une théorie des fonctions d'une variable complexe.

"Personne ne doute de l'exactitude des résultats obtenus à partir de calculs avec des quantités imaginaires, bien qu'il ne s'agisse que de formes algébriques et de hiéroglyphes de quantités absurdes." P.Carnot

Fin du XVIIIe siècle. Le mathématicien français J. Lagrange a pu dire que l'analyse mathématique n'est plus compliquée par des quantités imaginaires. À l’aide de nombres complexes, nous avons appris à exprimer des solutions à des problèmes linéaires. équations différentiellesà coefficients constants. De telles équations se retrouvent, par exemple, dans la théorie des oscillations point matériel dans un environnement résistant. Encore plus tôt, le mathématicien suisse J. Bernoulli utilisait des nombres complexes pour calculer des intégrales.

Bien qu'au XVIIIe siècle. De nombreux problèmes ont été résolus à l’aide de nombres complexes, notamment problèmes appliqués, liés à la cartographie, à l'hydrodynamique, etc., mais il n'y a pas encore de justification strictement logique à la théorie de ces nombres. Par conséquent, le scientifique français P. Laplace pensait que les résultats obtenus à l'aide de nombres imaginaires ne sont que des suggestions qui n'acquièrent le caractère de vérités réelles qu'après confirmation par des preuves directes.

"Théorie du mouvement des corps célestes." À la fin XVIII-début XIX V. une interprétation géométrique des nombres complexes a été obtenue. Le Danois G. Wessel, le Français J. Argan et l'Allemand K. Gauss ont proposé indépendamment de représenter un nombre complexe comme un point sur plan de coordonnées . Plus tard, il s'est avéré qu'il est encore plus pratique de représenter un nombre non pas par le point lui-même, mais par un vecteur allant à ce point depuis l'origine. Avec cette interprétation, l'addition et la soustraction de nombres complexes correspondent aux mêmes opérations sur les vecteurs. Un vecteur peut être spécifié non seulement par ses coordonnées et , mais aussi par sa longueur et l'angle qu'il forme avec la direction positive de l'axe des x. Dans ce cas, et le numéro prend la forme

, que l'on appelle la forme trigonométrique d'un nombre complexe. Le nombre est appelé module d'un nombre complexe et est noté . Le nombre s'appelle un argument et est noté . Notez que si , la valeur n'est pas définie, mais lorsqu'elle est définie jusqu'à un multiple de . La formule d'Euler mentionnée précédemment permet d'écrire un nombre sous la forme (forme exponentielle d'un nombre complexe). Il est très pratique d’effectuer une multiplication de nombres complexes sous forme exponentielle. Il est produit selon la formule

L'interprétation géométrique des nombres complexes a permis de définir de nombreux concepts liés aux fonctions d'une variable complexe et d'élargir le champ de leur application. Il est devenu clair que les nombres complexes sont utiles dans de nombreux problèmes où ils traitent de quantités représentées par des vecteurs sur un plan : lors de l'étude de l'écoulement des fluides, des problèmes de théorie de l'élasticité.

Les scientifiques russes et soviétiques ont apporté une grande contribution au développement de la théorie des fonctions d'une variable complexe. N. I. Muskhelishvili a travaillé sur ses applications à la théorie de l'élasticité, M. V. Keldysh et M. A. Lavrentyev - à l'aérodynamique et à l'hydrodynamique, N. N. Bogolyubov et V. S. Vladimirov - aux problèmes théorie des quanta champs.

Fondamentaux de la théorie des nombres complexes.

Ensembles numériques. La nécessité d'élargir la notion de nombre.

L’un des concepts fondamentaux des mathématiques est celui du nombre. Ce concept a connu un long chemin de développement, enrichi de nouveaux contenus.

Historiquement, les nombres naturels ont été les premiers à apparaître dans la pratique et ont été introduits dans la science, qui constituent un outil pour compter les quantités. articles individuels. Ils forment ensemble infini, ce qui est noté N.

Puis il est devenu nécessaire d'introduire des nombres négatifs pendant activités pratiques personne (la notion de devoir). Les entiers négatifs, avec les nombres naturels et le nombre 0, forment un ensemble infini Z.

Le besoin de pratique, ainsi que les besoins internes des mathématiques elles-mêmes, leurs développement logique, a montré l'insuffisance de l'ensemble nombres rationnels pour résoudre divers problèmes.

Par exemple,

De tels nombres sont qualifiés d’irrationnels.

Par conséquent, il était nécessaire de créer un nouvel ensemble étendu de nombres, dans lequel pour chaque point de la droite numérique il y aurait valeur numérique et dans laquelle toute équation de la forme x n = une. Un tel ensemble est appelé réel ou nombres réels R.

Chaque ensemble précédent est contenu dans le suivant :

Le développement de la science et de la pratique a montré l'insuffisance de l'ensemble R introduit. L'équation la plus simple est insoluble sur cet ensemble

Pour s'en débarrasser, la notation a été introduite

Le nombre résultant i était appelé l’unité imaginaire.

Informations historiques.

1545 – mathématicien italienGirolamo Cardanoen résolvant des équations cubiques, j'ai accidentellement obtenu pour la première fois des nombres imaginaires

1748 – mathématicien russe Léonard Euler j'ai trouvé le rapport e ix = cos x + i∙sin x

1803 – mathématicien françaisLazare Nicolas Carnotintroduit le concept de nombre complexe.

1835 - mathématicien allemandCarl Friedrich Gaussjustifie l'existence d'un nombre complexe.

Définition. Unité imaginaire i est un nombre dont le carré est -1.

Définition . Numéro complexeest un nombre de la forme a + i∙b, où a et b sont des nombres réels. Le nombre a s'appellepartie réelle d'un nombre complexe, b – partie imaginaire d'un nombre complexe. (MAIS PAS je∙b !!!)

Il existe deux cas particuliers :

Définition. Écrire un nombre sous la formea + i∙b est appeléforme algébrique d'écriture d'un nombre complexe.

Définition . Deux nombres complexes sont appeléségal , si leurs parties imaginaire et réelle sont égales.

Définition . Le nombre complexe a - i∙b s'appelleconjugué complexeà un nombre complexe a + i∙b.

Définition . Les nombres complexes a + i∙b et - a - i∙b sont appelésopposé.

Opérations sur les nombres complexes

V forme algébrique enregistrements.

1. Ajout.

Règle . Pour additionner deux nombres complexes en notation algébrique, vous devez additionner leurs parties imaginaire et réelle.

(une 1 + ib 1 ) + (une 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) + (-2 + 7i) =

2. Soustraction.

Règle . Pour soustraire deux nombres complexes en notation algébrique, vous devez soustraire respectivement leurs parties imaginaire et réelle.

(une 1 + ib 1) - (une 2 + ib 2) =

(3 + 5i) - (-2 + 7i) =

3. Multiplications.

Règle . Pour multiplier deux nombres complexes en notation algébrique, vous devez les multiplier terme par terme et les amener en notation algébrique.

(une 1 + ib 1) ∙ (une 2 + ib 2) =

(3 + 5i) ∙ (-2 + 7i) =

4. Division.

Règle . Pour diviser un nombre complexe par un autre, vous devez multiplier les deux nombres par le conjugué complexe du diviseur et effectuer les opérations.

Missions.

1. Parmi les nombres suivants, lesquels sont égaux ?

0,3 + 0,2i

0,3 - 0,2i

0,6 + 0,4i

1. Parmi les nombres suivants, lesquels sont réels ? Purement imaginaire ?

2+0i

0+2i

3 – 5i

4+2i

1. Trouvez tous les conjugués et opposés des nombres complexes donnés.

Laissez-nous vous rappeler informations nécessaires sur les nombres complexes.

Numéro complexe est une expression de la forme un + bi, Où un, b sont des nombres réels, et je- le soi-disant unité imaginaire, un symbole dont le carré est égal à –1, soit je 2 = –1. Nombre un appelé partie réelle, et le numéro b - partie imaginaire nombre complexe z = un + bi. Si b= 0, alors à la place un + 0je ils écrivent simplement un. On peut voir que les vrais chiffres sont cas particulier nombres complexes.

Les opérations arithmétiques sur les nombres complexes sont les mêmes que sur les nombres réels : ils peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et divisés les uns par les autres. L'addition et la soustraction s'effectuent selon la règle ( un + bi) ± ( c + di) = (un ± c) + (b ± d)je, et la multiplication suit la règle ( un + bi) · ( c + di) = (ca – bd) + (annonce + avant JC)je(ici on utilise que je 2 = –1). Nombre = un – bi appelé conjugué complexeÀ z = un + bi. Égalité z · = un 2 + b 2 permet de comprendre comment diviser un nombre complexe par un autre nombre complexe (non nul) :

(Par exemple, .)

Les nombres complexes ont une signification pratique et visuelle représentation géométrique: nombre z = un + bi peut être représenté par un vecteur de coordonnées ( un; b) sur plan cartésien(ou, ce qui est presque la même chose, un point - la fin d'un vecteur avec ces coordonnées). Dans ce cas, la somme de deux nombres complexes est représentée comme la somme des vecteurs correspondants (qui peuvent être trouvés à l'aide de la règle du parallélogramme). Selon le théorème de Pythagore, la longueur du vecteur de coordonnées ( un; b) est égal à . Cette quantité est appelée module nombre complexe z = un + bi et est noté | z|. L'angle que fait ce vecteur avec la direction positive de l'axe des x (compté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) est appelé argument nombre complexe z et est noté Arg z. L'argument n'est pas défini de manière unique, mais seulement jusqu'à l'ajout d'un multiple de 2 π radians (ou 360°, si compté en degrés) - après tout, il est clair qu'une rotation d'un tel angle autour de l'origine ne changera pas le vecteur. Mais si le vecteur de longueur r forme un angle φ avec la direction positive de l'axe des x, alors ses coordonnées sont égales à ( r parce que φ ; r péché φ ). À partir de là, il s'avère notation trigonométrique nombre complexe : z = |z| · (cos(Arg z) + je péché(Arg z)). Il est souvent pratique d’écrire des nombres complexes sous cette forme, car cela simplifie grandement les calculs. Multiplier des nombres complexes sous forme trigonométrique est très simple : z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + je péché(Arg z 1 + Arg z 2)) (lors de la multiplication de deux nombres complexes, leurs modules sont multipliés et leurs arguments sont ajoutés). De là, suivez Les formules de Moivre: z n = |z|n· (cos( n· (Arg. z)) + je péché( n· (Arg. z))). À l’aide de ces formules, il est facile d’apprendre à extraire des racines de n’importe quel degré à partir de nombres complexes. nième racine puissances du nombre z- c'est un nombre complexe w, Quoi w n = z. Il est clair que , et , où k peut prendre n'importe quelle valeur de l'ensemble (0, 1, ..., n– 1). Cela signifie qu'il y a toujours exactement n racines nème degré d'un nombre complexe (sur le plan ils sont situés aux sommets du nombre régulier n-gon).