En faisant tourner rapidement le seau d'eau. Faites tourner le seau d'eau

Tache 1. Après la pluie, le niveau d'eau dans le puits peut monter. Garçon mesurant le temps faire tomber de petits cailloux dans un puits et calculer la distance jusqu'à l'eau à l'aide de la formule , où est la distance en mètres, - temps de chute en secondes. Avant la pluie, le temps de chute des cailloux était de 1,2 s. De combien le niveau d'eau doit-il monter après la pluie pour que le temps mesuré change de 0,2 s ? Exprimez votre réponse en mètres.

Solution:

Calculons la distance jusqu'à l'eau avant la pluie :

Lors de pluie, le niveau de l'eau montera, le temps de chute du caillou diminuera et sera de 1 s.

Ensuite, la distance jusqu'à l'arrosage après la pluie sera de m.

En conséquence, le niveau d'eau augmentera de m après la pluie.

Réponse : 2.2.

Tâche 2. La hauteur au-dessus du sol d'une balle lancée change selon la loi, où est la hauteur en mètres, - le temps en secondes écoulé depuis le lancer. Pendant combien de secondes le ballon restera-t-il à une hauteur d'au moins 4 mètres ?

Solution:

On trouve le temps qui nous intéresse à partir de l'inégalité :

Racines trinôme quadratique: 0,2 et 2,4.

On passe donc à l’inégalité suivante :

Par conséquent, le ballon sera à une hauteur d’au moins 4 mètres pendant quelques secondes.

Réponse : 2.2.

Tâche 3. Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égal à zéro. Au point haut, la force de pression, exprimée en newtons, est égale à , où est la masse d'eau en kilogrammes, est la vitesse de déplacement du seau en m/s, est la longueur de la corde en mètres, est la accélération chute libre(compter m/s). A quelle vitesse minimale faut-il faire tourner le seau pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est de 160 cm ? Exprimez votre réponse en m/s.

Solution:

L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro.

N'oubliez pas de convertir les centimètres en mètres !

Parce que le - valeur positive, on passe à l'inégalité équivalente :

En raison de la non-négativité inégalité variable est équivalent à ce qui suit :

La plus petite valeur correspondant à l'inégalité est 4.

Tâche 4. Un robinet est fixé sur la paroi latérale d'un grand réservoir cylindrique tout en bas. Après son ouverture, l'eau commence à s'écouler du réservoir, tandis que la hauteur de la colonne d'eau, exprimée en mètres, change conformément à la loi, où t- temps en secondes écoulé depuis l'ouverture du robinet, m - hauteur initiale de la colonne d'eau, - rapport de surface des sections transversales grue et réservoir, et - accélération de la chute libre (compte m/s). Combien de secondes après l’ouverture du robinet reste-t-il un quart du volume d’eau d’origine dans le réservoir ?

Solution:

La hauteur initiale de la colonne dans le réservoir (en ) est de m.

Un quart du volume restera alors dans le réservoir lorsque la hauteur de la colonne d'eau dans le réservoir deviendra m.

Remplacer dans la formule principale :

Ainsi, 400 secondes après l'ouverture du robinet, il restera dans le réservoir un quart du volume d'eau initial.

Réponse : 400.

Tâche 5. La dépendance de la température (en degrés Kelvin) sur le temps pour l'élément chauffant d'un certain appareil a été obtenue expérimentalement et, sur la plage de température étudiée, est déterminée par l'expression , où t- temps en minutes, K, K/min, K/min. On sait que si la température du radiateur dépasse 1750 K, l'appareil peut se détériorer, il faut donc l'éteindre. Déterminer par quoi le plus longtemps Après avoir commencé à travailler, vous devez éteindre l'appareil. Exprimez votre réponse en quelques minutes.

Solution:

Nous trouverons , correspondant

En substituant toutes les quantités connues, on obtient :

2 minutes après la mise sous tension, l'appareil chauffera jusqu'à 1750 K, et s'il chauffe davantage, l'appareil risque de se détériorer.

L'appareil doit donc être éteint après 2 minutes.

Tâche 6. Pour enrouler le câble, l'usine utilise un treuil qui enroule le câble sur une bobine à une accélération uniforme. L'angle de rotation de la bobine change avec le temps selon la loi, où - temps en minutes, min - initiale vitesse angulaire rotation de la bobine, et min - accélération angulaire, avec lequel le câble est enroulé. Le travailleur doit vérifier l'avancement de son enroulement sans plus tard que ça le moment où l’angle d’enroulement atteint 3000˚. Déterminez l'heure à partir de laquelle le treuil commence à fonctionner, au plus tard après laquelle le travailleur doit vérifier son fonctionnement. Exprimez votre réponse en quelques minutes.

Solution:

Nous trouverons , correspondant à l'angle d'enroulement :

Minutes (en raison de la non-négativité de la variable nous avons une racine)

Le travailleur doit vérifier le fonctionnement du treuil au plus tard 30 minutes après le début des travaux.

Tâche 7. La voiture emménage moment de départ temps à une vitesse de m/s, a commencé à freiner avec accélération constante MS. Derrière quelques secondes après le début du freinage, il a parcouru une distance (m). Déterminez le temps qui s'est écoulé depuis le début du freinage, si vous savez que pendant ce temps la voiture a parcouru 30 mètres. Exprimez votre réponse en quelques secondes.

Solution:

Selon la condition, le temps , écoulé depuis le début du freinage, se trouve à partir de l'équation suivante :

En 2 secondes après le freinage, la voiture parcourra 30 m.

Tâche 8. Une partie de certains appareils est une bobine rotative. Il se compose de trois cylindres coaxiaux homogènes : un central d'une masse de kg et d'un rayon de cm, et de deux cylindres latéraux d'une masse de kg et d'un rayon de . Dans ce cas, le moment d'inertie de la bobine par rapport à l'axe de rotation, exprimé en kgcm, est donné par la formule. À quoi valeur maximum le moment d'inertie de la bobine ne dépasse pas la valeur limite de 1300 kg cm ? Exprimez votre réponse en centimètres.

Solution:

Le moment d'inertie de la bobine ne doit pas dépasser la valeur limite de 1300 kg cm, donc

Grâce à la non-négativité, nous obtenons :

Ainsi, la valeur maximale appropriée est de 10 cm.

Tâche 9. Au chantier naval, les ingénieurs conçoivent nouvel appareil pour plonger à faible profondeur. La conception a la forme d'une sphère, ce qui signifie que la force de poussée (Archimède) agissant sur l'appareil, exprimée en newtons, sera déterminée par la formule : , où est une constante, est le rayon de l'appareil en mètres, kg /m est la densité de l'eau et l'accélération de la gravité (considérez N/kg). Quel peut être le rayon maximum de l'appareil pour que la force de flottabilité lors de l'immersion ne dépasse pas 42 000 N ? Exprimez votre réponse en mètres.

Solution:

La force de flottabilité pendant l'immersion ne doit pas dépasser 30618 N, donc

En conséquence, le rayon maximum du dispositif correspondant à l'inégalité est 1.

Problème 10. Pour déterminer température effective les étoiles utilisent la loi de Stefan-Boltzmann, selon laquelle la puissance de rayonnement d'un corps chauffé P., mesurée en watts, est directement proportionnelle à sa surface et à la quatrième puissance de la température : , où est une constante, la surface est mesurée en mètres carrés, et la température est en degrés Kelvin. On sait qu'une étoile a une aire de m et la puissance qu'elle émet est d'au moins W. Déterminez la température la plus basse possible de cette étoile. Donnez votre réponse en degrés Kelvin.

Solution:

Résolvons l'inégalité :

Nous réduisons les deux côtés de l’inégalité en

Multipliez les deux côtés par 128 :

En raison de la non-négativité, nous avons :

La température la plus basse possible d'une étoile est de 4 000 K.

Réponse : 4000.

Vous pouvez parcourir la partie 2.

Option 1 (2015)

1.1 Pour peindre 1 m². m de plafond nécessite 290 g de peinture. La peinture est vendue en bidon de 2 kg. Quel est le plus petit nombre de pots de peinture que vous devez acheter pour peindre un plafond d'une superficie de 62 mètres carrés ? m?

1.2 Un coureur a couru 150 m en 15 secondes. Trouver vitesse moyenne coureur à distance. Donnez votre réponse en kilomètres par heure.

2. Sur la figure, les points gras représentent la température moyenne quotidienne de l'air à Brest du 6 au 19 juillet 1981. Les dates du mois sont indiquées horizontalement et la température en degrés Celsius est indiquée verticalement. Pour plus de clarté, les points en gras sont reliés par une ligne. Déterminez à partir de l'image combien de jours il y a période spécifiée la température était exactement de 210°C.

3. Pour transporter 42 tonnes de marchandises sur 1 100 km, vous pouvez faire appel aux services de l'une des trois sociétés de transport. Le coût du transport et la capacité de charge des véhicules pour chaque transporteur sont indiqués dans le tableau. Combien de roubles devrez-vous payer pour le transport le moins cher ?

4. Trouvez la longueur ligne médiane trapèze, si la taille des cellules est de 5 cm x 5 cm. Donnez votre réponse en centimètres.

5 . Il y a 20 équipes participant au Championnat du Monde. En utilisant des tirages au sort, ils doivent être divisés en cinq groupes de quatre équipes chacun. Il y a des cartes avec des numéros de groupe mélangés dans la boîte :

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Les capitaines d'équipe piochent chacun une carte. Quelle est la probabilité que l’équipe chinoise soit dans le quatrième groupe ?

6. Trouvez la racine de l'équation log 1 (7 3 x ) 2 .

7. Les tangentes CA et CB à un cercle forment un angle ACB égal à 820. Trouvez la grandeur du plus petit arc AB sous-tendu par les points de tangence. Donnez votre réponse en degrés.

sur l'intervalle (-8;5). A quel point du segment [-1;4] la fonction f (x) prend-elle la plus grande valeur ?

9. Côtes latérales pyramide triangulaire mutuellement perpendiculaires, chacun d'eux est égal à 12. Trouvez le volume de la pyramide.

11. Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro. Au sommet la force

kilogrammes, v est la vitesse de déplacement du godet en m/s, L est la longueur de la corde en mètres, g est l'accélération de la gravité (considérons g 10 m/s2). Quelle est la vitesse la plus basse ?

Est-il nécessaire de faire pivoter le seau pour que l'eau ne s'écoule pas si la longueur de la corde est de 62,5 cm ? Exprimez votre réponse en m/s.

12. Le volume d’une balle est 125 fois supérieur au volume de la seconde. Combien de fois la surface de la première balle ? plus de superficie surface de la seconde ?

13. Un automobiliste et un cycliste sont partis en même temps d'un point A à un point B dont la distance est de 40 km. On sait qu'un automobiliste parcourt 70 km de plus par heure qu'un cycliste. Déterminez la vitesse du cycliste si l'on sait qu'il est arrivé au point B 3,5 heures plus tard que l'automobiliste. Donnez votre réponse en km/h.

14. Trouvez le point minimum de la fonction y (2 x 2 12 x 12) e 5 x.

15. a) Résoudre l'équation

16. Dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plan passant par la droite A 1 B parallèle

la droite AC divise le cube en deux polyèdres.

a) Montrer que le rapport des volumes des polyèdres est de 5:1

b) Trouver l'arête du cube si le volume d'un polyèdre ayant grande quantité visages est égal à 20 3

17. Résoudre les inégalités :

18. Un parallélogramme contient deux cercles, chacun touchant ses trois côtés et un autre cercle.

a) Montrer que ce sont des cercles de rayons égaux.

b) Trouver l'aire du parallélogramme si le rayon du cercle est 1, on sait aussi que la longueur d'un des segments du côté du parallélogramme depuis le sommet jusqu'au point de tangence avec

l'un des cercles est égal à 3.

19. Alexey a décidé de contracter un emprunt bancaire de 100 000 roubles pendant 4 mois à 5 % par mois. Il existe deux modes de remboursement des prêts. Selon le premier schéma, à la fin de chaque mois, la banque facture des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire qu'elle augmente la dette de 5 %), puis Alexey transfère un montant fixe à la banque et, par conséquent , rembourse la totalité de la dette en quatre versements égaux. Selon le deuxième schéma, le montant de la dette à la fin de chaque mois augmente de 5 %, puis diminue du montant payé par Alexey. Les montants payés à la fin de chaque mois sont choisis de manière à ce que le montant de la dette diminue uniformément chaque mois, c'est-à-dire du même montant. Quel schéma est le plus rentable pour Alexey ? À combien de roubles cet avantage s'élèvera-t-il ?

20. Trouver toutes les valeurs du paramètre a, pour chacune desquelles l'équation

4e x 5e x e x 2a 111e x 2

a exactement 2 racines.

21. L'expression suivante est écrite au tableau :*1/1*1/2*1/3...*1/12

A) Montrer qu'il est impossible de remplacer les astérisques par + 1 et – 1 pour que la valeur de l'expression devienne égale à 0.

B) Quel est le plus petit nombre de fractions qu'il faut supprimer pour qu'il devienne possible de rendre la valeur de l'expression restante égale à 0 en remplaçant les astérisques par + 1 et – 1.

« L'eau ne s'écoule pas d'un récipient qui tourne, ni même lorsque le récipient est renversé, car la rotation interfère avec cela », écrivait Aristote il y a deux mille ans. La photo montre ceci expérience spectaculaire, qui est sans doute familier à beaucoup : en faisant tourner un seau d'eau assez rapidement, comme le montre la figure, vous vous assurez que l'eau ne se répand pas même dans la partie du chemin où le seau est retourné.

Dans la vie de tous les jours, il est d'usage d'expliquer ce phénomène par la « force centrifuge », c'est-à-dire cette force imaginaire qui est censée être appliquée au corps et détermine son désir de s'éloigner du centre de rotation. Cette force n'existe pas : ce désir n'est rien d'autre qu'une manifestation de l'inertie, et tout mouvement par inertie s'effectue sans la participation de la force. En physique, la force centrifuge signifie autre chose, à savoir que vraie force avec lequel un corps en rotation tire le fil qui le retient ou appuie sur son chemin courbe. Cette force s'applique non pas à un mobile, mais à un obstacle qui l'empêche de se déplacer de manière rectiligne : à un fil, à des rails sur une section courbe de voie, etc.

En ce qui concerne la rotation du godet, nous essaierons de comprendre la raison de ce phénomène, sans recourir du tout à la notion ambiguë " force centrifuge" Posons-nous la question : où ira le jet d'eau si un trou est fait dans la paroi du seau ? S'il n'y avait pas de gravité, le jet d'eau se déplacerait, par inertie, tangentiellement AK au cercle UN B. La gravité fait diminuer le jet et décrire une courbe (parabole RA). Si la vitesse périphérique est suffisamment élevée, cette courbe se situera en dehors du cercle UN B. Le ruisseau révèle devant nous le chemin le long duquel, lorsque le seau tourne, l'eau se déplacerait si le seau n'interférait pas avec la pression exercée sur lui. Maintenant, il est clair que l'eau n'a pas du tout tendance à se déplacer verticalement vers le bas et ne s'écoule donc pas du seau. Il ne pouvait en sortir que si le seau avait son trou orienté dans le sens de sa rotation.

Calculez maintenant à quelle vitesse le seau doit tourner dans cette expérience pour que l'eau n'en sorte pas. Cette vitesse doit être telle que accélération centripète le seau en rotation n'était rien de moins que l'accélération de la gravité : alors le chemin le long duquel l'eau a tendance à se déplacer se situera en dehors du cercle décrit par le seau, et l'eau ne sera nulle part en retard derrière le seau. Formule de calcul de l'accélération centripète W comme ça;

Où v– la vitesse périphérique, R.– rayon de la trajectoire circulaire. Puisque l’accélération de la gravité est la surface de la terre g = 9,8 m/sec 2, alors nous avons l'inégalité v 2 /R = 9,8. Si nous fixons R égal à 70 cm, alors

La capacité d'un liquide à se presser contre les parois du récipient dans lequel il tourne axe horizontal, sont utilisés dans la technologie de coulée dite centrifuge. Dans ce cas, il est essentiel que le liquide inhomogène soit stratifié le long densité spécifique: les composants les plus lourds sont situés plus loin de l'axe de rotation, les plus légers occupent une place plus proche de l'axe. En conséquence, tous les gaz contenus dans le métal en fusion et formant ce que l'on appelle les « coquilles » dans la pièce moulée sont libérés du métal dans la partie intérieure creuse de la pièce moulée. Les produits ainsi fabriqués sont denses et exempts de coquilles. Le moulage par centrifugation est moins cher que le moulage par injection conventionnel et ne nécessite pas d'équipement complexe.

Dans la série de problèmes ci-dessous de banque ouverte FIPI avec un contenu physique intéressant (tâches numéro 10 sur profil Examen d'État unifié) tu dois être capable de ne pas actions complexes avec des nombres, trouvez les racines carrées.

Tâche n° 41343Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro. Au point haut, la force de pression, exprimée en newtons, est calculée par la formule (1), oùm- masse d'eau en kilogrammes,vL- longueur de la corde en mètres,gg=10m/s2 211,6 cm? Exprimez votre réponse en m/s.

Solution.Tout d’abord, exprimons la longueur de la corde en mètres 211,6 cm = 2,116 m. Pour empêcher l'eau de s'écouler, il y a suffisamment de pression nulle au fond du seau. Remplaçons les valeurs de pression, de longueur de corde et d'accélération gravitationnelle dans la formule (1) et obtenons

0 = m( v 2 /2,116 – 10) , on divise les deux parties par la masse d'eau, elle n'est pas égale à zéro selon la condition.

0 = v 2 /2,116 – 10 , déplacez 10 de l’autre côté de l’équation et multipliez les deux côtés par 2,116.

21,16 = v 2 , extrayons Racine carrée et nous obtenonsv = 4,6.

La réponse est 4.6.

Missions pour un travail indépendant.

m- masse d'eau en kilogrammes,v— vitesse de déplacement du godet en m/s,L- longueur de la corde en mètres,g— accélération de la chute libre (considérezg=10m/s2 ). À quelle vitesse minimale le seau doit-il tourner pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est 129,6 cm? Exprimez votre réponse en m/s.

Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro. Au point haut, la force de pression, exprimée en newtons, est calculée par la formule (1), oùm- masse d'eau en kilogrammes,v— vitesse de déplacement du godet en m/s,L- longueur de la corde en mètres,g— accélération de la chute libre (considérezg=10m/s2 ). À quelle vitesse minimale le seau doit-il tourner pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est 184,9 cm? Exprimez votre réponse en m/s.

m- masse d'eau en kilogrammes,v— vitesse de déplacement du godet en m/s,L- longueur de la corde en mètres,g— accélération de la chute libre (considérezg=10m/s2 ). À quelle vitesse minimale le seau doit-il tourner pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est 57,6 cm? Exprimez votre réponse en m/s.

Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro. Au point haut, la force de pression, exprimée en newtons, est calculée par la formule (1), oùm- masse d'eau en kilogrammes,v— vitesse de déplacement du godet en m/s,L- longueur de la corde en mètres,g— accélération de la chute libre (considérezg=10m/s2 ). À quelle vitesse minimale le seau doit-il tourner pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est 115,6 cm? Exprimez votre réponse en m/s.

Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro. Au point haut, la force de pression, exprimée en newtons, est calculée par la formule (1), oùm- masse d'eau en kilogrammes,v— vitesse de déplacement du godet en m/s,L- longueur de la corde en mètres,g— accélération de la chute libre (considérezg=10m/s2 ). À quelle vitesse minimale le seau doit-il tourner pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est 240,1 cm? Exprimez votre réponse en m/s.

Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro. Au point haut, la force de pression, exprimée en newtons, est calculée par la formule (1), oùm- masse d'eau en kilogrammes,v— vitesse de déplacement du godet en m/s,L- longueur de la corde en mètres,g— accélération de la chute libre (considérezg=10m/s2 ). À quelle vitesse minimale le seau doit-il tourner pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est 144,4 cm? Exprimez votre réponse en m/s.

Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro. Au point haut, la force de pression, exprimée en newtons, est calculée par la formule (1), oùm- masse d'eau en kilogrammes,v— vitesse de déplacement du godet en m/s,L- longueur de la corde en mètres,g— accélération de la chute libre (considérezg=10m/s2 ). À quelle vitesse minimale le seau doit-il tourner pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est 96,1 cm? Exprimez votre réponse en m/s.

Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro. Au point haut, la force de pression, exprimée en newtons, est calculée par la formule (1), oùm- masse d'eau en kilogrammes,v— vitesse de déplacement du godet en m/s,L- longueur de la corde en mètres,g— accélération de la chute libre (considérezg=10m/s2 ). À quelle vitesse minimale le seau doit-il tourner pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est 52,9 cm? Exprimez votre réponse en m/s.

Prototype de la tâche 11 (n° 27956)

La dépendance du volume de la demande q (unités par mois) pour les produits d'une entreprise monopolistique au prix p (milliers de roubles) est donnée par la formule q = 100 - 10p. Le chiffre d'affaires de l'entreprise pour le mois r (en milliers de roubles) est calculé à l'aide de la formule \(r(p) = q \cdot p\). Déterminez le prix le plus élevé p auquel les revenus mensuels r(p) resteront d'au moins 240 000 roubles.

Donnez votre réponse en milliers de roubles.

$$r = q \cdot p = (100 - 10p)\cdot p,$$

$$r = 100p - 10p^2.$$

$$100p - 10p^2 \ge 240, $$

$$p^2 - 10p+24 \le 0,$$

$$4 \le p \le 6. $$

Cela signifie que le prix le plus élevé auquel les revenus mensuels seront d'au moins 240 000 roubles est égal à 6 000 roubles.

Prototype de la tâche 11 (n° 27957)

La hauteur au-dessus du sol d'une balle lancée change selon la loi \(h(t) = 1,6 + 8t - 5t^2\), où h est la hauteur en mètres, t est le temps en secondes écoulé depuis le lancer. Combien de secondes le ballon restera-t-il à une hauteur d'au moins trois mètres ?

Donnez votre réponse en milliers de roubles.

Trouvons les instants auxquels le ballon sera à une hauteur de 3 mètres :

$$1,6 + 8t - 5t^2 = 3.$$

$$5t^2 - 8t+1,4 = 0,$$

$$t_1 = 0,2,~t_2 = 1,4.$$

La première fois, le ballon atteint une hauteur de 3 mètres au-dessus du sol en 0,2 seconde, la deuxième fois (lorsqu'il tombe) - en 1,4 seconde (à compter du moment du lancer).

Par conséquent, le ballon sera à une hauteur d'au moins 3 mètres pendant 1,4 - 0,2 = 1,2 seconde.

Réponse : 1,2.

Prototype de la tâche 11 (n° 27958)

Si vous faites tourner assez rapidement un seau d'eau sur une corde dans un plan vertical, l'eau ne se répandra pas. Lorsque le seau tourne, la force de pression de l'eau sur le fond ne reste pas constante : elle est maximale en bas et minimale en haut. L'eau ne s'écoulera pas si la force de sa pression sur le fond est positive en tous points de la trajectoire sauf en haut, où elle peut être égale à zéro. Au point haut, la force de pression, exprimée en newtons, est égale à \(P = m(\frac(v^2)(L)-g)\), m est la masse d'eau en kilogrammes, v est la vitesse de déplacement du godet en m/s, L est la longueur de la corde en mètres, g est l'accélération de la chute libre (considérons g = 10 m/s 2). A quelle vitesse minimale faut-il faire tourner le seau pour que l'eau ne s'écoule pas, si la longueur de la corde est de 40 cm ? Exprimez votre réponse en m/s.

Donnez votre réponse en milliers de roubles.

Pour que l'eau ne s'écoule pas, il faut qu'au point haut P = 0. Donc

$$\frac(v^2)(L)-g = 0,$$

$$\frac(v^2)(0.4)-10 = 0.$$

$$v^2 = 4,~v = 2.$$

La vitesse la plus basse est de 2 m/s.

Prototype de la tâche 11 (n° 27959)

Un robinet est fixé sur la paroi latérale d'un grand réservoir cylindrique tout en bas. Après l'avoir ouvert, l'eau commence à s'écouler du réservoir, tandis que la hauteur de la colonne d'eau qu'il contient, exprimée en mètres, change selon la loi \(H(t) = H_0 - \sqrt(2gH_0)kt+ \frac( g)(2)k^2t ^2\), où t est le temps en secondes écoulé depuis l'ouverture du robinet, \(H_0 = 20\)m est la hauteur initiale de la colonne d'eau, k = 1/ 50 est le rapport des surfaces transversales du robinet et du réservoir, et g est l'accélération de la chute libre (considérons g = 10 m/s 2). Combien de secondes après l'ouverture du robinet reste-t-il un quart du volume d'eau d'origine dans le réservoir ?