Dans cette leçon, tout le monde pourra étudier le thème « Parallélépipède rectangle ». Au début de la leçon, nous répéterons ce que sont les parallélépipèdes arbitraires et droits, rappelons les propriétés de leurs faces opposées et des diagonales du parallélépipède. Nous verrons ensuite ce qu'est un cuboïde et discuterons de ses propriétés de base.
Sujet : Perpendiculaire des lignes et des plans
Leçon : Cuboïde
Une surface composée de deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 et de quatre parallélogrammes ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 est appelée parallélépipède(Fig. 1).
Riz. 1 parallélépipède
C'est-à-dire : nous avons deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), ils se trouvent dans plans parallèles de sorte que les bords latéraux AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 soient parallèles. Ainsi, une surface composée de parallélogrammes est appelée parallélépipède.
Ainsi, la surface d’un parallélépipède est la somme de tous les parallélogrammes qui composent le parallélépipède.
1. Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.
(les formes sont égales, c'est-à-dire qu'elles peuvent être combinées en se chevauchant)
Par exemple:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( parallélogrammes égaux un-prieuré),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (puisque AA 1 B 1 B et DD 1 C 1 C - visages opposés parallélépipède),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (puisque AA 1 D 1 D et BB 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède).
2. Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par ce point.
Les diagonales du parallélépipède AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se coupent en un point O, et chaque diagonale est divisée en deux par ce point (Fig. 2).
Riz. 2 Les diagonales d'un parallélépipède se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection.
3. Il existe trois quadruples d'arêtes égales et parallèles d'un parallélépipède: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Définition. Un parallélépipède est dit droit si ses bords latéraux sont perpendiculaires aux bases.
Laisser côte latérale AA 1 est perpendiculaire à la base (Fig. 3). Cela signifie que la droite AA 1 est perpendiculaire aux droites AD et AB, qui se situent dans le plan de la base. Cela signifie que les faces latérales contiennent des rectangles. Et les bases contiennent des parallélogrammes arbitraires. Notons ∠BAD = φ, l'angle φ peut être quelconque.
Riz. 3 Parallélépipède droit
Ainsi, un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases du parallélépipède.
Définition. Le parallélépipède est dit rectangulaire, si ses bords latéraux sont perpendiculaires à la base. Les bases sont des rectangles.
Le parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est rectangulaire (Fig. 4), si :
1. AA 1 ⊥ ABCD (bord latéral perpendiculaire au plan de la base, c'est-à-dire un parallélépipède droit).
2. ∠BAD = 90°, c'est-à-dire que la base est un rectangle.
Riz. 4 Parallélépipède rectangle
Un parallélépipède rectangle possède toutes les propriétés d’un parallélépipède arbitraire. Mais il existe des propriétés supplémentaires dérivées de la définition d’un cuboïde.
Donc, cuboïde est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires à la base. La base d'un cuboïde est un rectangle.
1. Dans un parallélépipède rectangle, les six faces sont des rectangles.
ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 sont des rectangles par définition.
2. Les nervures latérales sont perpendiculaires à la base. Alors c'est tout faces latérales parallélépipède rectangle - rectangles.
3. Tous angles dièdres lignes droites parallélépipédiques rectangles.
Considérons, par exemple, l'angle dièdre d'un parallélépipède rectangle d'arête AB, c'est-à-dire l'angle dièdre entre les plans ABC 1 et ABC.
AB est une arête, le point A 1 se trouve dans un plan - dans le plan ABB 1, et le point D dans l'autre - dans le plan A 1 B 1 C 1 D 1. Alors l'angle dièdre considéré peut également être noté comme suit : ∠A 1 ABD.
Prenons le point A sur l'arête AB. AA 1 - perpendiculaire au bord AB dans le plan АВВ-1, AD perpendiculaire au bord AB dans Avion ABC. Cela signifie que ∠A 1 AD est l'angle linéaire d'un angle dièdre donné. ∠A 1 AD = 90°, ce qui signifie que l'angle dièdre au bord AB est de 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
De même, il est prouvé que tous les angles dièdres d’un parallélépipède rectangle sont droits.
Diagonale carrée d'un cuboïde égal à la somme carrés de ses trois dimensions.
Note. Les longueurs des trois arêtes partant d'un sommet d'un cuboïde sont les mesures du cuboïde. On les appelle parfois longueur, largeur, hauteur.
Donné : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallélépipède rectangle (Fig. 5).
Prouver: .
Riz. 5 Parallélépipède rectangle
Preuve:
La droite CC 1 est perpendiculaire au plan ABC, donc à la droite AC. Cela signifie que le triangle CC 1 A est rectangle. D'après le théorème de Pythagore :
Considérons un rectangle triangle ABC. D'après le théorème de Pythagore :
Mais avant JC et après JC - côtés opposés rectangle. Donc BC = AD. Alors:
Parce que , UN , Que. Puisque CC 1 = AA 1, c'est ce qu'il fallait prouver.
Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales.
Notons les dimensions du parallélépipède ABC comme a, b, c (voir Fig. 6), alors AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Dans cette leçon, tout le monde pourra étudier le thème « Parallélépipède rectangle ». Au début de la leçon, nous répéterons ce que sont les parallélépipèdes arbitraires et droits, rappelons les propriétés de leurs faces opposées et des diagonales du parallélépipède. Nous verrons ensuite ce qu'est un cuboïde et discuterons de ses propriétés de base.
Sujet : Perpendiculaire des lignes et des plans
Leçon : Cuboïde
Une surface composée de deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 et de quatre parallélogrammes ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 est appelée parallélépipède(Fig. 1).
Riz. 1 parallélépipède
C'est-à-dire : nous avons deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), ils se trouvent dans des plans parallèles de sorte que les bords latéraux AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sont parallèles. Ainsi, une surface composée de parallélogrammes est appelée parallélépipède.
Ainsi, la surface d’un parallélépipède est la somme de tous les parallélogrammes qui composent le parallélépipède.
1. Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.
(les formes sont égales, c'est-à-dire qu'elles peuvent être combinées en se chevauchant)
Par exemple:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (parallélogrammes égaux par définition),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (puisque AA 1 B 1 B et DD 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (puisque AA 1 D 1 D et BB 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède).
2. Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par ce point.
Les diagonales du parallélépipède AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se coupent en un point O, et chaque diagonale est divisée en deux par ce point (Fig. 2).
Riz. 2 Les diagonales d'un parallélépipède se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection.
3. Il existe trois quadruples d'arêtes égales et parallèles d'un parallélépipède: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Définition. Un parallélépipède est dit droit si ses bords latéraux sont perpendiculaires aux bases.
Laissez le bord latéral AA 1 être perpendiculaire à la base (Fig. 3). Cela signifie que la droite AA 1 est perpendiculaire aux droites AD et AB, qui se situent dans le plan de la base. Cela signifie que les faces latérales contiennent des rectangles. Et les bases contiennent des parallélogrammes arbitraires. Notons ∠BAD = φ, l'angle φ peut être quelconque.
Riz. 3 Parallélépipède droit
Ainsi, un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases du parallélépipède.
Définition. Le parallélépipède est dit rectangulaire, si ses bords latéraux sont perpendiculaires à la base. Les bases sont des rectangles.
Le parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est rectangulaire (Fig. 4), si :
1. AA 1 ⊥ ABCD (bord latéral perpendiculaire au plan de la base, c'est-à-dire un parallélépipède droit).
2. ∠BAD = 90°, c'est-à-dire que la base est un rectangle.
Riz. 4 Parallélépipède rectangle
Un parallélépipède rectangle possède toutes les propriétés d’un parallélépipède arbitraire. Mais il existe des propriétés supplémentaires dérivées de la définition d’un cuboïde.
Donc, cuboïde est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires à la base. La base d'un cuboïde est un rectangle.
1. Dans un parallélépipède rectangle, les six faces sont des rectangles.
ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 sont des rectangles par définition.
2. Les nervures latérales sont perpendiculaires à la base. Cela signifie que toutes les faces latérales d’un parallélépipède rectangle sont des rectangles.
3. Tous les angles dièdres d’un parallélépipède rectangle sont droits.
Considérons, par exemple, l'angle dièdre d'un parallélépipède rectangle d'arête AB, c'est-à-dire l'angle dièdre entre les plans ABC 1 et ABC.
AB est une arête, le point A 1 se trouve dans un plan - dans le plan ABB 1, et le point D dans l'autre - dans le plan A 1 B 1 C 1 D 1. Alors l'angle dièdre considéré peut également être noté comme suit : ∠A 1 ABD.
Prenons le point A sur l'arête AB. AA 1 est perpendiculaire à l'arête AB dans le plan АВВ-1, AD est perpendiculaire à l'arête AB dans le plan ABC. Cela signifie que ∠A 1 AD est l'angle linéaire d'un angle dièdre donné. ∠A 1 AD = 90°, ce qui signifie que l'angle dièdre au bord AB est de 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
De même, il est prouvé que tous les angles dièdres d’un parallélépipède rectangle sont droits.
Le carré de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.
Note. Les longueurs des trois arêtes partant d'un sommet d'un cuboïde sont les mesures du cuboïde. On les appelle parfois longueur, largeur, hauteur.
Donné : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallélépipède rectangle (Fig. 5).
Prouver: .
Riz. 5 Parallélépipède rectangle
Preuve:
La droite CC 1 est perpendiculaire au plan ABC, donc à la droite AC. Cela signifie que le triangle CC 1 A est rectangle. D'après le théorème de Pythagore :
Considérons triangle rectangle ABC. D'après le théorème de Pythagore :
Mais BC et AD sont des côtés opposés du rectangle. Donc BC = AD. Alors:
Parce que , UN , Que. Puisque CC 1 = AA 1, c'est ce qu'il fallait prouver.
Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales.
Notons les dimensions du parallélépipède ABC comme a, b, c (voir Fig. 6), alors AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Un parallélépipède est une figure géométrique dont les 6 faces sont des parallélogrammes.
Selon le type de ces parallélogrammes, on distingue les types de parallélépipèdes suivants :
- droit;
- incliné;
- rectangulaire.
Un parallélépipède droit est un prisme quadrangulaire dont les bords font un angle de 90° avec le plan de la base.
Un parallélépipède rectangle est un prisme quadrangulaire dont toutes les faces sont des rectangles. Cube est une variété prisme quadrangulaire, dans lequel toutes les faces et arêtes sont égales les unes aux autres.
Les caractéristiques d'une figure prédéterminent ses propriétés. Il s'agit notamment des 4 déclarations suivantes :
Il est simple de mémoriser toutes les propriétés données, elles sont faciles à comprendre et sont logiquement dérivées en fonction du type et des caractéristiques. corps géométrique. Cependant, de simples déclarations peuvent être extrêmement utiles pour décider tâches typiques Examen d'État unifié et permettra d'économiser le temps nécessaire pour réussir le test.
Formules parallélépipédiques
Pour trouver des réponses au problème, il ne suffit pas de connaître uniquement les propriétés de la figure. Vous aurez peut-être également besoin de formules pour trouver l’aire et le volume d’un corps géométrique.
L'aire des bases se trouve de la même manière que l'indicateur correspondant d'un parallélogramme ou d'un rectangle. Vous pouvez choisir vous-même la base du parallélogramme. En règle générale, pour résoudre des problèmes, il est plus facile de travailler avec un prisme dont la base est un rectangle.
La formule permettant de trouver la surface latérale d'un parallélépipède peut également être nécessaire dans les tâches de test.
Exemples de résolution de tâches typiques de l'examen d'État unifié
Exercice 1.
Donné: un parallélépipède rectangle de dimensions 3, 4 et 12 cm.
Nécessaire trouvez la longueur de l’une des diagonales principales de la figure.
Solution: Toute solution problème géométrique doit commencer par la construction d’un dessin correct et clair, sur lequel seront indiqués « donné » et la valeur souhaitée. L'image ci-dessous montre un exemple conception correcte conditions de tâche.
Après avoir examiné le dessin réalisé et mémorisé toutes les propriétés du corps géométrique, nous arrivons au seul le droit chemin solutions. En appliquant la 4ème propriété d'un parallélépipède, on obtient l'expression suivante :
Après des calculs simples on obtient l'expression b2=169, donc b=13. La réponse à la tâche a été trouvée ; vous ne devez pas passer plus de 5 minutes à la chercher et à la dessiner.
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Ou (de manière équivalente) un polyèdre, qui a six faces et chacune d'elles - parallélogramme.
Types de parallélépipède
Il existe plusieurs types de parallélépipèdes :
- Un cuboïde est un parallélépipède dont les faces sont toutes des rectangles.
- Un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les 4 faces latérales sont des rectangles.
- Un parallélépipède incliné est un parallélépipède dont les faces latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases.
Éléments essentiels
Deux faces d'un parallélépipède qui n'ont pas d'arête commune sont dites opposées, et celles qui ont une arête commune sont dites adjacentes. Deux sommets d'un parallélépipède n'appartenant pas à la même face sont dits opposés. Un segment reliant sommets opposés, s’appelle la diagonale du parallélépipède. Longueurs de trois bords d'un parallélépipède rectangle ayant dessus commun, appelons ça des mesures.
Propriétés
- Le parallélépipède est symétrique par rapport au milieu de sa diagonale.
- Tout segment dont les extrémités appartiennent à la surface du parallélépipède et passant par le milieu de sa diagonale est divisé en deux par celui-ci ; en particulier, toutes les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par celui-ci.
- Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.
- Le carré de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.
Formules de base
Parallélépipède droit
Surface latérale S b =P o *h, où P o est le périmètre de la base, h est la hauteur
Superficie totale S p =S b +2S o, où S o est l'aire de base
Volume V=S o *h
Parallélépipède rectangulaire
Surface latérale S b =2c(a+b), où a, b sont les côtés de la base, c est le bord latéral du parallélépipède rectangle
Superficie totale Sp =2(ab+bc+ac)
Volume V=abc, où a, b, c sont les dimensions d'un parallélépipède rectangle.
cube
Superficie:
Volume: , Où - arête d'un cube.
Tout parallélépipède
Volume et ratios en parallélépipède incliné souvent défini en utilisant l'algèbre vectorielle. Le volume du parallélépipède est égal à la valeur absolue du produit mélangé trois vecteurs, défini par les trois côtés du parallélépipède émanant d'un sommet. La relation entre les longueurs des côtés d'un parallélépipède et les angles entre eux donne l'affirmation que le déterminant de Gram des trois vecteurs indiqués égal au carré leur produit mélangé :215 .
En analyse mathématique
DANS analyse mathematique sous n dimensions parallélépipède rectangle comprendre de nombreux points gentil
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Remarques
Liens
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Un extrait caractérisant le Parallélépipède
- On dit que les rivaux se sont réconciliés grâce à l'angine... [On dit que les rivaux se sont réconciliés grâce à cette maladie.]Le mot angine fut répété avec grand plaisir.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. a dit ce cas dangereux.]
- Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [Oh, ce serait grande perte. Une femme si charmante.]
« Vous parlez de la pauvre comtesse », dit Anna Pavlovna en s'approchant. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde", a déclaré Anna Pavlovna en souriant de son enthousiasme. – Nous appartenons à des camps différents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le mérite. Elle est bien malheureuse, [Vous parlez de la pauvre comtesse... J'ai envoyé s'informer de sa santé. Ils m'ont dit qu'elle se sentait un peu mieux. Oh, c'est sans aucun doute la plus belle femme du monde. Nous appartenons à des camps différents, mais cela ne m'empêche pas de la respecter pour ses mérites. Elle est si malheureuse.] – a ajouté Anna Pavlovna.
Croyant qu'avec ces mots Anna Pavlovna levait légèrement le voile du secret sur la maladie de la comtesse, un jeune homme insouciant s'est permis d'exprimer sa surprise que des médecins célèbres n'aient pas été appelés, mais que la comtesse soit soignée par un charlatan qui pourrait donner des risques dangereux. remèdes.
"Vos informations peuvent être meilleures que les miennes", Anna Pavlovna a soudainement attaqué l'homme inexpérimenté avec du venin. un jeune homme. – Mais je sais de bonne source que ce médecin est un homme très savant et très habile. C"est le médecin intime de la Reine d"Espagne. [Vos nouvelles sont peut-être plus précises que les miennes... mais je viens de bonnes sources Je sais que ce médecin est une personne très instruite et compétente. C'est le médecin de la vie de la reine d'Espagne.] - Et détruisant ainsi le jeune homme, Anna Pavlovna se tourna vers Bilibin, qui, dans un autre cercle, ramassa la peau et, apparemment, sur le point de la desserrer pour dire un mot, parla à propos des Autrichiens.
« Je trouve que c'est charmant ! », dit-il à propos du papier diplomatique avec lequel les bannières autrichiennes prises par Wittgenstein étaient envoyées à Vienne, le heros de Petropol [le héros de Petropol] (comme il a été appelé à Pétersbourg).
- Comment, comment ça se passe ? - Anna Pavlovna se tourna vers lui, éveillant le silence pour entendre le mot qu'elle connaissait déjà.
Et Bilibine a répété les mots originaux suivants de la dépêche diplomatique qu'il a composée :
« L'Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens, dit Bilibin, drapeaux amis et egares qu'il a trouvé hors de la route. vraie route.] – termina Bilibin en démêlant sa peau.
"Charmant, charmant, [Charmant, charmant", a déclaré le prince Vasily.
"C"est la route de Varsovie peut être, [C'est la route de Varsovie, peut-être.] - dit le prince Hippolyte d'une voix forte et inattendue. Tout le monde le regarda, ne comprenant pas ce qu'il voulait dire par là. Le prince Hippolyte se retourna également avec une joyeuse surprise autour de lui. Lui, comme d’autres, ne comprenait pas ce que signifiaient les mots qu’il prononçait à ce moment-là. carrière diplomatique J'ai remarqué plus d'une fois que les mots soudainement prononcés de cette manière se révélaient très spirituels, et juste au cas où, il prononçait ces mots, les premiers qui lui venaient dans la langue. "Peut-être que ça marchera très bien", pensa-t-il, "et si ça ne marche pas, ils pourront s'arranger là-bas." En effet, tandis qu'un silence gênant régnait, entra ce visage insuffisamment patriotique auquel Anna Pavlovna attendait pour s'adresser, et elle, souriant et secouant son doigt vers Hippolyte, invita le prince Vasily à table et, lui présentant deux bougies et un manuscrit, lui a demandé de commencer. Tout devint silencieux.
