Quelles sont les propriétés des faces opposées d’un parallélépipède ? Leçon : Cuboïde

Un parallélépipède est une figure géométrique dont les 6 faces sont des parallélogrammes.

Selon le type de ces parallélogrammes, on distingue les types de parallélépipèdes suivants :

• droit;
• incliné;
• rectangulaire.

Un parallélépipède droit est un prisme quadrangulaire dont les bords font un angle de 90° avec le plan de la base.

Un parallélépipède rectangle est un prisme quadrangulaire dont toutes les faces sont des rectangles. Cube est une variété prisme quadrangulaire, dans lequel toutes les faces et arêtes sont égales les unes aux autres.

Les caractéristiques d'une figure prédéterminent ses propriétés. Il s'agit notamment des 4 déclarations suivantes :

Il est simple de mémoriser toutes les propriétés données, elles sont faciles à comprendre et sont logiquement dérivées en fonction du type et des caractéristiques. corps géométrique. Cependant, de simples déclarations peuvent être extrêmement utiles pour décider tâches typiques Examen d'État unifié et permettra d'économiser le temps nécessaire pour réussir le test.

Formules parallélépipédiques

Pour trouver des réponses au problème, il ne suffit pas de connaître uniquement les propriétés de la figure. Vous aurez peut-être également besoin de formules pour trouver l’aire et le volume d’un corps géométrique.

L'aire des bases se trouve de la même manière que l'indicateur correspondant d'un parallélogramme ou d'un rectangle. Vous pouvez choisir vous-même la base du parallélogramme. En règle générale, pour résoudre des problèmes, il est plus facile de travailler avec un prisme dont la base est un rectangle.

La formule permettant de trouver la surface latérale d'un parallélépipède peut également être nécessaire dans les tâches de test.

Exemples de résolution de tâches typiques de l'examen d'État unifié

Exercice 1.

Donné: un parallélépipède rectangle de dimensions 3, 4 et 12 cm.
Nécessaire trouvez la longueur de l’une des diagonales principales de la figure.
Solution: Toute solution problème géométrique doit commencer par la construction d’un dessin correct et clair, sur lequel seront indiqués « donné » et la valeur souhaitée. L'image ci-dessous montre un exemple conception correcte conditions de tâche.

Après avoir examiné le dessin réalisé et mémorisé toutes les propriétés du corps géométrique, nous arrivons au seul le droit chemin solutions. En appliquant la 4ème propriété d'un parallélépipède, on obtient l'expression suivante :

Après des calculs simples on obtient l'expression b2=169, donc b=13. La réponse à la tâche a été trouvée ; vous ne devez pas passer plus de 5 minutes à la chercher et à la dessiner.

En géométrie concepts clés sont le plan, le point, la droite et l'angle. En utilisant ces termes, vous pouvez décrire n’importe quelle figure géométrique. Les polyèdres sont généralement décrits en termes de plus chiffres simples, qui se trouvent dans le même plan, comme un cercle, un triangle, un carré, un rectangle, etc. Dans cet article, nous examinerons ce qu'est un parallélépipède, décrirons les types de parallélépipèdes, ses propriétés, de quels éléments il se compose, et donnerons également formules de base pour calculer l'aire et le volume de chaque type de parallélépipède.

Définition

Parallélépipède en espace tridimensionnel est un prisme dont tous les côtés sont des parallélogrammes. En conséquence, il ne peut avoir que trois paires de parallélogrammes parallèles ou six faces.

Pour visualiser un parallélépipède, imaginez une brique standard ordinaire. Brique - bon exemple un parallélépipède rectangle que même un enfant peut imaginer. D'autres exemples incluent des maisons à panneaux à plusieurs étages, des armoires, des conteneurs de stockage. produits alimentaires forme appropriée, etc.

Variétés de figurines

Il n'existe que deux types de parallélépipèdes :

1. Rectangulaire, tout faces latérales qui font un angle de 90° par rapport à la base et sont des rectangles.
2. En pente dont les bords latéraux sont situés sous certain angleà la base.

En quels éléments ce chiffre peut-il être divisé ?

• Comme dans toute autre figure géométrique, dans un parallélépipède, 2 faces quelconques avec une arête commune sont dites adjacentes, et celles qui ne l'ont pas sont parallèles (en fonction de la propriété d'un parallélogramme ayant deux à deux parallèles côtés opposés).
• Les sommets d'un parallélépipède qui ne se trouvent pas sur la même face sont dits opposés.
• Le segment reliant ces sommets est une diagonale.
• Les longueurs des trois arêtes d'un cuboïde qui se rencontrent en un sommet sont ses dimensions (à savoir sa longueur, sa largeur et sa hauteur).

Propriétés de la forme

1. Elle est toujours construite symétriquement par rapport au milieu de la diagonale.
2. Le point d'intersection de toutes les diagonales divise chaque diagonale en deux segments égaux.
3. Visages opposés de longueur égale et se trouvent sur des lignes parallèles.
4. Si vous additionnez les carrés de toutes les dimensions d'un parallélépipède, la valeur résultante sera égale au carré de la longueur de la diagonale.

Formules de calcul

Les formules pour chaque cas particulier de parallélépipède seront différentes.

Pour un parallélépipède arbitraire, il est vrai que son volume est égal à valeur absolue tripler produit scalaire vecteurs de trois côtés émanant d'un sommet. Cependant, il n’existe pas de formule pour calculer le volume d’un parallélépipède arbitraire.

Pour un parallélépipède rectangle, les formules suivantes s'appliquent :

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - volume de la figure ;
• Sb - surface latérale ;
• Sp - zone toute la surface;
• une - longueur;
• b - largeur ;
• c - hauteur.

Un autre cas particulier de parallélépipède dont tous les côtés sont des carrés est un cube. Si l'un des côtés du carré est désigné par la lettre a, alors les formules suivantes peuvent être utilisées pour la surface et le volume de cette figure :

• S=6*a*2 ;
• V=3*a.

• S- zone de la figure,
• V est le volume de la figure,
• a est la longueur du visage du personnage.

Le dernier type de parallélépipède que nous considérons est un parallélépipède droit. Quelle est la différence entre un parallélépipède droit et un cuboïde, demandez-vous. Le fait est que la base d'un parallélépipède rectangle peut être n'importe quel parallélogramme, mais la base d'un parallélépipède droit ne peut être qu'un rectangle. Si nous désignons le périmètre de la base, égal à la somme des longueurs de tous les côtés, par Po, et désignons la hauteur par la lettre h, nous avons le droit d'utiliser les formules suivantes pour calculer le volume et les surfaces des surfaces complètes et latérales.

Dans cette leçon, tout le monde pourra étudier le sujet " Parallélépipède rectangulaire" Au début de la leçon, nous répéterons ce que sont les parallélépipèdes arbitraires et droits, rappelons les propriétés de leurs faces opposées et des diagonales du parallélépipède. Nous verrons ensuite ce qu'est un cuboïde et discuterons de ses propriétés de base.

Sujet : Perpendiculaire des lignes et des plans

Leçon : Cuboïde

Une surface composée de deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 et de quatre parallélogrammes ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 est appelée parallélépipède(Fig. 1).

Riz. 1 parallélépipède

C'est-à-dire : nous avons deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), ils se trouvent dans plans parallèles Donc côtes latérales AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sont parallèles. Ainsi, une surface composée de parallélogrammes est appelée parallélépipède.

Ainsi, la surface d’un parallélépipède est la somme de tous les parallélogrammes qui composent le parallélépipède.

1. Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.

(les formes sont égales, c'est-à-dire qu'elles peuvent être combinées en se chevauchant)

Par exemple:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( parallélogrammes égaux un-prieuré),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (puisque AA 1 B 1 B et DD 1 C 1 C - visages opposés parallélépipède),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (puisque AA 1 D 1 D et BB 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède).

2. Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par ce point.

Les diagonales du parallélépipède AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se coupent en un point O, et chaque diagonale est divisée en deux par ce point (Fig. 2).

Riz. 2 Les diagonales d'un parallélépipède se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection.

3. Il existe trois quadruples d'arêtes égales et parallèles d'un parallélépipède: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Définition. Un parallélépipède est dit droit si ses bords latéraux sont perpendiculaires aux bases.

Laissez le bord latéral AA 1 être perpendiculaire à la base (Fig. 3). Cela signifie que la droite AA 1 est perpendiculaire aux droites AD et AB, qui se situent dans le plan de la base. Cela signifie que les faces latérales contiennent des rectangles. Et les bases contiennent des parallélogrammes arbitraires. Notons ∠BAD = φ, l'angle φ peut être quelconque.

Riz. 3 Parallélépipède droit

Ainsi, un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases du parallélépipède.

Définition. Le parallélépipède est appelé rectangulaire, si ses bords latéraux sont perpendiculaires à la base. Les bases sont des rectangles.

Le parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est rectangulaire (Fig. 4), si :

1. AA 1 ⊥ ABCD (bord latéral perpendiculaire au plan de la base, c'est-à-dire un parallélépipède droit).

2. ∠BAD = 90°, c'est à dire que la base est un rectangle.

Riz. 4 Parallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle possède toutes les propriétés d’un parallélépipède arbitraire. Mais il existe des propriétés supplémentaires dérivées de la définition d’un cuboïde.

Donc, cuboïde est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires à la base. La base d'un parallélépipède rectangle est un rectangle.

1. Dans un parallélépipède rectangle, les six faces sont des rectangles.

ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 sont des rectangles par définition.

2. Les nervures latérales sont perpendiculaires à la base. Cela signifie que toutes les faces latérales d’un parallélépipède rectangle sont des rectangles.

3. Tous les angles dièdres d’un parallélépipède rectangle sont droits.

Considérons, par exemple, l'angle dièdre d'un parallélépipède rectangle d'arête AB, c'est-à-dire l'angle dièdre entre les plans ABC 1 et ABC.

AB est une arête, le point A 1 se trouve dans un plan - dans le plan ABB 1, et le point D dans l'autre - dans le plan A 1 B 1 C 1 D 1. Alors l'angle dièdre considéré peut également être noté comme suit : ∠A 1 ABD.

Prenons le point A sur l'arête AB. AA 1 - perpendiculaire au bord AB dans le plan АВВ-1, AD perpendiculaire au bord AB dans Avion ABC. Donc, ∠A 1 AD - angle linéaireétant donné l'angle dièdre. ∠A 1 AD = 90°, ce qui signifie que l'angle dièdre au bord AB est de 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

De même, il est prouvé que tous les angles dièdres d’un parallélépipède rectangle sont droits.

Diagonale carrée d'un cuboïde égal à la somme carrés de ses trois dimensions.

Note. Les longueurs des trois arêtes partant d'un sommet d'un cuboïde sont les mesures du cuboïde. On les appelle parfois longueur, largeur, hauteur.

Donné : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallélépipède rectangle (Fig. 5).

Prouver: .

Riz. 5 Parallélépipède rectangle

Preuve:

La droite CC 1 est perpendiculaire au plan ABC, donc à la droite AC. Cela signifie que le triangle CC 1 A est rectangle. D'après le théorème de Pythagore :

Considérons triangle rectangle ABC. D'après le théorème de Pythagore :

Mais BC et AD sont des côtés opposés du rectangle. Donc BC = AD. Alors:

Parce que , UN , Que. Puisque CC 1 = AA 1, c'est ce qu'il fallait prouver.

Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales.

Notons les dimensions du parallélépipède ABC comme a, b, c (voir Fig. 6), alors AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Ou (de manière équivalente) un polyèdre, qui a six faces et chacune d'elles - parallélogramme.

Types de parallélépipède

Il existe plusieurs types de parallélépipèdes :

• Un cuboïde est un parallélépipède dont les faces sont toutes des rectangles.
• Un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les 4 faces latérales sont des rectangles.
• Un parallélépipède incliné est un parallélépipède dont les faces latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases.

Éléments essentiels

Deux faces d'un parallélépipède qui n'ont pas d'arête commune sont dites opposées, et celles qui ont une arête commune sont dites adjacentes. Deux sommets d'un parallélépipède n'appartenant pas à la même face sont dits opposés. Un segment reliant sommets opposés, s’appelle la diagonale du parallélépipède. Longueurs de trois bords d'un parallélépipède rectangle ayant dessus commun, appelons ça des mesures.

Propriétés

• Le parallélépipède est symétrique par rapport au milieu de sa diagonale.
• Tout segment dont les extrémités appartiennent à la surface du parallélépipède et passant par le milieu de sa diagonale est divisé en deux par celui-ci ; en particulier, toutes les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par celui-ci.
• Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.
• Le carré de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.

Formules de base

Parallélépipède droit

Surface latérale S b =P o *h, où P o est le périmètre de la base, h est la hauteur

Superficie totale S p =S b +2S o, où S o est l'aire de base

Volume V=S o *h

Parallélépipède rectangulaire

Surface latérale S b =2c(a+b), où a, b sont les côtés de la base, c est le bord latéral du parallélépipède rectangle

Superficie totale Sp =2(ab+bc+ac)

Volume V=abc, où a, b, c sont les dimensions d'un parallélépipède rectangle.

cube

Superficie: $S=6a^2$
Volume: $V\; =\; un\; ^\; 3$, Où $un$- arête d'un cube.

Tout parallélépipède

Volume et ratios en parallélépipède incliné souvent défini en utilisant l'algèbre vectorielle. Le volume du parallélépipède est égal à la valeur absolue du produit mélangé trois vecteurs, défini par les trois côtés du parallélépipède émanant d'un sommet. La relation entre les longueurs des côtés d'un parallélépipède et les angles entre eux donne l'affirmation que le déterminant de Gram des trois vecteurs indiqués égal au carré leur produit mélangé :215 .

En analyse mathématique

DANS analyse mathematique sous un cuboïde à n dimensions $B$ comprendre de nombreux points $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ gentil $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Donnez votre avis sur l'article "Parallélépipède"

Remarques

Liens

Un extrait caractérisant le Parallélépipède

Définition

Polyèdre nous appellerons une surface fermée composée de polygones et délimitant une certaine partie de l'espace.

Les segments qui constituent les côtés de ces polygones sont appelés côtes polyèdre, et les polygones eux-mêmes sont bords. Les sommets des polygones sont appelés sommets des polyèdres.

Nous ne considérerons que les polyèdres convexes (c'est un polyèdre qui se situe d'un côté de chaque plan contenant sa face).

Les polygones qui composent un polyèdre forment sa surface. La partie de l’espace délimitée par un polyèdre donné est appelée son intérieur.

Définition : prisme

Considérez deux polygone égal\(A_1A_2A_3...A_n\) et \(B_1B_2B_3...B_n\) situés dans des plans parallèles de sorte que les segments \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallèle. Un polyèdre formé des polygones \(A_1A_2A_3...A_n\) et \(B_1B_2B_3...B_n\) , ainsi que des parallélogrammes \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), est appelé (\(n\)-gonal) prisme.

Les polygones \(A_1A_2A_3...A_n\) et \(B_1B_2B_3...B_n\) sont appelés bases de prisme, parallélogrammes \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faces latérales, segments \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- des côtes latérales.
Ainsi, les bords latéraux du prisme sont parallèles et égaux entre eux.

Regardons un exemple - un prisme \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), à la base duquel se trouve un pentagone convexe.

Hauteur les prismes sont une perpendiculaire tombant de n'importe quel point d'une base au plan d'une autre base.

Si les bords latéraux ne sont pas perpendiculaires à la base, alors un tel prisme est appelé incliné(Fig. 1), sinon – droit. Dans un prisme droit, les bords latéraux sont des hauteurs et les faces latérales sont des rectangles égaux.

Si la base d'un prisme droit se trouve polygone régulier, alors le prisme s'appelle correct.

Définition : notion de volume

L'unité de mesure du volume est un cube unitaire (un cube mesurant \(1\times1\times1\) unités\(^3\), où l'unité est une certaine unité de mesure).

On peut dire que le volume d’un polyèdre est la quantité d’espace que limite ce polyèdre. Sinon : c'est la quantité valeur numérique qui montre combien de fois un cube unitaire et ses parties rentrent dans un polyèdre donné.

Le volume a les mêmes propriétés que la surface :

1. Les volumes de chiffres égaux sont égaux.

2. Si un polyèdre est composé de plusieurs polyèdres non sécants, alors son volume est égal à la somme des volumes de ces polyèdres.

3. Le volume est une quantité non négative.

4. Le volume est mesuré en cm\(^3\) ( centimètres cubes), m\(^3\) ( Mètres cubes) etc.

Théorème

1. L'aire de la surface latérale du prisme est égale au produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme.
La surface latérale est la somme des aires des faces latérales du prisme.

2. Volume du prisme égal au produit surface de base par hauteur de prisme : \

Définition : parallélépipède

Parallélépipède est un prisme avec un parallélogramme à sa base.

Toutes les faces du parallélépipède (il y a \(6\) : \(4\) faces latérales et \(2\) bases) sont des parallélogrammes, et les faces opposées (parallèles entre elles) sont des parallélogrammes égaux (Fig. 2) .

Diagonale d'un parallélépipède est un segment reliant deux sommets d'un parallélépipède qui ne se trouvent pas sur la même face (il y en a \(8\) : \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etc.).

Parallélépipède rectangulaire est un parallélépipède droit avec à sa base un rectangle.
Parce que Puisqu’il s’agit d’un parallélépipède rectangle, les faces latérales sont des rectangles. Cela signifie qu’en général toutes les faces d’un parallélépipède rectangle sont des rectangles.

Toutes les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales (cela découle de l'égalité des triangles \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) etc.).

Commentaire

Ainsi, un parallélépipède possède toutes les propriétés d’un prisme.

Théorème

La surface latérale d'un parallélépipède rectangle est \

La surface totale d'un parallélépipède rectangle est \

Théorème

Le volume d'un cuboïde est égal au produit de ses trois arêtes émergeant d'un sommet (trois dimensions du cuboïde) : \

Preuve

Parce que Dans un parallélépipède rectangle, les bords latéraux sont perpendiculaires à la base, ils sont donc aussi ses hauteurs, c'est-à-dire \(h=AA_1=c\) Car la base est un rectangle, alors \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). C'est de là que vient cette formule.

Théorème

La diagonale \(d\) d'un parallélépipède rectangle se trouve à l'aide de la formule (où \(a,b,c\) sont les dimensions du parallélépipède rectangle) \

Preuve

Regardons la fig. 3. Parce que la base est un rectangle, alors \(\triangle ABD\) est rectangulaire, donc, par le théorème de Pythagore \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Parce que tous les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases, alors \(BB_1\perp (ABC) \Flèche droite BB_1\) perpendiculaire à toute droite dans ce plan, c'est-à-dire \(BB_1\perp BD\) . Cela signifie que \(\triangle BB_1D\) est rectangulaire. Alors, d'après le théorème de Pythagore \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.

Définition : cube

cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés égaux.

Ainsi, les trois dimensions sont égales entre elles : \(a=b=c\) . Donc ce qui suit est vrai

Théorèmes

1. Le volume d'un cube d'arête \(a\) est égal à \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. La diagonale du cube est trouvée à l'aide de la formule \(d=a\sqrt3\) .

3. Surface totale d'un cube \(S_(\text(cube complet))=6a^2\).