C 17 est le produit d'un monôme et d'un polynôme. Monôme et polynôme

Définition 3.3. Monôme est une expression qui est un produit de nombres, de variables et de puissances avec un exposant naturel.

Par exemple, chacune des expressions,
,
est un monôme.

On dit que le monôme a vue standard , s'il ne contient en premier lieu qu'un seul facteur numérique et que chaque produit de variables identiques y est représenté par un degré. Le facteur numérique d'un monôme écrit sous forme standard est appelé coefficient du monôme . Par le pouvoir du monôme est appelée la somme des exposants de toutes ses variables.

Définition 3.4. Polynôme appelé la somme des monômes. Les monômes à partir desquels un polynôme est composé sont appelésmembres du polynôme .

Des termes similaires - monômes dans un polynôme - sont appelés termes similaires du polynôme .

Définition 3.5. Polynôme de forme standard appelé polynôme dans lequel tous les termes sont écrits sous forme standard et des termes similaires sont donnés.Degré d'un polynôme de forme standard est appelé la plus grande des puissances des monômes qui y sont inclus.

Par exemple, est un polynôme de forme standard du quatrième degré.

Actions sur les monômes et les polynômes

La somme et la différence des polynômes peuvent être converties en un polynôme de forme standard. Lors de l'addition de deux polynômes, tous leurs termes sont écrits et des termes similaires sont donnés. Lors de la soustraction, les signes de tous les termes du polynôme soustrait sont inversés.

Par exemple:

Les termes d’un polynôme peuvent être divisés en groupes et mis entre parenthèses. Puisqu’il s’agit d’une transformation identique inverse à l’ouverture des parenthèses, on établit ce qui suit règle de parenthèse: si un signe plus est placé avant les parenthèses, alors tous les termes entre parenthèses sont écrits avec leurs signes ; Si un signe moins est placé avant les parenthèses, alors tous les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.

Par exemple,

Règle pour multiplier un polynôme par un polynôme: Pour multiplier un polynôme par un polynôme, il suffit de multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme d'un autre polynôme et d'additionner les produits résultants.

Par exemple,

Définition 3.6. Polynôme à une variable degrés appelé une expression de la forme

Où
- tous les numéros appelés coefficients polynomiaux , et
,– entier non négatif.

Si
, alors le coefficient appelé coefficient dominant du polynôme
, monôme
- son membre senior , coefficient – membre gratuit .

Si au lieu d'une variable à un polynôme
remplacer un nombre réel , alors le résultat sera un nombre réel
qui s'appelle la valeur du polynôme
à
.

Définition 3.7. Nombre appeléracine du polynôme
, Si
.

Envisagez de diviser un polynôme par un polynôme, où
Et - nombres naturels. La division est possible si le degré du dividende polynomial est
pas moins que le degré du polynôme diviseur
, c'est
.

Diviser un polynôme
à un polynôme
,
, signifie trouver deux de ces polynômes
Et
, à

Dans ce cas, le polynôme
degrés
appelé quotient polynomial ,
– le reste ,
.

Remarque 3.2. Si le diviseur
–n'est pas un polynôme nul, alors la division
sur
,
, est toujours réalisable, et le quotient et le reste sont déterminés de manière unique.

Remarque 3.3. Au cas où
devant tout le monde , c'est

ils disent que c'est un polynôme
complètement divisé(ou des actions)à un polynôme
.

La division des polynômes s'effectue de la même manière que la division des nombres à plusieurs chiffres : d'abord, le terme principal du polynôme dividende est divisé par le terme principal du polynôme diviseur, puis le quotient de la division de ces termes, qui sera le terme principal du polynôme quotient est multiplié par le polynôme diviseur et le produit résultant est soustrait du polynôme dividende. En conséquence, un polynôme est obtenu - le premier reste, qui est divisé de la même manière par le polynôme diviseur, et le deuxième terme du polynôme quotient est trouvé. Ce processus se poursuit jusqu'à ce qu'un reste nul soit obtenu ou que le degré du polynôme reste soit inférieur au degré du polynôme diviseur.

Lorsque vous divisez un polynôme par un binôme, vous pouvez utiliser le schéma de Horner.

Schéma Horner

Supposons que nous voulions diviser un polynôme

par binôme
. Notons le quotient de division comme un polynôme

et le reste est . Signification , coefficients de polynômes
,
et le reste Écrivons-le sous la forme suivante :

Dans ce schéma, chacun des coefficients
,
,
, …,obtenu à partir du nombre précédent dans la ligne du bas en multipliant par le nombre et ajouter au résultat résultant le nombre correspondant dans la ligne supérieure au-dessus du coefficient souhaité. Si un diplôme est absent dans le polynôme, alors le coefficient correspondant égal à zéro. Après avoir déterminé les coefficients selon le schéma donné, nous écrivons le quotient

et le résultat de la division si
,

ou ,

Si
,

Théorème 3.1. Pour qu'une fraction irréductible (

,

)était la racine du polynôme
à coefficients entiers, il faut que le nombre était un diviseur membre gratuit, et le numéro - diviseur du coefficient dominant .

Théorème 3.2. (Théorème de Bezout ) Reste de la division d'un polynôme
par binôme
égal à la valeur du polynôme
à
, c'est
.

Lors de la division d'un polynôme
par binôme
nous avons l'égalité

Cela est particulièrement vrai lorsque
, c'est
.

Exemple 3.2. Diviser par
.

Solution. Appliquons le schéma de Horner :

Ainsi,

Exemple 3.3. Diviser par
.

Solution. Appliquons le schéma de Horner :

Ainsi,

,

Exemple 3.4. Diviser par
.

Solution.

En conséquence nous obtenons

Exemple 3.5. Diviser
sur
.

Solution. Divisons les polynômes par colonne :

Ensuite, nous obtenons

.

Parfois, il est utile de représenter un polynôme comme un produit égal de deux ou plusieurs polynômes. Une telle transformation identitaire s’appelle factoriser un polynôme . Considérons les principales méthodes d'une telle décomposition.

Sortir le facteur commun des parenthèses. Afin de factoriser un polynôme en sortant le facteur commun entre parenthèses, il faut :

1) trouver le facteur commun. Pour ce faire, si tous les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, le plus grand diviseur commun modulo de tous les coefficients du polynôme est considéré comme le coefficient du facteur commun, et chaque variable incluse dans tous les termes du polynôme est prise avec le plus grand exposant qu'il a dans ce polynôme ;

2) trouver le quotient de division d'un polynôme donné par un facteur commun ;

3) écrire le produit du facteur général et le quotient résultant.

Regroupement de membres. Lors de la factorisation d'un polynôme à l'aide de la méthode de regroupement, ses termes sont divisés en deux groupes ou plus afin que chacun d'eux puisse être converti en produit et que les produits résultants aient un facteur commun. Après cela, la méthode consistant à mettre entre parenthèses le facteur commun des termes nouvellement transformés est utilisée.

Application de formules de multiplication abrégées. Dans les cas où le polynôme à développer en facteurs, a la forme du côté droit de toute formule de multiplication abrégée ; sa factorisation est obtenue en utilisant la formule correspondante écrite dans un ordre différent.

Laisser

, alors ce qui suit est vrai formules de multiplication abrégées :

Introduction de nouveaux membres auxiliaires. Cette méthode consiste à remplacer un polynôme par un autre polynôme qui lui est identiquement égal, mais contenant un nombre de termes différent, en introduisant deux termes opposés ou en remplaçant n'importe quel terme par une somme identiquement égale de monômes similaires. Le remplacement est effectué de telle manière que la méthode de regroupement des termes puisse être appliquée au polynôme résultant.

Exemple 3.6..

Solution. Tous les termes d'un polynôme contiennent un facteur commun
. Ainsi,.

Répondre: .

Exemple 3.7.

Solution. On regroupe séparément les termes contenant le coefficient , et les termes contenant . En sortant les facteurs communs des groupes entre parenthèses, on obtient :

.

Répondre:
.

Exemple 3.8. Factoriser un polynôme
.

Solution. En utilisant la formule de multiplication abrégée appropriée, nous obtenons :

Répondre: .

Exemple 3.9. Factoriser un polynôme
.

Solution. En utilisant la méthode de regroupement et la formule de multiplication abrégée correspondante, on obtient :

.

Répondre: .

Exemple 3.10. Factoriser un polynôme
.

Solution. Nous remplacerons sur
, regroupez les termes, appliquez les formules de multiplication abrégées :

.

Répondre:
.

Exemple 3.11. Factoriser un polynôme

Solution. Parce que ,
,
, Que

Après avoir étudié les monômes, passons aux polynômes. Cet article vous parlera de tout le monde informations nécessaires, nécessaire pour effectuer des actions sur eux. Nous définirons un polynôme avec définitions qui l'accompagnent terme d'un polynôme, c'est-à-dire libre et similaire, considérer un polynôme de forme standard, introduire un degré et apprendre à le trouver, travailler avec ses coefficients.

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Polynôme et ses termes - définitions et exemples

La définition d'un polynôme était nécessaire à l'époque 7 classe après avoir étudié les monômes. Regardons sa définition complète.

Définition 1

Polynôme la somme des monômes est considérée, et le monôme lui-même est cas particulier polynôme.

De la définition, il s'ensuit que les exemples de polynômes peuvent être différents : 5 , 0 , − 1 , x, 5 un b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z et ainsi de suite. De la définition nous avons que 1+x, une 2 + b 2 et l'expression x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x sont des polynômes.

Examinons quelques définitions supplémentaires.

Définition 2

Membres du polynôme ses monômes constitutifs sont appelés.

Prenons un exemple où nous avons un polynôme 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, composé de 4 termes : 3 x 4, − 2 x y, 3 et − oui 3. Un tel monôme peut être considéré comme un polynôme composé d'un seul terme.

Définition 3

Les polynômes contenant 2, 3 trinômes ont le nom correspondant - binôme Et trinôme.

Il s'ensuit qu'une expression de la forme x+y– est un binôme, et l'expression 2 x 3 q − q x x x + 7 b est un trinôme.

Par programme scolaire travaillé avec un binôme linéaire de la forme a · x + b, où a et b sont des nombres et x est une variable. Considérons des exemples de binômes linéaires de la forme : x + 1, x 7, 2 − 4 avec des exemples trinômes carrés x 2 + 3 x − 5 et 2 5 x 2 - 3 x + 11 .

Pour transformer et résoudre, il faut trouver et amener des termes similaires. Par exemple, un polynôme de la forme 1 + 5 x − 3 + y + 2 x a des termes similaires 1 et - 3, 5 x et 2 x. Ils sont divisés en groupe spécial appelés termes similaires d'un polynôme.

Définition 4

Termes similaires d'un polynôme sont des termes similaires trouvés dans un polynôme.

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons que 1 et - 3, 5 x et 2 x sont membres similaires polynôme ou termes similaires. Afin de simplifier l'expression, recherchez et réduisez les termes similaires.

Polynôme de forme standard

Tous les monômes et polynômes ont leurs propres noms spécifiques.

Définition 5

Polynôme de forme standard est appelé un polynôme dans lequel chaque membre qu'il contient a un monôme de forme standard et ne contient pas de termes similaires.

D'après la définition, il est clair qu'il est possible de réduire des polynômes de la forme standard, par exemple 3 x 2 − x y + 1 et __formula__, et l'entrée est sous forme standard. Les expressions 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z et 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ne sont pas des polynômes de la forme standard, puisque le premier d'entre eux a des termes similaires dans la forme 3 · x 2 et −x2, et le second contient un monôme de la forme x · y 3 · x · z 2, qui diffère du polynôme standard.

Si les circonstances l'exigent, le polynôme est parfois réduit à une forme standard. Le concept de terme libre d'un polynôme est également considéré comme un polynôme de forme standard.

Définition 6

Terme libre d'un polynôme est un polynôme de forme standard qui n'a pas de partie littérale.

En d’autres termes, lorsqu’un polynôme sous forme standard possède un nombre, il est appelé membre libre. Alors le nombre 5 est un terme libre du polynôme x 2 z + 5, et le polynôme 7 a + 4 a b + b 3 n'a pas de terme libre.

Degré d'un polynôme - comment le trouver ?

La définition du degré d'un polynôme lui-même est basée sur la définition d'un polynôme de forme standard et sur les degrés des monômes qui en sont les composants.

Définition 7

Degré d'un polynôme de forme standard est appelé le plus grand des degrés inclus dans sa notation.

Regardons un exemple. Le degré du polynôme 5 x 3 − 4 est égal à 3, car les monômes inclus dans sa composition ont des degrés 3 et 0, et le plus grand d'entre eux est respectivement 3. La définition du degré à partir du polynôme 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x est égale au plus grand des nombres, c'est-à-dire 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 et 1, ce qui signifie 5 .

Il est nécessaire de savoir comment se trouve le diplôme lui-même.

Définition 8

Degré polynomial n'importe quel numéro est le degré du polynôme correspondant sous forme standard.

Lorsqu'un polynôme n'est pas écrit sous forme standard, mais que vous devez trouver son degré, vous devez le réduire à la forme standard, puis trouver le degré requis.

Exemple 1

Trouver le degré d'un polynôme 3 une 12 − 2 une b c c une c b + y 2 z 2 − 2 une 12 − une 12.

Solution

Tout d’abord, présentons le polynôme sous forme standard. On obtient une expression de la forme :

3 une 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 une 12 − une 12 = = (3 une 12 − 2 une 12 − une 12) − 2 · (une · une) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Lors de l'obtention d'un polynôme de forme standard, nous constatons que deux d'entre eux ressortent clairement - 2 · a 2 · b 2 · c 2 et y 2 · z 2 . Pour trouver les degrés, on compte et on trouve que 2 + 2 + 2 = 6 et 2 + 2 = 4. On voit que le plus grand d’entre eux est 6. De la définition, il s'ensuit que 6 est le degré du polynôme − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , et donc la valeur d'origine.

Répondre: 6 .

Coefficients des termes polynomiaux

Lorsque tous les termes d'un polynôme sont des monômes de la forme standard, alors dans ce cas ils portent le nom coefficients des termes polynomiaux. En d’autres termes, ils peuvent être appelés coefficients du polynôme.

En considérant l'exemple, il est clair qu'un polynôme de la forme 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 contient 4 polynômes : 2 x, − 0, 5 x y, 3 x et 7 avec leurs coefficients correspondants 2, − 0, 5, 3 et 7. Cela signifie que 2, − 0, 5, 3 et 7 sont considérés comme des coefficients des termes d'un polynôme donné de la forme 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Lors de la conversion, il est important de faire attention aux coefficients devant les variables.

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DANS chapitres précédents cinq actions ont été envisagées nombres rationnels: addition, soustraction, multiplication, division et exponentiation.

Dans ce chapitre, nous considérerons des expressions algébriques composées à l’aide de ces cinq actions. Toutes ces expressions sont dites rationnelles.

Définition 1. Les expressions algébriques composées de nombres, désignés par des chiffres et des lettres, utilisant les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et d'exponentiation sont dites rationnelles.

Exemples d'expressions rationnelles.

2. Expressions entières et fractionnaires.

Considérez ce qui suit expressions rationnelles:

Lorsqu'on considère diverses expressions en algèbre, l'attention principale est portée aux actions qui doivent être effectuées sur des nombres indiqués par des lettres.

La première et la seconde de ces expressions ne contiennent nullement l'opération de division par des nombres désignés par des lettres. De telles expressions sont appelées entiers.

La deuxième expression contient l'opération de division par le nombre 4, indiqué par le nombre. Mais on peut, en divisant d'abord 5 par 4, écrire cette deuxième expression comme ceci :

Expression

est également entier ; il peut être représenté sous la forme

Enfin, la troisième expression contient la division par le nombre écrit par lettre. (On dit également que cette expression a un diviseur de lettres.) De telles expressions sont appelées expressions fractionnaires.

Plus d'exemples d'expressions fractionnaires :

Définition 2. Une expression rationnelle est appelée un entier si elle ne contient pas de division par une expression littérale.

Définition 3. Une expression rationnelle est appelée fraction si elle contient une division par une expression littérale.

En bref, une expression algébrique rationnelle est appelée un entier ou une fraction, selon qu'elle possède ou non un diviseur de lettres.

3. Monôme.

Parmi les expressions entières, les plus simples sont celles qui contiennent uniquement les opérations de multiplication et d'exponentiation, par exemple :

De telles expressions sont appelées monômes.

Définition 4. Une expression algébrique qui contient uniquement les opérations de multiplication et d'exponentiation est appelée monôme.

Ainsi, un monôme est le produit d'un facteur numérique et de lettres, chacune étant portée à une certaine puissance.

Note. Puisque l'exponentiation est un cas particulier de multiplication (on peut, par exemple, l'écrire sous la forme on peut dire qu'un monôme ne contient qu'une seule action - la multiplication.

Une expression composée d'une seule lettre est également considérée comme un monôme.

Tout nombre individuel écrit en chiffres est également considéré comme un monôme.

Une expression de la forme est également considérée comme un monôme, car bien qu'elle contienne une division, on peut attribuer le diviseur 4 à un facteur numérique et écrire l'expression comme ceci :

4. Polynôme.

Plusieurs monômes reliés par des signes d'addition et de soustraction forment une nouvelle expression algébrique appelée polynôme.

Par exemple:

Nous savons déjà que la soustraction peut toujours être remplacée par l’addition, et que toute expression incluant l’addition et la soustraction est une somme algébrique. Par exemple, l’expression ci-dessus peut s’écrire ainsi :

Définition 5. Somme algébrique plusieurs monômes est appelé un polynôme.

Chaque monôme faisant partie d'un polynôme est appelé son membre.

Un polynôme composé de deux termes est également appelé binôme ; polynôme composé de trois membres, s'appelle un trinôme, etc.

Exemples de binômes :

Exemples de trinômes :

Un monôme est considéré comme un cas particulier de polynôme : c'est un polynôme constitué d'un terme.

Note. Après avoir étudié les opérations sur les monômes et les polynômes, nous pouvons représenter n'importe quelle expression algébrique entière comme une somme algébrique de monômes (en particulier, un monôme peut être obtenu). Par conséquent, toute expression entière, telle que

est considéré comme un polynôme. La somme algébrique des monômes est ce qu'on appelle la normale (habituelle), forme la plus simple le tout expression algébrique. Avec cette forme la plus simple, nous commencerons à étudier les polynômes.

Expressions rationnelles fractionnaires, telles que

Les notions de « polynôme » et de « factorisation d'un polynôme » en algèbre sont très souvent rencontrées, car il faut les connaître pour réaliser facilement des calculs avec de grands nombres à plusieurs chiffres. Cet article décrira plusieurs méthodes de décomposition. Tous sont assez simples à utiliser ; il vous suffit de choisir celui qui convient à chaque cas spécifique.

Le concept de polynôme

Un polynôme est une somme de monômes, c'est-à-dire d'expressions contenant uniquement l'opération de multiplication.

Par exemple, 2 * x * y est un monôme, mais 2 * x * y + 25 est un polynôme composé de 2 monômes : 2 * x * y et 25. Ces polynômes sont appelés binômes.

Parfois, pour faciliter la résolution d'exemples avec significations à valeurs multiples l'expression doit être transformée, par exemple, décomposée en un certain nombre de facteurs, c'est-à-dire des nombres ou des expressions entre lesquels s'effectue l'action de multiplication. Il existe plusieurs façons de factoriser un polynôme. Cela vaut la peine de les considérer, en commençant par le plus primitif, utilisé à l'école primaire.

Regroupement (enregistrement sous forme générale)

Formule pour factoriser un polynôme à l'aide de la méthode de regroupement vue généraleça ressemble à ça :

ac + bd + bc + annonce = (ac + bc) + (annonce + bd)

Il est nécessaire de regrouper les monômes pour que chaque groupe ait un facteur commun. Dans la première tranche, il s'agit du facteur c et dans la seconde, d. Cela doit être fait pour ensuite le sortir du support, simplifiant ainsi les calculs.

Algorithme de décomposition utilisant un exemple spécifique

L'exemple le plus simple de factorisation d'un polynôme à l'aide de la méthode de regroupement est donné ci-dessous :

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Dans la première parenthèse, vous devez prendre les termes avec le facteur a, qui seront communs, et dans la seconde - avec le facteur b. Faites attention aux signes + et - dans l'expression finale. Nous avons mis devant le monôme le signe qui était en expression initiale. Autrement dit, vous ne devez pas travailler avec l'expression 25a, mais avec l'expression -25. Le signe moins semble être « collé » à l’expression qui se cache derrière et toujours pris en compte lors du calcul.

À l'étape suivante, vous devez retirer le multiplicateur, qui est courant, des parenthèses. C'est exactement à cela que sert le regroupement. Mettre hors parenthèse signifie écrire avant la parenthèse (en omettant le signe de multiplication) tous les facteurs qui sont exactement répétés dans tous les termes qui sont entre parenthèses. S'il n'y a pas 2, mais 3 termes ou plus dans une parenthèse, le facteur commun doit être contenu dans chacun d'eux, sinon il ne peut pas être retiré de la parenthèse.

Dans notre cas, il n’y a que 2 termes entre parenthèses. Le multiplicateur global est immédiatement visible. Dans la première parenthèse c'est a, dans la seconde c'est b. Ici, vous devez faire attention aux coefficients numériques. Dans la première tranche, les deux coefficients (10 et 25) sont des multiples de 5. Cela signifie que non seulement a, mais aussi 5a peuvent être retirés de la tranche. Avant la parenthèse, écrivez 5a, puis divisez chacun des termes entre parenthèses par le facteur commun qui a été retiré, et écrivez également le quotient entre parenthèses, sans oublier les signes + et -. Faites de même avec la deuxième parenthèse, retirer 7b, ainsi que 14 et 35 multiple de 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Nous avons 2 termes : 5a(2c - 5) et 7b(2c - 5). Chacun d'eux contient un facteur commun (l'expression entière entre parenthèses ici est la même, ce qui signifie qu'elle est facteur commun) : 2c - 5. Il doit également être retiré de la parenthèse, c'est-à-dire que les termes 5a et 7b restent dans la deuxième parenthèse :

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

L'expression complète est donc :

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Ainsi, le polynôme 10ac + 14bc - 25a - 35b se décompose en 2 facteurs : (2c - 5) et (5a + 7b). Le signe de multiplication entre eux peut être omis lors de l'écriture

Parfois il y a des expressions de ce type : 5a 2 + 50a 3, ici on peut mettre entre parenthèses non seulement a ou 5a, mais même 5a 2. Vous devriez toujours essayer de mettre le plus grand facteur commun hors parenthèse. Dans notre cas, si l’on divise chaque terme par un facteur commun, on obtient :

5a 2 / 5a 2 = 1 ; 50a 3 / 5a 2 = 10a(lors du calcul du quotient de plusieurs puissances avec également La base est conservée et l'exposant est soustrait). Ainsi, l'unité reste entre parenthèses (n'oubliez en aucun cas d'en écrire une si vous retirez un des termes de la parenthèse) et le quotient de division : 10a. Il s'avère que :

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formules carrées

Pour faciliter le calcul, plusieurs formules ont été dérivées. Celles-ci sont appelées formules de multiplication abrégées et sont utilisées assez souvent. Ces formules aident à factoriser les polynômes contenant des degrés. C'en est un autre moyen efficace factorisation. Les voici donc :

• une 2 + 2ab + b 2 = (une + b) 2 - une formule appelée « carré de la somme », puisque à la suite de la décomposition en carré, la somme des nombres entre parenthèses est prise, c'est-à-dire que la valeur de cette somme est multipliée par elle-même 2 fois, et est donc un multiplicateur.
• une 2 + 2ab - b 2 = (une - b) 2 - la formule du carré de la différence, elle est similaire à la précédente. Le résultat est la différence, entre parenthèses, contenue dans la puissance carrée.
• une 2 - b 2 = (une + b)(une - b)- il s'agit d'une formule pour la différence des carrés, puisqu'initialement le polynôme est constitué de 2 carrés de nombres ou d'expressions, entre lesquels une soustraction est effectuée. Peut-être que parmi les trois mentionnés, il est le plus souvent utilisé.

Exemples de calculs utilisant des formules carrées

Les calculs pour eux sont assez simples. Par exemple:

1. 25x 2 + 20xy + 4a 2 - utiliser la formule « carré de la somme ».
2. 25x 2 est le carré de 5x. 20xy est le double produit de 2*(5x*2y) et 4y 2 est le carré de 2y.
3. Ainsi, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ce polynôme est décomposé en 2 facteurs (les facteurs sont les mêmes, il s'écrit donc comme une expression avec une puissance carrée).

Les actions utilisant la formule de différence quadratique sont effectuées de la même manière que celles-ci. La formule restante est la différence des carrés. Des exemples de cette formule sont très faciles à définir et à trouver parmi d’autres expressions. Par exemple:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Puisque 25a 2 = (5a) 2 et 400 = 20 2
• 36x 2 - 25 ans 2 = (6x - 5 ans) (6x + 5 ans). Puisque 36x 2 = (6x) 2 et 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Puisque 169b 2 = (13b) 2

Il est important que chacun des termes soit un carré d'une certaine expression. Ensuite, ce polynôme doit être factorisé à l’aide de la formule de la différence des carrés. Pour cela, il n’est pas nécessaire que le deuxième degré soit supérieur au nombre. Il existe des polynômes contenant grands degrés, mais reste adapté à ces formules.

une 8 +10une 4 +25 = (une 4) 2 + 2*une 4 *5 + 5 2 = (une 4 +5) 2

DANS dans cet exemple et 8 peut être représenté par (a 4) 2, c'est-à-dire le carré d'une certaine expression. 25 est 5 2 et 10a est 4 - c'est le double produit des termes 2 * a 4 * 5. C'est cette expression, malgré ses diplômes taux élevés, peut être décomposé en 2 facteurs afin de travailler ensuite avec eux.

Formules cubiques

Les mêmes formules existent pour factoriser des polynômes contenant des cubes. Ils sont un peu plus compliqués que ceux avec des carrés :

• une 3 + b 3 = (une + b)(une 2 - ab + b 2)- cette formule s'appelle la somme des cubes, puisque dans forme initiale Un polynôme est la somme de deux expressions ou nombres au cube.
• une 3 - b 3 = (une - b)(une 2 + un ab + b 2) - une formule identique à la précédente est désignée comme la différence des cubes.
• une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (une + b) 3 - cube d'une somme, à la suite de calculs, la somme de nombres ou d'expressions est mise entre parenthèses et multipliée par elle-même 3 fois, c'est-à-dire située dans un cube
• une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (une - b) 3 - une formule compilée par analogie avec la précédente avec seulement quelques signes modifiés opérations mathématiques(plus et moins), porte le nom de « cube de différence ».

Les deux dernières formules ne sont pratiquement pas utilisées dans le but de factoriser un polynôme, car elles sont complexes, et il est assez rare de trouver des polynômes qui correspondent parfaitement à cette structure pour qu'ils puissent être factorisés à l'aide de ces formules. Mais vous devez quand même les connaître, car ils seront nécessaires lorsque vous travaillez dans le sens opposé - lors de l'ouverture de parenthèses.

Exemples sur les formules de cube

Regardons un exemple : 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Des nombres assez simples sont pris ici, vous pouvez donc voir immédiatement que 64a 3 est (4a) 3 et 8b 3 est (2b) 3. Ainsi, ce polynôme est développé selon la formule différence des cubes en 2 facteurs. Les actions utilisant la formule de la somme des cubes sont réalisées par analogie.

Il est important de comprendre que tous les polynômes ne peuvent pas être développés d’au moins une manière. Mais il existe des expressions qui contiennent des puissances plus grandes qu'un carré ou un cube, mais elles peuvent également être développées en formes de multiplication abrégées. Par exemple : x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( X 8 − 5x 4 oui + 25 oui 2).

Cet exemple contient jusqu'au 12ème degré. Mais même cela peut être factorisé en utilisant la formule de la somme des cubes. Pour ce faire, vous devez imaginer x 12 comme (x 4) 3, c'est-à-dire comme un cube d'une certaine expression. Maintenant, au lieu de a, vous devez le remplacer dans la formule. Eh bien, l'expression 125y 3 est un cube de 5y. Ensuite, vous devez composer le produit à l'aide de la formule et effectuer des calculs.

Dans un premier temps, ou en cas de doute, vous pouvez toujours vérifier par multiplication inverse. Il vous suffit d'ouvrir les parenthèses dans l'expression résultante et d'effectuer des actions avec des termes similaires. Cette méthode s'applique à toutes les méthodes de réduction répertoriées : à la fois pour travailler avec un facteur et un regroupement communs, et pour travailler avec des formules de cubes et de puissances quadratiques.