Le logarithme de 9 en base 4 est égal à. Qu'est-ce qu'un logarithme

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Expliquons-le plus simplement. Par exemple, \(\log_(2)(8)\) égale à la puissance, auquel \(2\) doit être élevé pour obtenir \(8\). De là, il est clair que \(\log_(2)(8)=3\).

Argument et base du logarithme

Tout logarithme a l’« anatomie » suivante :

L'argument d'un logarithme est généralement écrit à son niveau, et la base est écrite en indice plus proche du signe du logarithme. Et cette entrée se lit comme ceci : « logarithme de vingt-cinq en base cinq ».

Comment calculer le logarithme ?

Pour calculer le logarithme, il faut répondre à la question : à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir l'argument ?

Par exemple, calculez le logarithme : a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) À quelle puissance faut-il élever \(4\) pour obtenir \(16\) ? Évidemment le deuxième. C'est pourquoi :

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(5)\) pour obtenir \(1\) ? Quel pouvoir fait d’un numéro un ? Zéro, bien sûr !

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(7)\) pour obtenir \(\sqrt(7)\) ? Premièrement, tout nombre à la puissance première est égal à lui-même.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) À quelle puissance faut-il élever \(3\) pour obtenir \(\sqrt(3)\) ? D'après nous, nous savons ce que c'est puissance fractionnaire, et cela signifie racine carrée est la puissance de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemple : Calculer le logarithme \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solution :

Répondre : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Pourquoi le logarithme a-t-il été inventé ?

Pour comprendre cela, résolvons l'équation : \(3^(x)=9\). Faites simplement correspondre \(x\) pour que l'équation fonctionne. Bien sûr, \(x=2\).

Résolvez maintenant l'équation : \(3^(x)=8\).Pourquoi égal à x? C'est le point.

Les plus malins diront : « X vaut un peu moins de deux ». Comment écrire exactement ce numéro ? Pour répondre à cette question, le logarithme a été inventé. Grâce à lui, la réponse ici peut s'écrire \(x=\log_(3)(8)\).

Je tiens à souligner que \(\log_(3)(8)\), comme tout logarithme n'est qu'un nombre. Oui, cela semble inhabituel, mais c'est court. Parce que si nous voulions l'écrire sous forme décimale, cela ressemblerait à ceci : \(1.892789260714.....\)

Exemple : Résolvez l'équation \(4^(5x-4)=10\)

Solution :

Répondre : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarithmes décimaux et naturels

Comme indiqué dans la définition d'un logarithme, sa base peut être n'importe quel nombre positif sauf un \((a>0, a\neq1)\). Et parmi toutes les bases possibles, il y en a deux qui apparaissent si souvent qu'une notation courte spéciale a été inventée pour les logarithmes avec elles :

Logarithme naturel : un logarithme dont la base est le nombre d'Euler \(e\) (égal à environ \(2,7182818…\)), et le logarithme s'écrit \(\ln(a)\).

C'est, \(\ln(a)\) est identique à \(\log_(e)(a)\)

Logarithme décimal : Un logarithme dont la base est 10 s'écrit \(\lg(a)\).

C'est, \(\lg(a)\) est identique à \(\log_(10)(a)\), où \(a\) est un nombre.

Identité logarithmique de base

Les logarithmes ont de nombreuses propriétés. L’une d’elles s’appelle « l’identité logarithmique de base » et ressemble à ceci :

Cette propriété découle directement de la définition. Voyons exactement comment cette formule est née.

Rappelons-nous brève note définitions du logarithme :

si \(a^(b)=c\), alors \(\log_(a)(c)=b\)

Autrement dit, \(b\) est identique à \(\log_(a)(c)\). On peut alors écrire \(\log_(a)(c)\) au lieu de \(b\) dans la formule \(a^(b)=c\). Il s'est avéré que \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identité logarithmique principale.

Vous pouvez trouver d’autres propriétés des logarithmes. Avec leur aide, vous pouvez simplifier et calculer les valeurs d'expressions avec des logarithmes, difficiles à calculer directement.

Exemple : Trouver la valeur de l'expression \(36^(\log_(6)(5))\)

Solution :

Répondre : \(25\)

Comment écrire un nombre sous forme de logarithme ?

Comme mentionné ci-dessus, tout logarithme n'est qu'un nombre. L’inverse est également vrai : n’importe quel nombre peut être écrit sous forme de logarithme. Par exemple, nous savons que \(\log_(2)(4)\) est égal à deux. Ensuite, au lieu de deux, vous pouvez écrire \(\log_(2)(4)\).

Mais \(\log_(3)(9)\) est également égal à \(2\), ce qui signifie qu'on peut aussi écrire \(2=\log_(3)(9)\) . De même avec \(\log_(5)(25)\), et avec \(\log_(9)(81)\), etc. Autrement dit, il s'avère

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Ainsi, si nous en avons besoin, nous pouvons écrire deux sous forme de logarithme avec n'importe quelle base n'importe où (que ce soit dans une équation, dans une expression ou dans une inégalité) - nous écrivons simplement la base au carré comme argument.

C'est la même chose avec le triple – il peut être écrit sous la forme \(\log_(2)(8)\), ou sous la forme \(\log_(3)(27)\), ou sous la forme \(\log_(4)( 64) \)... Ici, nous écrivons la base dans le cube comme argument :

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Et avec quatre :

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Et avec moins un :

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Et avec un tiers :

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Tout nombre \(a\) peut être représenté sous forme de logarithme de base \(b\) : \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemple : Trouver le sens de l'expression \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solution :

Répondre : \(1\)

Comme vous le savez, lorsque l'on multiplie des expressions avec des puissances, leurs exposants s'additionnent toujours (a b *a c = a b+c). Ce loi mathématique a été dérivé par Archimède, et plus tard, au 8ème siècle, le mathématicien Virasen a créé un tableau d'exposants entiers. Ce sont eux qui ont servi à la découverte ultérieure des logarithmes. Des exemples d'utilisation de cette fonction peuvent être trouvés presque partout où il est nécessaire de simplifier une multiplication fastidieuse par une simple addition. Si vous passez 10 minutes à lire cet article, nous vous expliquerons ce que sont les logarithmes et comment les utiliser. Dans un langage simple et accessible.

Définition en mathématiques

Un logarithme est une expression de la forme suivante : log a b=c, c'est-à-dire le logarithme de tout nombre non négatif(c'est-à-dire tout positif) « b » par sa base « a » est considéré comme la puissance de « c » à laquelle la base « a » doit être élevée pour obtenir finalement la valeur « b ». Analysons le logarithme à l'aide d'exemples, disons qu'il existe une expression log 2 8. Comment trouver la réponse ? C’est très simple, il faut trouver une puissance telle que de 2 à la puissance recherchée on obtienne 8. Après avoir fait quelques calculs dans sa tête, on obtient le chiffre 3 ! Et c’est vrai, car 2 à la puissance 3 donne la réponse 8.

Types de logarithmes

Pour de nombreux étudiants, ce sujet semble compliqué et incompréhensible, mais en réalité les logarithmes ne sont pas si effrayants, l'essentiel est de comprendre leur signification générale et de se souvenir de leurs propriétés et de certaines règles. Il y en a trois espèce individuelle expressions logarithmiques :

1. Logarithme népérien ln a, où la base est le nombre d'Euler (e = 2,7).
2. Décimal a, où la base est 10.
3. Logarithme de n'importe quel nombre b en base a>1.

Chacun d'eux est décidé de manière standard, qui comprend la simplification, la réduction et la réduction ultérieure à un logarithme à l'aide de théorèmes logarithmiques. Pour obtenir les valeurs correctes des logarithmes, vous devez vous rappeler leurs propriétés et la séquence d'actions lors de leur résolution.

Règles et quelques restrictions

En mathématiques, il existe plusieurs règles-contraintes qui sont acceptées comme un axiome, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas sujettes à discussion et sont la vérité. Par exemple, il est impossible de diviser des nombres par zéro, et il est également impossible d’en extraire une racine paire. nombres négatifs. Les logarithmes ont également leurs propres règles, à la suite desquelles vous pouvez facilement apprendre à travailler même avec des expressions logarithmiques longues et volumineuses :

• la base "a" doit toujours être supérieur à zéro, et en même temps ne soit pas égal à 1, sinon l'expression perdra son sens, car « 1 » et « 0 » à quelque degré que ce soit sont toujours égaux à leurs valeurs ;
• si a > 0, alors a b >0, il s'avère que « c » doit également être supérieur à zéro.

Comment résoudre des logarithmes ?

Par exemple, la tâche est de trouver la réponse à l'équation 10 x = 100. C'est très simple, vous devez choisir une puissance en élevant le nombre dix auquel on obtient 100. Ceci, bien sûr, est 10 2 = 100.

Imaginons maintenant cette expression sous forme logarithmique. On obtient log 10 100 = 2. Lors de la résolution de logarithmes, toutes les actions convergent pratiquement pour trouver la puissance à laquelle il faut entrer dans la base du logarithme pour obtenir un nombre donné.

Pour déterminer avec précision la valeur d'un diplôme inconnu, vous devez apprendre à travailler avec un tableau des diplômes. Cela ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le constater, certains exposants peuvent être devinés intuitivement si vous avez un esprit technique et une connaissance de la table de multiplication. Cependant pour grandes valeurs vous aurez besoin d'un tableau des degrés. Il peut être utilisé même par ceux qui ne connaissent rien aux problèmes complexes. sujets mathématiques. La colonne de gauche contient des nombres (base a), la rangée supérieure de nombres est la valeur de la puissance c à laquelle le nombre a est élevé. A l'intersection, les cellules contiennent les valeurs numériques qui sont la réponse (a c =b). Prenons par exemple la toute première cellule avec le chiffre 10 et mettons-la au carré, nous obtenons la valeur 100, qui est indiquée à l'intersection de nos deux cellules. Tout est si simple et facile que même le plus véritable humaniste comprendra !

Équations et inégalités

Il s'avère que sous certaines conditions, l'exposant est le logarithme. Par conséquent, toute mathématique expressions numériques peut être écrit sous forme d’équation logarithmique. Par exemple, 3 4 = 81 peut être écrit comme le logarithme en base 3 de 81 égal à quatre (log 3 81 = 4). Pour pouvoirs négatifs les règles sont les mêmes : 2 -5 = 1/32 on l'écrit sous forme de logarithme, on obtient log 2 (1/32) = -5. L’une des sections les plus fascinantes des mathématiques est celle des « logarithmes ». Nous examinerons des exemples et des solutions d'équations ci-dessous, immédiatement après avoir étudié leurs propriétés. Voyons maintenant à quoi ressemblent les inégalités et comment les distinguer des équations.

Étant donné une expression de la forme suivante : log 2 (x-1) > 3 - c'est inégalité logarithmique, puisque la valeur inconnue "x" est sous le signe du logarithme. Et aussi dans l'expression deux quantités sont comparées : le logarithme du nombre souhaité en base deux est supérieur au nombre trois.

La différence la plus importante entre les équations logarithmiques et les inégalités est que les équations avec des logarithmes (exemple - logarithme 2 x = √9) impliquent une ou plusieurs réponses spécifiques valeurs numériques, tandis que lors de la résolution des inégalités, elles sont définies comme la région valeurs acceptables, et les points d'arrêt de cette fonction. En conséquence, la réponse n’est pas un simple ensemble de nombres individuels, comme dans la réponse à une équation, mais une série continue ou un ensemble de nombres.

Théorèmes de base sur les logarithmes

Lors de la résolution de tâches primitives consistant à trouver les valeurs du logarithme, ses propriétés peuvent ne pas être connues. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations ou d'inégalités logarithmiques, il est tout d'abord nécessaire de bien comprendre et d'appliquer dans la pratique toutes les propriétés de base des logarithmes. Nous examinerons des exemples d'équations plus tard ; examinons d'abord chaque propriété plus en détail.

1. L'identité principale ressemble à ceci : a logaB =B. Cela s'applique uniquement lorsque a est supérieur à 0, non égal à un, et B est supérieur à zéro.
2. Le logarithme du produit peut être représenté sous la forme la formule suivante: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dans ce cas, la condition obligatoire est : d, s 1 et s 2 > 0 ; une≠1. Vous pouvez donner une preuve de cette formule logarithmique, avec des exemples et une solution. Soit log a s 1 = f 1 et log a s 2 = f 2, puis a f1 = s 1, a f2 = s 2. On obtient que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriétés de degrés ), puis par définition : log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ce qui devait être prouvé.
3. Le logarithme du quotient ressemble à ceci : log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Le théorème sous forme de formule prend la forme suivante : log a q b n = n/q log a b.

Cette formule est appelée « propriété du degré du logarithme ». Cela ressemble aux propriétés des diplômes ordinaires, et ce n’est pas surprenant, car toutes les mathématiques sont basées sur des postulats naturels. Regardons la preuve.

Soit log a b = t, il s'avère que a t = b. Si on élève les deux parties à la puissance m : a tn = b n ;

mais puisque a tn = (a q) nt/q = b n, donc log a q b n = (n*t)/t, alors log a q b n = n/q log a b. Le théorème a été prouvé.

Exemples de problèmes et d’inégalités

Les types de problèmes les plus courants sur les logarithmes sont des exemples d’équations et d’inégalités. On les trouve dans presque tous les livres de problèmes et sont également inclus dans partie obligatoire examens de mathématiques. Pour l'admission à l'université ou le passage examens d'entrée en mathématiques, vous devez savoir comment résoudre correctement de tels problèmes.

Malheureusement, il n'existe pas de plan ou de schéma unique pour résoudre et déterminer la valeur inconnue du logarithme, mais pour chaque inégalité mathématique ou l'équation logarithmique peut être appliquée certaines règles. Il convient tout d’abord de savoir si l’expression peut être simplifiée ou conduire à aspect général. Simplifiez les longs expressions logarithmiques possible si vous utilisez correctement leurs propriétés. Faisons rapidement connaissance avec eux.

Lors de la résolution d'équations logarithmiques, nous devons déterminer de quel type de logarithme nous disposons : un exemple d'expression peut contenir un logarithme naturel ou décimal.

Voici les exemples ln100, ln1026. Leur solution se résume au fait qu’ils doivent déterminer la puissance à laquelle la base 10 sera respectivement égale à 100 et 1026. Pour les solutions de logarithmes naturels, vous devez appliquer identités logarithmiques ou leurs propriétés. Regardons la solution avec des exemples problèmes logarithmiques différents types.

Comment utiliser les formules logarithmiques : avec des exemples et des solutions

Voyons donc des exemples d'utilisation des théorèmes de base sur les logarithmes.

1. La propriété du logarithme d'un produit peut être utilisée dans des tâches où il est nécessaire de développer grande valeur nombres b en facteurs plus simples. Par exemple, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La réponse est 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - comme vous pouvez le voir, en utilisant la quatrième propriété de la puissance du logarithme, nous avons réussi à résoudre une expression apparemment complexe et insoluble. Il vous suffit de factoriser la base puis de retirer les valeurs des exposants du signe du logarithme.

Devoirs de l'examen d'État unifié

On trouve souvent des logarithmes dans examens d'entrée, surtout beaucoup de problèmes logarithmiques dans l'examen d'État unifié ( examen d'état pour tous les sortants scolaires). Habituellement, ces tâches sont présentes non seulement dans la partie A (la plus simple pièce d'essai examen), mais aussi dans la partie C (les tâches les plus complexes et les plus volumineuses). L'examen exige des informations précises et connaissance parfaite sujets "Logarithmes naturels".

Les exemples et les solutions aux problèmes sont tirés des sources officielles Options d'examen d'État unifié. Voyons comment ces tâches sont résolues.

Étant donné log 2 (2x-1) = 4. Solution :
réécrivons l'expression en la simplifiant un peu log 2 (2x-1) = 2 2, par la définition du logarithme on obtient que 2x-1 = 2 4, donc 2x = 17 ; x = 8,5.

• Il est préférable de réduire tous les logarithmes à la même base afin que la solution ne soit pas lourde et déroutante.
• Toutes les expressions sous le signe du logarithme sont indiquées comme positives, par conséquent, lorsque l'exposant d'une expression qui est sous le signe du logarithme et comme sa base est retiré comme multiplicateur, l'expression restant sous le logarithme doit être positive.

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Nous avons donc des puissances de deux. Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver la puissance à laquelle vous devrez relancer deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez élever deux à la puissance quatrième. Et pour obtenir 64, il faut élever deux à la puissance sixième. Cela peut être vu sur le tableau.

Et maintenant - en fait, la définition du logarithme :

La base a du logarithme de x est la puissance à laquelle a doit être élevé pour obtenir x.

Désignation : log a x = b, où a est la base, x est l'argument, b est ce à quoi le logarithme est réellement égal.

Par exemple, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (le logarithme en base 2 de 8 est trois car 2 3 = 8). Avec le même journal de réussite 2 64 = 6, puisque 2 6 = 64.

L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre selon une base donnée est appelée logarithmisation. Alors, ajoutons une nouvelle ligne à notre tableau :

Malheureusement, tous les logarithmes ne se calculent pas aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver le journal 2 5 . Le nombre 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se situe quelque part sur le segment. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем plus de diplôme deux, plus le nombre est grand.

De tels nombres sont appelés irrationnels : les nombres après la virgule peuvent être écrits à l'infini et ils ne sont jamais répétés. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Il est important de comprendre qu’un logarithme est une expression à deux variables (la base et l’argument). Au début, beaucoup de gens confondent où se trouve la base et où se trouve l’argument. A éviter des malentendus gênants, il suffit de regarder la photo :

Nous n’avons devant nous rien d’autre que la définition d’un logarithme. Souviens-toi: le logarithme est une puissance, dans lequel la base doit être construite pour obtenir un argument. C'est la base qui est élevée à une puissance - elle est surlignée en rouge sur la photo. Il s'avère que la base est toujours en bas ! Ce règle merveilleuse Je le dis à mes élèves dès le premier cours - et il n'y a pas de confusion.

Nous avons trouvé la définition - il ne reste plus qu'à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire débarrassez-vous du panneau « journal ». Pour commencer, notons que deux faits importants découlent de la définition :

1. L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Cela découle de la définition du diplôme indicateur rationnel, auquel se résume la définition d'un logarithme.
2. La base doit être différente de l'unité, puisque l'unité reste une à quelque degré que ce soit. De ce fait, la question « à quel pouvoir faut-il être élevé pour en avoir deux » n’a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !

De telles restrictions sont appelées plage de valeurs acceptables(ODZ). Il s'avère que l'ODZ du logarithme ressemble à ceci : log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Notez qu'il n'y a aucune restriction sur le nombre b (la valeur du logarithme). Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = −1, car 0,5 = 2 −1.

Cependant, nous considérons maintenant uniquement expressions numériques, où il n'est pas nécessaire de connaître le CVD du logarithme. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les auteurs des problèmes. Mais quand ils partent équations logarithmiques et les inégalités, les exigences du DHS deviendront obligatoires. Après tout, la base et l’argumentation peuvent contenir des constructions très fortes qui ne correspondent pas nécessairement aux restrictions ci-dessus.

Considérons maintenant régime général calculer des logarithmes. Il se compose de trois étapes :

1. Exprimez la base a et l'argument x sous la forme d'une puissance avec la base minimale possible supérieure à un. En chemin, il vaut mieux se débarrasser des décimales ;
2. Résolvez l'équation de la variable b : x = a b ;
3. Le nombre résultant b sera la réponse.

C'est ça! Si le logarithme s’avère irrationnel, cela sera visible dès la première étape. L'exigence que la base soit supérieure à un est très importante : cela réduit le risque d'erreur et simplifie grandement les calculs. Pareil avec décimales: si vous les convertissez immédiatement en standards, il y aura beaucoup moins d'erreurs.

Voyons comment ce schéma fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :

Tâche. Calculez le logarithme : log 5 25

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Créons et résolvons l'équation :
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Nous avons reçu la réponse : 2.

Tâche. Calculez le logarithme :

Tâche. Calculez le logarithme : log 4 64

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 3.

Tâche. Calculez le logarithme : log 16 1

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 0.

Tâche. Calculez le logarithme : log 7 14

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 ne peut pas être représenté comme une puissance de sept, puisque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Il résulte du paragraphe précédent que le logarithme ne compte pas ;
3. La réponse est aucun changement : log 7 14.

Une petite note à dernier exemple. Comment être sûr qu’un nombre n’est pas la puissance exacte d’un autre nombre ? C'est très simple : il suffit de le décomposer en facteurs premiers. Si l’expansion comporte au moins deux facteurs différents, le nombre n’est pas une puissance exacte.

Tâche. Découvrez si les nombres sont des puissances exactes : 8 ; 48 ; 81 ; 35 ; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - degré exact, car il n'y a qu'un seul multiplicateur ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - n'est pas une puissance exacte, puisqu'il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - degré exact ;
35 = 7 · 5 - encore une fois, ce n'est pas une puissance exacte ;
14 = 7 · 2 - encore une fois, ce n'est pas un degré exact ;

Notez également que les nombres premiers eux-mêmes sont toujours des puissances exactes d'eux-mêmes.

Logarithme décimal

Certains logarithmes sont si courants qu'ils ont nom spécial et la désignation.

Le logarithme décimal de x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire La puissance à laquelle il faut élever le nombre 10 pour obtenir le nombre x. Désignation : LG X.

Par exemple, log 10 = 1 ; LG 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.

Désormais, lorsqu'une phrase telle que « Find lg 0.01 » apparaît dans un manuel, sachez qu'il ne s'agit pas d'une faute de frappe. Ce logarithme décimal. Cependant, si vous n’êtes pas familier avec cette notation, vous pouvez toujours la réécrire :
journal x = journal 10 x

Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires l’est également pour les logarithmes décimaux.

Logarithme népérien

Il existe un autre logarithme qui a sa propre désignation. À certains égards, c'est encore plus important que le nombre décimal. Il s'agit deà propos du logarithme népérien.

Le logarithme népérien de x est le logarithme en base e, c'est-à-dire la puissance à laquelle le nombre e doit être élevé pour obtenir le nombre x. Désignation : ln x .

Beaucoup se demanderont : quel est le nombre e ? Ce nombre irrationnel, son valeur exacte impossible à trouver et à enregistrer. Je ne donnerai que les premiers chiffres :
e = 2,718281828459...

Nous n'entrerons pas dans les détails de ce qu'est ce numéro et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e est la base du logarithme népérien :
ln x = log e x

Ainsi ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. En revanche, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme népérien de tout nombre rationnel irrationnel. Sauf bien sûr un : ln 1 = 0.

Pour les logarithmes naturels, toutes les règles valables pour les logarithmes ordinaires sont valables.

log a r b r =log a b ou connecter un b= journal a r b r

La valeur d'un logarithme ne changera pas si la base du logarithme et le nombre sous le signe du logarithme sont élevés à la même puissance.

Seuls les nombres positifs peuvent être sous le signe du logarithme, et la base du logarithme n'est pas égale à un.

Exemples.

1) Comparez le journal 3 9 et le journal 9 81.

log 3 9=2, puisque 3 2 =9 ;

log 9 81=2, puisque 9 2 =81.

Donc log 3 9 = log 9 81.

A noter que la base du deuxième logarithme est égale au carré de la base du premier logarithme : 9=3 2, et le nombre sous le signe du deuxième logarithme est égal au carré du nombre sous le signe du premier logarithme : 81=9 2. Il s'avère que le nombre et la base du premier logarithme log 3 9 ont été élevés à la deuxième puissance, et la valeur du logarithme n'a pas changé à partir de cela :

Ensuite, depuis l'extraction de la racine nème degré parmi UN est la levée d'un certain nombre UN au degré ( 1/n), puis à partir du log 9 81 vous pouvez obtenir le log 3 9 en prenant la racine carrée du nombre et à partir de la base du logarithme :

2) Vérifier l'égalité : log 4 25=log 0,5 0,2.

Regardons le premier logarithme. Prendre la racine carrée de la base 4 et parmi 25 ; on obtient : log 4 25=log 2 5.

Regardons le deuxième logarithme. Base du logarithme : 0,5= 1 / 2. Le nombre sous le signe de ce logarithme : 0,2= 1/5. Élevons chacun de ces nombres à la puissance moins première :

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Donc log 0,5 0,2 = log 2 5. Conclusion : cette égalité est vraie.

Résolvez l'équation :

journal 4 x 4 + journal 16 81 = journal 2 (5x + 2). Réduisons les logarithmes de gauche à la base 2 .

journal 2 x 2 + journal 2 3 = journal 2 (5x + 2). Prenez la racine carrée du nombre et la base du premier logarithme. Extrayez la quatrième racine du nombre et la base du deuxième logarithme.

journal 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Convertissez la somme des logarithmes en logarithme du produit.

3x2 =5x+2. Reçu après potentialisation.

3x2 -5x-2=0. Décidons équation quadratique Par formule générale pour une équation quadratique complète :

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 vraies racines.

Examen.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

journal 2 2 2 + journal 2 3 = journal 2 12 ;

log 2 (4∙3)=log 2 12 ;

journal 2 12=journal 2 12 ;

connecter un n b=(1/ n)∙ connecter un b

Logarithme d'un nombre b basé sur un égal au produit fractions 1/ n au logarithme d'un nombre b basé sur un.

Trouver:1) 21log 8 3+40log 25 2 ; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , si l'on sait que journal 2 3=b,journal 5 2=c.

Solution.

Résoudre des équations :

1) journal 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Solution.

Réduisons ces logarithmes en base 2. Appliquons la formule : connecter un n b=(1/ n)∙ connecter un b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25 ;

journal 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Voici des termes similaires :

(1+0,5+0,25) log 2x=5,25 ;

1,75 journal 2 x=5,25 |:1,75

journal 2x=3. Par définition du logarithme :

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Solution. Convertissons le logarithme en base 16 en base 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

journal 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Convertissons la somme des logarithmes en logarithme du produit.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5 ;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5 ;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Par définition du logarithme :

x2 -5x+4=0. D'après le théorème de Vieta :

x1 =1 ; x2 =4. La première valeur de x ne fonctionnera pas, puisqu'à x = 1 les logarithmes de cette égalité n'existent pas, car Seuls les nombres positifs peuvent être sous le signe du logarithme.

Vérifions équation donnéeà x=4.

Examen.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logarithme d'un nombre b basé sur UN égal au logarithme Nombres b sur une nouvelle base Avec, divisé par le logarithme de l'ancienne base UN sur une nouvelle base Avec.

Exemples :

1) journal 2 3=lg3/lg2 ;

2) journal 8 7=ln7/ln8.

Calculer:

1) journal 5 7, si l'on sait que lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / enregistrer c un.

log57=log7/log5≈0,8451 :0,6990≈1,2090.

Répondre: journal 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) journal 5 7 , si l'on sait que ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Solution. Appliquez la formule : log a b =log c b / enregistrer c un.

log 5 7 = ln7/ln5≈1,9459 : 1,6094≈1,2091.

Répondre: journal 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Trouver x :

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Nous utilisons la formule : log c b / enregistrer c une = connecter un b . On obtient :

journal 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8 ;

journal 3 x = journal 3 (4∙6∙8) ;

journal 3 x = journal 3 192 ;

x=192 .

2) journal 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Nous utilisons la formule : log c b / enregistrer c une = connectez-vous un b . On obtient :

journal 7x=lg143-lg11-lg13 ;

log 7x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x = lg143-lg (11∙13);

journal 7x=lg143-lg143 ;

x=1.

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