Diagramme vectoriel. Ajout de vibrations.

La solution à un certain nombre de problèmes de la théorie des oscillations devient beaucoup plus simple et visuelle si les oscillations sont représentées graphiquement à l'aide de la méthode diagrammes vectoriels. Choisissons un axe X. De ce point 0 sur l'axe on trace le vecteur de longueur , qui forme initialement un angle avec l'axe (Fig. 2.14.1). Si on fait tourner ce vecteur avec une vitesse angulaire, alors la projection de l'extrémité du vecteur sur l'axe X changera avec le temps selon la loi

.

Par conséquent, la projection de l'extrémité du vecteur sur l'axe effectuera une oscillation harmonique d'amplitude égal à la longueur vecteur, de fréquence circulaire égale à la vitesse angulaire de rotation du vecteur, et de phase initiale, égal à l'angle, qui forme un vecteur d'axe en moment de départ temps. Coin, formé par un vecteur avec axe en ce moment le temps détermine la phase d'oscillation à ce moment - .

De ce qui précède, il s'ensuit qu'une oscillation harmonique peut être représentée à l'aide d'un vecteur dont la longueur est égale à l'amplitude de l'oscillation et dont la direction forme un angle avec un certain axe égal à la phase de l'oscillation. C’est l’essence de la méthode du diagramme vectoriel.

Ajout d'oscillations de même sens.

Considérons l'ajout de deux oscillations harmoniques dont les directions sont parallèles :

. (2.14.1)

Décalage résultant X sera la somme et . Ce sera une oscillation d'amplitude.

Utilisons la méthode du diagramme vectoriel (Fig. 2.14.2). Sur la figure, et - phases des oscillations résultantes et ajoutées, respectivement. Il est facile de voir ce que l’on peut trouver en additionnant les vecteurs et . Cependant, si les fréquences des oscillations ajoutées sont différentes, alors l'amplitude résultante change d'amplitude avec le temps et le vecteur tourne à une vitesse variable, c'est-à-dire la vibration ne sera pas harmonique, mais représentera une sorte de complexe processus oscillatoire. Pour que l'oscillation résultante soit harmonique, les fréquences des oscillations ajoutées doivent être les mêmes

et l'oscillation résultante se produit avec la même fréquence

.

De la construction, il ressort clairement que

Analysons l'expression (2.14.2) de l'amplitude de l'oscillation résultante. Si la différence de phase des oscillations ajoutées est nulle(les oscillations sont en phase), l'amplitude est égale à la somme des amplitudes des oscillations ajoutées, c'est à dire. a le maximum de valeur possible . Si la différence de phase est(les oscillations sont en antiphase), alors l'amplitude résultante est égale à la différence d'amplitude, c'est à dire. a la valeur minimale possible .

Ajout de vibrations mutuellement perpendiculaires.

Supposons que la particule effectue deux oscillations harmoniques avec la même fréquence : une dans la direction, que nous désignons X, l'autre - dans direction perpendiculaire oui. Dans ce cas, la particule se déplacera le long d'une certaine cas général, trajectoire curviligne, dont la forme dépend de la différence des phases des oscillations.

Choisissons le début du décompte du temps pour que la phase initiale d'une oscillation soit égale à zéro :

. (2.14.3)

Pour obtenir l’équation de trajectoire des particules, il faut exclure de (2.14.3) t. De la première équation, a. Moyens, . Réécrivons la deuxième équation

ou

.

En transférant le premier terme du côté droit de l'équation vers la gauche, en mettant au carré l'équation résultante et en effectuant des transformations, on obtient

. (2.14.4)

Cette équation est l'équation d'une ellipse dont les axes pivotent par rapport aux axes X Et oui sous un certain angle. Mais dans certains cas particuliers, des résultats plus simples sont obtenus.

1. La différence de phase est nulle. Alors de (2.14.4) on obtient

ou . (2.14.5)

C'est l'équation d'une droite (Fig. 2.14.3). Ainsi, la particule oscille le long de cette droite avec une fréquence et une amplitude égales à .

Méthode d'amplitude complexe

La position d'un point sur le plan peut être spécifiée de manière unique par un nombre complexe :

Si le point ($A$) tourne, alors les coordonnées de ce point changent conformément à la loi :

Écrivons $z$ sous la forme :

où $Re(z)=x$, c'est-à-dire que la quantité physique x est égale à la partie réelle expression complexe(4). Dans ce cas, le module de l'expression complexe est égal à l'amplitude d'oscillation - $a$, son argument égal à la phase($(\oméga )_0t+\delta $). Parfois, en prenant la partie réelle de $z$, le signe de l'opération Re est omis et une expression symbolique est obtenue :

L’expression (5) ne doit pas être prise au pied de la lettre. Souvent formellement simplifié (5) :

où $A=ae^(i \delta)$ est l'amplitude complexe de l'oscillation. La nature complexe de l'amplitude $A$ fait que l'oscillation a une phase initiale qui n'est pas égale à zéro.

Afin de révéler signification physique des expressions comme (6), supposons que la fréquence d'oscillation ($(\omega )_0$) a des parties réelles et imaginaires, et elle peut être représentée comme :

Alors l’expression (6) peut s’écrire :

Si $(\omega )2>0,$ alors l'expression (8) décrit l'amortissement vibrations harmoniques avec fréquence circulaire $\omega1$ et exposant d'amortissement $(\omega )_2$. Si $(\omega )_2

Commentaire

De nombreuses opérations peuvent être réalisées sur des quantités complexes. opérations mathématiques comme si les quantités étaient réelles. Les opérations sont possibles si elles sont elles-mêmes linéaires et réelles (comme l'addition, la multiplication, la différenciation par rapport à une variable réelle, et autres, mais pas toutes). Nous devons nous rappeler que les quantités complexes elles-mêmes ne correspondent à aucune grandeurs physiques.

Méthode de diagramme vectoriel

Laissez le point $A$ tourner uniformément le long d'un cercle de rayon $r$ (Fig. 1), sa vitesse de rotation $(\omega )_0$.

Image 1.

La position du point $A$ sur le cercle peut être spécifiée à l'aide de l'angle $\varphi $. Cet angle est égal à :

où $\delta =\varphi (t=0)$ est l'angle de rotation du rayon vecteur $\overrightarrow(r)$ à l'instant initial. Si le point $M$ tourne, alors sa projection sur l'$axe X$ se déplace le long du diamètre du cercle, effectuant des oscillations harmoniques entre les points $M$ $N$. L'abscisse du point $A$ peut s'écrire :

De la même manière, vous pouvez représenter des fluctuations de n’importe quelle ampleur.

Il suffit d'accepter l'image d'une grandeur qui oscille à l'abscisse du point $A$, qui tourne uniformément autour du cercle. Vous pouvez bien sûr utiliser l'ordonnée :

Note 1

Afin de représenter oscillations amorties, il faut prendre non pas un cercle, mais une spirale logarithmique qui se rapproche du foyer. Si la vitesse d'approche d'un point se déplaçant en spirale est constante et que le point se déplace vers le foyer, alors la projection de ce point sur l'axe X donnera des formules d'oscillations amorties.

Note 2

Au lieu d'un point, vous pouvez utiliser un rayon vecteur, qui tournera uniformément autour de l'origine. Ensuite, la quantité qui effectue des oscillations harmoniques sera représentée comme une projection de ce vecteur sur l'axe X. Dans ce cas, les opérations mathématiques sur la quantité $x$ sont remplacées par des opérations sur un vecteur.

Donc l'opération de sommation de deux quantités :

il est plus pratique de remplacer en additionnant deux vecteurs (en utilisant la règle du parallélogramme). Les vecteurs doivent être choisis de manière à ce que leurs projections sur l'$axe X$ choisi soient les expressions $x_1\ et\ x_2$. Alors le résultat de l'opération de sommation des vecteurs dans la projection sur l'axe des abscisses sera égal à $x_1+\ x_2$.

Exemple 1

Démontrons l'utilisation de la méthode du diagramme vectoriel.

Alors imaginons nombres complexes vecteurs sur plan complexe. La quantité qui change selon loi harmonique, est représenté par un vecteur qui tourne avec une fréquence $(\omega )0$ autour de son origine dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La longueur du vecteur est égale à l'amplitude des oscillations.

Méthode graphique pour résoudre, par exemple, l'équation :

où $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ est l'impédance, représentée à l'aide de la figure 2. Cette image montre diagramme vectoriel tensions dans le circuit alternatif.

Figure 2.

Prenons en compte que multiplier une valeur complexe par une unité complexe signifie la faire pivoter d'un angle de $90^0$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et multiplier par ($-i$) par le même angle dans le sens des aiguilles d'une montre. De la figure 2, il résulte que :

où $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Le changement d'angle $\varphi $ dépend de la relation entre les impédances des éléments du circuit et les fréquences. La tension externe peut changer de phase, passant de la tension aux bornes de l'inductance à la tension aux bornes du condensateur. Ceci s'exprime généralement sous la forme d'une relation entre les phases des tensions sur les éléments du circuit et la phase de la tension externe :

La phase de la tension aux bornes de l'inductance $((U)L=i\omega LI)$ est toujours en avance sur la phase de la tension externe d'un angle compris entre $0$ et $\pi .$

La phase de tension sur la capacité $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) est toujours en retard sur la phase de tension externe d'un angle compris entre $0$ et --$\ \pi .$

Dans ce cas, la phase au niveau de la résistance peut être en avance ou en retard sur la phase de la tension externe de l'angle entre $\frac(\pi )(2)$ et $\frac(\pi )(2)$.

Le diagramme vectoriel (Fig. 2) permet de formuler ce qui suit :

La phase de tension aux bornes de l'inductance est en avance sur la phase de courant de $\frac(\pi )(2)$.

La phase de tension aux bornes de la capacité est en retard $\frac(\eth )(2)\ $ par rapport à la phase actuelle.

La phase de la tension aux bornes de la résistance coïncide avec la phase du courant.

Exemple 2

Exercice: Démontrer que la mise au carré ne peut pas être appliquée à des quantités complexes sous forme de nombres réels.

Solution:

Supposons que nous devions mettre au carré nombre réel$x$. Bonne réponse : $x^2$. Formellement applicable méthode complexe. Faisons un remplacement :

$x\à x+iy$. Mettons au carré l'expression résultante et obtenons :

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

La partie réelle de l'expression (2.1) est égale à :

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

La raison de l’erreur est que l’opération de quadrature n’est pas linéaire.

Vibrations harmoniques

Ceux. en fait, la courbe sinusoïdale est obtenue à partir de la rotation du vecteur, qui est décrite par la formule :

F(x) = Un péché (ωt + φ),

Où A est la longueur du vecteur (amplitude d'oscillation), φ est l'angle initial (phase) du vecteur au temps zéro, ω - vitesse angulaire rotation, qui est égale à :

ω=2 πf, où f est la fréquence en Hertz.

Comme nous le voyons, connaissant la fréquence, l’amplitude et l’angle du signal, nous pouvons construire un signal harmonique.

La magie commence lorsqu'il s'avère que la représentation d'absolument n'importe quel signal peut être représentée comme une somme (souvent infinie) de différentes sinusoïdes. Autrement dit, sous la forme d’une série de Fourier.
Je vais donner un exemple tiré de Wikipédia anglais. Prenons comme exemple un signal en dents de scie.

Signal de rampe

Son montant sera représenté par la formule suivante :

Si nous additionnons un à un, prenons d'abord n=1, puis n=2, etc., nous verrons comment notre signal sinusoïdal harmonique se transforme progressivement en scie :

C'est probablement un programme que j'ai trouvé sur Internet qui illustre le mieux ce phénomène. Il a déjà été dit plus haut que le graphe sinusoïdal est une projection d'un vecteur tournant, mais qu'en est-il des signaux plus complexes ? Curieusement, il s'agit d'une projection de nombreux vecteurs en rotation, ou plutôt de leur somme, et tout ressemble à ceci :

Scie à dessin vectoriel.

En général, je recommande d'aller vous-même sur le lien et d'essayer de jouer vous-même avec les paramètres et de voir comment le signal change. À mon humble avis, je n'ai jamais vu de jouet plus visuel pour comprendre.

Il convient également de noter qu'il existe une procédure inverse qui permet d'obtenir la fréquence, l'amplitude et la phase initiale (angle) à partir d'un signal donné, appelée transformée de Fourier.

Expansion en série de Fourier de certains fonctions périodiques(d'ici)

Je ne m’y attarderai pas en détail, mais je montrerai comment cela peut être appliqué dans la vie. Dans la bibliographie, je vous recommanderai où vous pourrez en savoir plus sur le matériel.

Passons aux exercices pratiques !

Il me semble que chaque étudiant pose une question lors d'un cours, par exemple sur les mathématiques : pourquoi ai-je besoin de toutes ces absurdités ? Et en règle générale, n'ayant pas trouvé de réponse dans un avenir prévisible, il se désintéresse malheureusement du sujet. Alors je vais te montrer tout de suite utilisation pratique cette connaissance, et vous maîtriserez cette connaissance vous-même :).

Je vais tout mettre en œuvre par moi-même. J'ai bien sûr tout fait sous Linux, mais je n'ai utilisé aucun détail ; en théorie, le programme se compilera et fonctionnera sous d'autres plateformes.

Tout d’abord, écrivons un programme pour générer un fichier audio. Le fichier wav a été considéré comme le plus simple. Vous pouvez lire sur sa structure.
En bref, la structure d'un fichier wav est décrite comme suit : un en-tête qui décrit le format du fichier, puis il y a (dans notre cas) un tableau de données de 16 bits (pointeur) d'une longueur de : sampling_ Frequency*t secondes ou 44100*t pièces.

Un exemple a été pris pour générer un fichier son. Je l'ai un peu modifié, corrigé des erreurs, et la version finale avec mes modifications est maintenant sur Github ici

Générons un fichier sonore de deux secondes avec une onde sinusoïdale pure avec une fréquence de 100 Hz. Pour ce faire, nous modifions le programme comme suit :

#define S_RATE (44100) //fréquence d'échantillonnage #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* Tampon de 2 secondes */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... float amplitude = 32000; //prendre l'amplitude maximale possible float freq_Hz = 100; //fréquence du signal /* remplir le tampon avec une onde sinusoïdale */ pour (i=0 ; je

Veuillez noter que la formule du sinus pur correspond à celle dont nous avons discuté ci-dessus. L'amplitude de 32000 (on aurait pu prendre 32767) correspond à la valeur que peut prendre un nombre de 16 bits (de moins 32767 à plus 32767).

En conséquence, nous obtenons le fichier suivant (vous pouvez même l'écouter avec n'importe quel programme de reproduction sonore). Ouvrons ce fichier Audacity et voyons que le graphique du signal correspond en réalité à une onde sinusoïdale pure :

Tube sinusoïdal pur

Regardons le spectre de ce sinus (Analyse-> Spectre de tracé)

Graphique du spectre

Un pic clair est visible à 100 Hz ( échelle logarithmique). Qu’est-ce que le spectre ? C'est la caractéristique amplitude-fréquence. Il existe également une caractéristique phase-fréquence. Si vous vous souvenez, j'ai dit plus haut que pour construire un signal, il faut connaître sa fréquence, son amplitude et sa phase ? Ainsi, vous pouvez obtenir ces paramètres à partir du signal. DANS dans ce cas Nous avons un graphique des fréquences correspondant à l'amplitude, et l'amplitude n'est pas en unités réelles, mais en décibels.

Je comprends que pour expliquer le fonctionnement du programme, il est nécessaire d'expliquer ce qu'est la transformée de Fourier rapide, et c'est au moins un article de plus.

Commençons par allouer les tableaux :

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // tableau de facteurs de rotation dans = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // tableau d'entrée en sortie = calloc (size_array*2, sizeof (float)); // tableau de sortie

Permettez-moi simplement de dire que dans le programme, nous lisons les données dans un tableau de longueur size_array (que nous prenons dans l'en-tête du fichier wav).

While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break; )

Tableau pour conversion rapide Le Fourier doit être une séquence (re, im, re, im,… re, im), où fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
est un tableau de nombres complexes. J'ai même peur d'imaginer où est utilisée la transformée de Fourier complexe, mais dans notre cas, notre partie imaginaire est égale à zéro, et la partie réelle est égale à la valeur de chaque point du tableau.
Une autre caractéristique de la transformée de Fourier rapide est qu'elle calcule des tableaux qui sont uniquement des multiples de puissances de deux. De ce fait, il faut calculer la puissance minimale de deux :

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Logarithme du nombre d'octets dans les données divisé par le nombre d'octets en un point.

Après cela, nous calculons les facteurs de rotation :

Fft_make(p2,c); // fonction de calcul des facteurs de rotation pour FFT (le premier paramètre est une puissance de deux, le second est un tableau alloué de facteurs de rotation).

Et nous introduisons notre juste tableau dans le transformateur de Fourier :

Fft_calc(p2, c, entrée, sortie, 1); //(un signifie que nous obtenons un tableau normalisé).

En sortie, nous obtenons des nombres complexes de la forme (re, im, re, im,… re, im). Pour ceux qui ne savent pas ce qu’est un nombre complexe, je vais vous l’expliquer. Ce n'est pas pour rien que j'ai commencé cet article avec un tas de vecteurs rotatifs et un tas de GIF. Ainsi, un vecteur sur le plan complexe est déterminé par la coordonnée réelle a1 et la coordonnée imaginaire a2. Soit la longueur (c'est pour nous l'amplitude Am) et l'angle Psi (phase).

Vecteur sur le plan complexe

Veuillez noter que size_array=2^p2. Le premier point du tableau correspond à une fréquence de 0 Hz (constante), le dernier point correspond à la fréquence d'échantillonnage, soit 44100 Hz. De ce fait, il faut calculer la fréquence correspondant à chaque point, qui différera par la fréquence delta :

Double delta=((float)header.fréquence)/(float)size_array; //fréquence d'échantillonnage par taille de tableau.

Localisez le tableau d'amplitude :

Double * ampli; ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

Et regardez l’image : l’amplitude est la longueur du vecteur. Et nous avons ses projections sur l'axe réel et imaginaire. En conséquence, nous aurons un triangle rectangle, et ici nous nous souvenons du théorème de Pythagore, comptons la longueur de chaque vecteur et l'écrivons immédiatement dans un fichier texte :

Pour(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
En conséquence, nous obtenons un fichier ressemblant à ceci :

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Essayons!

Maintenant, nous alimentons le programme résultant avec ce fichier son sinusoïdal

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav format : 16 bits, PCM non compressé, canal 1, fréquence 44 100, 88 200 octets par seconde, 2 octets par capture, 2 bits par échantillon, 882 000 octets dans le bloc de données = 441 000 log2 = tableau de 18 tailles = 262 144 format wav Max Freq = 99,928, amp = 7216,136

Et nous obtenons un fichier texte de la réponse en fréquence. On construit son graphe à l'aide d'un gnuplot

Script pour la construction :

#! /usr/bin/gnuplot -persist définir le terminal postscript eps couleur améliorée uni définir la sortie "result.ps" #set terminal png taille 800, 600 #set sortie "result.png" définir la grille xtics ytics définir le journal xy définir xlabel "Freq, Hz" set ylabel "Amp, dB" set xrange #set yrange plot "test.txt" en utilisant le titre 1:2 "AFC" with lines linestyle 1 !}

Veuillez noter la limitation dans le script sur le nombre de points le long de X : set xrange . Notre fréquence d'échantillonnage est de 44 100, et si l'on rappelle le théorème de Kotelnikov, alors la fréquence du signal ne peut pas être supérieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, donc nous ne sommes pas intéressés par un signal supérieur à 22 050 Hz. Pourquoi il en est ainsi, je vous conseille de lire dans la littérature spécialisée.
Alors (roulements de tambour), exécutez le script et voyez :

Spectre de notre signal

Notez le pic net à 100 Hz. N'oubliez pas que les axes sont sur une échelle logarithmique ! La laine à droite est ce que je pense être des erreurs de transformation de Fourier (les fenêtres me viennent à l'esprit ici).

Faisons-nous plaisir ?

Allez! Regardons le spectre d'autres signaux !

Il y a du bruit autour...

Double d_random(double min, double max) ( return min + (max - min) / RAND_MAX * rand(); )

Il générera un nombre aléatoire dans la plage donnée. En conséquence, main ressemblera à ceci :

Int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitude = 32000; srand((unsigned int)time(0)); //initialise le générateur de nombres aléatoires pour (i=0; i

Générons un fichier (je recommande de l'écouter). Regardons-le avec audace.

Signal en audace

Regardons le spectre dans le programme Audacity.

Gamme

Et regardons le spectre à l'aide de notre programme :

Notre spectre

Je voudrais attirer votre attention sur un fait et une caractéristique très intéressants du bruit : il contient les spectres de toutes les harmoniques. Comme le montre le graphique, le spectre est assez uniforme. Généralement, le bruit blanc est utilisé pour l’analyse fréquentielle de la bande passante, comme celle des équipements audio. Il existe d'autres types de bruit : rose, bleu et autres. Le devoir consiste à découvrir en quoi ils diffèrent.

Et la compote ?

Regardons maintenant un autre signal intéressant : un méandre. J'ai donné ci-dessus un tableau d'expansions de divers signaux dans les séries de Fourier, vous regardez comment le méandre se développe, vous l'écrivez sur un morceau de papier, et nous continuerons.

Pour générer une onde carrée avec une fréquence de 25 Hz, nous modifions encore une fois notre générateur de fichiers wav :

Int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* remplir le tampon avec une onde sinusoïdale */ pour (i=0; i

Du coup, on obtient un fichier audio (encore une fois, je vous conseille d'écouter), qu'il faut immédiatement regarder avec audace

Sa Majesté - le méandre ou méandre d'une personne en bonne santé

Ne languissons pas et regardons son spectre :

Spectre méandre

On ne sait pas encore très bien de quoi il s’agit… Jetons un coup d’œil aux premières harmoniques :

Premières harmoniques

C'est une tout autre affaire ! Eh bien, regardons le panneau. Regardez, nous n'en avons que 1, 3, 5, etc., c'est-à-dire harmoniques étranges. On voit que notre première harmonique est à 25 Hz, la suivante (la troisième) est à 75 Hz, puis 125 Hz, etc., tandis que notre amplitude diminue progressivement. La théorie rencontre la pratique !
Maintenant attention ! Dans la vraie vie, un signal carré a une somme infinie d'harmoniques de fréquences de plus en plus élevées, mais en règle générale, les circuits électriques réels ne peuvent pas transmettre de fréquences supérieures à une certaine fréquence (en raison de l'inductance et de la capacité des pistes). Par conséquent, vous pouvez souvent voir le signal suivant sur l’écran de l’oscilloscope :

Méandre du fumeur

Cette image est similaire à l'image de Wikipédia, où pour l'exemple d'un méandre, toutes les fréquences ne sont pas prises, mais seulement les premières.

La somme des premières harmoniques et la façon dont le signal change

Le méandre est également activement utilisé dans l'ingénierie radio (il faut dire que c'est la base de toute technologie numérique), et il faut comprendre qu'avec de longues chaînes, il peut être filtré pour que la mère ne le reconnaisse pas. Il est également utilisé pour vérifier la réponse en fréquence de divers appareils. Un autre fait intéressant est que les brouilleurs TV fonctionnaient précisément sur le principe des harmoniques supérieures, lorsque le microcircuit lui-même générait un méandre de dizaines de MHz, et que ses harmoniques supérieures pouvaient avoir des fréquences de centaines de MHz, exactement à la fréquence de fonctionnement du téléviseur, et les harmoniques supérieures ont réussi à brouiller le signal de diffusion télévisée.

En général, le sujet de telles expériences est infini et vous pouvez désormais le poursuivre vous-même.

Livre

Pour ceux qui ne comprennent pas ce que nous faisons ici, ou vice versa, pour ceux qui comprennent mais veulent le comprendre encore mieux, ainsi que pour les étudiants qui étudient le DSP, je recommande vivement ce livre. C'est un DSP pour les nuls, qui est l'auteur de ce post. Là, des concepts complexes y sont expliqués dans un langage accessible même à un enfant.

Conclusion

En conclusion, je voudrais dire que les mathématiques sont la reine des sciences, mais sans réelle application, beaucoup de gens s'en désintéressent. J'espère que cet article vous encouragera à étudier un sujet aussi merveilleux que le traitement du signal et les circuits analogiques en général (bouchez-vous les oreilles pour que votre cerveau ne coule pas !). :)
Bonne chance!

Mots clés:

Oscillation harmonique X = un Parce que(w t+ a) peut être représenté géométriquement par une projection sur une direction arbitraire X vecteur tournant autour d’un axe fixe avec une vitesse angulaire w. La longueur de ce vecteur est égale à l'amplitude de l'oscillation, et sa direction initiale forme avec l'axe X angle égal à la phase initiale de l'oscillation - a. En utilisant cette interprétation géométrique, nous résoudrons le problème de l’addition de deux oscillations harmoniques de même fréquence et direction.

X = X 1 + X 2 = un 1 Cos(w t+ un 1) + un 2 Cos(w t+ un 2).

Construisons un vecteur (sous un angle a 1 par rapport à l'axe X), représentant la première vibration. Ajoutons-y le vecteur formant un angle a 2 avec l'axe X(Fig. 12.8). La somme des projections de ces vecteurs sur l'axe X est égal à la projection sur cet axe du vecteur égal à la somme et .

X = X 1 + X 2 .

Riz. 12,8

Faisons tourner ce diagramme vectoriel avec une vitesse angulaire w autour d'un axe passant par l'origine des coordonnées - point O. Dans ce cas, l'égalité X = X 1 + X 2 restera inchangé au fil du temps, même si les projections elles-mêmes X, X 1 et X 2 va maintenant pulser selon une loi harmonique avec la même fréquence w et avec les phases initiales a, a 1 et a 2 - respectivement. Résultat de l’ajout de deux vibrations :

X 1 = un 1 Cos(w t+ un 1) et X 2 = un 2 Cos(w t+ a 2) une nouvelle oscillation se produit X = X 1 + X 2 =

= un Parce que(w t+ a), dont la fréquence - w – coïncide avec la fréquence des oscillations ajoutées. Son amplitude est égale à la valeur absolue du vecteur et à la phase initiale a, comme il ressort de la Fig. 12,8, est égal à :

.

Pour calculer l'amplitude " UN» oscillation totale, on utilise le théorème du cosinus :

L'amplitude de l'oscillation résultante ne dépend pas seulement des amplitudes des oscillations ajoutées UN 1 et UN 2, mais aussi sur la différence dans leurs phases initiales. Oscillation d'amplitude maximale, UN = un maximum = un 1 + un 2 se produit lors de l'ajout d'oscillations en phase, c'est-à-dire lorsque leurs phases initiales coïncident : a 1 = a 2.

Si la différence de phase (a 2 – a 1) = p, alors l'amplitude de l'oscillation totale sera minime un = un min = | un 1 – un 2 |. Si les amplitudes de telles oscillations se produisant en antiphase sont égales à ( un 1 = un 2), alors l'amplitude de l'oscillation totale sera égale à zéro.

Nous utiliserons souvent cette méthode de diagrammes vectoriels à l'avenir pour ajouter non seulement des oscillations, mais également des ondes.

Conférence 13 « Vibrations mécaniques »

Plan de la conférence

1. Énergie d'un oscillateur harmonique.

2. Oscillations naturelles amorties.

3. Vibrations forcées. Résonance. Amplitude et phase des oscillations forcées.

Un même corps peut participer simultanément à deux ou plusieurs mouvements. Un exemple simple est le mouvement d’une balle lancée selon un angle par rapport à l’horizontale. On peut supposer que la balle participe à deux mouvements indépendants mutuellement perpendiculaires : uniforme horizontalement et uniformément variable verticalement. Un même corps (point matériel) peut participer à deux (ou plusieurs) mouvements oscillatoires.

Sous ajout d'oscillations comprendre la définition de la loi de vibration résultante si le système oscillatoire participe simultanément à plusieurs processus oscillatoires. Il existe deux cas limites : l'ajout d'oscillations dans une direction et l'ajout d'oscillations mutuellement perpendiculaires.

2.1. Ajout de vibrations harmoniques d'une seule direction

1. Ajout de deux oscillations de même sens(oscillations codirectionnelles)

peut être effectué en utilisant la méthode du diagramme vectoriel (Figure 9) au lieu d’ajouter deux équations.

La figure 2.1 montre les vecteurs d'amplitude UN 1(t) et UN 2 (t) ajouté des oscillations à un instant arbitraire t, lorsque les phases de ces oscillations sont respectivement égales Et . L'ajout des oscillations se résume à la définition . Profitons du fait que dans un diagramme vectoriel la somme des projections des vecteurs ajoutés est égale à la projection de la somme vectorielle de ces vecteurs.

L'oscillation qui en résulte correspond dans le diagramme vectoriel au vecteur amplitude et phase.

Figure 2.1 – Ajout d'oscillations co-directionnelles.

ampleur du vecteur UN(t) peut être trouvé en utilisant le théorème du cosinus :

La phase de l'oscillation résultante est donnée par la formule :

.

Si les fréquences des oscillations ajoutées ω 1 et ω 2 ne sont pas égales, alors la phase φ(t) et l'amplitude UN(t) Les fluctuations qui en résultent changeront avec le temps. Les oscillations ajoutées sont appelées incohérent dans ce cas.

2. Deux vibrations harmoniques x 1 et x 2 sont appelées cohérent, si leur déphasage ne dépend pas du temps :

Mais puisque, pour remplir la condition de cohérence de ces deux oscillations, leurs fréquences cycliques doivent être égales.

L'amplitude de l'oscillation résultante obtenue en ajoutant des oscillations codirectionnelles de fréquences égales (oscillations cohérentes) est égale à :

La phase initiale de l'oscillation résultante est facile à trouver si vous projetez les vecteurs UN 1 et UN 2 sur les axes de coordonnées OX et OU (voir Figure 9) :

.

Donc, l'oscillation résultante obtenue en ajoutant deux oscillations harmoniques codirectionnelles de fréquences égales est également une oscillation harmonique.

3. Étudions la dépendance de l'amplitude de l'oscillation résultante sur la différence des phases initiales des oscillations ajoutées.

Si , où n est un entier non négatif

(n = 0, 1, 2…), alors le minimum. Les oscillations ajoutées au moment de l'addition étaient en antiphase. Lorsque l'amplitude résultante est nulle.

Si , Que , c'est à dire. l'amplitude résultante sera maximum. Au moment de l'addition, les oscillations ajoutées étaient en une seule phase, c'est à dire. étaient en phase. Si les amplitudes des oscillations ajoutées sont les mêmes , Que .

4. Ajout d'oscillations co-directionnelles avec des fréquences inégales mais similaires.

Les fréquences des oscillations ajoutées ne sont pas égales, mais la différence de fréquence bien inférieur à ω 1 et ω 2. La condition de proximité des fréquences ajoutées est écrite par les relations.

Un exemple d'ajout d'oscillations co-dirigées avec des fréquences proches est le mouvement d'un pendule à ressort horizontal, dont la rigidité du ressort est légèrement différente de k 1 et k 2.

Que les amplitudes des oscillations ajoutées soient les mêmes , et les phases initiales sont égales à zéro. Alors les équations des oscillations ajoutées ont la forme :

, .

L'oscillation résultante est décrite par l'équation :

L'équation d'oscillation résultante dépend du produit de deux fonctions harmoniques : une avec la fréquence , l'autre – avec fréquence , où ω est proche des fréquences des oscillations ajoutées (ω 1 ou ω 2). L'oscillation qui en résulte peut être considérée comme oscillation harmonique dont l'amplitude varie selon une loi harmonique. Ce processus oscillatoire est appelé Beats. À proprement parler, l’oscillation résultante dans le cas général n’est pas une oscillation harmonique.

La valeur absolue du cosinus est prise car l'amplitude est une quantité positive. La nature de la dépendance x res. pendant les coups est illustré à la figure 2.2.

Figure 2.2 – Dépendance du déplacement avec le temps pendant le battage.

L'amplitude des battements change lentement avec la fréquence. La valeur absolue du cosinus est répétée si son argument change de π, ce qui signifie que la valeur de l'amplitude résultante sera répétée après un intervalle de temps τ b, appelé période de battement(Voir Figure 12). La valeur de la période de battement peut être déterminée à partir de la relation suivante :

La valeur est la période de battement.

Ordre de grandeur est la période de l’oscillation résultante (Figure 2.4).

2.2. Ajout de vibrations mutuellement perpendiculaires

1. Un modèle sur lequel l'addition d'oscillations mutuellement perpendiculaires peut être démontrée est présenté dans la figure 2.3. Un pendule (un point matériel de masse m) peut osciller le long des axes OX et OU sous l'action de deux forces élastiques dirigées mutuellement perpendiculairement.

Graphique 2.3

Les oscillations repliées ont la forme :

Les fréquences d'oscillation sont définies par , , où , sont les coefficients de rigidité du ressort.

2. Considérons le cas de l'ajout de deux oscillations mutuellement perpendiculaires avec les mêmes fréquences , ce qui correspond à l'état (ressorts identiques). Alors les équations des oscillations ajoutées prendront la forme :

Lorsqu'un point est impliqué dans deux mouvements simultanément, sa trajectoire peut être différente et assez complexe. L'équation de la trajectoire des oscillations résultantes sur le plan OXY lors de l'ajout de deux oscillations mutuellement perpendiculaires avec des fréquences égales peut être déterminée en excluant le temps t des équations originales pour x et y :

Le type de trajectoire est déterminé par la différence des phases initiales des oscillations ajoutées, qui dépendent des conditions initiales (voir § 1.1.2). Considérons les options possibles.

et si , où n = 0, 1, 2…, c'est-à-dire les oscillations ajoutées sont en phase, alors l'équation de trajectoire prendra la forme :

(Figure 2.3a).

b) Si (n = 0, 1, 2...), c'est-à-dire les oscillations ajoutées sont en antiphase, alors l'équation de trajectoire s'écrit comme suit :

(Figure 2.3b).

Dans les deux cas (a, b), le mouvement résultant du point sera une oscillation le long d'une droite passant par le point O. La fréquence de l'oscillation résultante est égale à la fréquence des oscillations ajoutées ω 0, l'amplitude est déterminée par la relation.