Théorème sur le système de fonctions implicites. Dérivés d'ordre supérieur

Les dérivées d'ordre supérieur sont trouvées par différenciation successive de la formule (1).

Exemple. Trouver et si (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Solution. Désignation côté gaucheéquation donnée via F(x,y) trouver les dérivées partielles

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

De là, en appliquant la formule (1), on obtient :

Pour trouver la dérivée seconde, différenciez par rapport à X la dérivée première trouvée, en tenant compte du fait que à il existe une fonction x :

2°. Le cas de plusieurs variables indépendantes. De même, si l'équation F(x, y, z)=0, Où F(x, y, z) - fonction différentiable des variables x, y Et z, définit z en fonction de variables indépendantes X Et à Et Fz(x, y, z)≠ 0, alors les dérivées partielles de cette fonction implicitement donnée, d'une manière générale, peuvent être trouvées en utilisant les formules

Une autre façon de trouver les dérivées de la fonction z est la suivante : en différenciant l'équation F(x, y, z) = 0, on a:

De là, nous pouvons déterminer zut, et donc .

Exemple. Trouver et si x ² - 2y²+3z² -oui +y =0.

1ère méthode. Notant le côté gauche de cette équation par F(x, y, z), trouvons les dérivées partielles F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

En appliquant les formules (2), on obtient :

2ème méthode. En différenciant cette équation, on obtient :

2xdx-4ouijour +6zdz-ouidz-zdy +jour =0

De là, nous déterminons dz, c'est-à-dire la différentielle totale de la fonction implicite :

Comparaison avec la formule , on voit ça

3°. Système fonctions implicites . Si un système de deux équations

définit toi Et v en fonctions des variables x et y et du jacobien

alors les différentielles de ces fonctions (et donc leurs dérivées partielles) peuvent être trouvées à partir du système d'équations

Exemple : équations u+v=x+y, xu+yv=1 déterminer toi Et v comme fonctions X Et à; trouver .

Solution. 1ère méthode. En différenciant les deux équations par rapport à x, on obtient :

De manière similaire on retrouve :

2ème méthode. Par différenciation, nous trouvons deux équations reliant les différentielles des quatre variables : du +dv =dx +mourir,Xdu +toidx +ouidv+vdy =0.

Résoudre ce système pour les différentiels du Et dv, on a:

4°. Spécification paramétrique les fonctions. Si la fonction de r variables X Et à est donné paramétriquement par les équations x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) Et

alors la différentielle de cette fonction peut être trouvée à partir du système d'équations

Connaître le différentiel dz=p dx+q dy, on trouve les dérivées partielles et .

Exemple. Fonction z arguments X Et à donné par des équations x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Trouve et .

Solution. 1ère méthode. Par différenciation, nous trouvons trois équations reliant les différentielles des cinq variables :

A partir des deux premières équations, nous déterminons du Et dv:

Remplaçons les valeurs trouvées dans la troisième équation du Et dv:

2ème méthode. A partir de la troisième équation donnée, nous pouvons trouver :

Dérivons d'abord les deux premières équations par rapport à X, puis par à:

Du premier système on trouve : .

Du deuxième système on trouve : .

En remplaçant les expressions et dans la formule (5), on obtient :

Remplacement de variables

Lors du remplacement de variables dans des expressions différentielles, les dérivées qui y sont incluses doivent être exprimées en termes d'autres dérivées selon les règles de différenciation fonction complexe.

1°. Remplacement de variables dans des expressions contenant des dérivées ordinaires.

croire .

à Par X par le biais de dérivés de à Par t. Nous avons:

En remplaçant les expressions dérivées trouvées dans cette équation et en remplaçant X par , on obtient :

Exemple. Convertir l'équation

prendre ça comme un argument à, et pour la fonction x.

Solution. Exprimons les dérivées de à Par X par le biais de dérivés de X Par toi.

En substituant ces expressions dérivées dans cette équation, nous aurons :

ou enfin,

Exemple. Convertir l'équation

passer à coordonnées polaires

x=r cos φ, y=r cos φ.

Solution. Considérant r en tant que fonction φ , à partir des formules (1) on obtient :

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Comme on le sait, une fonction donnée implicitement d'une variable est définie comme suit : la fonction y de la variable indépendante x est dite implicite si elle est donnée par une équation non résolue par rapport à y :

Exemple 1.11.

L'équation

spécifie implicitement deux fonctions :

Et l'équation

ne précise aucune fonction.

Théorème 1.2 (existence d'une fonction implicite).

Soit la fonction z =f(x,y) et ses dérivées partielles f"x et f"y définies et continues dans un voisinage UM0 du point M0(x0y0). De plus, f(x0,y0)=0 et f"(x0,y0)≠0, alors l'équation (1.33) définit au voisinage de UM0 une fonction implicite y= y(x), continue et différentiable dans un certain intervalle D avec centre au point x0, et y(x0)=y0.

Aucune preuve.

Du Théorème 1.2 il résulte que sur cet intervalle D :

c'est-à-dire qu'il y a une identité dans

où la dérivée « totale » se trouve d’après (1.31)

Autrement dit, (1.35) donne une formule pour trouver la dérivée d'une fonction implicitement donnée d'une variable x.

Une fonction implicite de deux variables ou plus est définie de la même manière.

Par exemple, si dans une région V de l'espace Oxyz l'équation est vraie :

puis sous certaines conditions sur la fonction F il définit implicitement la fonction

De plus, par analogie avec (1.35), ses dérivées partielles se trouvent comme suit :

Exemple 1.12. En supposant que l'équation

définit implicitement une fonction

trouver z"x, z"y.

donc, d’après (1.37), nous obtenons la réponse.

11.Utilisation des dérivées partielles en géométrie.

12.Extrema d'une fonction de deux variables.

Les concepts de maximum, minimum et extremum d'une fonction à deux variables sont similaires aux concepts correspondants d'une fonction à une variable indépendante (voir section 25.4).

Soit la fonction z = ƒ(x;y) définie dans un domaine D, point N(x0;y0) О D.

Un point (x0;y0) est appelé point maximum de la fonction z=ƒ(x;y) s'il existe un d-voisinage du point (x0;y0) tel que pour tout point (x;y) différent de (xo;yo), de ce voisinage l'inégalité ƒ(x;y) est vraie<ƒ(хо;уо).

UN Le point minimum de la fonction est déterminé de la même manière : pour tous les points (x ; y) autres que (x0 ; y0), à partir du d-voisinage du point (xo ; yo) l'inégalité suivante est vraie : ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

Dans la figure 210 : N1 est le point maximum et N2 est le point minimum de la fonction z=ƒ(x;y).

La valeur de la fonction au point maximum (minimum) est appelée le maximum (minimum) de la fonction. Le maximum et le minimum d’une fonction sont appelés ses extrema.

Notez que, par définition, le point extremum de la fonction se situe à l’intérieur du domaine de définition de la fonction ; maximum et minimum ont un caractère local (local) : la valeur de la fonction au point (x0 ; y0) est comparée à ses valeurs en des points suffisamment proches de (x0 ; y0). Dans la région D, une fonction peut avoir plusieurs extrema ou aucun.

46.2. Nécessaire et conditions suffisantes extrême

Considérons les conditions d'existence d'un extremum d'une fonction.

Théorème 46.1 (conditions nécessaires pour un extremum). Si au point N(x0;y0) la fonction différentiable z=ƒ(x;y) a un extremum, alors ses dérivées partielles en ce point sont égales à zéro : ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Corrigeons l'une des variables. Disons par exemple y=y0. On obtient alors une fonction ƒ(x;y0)=φ(x) d'une variable, qui a un extremum en x = x0. Par conséquent, selon la condition nécessaire pour l'extremum d'une fonction d'une variable (voir section 25.4), φ"(x0) = 0, soit ƒ"x(x0;y0)=0.

De même, on peut montrer que ƒ"y(x0;y0) = 0.

Géométriquement, les égalités ƒ"x(x0;y0)=0 et ƒ"y(x0;y0)=0 signifient qu'au point extremum de la fonction z=ƒ(x;y) le plan tangent à la surface représentant la fonction ƒ(x;y) ), est parallèle au plan Oxy, puisque l'équation du plan tangent est z=z0 (voir formule (45.2)).

Z note. Une fonction peut avoir un extremum aux points où au moins une des dérivées partielles n'existe pas. Par exemple, la fonction a un maximum au point O(0;0) (voir Fig. 211), mais n'a pas de dérivées partielles à ce point.

Le point auquel les dérivées partielles du premier ordre de la fonction z ≈ ƒ(x; y) sont égales à zéro, c'est-à-dire f"x=0, f"y=0, est appelé point stationnaire de la fonction z.

Les points stationnaires et les points pour lesquels au moins une dérivée partielle n'existe pas sont appelés points critiques.

Aux points critiques, la fonction peut avoir ou non un extremum. L'égalité des dérivées partielles à zéro est une condition nécessaire mais non suffisante pour l'existence d'un extremum. Considérons, par exemple, la fonction z = xy. Pour cela, le point O(0; 0) est critique (y z"x=y et z"y - x disparaissent). Cependant, la fonction z=xy n'a pas d'extremum, puisque dans un voisinage suffisamment petit du point O(0; 0) il y a des points pour lesquels z>0 (points du premier et du troisième quartier) et z< 0 (точки II и IV четвертей).

Ainsi, pour trouver les extrema d’une fonction dans un domaine donné, il faut soumettre chaque point critique de la fonction à des recherches complémentaires.

Théorème 46.2 (condition suffisante pour un extremum). Laisser entrer point stationnaire(xo;y0) et certains de ses voisinages, la fonction ƒ(x;y) a des dérivées partielles continues jusqu'au second ordre inclus. Calculons au point (x0;y0) les valeurs A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Notons

1. si Δ > 0, alors la fonction ƒ(x;y) au point (x0;y0) a un extremum : maximum si A< 0; минимум, если А > 0;

2. si Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Dans le cas de Δ = 0, il peut y avoir ou non un extremum au point (x0; y0). Des recherches supplémentaires sont nécessaires.

TÂCHES

Exemple. Trouvez les intervalles des fonctions croissantes et décroissantes. Solution. La première étape est trouver le domaine de définition d'une fonction. Dans notre exemple, l'expression au dénominateur ne doit pas aller à zéro, donc . Passons à la fonction dérivée : Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction sur la base d'un critère suffisant, on résout des inégalités sur le domaine de définition. Utilisons une généralisation de la méthode des intervalles. La seule vraie racine du numérateur est x = 2, et le dénominateur tend vers zéro à x = 0. Ces points divisent le domaine de définition en intervalles dans lesquels la dérivée de la fonction conserve son signe. Marquons ces points sur la droite numérique. On note classiquement par plus et moins les intervalles auxquels la dérivée est positive ou négative. Les flèches ci-dessous montrent schématiquement l'augmentation ou la diminution de la fonction sur l'intervalle correspondant. Ainsi, Et . À ce point x = 2 la fonction est définie et continue, elle doit donc être ajoutée aux intervalles croissants et décroissants. À ce point x = 0 la fonction n'est pas définie, nous n'incluons donc pas ce point dans les intervalles requis. Nous présentons un graphique de la fonction pour comparer les résultats obtenus avec celle-ci. Répondre: la fonction augmente avec , diminue sur l'intervalle (0; 2] .

Exemples.

Définir les intervalles de convexité et de concavité d'une courbe oui = 2 – X 2 .

Nous trouverons oui"" et déterminez où la dérivée seconde est positive et où elle est négative. oui" = –2X, oui"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

oui = e X. oui"" = e Parce que X x > 0 pour tout

oui = X 3 . oui"" = 6X, alors la courbe est concave partout. oui"" < 0 при X < 0 и oui, Que X"" > 0 à X < 0 кривая выпукла, а при X> 0. Par conséquent, lorsque

4. > 0 est concave. Étant donné la fonction z=x^2-y^2+5x+4y, le vecteur l=3i-4j et le point A(3,2). Trouvez dz/dl (si je comprends bien, la dérivée de la fonction dans la direction du vecteur), gradz(A), |gradz(A)|. Trouvons les dérivées partielles : z(par rapport à x)=2x+5 z(par rapport à y)=-2y+4 Trouvons les valeurs des dérivées au point A(3,2) : z(avec par rapport à x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(by y)(3,2)=-2*2+4=0 D'où, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Dérivée de la fonction z dans la direction du vecteur l : dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y)*cosb , a, b-angles du vecteur

l avec des axes de coordonnées. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Étant donné un système d'équationsou brièvement(X, oui)=0 (1)

Foui= F(XDéfinition. Le système (1) définit une fonction implicitement spécifiée) sur D R.

n X ) sur : ou brièvement(X , F(X)) = 0.

Si Théorème (existence et unicité de la cartographie, implicitement donné par le système

équations). LaisserPuis dans un quartier (X 0 Uoui = F(X) il existe une fonction unique (carte) définie dans ce quartier

 X Puis dans un quartier (X 0 ) : ou brièvement(X, F(X), tel queoui 0 = F(X 0 ).

))=0 etX 0 .

Cette fonction est continuellement différentiable dans un certain voisinage du point

5. Calcul des dérivées de fonctions implicites spécifiées par un système d'équations

(1)

Compte tenu du système oui= F(X) . Nous supposerons que les conditions du théorème d'existence et d'unicité pour la fonction implicite spécifiée par ce système d'équations sont satisfaites. Notons cette fonction X 0 Puis dans un quartier du point

les identités sont valides (2)

(F(x, f(x))=0) X Différencier ces identités par j

=0 (3)

on a Ces égalités peuvent s’écrire

, (3)

forme matricielle

ou sous forme développée ou brièvement(X, F(X))=0 Notez que le passage de l'égalité
, À X Et oui correspond aux règles de différenciation pour le cas où sont des points d’un espace unidimensionnel. Matrice
par condition n'est pas dégénérée, donc l'équation matricielle
a une solution . De cette façon, vous pouvez trouver les dérivées partielles du premier ordre des fonctions implicites

. Pour trouver les différentiels, nous notons = ,mourir = dx (2) j

=0 ,

, différenciant les égalités

. (4)

ou sous forme matricielle

Étendu (4) Tout comme dans le cas des dérivées partielles, la formule R.=1, on a la même forme que pour le cas des espaces à une dimension=1. p
. Pour trouver des dérivées partielles du second ordre, il faudra différencier les identités (3) (pour calculer les différentielles du second ordre, il faut différencier les identités (4) ). Ainsi, nous obtenons

où à travers UN les termes qui ne contiennent pas ceux requis sont indiqués
.

La matrice des coefficients de ce système de détermination des dérivées
sert de matrice jacobienne .

Une formule similaire peut être obtenue pour les différentiels. Dans chacun de ces cas, il en résultera équation matricielle avec la même matrice de coefficients dans un système d’équations pour déterminer les dérivées ou différentielles souhaitées. La même chose se produira lors des différenciations suivantes.

Exemple 1. Rechercher ,,à ce point toi=1, v=1.

Solution. Différencier les égalités données

(5)

Notez que selon la formulation du problème, il faut considérer les variables indépendantes X, oui. Les fonctions seront alors z, toi, v. Ainsi, le système (5) doit être résolu concernant les inconnues du, dv, dz . Sous forme matricielle, cela ressemble à ceci

Résolvons ce système en utilisant la règle de Cramer. Déterminant de la matrice des coefficients

, Le troisième déterminant « substitué » à dz sera égal (on le calcule en développant sur la dernière colonne)

, Alors

dz =
, Et
,
.

Différencions (5) encore ( X, oui – variables indépendantes)

La matrice des coefficients du système est la même, le troisième déterminant

En résolvant ce système, on obtient une expression pour d 2 z où vous pouvez trouver la dérivée souhaitée.

Fonctions implicites définies par un système d'équations

Étant donné un système d'équations

ou brièvement F(x,y)= 0. (6.7)

Définition. Système(6.7)définit implicitement fonction donnée y = f(X)sur DÌR n

si "xÎD:F(x, f(X)) = 0.

Théorème (existence et unicité d'une cartographie implicitement définie par un système d'équations).Laisser

1) F je(x,y)de (6.4) sont définis et ont des dérivées partielles continues du premier ordre, (i= 1,…,p,k= 1,…,n,j= 1,…,p) au voisinage de U(M 0)points M 0 (X 0 ,oui 0), X 0 = , oui 0 =

2)F(M 0)=0,

3) dét.

Puis dans un quartier U(X 0)il existe une fonction unique (carte) définie dans ce quartier y = f(X), tel que

"xО U(X 0) :F(x, f(X))=0Andy 0 = f(X 0).

Cette fonction est continûment différentiable dans un certain voisinage du point x 0 .

5. Calcul des dérivées de fonctions implicites spécifiées par un système d'équations

Nous supposerons que les conditions du théorème d'existence et d'unicité pour la fonction implicite spécifiée par ce système d'équations sont satisfaites. Notons cette fonction y = f(X) . Puis dans un quartier du point X 0 les identités sont valides

Différencier ces identités par xj j

= 0.(6.9)

Ces égalités peuvent s'écrire sous forme matricielle

ou sous forme développée

Notez que le passage de l'égalité ou brièvement(x, f(X))=0k , correspond aux règles de différenciation pour le cas où X Et oui sont des points d’un espace unidimensionnel. Par condition, la matrice n'est pas singulière, donc l'équation matricielle a une solution. De cette manière, il est possible de trouver des dérivées partielles du premier ordre de fonctions implicites. Pour trouver les différentiels, nous notons

dy = , dx =, en différenciant les égalités (6.8), on obtient

ou sous forme matricielle

Tout comme dans le cas des dérivées partielles, la formule (6.10) a la même forme que pour le cas des espaces à une dimension m= 1, p= 1. La solution de cette équation matricielle s’écrira sous la forme. Pour trouver des dérivées partielles du second ordre, vous devrez différencier les identités (6.9) (pour calculer les différentielles du second ordre, vous devrez différencier les identités (6.10)). Ainsi, nous obtenons

où à travers UN les termes qui ne contiennent pas ceux requis sont indiqués.

La matrice des coefficients de ce système de détermination des dérivées est la matrice jacobienne.

Une formule similaire peut être obtenue pour les différentiels. Dans chacun de ces cas, une équation matricielle sera obtenue avec la même matrice de coefficients dans le système d'équations pour déterminer les dérivées ou différentielles souhaitées. La même chose se produira lors des différenciations suivantes.

Exemple 1. Trouver, à un moment donné tu= 1,v= 1.

Solution. Différencier les égalités données

Notez que des conditions du problème, il s'ensuit que nous devons considérer les variables indépendantes x, y. Les fonctions seront alors z, toi, v. Ainsi, le système (6.11) doit être résolu par rapport aux inconnues du, dv, dz. Sous forme matricielle, cela ressemble à ceci

Résolvons ce système en utilisant la règle de Cramer. Déterminant de la matrice des coefficients

Le troisième déterminant « substitué » à dz sera égal (on le calcule en développant sur la dernière colonne)

dz = , Et, .

Dérivons encore une fois (6.11) ( x, y – variables indépendantes)

La matrice des coefficients du système est la même, le troisième déterminant

En résolvant ce système, on obtient une expression pour d 2 z où vous pouvez trouver la dérivée souhaitée.

6.3. Mappages différenciables

Mappages dérivés. Expositions régulières. Conditions nécessaires et suffisantes pour la dépendance fonctionnelle.

Nous apprendrons à trouver des dérivées de fonctions spécifiées implicitement, c'est-à-dire spécifiées par certaines équations reliant les variables X Et oui. Exemples de fonctions spécifiées implicitement :

Les dérivées de fonctions spécifiées implicitement, ou dérivées de fonctions implicites, se trouvent tout simplement. Examinons maintenant la règle et l'exemple correspondants, puis découvrons pourquoi cela est nécessaire en général.

Afin de trouver la dérivée d'une fonction spécifiée implicitement, vous devez différencier les deux côtés de l'équation par rapport à x. Les termes dans lesquels seul X est présent deviendront la dérivée habituelle de la fonction de X. Et les termes du jeu doivent être différenciés à l'aide de la règle de différenciation d'une fonction complexe, puisque le jeu est fonction de X. Pour faire simple, la dérivée résultante du terme avec x devrait donner : la dérivée de la fonction à partir du y multipliée par la dérivée du y. Par exemple, la dérivée d'un terme s'écrira , la dérivée d'un terme s'écrira . Ensuite, à partir de tout cela, vous devez exprimer ce « coup de jeu » et la dérivée souhaitée de la fonction spécifiée implicitement sera obtenue. Regardons cela avec un exemple.

Exemple 1.

Solution. Nous différencions les deux côtés de l'équation par rapport à x, en supposant que i est fonction de x :

De là, nous obtenons la dérivée requise dans la tâche :

Parlons maintenant de la propriété ambiguë des fonctions spécifiées implicitement et de la raison pour laquelle des règles spéciales pour leur différenciation sont nécessaires. Dans certains cas, vous pouvez vérifier que la substitution dans équation donnée(voir exemples ci-dessus) au lieu de y, son expression par x conduit au fait que cette équation se transforme en identité. Donc. L'équation ci-dessus définit implicitement les fonctions suivantes :

Après avoir substitué l'expression du jeu au carré passant par x dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité :

Les expressions que nous avons substituées ont été obtenues en résolvant l’équation du jeu.

Si l’on différenciait la fonction explicite correspondante

alors nous obtiendrions la réponse comme dans l'exemple 1 - à partir d'une fonction spécifiée implicitement :

Mais toutes les fonctions spécifiées implicitement ne peuvent pas être représentées sous la forme oui = F(X) . Ainsi, par exemple, les fonctions implicitement spécifiées

ne s'expriment pas à travers fonctions élémentaires, c'est-à-dire que ces équations ne peuvent pas être résolues par rapport au joueur. Par conséquent, il existe une règle pour différencier une fonction spécifiée implicitement, que nous avons déjà étudiée et que nous appliquerons de manière cohérente dans d'autres exemples.

Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement :

On exprime le premier et - en sortie - la dérivée de la fonction spécifiée implicitement :

Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement :

Solution. Nous différencions les deux côtés de l’équation par rapport à x :

Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement :

Solution. Nous différencions les deux côtés de l’équation par rapport à x :

On exprime et obtient la dérivée :

Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction donnée implicitement :

Solution. Nous déplaçons les termes du côté droit de l’équation vers la gauche et laissons zéro à droite. Nous différencions les deux côtés de l’équation par rapport à x.