Résolution d'équations différentielles d'ordre n. Différentiel linéaire

Systèmes différentiels linéaires équations.

Le système d'équations différentielles s'appelle linéaire, si elle est linéaire par rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées. système n-les équations linéaires du 1er ordre s'écrivent sous la forme :

Les coefficients du système sont const.

Il est pratique d'écrire ce système dans forme matricielle: ,

où est un vecteur colonne de fonctions inconnues dépendant d'un argument.

Vecteur colonne des dérivées de ces fonctions.

Vecteur de colonne de membres gratuits.

Matrice de coefficients.

Théorème 1 : Si tous les coefficients matriciels UN sont continues sur un certain intervalle et , puis dans un certain voisinage de chaque m. Les conditions TS&E sont remplies. Par conséquent, une seule courbe intégrale passe par chacun de ces points.

En effet, dans ce cas, les membres droits du système sont continus par rapport à l'ensemble des arguments et leurs dérivées partielles par rapport à (égales aux coefficients de la matrice A) sont limitées, du fait de la continuité sur un intervalle fermé.

Méthodes de résolution des SLD

1. Un système d'équations différentielles peut être réduit à une seule équation en éliminant les inconnues.

Exemple: Résolvez le système d'équations : (1)

Solution: exclure zà partir de ces équations. De la première équation nous avons . En remplaçant dans la deuxième équation, après simplification on obtient : .

Ce système d'équations (1) réduit à une seule équation du second ordre. Après avoir trouvé à partir de cette équation oui, devrait être trouvé z, en utilisant l'égalité.

2. Lorsqu’on résout un système d’équations en éliminant des inconnues, on obtient généralement une équation plus ordre élevé, par conséquent, dans de nombreux cas, il est plus pratique de résoudre le système en trouvant combinaisons intégrées.

Suite 27b

Exemple: Résoudre le système

Solution:

Décidons ce système La méthode d'Euler. Écrivons le déterminant pour trouver la caractéristique

équation : , (le système étant homogène, pour qu'il ait une solution non triviale, il faut que ce déterminant soit égal à zéro). On obtient une équation caractéristique et on trouve ses racines :

La solution générale est : ;

- vecteur propre.

Nous écrivons la solution pour : ;

- vecteur propre.

Nous écrivons la solution pour : ;

On obtient la solution générale : .

Allons vérifier:

trouvons : et substituons-le dans la première équation de ce système, c'est-à-dire .

On a:

- une véritable égalité.

Différentiel linéaire. équations du nième ordre. Théorème sur décision générale hétérogène équation linéaire nième ordre.

Une équation différentielle linéaire du nième ordre est appelée équation de la forme: (1)

Si cette équation a un coefficient, alors en divisant par celui-ci, on arrive à l'équation : (2) .

Généralement des équations du type (2). Supposons que chez toi (2) toutes les chances, ainsi que f(x) continu sur un certain intervalle (un B). Alors, selon TS&E, l’équation (2) Il a seule décision, satisfaisant les conditions initiales : , , …, avec . Ici - n'importe quel point de l'intervalle (un B), et tout - n'importe lequel nombres donnés. L'équation (2) satisfait TC&E , n'a donc pas solutions spéciales.

Déf. : spécial les points sont ceux auxquels =0.

Propriétés d'une équation linéaire :

1. Une équation linéaire le reste pour tout changement de la variable indépendante.
2. Une équation linéaire le reste pour tout changement linéaire de la fonction souhaitée.

Déf : si dans l'équation (2) mettre f(x)=0, alors on obtient une équation de la forme : (3) , qui est appelée équation homogène absolument pas équation homogène (2).

Introduisons en considération différentiel linéaire opérateur: (4). En utilisant cet opérateur, vous pouvez le réécrire forme abrégéeéquations (2) Et (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Opérateur (4) a ce qui suit propriétés simples:

De ces deux propriétés un corollaire peut être déduit : .

Fonction y=y(x) est une solution de l'équation inhomogène (2), Si L(y(x))=f(x), Alors f(x) appelé la solution de l’équation. Donc la solution de l'équation (3) appelé la fonction y(x), Si L(y(x))=0 sur les intervalles considérés.

Considérer équation linéaire inhomogène : , L(y)=f(x).

Supposons que nous ayons trouvé une solution particulière d’une manière ou d’une autre, alors .

Introduisons une nouvelle fonction inconnue z selon la formule : , où est une solution particulière.

Remplaçons-le dans l'équation : , ouvrons les parenthèses et obtenons : .

L’équation résultante peut être réécrite comme suit :

Puisque est une solution particulière à l’équation originale, alors , alors .

Ainsi, nous avons obtenu une équation homogène par rapport à z. La solution générale de cette équation homogène est une combinaison linéaire : , où les fonctions - sont système fondamental solutions d’une équation homogène. Remplacement z dans la formule de remplacement, on obtient : (*) pour la fonction oui– fonction inconnue de l'équation d'origine. Toutes les solutions de l’équation originale seront contenues entre (*).

Ainsi, la solution générale de la droite inhomogène. L'équation est représentée comme la somme d'une solution générale d'une équation linéaire homogène et d'une solution particulière d'une équation inhomogène.

(suite de l'autre côté)

30. Théorème d'existence et d'unicité de la solution du différentiel. équations

Théorème: Si dans l'équation. partie droite continu dans un rectangle et est limité, et satisfait également la condition de Lipschitz : , N=const, alors il existe une unique solution qui satisfait les conditions initiales et est définie sur le segment , Où .

Preuve:

Considérons l'ensemble espace métrique AVEC, dont les points sont toutes les fonctions continues possibles y(x) définies sur l'intervalle , dont les graphiques se trouvent à l'intérieur du rectangle, et la distance est déterminée par l'égalité : . Cet espace est souvent utilisé en analyse mathématique et est appelé espace convergence uniforme , puisque la convergence dans la métrique de cet espace est uniforme.

Remplaçons le différentiel. équation avec des données conditions initialesà une équation intégrale équivalente : et considérons l'opérateur A(o), égal au membre droit de cette équation : . Cet opérateur correspond à chaque fonction continue

En utilisant l'inégalité de Lipschitz, on peut écrire que la distance . Maintenant, choisissons-en un pour lequel l'inégalité suivante: .

Vous devriez alors choisir de telle sorte que . Nous avons donc montré cela.

Selon le principe des cartographies de contraction, il existe un seul point ou, ce qui revient au même, une seule fonction - une solution d'une équation différentielle qui satisfait les conditions initiales données.

n-ième commande

Théorème. Si oui 0- solution d'une équation homogène L[o]=0, et 1- solution de l'équation inhomogène correspondante L[y] = f(x), alors la somme oui 0 + oui 1 est la solution de cette équation inhomogène.

La structure de la solution générale de l'équation inhomogène est déterminée par le théorème suivant.

Théorème. Si Oui- solution particulière de l'équation L[y] = f(x) Avec coefficients continus, - solution générale de l'équation homogène correspondante L[y] = 0, alors la solution générale de cette équation inhomogène est déterminée par la formule

Commentaire. Pour écrire la solution générale d'une équation linéaire inhomogène, il est nécessaire de trouver une solution particulière à cette équation et une solution générale à l'équation homogène correspondante.

Équations inhomogènes linéaires n

Considérons l'équation inhomogène linéaire n-ième ordre à coefficients constants

Où un 1, un 2, …, un - nombres réels. Écrivons l'équation homogène correspondante

La solution générale de l'équation inhomogène est déterminée par la formule

Solution générale d'une équation homogène oui 0 on peut trouver, une solution particulière Oui peut être trouvé par coefficients incertains dans les cas simples suivants :

DANS cas général La méthode de variation de constantes arbitraires est utilisée.

Méthode de variation de constantes arbitraires

Considérons l'équation inhomogène linéaire n-ième ordre à coefficients variables

Si trouver une solution particulière à cette équation s'avère difficile, mais que la solution générale de l'équation homogène correspondante est connue, alors la solution générale de l'équation inhomogène peut être trouvée méthode de variation de constantes arbitraires.

Soit l'équation homogène correspondante

a une solution générale

Nous chercherons une solution générale à l'équation inhomogène sous la forme

Où oui 1 =oui 1 (x), oui 2 =oui 2 (x), …, oui n = oui n (x) sont des solutions linéairement indépendantes d'une équation homogène incluse dans sa solution générale, et C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- fonctions inconnues. Pour trouver ces fonctions, soumettons-les à certaines conditions.

Trouvons la dérivée

Nous exigeons que la somme dans la deuxième tranche soit égale à zéro, c'est-à-dire

Trouvons la dérivée seconde

et nous exigerons que

En poursuivant un processus similaire, nous obtenons

Dans ce cas, on ne peut pas exiger que la somme de la deuxième tranche disparaisse, puisque les fonctions C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) déjà subordonné n-1 conditions, mais vous devez toujours satisfaire l’équation inhomogène d’origine.

Équations différentiellesn-ième ordre.

Si l’équation peut être résolue par rapport à la dérivée la plus élevée, alors elle a la forme (1). Une équation du nième ordre peut également être représentée comme un système de n équations du premier ordre.

(3)

Pour une équation d'ordre n, les conditions du théorème d'existence et d'unicité du système sont satisfaites puisque (1)~(2)~(3).

Les cas les plus simples de réduction de commande.

L'équation ne contient pas la fonction recherchée et sa dérivée à l'ordre k -1 inclus , c'est

Dans ce cas la commande peut être réduite à
remplacement. Si nous exprimons cette équation, alors la solution y peut être déterminée par la fonction intégrable k fois p.

Exemple.
.

Équation ne contenant aucune variable inconnue

(5)

Dans ce cas, l'ordre peut être réduit d'un par substitution.

Exemple.
.

Côté gauche de l'équation

(6)

est la dérivée d'une expression différentielle ( n -1)ième commande .
. Si
- une solution à la dernière équation existe donc. Nous avons obtenu la première intégrale de l’équation (6) et avons réduit de un le degré de résolution de l’équation.

Commentaire. Parfois, le côté gauche de (6) devient la dérivée d'une équation différentielle d'ordre (n-1) uniquement lorsqu'elle est multipliée par
par conséquent, des solutions inutiles peuvent apparaître ici (inversion à zéro) ou nous risquons de perdre la solution si fonction discontinue.

Exemple.

L'équation

(7)

homogène par rapport à et ses dérivés .

Ou où est l'indicateur
est déterminée à partir des conditions d’homogénéité.

L'ordre de cette équation peut être réduit de un en remplaçant : .

Si l'on substitue ces relations dans (7) et prend en compte l'homogénéité de la fonction F , alors au final on obtient : .

Exemple.
.

Équations différentielles du second ordre,

permettant une réduction de la commande.

Substitution
.

Si l’équation (8) peut être résolue par rapport à la dérivée la plus élevée, alors l’équation (8) peut être résolue par rapport à la dérivée la plus élevée, alors l’équation (8).
est intégré deux fois sur la variable X.

Vous pouvez introduire un paramètre et remplacer l'équation (8) par sa représentation paramétrique :
. Utilisation de la relation pour les différentiels :
, on obtient : et

II .
(9)

Utilisons la représentation paramétrique :

III.
. (10)

Vous pouvez réduire la commande en remplaçant :
.

Si l'équation (10) peut être résolue par rapport à la dérivée la plus élevée
, puis multipliez le bon et côté gauche sur
. On obtient : Il s’agit d’une équation à variables séparables :
.

L'équation (10) peut être remplacée par sa représentation paramétrique : . Utilisons les propriétés du différentiel :.

Exemple.
.

Équations différentielles linéairesn-ième ordre.

Définition. Équations différentielles linéaires n -ième commande sont appelées équations de la forme :
. (1)

Si les chances continu pendant
, puis au voisinage de tout Valeurs initiales comme où appartient à l'intervalle, alors au voisinage de ces valeurs initiales les conditions sont satisfaites théorèmes d'existence et d'unicité. La linéarité et l'homogénéité de l'équation (1) sont préservées sous toute transformation
, Où est une fonction arbitraire nfois différentiable. De plus
. La linéarité et l'homogénéité sont préservées lorsque la fonction inconnue est transformée de manière linéaire et homogène.

Introduisons un opérateur différentiel linéaire : , alors (1) peut s'écrire comme suit :
. Le déterminant de Wronski pour
ressemblera:

, Où - solutions linéairement indépendantes à l'équation (1).

Théorème 1. Si fonctions linéairement indépendantes
est une solution d'une équation linéaire homogène (1) avec une
coefficients
, alors le déterminant de Wronski
ne disparaît à aucun moment du segment
.

Théorème 2. La solution générale de l'équation linéaire homogène (1) avec continue
coefficients
il y aura une combinaison linéaire de solutions , c'est
(2), où
linéairement indépendant sur le segment
solutions privées (1).

(prouvé de manière similaire au cas d'un système d'équations différentielles linéaires)

Conséquence. Le nombre maximum est linéaire décisions indépendantes(1) est égal à son ordre.

Connaître une solution particulière non triviale à l'équation (1) -
, vous pouvez faire une substitution
et abaisser l'ordre de l'équation tout en conservant sa linéarité et son hétérogénéité. Habituellement, cette substitution est divisée en deux. Puisqu’il s’agit d’une représentation linéairement homogène, elle préserve la linéarité et l’homogénéité de (1), ce qui signifie que (1) doit être réduit à la forme. La décision
En vertu de
correspond à la solution
, et donc
. Après avoir effectué un remplacement
, on obtient une équation de la commande
.

Lemme. (3)

Deux équations de la forme (3) et (4), où Q i et P i sont des fonctions continues qui ont un système fondamental commun de solutions, coïncident, c'est-à-dire Q je (x)= P je (x), je=1,2,…n,  x

Sur la base du lemme, nous pouvons conclure que le système fondamental de solutions y 1 y 2 …y n détermine complètement l'équation linéaire homogène (3).

Trouvons la forme de l'équation (3), qui a un système fondamental de solutions y 1 y 2 …y n . Toute solution oui(X) l'équation (3) dépend linéairement du système fondamental de solutions, ce qui signifie que W=0. Développons le déterminant de Wronski W sur la dernière colonne.

L'équation (5) est l'équation différentielle linéaire souhaitée ayant un système donné de solutions fondamentales. On peut diviser (5) par W, car il n'est pas égal à zéro  x. Alors:

(*)

Selon la règle de différenciation du déterminant, la dérivée du déterminant est égale à la somme de i=1,2...n déterminants dont la i-ème ligne de chacun est égale à la dérivée du i- ème ligne du déterminant d’origine. Dans cette somme, tous les déterminants sauf le dernier sont égaux à zéro (puisqu'ils ont deux droites identiques), et le dernier est égal à (*). Ainsi, nous obtenons :

, Alors:
(6)

(7)

Définition. Les formules (6) et (7) sont appelées Formules Ostrogradsky-Liouville.

Nous utilisons (7) pour intégrer une équation homogène linéaire du second ordre. Et faisons-nous connaître une des solutions y 1 de l'équation (8).

D’après (7), toute solution (8) doit satisfaire la relation suivante :

(9)

Utilisons la méthode du facteur d'intégration.

Équations homogènes linéaires avec

coefficients constants.

Si dans une équation linéaire homogène tous les coefficients sont constants,

une 0 y (n) +une 1 y (n-1) +….+une n y=0, (1)

alors des solutions particulières (1) peuvent être définies comme : y=e kx, où k est une constante.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Définition. (3) - équation caractéristique.

Le type de solution (1) est déterminé par les racines de l'équation caractéristique (3).

1). Toutes les racines sont réelles et distinctes , Alors:

2). Si tous les coefficients sont réels, alors les racines peuvent être complexes conjuguées .

k 1 =+i k 2 =-i

Alors les solutions ont la forme :

D'après le théorème : si un opérateur à coefficients réels a des solutions conjuguées complexes, alors ses parties réelles et imaginaires sont également des solutions. Alors:

Exemple.

Présentons la solution sous la forme
, alors l'équation caractéristique a la forme :

, on obtient deux solutions :

alors la fonction recherchée est :

3). Il existe plusieurs racines : k je avec multiplicité  je . Dans ce cas, le nombre de solutions différentes
sera plus petit, vous devez donc rechercher les solutions linéairement indépendantes manquantes sous une forme différente. Par exemple:

Preuve:

Disons k i =0, si on le substitue dans (3), on obtient ça, alors :

- des solutions particulières (3).

Soit k i 0, faisons le remplacement
(6)

En remplaçant (6) dans (1), on obtient par rapport à z une équation linéaire homogène d'ordre n à coefficients constants (7).

Les racines (3) diffèrent des racines de l'équation caractéristique (7) par le terme k i .

(8)

Si k=k i , alors ce k correspond à la solution de l'équation (7) de racine p=0, soit correspondent à des solutions de la forme z=
, alors y= est la solution de l'équation (1). Et la solution générale ressemble à :

solution pour k je



L'équation d'Euler.

Définition. Équation de la forme :

a i sont des coefficients constants, appelés L'équation d'Euler.

L'équation d'Euler en remplaçant x=e t est réduite à une équation linéaire homogène à coefficients constants.

Vous pouvez rechercher des solutions sous la forme y=x k, elles ont alors la forme :

Linéaire équations inhomogènes.

Si a 0 (x)0, alors en divisant l'équation (1) par ce coefficient, on obtient :

.

Si i et f sont continus sur b, alors (2) a une solution unique qui satisfait les conditions initiales correspondantes. Si nous exprimons explicitement les dérivées les plus élevées de (2), nous obtenons une équation dont le membre droit satisfait le théorème d’existence et d’unicité. Puisque l’opérateur L est linéaire, cela signifie que pour (2) ce qui suit est vrai :

1).
- solution (2), si - solution de l'équation inhomogène (2), et - solution de l'équation homogène correspondante.

2). Si - solutions
, Que
solution à l'équation
.

La propriété 2 est le principe de superposition, elle est valable lorsque
, si la série
- converge et admet m-différenciation multiple terme par terme.

3) Soit l'équation de l'opérateur
, où L est un opérateur à coefficients , Tous - réel. Les fonctions U et V sont également réelles. Alors, si cette équation a une solution
, alors la solution de la même équation sera à la fois la partie imaginaire et la partie réelle :
Et
. De plus, chacun d’eux correspond à la solution.

Théorème. Solution générale de l'équation inhomogènen- à propos
sur le segment [un, b] à condition que tous les coefficients
et côté droit
- les fonctions continues, peuvent être représentées comme la somme de la solution générale correspondant système homogène
et une solution particulière à la solution hétérogène -
.

Ceux. solution
.

S'il est impossible de sélectionner explicitement des solutions particulières d'un système inhomogène, vous pouvez alors utiliser la méthode variations de constante . Nous chercherons une solution sous la forme :

(3)

Où
solutions à un système homogène,
- fonctions inconnues.

Fonctions totalement inconnues
-n. Ils doivent satisfaire à l’équation originale (2).

En substituant l'expression y(x) dans l'équation (2), nous obtenons des conditions pour déterminer une seule fonction inconnue. Pour déterminer les (n-1)-fonctions de puits restantes, une (n-1)-mais condition supplémentaire est nécessaire, elles peuvent être choisies arbitrairement ; Choisissons-les pour que la solution (2) - y(x) ait la même forme que si
étaient des constantes.

,

parce que
se comportent comme des constantes, alors
, ce qui signifie
.

Que. nous obtenons la condition (n-1)-mais en plus de l'équation (1). Si nous substituons l'expression des dérivées dans l'équation (1) et prenons en compte toutes les conditions obtenues et le fait que y i est la solution du système homogène correspondant, alors nous obtenons la dernière condition pour
.

Passons au système :

(3)

Le déterminant du système (3) est (W) Le déterminant de Vronsky, et parce que y i sont des solutions d'un système homogène, alors W0 allumé .

Exemple. Équation inhomogène

, l'équation homogène correspondante

Nous recherchons une solution sous la formeoui= e kx . Équation caractéristiquek 2 +1=0, c'est-à-direk 1,2 =  je

oui= e ix = parce que X + je péché X, décision commune -

Utilisons la méthode de variation constante :

Conditions de
:

, ce qui équivaut à écrire :

D'ici:

Équations résolues par intégration directe

Considérons l'équation différentielle suivante :
.
Nous intégrons n fois.
;
;
et ainsi de suite. Vous pouvez également utiliser la formule :
.
Cm. Équations différentielles pouvant être résolues directement intégration > > >

Équations qui ne contiennent pas explicitement la variable dépendante y

La substitution abaisse l’ordre de l’équation de un. Voici une fonction de .
Cm. Équations différentielles d'ordres supérieurs qui ne contiennent pas de fonction sous forme explicite > > >

Équations qui n'incluent pas explicitement la variable indépendante x

.
Nous considérons que c'est une fonction de . Alors
.
De même pour les autres produits dérivés. En conséquence, l’ordre de l’équation est réduit de un.
Cm. Équations différentielles d'ordres supérieurs qui ne contiennent pas de variable explicite > > >

Equations homogènes par rapport à y, y′, y′′, ...

Pour résoudre cette équation, on fait la substitution
,
où est une fonction de . Alors
.
Nous transformons de la même manière les dérivés, etc. En conséquence, l’ordre de l’équation est réduit de un.
Cm. Équations différentielles d'ordre supérieur homogènes par rapport à une fonction et à ses dérivées > > >

Équations différentielles linéaires d'ordres supérieurs

Considérons équation différentielle homogène linéaire d'ordre n:
(1) ,
où sont les fonctions de la variable indépendante. Soit n solutions linéairement indépendantes à cette équation. Alors la solution générale de l’équation (1) a la forme :
(2) ,
où sont des constantes arbitraires. Les fonctions elles-mêmes forment un système fondamental de solutions.
Système de solution fondamentale d'une équation linéaire homogène du nième ordre sont n solutions linéairement indépendantes de cette équation.

Considérons équation différentielle inhomogène linéaire d'ordre n:
.
Supposons qu'il y ait une (n'importe quelle) solution particulière à cette équation. Alors la solution générale a la forme :
,
où est la solution générale de l'équation homogène (1).

Equations différentielles linéaires à coefficients constants et réductibles à ceux-ci

Équations linéaires homogènes à coefficients constants

Ce sont des équations de la forme :
(3) .
Voici des chiffres réels. Pour trouver une solution générale à cette équation, nous devons trouver n solutions linéairement indépendantes qui forment un système fondamental de solutions. Ensuite, la solution générale est déterminée par la formule (2) :
(2) .

Nous recherchons une solution sous la forme . On a équation caractéristique:
(4) .

Si cette équation a diverses racines, alors le système fondamental de solutions a la forme :
.

Si disponible racine complexe
,
alors il existe aussi une racine conjuguée complexe. Ces deux racines correspondent aux solutions et , que nous incluons plutôt dans le système fondamental Solutions intégrées Et .

Multiples de racines les multiplicités correspondent à des solutions linéairement indépendantes : .

Multiples racines complexes les multiplicités et leurs valeurs conjuguées complexes correspondent à des solutions linéairement indépendantes :
.

Équations inhomogènes linéaires avec une partie inhomogène spéciale

Considérons une équation de la forme
,
où sont les polynômes de degrés s 1 et s 2 ; - permanent.

Nous cherchons d’abord une solution générale à l’équation homogène (3). Si l'équation caractéristique (4) ne contient pas de racine, alors on cherche une solution particulière sous la forme :
,
Où
;
;
s - le plus grand des s 1 et s 2 .

Si l'équation caractéristique (4) a une racine multiplicité, alors on cherche une solution particulière sous la forme :
.

Après cela, nous obtenons la solution générale :
.

Équations inhomogènes linéaires à coefficients constants

Il y a ici trois solutions possibles.

1) Méthode Bernoulli.
Premièrement, nous trouvons toute solution non nulle à l’équation homogène
.
Ensuite, nous effectuons la substitution
,
où est une fonction de la variable x. Nous obtenons une équation différentielle pour u, qui ne contient que des dérivées de u par rapport à x. En effectuant la substitution, on obtient l'équation n - 1 - ème commande.

2) Méthode substitution linéaire .
Faisons une substitution
,
où est l'une des racines équation caractéristique(4). En conséquence, nous obtenons une équation linéaire inhomogène avec des coefficients d'ordre constants . En appliquant systématiquement cette substitution, on obtient équation originaleà une équation du premier ordre.

3) Méthode de variation des constantes de Lagrange.
Dans cette méthode, nous résolvons d’abord l’équation homogène (3). Sa solution ressemble à :
(2) .
Nous supposons en outre que les constantes sont des fonctions de la variable x. Alors la solution de l’équation originale a la forme :
,
où sont les fonctions inconnues. En substituant l'équation originale et en imposant quelques restrictions, nous obtenons des équations à partir desquelles nous pouvons trouver le type de fonctions.

L'équation d'Euler

Elle se réduit à une équation linéaire à coefficients constants par substitution :
.
Cependant, pour résoudre l’équation d’Euler, il n’est pas nécessaire de procéder à une telle substitution. Vous pouvez immédiatement rechercher une solution à l'équation homogène sous la forme
.
En conséquence, nous obtenons les mêmes règles que pour une équation à coefficients constants, dans laquelle au lieu d'une variable il faut substituer .

Les références:
V.V. Stepanov, Cours équations différentielles, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes sur mathématiques supérieures, "Lan", 2003.