Il existe plusieurs classes d'équations qui peuvent être résolues en les réduisant à des équations quadratiques. Une de ces équations est celle des équations biquadratiques.
Équations biquadratiques
Équations biquadratiques- ce sont des équations de la forme a*x^4 + b*x^2 + c = 0, où a n'est pas égal à 0.
Les équations biquadratiques sont résolues en utilisant la substitution x^2 =t. Après une telle substitution, nous obtenons une équation quadratique pour t. a*t^2+b*t+c=0. On résout l’équation résultante, on a cas général t1 et t2. Si à ce stade ça marche racine négative, il peut être exclu de la solution, puisque nous avons pris t=x^2, et que le carré de n'importe quel nombre est un nombre positif.
En revenant aux variables d'origine, nous avons x^2 =t1, x^2=t2.
x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).
Regardons un petit exemple :
9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.
Introduisons le remplacement t=x^2. Alors équation originale prendra la forme suivante :
9*t^2+5*t-4=0.
Résolvons-le équation quadratique n'importe quel méthodes connues, nous trouvons:
t1=4/9, t2=-1.
La racine -1 ne convient pas, puisque l'équation x^2 = -1 n'a pas de sens.
La deuxième racine 4/9 demeure. En passant aux variables initiales, nous avons l’équation suivante :
x^2 = 4/9.
x1=-2/3, x2=2/3.
Ce sera la solution de l’équation.
Répondre: x1=-2/3, x2=2/3.
Un autre type d’équation qui peut être réduit aux équations quadratiques est celui des équations rationnelles fractionnaires. Les équations rationnelles sont des équations dont les côtés gauche et droit sont expressions rationnelles. Si dans une équation rationnelle les côtés gauche ou droit sont expressions fractionnaires, alors une telle équation rationnelle est appelée fractionnaire.
Schéma de résolution d'une équation rationnelle fractionnaire
Schéma général de résolution de fractionnaires équation rationnelle.
1. Trouvez le dénominateur commun de toutes les fractions incluses dans l’équation.
2. Multipliez les deux côtés de l’équation par un dénominateur commun.
3. Résolvez l’équation entière résultante.
4. Vérifiez les racines et excluez celles qui font disparaître le dénominateur commun.
Regardons un exemple :
Résolvez l'équation rationnelle fractionnaire : (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Nous nous en tiendrons régime général. Trouvons d'abord le dénominateur commun de toutes les fractions.
On obtient x*(x-5).
Multipliez chaque fraction par un dénominateur commun et écrivez l’équation entière résultante.
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Simplifions l'équation résultante. On a,
x^2+3*x + x-5 - x-5 =0 ;
x^2+3*x-10=0 ;
A obtenu équation quadratique réduite simple. Nous le résolvons par l’une des méthodes connues, nous obtenons les racines x=-2 et x=5. Maintenant, nous vérifions les solutions obtenues. Remplacez les nombres -2 et 5 par le dénominateur commun.
À x=-2, le dénominateur commun x*(x-5) ne disparaît pas, -2*(-2-5)=14. Cela signifie que le nombre -2 sera la racine de l’équation rationnelle fractionnaire originale.
Lorsque x=5 le dénominateur commun x*(x-5) devient égal à zéro. Par conséquent, ce nombre n’est pas la racine de l’équation rationnelle fractionnaire originale, puisqu’il y aura une division par zéro.
Répondre: x=-2.
Travaux terminés
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Théorie générale de la résolution de problèmes à l'aide d'équations
Avant de passer à types spécifiques listons d'abord les problèmes théorie générale pour autorisation diverses tâches en utilisant des équations. Tout d'abord, les problèmes dans des disciplines telles que l'économie, la géométrie, la physique et bien d'autres sont réduits à des équations. Procédure générale pour résoudre des problèmes à l’aide d’équations est la suivante :
- Toutes les quantités que nous recherchons à partir des conditions problématiques, ainsi que toutes les valeurs auxiliaires, sont désignées par des variables qui nous conviennent. Le plus souvent, ces variables sont dernières lettres Alphabet latin.
- Utiliser les données dans les tâches valeurs numériques, ainsi que les relations verbales, une ou plusieurs équations sont compilées (selon les conditions du problème).
- Ils résolvent l’équation résultante ou leur système et proposent des solutions « illogiques ». Par exemple, si vous avez besoin de trouver la zone, alors un nombre négatif, sera évidemment une racine étrangère.
- Nous obtenons la réponse finale.
Exemple de problème en algèbre
Nous donnerons ici un exemple de problème qui se réduit à une équation quadratique sans s'appuyer sur un domaine spécifique.
Exemple 1
Trouvez deux de ces nombres irrationnels, en additionnant leurs carrés, le résultat sera cinq, et lorsqu'ils seront ajout normal trois les uns avec les autres.
Désignons ces nombres par les lettres $x$ et $y$. Selon les conditions du problème, il est assez simple de créer deux équations $x^2+y^2=5$ et $x+y=3$. On voit que l'un d'eux est carré. Pour trouver une solution, vous devez résoudre le système :
$\cases(x^2+y^2=5,\\x+y=3.)$
On exprime d'abord à partir du second $x$
Substitution dans la première et réalisation de transformations élémentaires
$(3-y)^2 +y^2=5$
9-6 $+y^2+y^2=5$
Nous sommes passés à la résolution de l’équation quadratique. Faisons cela en utilisant des formules. Trouvons le discriminant :
Première racine
$y=\frac(3+\sqrt(17))(2)$
Deuxième racine
$y=\frac(3-\sqrt(17))(2)$
Trouvons la deuxième variable.
Pour la première racine :
$x=3-\frac(3+\sqrt(17))(2)=\frac(3-\sqrt(17))(2)$
Pour la deuxième racine :
$x=3-\frac(3-\sqrt(17))(2)=\frac(3+\sqrt(17))(2)$
Puisque la séquence de nombres n’a pas d’importance pour nous, nous obtenons une paire de nombres.
Réponse : $\frac(3-\sqrt(17))(2)$ et $\frac(3+\sqrt(17))(2)$.
Exemple de problème de physique
Considérons un exemple de problème menant à la solution d'une équation quadratique en physique.
Exemple 2
Un hélicoptère volant uniformément par temps calme a une vitesse de 250$ km/h. Il doit voler de sa base jusqu'au lieu de l'incendie, situé à 70$ km et revenir. À ce moment-là, le vent soufflait vers la base, ralentissant le mouvement de l’hélicoptère vers la forêt. De ce fait, il est rentré à la base 1 heure plus tôt. Trouvez la vitesse du vent.
Notons la vitesse du vent par $v$. On obtient alors que l'hélicoptère volera vers la forêt avec une vitesse réelle égale à $250-v$, et retour sa vitesse réelle sera de $250+v$. Calculons le temps du trajet aller-retour et du trajet retour.
$t_1=\frac(70)(250-v)$
$t_2=\frac(70)(250+v)$
Puisque l'hélicoptère est revenu à la base $1$ heure plus tôt, nous aurons
$\frac(70)(250-v)-\frac(70)(250+v)=1$
Donne moi côté gaucheÀ dénominateur commun, appliquez la règle de proportion et effectuez des transformations élémentaires :
$\frac(17500+70v-17500+70v)((250-v)(250+v))=1$
140 $ v = 62 500-v ^ 2 $
$v^2+140v-62500=0$
Nous avons obtenu une équation quadratique pour résoudre ce problème. Résolvons-le.
Nous allons le résoudre en utilisant un discriminant :
$D=19600+250000=269600≈519^2$
L'équation a deux racines :
$v=\frac(-140-519)(2)=-329,5$ et $v=\frac(-140+519)(2)=189,5$
Puisque nous recherchions la vitesse (qui ne peut pas être négative), il est évident que la racine première est superflue.
Réponse : 189,5$
Exemple de problème en géométrie
Considérons un exemple de problème menant à la solution d'une équation quadratique en géométrie.
Exemple 3
Trouver la zone triangle rectangle, ce qui satisfait conditions suivantes: son hypoténuse est égale à 25$, et ses pattes sont dans le rapport de 4$ à 3$.
Afin de trouver la zone requise, nous devons trouver les jambes. Marquons une partie de la jambe via $x$. Ensuite, en exprimant les jambes via cette variable, nous constatons que leurs longueurs sont égales à $4x$ et $3x$. Ainsi, à partir du théorème de Pythagore, nous pouvons former l’équation quadratique suivante :
$(4x)^2+(3x)^2=625$
(la racine $x=-5$ peut être ignorée, puisque la jambe ne peut pas être négative)
Nous avons constaté que les jambes sont égales respectivement à 20 $ et 15 $, ce qui signifie que l'aire
$S=\frac(1)(2)\cdot 20\cdot 15=150$
Leçon 1
Type de cours : leçon d'apprentissage de nouveau matériel.
Format du cours : conversation.
Cible: développer la capacité de résoudre des équations réduites aux équations quadratiques.
Tâches:
- présenter aux élèves l'une des façons de résoudre des équations ;
- développer des compétences pour résoudre de telles équations ;
- créer les conditions pour la formation de l'intérêt pour le sujet et le développement de la pensée logique ;
- assurer des relations personnelles et humaines entre les participants au processus éducatif.
Plan de cours:
1. Organisation du temps.
3. Étudier du nouveau matériel.
4. Consolidation du nouveau matériel.
5. Devoirs.
6. Résumé de la leçon.
PENDANT LES COURS
1. Moment organisationnel
Professeur:« Les gars, aujourd'hui, nous commençons à étudier les points importants et sujet intéressant«Équations réductibles aux équations quadratiques». Vous connaissez le concept d'une équation quadratique. Rappelons ce que nous savons sur ce sujet."
Les écoliers reçoivent des instructions :
- N'oubliez pas les définitions associées à ce sujet.
- Rappelez-vous les méthodes de résolution des équations connues.
- Souvenez-vous de vos difficultés lorsque vous accomplissez des tâches sur des sujets « proches » de celui-ci.
- Rappelez-vous les moyens de surmonter les difficultés.
- Réfléchissez aux tâches de recherche possibles et aux moyens de les réaliser.
- Rappelez-vous où les problèmes précédemment résolus ont été appliqués.
Les élèves rappellent la forme d'une équation quadratique complète, une équation quadratique incomplète, les conditions de résolution d'une équation quadratique complète, les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes, le concept d'équation entière, le concept de degré.
L'enseignant propose de résoudre les équations suivantes (travail en binôme) :
une) x 2 – 10x + 21 = 0
b) 3x2 + 6x + 8 = 0
c) x (x – 1) + x 2 (x – 1) = 0
Un des élèves commente la solution de ces équations.
3. Apprendre du nouveau matériel
L'enseignant propose de considérer et de résoudre l'équation suivante ( tâche problématique):
(x 2 – 5x + 4) (x 2 – 5x + 6) = 120
Les élèves parlent du degré d'une équation donnée et suggèrent de multiplier ces facteurs. Mais certains étudiants remarquent les mêmes termes dans cette équation. Quelle méthode de résolution peut être appliquée ici ?
L'enseignant invite les élèves à se tourner vers le manuel (Yu. N. Makarychev « Algebra-9 », paragraphe 11, p. 63) et à comprendre la solution de cette équation. La classe est divisée en deux groupes. Les étudiants qui comprennent la méthode de résolution effectuent les tâches suivantes :
une) (x 2 + 2x) (x 2 +2x + 2) = –1
b) (x 2 – 7) 2 – 4 (x 2 – 7) – 45 = 0,
le reste est algorithme de solution ces équations et analyser la solution de l’équation suivante avec l’enseignant.
(2x 2 + 3) 2 – 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0.
Algorithme:
– saisir une nouvelle variable ;
– créer une équation contenant cette variable ;
- résous l'équation;
– substituer les racines trouvées dans la substitution ;
– résoudre l'équation avec la variable initiale ;
– vérifiez les racines trouvées, notez la réponse.
4. Consolidation du nouveau matériel
Travaillez en binôme : le « fort » explique, le « faible » répète, décide.
Résous l'équation:
une) 9x 3 – 27x 2 = 0
b)x 4 – 13x 2 + 36 = 0
Professeur:"Rappelons-nous où d'autre nous avons utilisé la résolution d'équations quadratiques ?"
Étudiants:« Lors de la résolution des inégalités ; lors de la recherche du domaine de définition d'une fonction ; lors de la résolution d’équations avec un paramètre.
L'enseignant propose des devoirs optionnels. La classe est divisée en 4 groupes. Chaque groupe explique la solution à sa tâche.
a) Résolvez l'équation :
b) Trouver le domaine de définition de la fonction :
c) À quelles valeurs UN l'équation n'a pas de racines :
d) Résolvez l'équation : x + – 20 = 0.
5. Devoirs
N° 221(a, b, c), n° 222(a, b, c).
L'enseignant propose de préparer des messages :
1. " Information historique sur la création de ces équations" (basé sur des matériaux provenant d'Internet).
2. Méthodes de résolution d'équations sur les pages du magazine Kvant.
Tâches nature créative Effectuez comme vous le souhaitez dans des cahiers séparés :
une) x 6 + 2x 4 – 3x 2 = 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x – 2) – (x 2 + x – 5) / (x 2 + x – 4) = 1
6. Résumé de la leçon
Les gars nous disent ce qu'ils ont appris de nouveau pendant la leçon, quelles tâches ont causé des difficultés, où ils les ont appliquées et comment ils évaluent leurs performances.
Leçon 2
Type de cours : leçon sur la consolidation des compétences et des capacités.
Format du cours : atelier de cours.
Cible: consolider les connaissances acquises, développer la capacité à résoudre des équations sur ce sujet.
Tâches:
- développer la capacité de résoudre des équations réduites aux équations quadratiques ;
- développer des capacités de réflexion indépendantes;
- développer la capacité d'effectuer des analyses et de rechercher des informations manquantes ;
- cultiver l'activité, l'indépendance, la discipline.
Plan de cours:
1. Moment organisationnel.
2. Actualiser l'expérience subjective des étudiants.
3. Résolution de problèmes.
4. Travail indépendant.
5. Devoirs.
6. Résumé de la leçon.
PENDANT LES COURS
1. Moment organisationnel
Professeur:“Dans la dernière leçon, nous avons appris les équations qui peuvent être réduites aux équations quadratiques. Quel mathématicien a contribué à la résolution des équations des troisième et quatrième degrés ?
L'étudiant qui a préparé le message parle des mathématiciens italiens du XVIe siècle.
2. Actualisation de l'expérience subjective
1) Vérification des devoirs
Un élève est appelé au tableau et résout des équations similaires à celles de la maison :
a) (x 2 – 10) 2 – 3 (x 2 – 10) – 4 = 0
b) x 4 – 10 x 2 + 9 = 0
A cette époque, pour combler les lacunes dans les connaissances, les élèves « faibles » reçoivent des cartes. L'élève « faible » commente la solution à l'élève « fort », l'élève « fort » marque la solution avec des signes « + » ou « – ».
2) Répétition du matériel théorique
Les étudiants sont invités à remplir un tableau tel que :
Les élèves remplissent la troisième colonne à la fin de la leçon.
La tâche accomplie au tableau est vérifiée. Un exemple de solution reste au tableau.
3. Résolution de problèmes
L'enseignant propose un choix entre deux groupes d'équations. La classe est divisée en deux groupes. L'un effectue des tâches selon le modèle, l'autre recherche de nouvelles méthodes pour résoudre des équations. Si les décisions causent des difficultés, les élèves peuvent alors se tourner vers un modèle : le raisonnement.
a) (2x 2 + 3) 2 – 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0 a) (5x – 63) (5 x – 18) = 550
b) x 4 – 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 – 7 x 2 + 9 = 0
Le premier groupe commente sa solution, le second vérifie la solution au moyen d'un rétroprojecteur et commente ses méthodes de résolution.
Professeur: Les gars, regardons une équation intéressante : (x 2 – 6 x – 9) 2 = x (x 2 – 4 x – 9).
– Quelle méthode proposez-vous pour le résoudre ?
Les élèves commencent à discuter du problème en groupes. Ils suggèrent d'ouvrir les parenthèses, en ramenant termes similaires, obtenir une équation algébrique entière du quatrième degré et parmi les diviseurs Membre gratuit trouver des racines entières, le cas échéant ; puis factorisez et trouvez les racines de cette équation.
L'enseignant approuve l'algorithme de solution et propose d'envisager une autre méthode de résolution.
Notons x 2 – 4x – 9 = t, alors x 2 – 6x – 9 = t – 2x. Nous obtenons l'équation t 2 – 5tx + 4x 2 = 0 et la résolvons pour t.
L'équation originale se décompose en un ensemble de deux équations :
x 2 – 4 x – 9 = 4x x = – 1
x 2 – 4 x – 9 = x x = 9
x = (5 + 61)/2 x = (5 – 61)/2
4. Travail indépendant
Les étudiants se voient proposer les équations suivantes parmi lesquelles choisir :
a) x 4 – 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 – y 2) + 7 (1 – y 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 – 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 – 18 x 2 – 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 – 28 = 0
L'enseignant commente les équations de chaque groupe en attirant l'attention sur le fait que l'équation au point c) permet aux étudiants d’approfondir leurs connaissances et leurs compétences.
Le travail indépendant est réalisé sur papier à l'aide de papier carbone.
Les élèves vérifient les solutions grâce à un rétroprojecteur après avoir échangé leurs cahiers.
5. Devoirs
N° 223(g, e, f), n° 224(a, b) ou n° 225, n° 226.
Tâche créative.
Déterminez le degré de l'équation et dérivez la formule de Vieta pour cette équation :
6. Résumé de la leçon
Les élèves recommencent à remplir la colonne « J’ai appris » du tableau.
Lecon 3
Type de cours : leçon de révision et de systématisation des connaissances.
Format du cours : la leçon est une compétition.
Le but de la leçon : apprenez à évaluer correctement vos connaissances et vos compétences, corrélez correctement vos capacités avec les tâches proposées.
Tâches:
- vous apprendre à appliquer vos connaissances de manière globale ;
- identifier la profondeur et la force des compétences et des capacités ;
- promouvoir organisation rationnelle travail;
- favoriser l’activité et l’autonomie.
Plan de cours:
1. Moment organisationnel.
2. Actualiser l'expérience subjective des étudiants.
3. Résolution de problèmes.
4. Travail indépendant.
5. Devoirs.
6. Résumé de la leçon.
PENDANT LES COURS
1. Moment organisationnel
Professeur:«Aujourd'hui, nous allons donner un cours insolite, un cours de compétition. Vous connaissez déjà les mathématiciens italiens Fiori, N. Tartaglia, L. Ferrari, D. Cardano dès la dernière leçon.
Le 12 février 1535, un duel scientifique eut lieu entre Fiori et N. Tartaglia, dans lequel Tartaglia remporta une brillante victoire. En deux heures, il a résolu les trente problèmes proposés par Fiori, tandis que Fiori n'a résolu aucun problème de Tartaglia.
Combien d’équations pouvez-vous résoudre dans une leçon ? Quelles méthodes choisir ? Des mathématiciens italiens vous proposent leurs équations.
2. Actualisation de l'expérience subjective
Travail oral
1) Lesquels des nombres : – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 sont les racines de l'équation :
a) x 3 – x = 0 b) y 3 – 9 y = 0 c) y 3 + 4 y = 0 ?
– Combien de solutions une équation du troisième degré peut-elle avoir ?
– Quelle méthode utiliserez-vous pour résoudre ces équations ?
2) Vérifiez la solution de l'équation. Trouvez l'erreur que vous avez commise.
x 3 – 3x 2 + 4x – 12 = 0
x 2 (x – 3) + 4 (x – 3) = 0
(x – 3)(x 2 + 4) = 0
(x – 3)(x + 2)(x – 2) = 0
x = 3, x = – 2, x = 2.
Travailler en équipe de deux. Les élèves expliquent comment résoudre des équations et l'erreur qu'ils ont commise.
Professeur:« Vous êtes géniaux les gars ! Vous avez accompli la première tâche des mathématiciens italiens.
3. Résolution de problèmes
Deux étudiants au tableau :
a) Trouver les coordonnées des points d'intersection avec les axes de coordonnées du graphique de la fonction : 
b) Résolvez l'équation : 
Les élèves de la classe choisissent d’accomplir une ou deux tâches. Les élèves du conseil commentent constamment leurs actions.
4. Un travail indépendant « de bout en bout »
Le jeu de cartes est compilé en fonction du niveau de difficulté et avec des options de réponse.
1) x 4 – x 2 – 12 = 0
2) 16 x 3 – 32 x 2 – x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 – 7 (x 2 + 2 x) – 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = – 1
5) x 4 + x 3 – 4 x 2 + x + 1 = 0
Des réponses possibles:
1) a) – 2 ; 2 b) – 3 ; 3c) pas de solution
2) a) – 1/4 ; 1/4 b) – 1/4 ; 1/4 ; 2 c) 1/4 ; 2
3) a) – 4 ; 1; 2 b) –1 ; 1; - 4 ; 2 c) – 4 ; 2
4) a) – 2 ; - 1; b) – 2 ; - 1; 1 c) 1 ; 2
5) a) – 1 ; (– 3 + 5) /2 b) 1 ; (– 3 – 5) /2c) 1 ; (– 3 – 5)/2 ; (-3 + 5) /2.
5. Devoirs
Recueil de tâches pour un examen écrit d'algèbre : n° 72, n° 73 ou n° 76, n° 78.
Tâche supplémentaire. Déterminer la valeur du paramètre a pour lequel l'équation x 4 + (a 2 – a + 1) x 2 – a 3 – a = 0
a) a une seule racine ;
b) a deux racines différentes ;
c) n'a pas de racines.
Équations réduites au quadratique.
Équations biquadratiques
Préparation préliminaireà la leçon :
les étudiants doivent être capables de résoudre des équations biquadratiques et des équations réduites au quadratique en introduisant une nouvelle variable ;
Les étudiants préparent à l'avance des rapports sur les grands mathématiciens italiens.
Objectifs de la leçon:
1) éducatif: considération des méthodes de résolution d'équations réductibles aux équations quadratiques ;
2) éducatif: la formation des compétences travail de groupe, activité conscienteétudiants;
3) développement: développement activité mentaleétudiants, compétences d'interaction entre étudiants, capacité à généraliser les faits étudiés.
Équipement: grille de mots croisés sur cartes, cartes, affiche - plan de voyage, notes au tableau, code positif, copie carbone.
Type de cours : voyage-cours à travers le pays « Mathématiques ».
Pendant les cours
je. Organisation du temps
Le plan de voyage, qui répertorie les noms des stations, est affiché sur la diapositive.
Aujourd'hui, nous allons faire un voyage à travers le pays des mathématiques. Arrêtons-nous dans la ville des équations des troisième et quatrième degrés, poursuivons notre connaissance des équations biquadratiques et écoutons des rapports sur des mathématiciens italiens.
II. Voyager à travers le pays "Mathématiques"
1. Station pour les amateurs de mots croisés.
La grille de réponses est préenregistrée sur un code positif ou sur face arrière planches.
Chacun de vous dispose de cartes avec une grille de mots croisés et des questions. Placez-le sous la carte Feuille blanche et une copie carbone. Écrivez vos réponses uniquement dans cas nominatif. Résolvez les mots croisés, remettez les cartes et faites un auto-test sur la feuille.
Horizontalement :
4.Quelle est l'expression b 4 – 4ca pour une équation quadratique à coefficients un, b, c? (Discriminant.)
6. La valeur de la variable à laquelle l'équation se transforme en une véritable égalité. (Racine.)
8. Équation de la forme hache 4 + bx 2 + c = 0, où UN ≠ 0. (Biquadratique.)
9. mathématicien français. (Vietnamien.)
10. Une équation dans laquelle les côtés gauche et droit sont des expressions entières. (Entier.)
11. Une équation avec une variable qui a le même ensemble de racines. (Équivalent.)
Verticalement:
1. L’ensemble des racines d’une équation. (Solution.)
2. Solution de l'équation Oh 2 = 0. (Zéro.)
3. Égalité contenant une variable. (L'équation.)
5. Équation quadratique dans laquelle l'un des coefficients b ou c est égal à 0. (Incomplet.)
7. Équation quadratique dans laquelle le premier coefficient égal à un. (Ajoutée.)
2. Station "Istoricheskaya".
Vérification des devoirs.
Nous sommes avec vous à la gare Istoricheskaya. Nous entendrons des rapports d'étudiants sur les grands mathématiciens italiens. Écoute attentivement. Vous pouvez également obtenir un « 5 » pour un ajout intéressant.
Étudiant. Les mathématiciens italiens du XVIe siècle ont apporté une grande contribution au problème de la résolution des équations des 3e et 4e degrés. N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano, L. Ferrari et autres. En 1535, un duel scientifique eut lieu entre A. Fiore et N. Tartaglia, dans lequel ce dernier remporta une brillante victoire. En 2 heures, il a résolu 30 problèmes proposés par A. Fiore, et A. Fiore lui-même n'a pas pu en résoudre un seul posé par N. Tartaglia.
Professeur. Y a-t-il des extras ? Qui d’autre a préparé des rapports sur les mathématiciens italiens ?
Les messages préparés par les étudiants sont entendus. Chaque message prendra 2 à 3 minutes.
Professeur. Ainsi, N. Tartaglia a résolu 30 problèmes en 2 heures. Combien d’équations peux-tu résoudre ? Quelles solutions choisirez-vous ?
3. Cité des équations ( partie orale)
Ce n'est pas seulement une ville d'équations, mais des équations des troisième et quatrième degrés. Vous devez répondre à toutes les questions. Ce n'est qu'en y répondant que vous pourrez passer à autre chose.
Exercice 1. Comment résoudriez-vous les équations pour chaque groupe ?
1) X 3 – X = 0, X 3 + 9X = 0, X 4 – 4X 2 = 0, à 4 – 16 = 0.
2) 9à 3 - 18à 2 – y + 2 = 0,x 3 – 5X 2 + 16X – 80 = 0, 6à 4 – 3à 3 + 12à 2 – 6à = 0.
3) (à 2 – à + 1)(à 2 – à – 7) = 65, (X 2 + 2X) 2 – 2(X 2 + 2X) – 3 = 0,
(X 2 + X – 1)(X 2 + X + 2) = 40.
Réponses:
Les exemples du groupe 1) sont mieux résolus par factorisation en retirant le facteur commun entre parenthèses ou en utilisant des formules de multiplication abrégées.
Les exemples du groupe 2) sont mieux résolus par regroupement et factorisation.
Les exemples du groupe 3) sont mieux résolus en introduisant une nouvelle variable et en passant à une équation quadratique.
Tâche 2. Quel facteur mettriez-vous entre parenthèses dans les exemples du groupe 1) tâche 1 ?
Réponses: X(X 2 – 1) = 0,
X(X 2 + 9) = 0,
X 2 (X 2 – 4) = 0.
Tâche 3. Comment regrouperiez-vous les termes dans les exemples du groupe 2) de la tâche 1 ?
Réponses: (9à 3 – 18à 2) – (à – 2) = 0,
(X 3 – 5X 2) + (16X – 80) = 0,
(6à 4 – 3à 3) + (12à 2 – 6à) = 0.
Tâche 4. Que désigneriez-vous par une nouvelle variable dans les exemples du groupe 3) de la tâche 1 ?
Réponses: à 2 – à = t,
X 2 + 2X = t,
X 2 + X = t.
Tâche 5. Comment factoriser un polynôme ? à 4 – 16 = 0?
Répondre: (à 2 – 4)(à 2 + 4) = (à – 2)(à + 2)(à 2 + 4) = 0.
4. Cité des équations. Partie pratique.
Avez-vous fait face à travail oral dans la cité des Équations, et nous partons pour voyager plus loin dans cette ville intéressante et continuez à faire connaissance équations intéressantes.
Tâche 6.
Deux élèves accomplissent des tâches au tableau en même temps.
UN) Le premier élève résout au tableau avec une explication.
9X 3 – 18X 2 – x + 2 = 0.
b) Le deuxième élève résout l'équation en silence, puis explique la solution, la classe écoute et pose des questions si quelque chose n'est pas clair.
X 3 + X 2 – 4(X + 1) 2 = 0.
Tâche 7. Résolvez l’équation (voir annexe.)
La tâche est réalisée de manière autonome selon les options. Au préalable, ils envisagent avec l'enseignant des remplacements possibles pour l'introduction d'une nouvelle variable. Vérifié oralement.
Optionje.
(X 2 + 2X) 2 – 2(X 2 + 2X) – 3 = 0.
X 2 + 2X = t.
OptionII.
(X 2 – X + 1)(X 2 – X – 7) = 0.
Substitution pour introduire une nouvelle variable X 2 - X = t.
Tâche 8.
Une tâche supplémentaire pour ceux qui peuvent faire face plus tôt aux équations précédentes.
(2X 2 + X – 1)(2X 2 + X – 4) + 2 = 0.
Substitution pour introduire une nouvelle variable 2 X 2 + X = t.
Tâche 9. Résous l'équation.
Les étudiants commentent l’avancée de la solution depuis leur place.
X 4 (X + 1) – 6X 2 (X + 1) + 5(X + 1) = 0.
Solution. Nous allons le retirer multiplicateur commun:
(X+ 1)(X 4 – 6X 2 + 5) = 0, d'où X+ 1 = 0 ou X 4 – 6X 2 + 5 = 0, c'est-à-dire ou X= -1, ou
X 4 – 6X 2 + 5 = 0. La dernière équation est biquadratique :
X 2 = t,
t 2 - 6 t + 5 = 0.
D'après le théorème, inverse du théorème Vieta t 1 + t 2 = 6, t 1 · t 2 = 5. Donc t 1 =1, t 2 = 5. Donc X 2 = 1, ou X 2 = 5, d'où X 1,2 = ± 1, X 3,4 = ±.
Répondre:- 1, 1, -, .
Tâche 10. Résous l'équation.
Tout d’abord, l’enseignant discute de la solution avec la classe. L’élève résout ensuite une partie de l’exemple au tableau.
(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4) = 360.
Solution. Regroupons d'abord les facteurs :
((X + 1)(X+ 4)) · (( X + 2)(X + 3)) = 360,
(X 2 + 5X + 4)(X 2 + 5X + 6) = 360,
Laisser X 2 + 5X= t, Alors ( t + 4) ( t + 6) = 360.
t 2 + 10t + 24 – 360 = 0,
t + 10t – 336 = 0,
D= 100 + 4 336 = 1444 = 38 2.
Où t 1 = = 14, t 2 = = - 24.
Moyens, X 2 + 5X= 14 ou X 2 + 5X= -24, soit X 2 + 5X– 14 = 0 ou X 2 + 5X + 24 = 0.
Dans le deuxième cas D= 25 – 4 24 = -71
Dans le premier cas il y a deux racines X 1 = -7, X 2 = 2.
Répondre: - 7; 2.
Tâche 11. Résous l'équation. (voir pièce jointe.)
Celui qui résoudra correctement le plus d’équations biquadratiques en 10 minutes recevra un « 5 ». Les étudiants travaillent de manière indépendante, suivi d'un examen par les pairs.
UN) X 4 – 5X 2 – 36 = 0,
b) à 4 – 6à 2 + 8 = 0,
à 4 heures X 4 – 5X 2 + 1 = 0,
G) X 4 – 25X 2 + 144 = 0,
e) 5 à 4 – 5à 2 + 2 = 0,
e) t 4 – 2t 2 – 3 = 0.
Tâche 12. A quelles valeurs UN l'équation t 2 + à+ 9 = 0, n'a pas de racines ? (voir pièce jointe.)
Cet exemple pour la répétition.
5. Station d'attache
Vous êtes arrivé à la gare Domashnyaya. Obtenir devoirs.
Tâche 13. Résolvez l'équation des mathématiciens italiens :
(3X 2 + X – 4) 2 + 3X 2 + X= 4. (voir annexe.)
Tâche 14. Trouvez et résolvez 3-4 équations proposées par A. Fiore et N. Tartaglia.
III. Résumer la leçon.
Notre voyage est terminé. Alors, comptez combien d’équations chacun de vous a résolu.
En 2 leçons, toute la classe a résolu... des équations. Notes des cours...
Application
Solutions
Tâche 6.
UN) Solution.
9X 2 (X – 2) – (X – 2) = 0,
(X – 2)(9X 2 – 1) = 0,
X– 2 = 0, ou 9 X 2 – 1 = 0,
X= 2 ou X 2 = , c'est à dire X 1,2 = ±.
Répondre: - ; ; 2.
b) Solution.
X 2 (X + 1) – 4(X + 1) 2 = 0,
(X + 1)(X 2 – 4X – 4) = 0,
X+ 1 = 0 ou X 2 – 4X – 4 = 0,
X= - 1, ou X 1,2 = = 2 .
Répondre: - 1; 2 - 2; 2 + 2.
Tâche 7.
Optionje.
Solution. Remplacement X 2 + 2X = t, Alors:
t 2 – 2t – 3 = (t + 1)(t – 3) = 0.
X 2 + 2X= - 1 ou X 2 + 2X= 3,
X 2 + 2X+ 1 = 0 ou X 2 + 2X – 3 = 0,
(X+ 1) 2 = 0 ou ( X + 3)(X– 1) = 0.
Répondre: - 3; - 1, 1.
OptionII.
Solution. Remplacement
