Il y a 10 boules noires et blanches dans une urne. Événement aléatoire, sa fréquence et sa probabilité

Exemple 1. Dans la première urne : trois boules rouges et une blanche. Dans la deuxième urne : une boule rouge, trois boules blanches. Une pièce de monnaie est tirée au hasard : s'il s'agit d'un blason, elle est choisie dans la première urne, sinon dans la seconde.
Solution:
a) la probabilité qu'une boule rouge soit tirée
A – j'ai une balle rouge
P 1 – les armoiries sont tombées, P 2 - sinon

b) La boule rouge est sélectionnée. Trouvez la probabilité qu'il soit extrait de la première urne de la deuxième urne.
B 1 – de la première urne, B 2 – de la deuxième urne
,

Exemple 2. Il y a 4 balles dans une boîte. Peut être : uniquement blanc, uniquement noir ou blanc et noir. (Composition inconnue).
Solution:
A – probabilité d’occurrence boule blanche
a) Tout blanc :
(probabilité que vous ayez l'une des trois options où il y en a des blanches)
(probabilité d'apparition d'une boule blanche là où tout le monde est blanc)

b) Retiré là où tout le monde est noir



c) a retiré l'option où tout le monde est blanc et/ou noir

- au moins l'un d'eux est blanc

P a + P b + P c =

Exemple 3. Il y a 5 boules blanches et 4 boules noires dans une urne. 2 balles en sont retirées d'affilée. Trouvez la probabilité que les deux boules soient blanches.
Solution:
5 boules blanches, 4 boules noires
P(A 1) – la boule blanche a été retirée

P(A 2) – probabilité que la deuxième boule soit également blanche

P(A) – boules blanches choisies dans une rangée

Exemple 3a. Le pack contient 2 faux billets et 8 vrais billets. 2 billets ont été retirés du paquet d'affilée. Trouvez la probabilité que les deux soient faux.
Solution:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Exemple 4. Il y a 10 bacs. Il y a 9 urnes avec 2 boules noires et 2 boules blanches. Il y a 5 blancs et 1 noir dans 1 urne. Une boule était tirée d'une urne prise au hasard.
Solution:
P(A) - ? une boule blanche est extraite d'une urne contenant 5 blancs
B – probabilité d'être tiré d'une urne contenant 5 blancs
, - retiré des autres
C 1 – probabilité qu’une boule blanche apparaisse au niveau 9.

C 2 – probabilité d'apparition d'une boule blanche, là où il y en a 5

P(UNE 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Exemple 5. 20 rouleaux cylindriques et 15 rouleaux coniques. Le sélecteur prend 1 rouleau, puis un autre.
Solution:
a) les deux rouleaux sont cylindriques
P(C1)=; P(Ts2)=
C 1 – premier cylindre, C 2 – deuxième cylindre
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Au moins un cylindre
K 1 – premier en forme de cône.
K 2 - deuxième en forme de cône.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;

c) le premier cylindre, mais pas le deuxième
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) Pas un seul cylindre.
P(D)=P(K1)P(K2)

e) Exactement 1 cylindre
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Exemple 6. Il y a 10 pièces standards et 5 pièces défectueuses dans une boîte.
Trois parties sont tirées au sort
a) L'un d'eux est défectueux
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – probabilité de produits défectueux

q – probabilité de pièces standard

n=3, trois parties


b) deux pièces sur trois sont défectueuses P(2)
c) au moins une norme
P(0) - non défectueux

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - probabilité qu'au moins une pièce soit standard

Exemple 7. La 1ère urne contient 3 boules blanches et noires, et la 2ème urne contient 3 boules blanches et 4 noires. 2 boules sont transférées de la 1ère urne à la 2ème sans regarder, puis 2 boules sont tirées de la 2ème. Quelle est la probabilité qu'ils différentes couleurs?
Solution:
Lors du déplacement des boules de la première urne, les options suivantes sont possibles :
a) a sorti 2 boules blanches d'affilée
P BB 1 =
Dans la deuxième étape, il y aura toujours une balle de moins, car lors de la première étape, une balle a déjà été retirée.
b) a sorti une boule blanche et une boule noire
La situation où la boule blanche est tirée en premier, puis la noire
Ogive P =
La situation où la boule noire était tirée en premier, puis la boule blanche
P PC =
Total : P ogive 1 =
c) a sorti 2 boules noires d'affilée
PHH 1 =
Puisque 2 boules ont été transférées de la première urne à la deuxième urne, alors nombre total Il y aura 9 boules dans la deuxième urne (7 + 2). En conséquence, nous chercherons tout options possibles:
a) d'abord une boule blanche puis une boule noire ont été retirées de la deuxième urne

P BB 2 P BB 1 - signifie la probabilité qu'une boule blanche soit tirée d'abord, puis une boule noire, à condition que 2 boules blanches aient été tirées de la première urne d'affilée. C'est pourquoi le nombre de boules blanches dans ce cas est de 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - désigne la probabilité qu'une boule blanche soit tirée d'abord, puis une boule noire, à condition que des boules blanches et noires aient été tirées de la première urne. C'est pourquoi le nombre de boules blanches dans ce cas est de 4 (3+1) et le nombre de boules noires est de cinq (4+1).
P BC 2 P BC 1 - désigne la probabilité qu'une boule blanche soit tirée d'abord, puis une boule noire, à condition que les deux boules noires aient été tirées de la première urne consécutive. C'est pourquoi le nombre de boules noires dans ce cas est 6 (4+2).

La probabilité que 2 boules tirées soient de couleurs différentes est égale à :

Réponse : P = 0,54

Exemple 7a. De la 1ère urne contenant 5 boules blanches et 3 boules noires, 2 boules ont été transférées aléatoirement vers la 2ème urne contenant 2 boules blanches et 6 noires. Ensuite, 1 boule a été tirée au hasard dans la 2ème urne.
1) Quelle est la probabilité que la boule tirée de la 2ème urne soit blanche ?
2) La boule extraite de la 2ème urne s'est avérée blanche. Calculez la probabilité que des boules de couleurs différentes aient été déplacées de la 1ère urne à la 2ème.
Solution.
1) Événement A - la boule tirée de la 2ème urne s'avère blanche. Considérons les options suivantes pour l'apparition de cet événement.
a) Deux boules blanches ont été placées de la première urne dans la seconde : P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Il y a au total 4 boules blanches dans la deuxième urne. Alors la probabilité de tirer une boule blanche de la deuxième urne est P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Des boules blanches et noires ont été placées de la première urne dans la seconde : P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Il y a au total 3 boules blanches dans la deuxième urne. Alors la probabilité de tirer une boule blanche de la deuxième urne est P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Deux boules noires ont été placées de la première urne dans la seconde : P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Il y a au total 2 boules blanches dans la deuxième urne. Alors la probabilité de tirer une boule blanche de la deuxième urne est P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Alors la probabilité que la boule tirée de la 2ème urne soit blanche est :
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) La boule extraite de la 2ème urne s'est avérée blanche, c'est-à-dire probabilité totale est égal à P(A)=13/32.
Probabilité que des boules de couleurs différentes (noir et blanc) aient été placées dans la deuxième urne et que le blanc ait été choisi : P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Exemple 7b. La première urne contient 8 boules blanches et 3 boules noires, la deuxième urne contient 5 boules blanches et 3 noires. Une boule est tirée au hasard parmi la première et deux boules dans la seconde. Après cela, une boule est tirée au hasard parmi les trois boules sélectionnées. Cette dernière boule s'est avérée noire. Trouvez la probabilité qu'une boule blanche soit tirée de la première urne.
Solution.
Considérons toutes les variantes de l'événement A - sur trois boules, la boule tirée s'avère noire. Comment se fait-il que parmi les trois boules il y en ait une noire ?
a) Une boule noire a été retirée de la première urne et deux boules blanches ont été extraites de la deuxième urne.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Une boule noire a été retirée de la première urne, deux boules noires ont été retirées de la deuxième urne.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Une boule noire a été retirée de la première urne, une boule blanche et une boule noire ont été retirées de la deuxième urne.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Une boule blanche a été prise dans la première urne et deux boules noires dans la deuxième urne.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Une boule blanche a été prise dans la première urne, une boule blanche et une boule noire ont été prises dans la deuxième urne.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
La probabilité totale est : P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
La probabilité qu’une boule blanche soit tirée d’une urne blanche est :
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Alors la probabilité qu’une boule blanche ait été choisie dans la première urne, étant donné qu’une boule noire a été choisie parmi trois boules, est égale à :
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Exemple 7c. La première urne contient 12 boules blanches et 16 boules noires, la deuxième urne contient 8 boules blanches et 10 noires. Parallèlement, une boule est tirée de la 1ère et de la 2ème urne, mélangée et renvoyée une dans chaque urne. Ensuite, une boule est tirée de chaque urne. Il s'est avéré qu'ils étaient de la même couleur. Déterminez la probabilité qu’il reste autant de boules blanches dans la 1ère urne qu’il y en avait au début.

Solution.
Événement A - une boule est tirée simultanément de la 1ère et de la 2ème urne.
Probabilité de tirer une boule blanche de la première urne : P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Probabilité de tirer une boule noire de la première urne : P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Probabilité de tirer une boule blanche de la deuxième urne : P2(B) = 8/18 = 4/9
Probabilité de tirer une boule noire de la deuxième urne : P2(H) = 10/18 = 5/9

L'événement A s'est produit. Événement B - une boule est tirée de chaque urne. Après mélange, la probabilité qu'une boule blanche ou noire revienne dans l'urne est de ½.
Considérons les options pour l'événement B - elles se sont avérées être de la même couleur.

Pour la première urne
1) une boule blanche a été placée dans la première urne et une boule blanche a été tirée, à condition qu'une boule blanche ait été préalablement tirée, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) une boule blanche a été placée dans la première urne et une boule blanche en a été retirée, à condition qu'une boule noire ait été retirée plus tôt, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) une boule blanche a été placée dans la première urne et une noire en a été retirée, à condition qu'une boule blanche ait été retirée plus tôt, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) une boule blanche a été placée dans la première urne et une noire en a été retirée, à condition qu'une boule noire ait été retirée plus tôt, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) une boule noire a été placée dans la première urne et une boule blanche en a été retirée, à condition qu'une boule blanche ait été retirée plus tôt, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/ 392
6) une boule noire a été placée dans la première urne et une boule blanche en a été retirée, à condition qu'une boule noire ait été retirée plus tôt, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) une boule noire a été placée dans la première urne, et une noire en a été retirée, à condition qu'une boule blanche ait été retirée plus tôt, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51 /392
8) une boule noire a été placée dans la première urne, et une noire a été tirée, à condition qu'une boule noire ait été tirée plus tôt, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/ 49

Pour la deuxième urne
1) une boule blanche a été placée dans la première urne et une boule blanche a été tirée, à condition qu'une boule blanche ait été préalablement tirée, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) une boule blanche a été placée dans la première urne et une boule blanche en a été retirée, à condition qu'une boule noire ait été retirée plus tôt, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) une boule blanche a été placée dans la première urne et une noire en a été retirée, à condition qu'une boule blanche ait été retirée plus tôt, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) une boule blanche a été placée dans la première urne et une noire en a été retirée, à condition qu'une boule noire ait été retirée plus tôt, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) une boule noire a été placée dans la première urne et une boule blanche a été tirée, à condition qu'une boule blanche ait été préalablement tirée, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) une boule noire a été placée dans la première urne et une boule blanche en a été retirée, à condition qu'une boule noire ait été retirée plus tôt, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) une boule noire a été placée dans la première urne, et une noire a été tirée, à condition qu'une boule blanche ait été préalablement tirée, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) une boule noire a été placée dans la première urne, et une boule noire a été tirée, à condition qu'une boule noire ait été tirée plus tôt, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Les boules se sont avérées être de la même couleur :
a) blanc
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) noir
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Exemple 7d. La première boîte contient 5 boules blanches et 4 bleues, la seconde en contient 3 et 1 et la troisième en contient respectivement 4 et 5. Une boîte a été choisie au hasard et une balle qui en a été retirée s'est avérée bleue. Quelle est la probabilité que cette boule provienne de la deuxième case ?

Solution.
A - événement de récupération boule bleue. Considérons toutes les conséquences possibles d'un tel événement.
H1 - la boule tirée de la première case,
H2 - le ballon est sorti de la deuxième case,
H3 - une boule tirée de la troisième case.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Selon les conditions du problème, les probabilités conditionnelles de l'événement A sont égales à :
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
La probabilité que cette boule provienne de la deuxième case est :
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Exemple 8. Cinq boîtes de 30 boules contiennent chacune 5 boules rouges (c'est une boîte de composition H1), six autres boîtes de 20 boules contiennent chacune 4 boules rouges (c'est une boîte de composition H2). Trouvez la probabilité qu'une boule rouge prise au hasard soit contenue dans l'une des cinq premières cases.
Solution : Le problème est d’appliquer la formule de probabilité totale.

Exemple 9. L'urne contient 2 boules blanches, 3 noires et 4 rouges. Trois boules sont tirées au hasard. Quelle est la probabilité qu’au moins deux boules soient de la même couleur ?
Solution. Il y a trois résultats possibles :
a) parmi les trois boules tirées, il y en avait au moins deux blanches.
P b (2) = P 2b
Nombre total possible résultats élémentaires pour ces tests est égal au nombre de façons dont 3 balles peuvent être extraites de 9 :

Trouvons la probabilité que parmi les 3 boules sélectionnées, 2 soient blanches.

Nombre d'options au choix parmi 2 boules blanches :

Nombre d'options au choix parmi 7 autres boules troisième boule :

b) parmi les trois boules tirées, il y en avait au moins deux noires (c'est-à-dire soit 2 noires, soit 3 noires).
Trouvons la probabilité que parmi les 3 boules sélectionnées, 2 soient noires.

Nombre d'options au choix parmi 3 boules noires :

Nombre d'options au choix parmi 6 autres boules d'une boule :


P2h = 0,214
Trouvons la probabilité que toutes les boules sélectionnées soient noires.

P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

c) parmi les trois boules tirées, il y en avait au moins deux rouges (c'est-à-dire soit 2 rouges, soit 3 rouges).
Trouvons la probabilité que parmi les 3 boules sélectionnées, 2 soient rouges.

Nombre d'options au choix parmi 4 boules noires :

Nombre d'options au choix : 5 boules blanches, restant 1 blanche :


Trouvons la probabilité que toutes les boules sélectionnées soient rouges.

P à (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Alors la probabilité qu'au moins deux boules soient de la même couleur est égale à : P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Exemple 10. La première urne contient 10 boules, dont 7 blanches ; La deuxième urne contient 20 boules dont 5 blanches. Une boule est tirée au hasard dans chaque urne, puis une boule est tirée au hasard parmi ces deux boules. Trouvez la probabilité que la boule blanche soit tirée.
Solution. La probabilité qu'une boule blanche soit tirée de la première urne est P(b)1 = 7/10. En conséquence, la probabilité de tirer une boule noire est P(h)1 = 3/10.
La probabilité qu'une boule blanche soit tirée de la deuxième urne est P(b)2 = 5/20 = 1/4. En conséquence, la probabilité de tirer une boule noire est P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Événement A - une boule blanche est tirée de deux boules
Considérons l'issue possible de l'événement A.

1. Une boule blanche a été tirée de la première urne et une boule blanche a été tirée de la deuxième urne. Ensuite, une boule blanche a été tirée de ces deux boules. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. Une boule blanche a été tirée de la première urne et une boule noire a été tirée de la deuxième urne. Ensuite, une boule blanche a été tirée de ces deux boules. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Une boule noire a été tirée de la première urne et une boule blanche a été tirée de la deuxième urne. Ensuite, une boule blanche a été tirée de ces deux boules. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Exemple 11. Il y a n balles de tennis dans la boîte. Parmi ceux-ci, m ont été joués. Pour le premier jeu, deux balles étaient prises au hasard et remises après la partie. Pour le deuxième jeu, nous avons également pris deux balles au hasard. Quelle est la probabilité que la deuxième partie soit jouée avec des balles neuves ?
Solution. Considérons l'événement A : le jeu a été joué pour la deuxième fois avec de nouvelles balles. Voyons quels événements peuvent conduire à cela.
Notons g = n-m le nombre de nouvelles boules avant d'être retirées.
a) pour le premier jeu, deux nouvelles balles ont été retirées.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) pour le premier jeu, ils ont sorti une nouvelle balle et un autre en a déjà joué une.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) pour le premier jeu, deux balles jouées ont été retirées.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Regardons les événements du deuxième match.
a) Deux nouvelles boules ont été tirées, sous la condition P1 : puisque de nouvelles boules avaient déjà été tirées pour le premier jeu, alors pour le deuxième jeu leur nombre a diminué de 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Deux nouvelles boules ont été tirées, sous la condition P2 : puisqu'une nouvelle boule avait déjà été tirée pour le premier jeu, alors pour le deuxième jeu leur nombre a diminué de 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Deux nouvelles boules ont été tirées, sous la condition P3 : comme auparavant aucune nouvelle boule n'était utilisée pour le premier jeu, leur numéro n'a pas changé pour le deuxième jeu g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Probabilité totale P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Réponse : P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Exemple 12. Les première, deuxième et troisième cases contiennent 2 boules blanches et 3 boules noires, les quatrième et cinquième cases contiennent 1 boule blanche et 1 boule noire. Une case est sélectionnée au hasard et une boule en est tirée. Qu'est-ce que probabilité conditionnelle Quelle est la quatrième ou la cinquième case choisie si la boule tirée est blanche ?
Solution.
La probabilité de choisir chaque case est P(H) = 1/5.
Considérons les probabilités conditionnelles de l’événement A – tirer la boule blanche.
P(UNE|H=1) = 2/5
P(UNE|H=2) = 2/5
P(UNE|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Probabilité totale de tirer une boule blanche :
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Probabilité conditionnelle que la quatrième case soit sélectionnée
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Probabilité conditionnelle que la cinquième case soit sélectionnée
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Au total, la probabilité conditionnelle que la quatrième ou la cinquième case soit sélectionnée est
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Exemple 13. Il y avait 7 boules blanches et 4 boules rouges dans l'urne. Ensuite, une autre boule de couleur blanche, rouge ou noire a été mise dans l'urne et après mélange, une boule a été retirée. Il s'est avéré qu'il était rouge. Quelle est la probabilité que a) une boule rouge ait été placée ? b) boule noire ?
Solution.
a) boule rouge
Événement A - la boule rouge est tirée. Événement H - la boule rouge est placée. Probabilité qu'une boule rouge ait été placée dans l'urne P(H=K) = 1 / 3
Alors P(A|H=K)= 1/3 * 5/12 = 5/36 = 0,139
b) boule noire
Événement A - la boule rouge est tirée. Événement H - une boule noire est placée.
Probabilité qu'une boule noire ait été placée dans l'urne P(H=H) = 1/3
Alors P(A|H=H)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0,111

Exemple 14. Il y a deux urnes avec des boules. L’un a 10 boules rouges et 5 boules bleues, le second a 5 boules rouges et 7 bleues. Quelle est la probabilité qu’une boule rouge soit tirée au hasard de la première urne et une boule bleue de la seconde ?
Solution. Soit l'événement A1 une boule rouge tirée de la première urne ; A2 - une boule bleue est tirée de la deuxième urne :
,
Les événements A1 et A2 sont indépendants. La probabilité de survenance conjointe des événements A1 et A2 est égale à

Exemple 15. Il y a un jeu de cartes (36 pièces). Deux cartes sont tirées au hasard d'affilée. Quelle est la probabilité que les deux cartes tirées soient rouges ?
Solution. Soit l'événement A 1 le premier carton rouge tiré. Événement A 2 - le deuxième carton rouge tiré. B - les deux cartes retirées sont rouges. Puisque l'événement A 1 et l'événement A 2 doivent se produire, alors B = A 1 · A 2 . Les événements A 1 et A 2 sont dépendants, donc P(B) :
,
D'ici

Exemple 16. Deux urnes contiennent des boules qui ne diffèrent que par la couleur, et dans la première urne il y a 5 boules blanches, 11 boules noires et 8 boules rouges, et dans la seconde il y a respectivement 10, 8, 6 boules. Une boule est tirée au hasard dans les deux urnes. Quelle est la probabilité que les deux boules soient de la même couleur ?
Solution. Soit l'indice 1 signifie blanc, indice 2 - noir ; 3 - couleur rouge. Soit l'événement A i qu'une boule de la ième couleur soit tirée de la première urne ; événement B j - une boule de couleur j est tirée de la deuxième urne ; événement A - les deux boules sont de la même couleur.
A = A1 · B1 + A2 · B2 + A3 · B3. Les événements A i et B j sont indépendants, et A i · B i et A j · B j sont incompatibles pour i ≠ j. Ainsi,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Exemple 17. A partir d'une urne avec 3 boules blanches et 2 boules noires, les boules sont tirées une à la fois jusqu'à ce que le noir apparaisse. Trouvez la probabilité que 3 boules soient tirées de l'urne ? 5 balles ?
Solution.
1) la probabilité que 3 boules soient tirées de l'urne (c'est-à-dire que la troisième boule sera noire et les deux premières seront blanches).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) la probabilité que 5 boules soient tirées de l'urne
Cette situation n'est pas possible, car seulement 3 boules blanches.
P=0

-> Théorie des probabilités. Événement aléatoire, sa fréquence et sa probabilité

Événement aléatoire, sa fréquence et sa probabilité

Problème 1
Il y a 10 boules renumérotées dans la boîte avec des numéros de 1 à 10. Une boule est retirée. Quelle est la probabilité que le numéro de la boule tirée ne dépasse pas 10 ?
Solution. Puisque le nombre de billes dans la boîte ne dépasse pas 10, alors le nombre de cas favorables à l'événement A est égal au nombre de tous les cas possibles, c'est-à-dire m=n=10 et P(A)=1. Dans ce cas A est certain.

Problème 2
Il y a 15 boules dans une urne : 5 blanches et 10 noires. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue de l’urne ?
Solution. Il n'y a pas de boules bleues dans l'urne, c'est-à-dire m = 0, une n = 15. Par conséquent, P(A)=0/15=0. DANS dans ce cas l'événement A est impossible.

Problème 3
Il y a 12 boules dans l'urne : 3 blanches, 4 noires et 5 rouges. Quelle est la probabilité de tirer une boule noire de l’urne ?
Solution. Ici m=4, n=12 et P(A)=4/12=1/3.

Problème 4
Il y a 10 boules dans une urne : 6 blanches et 4 noires. Deux balles ont été retirées. Quelle est la probabilité que les deux boules soient blanches ?
Solution. Ici, le nombre de tous les cas n=C 2 10 =(10·9)/(1·2)=45. Le nombre de cas favorables à l'événement A est déterminé par l'égalité m=C 2 6 soit m=(6,5)/(1,2)=15.
Donc, P(A)=15/45=1/3.

Problème 5
Il y a 2000 billets à la loterie. Un billet rapporte un gain de 100 roubles, quatre billets donnent un gain de 50 roubles, dix billets donnent un gain de 20 roubles, vingt billets donnent un gain de 10 roubles, 165 billets donnent un gain de 5 roubles, 400 billets - gagnez 1 frotter. Les billets restants ne sont pas gagnants. Quelle est la probabilité de gagner au moins 10 roubles sur un billet ?
Solution. Ici m=1+4+10+20=35, n=2000, c'est-à-dire P(A)=m/n=35/2000=0,0175.

Une urne contient 10 boules blanches, 5 rouges et 5 vertes. Trouvez la probabilité qu'une boule tirée au hasard soit colorée (et non blanche).

Solution:

Nombre d'issues favorables à l'événement UN,égal à la somme des boules rouges et vertes : t = 10. Le nombre total de résultats incompatibles également possibles est égal au nombre total de boules dans l'urne : n = 20. Alors :

Lors de la détermination de la probabilité d'un événement, selon son définition classique, certaines conditions doivent être remplies. Ces conditions consistent en l'égalité de possibilité et l'incompatibilité des événements inclus dans groupe completévénements dont la probabilité doit être déterminée. Dans la pratique, il n’est pas toujours possible de déterminer tous les résultats possibles, et encore moins de justifier leur égalité. Par conséquent, s’il est impossible de satisfaire aux exigences de la définition classique de la probabilité, utilisez évaluation statistique probabilité d'un événement. Ceci introduit le concept fréquence relative survenance d'un événement UN, égal au rapport , Où T- nombre d'essais au cours desquels l'événement s'est produit UN; p- nombre total d'essais.

J. Bernoulli a prouvé qu'avec une augmentation illimitée du nombre de tests fréquence relativeévénements UN différera arbitrairement peu de la probabilité de l'événement UN: .

Cette égalité est valable si les conditions dans lesquelles l'expérience est réalisée restent inchangées.

La validité du théorème de Bernoulli a également été prouvée dans de nombreuses expériences comparant les probabilités calculées par les méthodes classiques et méthodes statistiques. Ainsi, dans les expériences de Pearson, pour déterminer la probabilité que les « armoiries » tombent lors de l’exécution de 12 000 lancers, probabilité statistiqueétait égal à 0,5016, et avec 24 000 lancers - 0,5005, ce qui montre une approche de la valeur de probabilité de 0,5 à mesure que le nombre d'expériences augmente. Proximité des valeurs de probabilité déterminées de diverses manières, indiquent l'objectivité de la possibilité que cet événement se produise.

4. Théorème d'addition de probabilités

Connaissant les probabilités de certains événements, vous pouvez calculer les probabilités d’autres s’ils sont liés. Le théorème d'addition de probabilité vous permet de déterminer la probabilité d'apparition d'un événement aléatoire parmi plusieurs.

Théorème.Probabilité de la somme de deux événements incompatibles A et B sont égaux à la somme des probabilités de ces événements :

P(A+B) = P(A) + P(B).(2)

Preuve. Laisser n- le nombre total de résultats élémentaires incompatibles également possibles ; m1 - nombre d'issues favorables à l'événement UN; t 2 - nombre d'issues favorables à l'événement DANS. Parce que UN Et DANSévénements incompatibles, alors l'événement A+B sera favorable m1 + m2 résultats. Alors, selon la définition classique de la probabilité :

En étendant cette preuve à névénements, nous pouvons prouver le théorème suivant.

Théorème.Probabilité du montant nombre finiévénements incompatibles par paires A 1, A 2,..., A n est égal à la somme des probabilités de ces événements, c'est-à-dire

P(UNE 1 + UNE 2 +…+UNE p) = P(UNE 1) + P(UNE 2) +…+P(UNE p) (3)

Deux corollaires peuvent être déduits de ce théorème :

Corollaire 1.Si les événements A 1, A 2,..., A n forment un groupe complet, alors la somme de leurs probabilités est égale à un, c'est-à-dire = P(UNE 1) + P(UNE 2) +…+P(UNE p) = 1.(4)

Corollaire 2.La somme des probabilités d'événements opposés est égale à un, c'est-à-dire

Preuve. Les événements opposés sont incompatibles et forment un groupe complet, et la somme des probabilités de tels événements est égale à 1.

Exemple 3.

Trouvez la probabilité d’obtenir un 2 ou un 3 en lançant un dé.

Solution:

Événement UN - le chiffre 2 est lancé, la probabilité de cet événement PENNSYLVANIE)= . Événement DANS- le numéro 3 est lancé, la probabilité de cet événement P(B) = . Les événements sont incompatibles, donc

Exemple 4.

Un lot de 40 vêtements a été reçu. Parmi ceux-ci, 20 ensembles vêtements pour hommes, 6 - femmes et 14 - enfants. Trouvez la probabilité que les vêtements pris au hasard ne soient pas ceux de femmes.

Solution:

Événement UN- vêtements pour hommes, probabilité

Événement DANS- des vêtements pour femmes,

1. EXEMPLES DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

CALCUL TYPIQUE

Tâche. Il y a 10 boules numérotées dans la boîte avec des numéros de 1 à 10. Une boule est retirée. Quelle est la probabilité que le numéro de la boule tirée ne dépasse pas 10 ?

Solution. Puisque le nombre de boules dans la boîte ne dépasse pas 10, alors le nombre de cas favorables à l'événement. UN, est égal au nombre de tous les cas possibles, c'est-à-dire m= n= 10 et P.(UN) = 1. Dans ce cas, l'événement UN authentiquement.

Tâche. Il y a 15 boules dans une urne : 5 blanches et 10 noires. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue de l’urne ?

Solution : Il n'y a pas de boules bleues dans l'urne, c'est-à-dire m= 0, une n= 15. Par conséquent, P.(UN) = 0/15 = 0. Dans ce cas, l'événement UN- impossible.

Tâche. Il y a 12 boules dans l'urne : 3 blanches, 4 noires et 5 rouges. Quelle est la probabilité de tirer une boule noire de l’urne ?

Solution : Ici m= 4,n= 12 et P.(UN) = 4/12 = 1/3.

Tâche. Il y a 10 boules dans une urne : 6 blanches et 4 noires. 2 balles ont été retirées. Quelle est la probabilité que les deux boules soient blanches ?

Solution. Voici le nombre de tous les cas Le nombre de cas favorables à l'événement. UN, est déterminé par l'égalité
Donc,

Tâche. Il y a 100 fruits dans un panier : 10 poires et 90 pommes. Quatre fruits sont pris au hasard. Trouver la probabilité que

a) quatre pommes sont prises ;

b) quatre poires sont prises.

Solution. Le nombre total de résultats de test élémentaires est égal au nombre de combinaisons de 100 éléments de quatre, c'est-à-dire
.

a) Le nombre d'issues favorables à l'événement en question (les quatre fruits pris au hasard sont des pommes) est égal au nombre de combinaisons de 90 éléments de quatre, soit
.

La probabilité requise est égale au rapport du nombre d'issues favorables à l'événement en question sur le nombre total

résultats élémentaires possibles :

.

b) Le nombre d'issues favorables à l'événement en question (les quatre fruits pris au hasard sont des poires) est égal au nombre de façons dont quatre poires peuvent être extraites sur dix disponibles, soit .

Probabilité requise

.

Tâche 6. Sur le segment OA longueur L axe des nombres Oh point tiré au hasard DANS(X). Trouvez la probabilité que les segments OB Et Virginie avoir une longueur supérieure à L/4.

Solution. Divisons le segment. OA en quatre parties égales avec des points C,D,E(Fig.7). L'exigence de la tâche sera remplie si le point DANS entre dans le segment AVECE, dont la longueur est L/2.

Riz. 7

Ainsi, r= (L/2) :L= 1/2.

Tâche 9. Sur les 10 réponses aux problèmes sur cette page, 2 comportent des fautes de frappe. L'élève résout 5 problèmes. Quelle est la probabilité que l’un d’eux ait une faute de frappe dans la réponse ?

Solution.

.

Ces tâches sont décrites par un schéma général. Il existe une collection de N 1 éléments du premier type et N 2 éléments du deuxième type. Quelle est la probabilité que, lors de la sélection d'une population parmi k les éléments qui le composent k 1 éléments du premier type et k 2 éléments du deuxième type, où k=k 1 +k 2 ,k 1 N 1 ,k 2 N 2 ?

.

Problème 10. Une urne contient 10 boules blanches, 15 noires, 20 bleues et 25 rouges. Une balle a été retirée. Trouvez la probabilité que la boule tirée soit blanche ; noir; bleu; rouge; blanc ou noir; bleu ou rouge; blanc, noir ou bleu.

Solution. Nous avons

En appliquant le théorème d'addition des probabilités, on obtient

Problème 11. La première boîte contient 2 boules blanches et 10 boules noires ; La deuxième boîte contient 8 boules blanches et 4 boules noires. Une balle a été retirée de chaque case. Quelle est la probabilité que les deux boules soient blanches ?

Solution Dans ce cas, nous parlons d’une combinaison d’événements. UN Et DANS, où a lieu l'événement UN– l’apparition d’une boule blanche dès la première case, événement DANS– l’apparition d’une boule blanche issue de la deuxième case. En même temps UN Et DANS– des événements indépendants. Nous avons R.(UN) = 2/12 = 1/6,R.(DANS) = 8/12 = 2/3. En appliquant le théorème de multiplication de probabilité, on trouve

Problème 12. Dans les conditions du problème précédent, déterminez la probabilité que l'une des boules tirées soit blanche et l'autre noire.

Solution. Soit : événement UN– l’apparition d’une boule blanche dès la première case ; événement DANS– l’apparition d’une boule blanche issue de la deuxième case ; événement AVEC– l’apparition d’une boule noire dès la première case
événement D– l’apparition d’une boule blanche dès la deuxième case
Alors R.(UN) = 1/6,R.(DANS) = 2/3,

Déterminons la probabilité qu'une boule tirée de la première case soit blanche et qu'une boule tirée de la deuxième case soit noire :

Déterminons la probabilité qu'une boule tirée de la première case soit noire et qu'une boule tirée de la deuxième case soit blanche :

Déterminons maintenant la probabilité qu'une balle prise dans une case (peu importe la première ou la seconde) se révèle blanche, et qu'une balle prise dans une autre boîte se révèle noire. Nous appliquons le théorème de l’addition des probabilités.

Probabilité l'événement est appelé le rapport du nombre de résultats élémentaires favorables cet événement, au nombre de toutes les issues également possibles de l'expérience dans laquelle cet événement peut apparaître. La probabilité de l'événement A est notée P(A) (ici P est la première lettre mot français probabilité - probabilité). D'après la définition
(1.2.1)
où est le nombre d'issues élémentaires favorables à l'événement A ; - le nombre de tous les résultats élémentaires également possibles de l'expérience, formant un groupe complet d'événements.
Cette définition de la probabilité est dite classique. Il est apparu le étape initiale développement de la théorie des probabilités.

La probabilité d'un événement a les propriétés suivantes :
1. Probabilité événement fiableégal à un. Désignons un événement fiable par la lettre . Pour un certain événement, donc
(1.2.2)
2. La probabilité d’un événement impossible est nulle. Désignons par la lettre un événement impossible. Pour un événement impossible, donc
(1.2.3)
3. La probabilité d'un événement aléatoire est exprimée nombre positif, moins d'un. Puisque pour un événement aléatoire les inégalités , ou , sont satisfaites, alors
(1.2.4)
4. La probabilité de tout événement satisfait les inégalités
(1.2.5)
Cela découle des relations (1.2.2) - (1.2.4).

Exemple 1. Une urne contient 10 boules de taille et de poids égaux, dont 4 rouges et 6 bleues. Une boule est tirée de l'urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue ?

Solution. On note l'événement « la boule tirée s'est avérée bleue » par la lettre A. Ce test a 10 issues élémentaires également possibles, dont 6 en faveur de l'événement A. Conformément à la formule (1.2.1), on obtient

Exemple 2. Tous les nombres naturels de 1 à 30 sont écrits sur des cartes identiques et placés dans une urne. Après avoir soigneusement mélangé les cartes, une carte est retirée de l'urne. Quelle est la probabilité que le nombre sur la carte prise soit un multiple de 5 ?

Solution. Notons A l'événement « le nombre sur la carte prise est un multiple de 5 ». Dans ce test, il y a 30 résultats élémentaires également possibles, parmi lesquels l'événement A est favorisé par 6 résultats (les nombres 5, 10, 15, 20, 25, 30). Ainsi,

Exemple 3. Deux dés sont lancés et le total des points est calculé. faces supérieures. Trouvez la probabilité de l’événement B telle que les faces supérieures des dés aient un total de 9 points.

Solution. Dans ce test, il n'y a que 6 2 = 36 résultats élémentaires également possibles. L'événement B est favorisé par 4 résultats : (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), donc

Exemple 4. Sélectionné au hasard nombre naturel, n’excédant pas 10. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?

Solution. Notons par la lettre C l'événement « le nombre choisi est premier ». Dans ce cas n = 10, m = 4 ( nombres premiers 2, 3, 5, 7). Par conséquent, la probabilité requise

Exemple 5. Deux pièces symétriques sont lancées. Quelle est la probabilité qu’il y ait des chiffres sur la face supérieure des deux pièces ?

Solution. Désignons par la lettre D l'événement « il y a un numéro sur la face supérieure de chaque pièce ». Dans ce test, il y a 4 résultats élémentaires également possibles : (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notation (G, C) signifie que la première pièce porte un blason, la seconde un numéro). L'événement D est favorisé par un résultat élémentaire (C, C). Puisque m = 1, n = 4, alors

Exemple 6. Quelle est la probabilité qu’un nombre à deux chiffres choisi au hasard ait les mêmes chiffres ?

Solution. Numéros à deux chiffres sont des nombres de 10 à 99 ; Il existe 90 nombres de ce type au total. 9 nombres ont des chiffres identiques (ce sont les nombres 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Puisque dans ce cas m = 9, n = 90, alors
,
où A est l’événement « numéro à chiffres identiques ».

Exemple 7. Des lettres du mot différentiel Une lettre est choisie au hasard. Quelle est la probabilité que cette lettre soit : a) une voyelle, b) une consonne, c) une lettre h?

Solution. Le mot différentiel comporte 12 lettres, dont 5 voyelles et 7 consonnes. Courrier h il n'y a pas dans ce mot. Notons les événements : A - "lettre voyelle", B - "lettre consonne", C - "lettre h". Le nombre d'issues élémentaires favorables : - pour l'événement A, - pour l'événement B, - pour l'événement C. Puisque n = 12, alors
, Et .

Exemple 8. Deux dés sont lancés et le nombre de points au dessus de chaque dé est noté. Trouvez la probabilité que les deux dés soient lancés même numéro points.

Solution. Notons cet événement par la lettre A. L'événement A est favorisé par 6 issues élémentaires : (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Le nombre total de résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements, dans ce cas n=6 2 =36. Cela signifie que la probabilité requise

Exemple 9. Le livre compte 300 pages. Quelle est la probabilité qu'une page ouverte au hasard ait numéro de série, multiple de 5 ?

Solution. Des conditions du problème, il s'ensuit que tous les résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements seront n = 300. Parmi ceux-ci, m = 60 favorisent l'apparition de l'événement spécifié. En effet, un nombre multiple de 5 a la forme 5k, où k est un nombre naturel, et , d'où . Ainsi,
, où A - l'événement « page » a un numéro de séquence qui est un multiple de 5".

Exemple 10. Deux dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus probable : obtenir un total de 7 ou 8 ?

Solution. Notons les événements : A - « 7 points sont lancés », B – « 8 points sont lancés ». L'événement A est favorisé par 6 résultats élémentaires : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1), et l'événement B est favorisé par 5 résultats : (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2). Tous les résultats élémentaires également possibles sont n = 6 2 = 36. Par conséquent, Et .

Ainsi, P(A)>P(B), c'est-à-dire qu'obtenir un total de 7 points est un événement plus probable que d'obtenir un total de 8 points.

Tâches

1. Un nombre naturel n’excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un multiple de 3 ?
2. Dans l'urne un rouge et b boules bleues, identiques en taille et en poids. Quelle est la probabilité qu’une boule tirée au hasard dans cette urne soit bleue ?
3. Un nombre n'excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un diviseur de 30 ?
4. Dans l'urne UN bleu et b boules rouges, identiques en taille et en poids. Une boule est retirée de cette urne et mise de côté. Cette balle s'est avérée être rouge. Après cela, une autre boule est tirée de l'urne. Trouvez la probabilité que la deuxième boule soit également rouge.
5. Un nombre national ne dépassant pas 50 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?
6. Trois dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 9 ou 10 points ?
7. Trois dés sont lancés et la somme des points lancés est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 11 (événement A) ou de 12 points (événement B) ?

Réponses

1. 1/3. 2 . b/(un+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(un+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilité d'obtenir 9 points au total ; p 2 = 27/216 - probabilité d'obtenir 10 points au total ; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Questions

1. Quelle est la probabilité d’un événement appelé ?
2. Quelle est la probabilité d’un événement fiable ?
3. Quelle est la probabilité qu’un événement impossible se produise ?
4. Quelles sont les limites de la probabilité d’un événement aléatoire ?
5. Quelles sont les limites de la probabilité de tout événement ?
6. Quelle définition de la probabilité est dite classique ?