2., 5.
,

3.
, 6.
.

Dans les intégrales 1-3 comme toi accepter . Puis après n-application multiple de la formule (19) on arrive à une des intégrales du tableau

,
,
.

Dans les intégrales 4-6, lors de la différenciation, simplifiez le facteur transcendantal
,
ou
, qu'il faut considérer comme toi.

Calculez les intégrales suivantes.

Exemple 7.

Exemple 8.

Réduire les intégrales à elles-mêmes

Si l'intégrande
a la forme :

,
,
et ainsi de suite,

puis après avoir intégré deux fois par parties on obtient une expression contenant l'intégrale d'origine :

,

Où
- une constante.

Résoudre l'équation résultante pour , on obtient une formule de calcul de l'intégrale d'origine :

.

Ce cas d'application de la méthode d'intégration par parties est appelé " ramener l'intégrale à elle-même».

Exemple 9. Calculer l'intégrale
.

Sur le côté droit se trouve l'intégrale d'origine . Le transférer à côté gauche, on a:

.

Exemple 10. Calculer l'intégrale
.

4.5. Intégration des fractions rationnelles propres les plus simples

Définition.Les fractions propres les plus simples je , II Et III les types Les fractions suivantes sont appelées :

je. ;

II.
; (
- entier positif) ;

III.
;
.

(les racines du dénominateur sont complexes, c'est-à-dire :

je.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Considérons les intégrales de fractions simples.
On transforme le numérateur de la fraction de manière à isoler le terme au numérateur

, égal à la dérivée du dénominateur.

Considérons la première des deux intégrales obtenues et apportons-y une modification :

Dans la deuxième intégrale, nous ajoutons le dénominateur à un carré parfait :

=
+
. (22)

Enfin, l'intégrale d'une fraction du troisième type est égale à :

Ainsi, l'intégrale des fractions les plus simples du type I est exprimée par des logarithmes, du type II - par des fonctions rationnelles, du type III - par des logarithmes et des arctangentes.

4.6.Intégration de fonctions fractionnaires-rationnelles

L'une des classes de fonctions dont l'intégrale est exprimée en termes de fonctions élémentaires est la classe des fonctions algébriques rationnelles, c'est-à-dire les fonctions résultant d'un nombre fini d'opérations algébriques sur un argument.
Toute fonction rationnelle
peut être représenté comme un rapport de deux polynômes
:

. (23)

Et

Nous supposerons que les polynômes n’ont pas de racines communes. Une fraction de la forme (23) est appelée correct , si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, c'est-à-dire< n. Sinon - faux.

Si la fraction est impropre, alors en divisant le numérateur par le dénominateur (selon la règle de division des polynômes), on présente la fraction comme la somme d'un polynôme et d'une fraction propre :

, (24)

Où
- polynôme, - fraction propre, et le degré du polynôme
- pas supérieur au diplôme ( n-1).

Exemple.

Puisque l’intégration d’un polynôme se réduit à la somme des intégrales tabulaires de fonction de puissance, alors la principale difficulté dans l'intégration de fractions rationnelles est d'intégrer des fractions rationnelles appropriées.

Il a été prouvé en algèbre que toute fraction propre se décompose en la somme de ce qui précède protozoaires fractions dont la forme est déterminée par les racines du dénominateur
.

Considérons trois cas particuliers. Ici et plus loin, nous supposerons que le coefficient au plus haut degré du dénominateur
égal à un =1, c'est-à-direpolynôme réduit .

Cas 1. Les racines du dénominateur, c'est-à-dire les racines
équations
=0, sont valides et distincts. Nous représentons ensuite le dénominateur comme un produit de facteurs linéaires :

et la fraction propre est décomposée en fractions les plus simples du type I :

, (26)

Où
- quelques nombres constants, qui sont trouvés par la méthode des coefficients indéterminés.

Pour ce faire, vous avez besoin de :

1. Diriger côté droit expansion (26) vers un dénominateur commun.

2. Égalisez les coefficients de puissances identiques de polynômes identiques au numérateur des côtés gauche et droit. On obtient un système d'équations linéaires pour déterminer
.

3. Résolvez le système résultant et trouvez les coefficients indéterminés
.

Alors l'intégrale de la fonction fractionnaire-rationnelle (26) sera égal à la somme intégrales des fractions les plus simples de type I, calculées à l'aide de la formule (20).

Exemple. Calculer l'intégrale
.

Solution. Factorisons le dénominateur en utilisant le théorème de Vieta :

Ensuite, la fonction intégrande est décomposée en une somme de fractions simples :

.

X:

Écrivons un système de trois équations pour trouver
X sur les côtés gauche et droit :

.

Indiquons une manière plus simple de trouver des coefficients incertains, appelée méthode de la valeur partielle.

En supposant l'égalité (27)
on a
, où
. Croire
on a
. Enfin, croire
on a
.

.

Cas 2. Racine du dénominateur
sont valides, mais parmi eux, il existe plusieurs racines (égales). On représente ensuite le dénominateur comme un produit de facteurs linéaires inclus dans le produit dans la mesure où la multiplicité de la racine correspondante est :

Où
.

Fraction appropriée la somme des fractions des types I et II sera décomposée. Laissez, par exemple, - racine du dénominateur de la multiplicité k, et tout le monde ( n- k) les racines sont différentes.

L’expansion ressemblera alors à :

De même, s’il existe d’autres racines multiples. Pour les racines non multiples, l'expansion (28) inclut les fractions les plus simples du premier type.

Exemple. Calculer l'intégrale
.

Solution. Imaginons la fraction comme une somme des fractions les plus simples de première et de deuxième espèce à coefficients indéterminés :

.

Ramenons le côté droit à un dénominateur commun et assimilons les polynômes dans les numérateurs des côtés gauche et droit :

Sur le côté droit, nous présentons des degrés égaux X:

Écrivons un système de quatre équations pour trouver
peut être représenté comme un rapport de deux polynômes . Pour ce faire, on assimile les coefficients aux mêmes puissances Xà gauche et à droite

.

Cas 3. Parmi les racines du dénominateur
il existe des racines simples complexes. C'est-à-dire que l'expansion du dénominateur inclut des facteurs du deuxième degré
, non décomposables en facteurs linéaires réels, et ils ne sont pas répétés.

Ensuite, dans la décomposition d'une fraction, chacun de ces facteurs correspondra à une fraction la plus simple de type III. Les facteurs linéaires correspondent aux fractions les plus simples des types I et II.

Exemple. Calculer l'intégrale
.

Solution.
.

.

.

Un test d'intégration de fonctions, dont les fractions rationnelles, est proposé aux étudiants de 1ère et 2ème années. Les exemples d’intégrales intéresseront principalement les mathématiciens, les économistes et les statisticiens. Ces exemples ont été demandés sur travail d'essaià LNU nommé d'après. I. Franck. Conditions exemples suivants«Trouver l'intégrale» ou «Calculer l'intégrale», donc pour gagner de la place et du temps, ils n'ont pas été écrits.

Exemple 15. Nous sommes arrivés à l'intégration de fonctions fractionnaires-rationnelles. Ils occupent endroit spécial parmi les intégrales, car elles nécessitent beaucoup de temps pour être calculées et aident les enseignants à tester vos connaissances non seulement en matière d'intégration. Pour simplifier la fonction sous l'intégrale, on ajoute et soustrait une expression au numérateur qui nous permettra de diviser la fonction sous l'intégrale en deux simples

En conséquence, nous trouvons une intégrale assez rapidement, dans la seconde nous devons développer la fraction en une somme de fractions élémentaires

Lorsqu'on les réduit à un dénominateur commun, on obtient les chiffres suivants

Ensuite, ouvrez les parenthèses et le groupe

Nous assimilons la valeur pour les mêmes puissances de « x » à droite et à gauche. En conséquence, nous arrivons à un système de trois équations linéaires(SLAU) avec trois inconnues.

Comment résoudre des systèmes d'équations est décrit dans d'autres articles du site. A la fin, vous recevrez solution suivante SLAU
A = 4 ; B=-9/2 ; C=-7/2.
Nous substituons des constantes dans le développement des fractions en fractions simples et effectuons l'intégration


Ceci conclut l’exemple.

Exemple 16. Encore une fois, nous devons trouver l'intégrale d'une fonction rationnelle fractionnaire. Commencer équation cubique, qui est contenu dans le dénominateur de la fraction, nous allons le décomposer en facteurs simples

Ensuite, nous décomposons la fraction sous ses formes les plus simples

Rassemblons-le côté droit au dénominateur commun et ouvrez les parenthèses au numérateur.


Nous égalisons les coefficients pour les mêmes degrés de la variable. Revenons au SLAE avec trois inconnues

Remplaçons valeurs A, B, C dans le développement et calculer l’intégrale

Les deux premiers termes donnent le logarithme, le dernier est également facile à trouver.

Exemple 17. Au dénominateur de la fonction rationnelle fractionnaire nous avons la différence des cubes. A l'aide des formules de multiplication abrégées, on le décompose en deux facteurs premiers

En outre reçu fonction fractionnaire notez le montant fractions simples et amène-les sous dénominateur commun

Au numérateur, nous obtenons l’expression suivante.

À partir de là, nous formons un système d'équations linéaires pour calculer 3 inconnues

A=1/3 ; B=-1/3 ; C=1/3.
Nous substituons A, B, C dans la formule et effectuons l'intégration. En conséquence, nous arrivons à la réponse suivante :


Ici, le numérateur de la deuxième intégrale a été converti en logarithme, et le reste sous l'intégrale donne l'arctangente.
Exemples similaires Il y a beaucoup de choses sur Internet sur l’intégration de fractions rationnelles. Vous pouvez trouver des exemples similaires dans les documents ci-dessous.

« Un mathématicien, tout comme un artiste ou un poète, crée des motifs. Et si ses motifs sont plus stables, c'est uniquement parce qu'ils sont composés d'idées... Les motifs d'un mathématicien, tout comme ceux d'un artiste ou d'un poète, doivent être beaux ; Les idées, tout comme les couleurs ou les mots, doivent se correspondre. La beauté est la première exigence : il n’y a pas de place au monde pour les mathématiques laides».

G.H.Hardy

Dans le premier chapitre, il a été noté qu'il existe des primitives assez fonctions simples, qui ne peut plus s'exprimer à travers fonctions élémentaires. À cet égard, les classes de fonctions dont on peut dire avec précision que leurs primitives sont des fonctions élémentaires acquièrent une énorme importance pratique. Cette classe de fonctions comprend fonctions rationnelles, représentant le rapport de deux polynômes algébriques. De nombreux problèmes conduisent à l’intégration de fractions rationnelles. Il est donc très important de pouvoir intégrer de telles fonctions.

2.1.1. Fonctions rationnelles fractionnaires

Fraction rationnelle(ou fonction rationnelle fractionnaire) est la relation de deux polynômes algébriques :

où et sont des polynômes.

Rappelons que polynôme (polynôme, entier fonction rationnelle ) nème degré appelée fonction de la forme

Où – nombres réels. Par exemple,

– polynôme du premier degré ;

– polynôme du quatrième degré, etc.

La fraction rationnelle (2.1.1) s'appelle Une fraction de la forme (23) est appelée, si le diplôme est inférieur au diplôme , c'est-à-dire n<, si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, c'est-à-dire, sinon la fraction s'appelle faux.

Toute fraction impropre peut être représentée comme la somme d'un polynôme (la partie entière) et d'une fraction propre (la partie fractionnaire). La séparation des parties entières et fractionnaires d'une fraction impropre peut se faire selon la règle de division des polynômes par un « coin ».

Exemple 2.1.1. Identifiez les parties entières et fractionnaires des fractions rationnelles impropres suivantes :

UN) , b) .

Solution . a) En utilisant l’algorithme de division « coin », on obtient

Ainsi, nous obtenons

.

b) Ici, nous utilisons également l'algorithme de division « coin » :

En conséquence, nous obtenons

.

Résumons. Dans le cas général, l'intégrale indéfinie d'une fraction rationnelle peut être représentée comme la somme des intégrales du polynôme et de la fraction rationnelle propre. Trouver des primitives de polynômes n’est pas difficile. Par conséquent, dans ce qui suit, nous considérerons principalement les fractions rationnelles propres.

2.1.2. Les fractions rationnelles les plus simples et leur intégration

Parmi les fractions rationnelles propres, il existe quatre types, classés comme suit : les fractions rationnelles (élémentaires) les plus simples :

où est un entier, , c'est à dire. trinôme quadratique n'a pas de véritables racines.

Intégrer des fractions simples de type 1 et de type 2 ne présente pas beaucoup de difficulté :

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Considérons maintenant l'intégration de fractions simples du 3ème type, mais nous ne considérerons pas les fractions du 4ème type.

Commençons par les intégrales de la forme

.

Cette intégrale est généralement calculée en isolant le carré parfait du dénominateur. Le résultat est un tableau intégral de la forme suivante

ou .

Exemple 2.1.2. Trouvez les intégrales :

UN) , b) .

Solution . a) Sélectionnez un carré complet à partir d'un trinôme quadratique :

De là, nous trouvons

b) En isolant un carré complet d'un trinôme quadratique, on obtient :

Ainsi,

.

Pour trouver l'intégrale

vous pouvez isoler la dérivée du dénominateur au numérateur et développer l'intégrale en la somme de deux intégrales : la première d'entre elles par substitution ça se résume à l'apparence

,

et le second - à celui discuté ci-dessus.

Exemple 2.1.3. Trouvez les intégrales :

.

Solution . remarquerez que . Isolons la dérivée du dénominateur au numérateur :

La première intégrale est calculée en utilisant la substitution :

Dans la deuxième intégrale, on sélectionne le carré parfait au dénominateur

Finalement, nous obtenons

2.1.3. Expansion rationnelle des fractions
pour la somme de fractions simples

Toute fraction rationnelle appropriée peut être représenté de manière unique comme une somme de fractions simples. Pour ce faire, le dénominateur doit être factorisé. De l'algèbre supérieure, on sait que tout polynôme à coefficients réels

Intégration d'une fonction fractionnaire-rationnelle.
Méthode du coefficient incertain

Nous continuons à travailler sur l'intégration des fractions. Nous avons déjà examiné les intégrales de certains types de fractions dans la leçon, et cette leçon, dans un certain sens, peut être considérée comme une continuation. Pour bien comprendre le matériel, des compétences de base en intégration sont requises, donc si vous venez de commencer à étudier les intégrales, c'est-à-dire que vous êtes débutant, vous devez alors commencer par l'article Intégrale indéfinie. Exemples de solutions.

Curieusement, nous ne nous occuperons plus tant de la recherche d'intégrales que de... la résolution de systèmes d'équations linéaires. À cet égard instamment Je recommande d'assister au cours. À savoir, vous devez bien connaître les méthodes de substitution (méthode « l'école » et la méthode d'addition (soustraction) terme par terme des équations système).

Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle fractionnaire ? En termes simples, une fonction fractionnaire-rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes ou des produits de polynômes. De plus, les fractions sont plus sophistiquées que celles évoquées dans l'article Intégrer certaines fractions.

Intégrer une fonction fractionnaire-rationnelle appropriée

Immédiatement un exemple et un algorithme typique pour résoudre l'intégrale d'une fonction fractionnaire-rationnelle.

Exemple 1

Étape 1. La première chose que nous faisons TOUJOURS lors de la résolution d’une intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire est de clarifier la question suivante : la fraction est-elle correcte ? Cette étape s'effectue verbalement, et maintenant je vais vous expliquer comment :

Nous regardons d'abord le numérateur et découvrons diplôme supérieur polynôme:

La puissance principale du numérateur est deux.

Maintenant, regardons le dénominateur et découvrons diplôme supérieur dénominateur. La manière la plus évidente consiste à ouvrir les parenthèses et à amener des termes similaires, mais vous pouvez le faire plus simplement, en chaque trouver le diplôme le plus élevé entre parenthèses

et multipliez mentalement : - ainsi, le degré le plus élevé du dénominateur est égal à trois. Il est bien évident que si nous ouvrons effectivement les parenthèses, nous n’obtiendrons pas un degré supérieur à trois.

Conclusion: Degré majeur du numérateur STRICTEMENT est inférieur à la puissance la plus élevée du dénominateur, ce qui signifie que la fraction est propre.

Si dans cet exemple le numérateur contenait le polynôme 3, 4, 5, etc. degrés, alors la fraction serait faux.

Nous ne considérerons maintenant que les fonctions rationnelles fractionnaires correctes. Le cas où le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur sera abordé à la fin de la leçon.

Étape 2. Factorisons le dénominateur. Regardons notre dénominateur :

D’une manière générale, cela est déjà le produit de facteurs, mais nous nous demandons néanmoins : est-il possible d’étendre autre chose ? L'objet de la torture sera sans aucun doute le trinôme carré. Résoudre l'équation quadratique :

Le discriminant est supérieur à zéro, ce qui signifie que le trinôme est réellement factorisable :

Règle générale : TOUT ce qui PEUT être pris en compte dans le dénominateur - factorisez-le

Commençons par formuler une solution :

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions simples (élémentaires). Maintenant, ce sera plus clair.

Regardons notre fonction intégrande :

Et, vous savez, d’une manière ou d’une autre, une pensée intuitive surgit selon laquelle ce serait bien de transformer notre grande fraction en plusieurs petites. Par exemple, comme ceci :

La question se pose : est-il même possible de faire cela ? Poussons un soupir de soulagement, déclare le théorème correspondant de l’analyse mathématique – C’EST POSSIBLE. Une telle décomposition existe et est unique.

Il n'y a qu'un seul piège, il y a de fortes chances que Au revoir Nous ne le savons pas, d’où le nom – la méthode des coefficients indéfinis.

Comme vous l’avez deviné, les mouvements ultérieurs du corps sont comme ça, ne ricanez pas ! visera simplement à les RECONNAÎTRE - à découvrir à quoi ils sont égaux.

Attention, je ne vous expliquerai en détail qu'une seule fois !

Alors, commençons à danser à partir de :

Sur le côté gauche, nous réduisons l'expression à un dénominateur commun :

Nous pouvons maintenant nous débarrasser en toute sécurité des dénominateurs (puisqu'ils sont les mêmes) :

Sur le côté gauche on ouvre les parenthèses, mais ne touche pas pour l'instant aux coefficients inconnus :

En même temps, nous répétons la règle scolaire de multiplication des polynômes. Quand j'étais enseignant, j'ai appris à prononcer cette règle avec un visage impassible : Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre polynôme.

Du point de vue d'une explication claire, il vaut mieux mettre les coefficients entre parenthèses (même si personnellement je ne le fais jamais pour gagner du temps) :

Nous composons un système d'équations linéaires.
Nous recherchons d’abord des diplômes supérieurs :

Et on écrit les coefficients correspondants dans la première équation du système :

Rappelez-vous bien le point suivant. Que se passerait-il s’il n’y avait aucun s sur le côté droit ? Disons, est-ce que cela s'afficherait sans aucun carré ? Dans ce cas, dans l'équation du système il faudrait mettre un zéro à droite : . Pourquoi zéro ? Mais parce qu'à droite on peut toujours attribuer zéro à ce même carré : Si à droite il n'y a pas de variables et/ou de terme libre, alors on met des zéros aux côtés droits des équations correspondantes du système.

On écrit les coefficients correspondants dans la deuxième équation du système :

Et enfin, l'eau minérale, nous sélectionnons les membres gratuits.

Eh... je plaisantais un peu. Blague à part, les mathématiques sont une science sérieuse. Dans notre groupe d'institut, personne n'a ri lorsque le professeur adjoint a dit qu'elle disperserait les termes le long de la droite numérique et choisirait les plus grands. Soyons sérieux. Bien que... celui qui vivra pour voir la fin de cette leçon sourira toujours tranquillement.

Le système est prêt :

On résout le système :

(1) À partir de la première équation, nous l'exprimons et la substituons dans les 2e et 3e équations du système. En fait, il était possible d'exprimer (ou une autre lettre) à partir d'une autre équation, mais dans ce cas il est avantageux de l'exprimer à partir de la 1ère équation, puisqu'il y a les plus petites chances.

(2) Nous présentons des termes similaires dans les 2e et 3e équations.

(3) On additionne les 2ème et 3ème équations terme par terme, obtenant l'égalité , d'où il résulte que

(4) Nous substituons dans la deuxième (ou troisième) équation, d'où nous trouvons que

(5) Remplacez et dans la première équation, obtenant .

Si vous rencontrez des difficultés avec les méthodes de résolution du système, pratiquez-les en classe. Comment résoudre un système d'équations linéaires ?

Après avoir résolu le système, il est toujours utile de vérifier - remplacer les valeurs trouvées chaqueéquation du système, du coup tout devrait « converger ».

Presque là. Les coefficients ont été trouvés, et :

Le travail terminé devrait ressembler à ceci :

Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté de la tâche était de composer (correctement !) et de résoudre (correctement !) un système d'équations linéaires. Et au stade final, tout n'est pas si difficile : on utilise les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie et on intègre. Veuillez noter que sous chacune des trois intégrales nous avons une fonction complexe « libre » j'ai parlé des caractéristiques de son intégration dans la leçon ; Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Vérifier : Différenciez la réponse :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.
Lors de la vérification, nous avons dû réduire l'expression à un dénominateur commun, et ce n'est pas un hasard. La méthode des coefficients indéfinis et la réduction d'une expression à un dénominateur commun sont des actions mutuellement inverses.

Exemple 2

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Revenons à la fraction du premier exemple : . Il est facile de remarquer qu’au dénominateur tous les facteurs sont DIFFÉRENTS. La question se pose, que faire si, par exemple, la fraction suivante est donnée : ? Ici, nous avons les degrés au dénominateur, ou, mathématiquement, multiples. De plus, il existe un trinôme quadratique qui ne peut être factorisé (il est facile de vérifier que le discriminant de l'équation est négatif, donc le trinôme ne peut pas être factorisé). Ce qu'il faut faire? Le développement en une somme de fractions élémentaires ressemblera à quelque chose comme avec des coefficients inconnus en haut ou autre chose ?

Exemple 3

Introduire une fonction

Étape 1. Vérifier si nous avons une fraction appropriée
Numérateur majeur : 2
Degré le plus élevé du dénominateur : 8
, ce qui signifie que la fraction est correcte.

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Evidemment non, tout est déjà prévu. Le trinôme carré ne peut pas être transformé en produit pour les raisons indiquées ci-dessus. Capot. Moins de travail.

Étape 3. Imaginons une fonction fractionnaire-rationnelle comme une somme de fractions élémentaires.
Dans ce cas, le développement a la forme suivante :

Regardons notre dénominateur :
Lors de la décomposition d'une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme de fractions élémentaires, trois points fondamentaux peuvent être distingués :

1) Si le dénominateur contient un facteur « solitaire » à la puissance première (dans notre cas), alors on met un coefficient indéfini en haut (dans notre cas). Les exemples n° 1 et 2 ne concernaient que de tels facteurs « solitaires ».

2) Si le dénominateur a plusieurs multiplicateur, alors vous devez le décomposer comme ceci :
- c'est-à-dire parcourir séquentiellement tous les degrés de « X » du premier au nième degré. Dans notre exemple, il y a deux facteurs multiples : et , regardez à nouveau l'expansion que j'ai donnée et assurez-vous qu'ils sont développés exactement selon cette règle.

3) Si le dénominateur contient un polynôme indécomposable du deuxième degré (dans notre cas), alors lors de la décomposition au numérateur, vous devez écrire une fonction linéaire à coefficients indéterminés (dans notre cas à coefficients indéterminés et ).

En fait, il existe un autre 4ème cas, mais je garderai le silence à ce sujet, car en pratique c'est extrêmement rare.

Exemple 4

Introduire une fonction comme somme de fractions élémentaires à coefficients inconnus.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.
Suivez strictement l'algorithme !

Si vous comprenez les principes selon lesquels vous devez développer une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme, vous pouvez parcourir presque toutes les intégrales du type considéré.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Étape 1. La fraction est évidemment correcte :

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Peut. Voici la somme des cubes . Factoriser le dénominateur à l'aide de la formule de multiplication abrégée

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions élémentaires :

Attention, le polynôme n'est pas factorisable (vérifiez que le discriminant est négatif), donc en haut on met une fonction linéaire à coefficients inconnus, et pas seulement une lettre.

Nous ramenons la fraction à un dénominateur commun :

Composons et résolvons le système :

(1) Nous exprimons à partir de la première équation et la substituons dans la deuxième équation du système (c'est la manière la plus rationnelle).

(2) Nous présentons des termes similaires dans la deuxième équation.

(3) On additionne terme par terme les deuxième et troisième équations du système.

Tous les calculs ultérieurs sont, en principe, oraux, puisque le système est simple.

(1) Nous notons la somme des fractions conformément aux coefficients trouvés.

(2) Nous utilisons les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie. Que s'est-il passé dans la deuxième intégrale ? Vous pouvez vous familiariser avec cette méthode dans le dernier paragraphe de la leçon. Intégrer certaines fractions.

(3) Encore une fois, nous utilisons les propriétés de linéarité. Dans la troisième intégrale, nous commençons à isoler le carré complet (avant-dernier paragraphe de la leçon Intégrer certaines fractions).

(4) On prend la deuxième intégrale, dans la troisième on sélectionne le carré complet.

(5) Prenez la troisième intégrale. Prêt.

Intégration de fonctions rationnelles Fractionnaire - fonction rationnelle Les fractions rationnelles les plus simples Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples Intégration de fractions simples Règle générale pour l'intégration de fractions rationnelles

polynôme de degré n. Fonction fractionnaire - rationnelle Une fonction fractionnaire - rationnelle est une fonction égale au rapport de deux polynômes : Une fraction rationnelle est dite propre si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, c'est-à-dire m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Fractionnel - fonction rationnelle Réduire une fraction impropre à la forme correcte : 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Fractions rationnelles les plus simples Fractions rationnelles propres de la forme : elles sont appelées fractions rationnelles les plus simples des types. hache A); 2(Nkk hache A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2 ; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples Théorème : Toute fraction rationnelle propre dont le dénominateur est factorisé : peut par ailleurs être représentée de manière unique sous la forme d'une somme de fractions simples : s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples Expliquons la formulation du théorème à l'aide des exemples suivants : Pour trouver les coefficients incertains A, B, C, D..., deux méthodes sont utilisées : la méthode de comparaison des coefficients et la méthode de valeurs partielles d'une variable. Examinons la première méthode à l'aide d'un exemple. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples Présenter la fraction comme une somme de fractions simples : Ramenons les fractions les plus simples à un dénominateur commun Égaler les numérateurs des fractions résultantes et originales Égaler les coefficients aux mêmes puissances x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Intégration des fractions les plus simples Trouvons les intégrales des fractions rationnelles les plus simples : Regardons l'intégration des fractions de type 3 à l'aide d'un exemple. dx hache A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Intégration de fractions simplesdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Intégration de fractions simples Une intégrale de ce type par substitution : se réduit à la somme de deux intégrales : La première intégrale se calcule en introduisant t sous le signe différentiel. La deuxième intégrale est calculée à l'aide de la formule de récurrence : dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Intégration de fractions simples a = 1 ; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Règle générale pour intégrer des fractions rationnelles Si la fraction est impropre, représentez-la comme la somme d'un polynôme et d'une fraction propre. Après avoir factorisé le dénominateur d'une fraction rationnelle propre, représentez-la comme une somme de fractions simples à coefficients indéfinis par la méthode de comparaison des coefficients ou par la méthode des valeurs partielles d'une variable. Intégrez le polynôme et la somme résultante de fractions simples.

Exemple Mettons la fraction sous la forme correcte. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Exemple Factorisons le dénominateur d'une fraction propre Représentons la fraction comme une somme de fractions simples Trouvons les coefficients indéterminés en utilisant la méthode des valeurs partielles de la variable xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Exemple dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln