4 મેક્સવેલનું સમીકરણ કહે છે કે. મેક્સવેલના સમીકરણો

મેક્સવેલ દ્વારા વિસ્થાપન પ્રવાહની વિભાવનાની રજૂઆતને કારણે તેણે બનાવેલ મેક્રોસ્કોપિક સિદ્ધાંતની પૂર્ણતા થઈ. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર, જે અમને માત્ર વિદ્યુત અને એકીકૃત દૃષ્ટિકોણથી સમજાવવા દે છે ચુંબકીય ઘટના, પણ નવાની આગાહી કરવા માટે, જેનું અસ્તિત્વ પછીથી પુષ્ટિ કરવામાં આવ્યું હતું.

મેક્સવેલનો સિદ્ધાંત 4 સમીકરણો પર આધારિત છે:

1. વિદ્યુત ક્ષેત્ર કાં તો સંભવિત અથવા વમળ હોઈ શકે છે, તેથી પરિણામી ક્ષેત્રની તાકાત સમાન છે:

આ સમીકરણ બતાવે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રો કાં તો મૂવિંગ ચાર્જ (ઇલેક્ટ્રિક કરંટ) દ્વારા અથવા વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ દ્વારા ઉત્તેજિત થઈ શકે છે.

3. ક્ષેત્ર માટે ગૌસનું પ્રમેય:

અમને મળે છે

તેથી, અભિન્ન સ્વરૂપમાં મેક્સવેલના સમીકરણોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ:

	1),
	2),

મેક્સવેલના સમીકરણોમાં સમાવિષ્ટ માત્રાઓ સ્વતંત્ર નથી અને તેમની વચ્ચે જોડાણ છે.

આઇસોટ્રોપિક, નોન-ફેરોઇલેક્ટ્રિક અને નોન-ફેરોમેગ્નેટિક મીડિયા માટે, અમે કનેક્શન ફોર્મ્યુલા લખીએ છીએ:


	b) ,
	વી) ,

વિદ્યુત સ્થિરાંક ક્યાં છે, ચુંબકીય સ્થિરાંક ક્યાં છે,

માધ્યમનો ડાઇલેક્ટ્રિક સ્થિરાંક, m - માધ્યમની ચુંબકીય અભેદ્યતા,

આર - ચોક્કસ વિદ્યુત પ્રતિકાર, - ચોક્કસ વિદ્યુત વાહકતા.

મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે શું:

સ્ત્રોત ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રક્યાં તો હોઈ શકે છે ઇલેક્ટ્રિક શુલ્ક, અથવા સમય-વિવિધ ચુંબકીય ક્ષેત્રો, જે ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ (કરંટ) ને ખસેડીને અથવા વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રો દ્વારા ઉત્તેજિત થઈ શકે છે.

મેક્સવેલના સમીકરણો વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતા ધરાવતા નથી. આ એ હકીકતને કારણે છે કે ચુંબકીય ચાર્જ પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વમાં નથી.

જો અને (સ્થિર ક્ષેત્રો), તો મેક્સવેલના સમીકરણો નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

વિદ્યુત સ્ત્રોતો સ્થિર ક્ષેત્રમાત્ર ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ છે, સ્થિર ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્ત્રોત માત્ર વહન પ્રવાહો છે .

માં ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર આ કિસ્સામાંએકબીજાથી સ્વતંત્ર, જે સતત ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો અલગથી અભ્યાસ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

મેક્સવેલના સમીકરણો લખવાનું વિભેદક સ્વરૂપ:



	3) ,

અભિન્ન સ્વરૂપમેક્સવેલના સમીકરણો લખવા વધુ સામાન્ય છે જો ત્યાં અસંતુલિત સપાટીઓ હોય. મેક્સવેલના સમીકરણને લખવાનું વિભેદક સ્વરૂપ ધારે છે કે અવકાશ અને સમયની તમામ માત્રા સતત બદલાતી રહે છે.

મેક્સવેલના સમીકરણો સૌથી વધુ છે સામાન્ય સમીકરણોશાંત મીડિયામાં ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો માટે. તેઓ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમના સિદ્ધાંતમાં સમાન ભૂમિકા ભજવે છે. મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા, મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના નિયમોની જેમ. મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે કે વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર હંમેશા વૈકલ્પિક વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલું હોય છે, અને વૈકલ્પિક વિદ્યુત ક્ષેત્ર હંમેશા તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલું હોય છે, એટલે કે. ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજા સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલા છે - તેઓ એક ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર બનાવે છે.

મેક્સવેલના સમીકરણોના ગુણધર્મો

મેક્સવેલના સમીકરણો રેખીય છે. તેઓ સમય અને અવકાશી કોઓર્ડિનેટ્સ અને ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ અને કરંટ j ની ઘનતાના પ્રથમ ડિગ્રીના સંદર્ભમાં E અને B ક્ષેત્રોના ફક્ત પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે. મેક્સવેલના સમીકરણોની રેખીયતાની મિલકત સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત સાથે સંકળાયેલી છે; જો કોઈપણ બે ક્ષેત્રો મેક્સવેલના સમીકરણોને સંતોષે છે, તો તે આ ક્ષેત્રોના સરવાળાને પણ લાગુ પડે છે.

મેક્સવેલના સમીકરણોમાં ઇલેક્ટ્રીક ચાર્જના સંરક્ષણના કાયદાને વ્યક્ત કરતા સાતત્ય સમીકરણો છે. સાતત્ય સમીકરણ મેળવવા માટે, વિભેદક સ્વરૂપમાં મેક્સવેલના પ્રથમ સમીકરણોની બંને બાજુથી વિચલન લેવું જરૂરી છે:

મેક્સવેલના સમીકરણો સંદર્ભના તમામ જડતા ફ્રેમમાં સંતુષ્ટ છે. તેઓ સાપેક્ષ રીતે અપરિવર્તક છે. આ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતનું પરિણામ છે, જે મુજબ સંદર્ભની તમામ જડતા ફ્રેમ્સ ભૌતિક રીતે એકબીજાની સમકક્ષ છે. એકમાંથી પસાર થતી વખતે મેક્સવેલના સમીકરણોનું સ્વરૂપ ઇનર્શિયલ સિસ્ટમબીજાનો સંદર્ભ બદલાતો નથી, પરંતુ તેમાં સમાવિષ્ટ જથ્થાઓ અનુસાર રૂપાંતરિત થાય છે ચોક્કસ નિયમો. તે. મેક્સવેલના સમીકરણો સાચા સાપેક્ષ સમીકરણો છે, ઉદાહરણ તરીકે, ન્યૂટનના મિકેનિક્સના સમીકરણોથી વિપરીત.

મેક્સવેલના સમીકરણો વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સંદર્ભમાં અસમપ્રમાણ છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને ચુંબકીય શુલ્કના.

મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે મહત્વપૂર્ણ નિષ્કર્ષમૂળભૂત રીતે નવી ઘટનાના અસ્તિત્વ વિશે: ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર સ્વતંત્ર રીતે અસ્તિત્વમાં રહેવા માટે સક્ષમ છે - ઇલેક્ટ્રિકલ ચાર્જ અને પ્રવાહો વિના. તદુપરાંત, તેના પરિવર્તનમાં આવશ્યકપણે તરંગનું પાત્ર હોય છે. આ પ્રકારના ક્ષેત્રોને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો કહેવામાં આવે છે. શૂન્યાવકાશમાં તેઓ હંમેશા ઝડપે પ્રચાર કરે છે સમાન ઝડપસ્વેતા. મેક્સવેલના સિદ્ધાંતે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના અસ્તિત્વની આગાહી કરી હતી અને તેના તમામ મૂળભૂત ગુણધર્મો સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું હતું.

સ્થિર (એટલે કે, સમય-અચલ) ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના કિસ્સામાં, જેનું મૂળ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર માટેના સ્થિર ચાર્જ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે સ્થિર પ્રવાહો સાથે સંકળાયેલું છે, આ ક્ષેત્રો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે, જે પરવાનગી આપે છે અમે તેમને એકબીજાથી અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ.

મેક્સવેલના સમીકરણોએ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે જે ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂળ અને ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે.

સ્થિર ક્ષેત્રો માટે મેક્સવેલના સમીકરણો:

આમ, સ્થિર ક્ષેત્રો માટે મેક્સવેલના સમીકરણો:

I.; II. ;

III.; IV. .

ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક ક્ષેત્રની વેક્ટર લાક્ષણિકતાઓ અને નીચેના સંબંધ દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે:

જ્યાં - વિદ્યુત સ્થિરતા,  – માધ્યમનો ડાઇલેક્ટ્રિક સ્થિરાંક.

ચુંબકીય ક્ષેત્રની વેક્ટર લાક્ષણિકતાઓ અને નીચેના સંબંધ દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે:

જ્યાં - ચુંબકીય સ્થિરાંક, – માધ્યમની ચુંબકીય અભેદ્યતા.

વિષય 8. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડ માટે મેક્સવેલના સમીકરણો

અનુસાર ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર માટે મેક્સવેલના સિદ્ધાંતોબિન-સ્થિર (એટલે કે, સમય-વિવિધ) વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના કિસ્સામાં, વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્ત્રોતો કાં તો ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ અથવા સમય-વિવિધ ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોઈ શકે છે, અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્ત્રોતો કાં તો ગતિશીલ હોઈ શકે છે. ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ (ઇલેક્ટ્રિક કરંટ) અથવા વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર.

સ્થિર ક્ષેત્રોથી વિપરીત, વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાથી સ્વતંત્ર નથી અને તેને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર તરીકે ગણવામાં આવે છે.

મેક્સવેલના સમીકરણો,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂળ અને ગુણધર્મોનું વર્ણન કરતી સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે કિસ્સામાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રફોર્મ ધરાવે છે:

આઈ.
, એટલે કે, ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ સ્ટ્રેન્થ વેક્ટરનું પરિભ્રમણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇન્ડક્શન વેક્ટરના ફેરફારના દર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. (ઇન્ડક્શન વેક્ટરના ફેરફારનો દર ).

આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્ત્રોત માત્ર વિદ્યુત ચાર્જ જ નહીં, પણ સમય-વિવિધ ચુંબકીય ક્ષેત્રો પણ હોઈ શકે છે.

II.
, એટલે કે વેક્ટર પ્રવાહ વિદ્યુત વિસ્થાપન મનસ્વી બંધ સપાટી દ્વારા એસ, સમાન છે બીજગણિત રકમવોલ્યુમની અંદર સમાયેલ ચાર્જ વી, આપેલ બંધ સપાટી દ્વારા બંધાયેલ એસ ( - વોલ્યુમેટ્રિક ચાર્જ ઘનતા).

III.
, એટલે કે, તાણ વેક્ટરનું પરિભ્રમણ એક મનસ્વી બંધ સમોચ્ચ સાથે એલ કુલ વર્તમાન દ્વારા નિર્ધારિત આઈ સંપૂર્ણસપાટીને વેધન એસ, આ સમોચ્ચ દ્વારા મર્યાદિત એલ.

- કુલ વર્તમાન આઈ સંપૂર્ણ, વહન વર્તમાન સમાવેશ થાય છે આઈ અને પૂર્વગ્રહ વર્તમાન આઈ સેમી, એટલે કે આઈ સંપૂર્ણ = આઈ + આઈ સેમી .

કુલ વહન વર્તમાન આઈમાં વ્યાખ્યાયિત સામાન્ય કેસસપાટી વર્તમાન ઘનતા દ્વારા j (
) એકીકરણ, એટલે કે

પૂર્વગ્રહ વર્તમાન આઈ સેમીસપાટીને વેધન એસ, સામાન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

સપાટી પૂર્વગ્રહ વર્તમાન ઘનતા દ્વારા કેસ
(
) એકીકરણ, એટલે કે:
.

મેક્સવેલ દ્વારા રજૂ કરાયેલ "વિસ્થાપન પ્રવાહ" ની વિભાવના, જેની તીવ્રતા ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટરના ફેરફારના દર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. , એટલે કે મૂલ્ય , દર્શાવે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રો માત્ર મૂવિંગ ચાર્જ (ઇલેક્ટ્રિક વહન પ્રવાહ) દ્વારા જ નહીં, પણ વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રો દ્વારા પણ ઉત્તેજિત થઈ શકે છે.

IV.
, એટલે કે, ઇન્ડક્શન વેક્ટરનો પ્રવાહ મનસ્વી બંધ સપાટી દ્વારા ચુંબકીય ક્ષેત્ર એસશૂન્ય બરાબર.

મેક્સવેલનો સિદ્ધાંત ઉપર ચર્ચા કરેલ ચાર સમીકરણો પર આધારિત છે:

1. ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર ક્યાં તો સંભવિત હોઈ શકે છે ( ઇપ્ર), અને વમળ ( ઇબી), તેથી કુલ ક્ષેત્રની તાકાત ઇ=ઇપ્ર +ઇબી. વેક્ટરનું પરિભ્રમણ હોવાથી ઇપ્રશૂન્યની બરાબર છે (જુઓ (137.3)), અને વેક્ટરનું પરિભ્રમણ ઇબીઅભિવ્યક્તિ (137.2) દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, પછી કુલ ક્ષેત્ર શક્તિ વેક્ટરનું પરિભ્રમણ

2. સામાન્યકૃત વેક્ટર પરિભ્રમણ પ્રમેય એન(જુઓ (138.4)):

3. ક્ષેત્ર માટે ગૌસનું પ્રમેય ડી(જુઓ (89.3)):

જો ચાર્જ સતત બંધ સપાટીની અંદર વિતરિત થાય છે જથ્થાબંધ ઘનતા આર,પછી ફોર્મમાં ફોર્મ્યુલા (139.1) લખવામાં આવશે

4. ક્ષેત્ર માટે ગૌસનું પ્રમેય IN(જુઓ (120.3)):

તેથી, અભિન્ન સ્વરૂપમાં મેક્સવેલના સમીકરણોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ:

મેક્સવેલના સમીકરણોમાં સમાવિષ્ટ માત્રાઓ સ્વતંત્ર નથી અને તેમની વચ્ચે નીચેના સંબંધ અસ્તિત્વમાં છે (આઇસોટ્રોપિક નોન-ફેરોઇલેક્ટ્રિક અને નોન-ફેરોમેગ્નેટિક મીડિયા):

જ્યાં ઇ 0 અને m 0 - અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય સ્થિરાંકો, ઇઅને m-અનુક્રમે ડાઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય અભેદ્યતા, g - વાહકતાપદાર્થો

મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્ત્રોતો કાં તો ઈલેક્ટ્રિક ચાર્જિસ અથવા સમય-વિવિધ ચુંબકીય ક્ષેત્રો હોઈ શકે છે, અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો ક્યાં તો વિદ્યુત ચાર્જ (ઈલેક્ટ્રિક કરંટ) ખસેડીને અથવા વૈકલ્પિક વિદ્યુત ક્ષેત્રો દ્વારા ઉત્તેજિત થઈ શકે છે. મેક્સવેલના સમીકરણો વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતા ધરાવતા નથી. આ એ હકીકતને કારણે છે કે પ્રકૃતિમાં ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ છે, પરંતુ કોઈ ચુંબકીય ચાર્જ નથી.

સ્થિર ક્ષેત્રો માટે (E= const અને B= const ) મેક્સવેલના સમીકરણોફોર્મ લેશે

તે આ કિસ્સામાં, વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્ત્રોત માત્ર ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ છે, ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્ત્રોતો માત્ર વહન પ્રવાહો છે. આ કિસ્સામાં, ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે, જે અલગથી અભ્યાસ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. કાયમીઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો.

વેક્ટર વિશ્લેષણથી જાણીતા સ્ટોક્સ અને ગૌસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવો

કોઈ કલ્પના કરી શકે છે વિભેદક સ્વરૂપમાં મેક્સવેલના સમીકરણોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ(અવકાશમાં દરેક બિંદુ પર ક્ષેત્રનું લક્ષણ દર્શાવવું):

જો ચાર્જ અને કરંટ અવકાશમાં સતત વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો મેક્સવેલના સમીકરણોના બંને સ્વરૂપો - અભિન્ન અને વિભેદક - સમાન છે. જો કે, જો ત્યાં અવ્યવસ્થિત સપાટીઓ હોય - સપાટીઓ કે જેના પર માધ્યમ અથવા ક્ષેત્રોના ગુણધર્મો અચાનક બદલાય છે, તો સમીકરણોનું અભિન્ન સ્વરૂપ વધુ સામાન્ય છે.

વિભેદક સ્વરૂપમાં મેક્સવેલના સમીકરણો ધારે છે કે અવકાશ અને સમયની તમામ માત્રાઓ સતત બદલાતી રહે છે. મેક્સવેલના સમીકરણોના બંને સ્વરૂપોની ગાણિતિક સમાનતા પ્રાપ્ત કરવા માટે, વિભેદક સ્વરૂપને પૂરક બનાવવામાં આવે છે. સીમા શરતો,જે બે માધ્યમો વચ્ચેના ઇન્ટરફેસ પરના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રે સંતોષવું આવશ્યક છે. મેક્સવેલના સમીકરણોના અભિન્ન સ્વરૂપમાં આ શરતો શામેલ છે. આ પહેલાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે:

(પ્રથમ અને છેલ્લા સમીકરણો એવા કિસ્સાઓને અનુરૂપ હોય છે જ્યારે ત્યાં ના હોય મફત શુલ્ક, કોઈ વહન પ્રવાહ નથી).

મેક્સવેલના સમીકરણો વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો માટેના સૌથી સામાન્ય સમીકરણો છે શાંત વાતાવરણ.તેઓ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમના સિદ્ધાંતમાં મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના નિયમોની સમાન ભૂમિકા ભજવે છે. મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી તે અનુસરે છે કે વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર હંમેશા તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલું હોય છે, અને વૈકલ્પિક વિદ્યુત ક્ષેત્ર હંમેશા તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલું હોય છે, એટલે કે, વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજા સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલા હોય છે. - તેઓ એક બનાવે છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર.

પૂર્વગ્રહ વર્તમાનઅથવા શોષણ વર્તમાન- વિદ્યુત ઇન્ડક્શનમાં ફેરફારના દરના સીધા પ્રમાણસરનું મૂલ્ય. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ ક્લાસિકલ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં થાય છે

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડના સિદ્ધાંતનું નિર્માણ કરતી વખતે જે.સી. મેક્સવેલ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું.

વિસ્થાપન પ્રવાહની રજૂઆતથી ચુંબકીય ક્ષેત્રના પરિભ્રમણ માટે એમ્પીયર સૂત્રમાંના વિરોધાભાસને દૂર કરવાનું શક્ય બન્યું, જે, વિસ્થાપન પ્રવાહ ઉમેર્યા પછી, સુસંગત બન્યું અને છેલ્લું સમીકરણ રચ્યું, જેણે સિસ્ટમને યોગ્ય રીતે બંધ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું. (શાસ્ત્રીય) ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના સમીકરણો.

સખત રીતે કહીએ તો, પૂર્વગ્રહ વર્તમાન નથી ઇલેક્ટ્રિક આંચકો, પરંતુ ઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ જેવા જ એકમોમાં માપવામાં આવે છે.

ગુણાંક) ને ચોક્કસ સપાટી દ્વારા ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રના પરિવર્તનની વેક્ટરના વેક્ટરનો પ્રવાહ કહેવામાં આવે છે:

(SI)

પૂર્વગ્રહ વર્તમાન.શૂન્યાવકાશમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રના સમીકરણોને સામાન્ય બનાવવા માટે ચલ ક્ષેત્રોઅગાઉ લખેલા સમીકરણોમાંથી માત્ર એક જ બદલવું જરૂરી છે (વિભાગો 3.4, 3.12 જુઓ); ત્રણ સમીકરણો સામાન્ય કિસ્સામાં સાચા નીકળે છે. જો કે, વૈકલ્પિક ક્ષેત્રો અને પ્રવાહોના કિસ્સામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે કુલ પ્રવાહનો નિયમ ખોટો હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આ કાયદા અનુસાર, સમોચ્ચ સાથે ખેંચાયેલી કોઈપણ બે સપાટીઓ માટે વર્તમાન સમાન હોવો જોઈએ; જો પસંદ કરેલી સપાટીઓ વચ્ચેના જથ્થામાં ચાર્જ બદલાય છે, તો આ નિવેદન ચાર્જ સંરક્ષણના કાયદાનો વિરોધાભાસ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેપેસિટર (ફિગ. 45) ચાર્જ કરતી વખતે, સૂચવેલ સપાટીઓમાંથી એક દ્વારા પ્રવાહ સમાન હોય છે અને બીજી (પ્લેટો વચ્ચે પસાર થાય છે) - શૂન્ય. આ વિરોધાભાસને દૂર કરવા માટે, મેક્સવેલે આ સમીકરણમાં વિસ્થાપન પ્રવાહ રજૂ કર્યો, ઝડપ માટે પ્રમાણસરવિદ્યુત ક્ષેત્રના ફેરફારો:

ડાઇલેક્ટ્રિક માધ્યમમાં, વિસ્થાપન પ્રવાહ માટેની અભિવ્યક્તિ આ સ્વરૂપ લે છે:

પ્રથમ શબ્દ શૂન્યાવકાશમાં વિસ્થાપન વર્તમાન ઘનતાને રજૂ કરે છે, બીજો - વાસ્તવિક વર્તમાન, જ્યારે ધ્રુવીકરણ બદલાય છે ત્યારે બાઉન્ડ ચાર્જની હિલચાલને કારણે થાય છે. સપાટી દ્વારા વિસ્થાપન પ્રવાહ સમાન છે જ્યાં Ф એ સપાટી દ્વારા વેક્ટર પ્રવાહ છે. પૂર્વગ્રહ પ્રવાહની રજૂઆત ચાર્જના સંરક્ષણના કાયદા સાથેના વિરોધાભાસને દૂર કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાર્જ કરતી વખતે ફ્લેટ કેપેસિટરપ્લેટો વચ્ચે પસાર થતી સપાટી દ્વારા વિસ્થાપન પ્રવાહ, વર્તમાન સમાનસપ્લાય વાયર સાથે.

વેક્યૂમમાં મેક્સવેલની સમીકરણોની સિસ્ટમ.વિસ્થાપન પ્રવાહની રજૂઆત કર્યા પછી, વિભેદક સ્વરૂપમાં મેક્સવેલના સમીકરણોની સિસ્ટમ આ સ્વરૂપ લે છે:

અભિન્ન સ્વરૂપમાં મેક્સવેલની સમીકરણોની સિસ્ટમ:

અમે CGS સિસ્ટમમાં વિભેદક સ્વરૂપમાં મેક્સવેલના સમીકરણોનું પ્રતિનિધિત્વ પણ રજૂ કરીએ છીએ:

ચાર્જ અને વર્તમાન ઘનતા સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

ચાર્જના સંરક્ષણનો કાયદો વ્યક્ત કરવો (આ સમીકરણ મેક્સવેલના સમીકરણોનું પરિણામ છે).

એક માધ્યમમાં મેક્સવેલના સમીકરણોફોર્મ ધરાવે છે: વિભેદક સ્વરૂપ અભિન્ન સ્વરૂપ

અને ચાર જથ્થા નક્કી કરવા માટે સર્વ કરો. મેક્સવેલના સમીકરણો માટે, માધ્યમમાં, વિદ્યુત અને લાક્ષણિકતા વચ્ચેના જોડાણના ભૌતિક સમીકરણો ઉમેરવા જરૂરી છે. ચુંબકીય ગુણધર્મોપર્યાવરણ આઇસોટ્રોપિક રેખીય માધ્યમો માટે, આ સમીકરણોનું સ્વરૂપ છે:

મેક્સવેલના સમીકરણોમાંથી તમે મેળવી શકો છો સીમા શરતોમાટે (વિભાગો 3.6, 3.13 જુઓ).

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર માટે ઊર્જાના સંરક્ષણનો કાયદો.

મેક્સવેલના સમીકરણોમાંથી આપણે મેળવી શકીએ છીએ નીચેના સમીકરણસપાટી દ્વારા બંધાયેલ કોઈપણ વોલ્યુમ V માટે

પ્રથમ શબ્દ વિચારણા હેઠળના વોલ્યુમમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રની ઊર્જામાં ફેરફારનું વર્ણન કરે છે. તે જોઈ શકાય છે કે, સામાન્ય કિસ્સામાં, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રની ઊર્જા ઘનતા બહાર આવે છે સાચા સૂત્રો, સતત ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો માટે અગાઉ મેળવેલ. બીજો શબ્દ વિચારણા હેઠળના વોલ્યુમમાં કણો પરના ક્ષેત્રના કાર્યને રજૂ કરે છે. છેલ્લે, ત્રીજો શબ્દ વોલ્યુમને ઘેરી લેતી બંધ સપાટી દ્વારા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઊર્જાના પ્રવાહનું વર્ણન કરે છે. અવકાશમાં આપેલ બિંદુ (પોઇન્ટિંગ વેક્ટર) પર ઊર્જા પ્રવાહની ઘનતા એ જ બિંદુ પર વેક્ટર E અને B દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

છેલ્લી અભિવ્યક્તિ પદાર્થમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઊર્જાના પ્રવાહ ઘનતા માટે પણ માન્ય છે. માધ્યમમાં ઊર્જા ઘનતાનું સ્વરૂપ છે:

ઉદાહરણ 1. અંતર પર સ્થિત રાઉન્ડ પ્લેટ્સ સાથે ફ્લેટ કેપેસિટર ચાર્જ કરવાનું વિચારો. ત્રિજ્યાના સિલિન્ડરમાં ઊર્જાના પરિવર્તનનો દર ( નાના કદપ્લેટો) સમાન છે

અમે મેક્સવેલના બીજા સમીકરણમાંથી ચુંબકીય ક્ષેત્રની તાકાત શોધીએ છીએ: (જમણી બાજુએ વિસ્થાપન પ્રવાહ છે). આપણે શોધીએ છીએ કે ઉર્જાનો દર પસાર થાય છે બાજુની સપાટીસિલિન્ડર: વોલ્યુમમાં ઊર્જાના પરિવર્તનના દરની સમાન.

ક્ષેત્રોના સાપેક્ષ ગુણધર્મો.એક જડતા સંદર્ભ પ્રણાલીમાંથી બીજી તરફ જતી વખતે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રના સ્ત્રોતો (ચાર્જ અને વર્તમાન ઘનતા) અને ક્ષેત્રો બંને બદલાય છે, પરંતુ મેક્સવેલના સમીકરણો તેમનું સ્વરૂપ જાળવી રાખે છે. સ્ત્રોતો માટેના સૌથી સરળ રૂપાંતરણ સૂત્રો એ મૂવિંગ ચાર્જની ઘનતા છે). જો આપણે ISO માં ચાર્જ ઘનતા દર્શાવીએ, જેમાં પછી, રેખાંશ પરિમાણોમાં ઘટાડો ધ્યાનમાં લેતા (વિભાગ 1.11 જુઓ), અમે મેળવીએ છીએ

ઉર્જા-વેક્ટરના -વેક્ટર સાથે સરખામણી કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે તેઓ -વેક્ટર બનાવે છે, એટલે કે. લોરેન્ટ્ઝ ટ્રાન્સફોર્મેશન ફોર્મ્યુલા મુજબ તે જ રીતે એકબીજા દ્વારા રૂપાંતરિત થાય છે. ક્ષેત્ર સ્ત્રોતો કેવી રીતે રૂપાંતરિત થાય છે તે જાણીને, તમે E, B ને રૂપાંતરિત કરવા માટેના સૂત્રો શોધી શકો છો. તેઓ આના જેવા દેખાય છે:

અહીં ફ્રેમ K સાપેક્ષ રેફરન્સ ફ્રેમ K ની ઝડપ છે, રૂપાંતરણો ફીલ્ડ ઘટકોને સમાંતર અને લંબરૂપ માટે લખવામાં આવે છે સ્કેલર જથ્થો

જ્યારે સાથે હોય, ત્યારે ફીલ્ડ કન્વર્ઝન ફોર્મ્યુલા નીચેનું સરળ સ્વરૂપ લે છે:

ઉદાહરણ 2. બિન-સાપેક્ષિક કણનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર. ચાલો આપણે એવા કણને ધ્યાનમાં લઈએ જે સતત સાથે ISO K ની સાપેક્ષે આગળ વધે છે સાપેક્ષ ગતિ V. ચાલતા કણ સાથે સંકળાયેલ ISO માં, ISO K પર જવા માટે, તમારે સૂત્રો લખવાની જરૂર છે

પરિવર્તન એ ધ્યાનમાં લેતા કે બિન-સાપેક્ષતાની મર્યાદામાં સેગમેન્ટ્સની લંબાઈ બદલાતી નથી, અમે મેળવીએ છીએ (જ્યારે કણ K માં કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થાય છે તે ક્ષણ માટે):

આ સૂત્રો મેળવતી વખતે, અમે સમાનતાનો ઉપયોગ કર્યો

ઉદાહરણ 3. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતી વખતે ડાઇલેક્ટ્રિકનું ધ્રુવીકરણ. જ્યારે ડાઇલેક્ટ્રિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇન્ડક્શન રેખાઓ પર કાટખૂણે બિન-સાપેક્ષ ગતિએ આગળ વધે છે, ત્યારે તેનું ધ્રુવીકરણ થાય છે. ડાઇલેક્ટ્રિક સાથે સંકળાયેલ IFR માં, ટ્રાંસવર્સ ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ હોય છે. ડાઇલેક્ટ્રિકના ધ્રુવીકરણની પ્રકૃતિ તેના આકાર પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ 4. સાપેક્ષવાદી કણનું ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર. ચાલો એક કણને ધ્યાનમાં લઈએ જે સતત સાપેક્ષ ગતિ સાથે ISO K ની તુલનામાં આગળ વધે છે. મૂવિંગ પાર્ટિકલ સાથે સંકળાયેલ ISO K માં, ISO K માં સ્થાનાંતરિત કરવા માટે, વ્યક્તિએ ટ્રાન્સફોર્મેશન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ (92 ) સાથે અમે તે ક્ષણ માટે જવાબ લખીએ છીએ જ્યારે કણ ISO K માં કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થાય છે, જ્યારે સમતલમાં પડેલા બિંદુ માટે કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી કોઓર્ડિનેટ્સ તરફ જતા હોય ત્યારે તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ દ્વારા કણના માર્ગ સાથે એકસાથે K માં માપવામાં આવે છે). પરિણામે આપણને મળે છે

તે જોઈ શકાય છે કે વેક્ટર E વેક્ટર માટે સમરેખા છે જો કે, ચાર્જથી સમાન અંતરે, તેની ગતિની રેખા પર સ્થિત એક બિંદુ પરનું ક્ષેત્ર ગતિને લંબ સ્થિત બિંદુ કરતાં ઓછું છે. સમાન બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

નોંધ કરો કે માનવામાં આવેલું ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર સંભવિત નથી.

મેક્સવેલની સમીકરણોની પદ્ધતિમાં ચાર મૂળભૂત સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

આ સિસ્ટમ ત્રણ દ્વારા પૂરક છે ભૌતિક સમીકરણો,વચ્ચે જોડાણ વ્યાખ્યાયિત ભૌતિક જથ્થો, મેક્સવેલના સમીકરણોમાં શામેલ છે:

(3.5)

ચાલો યાદ કરીએ ભૌતિક અર્થઆ ગાણિતિક શબ્દસમૂહો.

પ્રથમ સમીકરણ (3.1) જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિકઆ સમીકરણમાં ક્ષેત્ર ફક્ત ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ દ્વારા જ બનાવી શકાય છે ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટર છે, ρ એ ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જની વોલ્યુમ ઘનતા છે.

કોઈપણ બંધ સપાટી દ્વારા ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટર ફ્લક્સ તે સપાટીની અંદર રહેલા ચાર્જની બરાબર છે.

પ્રયોગ બતાવે છે તેમ, બંધ સપાટી દ્વારા ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટરનો પ્રવાહ હંમેશા શૂન્ય હોય છે (3.2)

સમીકરણો (3.2) અને (3.1) ની સરખામણી આપણને નિષ્કર્ષ પર આવવા દે છે કે પ્રકૃતિમાં કોઈ ચુંબકીય ચાર્જ નથી.

સમીકરણો (3.3) અને (3.4) ખૂબ રસ અને મહત્વ ધરાવે છે. અહીં આપણે ઇલેક્ટ્રિક વોલ્ટેજ વેક્ટરના પરિભ્રમણને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ ( ) અને ચુંબકીય ( ) બંધ સમોચ્ચ સાથે ક્ષેત્રો.

સમીકરણ (3.3) જણાવે છે કે વૈકલ્પિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર ( ) વમળ વિદ્યુત ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત છે ( .આ ફેરાડે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનની ઘટનાની ગાણિતિક રજૂઆત કરતાં વધુ કંઈ નથી.

સમીકરણ (3.4) ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે. આ સમીકરણ મુજબ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર વહન પ્રવાહ દ્વારા જ બનાવી શકાતું નથી ( ), પણ વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર દ્વારા .

આ સમીકરણોમાં:

- ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટર,

એચ- ચુંબકીય ક્ષેત્રની શક્તિ,

ઇ- ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની શક્તિ,

j- વહન વર્તમાન ઘનતા,

μ - માધ્યમની ચુંબકીય અભેદ્યતા,

ε એ માધ્યમનો ડાઇલેક્ટ્રિક સ્થિરાંક છે.

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના ગુણધર્મો

છેલ્લું સેમેસ્ટર, ક્લાસિકલ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના સમીકરણોની મેક્સવેલની સિસ્ટમની અમારી વિચારણા પૂર્ણ કરીને, અમે સ્થાપિત કર્યું કે સંયુક્ત નિર્ણયછેલ્લા બે સમીકરણો (વેક્ટર્સના પરિભ્રમણ વિશે અને ) વિભેદક તરંગ સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે.

તેથી અમને મળ્યું તરંગ સમીકરણ"વાય" તરંગો:

. (3.6)

વિદ્યુત ઘટક y - તરંગો તબક્કા વેગ સાથે X ધરીની હકારાત્મક દિશામાં પ્રચાર કરે છે

(3.7)

સમાન સમીકરણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર y - તરંગના અવકાશ અને સમયમાં ફેરફારનું વર્ણન કરે છે:

. (3.8)

પ્રાપ્ત પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરીને, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોમાં સહજ અસંખ્ય ગુણધર્મો ઘડવાનું શક્ય છે.

1. પ્લેન “y” તરંગ એ રેખીય ધ્રુવીકૃત ટ્રાંસવર્સ તરંગ છે. વિદ્યુત વોલ્ટેજ વેક્ટર ( ), ચુંબકીય ( ) ક્ષેત્ર અને તરંગ તબક્કા વેગ ( ) પરસ્પર લંબ છે અને "જમણા હાથની" સિસ્ટમ બનાવે છે (ફિગ. 3.1).