તરંગ સમીકરણનો પ્રકાર ભૌતિક સિસ્ટમતેના હેમિલ્ટોનિયન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે સમગ્ર ગાણિતિક ઉપકરણમાં મૂળભૂત મહત્વ પ્રાપ્ત કરે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ.

મુક્ત કણના હેમિલ્ટોનિયનનું સ્વરૂપ પહેલેથી જ સ્થાપિત થઈ ગયું છે સામાન્ય જરૂરિયાતો, અવકાશની એકરૂપતા અને આઇસોટ્રોપી અને ગેલિલિયોના સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત છે. IN શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સઆ જરૂરિયાતો તેના વેગ પર કણની ઊર્જાની ચતુર્ભુજ અવલંબન તરફ દોરી જાય છે: જ્યાં અચળને કણનો સમૂહ કહેવામાં આવે છે (જુઓ I, § 4). ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, સમાન જરૂરિયાતો માટે સમાન સંબંધ તરફ દોરી જાય છે eigenvaluesઊર્જા અને વેગ એકસાથે માપી શકાય તેવા સંરક્ષિત (મુક્ત કણો માટે) જથ્થા છે.

પરંતુ ઉર્જા અને વેગના તમામ મૂલ્યો માટે સંબંધ જાળવી રાખવા માટે, તે તેમના સંચાલકો માટે પણ માન્ય હોવું આવશ્યક છે:

અહીં (15.2) અવેજીમાં, અમે ફોર્મમાં મુક્તપણે ફરતા કણનું હેમિલ્ટોનિયન મેળવીએ છીએ

લેપ્લેસ ઓપરેટર ક્યાં છે.

બિન-પરસ્પર ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા કણોની સિસ્ટમનું હેમિલ્ટોનિયન સરવાળો સમાનતેમાંના દરેકના હેમિલ્ટનિયનો:

જ્યાં અનુક્રમણિકા કણોને નંબર આપે છે; - લેપ્લેસ ઓપરેટર, જેમાં કણના કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં ભિન્નતા હાથ ધરવામાં આવે છે.

ક્લાસિકલ (બિન-સાપેક્ષવાદી) મિકેનિક્સમાં, કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને હેમિલ્ટન ફંક્શનમાં એક ઉમેરણ શબ્દ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે - ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની સંભવિત ઊર્જા, જે કણોના કોઓર્ડિનેટ્સનું કાર્ય છે.

સિસ્ટમના હેમિલ્ટોનિયનમાં સમાન કાર્ય ઉમેરીને, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વર્ણવવામાં આવે છે:

પ્રથમ ટર્મને ઓપરેટર તરીકે ગણી શકાય ગતિ ઊર્જા, અને બીજું - સંભવિત ઊર્જા ઓપરેટર તરીકે. ખાસ કરીને, બાહ્ય ક્ષેત્રમાં સ્થિત એક કણ માટે હેમિલ્ટોનિયન છે

જ્યાં U(x, y, z) - સંભવિત ઊર્જાબાહ્ય ક્ષેત્રમાં કણો.

અભિવ્યક્તિઓ (17.2)-(17.5) માં બદલીને સામાન્ય સમીકરણ(8.1) અનુરૂપ સિસ્ટમો માટે તરંગ સમીકરણો આપે છે. ચાલો આપણે અહીં બાહ્ય ક્ષેત્રમાં કણ માટે તરંગ સમીકરણ લખીએ

સમીકરણ (10.2), જે સ્થિર અવસ્થાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તે સ્વરૂપ લે છે

સમીકરણો (17.6), (17.7) શ્રોડિંગર દ્વારા 1926 માં સ્થાપિત કરવામાં આવ્યા હતા અને તેને શ્રોડિન્જર સમીકરણો કહેવામાં આવે છે.

મુક્ત કણ માટે, સમીકરણ (17.7) ફોર્મ ધરાવે છે

આ સમીકરણમાં એવા ઉકેલો છે જે કોઈપણ માટે સમગ્ર જગ્યામાં મર્યાદિત છે હકારાત્મક મૂલ્યઊર્જા E. ગતિની ચોક્કસ દિશાઓ ધરાવતા રાજ્યો માટે, આ ઉકેલો મોમેન્ટમ ઓપરેટરના ઇજનફંક્શન્સ છે, અને . આવા સંપૂર્ણ (સમય આધારિત) તરંગ કાર્યો સ્થિર અવસ્થાઓજેવો દેખાય છે

(17,9)

આવા દરેક કાર્ય - એક પ્લેન વેવ - એક એવી સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે જેમાં કણમાં ચોક્કસ ઊર્જા E અને વેગ હોય છે. આ તરંગની આવર્તન બરાબર છે અને તેના તરંગ વેક્ટરને અનુરૂપ તરંગલંબાઇને કણની ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ કહેવામાં આવે છે.

આમ મુક્તપણે ફરતા કણનું ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ સતત હોવાનું બહાર આવે છે, જે શૂન્યથી આ દરેક ઇજનવેલ્યુ સુધી વિસ્તરે છે (સિવાય કે માત્ર મૂલ્ય ડિજનરેટ છે, અને અધોગતિ અનંત ગુણાકારની છે. ખરેખર, દરેક E નું બિન-શૂન્ય મૂલ્ય અનુલક્ષે છે અનંત સમૂહ ઇજનફંક્શન્સ(17.9), સમાન સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે વેક્ટર દિશાઓમાં ભિન્ન.

ચાલો આપણે શોધી કાઢીએ કે ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં મર્યાદા સંક્રમણ કેવી રીતે શ્રોડિન્જર સમીકરણમાં થાય છે, સરળતા માટે બાહ્ય ક્ષેત્રમાં માત્ર એક કણને ધ્યાનમાં લેતા. તરંગ કાર્યની મર્યાદા અભિવ્યક્તિ (6.1) ને શ્રોડિન્જર સમીકરણ (17.6) માં બદલીને, અમે તફાવત દ્વારા મેળવીએ છીએ,

આ સમીકરણમાં સંપૂર્ણ વાસ્તવિક અને કેવળ કાલ્પનિક શબ્દો છે (યાદ કરો કે S અને a વાસ્તવિક છે); બંનેને અલગથી શૂન્ય સાથે સરખાવીને, આપણે બે સમીકરણો મેળવીએ છીએ:

આ સમીકરણોમાંના પ્રથમમાં સમાવિષ્ટ શબ્દને અવગણવાથી, આપણને મળે છે

(17,10)

એટલે કે, અપેક્ષા મુજબ, S કણની ક્રિયા માટે શાસ્ત્રીય હેમિલ્ટન-જેકોબી સમીકરણ. આપણે જોઈએ છીએ, માર્ગ દ્વારા, ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં પ્રથમ (અને શૂન્ય નહીં) ક્રમ સહિતની માત્રા સુધી માન્ય છે.

2a વડે ગુણાકાર કર્યા પછી પરિણામી સમીકરણોમાંથી બીજાને ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે

આ સમીકરણ દ્રશ્ય ધરાવે છે ભૌતિક અર્થ: અવકાશમાં કોઈ ચોક્કસ જગ્યાએ કણ શોધવાની સંભાવના ઘનતા હોય છે. તેથી, સમીકરણ (17.11) એ સાતત્ય સમીકરણ કરતાં વધુ કંઈ નથી, જે દર્શાવે છે કે સંભવિત ઘનતા શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સના નિયમો અનુસાર "ખસે છે". ક્લાસિક ઝડપ v દરેક બિંદુએ.

કાર્ય

ગેલિલિયન ટ્રાન્સફોર્મ હેઠળ વેવ ફંક્શન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો નિયમ શોધો.

ઉકેલ. ચાલો આપણે કણ (એક પ્લેન વેવ) ની મુક્ત ગતિના તરંગ કાર્ય પર પરિવર્તન કરીએ. કોઈપણ કાર્યને સમતલ તરંગોમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે, તેથી રૂપાંતર કાયદો મનસ્વી તરંગ કાર્ય માટે જોવા મળશે.

સંદર્ભ પ્રણાલી K અને K" માં પ્લેન તરંગો (K" ઝડપ V સાથે K ની તુલનામાં આગળ વધે છે):

વધુમાં, બંને પ્રણાલીઓમાં કણોની ક્ષણ અને ઊર્જા સૂત્રો દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે.

(જુઓ I, § 8), આ અભિવ્યક્તિઓને બદલીને આપણને મળે છે

આ ફોર્મમાં, આ ફોર્મ્યુલામાં હવે લાક્ષણિકતાની માત્રા શામેલ નથી મફત ચળવળકણો, અને ઇચ્છિત સેટ કરે છે સામાન્ય કાયદોમનસ્વી કણ અવસ્થાના તરંગ કાર્યનું પરિવર્તન. કણોની સિસ્ટમ માટે, (1) માં ઘાતાંકમાં કણોની ઉપરનો સરવાળો હોવો જોઈએ.

સામાન્ય શ્રોડિન્જર સમીકરણ. સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ

ડી બ્રોગ્લી તરંગોનું આંકડાકીય અર્થઘટન (જુઓ § 216) અને હેઇઝનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સંબંધ (જુઓ 5 215) એ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી ગયું કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ગતિનું સમીકરણ, જે વિવિધમાં સૂક્ષ્મ કણોની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે. બળ ક્ષેત્રો, ત્યાં એક સમીકરણ હોવું જોઈએ જેમાંથી પ્રાયોગિક રીતે અવલોકન કરાયેલ મૂલ્યો અનુસરશે તરંગ ગુણધર્મોકણો મુખ્ય સમીકરણ એ વેવ ફંક્શન Ψ (x, y, z, t) ના સંદર્ભમાં એક સમીકરણ હોવું જોઈએ, કારણ કે તે ચોક્કસપણે આ છે, અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જથ્થો |Ψ| 2, dV વોલ્યુમમાં t સમયે કણ હોવાની સંભાવના નક્કી કરે છે, એટલે કે x અને x+dx, y અને y+dy, z અને z+dz કોઓર્ડિનેટ્સવાળા વિસ્તારમાં. આવશ્યક સમીકરણ કણોના તરંગ ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક હોવાથી, તે હોવું જોઈએ તરંગ સમીકરણ, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોનું વર્ણન કરતા સમીકરણ જેવું જ.

નોન-રિલેટિવિસ્ટિક ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ 1926 માં ઇ. શ્રોડિંગર દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું. શ્રોડિંગર સમીકરણ, ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ મૂળભૂત સમીકરણોની જેમ (ઉદાહરણ તરીકે, ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના સમીકરણો અને મેક્સવેલના સમીકરણો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર), વ્યુત્પન્ન નથી, પરંતુ અનુમાનિત છે. આ સમીકરણની શુદ્ધતા તેની સહાયથી પ્રાપ્ત પરિણામોના અનુભવ સાથેના કરાર દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે, જે બદલામાં, તેને પ્રકૃતિના કાયદાનું પાત્ર આપે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

જ્યાં h=h/(2π), m એ કણનું દળ છે, ∆ એ લેપ્લેસ ઓપરેટર છે ( ),

હું - કાલ્પનિક એકમ, U (x, y, z, t) - સંભવિત કાર્યબળ ક્ષેત્રમાં કણ જેમાં તે ફરે છે, Ψ (x, y, z, t ) - પછી માંગ્યું તરંગ કાર્યકણો

સમીકરણ (217.1) કોઈપણ કણ માટે માન્ય છે (0 ની બરાબર સ્પિન સાથે; જુઓ § 225) ઓછી ઝડપે (પ્રકાશની ગતિની તુલનામાં), એટલે કે υ ઝડપે<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

સતત હોવું જોઈએ; 3) કાર્ય |Ψ| 2 એકીકૃત હોવું આવશ્યક છે; સરળ કિસ્સાઓમાં આ સ્થિતિ સંભાવનાઓને સામાન્ય બનાવવા માટેની સ્થિતિને ઘટાડે છે (216.3).

શ્રોડિન્જર સમીકરણ પર પહોંચવા માટે, મુક્તપણે ફરતા કણને ધ્યાનમાં લો, જે ડી બ્રોગલીના વિચાર મુજબ, પ્લેન વેવ સાથે સંકળાયેલ છે. સરળતા માટે, અમે એક-પરિમાણીય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. x અક્ષ સાથે પ્રસરી રહેલા પ્લેન વેવનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે (જુઓ § 154)

અથવા જટિલ રેકોર્ડિંગમાં . તેથી, પ્લેન ડી બ્રોગ્લી તરંગનું સ્વરૂપ છે

(217.2)

(તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે કે ω = E/h, k=p/h). ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, ઘાતને બાદબાકી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, પરંતુ માત્ર |Ψ|નો ભૌતિક અર્થ છે. 2 , તો આ (જુઓ (217.2)) બિનમહત્વપૂર્ણ છે. પછી

,

; (217.3)

ઉર્જા E અને મોમેન્ટમ p (E = p 2 /(2m)) વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને અને અભિવ્યક્તિઓને બદલીને (217.3), આપણે વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

જે કેસ U = 0 માટે સમીકરણ (217.1) સાથે એકરુપ છે (અમે એક મુક્ત કણ ગણીએ છીએ).

જો કોઈ કણ સંભવિત ઉર્જા U દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ બળ ક્ષેત્રમાં ફરે છે, તો કુલ ઊર્જા E એ ગતિ અને સંભવિત ઊર્જાનો સરવાળો છે. E અને p (આ કેસ માટે p 2 /(2m)=E -U) વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને સમાન તર્કને આગળ ધપાવતા, અમે (217.1) સાથે મેળ ખાતા વિભેદક સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ.

ઉપરોક્ત તર્કને શ્રોડિન્જર સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ તરીકે ન લેવો જોઈએ. તેઓ ફક્ત સમજાવે છે કે કોઈ આ સમીકરણ પર કેવી રીતે પહોંચી શકે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણની સાચીતાનો પુરાવો એ તારણો કે જેના પર તે લઈ જાય છે તેના અનુભવ સાથેનો કરાર છે.

સમીકરણ (217.1) એ સામાન્ય શ્રોડિન્જર સમીકરણ છે. તેને સમય-આશ્રિત શ્રોડિન્જર સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે. માઇક્રોવર્લ્ડમાં બનતી ઘણી ભૌતિક ઘટનાઓ માટે, સમીકરણ (217.1) ને સમય પર Ψ ની અવલંબન દૂર કરીને સરળ બનાવી શકાય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્થિર અવસ્થાઓ - સ્થિર ઉર્જા મૂલ્યોવાળા રાજ્યો માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ શોધો. આ શક્ય છે જો બળ ક્ષેત્ર કે જેમાં કણ ફરે છે તે સ્થિર હોય, એટલે કે કાર્ય U = U(x, y, z) ) સમય પર સ્પષ્ટપણે નિર્ભર નથી અને સંભવિત ઊર્જાનો અર્થ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલને બે કાર્યોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાંથી એક માત્ર કોઓર્ડિનેટ્સનું કાર્ય છે, બીજું - માત્ર સમયનું છે, અને સમય પરની અવલંબન ગુણક દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

,

જ્યાં ઇ - કણની કુલ ઊર્જા, સ્થિર ક્ષેત્રના કિસ્સામાં સ્થિર. (217.4) ને (217.1) માં બદલીને, આપણને મળે છે

જ્યાંથી, સામાન્ય પરિબળ e – i (E/h) t અને અનુરૂપ રૂપાંતરણો વડે ભાગ્યા પછી, આપણે કાર્ય ψ વ્યાખ્યાયિત કરતા સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ:

(217.5)

સમીકરણ (217.5) ને સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

આ સમીકરણમાં પરિમાણ તરીકે કણની કુલ ઊર્જા Eનો સમાવેશ થાય છે. વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, તે સાબિત થાય છે કે આવા સમીકરણોમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે, જેમાંથી ભૌતિક અર્થ ધરાવતા ઉકેલોને સીમાની શરતો લાદીને પસંદ કરવામાં આવે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે, આવી પરિસ્થિતિઓ તરંગ કાર્યોની નિયમિતતા માટેની શરતો છે: તરંગ કાર્યો તેમના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સની સાથે મર્યાદિત, એકલ-મૂલ્યવાળું અને સતત હોવા જોઈએ. આમ, માત્ર તે ઉકેલો કે જે નિયમિત કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત થાય છેψ વાસ્તવિક ભૌતિક અર્થ ધરાવે છે . પરંતુ નિયમિત ઉકેલો E પરિમાણના કોઈપણ મૂલ્યો માટે થતા નથી, પરંતુ ફક્ત તેમાંથી ચોક્કસ સમૂહ માટે, આપેલ સમસ્યાની લાક્ષણિકતા. આ ઉર્જા મૂલ્યોને ઇજેનવેલ્યુ કહેવામાં આવે છે. ઉર્જાના ઇજેનમૂલ્યોને અનુરૂપ ઉકેલોને ઇજેનફંક્શન્સ કહેવામાં આવે છે. Eigenvalues ​​E કાં તો સતત અથવા અલગ શ્રેણી બનાવી શકે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં તેઓ સતત, અથવા નક્કર, સ્પેક્ટ્રમની વાત કરે છે, બીજામાં - એક અલગ સ્પેક્ટ્રમની.

ભૌતિકશાસ્ત્રીઓમાં આટલી વ્યાપક લોકકથા અનુસાર, તે આના જેવું બન્યું: 1926 માં, નામના એક સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રીએ ઝ્યુરિચ યુનિવર્સિટીમાં એક વૈજ્ઞાનિક સેમિનારમાં વાત કરી. તેમણે હવામાં વિચિત્ર નવા વિચારો વિશે વાત કરી, કેવી રીતે માઇક્રોસ્કોપિક પદાર્થો ઘણીવાર કણોની જેમ તરંગો જેવા વધુ વર્તે છે. પછી એક વૃદ્ધ શિક્ષકે બોલવાનું કહ્યું અને કહ્યું: “શ્રોડિન્જર, તમે જોતા નથી કે આ બધું બકવાસ છે? અથવા શું આપણે બધા નથી જાણતા કે તરંગો માત્ર તરંગ સમીકરણો દ્વારા વર્ણવી શકાય તેવા તરંગો છે?” શ્રોડિન્ગરે આને વ્યક્તિગત અપમાન તરીકે લીધું અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના માળખામાં કણોનું વર્ણન કરવા માટે તરંગ સમીકરણ વિકસાવવાનું નક્કી કર્યું - અને આ કાર્યનો તેજસ્વી રીતે સામનો કર્યો.

અહીં એક સમજૂતી કરવી જરૂરી છે. આપણા રોજિંદા વિશ્વમાં, ઊર્જાનું સ્થાનાંતરણ બે રીતે થાય છે: એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ ખસેડતી વખતે પદાર્થ દ્વારા (ઉદાહરણ તરીકે, ગતિશીલ એન્જિન અથવા પવન) - કણો આવા ઊર્જા ટ્રાન્સફરમાં સામેલ હોય છે - અથવા તરંગો દ્વારા (ઉદાહરણ તરીકે, રેડિયો તરંગો કે જે શક્તિશાળી ટ્રાન્સમિટર્સ દ્વારા પ્રસારિત થાય છે અને અમારા ટેલિવિઝનના એન્ટેના દ્વારા પકડવામાં આવે છે). એટલે કે, તમે અને હું જ્યાં રહીએ છીએ તે મેક્રોકોઝમમાં, તમામ ઊર્જા વાહકો સખત રીતે બે પ્રકારોમાં વિભાજિત થાય છે - કોર્પસ્ક્યુલર (સામગ્રીના કણોનો સમાવેશ થાય છે) અથવા તરંગ. તદુપરાંત, કોઈપણ તરંગનું વર્ણન વિશિષ્ટ પ્રકારના સમીકરણો - તરંગ સમીકરણો દ્વારા કરવામાં આવે છે. અપવાદ વિના, તમામ તરંગો - સમુદ્રના તરંગો, સિસ્મિક રોક તરંગો, દૂરના તારાવિશ્વોના રેડિયો તરંગો - સમાન પ્રકારના તરંગ સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ સમજૂતી એ સ્પષ્ટ કરવા માટે જરૂરી છે કે જો આપણે સંભાવના વિતરણ તરંગોના સંદર્ભમાં સબએટોમિક વિશ્વની ઘટનાને રજૂ કરવા માગીએ છીએ (જુઓ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ), તો આ તરંગોનું પણ અનુરૂપ તરંગ સમીકરણ દ્વારા વર્ણન કરવું આવશ્યક છે.

શ્રોડિંગરે તરંગ કાર્યના શાસ્ત્રીય વિભેદક સમીકરણને સંભાવના તરંગોના ખ્યાલ પર લાગુ કર્યું અને તેનું નામ ધરાવતું પ્રખ્યાત સમીકરણ મેળવ્યું. જેમ સામાન્ય તરંગ કાર્ય સમીકરણ, ઉદાહરણ તરીકે, પાણીની સપાટી પરના લહેરોના પ્રસારનું વર્ણન કરે છે, તેમ શ્રોડિન્જર સમીકરણ અવકાશમાં આપેલ બિંદુ પર કણ શોધવાની સંભાવનાના તરંગના પ્રસારનું વર્ણન કરે છે. આ તરંગના શિખરો (મહત્તમ સંભાવનાના બિંદુઓ) દર્શાવે છે કે અવકાશમાં કણ ક્યાં સમાપ્ત થવાની સંભાવના છે. જો કે શ્રોડિંગર સમીકરણ ઉચ્ચ ગણિતના ક્ષેત્રનું છે, તે આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રને સમજવા માટે એટલું મહત્વનું છે કે તેમ છતાં હું તેને અહીં રજૂ કરીશ - તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં (કહેવાતા "વન-પરિમાણીય સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ"). ઉપરોક્ત સંભાવના વિતરણ વેવ ફંક્શન, જે ગ્રીક અક્ષર (psi) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તે નીચેના વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે (જો તમે તેને સમજતા ન હોવ તો તે ઠીક છે; ફક્ત તેને વિશ્વાસ પર લો કે આ સમીકરણ બતાવે છે કે સંભાવના તરંગની જેમ વર્તે છે. ::

ક્વોન્ટમ ઇવેન્ટ્સનું ચિત્ર જે શ્રોડિન્જરનું સમીકરણ આપણને આપે છે તે એ છે કે ઇલેક્ટ્રોન અને અન્ય પ્રાથમિક કણો સમુદ્રની સપાટી પર તરંગોની જેમ વર્તે છે. સમય જતાં, આ તરંગનું વર્ણન કરતા સમીકરણ અનુસાર તરંગનું શિખર (તે સ્થાનને અનુરૂપ જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન સૌથી વધુ હોવાની સંભાવના છે) અવકાશમાં આગળ વધે છે. એટલે કે, જેને આપણે પરંપરાગત રીતે કણ માનીએ છીએ તે ક્વોન્ટમ વિશ્વમાં તરંગની જેમ વર્તે છે.

જ્યારે શ્રોડિન્ગરે પ્રથમ વખત તેના પરિણામો પ્રકાશિત કર્યા, ત્યારે સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની દુનિયામાં ટીકપમાં તોફાન ફાટી નીકળ્યું. હકીકત એ છે કે લગભગ તે જ સમયે, શ્રોડિન્ગરના સમકાલીન, વર્નર હેઇઝનબર્ગનું કાર્ય દેખાયું (જુઓ હેઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત), જેમાં લેખકે "મેટ્રિક્સ મિકેનિક્સ" ના ખ્યાલને આગળ ધપાવ્યો, જ્યાં ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની સમાન સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી હતી. અન્ય, વધુ જટિલ ગાણિતિક બિંદુ દૃશ્ય મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં. હંગામો એ હકીકતને કારણે થયો હતો કે વૈજ્ઞાનિકો ફક્ત ડરતા હતા કે માઇક્રોવર્લ્ડનું વર્ણન કરવા માટેના બે સમાન વિશ્વાસપાત્ર અભિગમો એકબીજા સાથે વિરોધાભાસી હોઈ શકે છે. ચિંતાઓ વ્યર્થ હતી. તે જ વર્ષે, શ્રોડિન્ગરે પોતે બે સિદ્ધાંતોની સંપૂર્ણ સમાનતા સાબિત કરી હતી - એટલે કે, મેટ્રિક્સ સમીકરણ તરંગ સમીકરણમાંથી અનુસરે છે, અને ઊલટું; પરિણામો સમાન છે. આજે, તે મુખ્યત્વે શ્રોડિન્જરનું સંસ્કરણ છે (કેટલીકવાર તેને "વેવ મિકેનિક્સ" કહેવામાં આવે છે) તેનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેનું સમીકરણ ઓછું બોજારૂપ અને શીખવવામાં સરળ છે.

જો કે, કલ્પના કરવી અને સ્વીકારવું એટલું સરળ નથી કે ઇલેક્ટ્રોન જેવું કંઈક તરંગની જેમ વર્તે છે. રોજિંદા જીવનમાં, આપણે કાં તો કણ અથવા તરંગનો સામનો કરીએ છીએ. બોલ એક કણ છે, ધ્વનિ એક તરંગ છે, અને બસ. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની દુનિયામાં, બધું એટલું સરળ નથી. વાસ્તવમાં - અને પ્રયોગોએ ટૂંક સમયમાં આ બતાવ્યું - ક્વોન્ટમ વિશ્વમાં, એન્ટિટીઓ જે વસ્તુઓથી આપણે પરિચિત છીએ તેનાથી અલગ છે અને વિવિધ ગુણધર્મો ધરાવે છે. પ્રકાશ, જેને આપણે તરંગ તરીકે માનીએ છીએ, તે કેટલીકવાર કણ (જેને ફોટોન કહેવાય છે) ની જેમ વર્તે છે અને ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન જેવા કણો તરંગોની જેમ વર્તે છે (જુઓ પૂરકતા સિદ્ધાંત).

આ સમસ્યાને સામાન્ય રીતે ક્વોન્ટમ કણોની ડ્યુઅલ અથવા ડ્યુઅલ પાર્ટિકલ-વેવ પ્રકૃતિ કહેવામાં આવે છે, અને તે દેખીતી રીતે, સબએટોમિક વિશ્વના તમામ પદાર્થોની લાક્ષણિકતા છે (જુઓ બેલનું પ્રમેય). આપણે સમજવું જોઈએ કે માઈક્રોવર્લ્ડમાં દ્રવ્ય શું સ્વરૂપ લઈ શકે છે અને તે કેવી રીતે વર્તે છે તે અંગેના આપણા સામાન્ય સાહજિક વિચારો લાગુ પડતા નથી. આપણે જેને કણો તરીકે વિચારવા માટે ટેવાયેલા છીએ તેની હિલચાલનું વર્ણન કરવા માટે આપણે તરંગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તે આનો સ્પષ્ટ પુરાવો છે. પરિચયમાં નોંધ્યું છે તેમ, આમાં કોઈ ખાસ વિરોધાભાસ નથી. છેવટે, આપણી પાસે માનવા માટે કોઈ અનિવાર્ય કારણો નથી કે આપણે મેક્રોકોઝમમાં જે અવલોકન કરીએ છીએ તે માઇક્રોકોઝમના સ્તરે ચોક્કસ રીતે પુનઃઉત્પાદિત થવું જોઈએ. તેમ છતાં પ્રાથમિક કણોની દ્વિ પ્રકૃતિ ઘણા લોકો માટે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સૌથી કોયડારૂપ અને મુશ્કેલીમાં મુકાયેલા પાસાઓ પૈકીનું એક છે, અને એ કહેવામાં કોઈ અતિશયોક્તિ નથી કે બધી મુશ્કેલીઓ એર્વિન શ્રોડિન્જરથી શરૂ થઈ હતી.

જેમ્સ ટ્રેફિલ દ્વારા જ્ઞાનકોશ “વિજ્ઞાનની પ્રકૃતિ. બ્રહ્માંડના 200 નિયમો."

જેમ્સ ટ્રેફિલ જ્યોર્જ મેસન યુનિવર્સિટી (યુએસએ) માં ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રોફેસર છે, જે લોકપ્રિય વિજ્ઞાન પુસ્તકોના પશ્ચિમી લેખકોમાંના એક છે.

મેક્સ પ્લાન્ક, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સ્થાપકોમાંના એક, ઊર્જા પરિમાણના વિચારો સાથે આવ્યા, તાજેતરમાં શોધાયેલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો અને અણુઓ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને સૈદ્ધાંતિક રીતે સમજાવવાનો પ્રયાસ કર્યો અને તેના દ્વારા બ્લેક બોડી રેડિયેશનની સમસ્યાને હલ કરી. તેને સમજાયું કે અણુઓના અવલોકન કરાયેલ ઉત્સર્જન સ્પેક્ટ્રમને સમજાવવા માટે, તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે પરમાણુ ભાગોમાં ઊર્જા ઉત્સર્જન કરે છે અને શોષી લે છે (જેને વૈજ્ઞાનિક ક્વોન્ટા કહે છે) અને માત્ર વ્યક્તિગત તરંગ ફ્રીક્વન્સીઝ પર.

એક સંપૂર્ણ કાળો પદાર્થ જે કોઈપણ આવર્તનના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક રેડિયેશનને સંપૂર્ણપણે શોષી લે છે, જ્યારે ગરમ થાય છે, સમગ્ર આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ પર સમાનરૂપે વિતરિત તરંગોના સ્વરૂપમાં ઊર્જા ઉત્સર્જન કરે છે.

"ક્વોન્ટમ" શબ્દ લેટિન ક્વોન્ટમ ("કેટલું, કેટલું") અને અંગ્રેજી ક્વોન્ટમ ("જથ્થા, ભાગ, ક્વોન્ટમ") પરથી આવ્યો છે. દ્રવ્યની હિલચાલના વિજ્ઞાનને "મિકેનિક્સ" એ લાંબા સમયથી નામ આપવામાં આવ્યું છે. તદનુસાર, "ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ" શબ્દનો અર્થ થાય છે ભાગોમાં પદાર્થની હિલચાલનું વિજ્ઞાન (અથવા, આધુનિક વૈજ્ઞાનિક ભાષામાં, પરિમાણિત પદાર્થની હિલચાલનું વિજ્ઞાન). "ક્વોન્ટમ" શબ્દ જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી મેક્સ પ્લાન્ક દ્વારા અણુઓ સાથે પ્રકાશની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરવા માટે બનાવવામાં આવ્યો હતો.

સબએટોમિક વિશ્વની એક હકીકત એ છે કે તેના પદાર્થો - જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન અથવા ફોટોન - મેક્રોવર્લ્ડના સામાન્ય પદાર્થો જેવા જ નથી. તેઓ ન તો કણોની જેમ વર્તે છે કે ન તો તરંગોની જેમ, પરંતુ સંપૂર્ણપણે વિશિષ્ટ રચનાઓની જેમ કે જે સંજોગોના આધારે તરંગ અને કોર્પસ્ક્યુલર ગુણધર્મો બંને દર્શાવે છે. નિવેદન કરવું એ એક બાબત છે, પરંતુ ક્વોન્ટમ કણોની વર્તણૂકના તરંગ અને કણોના પાસાઓને એકસાથે જોડવા માટે, તેમને ચોક્કસ સમીકરણ સાથે વર્ણવવા માટે તદ્દન બીજી બાબત છે. ડી બ્રોગ્લી રિલેશનમાં આવું જ કરવામાં આવ્યું હતું.

રોજિંદા જીવનમાં, અવકાશમાં ઊર્જા સ્થાનાંતરિત કરવાની બે રીત છે - કણો અથવા તરંગો દ્વારા. રોજિંદા જીવનમાં, ઊર્જા ટ્રાન્સફરની બે પદ્ધતિઓ વચ્ચે કોઈ દૃશ્યમાન વિરોધાભાસ નથી. તેથી, બાસ્કેટબોલ એક કણ છે, અને ધ્વનિ એક તરંગ છે, અને બધું સ્પષ્ટ છે. જો કે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં વસ્તુઓ એટલી સરળ નથી. ક્વોન્ટમ ઑબ્જેક્ટ્સ સાથેના સરળ પ્રયોગોમાંથી પણ, તે ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે માઇક્રોવર્લ્ડમાં મેક્રોવર્લ્ડના સિદ્ધાંતો અને કાયદાઓ કે જેનાથી આપણે પરિચિત છીએ તે લાગુ પડતું નથી. પ્રકાશ, જેને આપણે તરંગ તરીકે વિચારવા માટે ટેવાયેલા છીએ, તે કેટલીકવાર એવું વર્તન કરે છે કે તેમાં કણો (ફોટોન્સ) ના પ્રવાહનો સમાવેશ થાય છે, અને પ્રાથમિક કણો, જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન અથવા તો મોટા પ્રોટોન, ઘણીવાર તરંગના ગુણધર્મો દર્શાવે છે.

સૌથી વધુ, આઇન્સ્ટાઇને માઇક્રોવર્લ્ડની ઘટનાને સંભાવનાઓ અને તરંગ કાર્યોના સંદર્ભમાં વર્ણવવાની જરૂરિયાત સામે વિરોધ કર્યો, અને કોઓર્ડિનેટ્સ અને કણોના વેગની સામાન્ય સ્થિતિથી નહીં. "પાસા ફેરવવા" દ્વારા તેનો અર્થ તે જ છે. તેમણે માન્યતા આપી હતી કે ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ અને કોઓર્ડિનેટના સંદર્ભમાં તેમની હિલચાલનું વર્ણન અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. પરંતુ, આઈન્સ્ટાઈને દલીલ કરી હતી કે, કેટલાક અન્ય ચલો અથવા પરિમાણો હોવા જોઈએ, જે ધ્યાનમાં લેતા માઇક્રોવર્લ્ડનું ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ ચિત્ર અખંડિતતા અને નિર્ધારણના માર્ગ પર પાછા આવશે. એટલે કે, તેણે આગ્રહ કર્યો, અમને ફક્ત એવું લાગે છે કે ભગવાન અમારી સાથે પાસા રમી રહ્યા છે, કારણ કે આપણે બધું સમજી શકતા નથી. આમ, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સમીકરણોમાં છુપાયેલા ચલ પૂર્વધારણાને ઘડનારા તે પ્રથમ હતા. તે હકીકતમાં રહેલું છે કે હકીકતમાં ઇલેક્ટ્રોન પાસે ન્યુટનના બિલિયર્ડ બોલની જેમ નિશ્ચિત સંકલન અને ગતિ છે, અને અનિશ્ચિતતા સિદ્ધાંત અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના માળખામાં તેમના નિર્ધારણ માટે સંભવિત અભિગમ એ સિદ્ધાંતની અપૂર્ણતાનું પરિણામ છે, જે શા માટે તે તેમને ચોક્કસ વ્યાખ્યા માટે મંજૂરી આપતું નથી.

યુલિયા ઝોટોવા

તમે શીખી શકશો: કઈ તકનીકોને ક્વોન્ટમ કહેવામાં આવે છે અને શા માટે. ક્લાસિકલ કરતાં ક્વોન્ટમ ટેકનોલોજીનો ફાયદો શું છે? ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર શું કરી શકે છે અને શું કરી શકતું નથી. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ ક્વોન્ટમ કમ્પ્યુટર કેવી રીતે બનાવે છે. જ્યારે તે બનાવવામાં આવશે.

ફ્રેન્ચ ભૌતિકશાસ્ત્રી પિયર સિમોન લેપલેસે એક મહત્વપૂર્ણ પ્રશ્ન ઉઠાવ્યો હતો કે શું વિશ્વની દરેક વસ્તુ વિશ્વની પાછલી સ્થિતિ દ્વારા પૂર્વનિર્ધારિત છે, અથવા શું કારણ ઘણા પરિણામો લાવી શકે છે. દાર્શનિક પરંપરાની અપેક્ષા મુજબ, લેપ્લેસે પોતે તેમના પુસ્તક "એક્સપોઝિશન ઓફ ધ વર્લ્ડ સિસ્ટમ" માં કોઈ પ્રશ્ન પૂછ્યો ન હતો, પરંતુ તૈયાર જવાબ આપ્યો હતો કે હા, વિશ્વની દરેક વસ્તુ પૂર્વનિર્ધારિત છે, જો કે, ઘણીવાર ફિલસૂફીમાં થાય છે, લેપ્લેસ દ્વારા પ્રસ્તાવિત વિશ્વનું ચિત્ર દરેકને સહમત ન કરી શક્યું અને આ રીતે તેના જવાબે આ મુદ્દાની આસપાસ ચર્ચાને જન્મ આપ્યો જે આજ સુધી ચાલુ છે. કેટલાક ફિલસૂફોના અભિપ્રાય હોવા છતાં કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સે સંભવિત અભિગમની તરફેણમાં આ સમસ્યાનું નિરાકરણ કર્યું છે, તેમ છતાં, સંપૂર્ણ પૂર્વનિર્ધારણનો લેપ્લેસનો સિદ્ધાંત, અથવા તેને અન્યથા લેપ્લેસ નિર્ધારણવાદનો સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે, તે આજે પણ ચર્ચામાં છે.

ગોર્ડે લેસોવિક

થોડા સમય પહેલા, મેં અને સહ-લેખકોના જૂથે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના દૃષ્ટિકોણથી થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમને મેળવવાનું શરૂ કર્યું. ઉદાહરણ તરીકે, તેમના એક ફોર્મ્યુલેશનમાં, જે જણાવે છે કે બંધ સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી ઘટતી નથી, સામાન્ય રીતે વધે છે, અને જો સિસ્ટમ ઊર્જાસભર રીતે અલગ હોય તો ક્યારેક તે સ્થિર રહે છે. ક્વોન્ટમ ઇન્ફોર્મેશન થિયરીમાંથી જાણીતા પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, અમે કેટલીક શરતો મેળવી છે કે જેના હેઠળ આ નિવેદન સાચું છે. અનપેક્ષિત રીતે, તે બહાર આવ્યું છે કે આ શરતો સિસ્ટમોના ઊર્જા અલગતાની સ્થિતિ સાથે સુસંગત નથી.

ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રોફેસર જિમ અલ-ખલીલી સૌથી ચોક્કસ અને સૌથી વધુ ગૂંચવણમાં મૂકતા વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતોમાંની એક શોધ કરે છે - ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્ર. 20મી સદીની શરૂઆતમાં, વૈજ્ઞાનિકોએ દ્રવ્યની છુપાયેલી ઊંડાઈ, આપણી આસપાસની દુનિયાના સબએટોમિક બિલ્ડીંગ બ્લોક્સને પ્લમ્બિંગ કર્યું. તેઓએ અસાધારણ ઘટના શોધી કાઢી જે પહેલા જોવા મળેલી કોઈપણ વસ્તુ કરતા અલગ હતી. એક એવી દુનિયા કે જ્યાં બધું એક જ સમયે ઘણી જગ્યાએ હોઈ શકે છે, જ્યાં વાસ્તવિકતા ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં છે જ્યારે આપણે તેનું અવલોકન કરીએ છીએ. આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને માત્ર એ વિચારનો પ્રતિકાર કર્યો કે પ્રકૃતિનો સાર તક પર આધારિત છે. ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્ર સૂચવે છે કે સબએટોમિક કણો પ્રકાશની ગતિ કરતાં વધુ ઝડપથી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરી શકે છે, જે તેમના સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે.

પરિચય

તે જાણીતું છે કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો અભ્યાસક્રમ સમજવા માટે સૌથી મુશ્કેલ છે. આ નવા અને "અસામાન્ય" ગાણિતિક ઉપકરણને કારણે નથી, પરંતુ મુખ્યત્વે ક્રાંતિકારીને સમજવાની મુશ્કેલી, શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રના દૃષ્ટિકોણથી, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ હેઠળના વિચારો અને પરિણામોના અર્થઘટનની જટિલતાને કારણે છે.

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ પરના મોટાભાગના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, સામગ્રીની રજૂઆત, નિયમ તરીકે, સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણોના ઉકેલોના વિશ્લેષણ પર આધારિત છે. જો કે, સ્થિર અભિગમ સમાન શાસ્ત્રીય પરિણામો સાથે ક્વોન્ટમ યાંત્રિક સમસ્યાને ઉકેલવાના પરિણામોની સીધી તુલના કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. વધુમાં, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ (જેમ કે સંભવિત અવરોધ દ્વારા કણ પસાર થવું, અર્ધ-સ્થિર અવસ્થાનો સડો વગેરે) અભ્યાસ કરવામાં આવેલી ઘણી પ્રક્રિયાઓ સૈદ્ધાંતિક રીતે બિન-સ્થિર પ્રકૃતિની છે અને તેથી, માત્ર બિન-સ્થિર સમીકરણ શ્રોડિન્ગરના ઉકેલોના આધારે સંપૂર્ણ રીતે સમજી શકાય છે. વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલી શકાય તેવી સમસ્યાઓની સંખ્યા ઓછી હોવાથી, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો અભ્યાસ કરવાની પ્રક્રિયામાં કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ ખાસ કરીને સંબંધિત છે.

શ્રોડિન્જર સમીકરણ અને તેના ઉકેલોનો ભૌતિક અર્થ

શ્રોડિન્જર તરંગ સમીકરણ

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના મૂળભૂત સમીકરણોમાંનું એક શ્રોડિન્જર સમીકરણ છે, જે સમય જતાં ક્વોન્ટમ સિસ્ટમની સ્થિતિઓમાં ફેરફાર નક્કી કરે છે. તે ફોર્મમાં લખાયેલ છે

જ્યાં H એ સિસ્ટમનો હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટર છે, જો તે સમય પર નિર્ભર ન હોય તો ઉર્જા ઓપરેટર સાથે સુસંગત છે. ઑપરેટરનો પ્રકાર સિસ્ટમના ગુણધર્મો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સંભવિત ક્ષેત્ર U(r) માં સમૂહ કણની બિન-સાપેક્ષ ગતિ માટે, ઓપરેટર વાસ્તવિક છે અને કણની ગતિ અને સંભવિત ઊર્જાના ઓપરેટરોના સરવાળા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

જો કોઈ કણ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડમાં ફરે છે, તો હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટર જટિલ હશે.

સમીકરણ (1.1) એ સમયનું પ્રથમ-ક્રમનું સમીકરણ હોવા છતાં, કાલ્પનિક એકમની હાજરીને કારણે, તેમાં સામયિક ઉકેલો પણ હોય છે. તેથી, શ્રોડિન્જર સમીકરણ (1.1) ને ઘણીવાર શ્રોડિન્જર તરંગ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે, અને તેના ઉકેલને સમય-આધારિત તરંગ કાર્ય કહેવામાં આવે છે. ઑપરેટર H ના જાણીતા સ્વરૂપ સાથેનું સમીકરણ (1.1) વ્યક્તિને કોઈપણ અનુગામી સમયે વેવ ફંક્શનનું મૂલ્ય નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે, જો આ મૂલ્ય પ્રારંભિક સમયે જાણીતું હોય. આમ, શ્રોડિન્જર તરંગ સમીકરણ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કાર્યકારણના સિદ્ધાંતને વ્યક્ત કરે છે.

નીચેની ઔપચારિક વિચારણાઓના આધારે શ્રોડિન્જર તરંગ સમીકરણ મેળવી શકાય છે. ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં તે જાણીતું છે કે જો ઊર્જા કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેગના કાર્ય તરીકે આપવામાં આવે છે

પછી એક્શન ફંક્શન એસ માટે ક્લાસિકલ હેમિલ્ટન-જેકોબી સમીકરણમાં સંક્રમણ

ઔપચારિક પરિવર્તન દ્વારા (1.3) માંથી મેળવી શકાય છે

એ જ રીતે, ઔપચારિક રૂપાંતર દ્વારા (1.3) થી ઓપરેટર સમીકરણમાં પસાર કરીને (1.3) માંથી સમીકરણ (1.1) મેળવવામાં આવે છે.

જો (1.3) માં કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટાના ઉત્પાદનો શામેલ નથી, અથવા તેમાંથી ઉત્પાદનો શામેલ છે કે જે ઓપરેટરો (1.4) ને પસાર કર્યા પછી, એકબીજા સાથે મુસાફરી કરે છે. આ રૂપાંતર પછી પરિણામી ઓપરેટરની સમાનતાની જમણી અને ડાબી બાજુના ઓપરેટરોના કાર્ય પરની ક્રિયાના પરિણામોની સમાનતા, અમે તરંગ સમીકરણ (1.1) પર આવીએ છીએ. જો કે, આ ઔપચારિક પરિવર્તનોને શ્રોડિન્જર સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ તરીકે ન લેવા જોઈએ. શ્રોડિન્જર સમીકરણ એ પ્રાયોગિક માહિતીનું સામાન્યીકરણ છે. તે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ઉતરી આવ્યું નથી, જેમ મેક્સવેલના સમીકરણો ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં ઉતરી આવ્યા નથી, ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં ઓછામાં ઓછી ક્રિયા (અથવા ન્યૂટનના સમીકરણો)નો સિદ્ધાંત.

તરંગ કાર્ય માટે સમીકરણ (1.1) સંતુષ્ટ છે તે ચકાસવું સરળ છે

ચોક્કસ વેગ મૂલ્ય સાથે કણની મુક્ત હિલચાલનું વર્ણન. સામાન્ય કિસ્સામાં, સમીકરણ (1.1) ની માન્યતા આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા તમામ નિષ્કર્ષોના અનુભવ સાથેના કરાર દ્વારા સાબિત થાય છે.

ચાલો બતાવીએ કે સમીકરણ (1.1) મહત્વની સમાનતા સૂચવે છે

સૂચવે છે કે તરંગ કાર્યનું સામાન્યકરણ સમય જતાં ચાલુ રહે છે. ચાલો ડાબી બાજુએ (1.1) ફંક્શન દ્વારા ગુણાકાર કરીએ, એક સમીકરણ સંકુલ ફંક્શન દ્વારા (1.1) સાથે જોડાય છે અને પ્રથમ પરિણામી સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ; પછી આપણે શોધીએ છીએ

ચલોના તમામ મૂલ્યો પર આ સંબંધને એકીકૃત કરીને અને ઑપરેટરની સ્વ-સંલગ્નતાને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ (1.5).

જો આપણે સંભવિત ક્ષેત્રમાં કણની ગતિ માટે હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટર (1.2) ની સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિને સંબંધમાં (1.6) બદલીએ, તો આપણે વિભેદક સમીકરણ (સતત સમીકરણ) પર પહોંચીએ છીએ.

સંભાવના ઘનતા અને વેક્ટર ક્યાં છે

સંભાવના વર્તમાન ઘનતા વેક્ટર કહી શકાય.

જટિલ તરંગ કાર્ય હંમેશા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

સમય અને કોઓર્ડિનેટના વાસ્તવિક કાર્યો ક્યાં અને છે. આમ, સંભાવના ઘનતા

અને સંભાવના વર્તમાન ઘનતા

(1.9) માંથી તે અનુસરે છે કે j = 0 બધા કાર્યો માટે કે જેના માટે ફંક્શન Φ કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધારિત નથી. ખાસ કરીને, તમામ વાસ્તવિક કાર્યો માટે j= 0.

સામાન્ય કિસ્સામાં શ્રોડિન્જર સમીકરણ (1.1) ના ઉકેલો જટિલ કાર્યો દ્વારા રજૂ થાય છે. જટિલ કાર્યોનો ઉપયોગ કરવો એકદમ અનુકૂળ છે, જો કે જરૂરી નથી. એક જટિલ કાર્યને બદલે, સિસ્ટમની સ્થિતિને બે વાસ્તવિક કાર્યો દ્વારા વર્ણવી શકાય છે અને, બે સંબંધિત સમીકરણોને સંતોષે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઑપરેટર H વાસ્તવિક છે, તો પછી ફંક્શનને (1.1) માં બદલીને અને વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરીને, આપણે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ.

આ કિસ્સામાં, સંભાવના ઘનતા અને સંભાવના વર્તમાન ઘનતા સ્વરૂપ લેશે

આવેગ રજૂઆતમાં વેવ કાર્યો.

વેવ ફંક્શનનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ક્વોન્ટમ સ્ટેટમાં વેગના વિતરણને દર્શાવે છે. કર્નલ તરીકે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સાથે સંભવિત માટે એક અભિન્ન સમીકરણ મેળવવું જરૂરી છે.

ઉકેલ. કાર્યો અને વચ્ચે બે પરસ્પર વ્યસ્ત સંબંધો છે.

જો સંબંધ (2.1) નો ઉપયોગ વ્યાખ્યા તરીકે કરવામાં આવે છે અને તેના પર ઑપરેશન લાગુ કરવામાં આવે છે, તો 3-પરિમાણીય-ફંક્શનની વ્યાખ્યાને ધ્યાનમાં લેતા,

પરિણામે, જોવામાં સરળ છે તેમ, આપણને વ્યસ્ત સંબંધ મળે છે (2.2). સમાન વિચારણાઓનો ઉપયોગ સંબંધ વ્યુત્પન્ન કરવામાં નીચે કરવામાં આવે છે (2.8).

પછી અમારી પાસે રહેલી સંભવિતતાના ફોરિયર પરિવર્તન માટે

ધારી રહ્યા છીએ કે વેવ ફંક્શન શ્રોડિન્જર સમીકરણને સંતોષે છે

અહી (2.1) અને (2.3) ને બદલે અને અનુક્રમે, અમે મેળવીએ છીએ

ડબલ ઇન્ટિગ્રલમાં, આપણે વેરીએબલ પરના એકીકરણથી વેરીએબલ પર એકીકરણ તરફ આગળ વધીએ છીએ, અને પછી આપણે ફરીથી આ નવા ચલને દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ. ઈન્ટિગ્રલ ઓવર કોઈપણ મૂલ્ય માટે અદૃશ્ય થઈ જાય છે જ્યારે ઈન્ટિગ્રેન્ડ પોતે શૂન્યની બરાબર હોય, પરંતુ પછી

કર્નલ તરીકે પોટેન્શિયલના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ સાથે આ ઇચ્છિત અભિન્ન સમીકરણ છે. અલબત્ત, અભિન્ન સમીકરણ (2.6) માત્ર એવી શરત હેઠળ મેળવી શકાય છે કે સંભવિત (2.4) નું ફોરિયર રૂપાંતરણ અસ્તિત્વમાં છે; આ માટે, ઉદાહરણ તરીકે, સંભવિત મોટા અંતર પર ઓછામાં ઓછું ઘટવું જોઈએ, જ્યાં.

એ નોંધવું જોઇએ કે નોર્મલાઇઝેશનની સ્થિતિથી

સમાનતા અનુસરે છે

આને (2.7) માં કાર્ય માટે અભિવ્યક્તિ (2.1) ને બદલીને બતાવી શકાય છે:

જો આપણે પ્રથમ અહીં એકીકરણ કરીએ, તો આપણે સરળતાથી સંબંધ મેળવી શકીએ છીએ (2.8).

હેઈઝનબર્ગને એવા નિષ્કર્ષ પર લાવવામાં આવ્યા હતા કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ગતિનું સમીકરણ, જે વિવિધ બળ ક્ષેત્રોમાં સૂક્ષ્મ કણોની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે, તે એક એવું સમીકરણ હોવું જોઈએ જેમાંથી કણોના પ્રાયોગિક રીતે અવલોકન કરાયેલ તરંગ ગુણધર્મો અનુસરશે. સંચાલિત સમીકરણ એ તરંગ કાર્ય Ψ માટે સમીકરણ હોવું આવશ્યક છે (x, y, z, t),કારણ કે તે ચોક્કસપણે આ છે, અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જથ્થો |Ψ| 2, સમયની ક્ષણે કણ હાજર હોવાની સંભાવના નક્કી કરે છે tવોલ્યુમ Δ માં વી,એટલે કે કોઓર્ડિનેટ્સવાળા વિસ્તારમાં એક્સઅને x + dx, yઅને y + dу, zઅને z+ dz.

નોન-રિલેટિવિસ્ટિક ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ 1926 માં ઇ. શ્રોડિંગર દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું. શ્રોડિંગર સમીકરણ, ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ મૂળભૂત સમીકરણોની જેમ (ઉદાહરણ તરીકે, શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના સમીકરણો અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર માટેના મેક્સવેલના સમીકરણો), વ્યુત્પન્ન નથી, પરંતુ અનુમાનિત છે. આ સમીકરણની શુદ્ધતા તેની સહાયથી પ્રાપ્ત પરિણામોના અનુભવ સાથેના કરાર દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે, જે બદલામાં, તેને પ્રકૃતિના કાયદાનું પાત્ર આપે છે.

સામાન્ય શ્રોડિન્જર સમીકરણ છે:

જ્યાં ? =ક/(2π), m- પાર્ટિકલ માસ, Δ - લેપ્લેસ ઓપરેટર , i- કાલ્પનિક એકમ, યુ(x, y, z, t) એ બળ ક્ષેત્રમાં કણનું સંભવિત કાર્ય છે જેમાં તે આગળ વધે છે, Ψ( x, y, z, t) એ કણનું ઇચ્છિત તરંગ કાર્ય છે.

સમીકરણ (1) કોઈપણ કણ (0 ની બરાબર સ્પિન સાથે) ઓછી (પ્રકાશની ગતિની તુલનામાં) ગતિએ આગળ વધતા માટે માન્ય છે, એટલે કે. υ "સાથે.

તે શરતો દ્વારા પૂરક છે, વેવ ફંક્શન પર સુપરઇમ્પોઝ્ડ:

1) તરંગ કાર્ય મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત હોવું જોઈએ;

2) ડેરિવેટિવ્ઝ સતત હોવું જોઈએ;

3) કાર્ય |Ψ| 2 એકીકૃત હોવું આવશ્યક છે (સૌથી સરળ કેસોમાં આ સ્થિતિ સંભાવનાઓને સામાન્ય બનાવવા માટેની સ્થિતિને ઘટાડે છે).

સમીકરણ (1) કહેવાય છે સમય-આધારિત શ્રોડિન્જર સમીકરણ.

માઇક્રોવર્લ્ડમાં બનતી ઘણી ભૌતિક ઘટનાઓ માટે, સમીકરણ (1) ને સમય પર Ψ ની અવલંબનને દૂર કરીને સરળ બનાવી શકાય છે, એટલે કે. સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ શોધો - સ્થિર ઉર્જા મૂલ્યો સાથેના રાજ્યો. આ શક્ય છે જો બળ ક્ષેત્ર કે જેમાં કણ ફરે છે તે સ્થિર હોય, એટલે કે કાર્ય યુ = યુ(x, y,z) સ્પષ્ટપણે સમય પર નિર્ભર નથી અને સંભવિત ઊર્જાનો અર્થ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, શ્રોડિન્જર સમીકરણનો ઉકેલ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

. (2)

સમીકરણ (2) સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ કહેવાય છે.

આ સમીકરણમાં પરિમાણ તરીકે કુલ ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે ઇકણો વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, તે સાબિત થાય છે કે આવા સમીકરણોમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે, જેમાંથી ભૌતિક અર્થ ધરાવતા ઉકેલોને સીમાની શરતો લાદીને પસંદ કરવામાં આવે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે આવી પરિસ્થિતિઓ છે તરંગ કાર્યોની નિયમિતતા માટેની શરતો: નવા કાર્યો તેમના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત હોવા જોઈએ.

આમ, માત્ર તે ઉકેલો કે જે નિયમિત કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે Ψ વાસ્તવિક ભૌતિક અર્થ ધરાવે છે. પરંતુ કોઈપણ પરિમાણ મૂલ્યો માટે નિયમિત ઉકેલો થતા નથી ઇ,પરંતુ ફક્ત તેમાંથી ચોક્કસ સમૂહ માટે, આપેલ કાર્યની લાક્ષણિકતા. આ ઉર્જા મૂલ્યોને eigenvalues ​​કહેવામાં આવે છે . ઉર્જા ઇજેન મૂલ્યોને અનુરૂપ ઉકેલોને ઇજેનફંક્શન્સ કહેવામાં આવે છે . ઇજેનવેલ્યુઝ ઇકાં તો સતત અથવા અલગ શ્રેણી બનાવી શકે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં તેઓ સતત, અથવા નક્કર, સ્પેક્ટ્રમની વાત કરે છે, બીજામાં - એક અલગ સ્પેક્ટ્રમની.

એક-પરિમાણીય લંબચોરસ "સંભવિત કૂવા" માં કણઅનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથે

ચાલો આપણે એક-પરિમાણીય લંબચોરસ "સંભવિત કૂવા" માં અનંત ઉંચી "દિવાલો" સાથેના કણ પર લાગુ પડતાં શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલોનું ગુણાત્મક વિશ્લેષણ કરીએ. આવા "છિદ્ર" નું વર્ણન સ્વરૂપની સંભવિત ઉર્જા દ્વારા કરવામાં આવે છે (સરળતા માટે આપણે ધારીએ છીએ કે કણ ધરી સાથે આગળ વધે છે. X)

જ્યાં l"છિદ્ર" ની પહોળાઈ છે, અને ઊર્જા તેના તળિયેથી ગણવામાં આવે છે (ફિગ. 2).

એક-પરિમાણીય સમસ્યાના કિસ્સામાં સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ ફોર્મમાં લખવામાં આવશે:

. (1)

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ (અનંત ઊંચી "દિવાલો") અનુસાર, કણ "છિદ્ર" ની બહાર પ્રવેશતું નથી, તેથી "છિદ્ર" ની બહાર તેની શોધ (અને પરિણામે, તરંગ કાર્ય) ની સંભાવના શૂન્ય છે. "ખાડો" ની સીમાઓ પર (એટ એક્સ= 0 અને x = 1)સતત વેવ ફંક્શન પણ અદૃશ્ય થવું જોઈએ.

તેથી, આ કિસ્સામાં સીમાની શરતોનું સ્વરૂપ છે:

Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)

"ખાડા" ની અંદર (0 ≤ એક્સ≤ 0) શ્રોડિન્જર સમીકરણ (1) સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવશે:

અથવા . (3)

જ્યાં k 2 = 2mE / ? 2.(4)

વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ (3):

Ψ ( x) = એપાપ kx + બી cos kx.

ત્યારથી (2) Ψ (0) = 0 મુજબ, પછી B = 0. પછી

Ψ ( x) = એપાપ kx. (5)

શરત Ψ ( l) = એપાપ kl= 0 (2) ત્યારે જ ચલાવવામાં આવે છે જ્યારે kl = nπ, ક્યાં n- પૂર્ણાંકો, એટલે કે. તે જરૂરી છે

k = nπ/l. (6)

(4) અને (6) અભિવ્યક્તિઓમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

એટલે કે, સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ, જે અનંત ઉંચી "દિવાલો" સાથે "સંભવિત કૂવા" માં કણની ગતિનું વર્ણન કરે છે, તે ફક્ત ઇજનવેલ્યુ માટે જ સંતુષ્ટ છે. ઇ પી,પૂર્ણાંક પર આધાર રાખીને પી.તેથી, ઊર્જા ઇ પીઅનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેના "સંભવિત કૂવા" માંના કણો જ સ્વીકારે છે ચોક્કસ અલગ મૂલ્યો, એટલે કે પરિમાણિત.

પરિમાણિત ઊર્જા મૂલ્યો ઇ પીકહેવાય છે ઊર્જા સ્તરોઅને નંબર p,જે કણના ઉર્જા સ્તરો નક્કી કરે છે તેને કહેવાય છે મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર.આમ, અનંત ઊંચી "દિવાલો" વાળા "સંભવિત કૂવા" માં સૂક્ષ્મ કણો માત્ર ચોક્કસ ઉર્જા સ્તર પર હોઈ શકે છે. ઇ પી,અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, કણ ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં છે પી.

(5) મૂલ્યમાં અવેજીમાં k(6) માંથી, અમે ઇજનફંક્શન્સ શોધીએ છીએ:

.

એકીકરણનું સતત એઅમે નોર્મલાઇઝેશન શરતમાંથી શોધીએ છીએ, જે આ કેસ માટે ફોર્મમાં લખવામાં આવશે:

.

એકીકરણના પરિણામે આપણે મેળવીએ છીએ , અને eigenfunctions પાસે ફોર્મ હશે:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

ઉર્જાના સ્તરને અનુરૂપ eigenfunctions (8) ના આલેખ (7) at n= 1,2,3, ફિગમાં બતાવેલ છે. 3, એ.ફિગ માં. 3, bછિદ્રની "દિવાલો" થી વિવિધ અંતરે કણ શોધવાની સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે, જે Ψ n(x) 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) માટે n = 1, 2 અને 3. તે આકૃતિમાંથી અનુસરે છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, સાથે ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં n= 2, એક કણ "છિદ્ર" ની મધ્યમાં ન હોઈ શકે, જ્યારે સમાન રીતે તે તેના ડાબા અને જમણા ભાગોમાં હોઈ શકે છે. કણની આ વર્તણૂક સૂચવે છે કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં પાર્ટિકલ ટ્રેજેક્ટરીઝની વિભાવનાઓ અસમર્થ છે.

અભિવ્યક્તિ (7) પરથી તે અનુસરે છે કે બે સંલગ્ન સ્તરો વચ્ચે ઊર્જા અંતરાલ બરાબર છે:

ઉદાહરણ તરીકે, સારી પરિમાણો સાથે ઇલેક્ટ્રોન માટે l= 10 -1 મીટર (ધાતુમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, એટલે કે ઊર્જા સ્તરો એટલા નજીકથી સ્થિત છે કે સ્પેક્ટ્રમ વ્યવહારીક રીતે સતત ગણી શકાય. જો કૂવાના પરિમાણો અણુ સાથે તુલનાત્મક હોય ( l ≈ 10 -10 મીટર), પછી ઇલેક્ટ્રોન Δ માટે E n ≈ 10 -17 nજે ≈ 10 2 n eV, એટલે કે દેખીતી રીતે અલગ ઊર્જા મૂલ્યો (રેખા સ્પેક્ટ્રમ) મેળવવામાં આવે છે.

આમ, શ્રોડિંગર સમીકરણને "સંભવિત કૂવા" માં અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેના કણ પર લાગુ કરવાથી પરિમાણિત ઊર્જા મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે, જ્યારે શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ આ કણની ઊર્જા પર કોઈ નિયંત્રણો લાદતા નથી.

વધુમાં, આ સમસ્યાની ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ વિચારણા એ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે કે "સંભવિત કૂવામાં" અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેના કણમાં π 2 જેટલી લઘુત્તમ ઊર્જા કરતાં ઓછી ઊર્જા હોઈ શકતી નથી. ? 2 /(2t1 2). બિનશૂન્ય લઘુત્તમ ઊર્જાની હાજરી આકસ્મિક નથી અને અનિશ્ચિતતા સંબંધને અનુસરે છે. સંકલન અનિશ્ચિતતા Δ એક્સ"ખાડો" પહોળા કણો lΔ ની બરાબર એક્સ= l.

પછી, અનિશ્ચિતતા સંબંધ અનુસાર, આવેગનું ચોક્કસ, આ કિસ્સામાં શૂન્ય, મૂલ્ય હોઈ શકતું નથી. મોમેન્ટમ અનિશ્ચિતતા Δ આર ≈ h/l. વેગ મૂલ્યોનો આ ફેલાવો ગતિ ઊર્જાને અનુરૂપ છે E મિનિટ ≈(Δ પી) 2 / (2m) = ? 2 / (2મિલી 2). અન્ય તમામ સ્તરો ( p> 1) આ ન્યૂનતમ મૂલ્ય કરતાં વધુ ઊર્જા ધરાવે છે.

સૂત્રો (9) અને (7) પરથી તે અનુસરે છે કે મોટા ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓ માટે ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/n“1, એટલે કે નજીકના સ્તરો નજીકથી સ્થિત છે: વધુ નજીક પી.જો nખૂબ મોટી છે, તો પછી આપણે સ્તરોના લગભગ સતત ક્રમ વિશે વાત કરી શકીએ છીએ અને ક્વોન્ટમ પ્રક્રિયાઓની લાક્ષણિકતા - વિવેકબુદ્ધિ - સરળ થઈ જાય છે. આ પરિણામ બોહરના પત્રવ્યવહાર સિદ્ધાંત (1923) નો એક વિશેષ કેસ છે, જે મુજબ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના નિયમો ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓના મોટા મૂલ્યો પર શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમોમાં રૂપાંતરિત થવા જોઈએ.