બીજગણિતીય પૂરક અને સગીર. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો

દ્વિતીય ક્રમ નિર્ણાયક એ સંખ્યા છે તફાવત સમાનમુખ્ય અને બીજા કર્ણના તત્વોના ઉત્પાદનો:

નીચેના અભિવ્યક્તિને તૃતીય-ક્રમ નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે:

જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ તો ત્રીજા ક્રમના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવી સરળ છે આગામી નિયમ: વત્તા ચિહ્ન સાથે મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર અને આ કર્ણના આધાર સમાંતર અને મેટ્રિક્સના વિરુદ્ધ ખૂણામાં શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત સંખ્યાઓના ત્રિકોણના ઉત્પાદનો છે. બાદબાકીના ચિહ્ન સાથે બીજા કર્ણમાંથી ત્રિકોણ અને ત્રિકોણમાંથી ત્રિકોણ બનેલ છે. નીચેનો આકૃતિ આ નિયમ દર્શાવે છે, જેને ત્રિકોણ નિયમ કહેવાય છે. ડાયાગ્રામમાં, વાદળી (ડાબી બાજુએ) એવા ઘટકો સૂચવે છે કે જેના ઉત્પાદનો વત્તા ચિહ્ન સાથે આવે છે, અને લીલો (જમણી બાજુએ) - ઓછા ચિહ્ન સાથે.

કોઈપણ ઓર્ડરના નિર્ધારકો. નિર્ધારકોના ગુણધર્મો.

પ્રથમ, અમે મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનને લગતા નિર્ધારકોના મૂળભૂત ગુણધર્મોનું વર્ણન કરીએ છીએ. આ ગુણધર્મોને જાણવાથી ગણતરીઓને સરળ બનાવવામાં અને મનસ્વી હુકમના નિર્ણાયકો શોધવામાં મદદ મળશે.

મિલકત 1. સ્થાનાંતરણ દરમિયાન નિર્ણાયક બદલાતો નથી. આનો અર્થ એ છે કે મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સ (એક મેટ્રિક્સ જેમાં પંક્તિઓ અનુરૂપ કૉલમ્સ દ્વારા બદલવામાં આવે છે) ના નિર્ધારક સમાન છે.

પ્રથમ પ્રોપર્ટીના આધારે, બાકીની પ્રોપર્ટીઝમાં આપણે ફક્ત પંક્તિઓ વિશે વાત કરી શકીએ છીએ, જે સૂચવે છે કે આ ગુણધર્મો કૉલમ પર પણ લાગુ પડે છે.

ગુણધર્મ 2. જો નિર્ણાયકની એક પંક્તિમાં શૂન્ય હોય, તો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર છે.

ગુણધર્મ 3. જ્યારે બે પંક્તિઓ ફરીથી ગોઠવવામાં આવે છે, ત્યારે નિર્ણાયક તેની નિશાની બદલે છે.

ગુણધર્મ 4. બે સરખા તાર ધરાવતો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર છે.

ગુણધર્મ 5. જો ચોક્કસ શબ્દમાળાના તમામ ઘટકોને ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો નિર્ણાયક પોતે આ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવશે..

ગુણધર્મ 6. બે પ્રમાણસર પંક્તિઓ ધરાવતો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર છે.

મિલકત 7. જો બધા તત્વો i-th લાઇન nમા ક્રમ નિર્ણાયકને બે પદોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે: a ij =b j +c j , j = 1, ..., n, પછી નિર્ણાયક સરવાળો સમાનબે નિર્ણાયકો જેમાં i-th સિવાયની તમામ રેખાઓ આપેલ નિર્ણાયકમાં સમાન હોય છે, અને i-th લાઇનએક શબ્દમાં b j તત્વોનો સમાવેશ થાય છે, અન્યમાં - તત્વો c jનો.

ગુણધર્મ 8. જો નિર્ણાયકની પંક્તિઓમાંથી એક તેની અન્ય પંક્તિઓનું રેખીય સંયોજન હોય, તો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર છે..

પ્રોપર્ટી 9. જો તેની એક પંક્તિમાં અન્ય પંક્તિઓનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન ઉમેરવામાં આવે તો નિર્ણાયક બદલાતો નથી..

પ્રમેય (પંક્તિમાં નિર્ણાયકના વિસ્તરણ વિશે): નિર્ણાયક તેમના દ્વારા કોઈપણ પંક્તિના તમામ ઘટકોના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન છે બીજગણિત ઉમેરાઓ . આનો અર્થ એ છે કે nxn મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક (બીજગણિત પૂરક A ij =(-1) i+j M ij ની સમાન છે. અહીં ગૌણ M ij એ i- ને કાઢી નાખીને મુખ્ય નિર્ણાયકમાંથી મેળવેલ નિર્ધારક છે. મી પંક્તિ અને જે-મી કૉલમ)

પંક્તિ વિસ્તરણ પ્રમેય આપણને n×n મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરીને (n-1)×(n-1) મેટ્રિસિસના n નિર્ધારકોની ગણતરીમાં ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે. આમ, ત્રીજા કરતા વધુ ક્રમના નિર્ધારકોની ગણતરી ત્રીજા-ક્રમ નિર્ધારકોના સરવાળામાં વિઘટનમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

ઉપર વર્ણવેલ નિર્ધારકોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, તમે પ્રારંભિક મેટ્રિક્સ રૂપાંતરણો કરી શકો છો જે આગળની ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો, એક પંક્તિ પર nમા ક્રમના નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરતા પહેલા, તે પંક્તિમાં કોઈ શૂન્ય એકઠા કરે છે, તો વિસ્તરણ ક્રમ n-1 ના નિર્ણાયકોની નાની સંખ્યા તરફ દોરી જાય છે. નીચે એક ઉદાહરણ છે જેમાં બીજી પંક્તિ પ્રથમ પંક્તિમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે (આ કિસ્સામાં બે શૂન્ય દેખાય છે), અને પછી વિસ્તરણ પ્રથમ પંક્તિ સાથે કરવામાં આવે છે (બે શૂન્યને કારણે, ચાર ત્રીજા ક્રમના નિર્ધારકો નથી. પ્રાપ્ત, પરંતુ માત્ર બે):

વ્યાખ્યાન 2.ક્વોલિફાયર

બીજા ક્રમ નિર્ધારકો

ત્રીજો ક્રમ નિર્ધારકો

બીજગણિતીય પૂરક અને સગીર

પંક્તિ અથવા કૉલમ દ્વારા નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરવું

નિર્ધારકોના ગુણધર્મો

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો

1. બીજા ક્રમ નિર્ધારકો

નિર્ણાયકની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી છે માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે.

નિર્ધારકચોક્કસ નિયમો અનુસાર ગણતરી કરવામાં આવતી સંખ્યા છે. નિર્ણાયક હુકમચોરસ મેટ્રિક્સનો ક્રમ છે. જો ગોળાકાર કૌંસનો ઉપયોગ મેટ્રિસિસને સ્પષ્ટ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો, તો પછી નિર્ધારકોના સિદ્ધાંતમાં સીધા કૌંસનો ઉપયોગ થાય છે.

ચાલો દરેક ચોરસ મેટ્રિક્સને ચોક્કસ સંખ્યા સાથે સાંકળીએ, જેને આપણે કહીશું મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક,અને તેની ગણતરી માટેનો નિયમ સૂચવો. હોદ્દો :

.

ઉદાહરણ 1.
.

2. ત્રીજા ક્રમ નિર્ધારકો

દરેક ઉત્પાદનમાં એક કૉલમ અથવા એક પંક્તિની સંખ્યાઓ હોતી નથી.

ચાલો નિર્ણાયકમાં શરતો મેળવવાનો ક્રમ યાદ રાખવા માટે એક આકૃતિ આપીએ.

એક કર્ણ પર સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન "+" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે (આ મેટ્રિક્સનું મુખ્ય કર્ણ છે), અને બીજી બાજુ - વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે.

ઉદાહરણ 2.

3. બીજગણિતીય પૂરક અને સગીર

ત્રણ કરતાં વધુ ઓર્ડરના નિર્ધારકોની ગણતરી કરવા માટે, અન્ય ગણતરી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3.ગૌણ
નિર્ણાયક છે.

.

તે યાદ રાખવું ઉપયોગી છે
અને
.

ઉદાહરણ 4.ઉદાહરણ 3 માં, બીજગણિત ઉમેરો

4. પંક્તિ અથવા કૉલમમાં નિર્ણાયકનું વિસ્તરણ

નિર્ણાયકની ગણતરી ઓર્ડર નિર્ધારકોની ગણતરી કરવા માટે ક્રમાંક ઘટાડી શકાય છે
નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને.

આ સંખ્યા ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલી છે તત્વોકોઈપણ મીલીટીઓ ચાલુ તેમના બીજગણિતીય પૂરક.

ઉદાહરણ 5. ત્રીજા ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કરો
પ્રથમ પંક્તિ સાથે વિસ્તરણ.

ઉકેલ

આ સંખ્યા કોઈપણ તત્વોના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલી છે તેમના બીજગણિતીય પૂરક માટે મી કૉલમ.

વિઘટન પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સમાન જવાબ હંમેશા પ્રાપ્ત થાય છે.

5. નિર્ધારકોના ગુણધર્મો

1. જ્યારે ચોરસ મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝ કરો તેનો નિર્ણાયક બદલાતો નથી:
.

નિષ્કર્ષ.પંક્તિઓ માટે ઘડવામાં આવેલા નિર્ધારકોના ગુણધર્મો કૉલમ માટે પણ માન્ય છે.

2. જ્યારે બે શબ્દમાળાઓ ફરીથી ગોઠવો (કૉલમ્સ) નિર્ણાયક ફેરફારો વિરુદ્ધ સાઇન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે,
.

3. નિર્ણાયક શૂન્ય છે , જો:

a) તેની પાસે શૂન્ય પંક્તિ છે (કૉલમ)
;

b) તેમાં પ્રમાણસર (સમાન) પંક્તિઓ (કૉલમ્સ) છે
.

4. પંક્તિમાં સામાન્ય પરિબળ (કૉલમ) નિર્ણાયક ચિહ્ન તરીકે બહાર લઈ શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,
.

5. નિર્ધારક બદલાતો નથી , જો તમે બીજી પંક્તિના અનુરૂપ ઘટકોને પંક્તિના ઘટકોમાં ઉમેરો (બાદબાકી કરો), તો કોઈપણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ તરીકે,
.

6. જો નિર્ણાયકમાં દરેક પંક્તિ તત્વ સરવાળો છે બે પદો, તો આ નિર્ણાયક બે નિર્ણાયકોના સરવાળા સમાન છે:

.

7. બે ચોરસ મેટ્રિસના ઉત્પાદનનો નિર્ધારક સમાન ક્રમમાં ઉત્પાદન સમાનઆ મેટ્રિસિસના નિર્ધારકો:

.

8. ચોરસ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વોના ઉત્પાદન સમાન છે:

.

6. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ

મેટ્રિક્સ ડિવિઝન ઓપરેશનને બદલે, ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ દ્વારા સૂચિત
, તે છે .

સંખ્યાઓ સાથે સામ્યતા સ્પષ્ટ છે: સંખ્યા 2 માટે, સંખ્યા ½ એ વ્યસ્ત છે, કારણ કે
. તેથી જ A થી મેટ્રિક્સ વ્યુત્ક્રમ સૂચવવામાં આવે છે
.

પ્રમેય "અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ». ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે ક્રમમાં એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હતું
, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે મેટ્રિક્સનું નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર ન હતી.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાનો નિયમ

0) ચાલો જોઈએ કે મેટ્રિક્સ ચોરસ છે કે નહીં. જો નહિં, તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી; જો તે ચોરસ છે, તો પછી પગલું 1 પર જાઓ.

1) મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી
: જો તે શૂન્ય નથી, તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે:
; જો શૂન્યની બરાબર હોય, તો ત્યાં કોઈ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ નથી.

2) દરેક મેટ્રિક્સ તત્વ માટે અમે તેના બીજગણિતીય પૂરકની ગણતરી કરીએ છીએ .

3) અમે બીજગણિત ઉમેરણોનું મેટ્રિક્સ કંપોઝ કરીએ છીએ, જે અમે પછી સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:
.

4) મેટ્રિક્સનું દરેક તત્વ
નિર્ધારક દ્વારા વિભાજીત કરો :
આપણે આ એકનું મેટ્રિક્સ વ્યુત્ક્રમ મેળવીએ છીએ.

7. સેકન્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિસીસ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવી

ઉદાહરણ 6.મેટ્રિક્સ આપ્યું
. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

ઉકેલ.

પરીક્ષા.ચાલો ખાતરી કરીએ કે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ ખરેખર જોવા મળે છે. ચાલો મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન શોધીએ અને
.

8. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો

1.
,

જ્યાં A અને B સમાન ક્રમના બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિસ છે.

2.
.

3.
.

4.
.

સુરક્ષા પ્રશ્નો

સેકન્ડ ઓર્ડર નિર્ધારક શું છે?

ત્રીજા ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને 3જી ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

નિર્ણાયકના તત્વનું બીજગણિતીય પૂરક શું છે? 2જી અને 3જી ઓર્ડરના નિર્ધારકો માટે ઉદાહરણો આપો.

મનસ્વી પંક્તિ અને મનસ્વી કૉલમના ઘટકો પર ત્રીજા-ક્રમ નિર્ણાયકનું વિસ્તરણ લખો.

વ્યવહારમાં, સંશોધકને ઘણીવાર અમુક પૂર્વનિર્ધારિત નિર્ભરતાઓ દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા અજાણ્યા જથ્થાઓ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે જે કોઈપણ સૂત્રો દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. જો સંખ્યાબંધ શરતો પૂરી થાય છે:

1. સૂત્રોમાં ગુણાંક સ્થિર છે,
2. અજ્ઞાતને માત્ર પ્રથમ ડિગ્રી સુધી સૂત્રોમાં સમાવવામાં આવેલ છે,
3. અજાણ્યાઓ વચ્ચે કોઈ કામ નથી,

પછી આવી નિર્ભરતાને રેખીય કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ. પ્રયોગશાળામાં, 10 નમૂનાઓનું કુલ વજન 280 ગ્રામ છે સરેરાશ વજનએક નમૂનો, જો કન્ટેનરનું વજન 15 ગ્રામ હોય.

ઉકેલ. પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, અમે એક સરળ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીશું:

એક નમૂનાનું સરેરાશ વજન x દ્વારા દર્શાવવું. સંકલિત સમીકરણનો ઉકેલ 26.5 ગ્રામ હશે.

ઉદાહરણ. લેબોરેટરીમાં, પ્રથમ વિભાગમાંથી 10 નમૂના અને બીજા વિભાગમાંથી 10 નમૂનાઓનું કુલ વજન 280 ગ્રામ છે, અને પ્રથમ સેટમાંથી 5 નમૂના અને બીજા સમૂહમાંથી 2 નમૂનાઓનું કુલ વજન 128 ગ્રામ છે દરેક સેટમાં નમૂનાઓનું સરેરાશ વજન.

ઉકેલ. પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો બે સમીકરણો બનાવીએ, x દ્વારા ખડકના નમૂના 1નું સરેરાશ વજન અને y દ્વારા ખડકના નમૂના 2નું સરેરાશ વજન,

10x+10y=280; 5x+2y=128,

જે એકસાથે ઉકેલવાથી, આપણને x=24 g મળે છે; y=4 ગ્રામ.

ગણવામાં આવતા બંને ઉદાહરણોમાં, અમે સાથે કામ કરી રહ્યા હતા રેખીય અવલંબન: પ્રથમ કિસ્સામાં - રેખીય સાથે સમીકરણ, અને બીજામાં - રેખીય સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ.

ચાલો ગુણાંકને અક્ષરોથી બદલીએ અને સમીકરણોની રેખીય સિસ્ટમ મેળવીએ:

વ્યાખ્યા 1. મેટ્રિક્સ અમે કોઈપણ કૉલ કરીશું લંબચોરસ ટેબલસંખ્યાઓથી બનેલુંએક ij

વ્યાખ્યા 2. તત્વોએક ij જેમાંથી મેટ્રિક્સ બને છે તેને આ મેટ્રિક્સના તત્વો કહેવામાં આવે છે

વ્યાખ્યા 3. બીજો ક્રમ નિર્ણાયક અથવા નિર્ણાયક, મેટ્રિક્સને અનુરૂપ (1.2) ચાલો નંબર પર કૉલ કરીએડી જેમ કે

નિર્ણાયકને D અથવા અને લખેલા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

એ નોંધવું જોઈએ કે નિર્ણાયક એ સંખ્યા હોવા છતાં, વ્યાખ્યા 3 દ્વારા, પરંતુ જ્યાં સુધી તેનું મૂલ્ય એકવચન નંબર (સૂત્ર 1.2 અથવા અન્ય કોઈ માન્ય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને) ના રૂપમાં ન મળે ત્યાં સુધી, તે કોષ્ટકના રૂપમાં લખવામાં આવે છે. પછી આપણે કહી શકીએ, ઉદાહરણ તરીકે, આ કોષ્ટકમાં પંક્તિઓ અથવા કૉલમને ફરીથી ગોઠવવા વિશે. આ કિસ્સામાં, "મેટ્રિક્સને અનુરૂપ નિર્ણાયક" કહેવું જોઈએ. પરંતુ વ્યવહારમાં, સામાન્ય રીતે આ શબ્દસમૂહનો બીજો ભાગ સરળતા માટે અવગણવામાં આવે છે, અને પછી માત્ર એક જ શબ્દ રહે છે - નિર્ધારક. અર્થ શું છે તે પારખવા માટે - નિર્ણાયક પોતે કોષ્ટક અથવા તેના મળેલા મૂલ્યના સ્વરૂપમાં, બીજા કિસ્સામાં નિર્ણાયક શબ્દનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી, જો તેઓ કહે છે, ઉદાહરણ તરીકે, "નિર્ધારકમાં પંક્તિઓની સંખ્યા...", તો તેનો અર્થ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ નિર્ણાયક છે, પરંતુ હજુ સુધી એક સંખ્યા સાથે ગણતરી કરવામાં આવી નથી. અને, જો તેઓ નિર્ણાયક કહે છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે આ નિર્ણાયક રજૂ થાય છે એકવચન, સૂત્ર દ્વારા અથવા અન્ય સ્વીકાર્ય રીતે ગણતરી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ. સમીકરણોની સિસ્ટમ આપી

સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ કંપોઝ કરો અને નિર્ણાયકની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. થી સિસ્ટમ ગુણાંકચાલો મેટ્રિક્સ બનાવીએ: અને તેના અનુરૂપ નિર્ણાયક

ચાલો સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ, આપણને મળે છે

વ્યાખ્યા 4. નિર્ણાયકમાં પંક્તિઓ (અથવા કૉલમ) ની સંખ્યા કહેવાય છે નિર્ધારકના હુકમથી

ઉદાહરણમાં, બીજા-ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કરવામાં આવી હતી.

નિર્ધારકોમાં નીચેના ગુણધર્મો છે.

મિલકત 1. નિર્ણાયક બદલાશે નહીં જો તેની પંક્તિઓ કૉલમ દ્વારા બદલવામાં આવે અને ઊલટું.

ચાલો તે બતાવીએ. બીજા-ક્રમ નિર્ણાયક આપવા દો

ચાલો હરોળને કૉલમ સાથે બદલીએ અને ફરીથી પરિણામી નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ

D ને D * સાથે સરખાવતા આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે D = D * .

વ્યાખ્યા 5. નિર્ણાયકમાં પંક્તિઓને કૉલમ (અથવા ઊલટું) સાથે બદલવાની ક્રિયાને સ્થાનાંતરણ કહેવામાં આવે છે.

મિલકત 2. જ્યારે બે પંક્તિઓ અથવા કૉલમ ફરીથી ગોઠવવામાં આવે છે, ત્યારે નિર્ણાયક તેના ચિહ્નને બદલે છે.

અમે આ મિલકતને ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ચકાસીશું, જેમ કે મિલકત 1. નિર્ણાયકને આપવા દો

ચાલો તેમાં કૉલમ સ્વેપ કરીએ અને પરિણામી નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ.

પરિણામોની સરખામણી કરતા, અમને ખાતરી છે કે નિર્ણાયકે ખરેખર તેનું ચિહ્ન બદલ્યું છે. ચાલો હવે લીટીઓની અદલાબદલી કરીએ અને ફરીથી આ પ્રોપર્ટીની માન્યતા ચકાસીએ.

પાઠ 2

2.1 સેકન્ડ ઓર્ડર નિર્ધારકો

બીજો ક્રમ નિર્ણાયક(આ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ

) ને સંખ્યા કહેવાય છે

ઉદાહરણ1: ચાલો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ

ઉદાહરણ 2.બીજા ક્રમ નિર્ધારકોની ગણતરી કરો:

2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7

=

2.2 ત્રીજા ક્રમ નિર્ધારકો

ત્રીજા ક્રમનો ચોરસ મેટ્રિક્સ આપવા દો:

એ=

ત્રીજા ક્રમનો નિર્ધારક (અથવા નિર્ધારક).આપેલ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ એ સંખ્યા છે

detએ = =

ઉદાહરણ 3

પ્રથમ ઉકેલ:

ફોર્મ્યુલા લાંબી છે અને બેદરકારીને કારણે ભૂલ કરવી સરળ છે. હેરાન કરતી ભૂલોને કેવી રીતે ટાળવી? આ હેતુ માટે, નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની બીજી પદ્ધતિની શોધ કરવામાં આવી હતી, જે વાસ્તવમાં પ્રથમ સાથે એકરુપ છે. તેને સરરસ પદ્ધતિ અથવા "સમાંતર સ્ટ્રીપ્સ" પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. નીચે લીટી એ છે કે નિર્ણાયકની જમણી બાજુએ, પ્રથમ અને બીજા કૉલમ સોંપો અને કાળજીપૂર્વક પેન્સિલ વડે રેખાઓ દોરો:

"લાલ" કર્ણ પર સ્થિત મલ્ટિપ્લાયર્સ "પ્લસ" ચિહ્ન સાથે સૂત્રમાં શામેલ છે. "વાદળી" કર્ણ પર સ્થિત મલ્ટિપ્લાયર્સ માઇનસ ચિહ્ન સાથે સૂત્રમાં શામેલ છે:

ઉદાહરણ 3

બીજો ઉકેલ:

બે ઉકેલોની તુલના કરો. તે જોવાનું સરળ છે કે આ એક જ વસ્તુ છે, માત્ર બીજા કિસ્સામાં સૂત્રના પરિબળો સહેજ ફરીથી ગોઠવાયેલા છે, અને, સૌથી અગત્યનું, ભૂલ કરવાની સંભાવના ઘણી ઓછી છે.

ઉદાહરણ 4

ત્રીજા ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કરો:

ઉદાહરણ 5

ત્રીજા ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કરો

વ્યવહાર 2

કાર્ય એન 1, તે…

ઉકેલ:

તે

શરતે , પછી

કાર્ય એન 2વિષય: બીજા ક્રમના નિર્ધારકોજો બીજો ક્રમ નિર્ધારક

, તે…

ઉકેલ:

અમારા કિસ્સામાં અમારી પાસે છે

શરતે , પછી

કાર્ય એન 3

વિષય: બીજા ક્રમના નિર્ધારકોજો બીજો ક્રમ નિર્ધારક

, તે…

ઉકેલ:બીજા ક્રમ નિર્ધારક થી સંખ્યા જેટલી, જે નિયમ અનુસાર મેળવવામાં આવે છે:

તે

શરતે , પછી

કાર્ય એન 4વિષય: બીજા ક્રમના નિર્ધારકોજો નિર્ણાયક બીજા ક્રમનો હોય, તો...

ઉકેલ:અમે તમને યાદ અપાવીએ છીએ કે સેકન્ડ-ઓર્ડર નિર્ણાયક નિયમ દ્વારા મેળવેલી સંખ્યાની બરાબર છે:

અમારા કિસ્સામાં અમારી પાસે છે

શરતે , પછી

કાર્ય એન 5વિષય: તૃતીય-ક્રમ નિર્ધારકોત્રીજા ક્રમના નિર્ણાયકની કિંમતની ગણતરી "ત્રિકોણના નિયમ" નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, જે આંકડાઓમાં યોજનાકીય રીતે દર્શાવેલ છે. પછી નિર્ણાયક છે ...

ઉકેલ:

કાર્ય એન 6

વિષય: તૃતીય-ક્રમ નિર્ધારકોત્રીજા ક્રમના નિર્ણાયકની કિંમતની ગણતરી "ત્રિકોણના નિયમ" નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, જે આંકડાઓમાં યોજનાકીય રીતે દર્શાવેલ છે. પછી નિર્ણાયક છે ...

ઉકેલ:તૃતીય-ક્રમ નિર્ણાયક છ પદોના સરવાળા સમાન છે, જેમાંથી ત્રણ “+” ચિહ્ન સાથે અને ત્રણ “−” ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે. "+" ચિહ્ન સાથે શરતોની ગણતરી કરવાનો નિયમ ફિગમાં યોજનાકીય રીતે બતાવવામાં આવ્યો છે. 1. એક પદ મુખ્ય કર્ણ પર પડેલા નિર્ણાયકના ઘટકોના ગુણાંક સમાન છે. નિર્ણાયકના વિરુદ્ધ ખૂણામાંથી ત્રીજા અવયવના ઉમેરા સાથે, અન્ય બેમાંથી દરેક આ કર્ણની સમાંતર પર પડેલા તત્વોના ઉત્પાદન તરીકે જોવા મળે છે. “−” ચિહ્ન સાથેના શબ્દો એ જ રીતે મેળવવામાં આવે છે, પરંતુ બીજા કર્ણ (ફિગ. 2) ને સંબંધિત છે. પછી

સ્વતંત્ર કાર્ય 2

કાર્ય એન 1વિષય: બીજા ક્રમના નિર્ધારકોજો બીજો ક્રમ નિર્ધારક , તે…

2. નિર્ધારકો અને ક્રેમરનો નિયમ

2.1. બીજા ક્રમ નિર્ધારકો

નિર્ધારક સેકન્ડ ઓર્ડર મેટ્રિક્સ નીચે મુજબ જોવા મળે છે:

(2.1)
તે મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણના ઘટકોના ગુણાંકને બાદ કરતા બીજા કર્ણના ઘટકોના ગુણાંક સમાન છે.

ઉદાહરણ તરીકે,


તે ફરી એકવાર ભારપૂર્વક જણાવવું જોઈએ કે મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓનું કોષ્ટક છે, જ્યારે નિર્ણાયક એ ચોરસ મેટ્રિક્સના ઘટકો દ્વારા નિર્ધારિત સંખ્યા છે.

ચાલો હવે બે અજ્ઞાત સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પર વિચાર કરીએ:

2જી ક્રમ નિર્ધારકની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, આ સિસ્ટમનો ઉકેલ આ રીતે લખી શકાય છે:

(2.2)

તે ત્યાં છે ક્રેમરનો નિયમ બે અજાણ્યાઓ સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી, જો કે 0 હોય.

ઉદાહરણ 2.1.ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ઉકેલ . ચાલો નિર્ણાયકો શોધીએ:



ઐતિહાસિક માહિતી. કન્સેપ્ટ આઈડિયા "નિર્ધારક"સંબંધિત હોઈ શકે છે જી. લીબનીઝ(1646-1716), જો તેણે નિર્ધારકોને લગતા તેના વિચારો વિકસાવ્યા અને પ્રકાશિત કર્યા હતા, જેના પર તે 1693માં પહોંચ્યો હતો. તેથી, રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે નિર્ધારકોની પદ્ધતિ વિકસાવવાની પ્રાથમિકતા તેની છે. જી. ક્રેમર(1704-1752), જેમણે 1750 માં આ વિષય પર તેમનું સંશોધન પ્રકાશિત કર્યું. જો કે, ક્રેમરે નિર્માણ કર્યું ન હતું સંપૂર્ણ સિદ્ધાંતક્વોલિફાયર; વધુમાં, તેમાં અનુકૂળ હોદ્દો નથી. નિર્ધારકોને સમર્પિત પ્રથમ વ્યાપક અભ્યાસ હતો A. વન્ડરમોન્ડે(1735-1796) 1772 માં. તેમણે નિર્ધારકોના સિદ્ધાંતની તાર્કિક રજૂઆત કરી અને સગીરોનો ઉપયોગ કરીને નિર્ણાયકને વિઘટિત કરવાનો નિયમ રજૂ કર્યો. નિર્ધારકોના સિદ્ધાંતનું સંપૂર્ણ પ્રદર્શન ફક્ત 1812 માં આપવામાં આવ્યું હતું.
જે. બિનેટ(1786-1856) અને ઓ. કોચી(1789-1858). મુદત "નિર્ધારક" ("નિર્ધારક") તેના આધુનિક અર્થમાં કોચી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો (અગાઉ આ શબ્દનો ઉપયોગ કે. ગૌસ દ્વારા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ભેદભાવને દર્શાવવા માટે કરવામાં આવતો હતો).

2.2. ત્રીજો ક્રમ નિર્ધારકો

(2.3)

સ્વાભાવિક રીતે, આ સૂત્રને યાદ રાખવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. જો કે, એવા નિયમો છે જે 3જી ક્રમ નિર્ધારક માટે અભિવ્યક્તિ લખવાનું સરળ બનાવે છે.

ત્રિકોણ નિયમ : વત્તા ચિહ્ન સાથે મૂળ અભિવ્યક્તિમાં સમાવિષ્ટ ત્રણ શબ્દો મુખ્ય કર્ણ અથવા ત્રિકોણના ઘટકોના ઉત્પાદનો છે કે જેના પાયા આ કર્ણની સમાંતર છે. બાકીના ત્રણ શબ્દો, બાદબાકી ચિહ્ન સાથે સમાવિષ્ટ છે, તે જ રીતે જોવા મળે છે, પરંતુ બીજા કર્ણને સંબંધિત છે.

સરરસ શાસન : જમણી બાજુના મેટ્રિક્સમાં પ્રથમ અને પછી બીજી કૉલમ ઉમેરો. પછી "ધન" શબ્દો મુખ્ય કર્ણની સમાંતર રેખાઓ પર હશે, અને "નકારાત્મક" શબ્દો મુખ્ય કર્ણની સમાંતર રેખાઓ પર હશે. બીજાની સમાંતરકર્ણ.

2.3. ક્રેમરનો નિયમ

3જી ક્રમ નિર્ધારકોનો ઉપયોગ કરીને, આવી સિસ્ટમનો ઉકેલ બે સમીકરણોની સિસ્ટમની જેમ જ લખી શકાય છે, એટલે કે.

(2.4)

જો 0. અહીં

તે ત્યાં છે ક્રેમરનો નિયમ ત્રણ અજ્ઞાતમાં ત્રણ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી.

ઉદાહરણ 2.3.ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ઉકેલ . સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને શોધવું

0 થી, પછી સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવા માટે આપણે ક્રેમરનો નિયમ લાગુ કરી શકીએ છીએ, પરંતુ પહેલા આપણે ત્રણ વધુ નિર્ણાયકોની ગણતરી કરીએ છીએ:

પરીક્ષા:

તેથી, ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો હતો. 

ક્રેમરના નિયમો માટે તારવેલી રેખીય સિસ્ટમો 2જી અને 3જી ક્રમ, સૂચવે છે કે સમાન નિયમો કોઈપણ ક્રમની રેખીય સિસ્ટમો માટે ઘડી શકાય છે. ખરેખર થાય છે

ક્રેમરનું પ્રમેય. ચોરસ સિસ્ટમસિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના બિનશૂન્ય નિર્ણાયક સાથે રેખીય સમીકરણો (0) એક અને માત્ર એક જ ઉકેલ છે અને આ ઉકેલની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

(2.5)

જ્યાં  – મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક,  i – મેટ્રિક્સ નિર્ણાયક, મુખ્યમાંથી મેળવી, બદલીનેiમફત સભ્યોની મી કૉલમ કૉલમ.

નોંધ કરો કે જો =0 હોય, તો ક્રેમરનો નિયમ લાગુ પડતો નથી. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પાસે કાં તો કોઈ ઉકેલો નથી અથવા અનંત ઘણા ઉકેલો છે.

ક્રેમરનું પ્રમેય ઘડ્યા પછી, સ્વાભાવિક રીતે ઉચ્ચ ઓર્ડરના નિર્ધારકોની ગણતરી કરવાનો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે.

2.4. nમા ક્રમના નિર્ધારકો

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો તત્વોના સગીર અને બીજગણિતીય પૂરક શોધીએ a 23 અને a 31 ક્વોલિફાયર

અમને મળે છે



બીજગણિતીય પૂરક ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઘડી શકીએ છીએ નિર્ણાયક વિસ્તરણ પ્રમેયn- પંક્તિ અથવા કૉલમ દ્વારા ક્રમ.

પ્રમેય 2.1.મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકએચોક્કસ પંક્તિ (અથવા કૉલમ) ના તમામ ઘટકોના તેમના બીજગણિતીય પૂરક દ્વારા ઉત્પાદનના સરવાળા સમાન છે:

(2.6)

આ પ્રમેય નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓમાંની એક છે, કહેવાતા. ઓર્ડર ઘટાડવાની પદ્ધતિ. નિર્ણાયકના વિસ્તરણના પરિણામે nકોઈપણ પંક્તિ અથવા કૉલમ પરનો ક્રમ, અમને n નિર્ધારકો મળે છે ( n-1)મો ક્રમ. આવા ઓછા નિર્ણાયકો રાખવા માટે, તે પંક્તિ અથવા કૉલમ પસંદ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે જેમાં સૌથી વધુ શૂન્ય હોય. વ્યવહારમાં, નિર્ધારક માટે વિસ્તરણ સૂત્ર સામાન્ય રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છે:

તે બીજગણિત ઉમેરાઓ સગીરોના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટપણે લખવામાં આવે છે.

ઉદાહરણો 2.4.નિર્ધારકોની ગણતરી પ્રથમ તેમને અમુક પંક્તિ અથવા કૉલમમાં ગોઠવીને કરો. સામાન્ય રીતે, આવા કિસ્સાઓમાં, સૌથી વધુ શૂન્ય ધરાવતી કૉલમ અથવા પંક્તિ પસંદ કરો. પસંદ કરેલ પંક્તિ અથવા કૉલમ તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવશે.



2.5. નિર્ધારકોના મૂળભૂત ગુણધર્મો

મિલકત 1. નિર્ણાયક બદલાશે નહીં જો તેમાંની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સ સ્વેપ કરવામાં આવે, એટલે કે. મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝ કરતી વખતે:

.

આ ગુણધર્મ નિર્ણાયકની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સમાનતા સૂચવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નિર્ણાયકના કૉલમ વિશેનું કોઈપણ વિધાન તેની પંક્તિઓ માટે પણ સાચું છે અને ઊલટું.

મિલકત 2. જ્યારે બે પંક્તિઓ (કૉલમ્સ) એકબીજાના બદલે છે ત્યારે નિર્ણાયક ફેરફારોનું ચિહ્ન.

પરિણામ. જો નિર્ણાયક પાસે બે સમાન પંક્તિઓ (સ્તંભો) હોય, તો તે શૂન્યની બરાબર છે.

મિલકત 3. કુલ ગુણકકોઈપણ પંક્તિ (કૉલમ) ના તમામ ઘટકોને નિર્ણાયક ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે,

પરિણામ. જો નિર્ણાયકની ચોક્કસ પંક્તિ (કૉલમ) ના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો નિર્ણાયક પોતે શૂન્ય સમાન છે.

મિલકત 4. નિર્ણાયક બદલાશે નહીં જો એક પંક્તિ (કૉલમ) ના ઘટકો બીજી પંક્તિ (કૉલમ) ના ઘટકોમાં ઉમેરવામાં આવે, અમુક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે.

ઉદાહરણ તરીકે,

મિલકત 5. મેટ્રિસીસના ઉત્પાદનનો નિર્ણાયક મેટ્રિસીસના નિર્ધારકોના ઉત્પાદન સમાન છે:

2.6.

પ્રાથમિક પરિવર્તનો મેટ્રિસીસને નીચેના રૂપાંતરણો કહેવામાં આવે છે: 1) પંક્તિ (કૉલમ) નો સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો, નહીં શૂન્ય બરાબર; 2) બીજી પંક્તિ (કૉલમ) ઉમેરીને; 3) બે પંક્તિઓ (સ્તંભો) ની પુનઃ ગોઠવણી.

પ્રાથમિક પરિવર્તન પદ્ધતિ મેટ્રિક્સને ઘટાડવા માટે, નિર્ધારકોના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેતા, પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરવાનો છે ત્રિકોણાકાર દૃશ્ય.

ઉદાહરણ 2.5.પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને નિર્ણાયકની ગણતરી કરો, તેમને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવો:



ઉદાહરણ 2.6.નિર્ણાયકની ગણતરી કરો:

.

ઉકેલ . ચાલો આ નિર્ણાયકને સરળ બનાવીએ અને પછી તેની ગણતરી કરીએ:

. 
ઉદાહરણ 2.7.ગણતરી નિર્ણાયક
.

ઉકેલ . પદ્ધતિ 1 .મેટ્રિક્સના પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, નિર્ધારકોના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે કોઈપણ પંક્તિ અથવા કૉલમમાં શૂન્ય મેળવીશું, અને પછી અમે આ પંક્તિ અથવા કૉલમ સાથે પરિણામી નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરીશું:

–6

2

-2


.
પદ્ધતિ 2 .મેટ્રિક્સના પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, નિર્ધારકોના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈને, અમે મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ:

. 

પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારકોની ગણતરી કરવી, તેને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડીને, સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિઓમાંની એક છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે કમ્પ્યુટર પર નિર્ધારકોની ગણતરી કરવાની તે મુખ્ય પદ્ધતિ છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તે ફેરફારોમાંનું એક છે ગૌસ પદ્ધતિ , જેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલતી વખતે થાય છે.

ઉદાહરણ 2.8.ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નિર્ણાયકની ગણતરી કરો:

ઉકેલ. પ્રથમ સ્તંભને ધ્યાનમાં લો અને તેમાં 1 હોય તેવી પંક્તિ પસંદ કરો. જો ત્યાં કોઈ એકમ ન હોય, તો તમારે પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને આ એકમ બનાવવાની જરૂર છે: પંક્તિઓ અથવા કૉલમ્સને ફરીથી ગોઠવવા, તેમને એકબીજા સાથે ઉમેરીને અથવા બાદબાકી કરવા, તેમને અમુક વડે ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવા. સંખ્યા (ખાતમાં લેતા, અલબત્ત, નિર્ધારકોના ગુણધર્મો). ચાલો બીજી પંક્તિને આધાર તરીકે લઈએ અને તેનો ઉપયોગ પ્રથમ કૉલમમાં શૂન્ય મેળવવા માટે કરીએ:

આ પછી, અમે પ્રથમ લાઇન પર વધુ ધ્યાન આપતા નથી. ચાલો 2જી કૉલમ જોઈએ.

પરિણામ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે. નિર્ણાયકની ગણતરી કરવા માટે, જે બાકી રહે છે તે મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત મેટ્રિક્સ ઘટકોનો ગુણાકાર કરવાનું છે. આમ, આપણને જવાબ મળે છે: –2(–1)(–1)1334 = –264. 