વ્યાખ્યા.કાર્ય \(y = f(x)\) બિંદુ \(x_0\) ધરાવતા ચોક્કસ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત થવા દો. ચાલો દલીલને ઇન્ક્રીમેન્ટ \(\Delta x \) આપીએ જેથી તે આ અંતરાલને છોડે નહીં. ચાલો ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો શોધીએ \(\Delta y \) (જ્યારે બિંદુ \(x_0 \) થી બિંદુ \(x_0 + \Delta x \)) પર જઈએ અને સંબંધ \(\frac(\Delta) કંપોઝ કરીએ y)(\Delta x) \). જો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા \(\Delta x \rightarrow 0\) હોય, તો ઉલ્લેખિત મર્યાદા કહેવામાં આવે છે. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન\(y=f(x) \) બિંદુ પર \(x_0 \) અને સૂચવો \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
સંજ્ઞા y નો ઉપયોગ ઘણીવાર વ્યુત્પન્ન દર્શાવવા માટે થાય છે." નોંધ લો કે y" = f(x) છે નવી સુવિધા, પરંતુ કુદરતી રીતે ફંક્શન y = f(x) સાથે સંકળાયેલ છે, જે તમામ બિંદુઓ x પર વ્યાખ્યાયિત છે કે જેના પર ઉપરની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે. આ કાર્યને આના જેવું કહેવામાં આવે છે: કાર્ય y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન.
વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થનીચે મુજબ છે. જો એબ્સીસા x=a સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, જે y-અક્ષની સમાંતર નથી, તો f(a) સ્પર્શકનો ઢોળાવ વ્યક્ત કરે છે :
\(k = f"(a)\)
ત્યારથી \(k = tg(a) \), તો પછી સમાનતા \(f"(a) = tan(a) \) સાચી છે.
હવે ચાલો અંદાજિત સમાનતાના દૃષ્ટિકોણથી વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનું અર્થઘટન કરીએ. ફંક્શન \(y = f(x)\) ને વ્યુત્પન્ન ઇન થવા દો ચોક્કસ બિંદુ\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ x ની નજીક અંદાજિત સમાનતા \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), એટલે કે \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ડેલ્ટા x\). પરિણામી અંદાજિત સમાનતાનો અર્થપૂર્ણ અર્થ નીચે મુજબ છે: ફંક્શનનો વધારો એ દલીલના વધારા માટે "લગભગ પ્રમાણસર" છે, અને પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક એ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે આપેલ બિંદુએક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન \(y = x^2\) માટે અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) માન્ય છે. જો આપણે ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરીએ, તો આપણે શોધીશું કે તેમાં તેને શોધવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે.
ચાલો તેને ઘડીએ.
ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?
1. \(x\) ની કિંમત ઠીક કરો, \(f(x)\) શોધો
2. દલીલ \(x\) વધારો આપો \(\Delta x\), પર જાઓ નવો મુદ્દો\(x+ \Delta x \), શોધો \(f(x+ \Delta x) \)
3. ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધો: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. સંબંધ બનાવો \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ગણતરી કરો $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
આ મર્યાદા બિંદુ x પરના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે.
જો ફંક્શન y = f(x) બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે બિંદુ x પર વિભેદક કહેવાય છે. ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે તફાવતકાર્યો y = f(x).
ચાલો નીચેના પ્રશ્નની ચર્ચા કરીએ: એકબીજા સાથે સંબંધિત બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય અને ભિન્નતા કેવી રીતે છે?
બિંદુ x પર ફંક્શન y = f(x) ને અલગ કરવા દો. પછી બિંદુ M(x; f(x)) પરના કાર્યના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરી શકાય છે, અને યાદ કરો, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f "(x) ની બરાબર છે. આવો આલેખ "તોડી" શકતો નથી. બિંદુ M પર, એટલે કે કાર્ય બિંદુ x પર સતત હોવું જોઈએ.
આ "હેન્ડ-ઓન" દલીલો હતી. ચાલો વધુ સખત તર્ક આપીએ. જો x બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ભિન્ન હોય, તો અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ધરાવે છે. જો આ સમાનતામાં \(\Delta x) \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી \(\Delta y \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આ એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય માટેની સ્થિતિ છે.
તેથી, જો કોઈ ફંક્શન એક બિંદુ x પર વિભેદક હોય, તો તે તે બિંદુ પર સતત છે.
વિપરીત નિવેદન સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે: ફંક્શન y = |x| દરેક જગ્યાએ સતત છે, ખાસ કરીને બિંદુ x = 0 પર, પરંતુ "જંકશન બિંદુ" (0; 0) પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં નથી. જો કોઈ બિંદુએ સ્પર્શકને ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરી શકાતું નથી, તો તે બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.
વધુ એક ઉદાહરણ. ફંક્શન \(y=\sqrt(x)\) બિંદુ x = 0 સહિત સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે. અને કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક કોઈપણ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં છે, બિંદુ x = 0 સહિત પરંતુ આ બિંદુએ સ્પર્શક y-અક્ષ સાથે એકરુપ છે, એટલે કે, તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ છે, તેના સમીકરણમાં x = 0 છે. આવી સીધી રેખામાં કોણ ગુણાંક નથી, જેનો અર્થ છે કે \(f "(0)\) અસ્તિત્વમાં નથી.
તેથી, અમે ફંક્શનની નવી મિલકતથી પરિચિત થયા - ભિન્નતા. ફંક્શનના ગ્રાફ પરથી કોઈ કેવી રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે તે અલગ છે?
જવાબ ખરેખર ઉપર આપેલ છે. જો કોઈ બિંદુએ એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ ન હોય તેવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન અલગ કરી શકાય તેવું છે. જો કોઈ સમયે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન ભિન્નતાપાત્ર નથી.
ભિન્નતાના નિયમો
વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત. આ ઑપરેશન કરતી વખતે, તમારે ઘણીવાર ભાગ, સરવાળો, ફંક્શન્સના ઉત્પાદનો, તેમજ "ફંક્શન્સ ઑફ ફંક્શન્સ" એટલે કે જટિલ ફંક્શન્સ સાથે કામ કરવું પડે છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે ભેદભાવના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ જે આ કાર્યને સરળ બનાવે છે. જો સી - સતત સંખ્યાઅને f=f(x), g=g(x) કેટલાક વિભેદક કાર્યો છે, પછી નીચેના સાચા છે તફાવત નિયમો:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
કેટલાક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરીને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે.
વ્યુત્પન્નને દલીલની વૃદ્ધિ અને વૃદ્ધિના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સૌથી સરળ (અને ખૂબ જ સરળ નહીં) કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની સમસ્યાઓને ઉકેલવાના પરિણામે, ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક દેખાયું અને બરાબર ચોક્કસ નિયમોતફાવત ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાના ક્ષેત્રમાં કામ કરનારા સૌપ્રથમ આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727) અને ગોટફ્રાઇડ વિલ્હેમ લીબનિઝ (1646-1716) હતા.
તેથી, અમારા સમયમાં, કોઈપણ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની ઉપર જણાવેલ મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ તમારે ફક્ત કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ડેરિવેટિવ્ઝ અને ભિન્નતાના નિયમો. વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે નીચેનો અલ્ગોરિધમ યોગ્ય છે.
વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે મુખ્ય ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિની જરૂર છે સરળ કાર્યોને ઘટકોમાં વિભાજીત કરોઅને કઈ ક્રિયાઓ નક્કી કરો (ઉત્પાદન, સરવાળો, ભાગ)આ કાર્યો સંબંધિત છે. વધુ ડેરિવેટિવ્ઝ પ્રાથમિક કાર્યોઅમે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં શોધીએ છીએ, અને ઉત્પાદનના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સૂત્રો, સરવાળો અને ભાગ ભિન્નતાના નિયમોમાં છે. પ્રથમ બે ઉદાહરણો પછી વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક અને ભિન્નતાના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે.
ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. ભિન્નતાના નિયમો પરથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન એ કાર્યોના વ્યુત્પન્નનો સરવાળો છે, એટલે કે.
ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે "X" નું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે, અને સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન બરાબર છે. અમે આ મૂલ્યોને ડેરિવેટિવ્સના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા આવશ્યક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
ઉદાહરણ 2.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. અમે રકમના વ્યુત્પન્ન તરીકે તફાવત કરીએ છીએ જેમાં બીજા શબ્દમાં સ્થિર પરિબળ હોય છે તે વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:
જો કંઈક ક્યાંથી આવે છે તે અંગે હજુ પણ પ્રશ્નો ઉદ્ભવતા હોય, તો તે સામાન્ય રીતે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક અને ભેદભાવના સરળ નિયમો સાથે પરિચિત થયા પછી સાફ થઈ જાય છે. અમે હમણાં તેમની તરફ આગળ વધી રહ્યા છીએ.
સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
| 1. અચળ (સંખ્યા)નું વ્યુત્પન્ન. કોઈપણ સંખ્યા (1, 2, 5, 200...) જે ફંક્શન એક્સપ્રેશનમાં છે. હંમેશા શૂન્ય સમાન. આ યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે ઘણી વાર જરૂરી છે | |
| 2. સ્વતંત્ર ચલનું વ્યુત્પન્ન. મોટેભાગે "X". હંમેશા એક સમાન. આને લાંબા સમય સુધી યાદ રાખવું પણ જરૂરી છે | |
| 3. ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે બિન-ચોરસ મૂળને શક્તિઓમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. | |
| 4. પાવર -1 માટે ચલનું વ્યુત્પન્ન | |
| 5. વર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્ન | |
| 6. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન | |
| 7. કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 8. સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 9. કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 10. આર્ક્સીનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 11. આર્કોસીનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 12. આર્કટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 13. આર્ક કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 14. કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન | |
| 15. લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 16. ઘાતાંકનું વ્યુત્પન્ન | |
| 17. ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન |
ભિન્નતાના નિયમો
| 1. રકમ અથવા તફાવતનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 2. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 2a. અચલ અવયવ વડે ગુણાકાર કરેલ અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન | |
| 3. ભાગનું વ્યુત્પન્ન |  |
| 4. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન |  |
નિયમ 1.જો કાર્યો
અમુક બિંદુએ ભિન્નતાપાત્ર હોય છે, તો પછી કાર્યો એક જ બિંદુએ વિભેદક હોય છે
અને
તે વિધેયોના બીજગણિત સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન સમાન છે બીજગણિત રકમઆ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ.
પરિણામ. જો બે વિભેદક કાર્યો એક અચળ પદ દ્વારા અલગ પડે છે, તો તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન છે, એટલે કે
નિયમ 2.જો કાર્યો
અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે, તો પછી તેમનું ઉત્પાદન તે જ બિંદુએ અલગ કરી શકાય છે
અને
તે બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને અન્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.
કોરોલરી 1. સતત પરિબળ વ્યુત્પન્નની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:
કોરોલરી 2. વિવિધ વિભેદક કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન દરેક પરિબળ અને અન્ય તમામના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ ગુણક માટે:
નિયમ 3.જો કાર્યો
અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે અને , પછી આ બિંદુએ તેમનો ભાગ પણ અલગ છેu/v , અને
તે બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન અને છેદના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે, અને છેદ એ છેદનો વર્ગ છે ભૂતપૂર્વ અંશ
અન્ય પૃષ્ઠો પર વસ્તુઓ ક્યાં શોધવી
ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને તેમાંનો ભાગ શોધતી વખતે વાસ્તવિક સમસ્યાઓતેથી, એકસાથે ઘણા ભિન્નતા નિયમો લાગુ કરવા હંમેશા જરૂરી છે વધુ ઉદાહરણોઆ ડેરિવેટિવ્ઝ માટે - લેખમાં"ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્યોનો ભાગ".
ટિપ્પણી.તમારે સતત (એટલે કે, સંખ્યા) ને સરવાળામાં શબ્દ તરીકે અને સતત પરિબળ તરીકે મૂંઝવવું જોઈએ નહીં! શબ્દના કિસ્સામાં, તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, અને કિસ્સામાં સતત પરિબળતે વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે. આ લાક્ષણિક ભૂલ, જે પર થાય છે પ્રારંભિક તબક્કોડેરિવેટિવ્ઝનો અભ્યાસ કરે છે, પરંતુ જેમ જેમ તેઓ ઘણા એક- અને બે-ભાગના ઉદાહરણો ઉકેલે છે, સરેરાશ વિદ્યાર્થી હવે આ ભૂલ કરતો નથી.
અને જો, ઉત્પાદન અથવા ભાગને અલગ કરતી વખતે, તમારી પાસે એક શબ્દ છે u"વિ, જેમાં u- એક સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 2 અથવા 5, એટલે કે, એક સ્થિર, પછી આ સંખ્યાનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હશે અને, તેથી, સમગ્ર શબ્દ શૂન્ય સમાન હશે (આ કેસ ઉદાહરણ 10 માં ચર્ચા કરવામાં આવ્યો છે).
અન્ય સામાન્ય ભૂલ - યાંત્રિક ઉકેલસરળ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. એ કારણે જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્નએક અલગ લેખ સમર્પિત છે. પરંતુ પહેલા આપણે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખીશું સરળ કાર્યો.
રસ્તામાં, તમે અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કર્યા વિના કરી શકતા નથી. આ કરવા માટે, તમારે નવી વિંડોઝમાં મેન્યુઅલ ખોલવાની જરૂર પડી શકે છે. શક્તિઓ અને મૂળ સાથેની ક્રિયાઓઅને અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી .
જો તમે શક્તિઓ અને મૂળ સાથે અપૂર્ણાંકના ડેરિવેટિવ્ઝના ઉકેલો શોધી રહ્યાં છો, એટલે કે, જ્યારે ફંક્શન જેવું દેખાય છે 
, પછી "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" પાઠ અનુસરો.
જો તમારી પાસે કોઈ કાર્ય છે જેમ કે 
, પછી તમે "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" પાઠ લેશો.
સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉદાહરણો - ડેરિવેટિવ કેવી રીતે શોધવું
ઉદાહરણ 3.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. અમે કાર્ય અભિવ્યક્તિના ભાગોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: સમગ્ર અભિવ્યક્તિ ઉત્પાદનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને તેના પરિબળો સરવાળો છે, જેમાંથી બીજામાંના એકમાં એક સ્થિર પરિબળ છે. અમે ઉત્પાદન ભિન્નતાનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન બીજાના વ્યુત્પન્ન દ્વારા આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે:
આગળ, અમે સરવાળા ભિન્નતાના નિયમને લાગુ કરીએ છીએ: વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના વ્યુત્પન્નોના બીજગણિત સરવાળા જેટલું છે. અમારા કિસ્સામાં, દરેક રકમમાં બીજા શબ્દમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય છે. દરેક રકમમાં આપણે સ્વતંત્ર ચલ બંને જોઈએ છીએ, જેનું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે અને એક સ્થિર (સંખ્યા), જેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, "X" એકમાં ફેરવાય છે, અને માઈનસ 5 શૂન્યમાં ફેરવાય છે. બીજા અભિવ્યક્તિમાં, "x" ને 2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે "x" ના વ્યુત્પન્ન તરીકે સમાન એકમ દ્વારા બેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમને મળે છે નીચેના મૂલ્યોડેરિવેટિવ્ઝ:
અમે મળેલા ડેરિવેટિવ્સને ઉત્પાદનોના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા જરૂરી સમગ્ર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન મેળવીએ છીએ:
ઉદાહરણ 4.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. આપણે અવશેષનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે. અમે અવશેષને અલગ પાડવા માટેનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન એ અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે. છેદ, અને છેદ એ ભૂતપૂર્વ અંશનો વર્ગ છે. અમને મળે છે:
આપણે ઉદાહરણ 2 માં અંશમાં પરિબળનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે. ચાલો આપણે એ પણ ન ભૂલીએ કે ઉત્પાદન, જે વર્તમાન ઉદાહરણમાં અંશમાં બીજું પરિબળ છે, તેને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવ્યું છે:
જો તમે સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધી રહ્યા છો જેમાં તમારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર હોય, જ્યાં મૂળ અને શક્તિઓનો સતત ઢગલો હોય, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, 
, પછી વર્ગમાં આપનું સ્વાગત છે "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" .
જો તમારે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને અન્યના ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે વધુ જાણવાની જરૂર હોય તો ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, એટલે કે, જ્યારે ફંક્શન જેવું દેખાય છે , પછી તમારા માટે એક પાઠ "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" .
ઉદાહરણ 5.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે ઉત્પાદન જોઈએ છીએ, જેમાંથી એક પરિબળ એ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે, જેનું વ્યુત્પન્ન આપણે આપણી જાતને ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાં ઓળખીએ છીએ. ઉત્પાદનના તફાવતના નિયમ અનુસાર અને કોષ્ટક મૂલ્યવર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્ન આપણને મળે છે:
ઉદાહરણ 6.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે એક ભાગ જોઈએ છીએ જેનું ડિવિડન્ડ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે. અવશેષોને અલગ પાડવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, જે આપણે ઉદાહરણ 4 માં પુનરાવર્તિત અને લાગુ કર્યું છે, અને વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નનું ટેબ્યુલર મૂલ્ય, આપણે મેળવીએ છીએ.
નું વ્યુત્પન્ન શોધવાની સમસ્યા આપેલ કાર્યગણિતના મુખ્ય અભ્યાસક્રમોમાંનો એક છે ઉચ્ચ શાળાઅને ઉચ્ચ શિક્ષણ સંસ્થાઓમાં. ફંક્શનનું સંપૂર્ણ અન્વેષણ કરવું અને તેનું વ્યુત્પન્ન લીધા વિના તેનો ગ્રાફ બનાવવો અશક્ય છે. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સરળતાથી શોધી શકાય છે જો તમે ભિન્નતાના મૂળભૂત નિયમો, તેમજ મૂળભૂત કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક જાણો છો. ચાલો જાણીએ કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું.
ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના ઇન્ક્રીમેન્ટના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે જ્યારે દલીલની વૃદ્ધિ શૂન્ય તરફ વળે છે.
આ વ્યાખ્યા સમજવી ખૂબ જ મુશ્કેલ છે, કારણ કે મર્યાદાનો ખ્યાલ શાળામાં સંપૂર્ણ રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવતો નથી. પરંતુ ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટે વિવિધ કાર્યો, વ્યાખ્યા સમજવી જરૂરી નથી, ચાલો તેને ગણિતશાસ્ત્રીઓ પર છોડી દઈએ અને સીધા વ્યુત્પન્ન શોધવા તરફ આગળ વધીએ.
વ્યુત્પન્ન શોધવાની પ્રક્રિયાને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે. ફંક્શનને અલગ કરતી વખતે, આપણે એક નવું ફંક્શન મેળવીશું.
તેમને દર્શાવવા માટે અમે ઉપયોગ કરીશું અક્ષરો f, g, વગેરે.
ડેરિવેટિવ્ઝ માટે ઘણાં વિવિધ સંકેતો છે. અમે સ્ટ્રોકનો ઉપયોગ કરીશું. ઉદાહરણ તરીકે, g" લખવાનો અર્થ છે કે આપણે ફંક્શન gનું વ્યુત્પન્ન શોધીશું.
ડેરિવેટિવ્ઝ ટેબલ
ડેરિવેટિવ કેવી રીતે શોધવું તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, મુખ્ય કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક પ્રદાન કરવું જરૂરી છે. પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવા માટે તે કરવું જરૂરી નથી જટિલ ગણતરીઓ. ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં તેના મૂલ્યને જોવા માટે તે પૂરતું છે.
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= -sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (લોગ a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (આર્કસિન x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
ઉદાહરણ 1. ફંક્શન y=500 નું વ્યુત્પન્ન શોધો.
આપણે જોઈએ છીએ કે આ એક અચલ છે. ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાંથી તે જાણીતું છે કે અચળનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય (સૂત્ર 1) ની બરાબર છે.
ઉદાહરણ 2. ફંક્શન y=x 100 નું વ્યુત્પન્ન શોધો.
આ પાવર કાર્યજેની ઘાત 100 છે અને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે તમારે ઘાતાંક વડે ફંક્શનનો ગુણાકાર કરવો પડશે અને તેને 1 (સૂત્ર 3) વડે ઘટાડવો પડશે.
(x 100)"=100 x 99
ઉદાહરણ 3. ફંક્શન y=5 xનું વ્યુત્પન્ન શોધો
આ ઘાતાંકીય કાર્ય, ચાલો ફોર્મ્યુલા 4 નો ઉપયોગ કરીને તેના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ.
ઉદાહરણ 4. ફંક્શન y= log 4 x નું વ્યુત્પન્ન શોધો
આપણે સૂત્ર 7 નો ઉપયોગ કરીને લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
(લોગ 4 x)"=1/x ln 4
ભિન્નતાના નિયમો
ચાલો હવે શોધી કાઢીએ કે જો ફંક્શન કોષ્ટકમાં ન હોય તો તેનું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું. અભ્યાસ કરાયેલા મોટાભાગનાં કાર્યો પ્રાથમિક નથી, પરંતુ સરળ ક્રિયાઓ (ઉમેર, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર અને સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર) નો ઉપયોગ કરીને પ્રાથમિક કાર્યોના સંયોજનો છે. તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટે, તમારે ભિન્નતાના નિયમો જાણવાની જરૂર છે. નીચે, અક્ષરો f અને g વિધેયો દર્શાવે છે, અને C એ અચલ છે.
1. સતત ગુણાંક વ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે
ઉદાહરણ 5. ફંક્શન y= 6*x 8 નું વ્યુત્પન્ન શોધો
અમે તેને બહાર કાઢીએ છીએ સતત ગુણાંક 6 અને માત્ર x 4 ને અલગ કરો. આ એક પાવર ફંક્શન છે, જેનું ડેરિવેટિવ ડેરિવેટિવ્ઝ ટેબલના ફોર્મ્યુલા 3 નો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. રકમનું વ્યુત્પન્ન વ્યુત્પન્નના સરવાળા જેટલું હોય છે
(f + g)"=f" + g"
ઉદાહરણ 6. ફંક્શન y= x 100 +sin x નું વ્યુત્પન્ન શોધો
ફંક્શન એ બે કાર્યોનો સરવાળો છે, જેના ડેરિવેટિવ્ઝ આપણે કોષ્ટકમાંથી શોધી શકીએ છીએ. ત્યારથી (x 100)"=100 x 99 અને (sin x)"=cos x. સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વ્યુત્પન્નોના સરવાળા જેટલું હશે:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. તફાવતનું વ્યુત્પન્ન વ્યુત્પન્નના તફાવત સમાન છે
(f - g)"=f" - g"
ઉદાહરણ 7. ફંક્શન y= x 100 – cos xનું વ્યુત્પન્ન શોધો
આ કાર્ય એ બે કાર્યોનો તફાવત છે, જેના ડેરિવેટિવ્ઝ આપણે કોષ્ટકમાં પણ શોધી શકીએ છીએ. પછી તફાવતનું વ્યુત્પન્ન ડેરિવેટિવ્ઝના તફાવત સમાન છે અને ચિહ્ન બદલવાનું ભૂલશો નહીં, કારણ કે (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
ઉદાહરણ 8. ફંક્શન y=e x +tg x– x 2 નું વ્યુત્પન્ન શોધો.
આ ફંક્શનમાં સરવાળો અને તફાવત બંને છે; ચાલો દરેક શબ્દના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. પછી મૂળ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન સમાન છે:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન
(f * g)"=f" * g + f * g"
ઉદાહરણ 9. ફંક્શન y= cos x *e xનું વ્યુત્પન્ન શોધો
આ કરવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ દરેક પરિબળ (cos x)"=–sin x અને (e x)"=e xનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ. હવે ચાલો દરેક વસ્તુને ઉત્પાદન સૂત્રમાં બદલીએ. અમે પ્રથમ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને બીજા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને બીજાના વ્યુત્પન્ન વડે પ્રથમ ફંક્શનનું ઉત્પાદન ઉમેરીએ છીએ.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. ભાગનું વ્યુત્પન્ન
(f/g)"= f" * g – f * g"/ g 2
ઉદાહરણ 10. ફંક્શન y= x 50 /sin xનું વ્યુત્પન્ન શોધો
ભાગનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ અંશ અને છેદનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ: (x 50)"=50 x 49 અને (sin x)"= cos x. સૂત્રમાં અવશેષના વ્યુત્પન્નને બદલીને, આપણને મળે છે:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
જટિલ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જે ઘણા કાર્યોની રચના દ્વારા રજૂ થાય છે. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે પણ એક નિયમ છે:
(u (v))"=u"(v)*v"
ચાલો આકૃતિ કરીએ કે આવા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું. ચાલો y = u(v(x)) - જટિલ કાર્ય. ચાલો ફંક્શનને u બાહ્ય અને v - આંતરિક કહીએ.
દાખ્લા તરીકે:
y=sin (x 3) એક જટિલ કાર્ય છે.
પછી y=sin(t) એ બાહ્ય કાર્ય છે
t=x 3 - આંતરિક.
ચાલો આ કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. સૂત્ર મુજબ, તમારે આંતરિક અને બાહ્ય કાર્યોના ડેરિવેટિવ્સને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
(sin t)"=cos (t) - બાહ્ય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન (જ્યાં t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - આંતરિક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
પછી (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 એ જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે.
વ્યુત્પન્ન ગણતરી- માં સૌથી મહત્વપૂર્ણ કામગીરીમાંની એક વિભેદક કલન. નીચે સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટેનું કોષ્ટક છે. વધુ જટિલ નિયમોતફાવત, અન્ય પાઠ જુઓ:- ઘાતાંકીય અને લઘુગણક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
સરળ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન
1. સંખ્યાનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છેс´ = 0
ઉદાહરણ:
5´ = 0
સમજૂતી:
વ્યુત્પન્ન એ દર દર્શાવે છે કે જ્યારે ફંક્શનની દલીલ બદલાય છે ત્યારે તેનું મૂલ્ય બદલાય છે. સંખ્યા કોઈપણ પરિસ્થિતિમાં કોઈપણ રીતે બદલાતી નથી, તેથી તેના ફેરફારનો દર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
2. ચલનું વ્યુત્પન્નએક સમાન
x´ = 1
સમજૂતી:
દલીલ (x) ના દરેક વધારા સાથે, ફંક્શનનું મૂલ્ય (ગણતરીનું પરિણામ) સમાન રકમથી વધે છે. આમ, ફંક્શન y = xના મૂલ્યમાં ફેરફારનો દર દલીલના મૂલ્યમાં ફેરફારના દર જેટલો બરાબર છે.
3. ચલ અને અવયવનું વ્યુત્પન્ન આ પરિબળ સમાન છે
сx´ = с
ઉદાહરણ:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
સમજૂતી:
IN આ બાબતે, દરેક વખતે ફંક્શન દલીલ બદલાય છે ( એક્સ) તેનું મૂલ્ય (y) માં વધે છે સાથેએકવાર આમ, દલીલના ફેરફારના દરના સંબંધમાં ફંક્શન વેલ્યુના ફેરફારનો દર બરાબર બરાબર છે. સાથે.
જ્યાંથી તે તેને અનુસરે છે
(cx + b)" = c
એટલે કે, વિભેદક રેખીય કાર્ય y=kx+b બરાબર છે ઢાળસીધી રેખા (k) ની ઢાળ.
4. ચલનું મોડ્યુલો વ્યુત્પન્નઆ ચલના ભાગને તેના મોડ્યુલસની બરાબર
|x|"= x / |x| પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે x ≠ 0
સમજૂતી:
ચલનું વ્યુત્પન્ન (સૂત્ર 2 જુઓ) એક સમાન હોવાથી, મોડ્યુલનું વ્યુત્પન્ન માત્ર એટલું જ અલગ પડે છે કે મૂળ બિંદુને પાર કરતી વખતે ફંક્શનના ફેરફારના દરનું મૂલ્ય તેનાથી વિરુદ્ધમાં બદલાય છે (ગ્રાફ દોરવાનો પ્રયાસ કરો ફંક્શન y = |x| અને તમારા માટે જુઓ કે આ બરાબર શું છે અને x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - એક. એટલે કે, જ્યારે નકારાત્મક મૂલ્યોચલ x, દલીલમાં દરેક વધારા સાથે, ફંક્શનનું મૂલ્ય બરાબર સમાન મૂલ્યથી ઘટે છે, અને હકારાત્મક માટે, તેનાથી વિપરીત, તે વધે છે, પરંતુ બરાબર સમાન મૂલ્યથી.
5. પાવર માટે ચલનું વ્યુત્પન્નઆ પાવરની સંખ્યાના ઉત્પાદનની બરાબર અને એક દ્વારા ઘટાડી પાવરના ચલ
(x c)"= cx c-1, જો કે x c અને cx c-1 વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે અને c ≠ 0 હોય
ઉદાહરણ:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
સૂત્ર યાદ રાખવા માટે:
પરિબળ તરીકે ચલની ડિગ્રીને નીચે ખસેડો, અને પછી ડિગ્રીને એકથી ઘટાડો. ઉદાહરણ તરીકે, x 2 માટે - બે x કરતા આગળ હતા, અને પછી ઘટાડેલી શક્તિ (2-1 = 1) એ અમને ફક્ત 2x આપ્યો. આ જ વસ્તુ x 3 માટે થયું - આપણે ટ્રિપલને "નીચે ખસેડીએ", તેને એકથી ઘટાડીએ અને ક્યુબને બદલે આપણી પાસે એક ચોરસ છે, એટલે કે 3x 2. થોડું "અવૈજ્ઞાનિક" પણ યાદ રાખવું ખૂબ જ સરળ.
6.અપૂર્ણાંકનું વ્યુત્પન્ન 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
ઉદાહરણ:
કારણ કે અપૂર્ણાંક તેને વધારીને રજૂ કરી શકાય છે નકારાત્મક ડિગ્રી
(1/x)" = (x -1)", તો પછી તમે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકના નિયમ 5માંથી સૂત્ર લાગુ કરી શકો છો
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. અપૂર્ણાંકનું વ્યુત્પન્ન મનસ્વી ડિગ્રીના ચલ સાથેછેદ માં
(1 / x c)" = - c/x c+1
ઉદાહરણ:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. મૂળમાંથી વ્યુત્પન્ન(નીચેના ચલનું વ્યુત્પન્ન વર્ગમૂળ)
(√x)" = 1 / (2√x)અથવા 1/2 x -1/2
ઉદાહરણ:
(√x)" = (x 1/2)" એટલે કે તમે નિયમ 5 માંથી ફોર્મ્યુલા લાગુ કરી શકો છો
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. મનસ્વી ડિગ્રીના મૂળ હેઠળના ચલનું વ્યુત્પન્ન
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
