મેટ્રિક્સનું પ્રમાણભૂત દૃશ્ય. મેટ્રિસિસના પ્રકાર

કોઈપણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનોન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ઘટાડી શકાય છે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ , સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત

આકાર ક્યાં છે fથી રેન્ક nઅજ્ઞાત સંખ્યાઓ, , હકારાત્મક માનવામાં આવે છે, પરંતુ સૂત્ર (VII.5) ની કેટલીક શરતો નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

આ સ્થિતિ હેઠળ, બદલીને, ; અને, બિન-અધોગતિ રેખીય પરિવર્તનસુધી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ ઘટાડે છે સામાન્ય મન, તે છે

કુલ સંખ્યાચોરસ એ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ક્રમ સમાન છે.

ત્યાં ઘણા રેખીય પરિવર્તનો છે જે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડે છે (VII.6), પરંતુ ચિહ્નોના સ્થાન સુધી, આવા ઘટાડો એકમાત્ર છે.

ચતુર્ભુજ વાસ્તવિક સ્વરૂપો માટે તે ધરાવે છે જડતાનો કાયદો . સામાન્ય સ્વરૂપમાં હકારાત્મક અને નકારાત્મક ચોરસની સંખ્યા કે જેમાં વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે આપેલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વાસ્તવિક રેખીય રૂપાંતરણ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે તે આ પરિવર્તનની પસંદગી પર આધારિત નથી.

માં હકારાત્મક (નકારાત્મક) ચોરસની સંખ્યા સામાન્ય સ્વરૂપસ્વરૂપો fકહેવાય છે હકારાત્મક (નકારાત્મક) જડતા સૂચકાંક (સૂત્રમાં (VII.6) આ છે k), હકારાત્મક અને નકારાત્મક જડતા સૂચકાંકો વચ્ચેનો તફાવત કહેવાય છે સહી સ્વરૂપો f(સૂત્રમાં (VII.6) તે બરાબર છે આર-k).

તેને આપવા દો ચોરસ મેટ્રિક્સપરિમાણો nચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f. આ મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણ સાથે સ્થિત સગીરો ઓર્ડર 1, 2, ..., n, તેમાંથી છેલ્લું મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક સાથે એકરુપ છે, , એટલે કે

કહેવાય છે મુખ્ય નાના સ્વરૂપો f.

પ્રમેય VII.1.ચતુર્ભુજ આકાર fથી nવાસ્તવિક ગુણાંક સાથેના અજ્ઞાતમાં હકારાત્મક શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે જો અને માત્ર જો તમામ અગ્રણી સગીર હકારાત્મક હોય.

ઉદાહરણ VII.3.ચતુર્ભુજ આકાર

સકારાત્મક નિશ્ચિત છે, કારણ કે મેટ્રિક્સના તમામ અગ્રણી સગીર હકારાત્મક છે:

, , .

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં ઘણી રીતે લાવવું શક્ય છે, પરંતુ સામાન્ય દેખાવએક ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે આ બતાવીએ.

ઉદાહરણ VII.4.ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો.

ઉકેલ. ચાલો રેખીય પરિવર્તન સેટ કરીએ:

1) પછી આપણને મળે છે .

બીજા પરિવર્તન માટે અમારી પાસે છે

2) પછી આપણને મળે છે .

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું સામાન્ય સ્વરૂપ, જેના બંને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપો અનુરૂપ છે, .

વ્યાયામ.રૂપાંતરણ 1) અને 2) ને મૂળ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં સીધા બદલીને પરિણામી સૂત્રોની માન્યતા તપાસો.

પ્રશ્ન તદ્દન સ્વાભાવિક રીતે ઉદ્ભવે છે: "રેખીય પરિવર્તન (ઓપરેટર) નું મેટ્રિક્સ કેવી રીતે શોધવું?"

આપણે જોઈએ તે પહેલાં નીચેના ઉદાહરણ, ચાલો કેટલીક સમજૂતી આપીએ. સાર તોડ્યા વિના સામાન્ય અભિગમ, આપણે આપણી જાતને સમીકરણ સુધી મર્યાદિત રાખીએ છીએ

જ્યાં જમણી બાજુઆપેલ એક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ છે કાર્ટેશિયન સિસ્ટમસંકલન બીજી બાજુ, આ અભિવ્યક્તિ સેકન્ડ-ઓર્ડર લાઇનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે જો છેલ્લી સમાનતાની જમણી બાજુ ચલોના વર્ગોના સરવાળા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે

,

પછી આપણી પાસે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ છે.

જો ફોર્મમાં હોય તો બંને સમીકરણો સમાન સેકન્ડ-ઓર્ડર રેખાનું વર્ણન કરશે hસમાન સ્કેલ જાળવવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ મેળવવા માટે એચસામાન્ય રીતે લાક્ષણિકતા સમીકરણનો ઉપયોગ થાય છે. આ અભિગમનો ગેરલાભ એ છે કે સંકલન પ્રણાલીઓ અને વચ્ચેનો સંબંધ. અલંકારિક રીતે કહીએ તો, અમે રેખાનું સ્થાન જાણતા નથી એલસંકલન પ્રણાલીમાં, જો તે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખાયેલ હોય h. સંકલન પ્રણાલીના અક્ષોને કોણ દ્વારા ફેરવીને આવા સંક્રમણને પરિપૂર્ણ કરી શકાય છે. j(ફિગ. VII.1), એટલે કે, કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી જાઓ x, yથી x 1 , yસૂત્રો દ્વારા 1

માટે વ્યસ્ત રૂપાંતરખૂણાને બદલવાની જરૂર છે j
પર - j.

રેખાનું સ્થાન શોધવા માટે, આપણે એક સંકલન રૂપાંતરણ શોધવું જોઈએ જે સમાનતા આપે છે એચમન માટે h. નોંધ કરો કે સ્કેલ સાચવવા માટે, આપણે ઓર્થોનોર્મલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પર સ્વિચ કરવું જોઈએ.

ઉદાહરણ VII.5.કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ આપેલ છે

તેને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં લાવવાની જરૂર છે, એટલે કે, તેનું ફોર્મ સિસ્ટમમાં લખો અને રેખીય પરિવર્તન શોધો. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું સામાન્ય સ્વરૂપ મેળવો.

ઉકેલ. ચાલો એક સપ્રમાણ લીનિયર ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ (ઓપરેટર) A બનાવીએ

.

ચાલો બાંધીએ લાક્ષણિક બહુપદીઅને eigenvalues ​​અને eigenvectors શોધો. પછી અમે અનુક્રમે ઉદાહરણના કાર્યો હાથ ધરીશું. અમારી પાસે છે

લાક્ષણિક સમીકરણસમાનતા જણાય છે

.

મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કર્યા પછી, આપણે બહુપદી મેળવીએ છીએ જેના મૂળ છે eigenvalues. ચાલો ફોર્મનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ લખીએ (VII.7):

ચાલો એક રેખીય રૂપાંતર શોધીએ, એટલે કે, આપણે સિસ્ટમો અને વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરીશું. કારણ કે મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે અને તેમાં કોઈ શૂન્ય નથી, રૂપાંતરણ બિન-ડિજનરેટ છે. ચાલો આધારમાં eigenvectors શોધીએ (અમે કૉલમમાં વેક્ટર રજૂ કરીશું). આ કરવા માટે, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ

દરેક eigenvalues ​​માટે વ્યાખ્યાયિત.

માટે, (VII.8) થી અમારી પાસે છે મેટ્રિક્સ સમીકરણ

.

ધારી રહ્યા છીએ, આવશ્યકપણે, આપણે મેળવીએ છીએ

પર , અમારી પાસે છે. પ્રથમ ઇજેનવેક્ટર મળ્યું , તેની લંબાઈ.

જ્યારે અમારી પાસે છે

અથવા

પ્રથમ સમીકરણમાં બીજું ઉમેરવું અને નોંધવું કે જો પરિણામી સમીકરણ ત્રીજા સાથે સિસ્ટમ તરીકે ઉકેલાય છે, તો આપણે આવશ્યકપણે પ્રથમ તરફ આગળ વધીશું. eigenvector. તે પહેલા બે અને બીજા સમીકરણના સરવાળામાંથી સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવાનું બાકી છે, પછી આપણને મળશે

ધારીએ છીએ કે, સરળીકરણ પછી આપણે સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

1. ચાલો પહેલા શોધીએ કે તુલનાત્મક રીતે કયું છે સરળ દૃશ્યમાત્ર ડાબી પ્રાથમિક કામગીરી લાગુ કરીને લંબચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સને ઘટાડી શકાય છે.

ચાલો ધારીએ કે મેટ્રિક્સના પ્રથમ સ્તંભમાં એવા તત્વો છે જે સમાન રીતે શૂન્ય નથી. ચાલો તેમાંથી સૌથી નાની ડિગ્રીનો બહુપદી લઈએ અને, પંક્તિઓને ફરીથી ગોઠવીને, તેને એક તત્વ બનાવીએ. આ પછી, બહુપદીને વડે વિભાજીત કરો; આપણે ભાગ્ય અને શેષને અને દ્વારા દર્શાવીએ છીએ

ચાલો હવે ઠ્ઠી પંક્તિમાંથી પ્રથમ પંક્તિ બાદબાકી કરીએ, જે અગાઉ વડે ગુણાકાર કરેલ છે. જો તમામ શેષ સમાન રીતે શૂન્ય ન હોય, તો પછી જે શૂન્યની બરાબર નથી અને સૌથી નાની ડિગ્રી ધરાવે છે તેને પંક્તિઓ ફરીથી ગોઠવીને મૂકી શકાય છે. આ તમામ કામગીરીના પરિણામે, બહુપદીની ડિગ્રી ઘટશે.

હવે આપણે આ પ્રક્રિયાને ફરીથી પુનરાવર્તિત કરીશું, વગેરે. બહુપદીની ડિગ્રી મર્યાદિત હોવાથી, અમુક તબક્કે આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખી શકાતી નથી, એટલે કે આ તબક્કે બધા તત્વો સમાન રીતે શૂન્ય હશે.

તે પછી, તત્વ લો અને સંખ્યાઓ સાથે પંક્તિઓ પર સમાન પ્રક્રિયા લાગુ કરો. પછી આપણે શું પ્રાપ્ત કરીશું અને . આ રીતે ચાલુ રાખીને, અમે આખરે મેટ્રિક્સને નીચેના સ્વરૂપમાં ઘટાડીશું:

(5)

જો બહુપદી સમાન રીતે શૂન્ય ન હોય, તો પછી, બીજા પ્રકારની ડાબી પ્રાથમિક કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને, અમે તત્વની ડિગ્રીને ડિગ્રી કરતા ઓછી બનાવીશું (જો તેમાં શૂન્ય ડિગ્રી હોય, તો તે શૂન્યની સમાન સમાન બની જશે). તે જ રીતે, જો , તો પછી બીજા પ્રકારની ડાબી પ્રાથમિક કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને આપણે તત્વોની ડિગ્રીને ડિગ્રી કરતા ઓછી બનાવીશું, તત્વ બદલ્યા વગર, વગેરે.

અમે નીચેની પ્રમેય સ્થાપિત કરી છે:

પ્રમેય 1. મનસ્વી લંબચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સડાબી પ્રાથમિક કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને પરિમાણો સાથે હંમેશા ફોર્મ (5) સુધી ઘટાડી શકાય છે, જ્યાં બહુપદીની ડિગ્રી , જો માત્ર , અને બધા સમાન રીતે શૂન્ય હોય તો .

તે બરાબર એ જ રીતે સાબિત થાય છે

પ્રમેય 2. પરિમાણ સાથેનું એક મનસ્વી લંબચોરસ બહુમૂલ્ય મેટ્રિક્સ હંમેશા યોગ્ય પ્રાથમિક કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે.

(6)

જ્યાં બહુપદીની ડિગ્રી , જો માત્ર , અને બધા સમાન રીતે શૂન્યની સમાન હોય તો .

2. નીચેના પ્રમેય 1 અને 2 માંથી અનુસરે છે

પરિણામ. જો ચોરસ બહુમૂલ્યવાળા મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક તેના પર નિર્ભર ન હોય અને શૂન્ય ન હોય, તો આ મેટ્રિક્સને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. મર્યાદિત સંખ્યાપ્રાથમિક મેટ્રિક્સ.

ખરેખર, પ્રમેય 1 મુજબ, ડાબી પ્રાથમિક કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સને ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે.

(7)

મેટ્રિક્સનો ક્રમ ક્યાં છે. ચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સ પર પ્રાથમિક ક્રિયાઓ લાગુ કરતી વખતે, આ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકનો માત્ર સતત બિન-શૂન્ય પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, પછી નિર્ણાયકની જેમ મેટ્રિક્સ (7) નો નિર્ણાયક તેના પર નિર્ભર નથી અને તેનાથી અલગ છે. શૂન્ય, એટલે કે

.

પરંતુ તે પછી, સમાન પ્રમેય 1 ના આધારે, મેટ્રિક્સ (7) વિકર્ણ સ્વરૂપ ધરાવે છે અને તેથી પ્રકાર 1 ની ડાબી પ્રાથમિક ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને ઓળખ મેટ્રિક્સમાં ઘટાડી શકાય છે. પછી અને તેનાથી વિપરીત, ઓળખ મેટ્રિક્સને મેટ્રિસિસ સાથે ડાબી પ્રાથમિક કામગીરીનો ઉપયોગ કરવા માટે ઘટાડી શકાય છે. આથી,

સાબિત કોરોલરીમાંથી આપણે (જુઓ pp. 137 – 138) બે વ્યાખ્યાઓ 2 અને 2" ની સમાનતા બહુપદી મેટ્રિસીસની સમકક્ષતા મેળવીએ છીએ.

3. ચાલો વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમના અમારા ઉદાહરણ પર પાછા આવીએ (4). ચાલો ઓપરેટર ગુણાંકના મેટ્રિક્સ પર પ્રમેય 1 લાગુ કરીએ. પછી, પૃષ્ઠ 138 પર સૂચવ્યા મુજબ, સિસ્ટમ (4) ને સમકક્ષ સિસ્ટમ દ્વારા બદલવામાં આવશે

(4")

ક્યાં. આ સિસ્ટમમાં, આપણે મનસ્વી રીતે વિધેયો પસંદ કરી શકીએ છીએ, જેના પછી કાર્યો ક્રમિક રીતે નિર્ધારિત થાય છે, અને આ વ્યાખ્યાના દરેક તબક્કે આપણે એક સંકલિત કરવું પડશે વિભેદક સમીકરણએક અજાણ્યા કાર્ય સાથે.

4. ચાલો હવે "પ્રમાણિક" સ્વરૂપની સ્થાપના તરફ આગળ વધીએ કે જેમાં એક લંબચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સને ડાબી અને જમણી બંને પ્રાથમિક ક્રિયાઓ લાગુ કરીને ઘટાડી શકાય.

સમાન રીતે શૂન્ય ન હોય તેવા મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકોમાં, અમે તે ઘટક લઈએ છીએ જે નાં સંદર્ભમાં સૌથી નાની ડિગ્રી ધરાવે છે, અને પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની યોગ્ય ગોઠવણી દ્વારા અમે તેને એક ઘટક બનાવીએ છીએ. આ પછી, બહુપદીને અને દ્વારા વિભાજિત કરતી વખતે આપણે અવશેષો અને અવશેષો શોધીશું:

જો ઓછામાં ઓછા એક બાકીના છે , ઉદાહરણ તરીકે, શૂન્ય સમાન નથી, પછી મી કૉલમમાંથી પ્રથમ કૉલમ બાદ કરીને, અગાઉ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, અમે ઘટકને શેષ સાથે બદલીએ છીએ, જે કરતાં ઓછી ડિગ્રી ધરાવે છે. પછી અમારી પાસે ફરીથી ડાબી બાજુના તત્વની ડિગ્રી ઘટાડવાની તક છે ટોચનો ખૂણોમેટ્રિક્સ, આ સ્થાને તત્વને ની તુલનામાં સૌથી નાની ડિગ્રી સાથે મૂકીને.

જો બધા અવશેષો ; સમાન રીતે શૂન્ય હોય છે, તો પછી પહેલી પંક્તિમાંથી બાદબાકી કરીને, અગાઉ વડે ગુણાકાર કરેલ, અને મી સ્તંભમાંથી – પ્રથમ, અગાઉ વડે ગુણાકાર કરીને, આપણે આપણા બહુપદી મેટ્રિક્સને ફોર્મમાં ઘટાડીશું.

જો ઓછામાં ઓછા એક તત્વો વડે વિભાજ્ય નથી, તો પછી પ્રથમ કૉલમમાં આ તત્વ ધરાવતી કૉલમ ઉમેરીને, અમે પાછલા કેસ પર આવીશું અને તેથી, અમે ઘટકને ઓછી ડિગ્રીના બહુપદી સાથે બદલી શકીશું મેટ્રિક્સ (8) પંક્તિઓના સ્વરૂપમાં શૂન્ય સંખ્યાત્મક પરિબળોથી સંબંધિત અલગ, અમે ખાતરી કરી શકીશું કે બહુપદીના અગ્રણી ગુણાંક, અને આ બહુપદીઓને મેટ્રિક્સના ઘટકો સાથે જોડતા સૂત્રો સ્થાપિત કરી શકીશું.

મેટ્રિસીસ એ વિવિધ પ્રકારના ઉકેલ માટે અનુકૂળ સાધન છે બીજગણિત સમસ્યાઓ. કેટલાક જાણીને સરળ નિયમોતેમની સાથે કામ કરવા માટે તમને મેટ્રિસિસને કોઈપણ અનુકૂળ અને જરૂરી સુધી ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે આ ક્ષણેસ્વરૂપો મેટ્રિક્સના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવો તે ઘણીવાર ઉપયોગી છે.

સૂચનાઓ

યાદ રાખો કે મેટ્રિક્સના પ્રામાણિક સ્વરૂપ માટે જરૂરી નથી કે સમગ્ર મુખ્ય કર્ણ સાથે હોય. વ્યાખ્યાનો સાર એ છે કે તેના પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં મેટ્રિક્સના એકમાત્ર બિન-શૂન્ય ઘટકો છે. જો તેઓ હાજર હોય, તો તેઓ મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત છે. તદુપરાંત, તેમની સંખ્યા શૂન્યથી મેટ્રિક્સમાં રેખાઓની સંખ્યા સુધી બદલાઈ શકે છે.

ભૂલશો નહીં કે પ્રાથમિક રૂપાંતરણો કોઈપણને મંજૂરી આપે છે મેટ્રિક્સકેનોનિકલ તરફ દોરી જાય છે મન. સૌથી મોટી મુશ્કેલી સાહજિક રીતે ક્રિયાઓની સાંકળોનો સૌથી સરળ ક્રમ શોધવાની છે અને ગણતરીમાં ભૂલો ન કરવી.

મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓ અને કૉલમ સાથેની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મો જાણો. પ્રાથમિક રૂપાંતરણોમાં ત્રણ પ્રમાણભૂત પરિવર્તનોનો સમાવેશ થાય છે. આ કોઈપણ બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સ પંક્તિનો ગુણાકાર છે, પંક્તિઓનો સરવાળો (એકબીજાના ઉમેરા સહિત, અમુક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર) અને તેમની પુનઃ ગોઠવણી. આવી ક્રિયાઓ તમને મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે મેટ્રિક્સઆની સમકક્ષ. તદનુસાર, તમે સમાનતા ગુમાવ્યા વિના કૉલમ પર આવી કામગીરી કરી શકો છો.

એક સાથે ઘણી વસ્તુઓ ન કરવાનો પ્રયાસ કરો પ્રાથમિક પરિવર્તનો: રોકવા માટે સ્ટેજ થી સ્ટેજ પર ખસેડો રેન્ડમ ભૂલ.

મુખ્ય કર્ણ પરની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધો: આ તમને કહેશે કે તમે જે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ શોધી રહ્યાં છો તેનું અંતિમ સ્વરૂપ શું હશે, અને જો તમે તેનો ઉપયોગ કરવા માંગતા હોવ તો પરિવર્તન કરવાની જરૂરિયાતને દૂર કરો. ઉકેલ માટે.

અગાઉની ભલામણને અનુસરવા માટે કિનારી સગીર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો. kth ઓર્ડર સગીર, તેમજ ડિગ્રી (k+1) ના તમામ આસપાસના સગીરોની ગણતરી કરો. જો તેઓ શૂન્ય સમાન હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ એ નંબર k છે તે ભૂલશો નહીં કે માઇનોર મિજ એ મૂળમાંથી પંક્તિ i અને કૉલમ j ને કાઢી નાખવાથી મેળવેલ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે.

બધું રસપ્રદ

મેટ્રિસીસ, જે રેકોર્ડીંગ ડેટાનું ટેબ્યુલર સ્વરૂપ છે, સિસ્ટમો સાથે કામ કરતી વખતે વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે રેખીય સમીકરણો. વધુમાં, સમીકરણોની સંખ્યા મેટ્રિક્સની પંક્તિઓની સંખ્યા નક્કી કરે છે, અને ચલોની સંખ્યા તેના કૉલમનો ક્રમ નક્કી કરે છે. પરિણામે...

મેટ્રિક્સ S નો ક્રમ એ તેના સગીરોના ઓર્ડરમાં સૌથી મોટો છે જે શૂન્યથી અલગ છે. સગીર એ ચોરસ મેટ્રિક્સના નિર્ધારકો છે, જે મનસ્વી પંક્તિઓ અને કૉલમ પસંદ કરીને મૂળમાંથી મેળવવામાં આવે છે. ક્રમ Rg S દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને તેની ગણતરી...

મેટ્રિક્સ એ ગાણિતિક પદાર્થ છે જે એક લંબચોરસ કોષ્ટક છે. આ કોષ્ટકના કૉલમ અને પંક્તિઓના આંતરછેદ પર, મેટ્રિક્સ તત્વો સ્થિત છે - પૂર્ણાંક, વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ. મેટ્રિક્સનું કદ તેની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે...

બીજગણિતીય પૂરક એ મેટ્રિક્સનું એક તત્વ છે અથવા રેખીય બીજગણિત, ખ્યાલોમાંથી એક ઉચ્ચ ગણિતનિર્ણાયક, ગૌણ અને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સાથે. જો કે, દેખીતી જટિલતા હોવા છતાં, બીજગણિતીય પૂરક શોધવા મુશ્કેલ નથી. સૂચનાઓ...

મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓનો ઓર્ડર કરેલ સંગ્રહ છે લંબચોરસ ટેબલ, n સ્તંભો દ્વારા m પંક્તિઓ ધરાવતા પરિમાણો. ઉકેલ જટિલ સિસ્ટમોરેખીય સમીકરણો આપેલ ગુણાંક ધરાવતા મેટ્રિસિસની ગણતરી પર આધારિત છે. IN સામાન્ય કેસખાતે…

મેટ્રિક્સ બીજગણિત એ ગણિતની એક શાખા છે જે મેટ્રિસેસના ગુણધર્મોના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે, સમીકરણોની જટિલ સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે તેમની એપ્લિકેશન, તેમજ મેટ્રિસિસ પર સંચાલન માટેના નિયમો, જેમાં વિભાજનનો સમાવેશ થાય છે. સૂચનાઓ 1 મેટ્રિસીસ પર ત્રણ કામગીરી છે: ઉમેરો,...

બીજગણિતીય પૂરક વિભાવનાઓમાંની એક છે મેટ્રિક્સ બીજગણિત, મેટ્રિક્સના ઘટકો પર લાગુ. શોધવું બીજગણિત ઉમેરાઓવ્યસ્ત મેટ્રિક્સ, તેમજ મેટ્રિક્સ ડિવિઝનની કામગીરી નક્કી કરવા માટેના અલ્ગોરિધમની ક્રિયાઓમાંની એક છે. ...

મેટ્રિક્સ B ને મેટ્રિક્સ A ના વ્યસ્ત ગણવામાં આવે છે જો તેમના ગુણાકારથી ઓળખ મેટ્રિક્સ E ઉત્પન્ન થાય છે. "વિપરીત મેટ્રિક્સ" નો ખ્યાલ ફક્ત ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ અસ્તિત્વમાં છે, એટલે કે. મેટ્રિસિસ "બે બાય બે", "ત્રણ બાય ત્રણ", વગેરે....

દરેક બિન-એકવચન (નિર્ધારક સાથે |A વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ, A^(-1) સૂચવવામાં આવે છે, જેમ કે (A^(-1))A=A, A^(-1)=E. સૂચના 1E ને ઓળખ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. તે સમાવે છે…

ગાણિતિક મેટ્રિક્સ એ પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની ચોક્કસ સંખ્યા સાથે તત્વોનું ક્રમાંકિત કોષ્ટક છે. મેટ્રિક્સનો ઉકેલ શોધવા માટે, તમારે તે નક્કી કરવાની જરૂર છે કે તેના પર કઈ ક્રિયા કરવાની જરૂર છે. તે પછી, ઉપલબ્ધ અનુસાર કાર્ય કરો ...

ગણિત, અલબત્ત, વિજ્ઞાનની "રાણી" છે. દરેક વ્યક્તિ તેના સારની સંપૂર્ણ ઊંડાઈને સમજવા માટે સક્ષમ નથી. ગણિત ઘણા વિભાગોને જોડે છે, અને દરેક ગાણિતિક સાંકળમાં એક અનન્ય કડી છે. એ જ મૂળભૂત...

જો કોઈપણ મેટ્રિક્સ A માં આપણે મનસ્વી k પંક્તિઓ અને કૉલમ લઈએ અને આ પંક્તિઓ અને કૉલમ્સના ઘટકોમાંથી k બાય k કદનું સબમેટ્રિક્સ કમ્પોઝ કરીએ, તો આવા સબમેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સ A ના માઇનોર કહેવામાં આવે છે. પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા આવા સૌથી મોટા નાનામાં, અલગ...

Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(જે).

યોગ્ય પ્રાથમિક કામગીરી લાગુ કરવાના પરિણામે, મેટ્રિક્સ A(λ) ને જમણી બાજુએ સંબંધિત મેટ્રિક્સ T વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે મેટ્રિક્સ T" મેટ્રિક્સ S સાથે એકરુપ છે", અને મેટ્રિક્સ T", T"" મેટ્રિક્સ S", S"" સાથે એકરુપ છે, જો સૂચકાંકો i અને j બાદમાં સ્વેપ કરવામાં આવે છે. પ્રકાર S", S", S"" (અથવા, શું સમાન છે, પ્રકાર T", T", T"") ના મેટ્રિસિસને પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે.

બે λ-મેટ્રિસિસ A(λ) અને B(λ) સમાન કદ m x n એ સમકક્ષ કહેવાય છે, A(λ) ~ B(λ), જો કોઈ પ્રાથમિક પરિવર્તનની મર્યાદિત સંખ્યાની સાંકળનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સ A(λ) થી B(λ) સુધી જઈ શકે. સમાનતા સંબંધમાં ત્રણ મુખ્ય ગુણધર્મો છે:

1) રીફ્લેક્સિવિટી: દરેક મેટ્રિક્સ પોતાની સમકક્ષ છે A(λ) ~ B(λ);

2) સમપ્રમાણતા: જો A(λ) ~ B(λ), તો B(λ) ~ A(λ);

3) સંક્રમણ: જો A(λ) ~ B(λ), અને B(λ) ~ C(λ), તો A(λ) ~ C(λ).

§2. λ-મેટ્રિક્સનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ

તે ઉપર દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે સમકક્ષ સંબંધ સંક્રાન્તિક, સપ્રમાણ અને રીફ્લેક્સિવ છે. તે અનુસરે છે કે આપેલ કદ m x n ના તમામ λ-મેટ્રિસિસના સમૂહને અસંબંધિત વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. સમકક્ષ મેટ્રિસિસ, એટલે કે વર્ગોમાં જેમ કે સમાન વર્ગમાંથી કોઈપણ બે મેટ્રિસિસ સમકક્ષ હોય, અને થી વિવિધ વર્ગો- એકબીજાના સમકક્ષ નથી. અંગે પ્રશ્ન ઊભો થાય છે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપλ-મેટ્રિક્સ લાક્ષણિકતા આ વર્ગસમકક્ષ λ-મેટ્રિસિસ.

m x n ના પરિમાણનું પ્રમાણભૂત વિકર્ણ λ-મેટ્રિક્સ એ λ-મેટ્રિક્સ છે જેના મુખ્ય કર્ણમાં બહુપદી E1(λ), ​​E2(λ), ..., Ep(λ), જ્યાં p એ m સંખ્યાઓમાંથી નાની છે. અને n, અને નહીં શૂન્ય બરાબરઆ બહુપદીઓમાં એકના સમાન અગ્રણી ગુણાંક હોય છે, અને દરેક અનુગામી બહુપદીને અગાઉના એક વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તેમ છતાં મુખ્ય કર્ણની બહારના તત્વો શૂન્ય સમાન હોય છે.

પ્રમેય 1. કોઈપણ λ-મેટ્રિક્સને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોની મર્યાદિત સંખ્યા દ્વારા પ્રમાણભૂત કર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

પુરાવો. A(λ) એક લંબચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સ છે. ડાબી અને જમણી બંને પ્રાથમિક ક્રિયાઓને A(λ) પર લાગુ કરવાથી આપણે કેનોનિકલ કર્ણ સ્વરૂપ તરફ દોરી જઈએ છીએ.

મેટ્રિક્સ A(λ) ના તમામ બિન-શૂન્ય તત્વો аіј(λ) પૈકી, અમે λ ના સંદર્ભમાં સૌથી નાની ડિગ્રી ધરાવતું તત્વ લઈએ છીએ અને પંક્તિઓ અને કૉલમને યોગ્ય રીતે ગોઠવીને અમે તેને a11(λ) તત્વ બનાવીએ છીએ. આ પછી, આપણે બહુપદી аі1(λ) અને а1ј(λ) ને а11(λ) વડે વિભાજિત કરવાથી અવશેષો અને અવશેષો શોધીશું:

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

જો બાકીનામાંથી ઓછામાં ઓછું એક rі1(λ), ​​r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), ઉદાહરણ તરીકે r1ј (λ), સમાન રીતે શૂન્ય નથી, તો, પહેલા સ્તંભના j-માંથી બાદબાકી કરીને, અગાઉ q1ј(λ) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, અમે તત્વ a1ј(λ) ને બાકીના r1ј(λ) સાથે બદલીએ છીએ, જે a11(λ) કરતા નીચી ડિગ્રી ધરાવે છે. પછી આપણી પાસે ફરીથી મેટ્રિક્સના ઉપરના ડાબા ખૂણામાં તત્વની ડિગ્રી ઘટાડવાની તક છે, આ સ્થાને તત્વને λ ની તુલનામાં સૌથી નીચી ડિગ્રી સાથે મૂકીને.

જો બાકીના બધા r21(λ), ​​… rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) સમાન રીતે શૂન્ય છે, પછી, પ્રથમ i-th પંક્તિમાંથી બાદ કરીને, અગાઉ qі1(λ) (i = 2, …, m), અને j-th માંથી ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. કૉલમ - પ્રથમ , અગાઉ q1ј(λ) (j = 2, …, n) વડે ગુણાકાર કર્યો હતો, અમે અમારા મેટ્રિક્સને ફોર્મમાં ઘટાડીએ છીએ

а11(λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … amn(λ)

જો તે જ સમયે ઓછામાં ઓછું એક તત્વ аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) બાકીના વિના а11(λ) વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો પ્રથમમાં ઉમેરીને કૉલમ કૉલમ કે જે આ તત્વ ધરાવે છે, અમે પાછલા કેસ પર આવીશું અને તેથી, અમે ફરીથી a11(λ) ઘટકને ઓછી ડિગ્રીના બહુપદી સાથે બદલી શકીશું.

મૂળ તત્વ a11(λ) પાસે હોવાથી ચોક્કસ ડિગ્રીઅને આ ડિગ્રી ઘટાડવાની પ્રક્રિયા અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાતી નથી, તો પછી મર્યાદિત સંખ્યામાં પ્રારંભિક કામગીરી પછી આપણે ફોર્મનું મેટ્રિક્સ મેળવવું જોઈએ

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

જેમાં તમામ તત્વો bіј(λ) બાકી વગર а1(λ) વડે વિભાજ્ય છે. જો આ તત્વોમાં bіј(λ) સમાન રીતે શૂન્ય ન હોય, તો પછી નંબરો 2, …, m અને નંબરો 2, …, n સાથેની પંક્તિઓ માટે સમાન ઘટાડાની પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમે મેટ્રિક્સ (*) ને ફોર્મમાં ઘટાડીશું.

આમ, અમે સાબિત કર્યું છે કે મનસ્વી લંબચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સ A(λ) કેટલાક પ્રમાણભૂત વિકર્ણ મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે.

મેટ્રિક્સ એ ગણિતમાં એક વિશિષ્ટ પદાર્થ છે. એક લંબચોરસ અથવા બતાવવામાં આવે છે ચોરસ ટેબલ, બનેલું છે ચોક્કસ સંખ્યાપંક્તિઓ અને કૉલમ. ગણિતમાં મેટ્રિસિસના વિવિધ પ્રકારો છે, જે કદ અથવા સામગ્રીમાં ભિન્ન છે. તેની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યાને ઓર્ડર કહેવામાં આવે છે. આ પદાર્થોનો ઉપયોગ ગણિતમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના રેકોર્ડિંગને ગોઠવવા અને તેમના પરિણામો માટે અનુકૂળ રીતે શોધવા માટે થાય છે. મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો કાર્લ ગૌસ, ગેબ્રિયલ ક્રેમર, સગીર અને બીજગણિતીય ઉમેરણો તેમજ અન્ય ઘણી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. મેટ્રિસિસ સાથે કામ કરતી વખતે મૂળભૂત કૌશલ્ય એ ઘટાડો છે પ્રમાણભૂત દૃશ્ય. જો કે, પ્રથમ, ચાલો આકૃતિ કરીએ કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કયા પ્રકારના મેટ્રિસિસને અલગ પાડવામાં આવે છે.

નલ પ્રકાર

આ પ્રકારના મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે. દરમિયાન, તેની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા સંપૂર્ણપણે અલગ છે.

ચોરસ પ્રકાર

આ પ્રકારના મેટ્રિક્સની કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યા સમાન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે "ચોરસ" આકારનું ટેબલ છે. તેના કૉલમ (અથવા પંક્તિઓ) ની સંખ્યાને ક્રમ કહેવામાં આવે છે. વિશેષ કેસોમાં સેકન્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિક્સ (2x2 મેટ્રિક્સ) ના અસ્તિત્વનો સમાવેશ થાય છે. ચોથો ક્રમ(4x4), દસમો (10x10), સત્તરમો (17x17) અને તેથી વધુ.

કૉલમ વેક્ટર

આ મેટ્રિસિસના સૌથી સરળ પ્રકારોમાંથી એક છે, જેમાં ફક્ત એક કૉલમ છે, જેમાં ત્રણનો સમાવેશ થાય છે સંખ્યાત્મક મૂલ્યો. તેણી શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે મફત સભ્યોરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં (ચલોથી સ્વતંત્ર સંખ્યાઓ).

અગાઉના એક જેવું જ જુઓ. ત્રણ સંખ્યાત્મક ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, બદલામાં એક લીટીમાં ગોઠવાય છે.

કર્ણ પ્રકાર

મેટ્રિક્સના વિકર્ણ સ્વરૂપમાં સંખ્યાત્મક મૂલ્યો મુખ્ય કર્ણના માત્ર ઘટકો લે છે (હાઇલાઇટ કરેલ લીલો). મુખ્ય કર્ણ ઉપલા જમણા ખૂણામાંના તત્વથી શરૂ થાય છે અને ત્રીજી પંક્તિના ત્રીજા કૉલમમાં સંખ્યા સાથે સમાપ્ત થાય છે. બાકીના ઘટકો શૂન્ય સમાન છે. કર્ણ પ્રકાર એ અમુક ક્રમનું માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ છે. વિકર્ણ મેટ્રિસીસમાં, કોઈ પણ સ્કેલરને અલગ કરી શકે છે. તેના તમામ ઘટકો લે છે સમાન મૂલ્યો.

વિકર્ણ મેટ્રિક્સનો પેટા પ્રકાર. તેણીના બધા સંખ્યાત્મક મૂલ્યોએકમો છે. એક જ પ્રકારના મેટ્રિક્સ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, વ્યક્તિ તેના મૂળભૂત રૂપાંતરણો કરે છે અથવા મેટ્રિક્સને મૂળથી વિપરીત શોધે છે.

કેનોનિકલ પ્રકાર

મેટ્રિક્સના પ્રામાણિક સ્વરૂપને મુખ્ય પૈકી એક ગણવામાં આવે છે; તેને કાસ્ટ કરવું ઘણીવાર કામ માટે જરૂરી હોય છે. કેનોનિકલ મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા બદલાય છે તે જરૂરી નથી ચોરસ પ્રકાર. તે કંઈક અંશે ઓળખ મેટ્રિક્સ જેવું જ છે, પરંતુ તેના કિસ્સામાં મુખ્ય કર્ણના તમામ ઘટકો મૂલ્યને સ્વીકારતા નથી. એક સમાન. ત્યાં બે અથવા ચાર મુખ્ય કર્ણ એકમો હોઈ શકે છે (તે બધું મેટ્રિક્સની લંબાઈ અને પહોળાઈ પર આધારિત છે). અથવા ત્યાં કોઈ એકમો ન હોઈ શકે (પછી તેને શૂન્ય ગણવામાં આવે છે). કેનોનિકલ પ્રકારના બાકીના ઘટકો, તેમજ કર્ણ અને એકમ તત્વો, શૂન્ય સમાન છે.

ત્રિકોણાકાર પ્રકાર

મેટ્રિક્સના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રકારોમાંનો એક, તેના નિર્ણાયકની શોધ કરતી વખતે અને સરળ કામગીરી કરતી વખતે વપરાય છે. ત્રિકોણાકાર પ્રકાર કર્ણ પ્રકારમાંથી આવે છે, તેથી મેટ્રિક્સ પણ ચોરસ છે. ત્રિકોણાકાર પ્રકારનું મેટ્રિક્સ ઉપલા ત્રિકોણાકાર અને નીચલા ત્રિકોણાકારમાં વહેંચાયેલું છે.

ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાં (ફિગ. 1), મુખ્ય કર્ણની ઉપરના તત્વો જ શૂન્યની બરાબર મૂલ્ય લે છે. કર્ણના ઘટકો અને તેની નીચે સ્થિત મેટ્રિક્સનો ભાગ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે.

નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાં (ફિગ. 2), તેનાથી વિપરીત, મેટ્રિક્સના તળિયે સ્થિત તત્વો શૂન્યની બરાબર છે.

મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટે, તેમજ તેમના પર પ્રારંભિક કામગીરી માટે દૃશ્ય જરૂરી છે (સાથે ત્રિકોણાકાર પ્રકાર). સ્ટેપ મેટ્રિક્સનું નામ એટલા માટે રાખવામાં આવ્યું છે કારણ કે તેમાં શૂન્યના લાક્ષણિક "પગલાઓ" છે (આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે). પગલાના પ્રકારમાં, શૂન્યનો કર્ણ રચાય છે (જરૂરી નથી કે તે મુખ્ય હોય), અને આ કર્ણ હેઠળના તમામ ઘટકોમાં પણ શૂન્ય સમાન મૂલ્યો હોય છે. એક પૂર્વશરત નીચે મુજબ છે: જો સ્ટેપ મેટ્રિક્સમાં શૂન્ય પંક્તિ હોય, તો તેની નીચેની બાકીની પંક્તિઓ પણ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો ધરાવતી નથી.

તેથી અમે જોયું સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રકારોતેમની સાથે કામ કરવા માટે જરૂરી મેટ્રિસિસ. હવે ચાલો મેટ્રિક્સને જરૂરી ફોર્મમાં કન્વર્ટ કરવાની સમસ્યા જોઈએ.

ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડો

મેટ્રિક્સને કેવી રીતે ઘટાડવું ત્રિકોણાકાર દૃશ્ય? મોટાભાગે કાર્યોમાં તમારે તેના નિર્ણાયકને શોધવા માટે મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે, અન્યથા નિર્ણાયક કહેવાય છે. આ પ્રક્રિયા કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણને "સાચવવું" અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક તેના મુખ્ય કર્ણના ઘટકોના ઉત્પાદન સમાન છે. મને નિર્ણાયક શોધવા માટેની વૈકલ્પિક પદ્ધતિઓ પણ યાદ કરવા દો. ચોરસ પ્રકારનો નિર્ધારક વિશિષ્ટ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે ત્રિકોણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો. અન્ય મેટ્રિસિસ માટે, પંક્તિ, કૉલમ અથવા તેમના ઘટકો દ્વારા વિઘટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. તમે સગીર અને બીજગણિત મેટ્રિક્સ ઉમેરણોની પદ્ધતિનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

ચાલો કેટલાક કાર્યોના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પ્રક્રિયાનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીએ.

કાર્ય 1

પ્રસ્તુત મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શોધવાનું જરૂરી છે.

અમને આપેલ મેટ્રિક્સ ત્રીજા ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે. તેથી, તેને કન્વર્ટ કરવા માટે ત્રિકોણાકાર આકારઆપણે પ્રથમ સ્તંભના બે ઘટકો અને બીજાના એક ઘટકને શૂન્યમાં ફેરવવાની જરૂર છે.

તેને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, અમે મેટ્રિક્સના નીચલા ડાબા ખૂણેથી - 6 નંબરથી પરિવર્તન શરૂ કરીએ છીએ. તેને શૂન્યમાં ફેરવવા માટે, પ્રથમ પંક્તિને ત્રણ વડે ગુણાકાર કરો અને તેને છેલ્લી પંક્તિમાંથી બાદ કરો.

મહત્વપૂર્ણ! ટોચની પંક્તિ બદલાતી નથી, પરંતુ મૂળ મેટ્રિક્સની જેમ જ રહે છે. મૂળ કરતાં ચાર ગણી મોટી સ્ટ્રિંગ લખવાની જરૂર નથી. પરંતુ સ્ટ્રીંગ્સની કિંમતો જેના ઘટકોને શૂન્ય પર સેટ કરવાની જરૂર છે તે સતત બદલાતી રહે છે.

બસ બાકી છે છેલ્લું મૂલ્ય- બીજા સ્તંભની ત્રીજી પંક્તિનું તત્વ. આ નંબર છે (-1). તેને શૂન્યમાં ફેરવવા માટે, પ્રથમ લાઇનમાંથી બીજી બાદબાકી કરો.

ચાલો તપાસીએ:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

આનો અર્થ એ છે કે કાર્યનો જવાબ -22 છે.

કાર્ય 2

મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડીને શોધવાનું જરૂરી છે.

પ્રસ્તુત મેટ્રિક્સ ચોરસ પ્રકારનું છે અને ચોથા ક્રમનું મેટ્રિક્સ છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ કૉલમના ત્રણ ઘટકો, બીજા કૉલમના બે ઘટકો અને ત્રીજાના એક ઘટકને શૂન્યમાં ફેરવવું જરૂરી છે.

ચાલો તેને નીચેના ડાબા ખૂણામાં સ્થિત તત્વમાંથી રૂપાંતરિત કરવાનું શરૂ કરીએ - નંબર 4 થી. આપણે તેને વિપરીત કરવાની જરૂર છે. આપેલ નંબરશૂન્ય સુધી. આ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે ટોચની લાઇનને ચાર વડે ગુણાકાર કરો અને પછી તેને ચોથીમાંથી બાદ કરો. ચાલો પરિવર્તનના પ્રથમ તબક્કાનું પરિણામ લખીએ.

તેથી ચોથી પંક્તિનો ઘટક શૂન્ય પર સેટ છે. ચાલો ત્રીજી લીટીના પ્રથમ તત્વ પર, નંબર 3 તરફ આગળ વધીએ. અમે સમાન કામગીરી કરીએ છીએ. અમે પ્રથમ લીટીને ત્રણ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, તેને ત્રીજી લીટીમાંથી બાદ કરીએ છીએ અને પરિણામ લખીએ છીએ.

અમે આ ચોરસ મેટ્રિક્સના પ્રથમ કૉલમના તમામ ઘટકોને શૂન્યમાં ફેરવવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ, નંબર 1 ના અપવાદ સાથે - મુખ્ય કર્ણનું એક તત્વ જેને પરિવર્તનની જરૂર નથી. હવે પરિણામી શૂન્યને સાચવવાનું મહત્વનું છે, તેથી અમે રૂપાંતરણ પંક્તિઓ સાથે કરીશું, કૉલમ સાથે નહીં. ચાલો પ્રસ્તુત મેટ્રિક્સની બીજી કોલમ પર જઈએ.

ચાલો છેલ્લી પંક્તિના બીજા કૉલમના તત્વ સાથે - તળિયેથી ફરી શરૂ કરીએ. આ સંખ્યા (-7) છે. જો કે, માં આ કિસ્સામાંત્રીજી પંક્તિના બીજા સ્તંભનું તત્વ - નંબર (-1) થી શરૂ કરવું વધુ અનુકૂળ છે. તેને શૂન્યમાં ફેરવવા માટે, ત્રીજી લાઇનમાંથી બીજી બાદબાકી કરો. પછી આપણે બીજી લીટીને સાત વડે ગુણાકાર કરીએ અને ચોથીમાંથી બાદ કરીએ. બીજા સ્તંભની ચોથી પંક્તિમાં સ્થિત તત્વને બદલે અમને શૂન્ય મળ્યું. હવે ચાલો ત્રીજી કોલમ તરફ આગળ વધીએ.

આ સ્તંભમાં આપણે માત્ર એક સંખ્યાને શૂન્યમાં ફેરવવાની જરૂર છે - 4. આ કરવું મુશ્કેલ નથી: ફક્ત તેમાં ઉમેરો છેલ્લી લીટીત્રીજું અને આપણે શૂન્ય જોઈએ છીએ.

તમામ રૂપાંતરણો કર્યા પછી, અમે સૂચિત મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવ્યા. હવે, તેના નિર્ણાયકને શોધવા માટે, તમારે ફક્ત મુખ્ય કર્ણના પરિણામી ઘટકોનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અમને મળે છે: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.તેથી, ઉકેલ 160 છે.

તેથી, હવે મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો પ્રશ્ન તમને પરેશાન કરશે નહીં.

સ્ટેપ્ડ ફોર્મમાં ઘટાડો

મેટ્રિસિસ પરની પ્રાથમિક કામગીરી માટે, સ્ટેપ્ડ ફોર્મ ત્રિકોણાકાર કરતાં ઓછું "માગમાં" છે. મોટાભાગે તેનો ઉપયોગ મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવા માટે થાય છે (એટલે ​​​​કે, તેની બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા) અથવા રેખીય રીતે આશ્રિત અને સ્વતંત્ર પંક્તિઓ નક્કી કરવા માટે. જો કે, મેટ્રિક્સનો સ્ટેપ્ડ પ્રકાર વધુ સાર્વત્રિક છે, કારણ કે તે માત્ર ચોરસ પ્રકાર માટે જ નહીં, પણ અન્ય તમામ માટે પણ યોગ્ય છે.

મેટ્રિક્સને ઘટાડવા માટે સ્ટેપ વ્યુ, પ્રથમ તમારે તેના નિર્ણાયકને શોધવાની જરૂર છે. ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓ આ માટે યોગ્ય છે. નિર્ણાયકને શોધવાનો હેતુ એ શોધવાનો છે કે શું તેને સ્ટેપ મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. જો નિર્ણાયક વધારે હોય અથવા શૂન્ય કરતાં ઓછું, પછી તમે સુરક્ષિત રીતે કાર્ય શરૂ કરી શકો છો. જો તે શૂન્યની બરાબર હોય, તો મેટ્રિક્સને ઇકેલોન સ્વરૂપમાં ઘટાડવું શક્ય બનશે નહીં. આ કિસ્સામાં, તમારે રેકોર્ડિંગ અથવા મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનમાં કોઈ ભૂલો છે કે કેમ તે તપાસવાની જરૂર છે. જો આવી કોઈ અચોક્કસતા ન હોય, તો કાર્ય હલ કરી શકાતું નથી.

ચાલો જોઈએ કે કેટલાંક કાર્યોના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મમાં કેવી રીતે ઘટાડવું.

કાર્ય 1.આપેલ મેટ્રિક્સ કોષ્ટકનો ક્રમ શોધો.

અમારી સામે ત્રીજા ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ (3x3) છે. અમે જાણીએ છીએ કે રેન્ક શોધવા માટે તેને એક સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મમાં ઘટાડવું જરૂરી છે. તેથી, પ્રથમ આપણે મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને શોધવાની જરૂર છે. ચાલો ત્રિકોણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

નિર્ણાયક = 12. He શૂન્ય કરતાં વધુ, જેનો અર્થ છે કે મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. ચાલો તેને રૂપાંતરિત કરવાનું શરૂ કરીએ.

ચાલો તેને ત્રીજી લીટીના ડાબા સ્તંભના તત્વથી શરૂ કરીએ - નંબર 2. ટોચની લીટીને બે વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ત્રીજીમાંથી બાદ કરો. આ ઑપરેશન માટે આભાર, અમને જરૂરી તત્વ અને નંબર 4 - ત્રીજી પંક્તિના બીજા કૉલમનું ઘટક - શૂન્ય થઈ ગયું.

આપણે જોઈએ છીએ કે ઘટાડાના પરિણામે, ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. અમારા કિસ્સામાં, અમે પરિવર્તન ચાલુ રાખી શકતા નથી, કારણ કે બાકીના ઘટકોને શૂન્ય સુધી ઘટાડી શકાતા નથી.

આનો અર્થ એ છે કે આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે આ મેટ્રિક્સ (અથવા તેના ક્રમ) માં સંખ્યાત્મક મૂલ્યો ધરાવતી પંક્તિઓની સંખ્યા 3 છે. કાર્યનો જવાબ: 3.

કાર્ય 2.આ મેટ્રિક્સની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર પંક્તિઓની સંખ્યા નક્કી કરો.

આપણે એવા શબ્દમાળાઓ શોધવાની જરૂર છે જે કોઈપણ પરિવર્તન દ્વારા શૂન્યમાં રૂપાંતરિત ન થઈ શકે. હકીકતમાં, આપણે બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા અથવા પ્રસ્તુત મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, ચાલો તેને સરળ બનાવીએ.

આપણે એક મેટ્રિક્સ જોઈએ છીએ જે ચોરસ પ્રકારનું નથી. તે 3x4 માપે છે. ચાલો નીચલા ડાબા ખૂણાના તત્વ સાથે ઘટાડો પણ શરૂ કરીએ - સંખ્યા (-1).

તેના વધુ પરિવર્તનો અશક્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે તેમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર રેખાઓની સંખ્યા અને કાર્યનો જવાબ 3 છે.

હવે મેટ્રિક્સને સ્ટેપ્ડ ફોર્મમાં ઘટાડવું તમારા માટે અશક્ય કાર્ય નથી.

આ કાર્યોના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપ અને સ્ટેપ્ડ ફોર્મમાં ઘટાડવાની તપાસ કરી. તેને શૂન્ય બનાવવા માટે જરૂરી મૂલ્યોમેટ્રિક્સ કોષ્ટકો, માં કેટલાક કિસ્સાઓમાંતમારે તમારી કલ્પનાનો ઉપયોગ કરવાની અને તેમના કૉલમ અથવા પંક્તિઓને યોગ્ય રીતે કન્વર્ટ કરવાની જરૂર છે. ગણિતમાં અને મેટ્રિસિસ સાથે કામ કરવામાં સારા નસીબ!