ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ખ્યાલ. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ. લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું સામાન્ય દૃશ્ય. ક્રમ, અનુક્રમણિકા અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની સહી. હકારાત્મક ચોક્કસ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ. ચતુર્ભુજ.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ખ્યાલ:વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સમાં બીજી ડિગ્રીના સજાતીય બહુપદી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર સ્પેસ પરનું કાર્ય.

થી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ nઅજ્ઞાત સરવાળો કહેવાય છે, જેનો પ્રત્યેક શબ્દ કાં તો આ અજાણ્યાઓમાંથી એકનો વર્ગ છે, અથવા બે અલગ-અલગ અજ્ઞાતનો ગુણાંક છે.

ચતુર્ભુજ મેટ્રિક્સ:મેટ્રિક્સને માં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે આ આધારે. જો ક્ષેત્ર લાક્ષણિકતા 2 ની બરાબર નથી, તો આપણે ધારી શકીએ કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ સપ્રમાણ છે, એટલે કે.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ લખો:

આથી,

વેક્ટર મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ છે:

એ, ક્યાં

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રામાણિક સ્વરૂપ:એક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત કહેવામાં આવે છે જો બધા એટલે કે

કોઈપણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપરેખીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને. વ્યવહારમાં, નીચેની પદ્ધતિઓનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે.

લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ : સંપૂર્ણ ચોરસની ક્રમિક પસંદગી. ઉદાહરણ તરીકે, જો

પછી એક સમાન પ્રક્રિયા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સાથે કરવામાં આવે છે વગેરે. જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં બધું જ છે પછી પ્રાથમિક રૂપાંતર પછી મામલો વિચારણાની પ્રક્રિયામાં આવે છે. તેથી, જો, ઉદાહરણ તરીકે, તો અમે ધારીએ છીએ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું સામાન્ય સ્વરૂપ:સામાન્ય ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ એ પ્રમાણભૂત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ છે જેમાં તમામ ગુણાંક +1 અથવા -1 સમાન હોય છે.

ક્રમ, અનુક્રમણિકા અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની સહી:ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ક્રમ એમેટ્રિક્સનો ક્રમ કહેવાય છે એ. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ક્રમ અજાણ્યાઓના બિન-અધોગતિ રૂપાંતરણો હેઠળ બદલાતો નથી.

નકારાત્મક ગુણાંકની સંખ્યાને નકારાત્મક સ્વરૂપ સૂચક કહેવામાં આવે છે.

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં સકારાત્મક પદોની સંખ્યાને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની જડતાનો સકારાત્મક અનુક્રમણિકા કહેવામાં આવે છે, નકારાત્મક પદોની સંખ્યાને નકારાત્મક અનુક્રમણિકા કહેવામાં આવે છે. ધન અને નકારાત્મક સૂચકાંકો વચ્ચેના તફાવતને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની સહી કહેવામાં આવે છે

સકારાત્મક ચોક્કસ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ:વાસ્તવિક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ જો એક સાથે શૂન્ય ન હોય તેવા ચલોના કોઈ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે,

. (36)

આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સને હકારાત્મક ચોક્કસ (નકારાત્મક નિશ્ચિત) પણ કહેવામાં આવે છે.

હકારાત્મક ચોક્કસ (નકારાત્મક નિશ્ચિત) સ્વરૂપોનો વર્ગ બિન-નકારાત્મક (રિસ્પો. બિન-પોઝિટિવ) સ્વરૂપોના વર્ગનો એક ભાગ છે.

ચતુર્થાંશ:ચતુર્ભુજ - n-પરિમાણીય હાઇપરસર્ફેસ માં n+1-પરિમાણીય જગ્યા, બીજી ડિગ્રીના બહુપદીના શૂન્યના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત. જો તમે કોઓર્ડિનેટ્સ દાખલ કરો છો ( x 1 , x 2 , x n+1) (યુક્લિડિયનમાં અથવા સંલગ્ન જગ્યા), સામાન્ય સમીકરણચતુર્ભુજનું સ્વરૂપ છે

આ સમીકરણ મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં વધુ સઘન રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

જ્યાં x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — પંક્તિ વેક્ટર, x T એ ટ્રાન્સપોઝ્ડ વેક્ટર છે, પ્ર— માપ મેટ્રિક્સ ( n+1)×( n+1) (એવું માનવામાં આવે છે કે તેના ઘટકોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય નથી), પીપંક્તિ વેક્ટર છે, અને આર- સતત. વાસ્તવિક પર ચતુર્થાંશ મોટે ભાગે ગણવામાં આવે છે જટિલ સંખ્યાઓ. વ્યાખ્યાને પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસમાં ક્વાડ્રિક્સ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે, નીચે જુઓ.

વધુ સામાન્ય રીતે, સિસ્ટમના શૂન્યનો સમૂહ બહુપદી સમીકરણોબીજગણિત વિવિધ તરીકે ઓળખાય છે. આમ, ચતુર્થાંશ એ બીજી ડિગ્રી અને સંહિતા 1 ની બીજગણિત વિવિધતા છે.

પ્લેન અને સ્પેસનું પરિવર્તન.

પ્લેન ટ્રાન્સફોર્મેશનની વ્યાખ્યા. ગતિ શોધ. ચળવળના ગુણધર્મો. બે પ્રકારની હિલચાલ: પ્રથમ પ્રકારની હિલચાલ અને બીજા પ્રકારની હિલચાલ. હલનચલનના ઉદાહરણો. વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિહલનચલન વિમાનની હિલચાલનું વર્ગીકરણ (હાજરી પર આધાર રાખીને નિશ્ચિત બિંદુઓઅને અપરિવર્તનશીલ રેખાઓ). વિમાનની હિલચાલનું જૂથ.

પ્લેન ટ્રાન્સફોર્મેશનની વ્યાખ્યા: વ્યાખ્યા.પ્લેન ટ્રાન્સફોર્મેશન કે જે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સાચવે છે તેને કહેવામાં આવે છે ચળવળ(અથવા ચળવળ) પ્લેનની. પ્લેન ટ્રાન્સફોર્મેશન કહેવાય છે સંબંધ, જો તે સમાન રેખા પર પડેલા કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓને ત્રણ બિંદુઓમાં રૂપાંતરિત કરે છે જે તે જ રેખા પર પડેલા હોય છે અને તે જ સમયે ત્રણ બિંદુઓના સરળ સંબંધને સાચવે છે.

ગતિ વ્યાખ્યા:આ આકાર પરિવર્તનો છે જે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરને સાચવે છે. જો બે આકૃતિઓ હલનચલન દ્વારા એકબીજા સાથે ચોક્કસ રીતે સંરેખિત હોય, તો આ આંકડાઓ સમાન, સમાન છે.

ચળવળ ગુણધર્મો:પ્લેનની દરેક ઓરિએન્ટેશન-સંરક્ષિત ગતિ કાં તો સમાંતર અનુવાદ અથવા પરિભ્રમણ છે; જ્યારે ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે સીધી રેખા પર પડેલા બિંદુઓ સીધી રેખા પર પડેલા બિંદુઓમાં પરિવર્તિત થાય છે, અને તેમનો ક્રમ સચવાય છે. સંબંધિત સ્થિતિ. જ્યારે ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે અર્ધ-રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓ સાચવવામાં આવે છે.

બે પ્રકારની હિલચાલ: પ્રથમ પ્રકારની હિલચાલ અને બીજા પ્રકારની હિલચાલ:પ્રથમ પ્રકારની હલનચલન એ તે હલનચલન છે જે ચોક્કસ આકૃતિના પાયાના અભિગમને જાળવી રાખે છે. તેઓ સતત હલનચલન દ્વારા અનુભવી શકાય છે.

બીજા પ્રકારની હલનચલન એ તે હલનચલન છે જે પાયાની દિશાને વિરુદ્ધમાં બદલી દે છે. તેઓ સતત હલનચલન દ્વારા અનુભવી શકાતા નથી.

પ્રથમ પ્રકારની હલનચલનનાં ઉદાહરણો અનુવાદ અને સીધી રેખાની આસપાસ પરિભ્રમણ છે, અને બીજા પ્રકારની હલનચલન કેન્દ્રિય અને અરીસાની સમપ્રમાણતા છે.

પ્રથમ પ્રકારની કોઈપણ હિલચાલની રચના એ પ્રથમ પ્રકારની હિલચાલ છે.

બીજા પ્રકારની હિલચાલની સમાન સંખ્યાની રચના એ 1લી પ્રકારની હિલચાલ છે, અને 2 જી પ્રકારની હલનચલનની બેકી સંખ્યાની રચના એ 2 જી પ્રકારની હિલચાલ છે.

હલનચલનના ઉદાહરણો:સમાંતર ટ્રાન્સફર . આપેલ વેક્ટર તરીકે ચાલો. વેક્ટર a માં સમાંતર સ્થાનાંતરણ એ પ્લેનનું પોતાના પરનું મેપિંગ છે, જેમાં દરેક બિંદુ M ને બિંદુ M 1 સાથે મેપ કરવામાં આવે છે, જે વેક્ટર MM 1 છે. વેક્ટર સમાનએ.

સમાંતર અનુવાદ એ એક ચળવળ છે કારણ કે તે અંતરને સાચવીને પોતાના પર પ્લેનનું મેપિંગ છે. આ ચળવળને સમગ્ર વિમાનની દિશામાં પાળી તરીકે દૃષ્ટિની રીતે રજૂ કરી શકાય છે આપેલ વેક્ટરપરંતુ તેની લંબાઈ પર.

ફેરવો.ચાલો પ્લેન પર O બિંદુ દર્શાવીએ ( વળાંક કેન્દ્ર) અને કોણ સેટ કરો α ( પરિભ્રમણ કોણ). એક ખૂણા દ્વારા O બિંદુની આસપાસ પ્લેનનું પરિભ્રમણ એ પ્લેનનું પોતાના પરનું મેપિંગ છે, જેમાં દરેક બિંદુ M એ બિંદુ M 1 સાથે મેપ કરવામાં આવે છે, જેમ કે OM = OM 1 અને કોણ MOM 1 α બરાબર છે. આ કિસ્સામાં, બિંદુ O તેના સ્થાને રહે છે, એટલે કે, તે પોતાના પર મેપ થયેલ છે, અને અન્ય તમામ બિંદુઓ બિંદુ O ની આસપાસ તે જ દિશામાં ફરે છે - ઘડિયાળની દિશામાં અથવા કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ (આકૃતિ કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ રોટેશન બતાવે છે).

પરિભ્રમણ એ એક ચળવળ છે કારણ કે તે પોતાના પર પ્લેનનું મેપિંગ રજૂ કરે છે, જેમાં અંતર સાચવવામાં આવે છે.

ચળવળની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ:પ્રીઇમેજના કોઓર્ડિનેટ્સ અને બિંદુની છબી વચ્ચેનું વિશ્લેષણાત્મક જોડાણ ફોર્મ (1) ધરાવે છે.

પ્લેન હલનચલનનું વર્ગીકરણ (નિશ્ચિત બિંદુઓ અને અપરિવર્તક રેખાઓની હાજરીના આધારે): વ્યાખ્યા:

પ્લેન પરનો એક બિંદુ અપરિવર્તક (નિશ્ચિત) છે જો આપેલ રૂપાંતરણ હેઠળ, તે પોતાનામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

ઉદાહરણ: ક્યારે કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતાસમપ્રમાણતાના કેન્દ્રનો બિંદુ અપરિવર્તનશીલ છે. વળતી વખતે, પરિભ્રમણના કેન્દ્રનો બિંદુ અવિચલ છે. મુ અક્ષીય સમપ્રમાણતાએક સીધી રેખા અપરિવર્તનશીલ છે - સમપ્રમાણતાની અક્ષ એ અસ્પષ્ટ બિંદુઓની સીધી રેખા છે.

પ્રમેય: જો કોઈ ચળવળમાં એક પણ અપ્રિય બિંદુ ન હોય, તો તેની પાસે ઓછામાં ઓછી એક અપ્રિય દિશા હોય છે.

ઉદાહરણ: સમાંતર ટ્રાન્સફર. ખરેખર, આ દિશાની સમાંતર સીધી રેખાઓ સમગ્ર આકૃતિ તરીકે અપરિવર્તનશીલ હોય છે, જો કે તેમાં અપરિવર્તક બિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી.

પ્રમેય: જો અમુક કિરણ ફરે છે, તો કિરણ પોતાનામાં અનુવાદ કરે છે, તો આ હિલચાલ કાં તો છે ઓળખ પરિવર્તન, અથવા આપેલ કિરણ ધરાવતી સીધી રેખાના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા.

તેથી, અસ્પષ્ટ બિંદુઓ અથવા આંકડાઓની હાજરીના આધારે, હલનચલનનું વર્ગીકરણ કરવું શક્ય છે.

પ્લેન મોશન ગ્રુપ:ભૂમિતિમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાસ્વ-સંયોજિત આકૃતિઓના જૂથો રમે છે. જો પ્લેન (અથવા અવકાશમાં) પર કોઈ ચોક્કસ આકૃતિ છે, તો પછી આપણે પ્લેનની તે બધી હિલચાલ (અથવા અવકાશ) ના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ કે જે દરમિયાન આકૃતિ પોતાનામાં ફેરવાય છે.

આ સમૂહ એક જૂથ છે. ઉદાહરણ તરીકે, માટે સમભુજ ત્રિકોણપ્લેન હિલચાલનું જૂથ જે ત્રિકોણને પોતાનામાં સ્થાનાંતરિત કરે છે તેમાં 6 તત્વો હોય છે: બિંદુની આસપાસ ખૂણાઓ દ્વારા પરિભ્રમણ અને ત્રણ સીધી રેખાઓ વિશે સમપ્રમાણતા.

તેઓ ફિગ માં બતાવવામાં આવે છે. 1 લાલ રેખાઓ સાથે. સ્વ-સંયોજન જૂથના ઘટકો નિયમિત ત્રિકોણઅલગ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. આને સમજાવવા માટે, ચાલો આપણે નિયમિત ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને 1, 2, 3 નંબરો સાથે નંબર આપીએ. ત્રિકોણની કોઈપણ સ્વ-સંરેખણ સમાન બિંદુઓ પર પોઈન્ટ 1, 2, 3 લે છે, પરંતુ અલગ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, એટલે કે. આમાંના એક કૌંસના રૂપમાં શરતી રીતે લખી શકાય છે:

વગેરે

જ્યાં 1, 2, 3 સંખ્યાઓ તે શિરોબિંદુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે જેમાં વિચારણા હેઠળની હિલચાલના પરિણામે શિરોબિંદુઓ 1, 2, 3 જાય છે.

પ્રોજેક્ટીવ જગ્યાઓ અને તેમના મોડલ.

પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસનો ખ્યાલ અને પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસનું મોડલ. પ્રક્ષેપણ ભૂમિતિના મૂળભૂત તથ્યો. બિંદુ O પર કેન્દ્રિત રેખાઓનો સમૂહ એ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનનું મોડેલ છે. પ્રોજેક્ટિવ પોઈન્ટ. વિસ્તૃત પ્લેન એ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનનું એક મોડેલ છે. વિસ્તૃત ત્રિ-પરિમાણીય અફિન અથવા યુક્લિડિયન સ્પેસ એ પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસનું મોડેલ છે. સમાંતર ડિઝાઇનમાં સપાટ અને અવકાશી આકૃતિઓની છબીઓ.

પ્રોજેકટિવ સ્પેસનો ખ્યાલ અને પ્રોજેકટિવ સ્પેસનું મોડલ:

ફિલ્ડ પર પ્રોજેકટિવ સ્પેસ એ આપેલ ફીલ્ડ પર અમુક રેખીય જગ્યાની રેખાઓ (એક-પરિમાણીય સબસ્પેસ) ધરાવતી જગ્યા છે. સીધી જગ્યાઓ કહેવામાં આવે છે બિંદુઓપ્રક્ષેપણ જગ્યા. આ વ્યાખ્યા મનસ્વી સંસ્થા માટે સામાન્ય કરી શકાય છે

જો તે પરિમાણ ધરાવે છે, તો પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસના પરિમાણને નંબર કહેવામાં આવે છે, અને પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસ પોતે સૂચવવામાં આવે છે અને તેની સાથે સંકળાયેલ કહેવાય છે (આ સૂચવવા માટે, સંકેત અપનાવવામાં આવે છે).

થી સંક્રમણ વેક્ટર જગ્યાઅનુરૂપ પરિમાણો પ્રક્ષેપણ જગ્યાકહેવાય છે પ્રક્ષેપણજગ્યા

પોઈન્ટ્સનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ.

પ્રક્ષેપણ ભૂમિતિના મૂળભૂત તથ્યો:પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ એ ભૂમિતિની એક શાખા છે જે પ્રક્ષેપણીય વિમાનો અને જગ્યાઓનો અભ્યાસ કરે છે. મુખ્ય લક્ષણપ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ દ્વૈતના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે, જે ઘણી ડિઝાઇનમાં આકર્ષક સમપ્રમાણતા ઉમેરે છે. પ્રોજેકટિવ ભૂમિતિ બંનેનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરી શકાય છે ભૌમિતિક બિંદુદૃષ્ટિબિંદુ, બંને વિશ્લેષણાત્મક (સમાનતાપૂર્ણ કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને) અને સેલ્જેબ્રેક, પ્રક્ષેપણીય સમતલને ક્ષેત્ર પરના માળખા તરીકે ધ્યાનમાં લેતા. ઘણીવાર, અને ઐતિહાસિક રીતે, વાસ્તવિક પ્રક્ષેપણ વિમાનને "અનંત પર રેખા" ના ઉમેરા સાથે યુક્લિડિયન વિમાન માનવામાં આવે છે.

જ્યારે આકૃતિઓના ગુણધર્મો જેની સાથે યુક્લિડિયન ભૂમિતિ ડીલ કરે છે મેટ્રિક(કોણો, સેગમેન્ટ્સ, વિસ્તારોના ચોક્કસ મૂલ્યો), અને આકૃતિઓની સમકક્ષતા તેમના સુસંગતતા(એટલે ​​​​કે જ્યારે મેટ્રિક પ્રોપર્ટીઝને સાચવતી વખતે આકૃતિઓ એક બીજામાં ચળવળ દ્વારા અનુવાદિત કરી શકાય છે), ત્યાં વધુ "ઊંડા-અસત્ય" ગુણધર્મો છે ભૌમિતિક આકારો, જે કરતાં વધુના પરિવર્તન દરમિયાન સાચવવામાં આવે છે સામાન્ય પ્રકારચળવળ કરતાં. પ્રોજેક્ટીવ ભૂમિતિ વર્ગ હેઠળ અપરિવર્તનશીલ હોય તેવા આકૃતિઓના ગુણધર્મોના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે પ્રોજેક્ટિવ રૂપાંતરણો, તેમજ આ પરિવર્તનો પોતે.

પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ યુક્લિડિયનને પૂરક બનાવે છે, સુંદર અને પ્રદાન કરે છે સરળ ઉકેલોસમાંતર રેખાઓની હાજરી દ્વારા જટિલ ઘણી સમસ્યાઓ માટે. કોનિક વિભાગોનો પ્રોજેક્ટિવ સિદ્ધાંત ખાસ કરીને સરળ અને ભવ્ય છે.

પ્રક્ષેપણીય ભૂમિતિ માટે ત્રણ મુખ્ય અભિગમો છે: સ્વતંત્ર સ્વયંસિદ્ધીકરણ, યુક્લિડિયન ભૂમિતિનું પૂરક, અને ક્ષેત્ર પર માળખું.

સ્વયંસિદ્ધીકરણ

પ્રોજેકટિવ સ્પેસને અલગ અલગ એક્સિઓમનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

કોક્સેટર નીચેના પ્રદાન કરે છે:

1. એક સીધી રેખા છે અને તેના પર એક બિંદુ નથી.

2. દરેક લાઇનમાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ બિંદુઓ હોય છે.

3. બે બિંદુઓ દ્વારા તમે બરાબર એક સીધી રેખા દોરી શકો છો.

4. જો એ, બી, સી, અને ડી- વિવિધ બિંદુઓ અને એબીઅને સીડીછેદે, પછી A.C.અને બી.ડીછેદવું

5. જો ABCપ્લેન છે, તો પ્લેનમાં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ નથી ABC.

6. બે વિવિધ વિમાનોઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓમાં છેદે.

7. સંપૂર્ણ ચતુષ્કોણના ત્રણ વિકર્ણ બિંદુઓ સમરેખા નથી.

8. જો ત્રણ બિંદુઓ એક રેખા પર હોય એક્સ એક્સ

પ્રોજેકટિવ પ્લેન (ત્રીજા પરિમાણ વિના) સહેજ અલગ ધરી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

1. બે બિંદુઓ દ્વારા તમે બરાબર એક સીધી રેખા દોરી શકો છો.

2. કોઈપણ બે રેખાઓ છેદે છે.

3. ચાર બિંદુઓ છે, જેમાંથી ત્રણ સમરેખા નથી.

4. ત્રણ કર્ણ બિંદુઓ સંપૂર્ણ ચતુષ્કોણસમરેખા નથી.

5. જો ત્રણ બિંદુઓ એક રેખા પર હોય એક્સφ ની પ્રોજેકટિવિટીના સંદર્ભમાં અપરિવર્તનશીલ છે, પછી બધા બિંદુઓ પર એક્સφ ના સંદર્ભમાં અપરિવર્તક.

6. Desargues' પ્રમેય: જો બે ત્રિકોણ એક બિંદુ દ્વારા પરિપ્રેક્ષ્ય છે, તો તે રેખા દ્વારા પરિપ્રેક્ષ્ય છે.

ત્રીજા પરિમાણની હાજરીમાં, Desargues પ્રમેય પરિચય વિના સાબિત કરી શકાય છે આદર્શ બિંદુઓઅને સીધા.

વિસ્તૃત પ્લેન - પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન મોડલ:એફિન સ્પેસ A3 માં આપણે O બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે રેખાઓ S(O) નું બંડલ લઈએ છીએ અને એક પ્લેન Π જે બંડલના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું નથી: O 6∈ Π. સંલગ્ન જગ્યામાં રેખાઓનું બંડલ એ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનનું મોડેલ છે. ચાલો કનેક્ટિવ S ની સીધી રેખાઓના સમૂહ પર પ્લેન Π ના પોઈન્ટ્સના સમૂહનું મેપિંગ વ્યાખ્યાયિત કરીએ (ફક, પ્રાર્થના કરો જો તમને આ પ્રશ્ન હોય, તો મને માફ કરો)

વિસ્તૃત ત્રિ-પરિમાણીય અફિન અથવા યુક્લિડિયન સ્પેસ-પ્રોજેક્ટિવ સ્પેસનું મોડેલ:

મેપિંગને અનુમાનિત બનાવવા માટે, અમે ઔપચારિક રીતે અફિન પ્લેન Π ને પ્રોજેકટિવ પ્લેન સુધી લંબાવવાની પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીએ છીએ, Π, પ્લેન Πને અયોગ્ય બિંદુઓના સમૂહ (M∞) સાથે પૂરક બનાવીએ છીએ જેમ કે: ((M∞)) = P0(O). નકશામાં પ્લેન S(O) ના બંડલના દરેક પ્લેનની વ્યસ્ત છબી એ પ્લેન d પરની એક રેખા હોવાથી, તે સ્પષ્ટ છે કે વિસ્તૃત પ્લેનનાં તમામ અયોગ્ય બિંદુઓનો સમૂહ: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), વિસ્તૃત વિમાનની અયોગ્ય રેખા d∞ રજૂ કરે છે, જે એકવચન સમતલ Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0) ની વ્યસ્ત છબી છે. (I.23) ચાલો સંમત કરીએ કે અહીં અને હવે પછી આપણે છેલ્લી સમાનતા P0(O) = Π0 ને બિંદુઓના સમૂહની સમાનતાના અર્થમાં સમજીશું, પરંતુ એક અલગ માળખું સાથે સંપન્ન છે. અયોગ્ય લાઇન સાથે એફાઇન પ્લેનને પૂરક બનાવીને, અમે સુનિશ્ચિત કર્યું કે વિસ્તૃત પ્લેનના તમામ બિંદુઓના સેટ પર મેપિંગ (I.21) દ્વિભાષી બની ગયું છે:

સમાંતર ડિઝાઇન દરમિયાન સપાટ અને અવકાશી આકૃતિઓની છબીઓ:

સ્ટીરીઓમેટ્રીમાં, અવકાશી આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, પરંતુ ચિત્રમાં તેઓને આ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યા છે. સપાટ આંકડા. પ્લેનમાં અવકાશી આકૃતિ કેવી રીતે દર્શાવવી જોઈએ? સામાન્ય રીતે ભૂમિતિમાં આ માટે સમાંતર ડિઝાઇનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ચાલો કોઈ પ્લેન બનીએ, l- તેને છેદતી સીધી રેખા (ફિગ. 1). દ્વારા મનસ્વી બિંદુ એ, લાઇનથી સંબંધિત નથી l, રેખાની સમાંતર રેખા દોરો l. પ્લેન p સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુને બિંદુનું સમાંતર પ્રક્ષેપણ કહેવામાં આવે છે એસીધી રેખાની દિશામાં પ્લેન p તરફ l. ચાલો તેને સૂચિત કરીએ એ". જો બિંદુ એલાઇનથી સંબંધિત છે l, પછી સમાંતર પ્રક્ષેપણ દ્વારા એરેખાના આંતરછેદના બિંદુને પ્લેન p પર ગણવામાં આવે છે lપ્લેન પી સાથે.

આમ, દરેક બિંદુ એઅવકાશ તેના પ્રક્ષેપણની તુલના કરવામાં આવે છે એ" પ્લેન p માટે. આ પત્રવ્યવહાર કહેવામાં આવે છે સમાંતર ડિઝાઇનસીધી રેખાની દિશામાં પ્લેન p તરફ l

પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશનનું જૂથ. સમસ્યા હલ કરવા માટેની અરજી.

પ્લેનના પ્રોજેકટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ખ્યાલ. પ્લેનના પ્રોજેક્ટિવ રૂપાંતરણના ઉદાહરણો. પ્રોજેક્ટિવ રૂપાંતરણના ગુણધર્મો. હોમોલોજી, હોમોલોજીના ગુણધર્મો. પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશનનું જૂથ.

પ્લેનના પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશનની વિભાવના:પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશનની વિભાવના કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવે છે. જો તમે કરો કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણકેટલાક પ્લેન α પર પ્લેન α, પછી α 1 નું α 2 પર, α 2 નું α 3 પર, ... અને અંતે, કેટલાક પ્લેન α પર nફરીથી α 1 પર, પછી આ તમામ અંદાજોની રચના એ પ્લેન α નું પ્રક્ષેપણ રૂપાંતર છે; આવી સાંકળમાં સમાંતર અંદાજો પણ સમાવી શકાય છે.

પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન ટ્રાન્સફોર્મેશનના ઉદાહરણો:પૂર્ણ થયેલા પ્લેનનું પ્રોજેક્ટીવ રૂપાંતર એ તેનું એક-થી-એક મેપિંગ છે, જેમાં પોઈન્ટની સમકક્ષતા સાચવવામાં આવે છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈપણ રેખાની છબી સીધી રેખા છે. દરેક પ્રક્ષેપણ રૂપાંતર એ કેન્દ્રિય અને સાંકળની રચના છે સમાંતર અંદાજો. Affine રૂપાંતર- આ ખાસ કેસપ્રક્ષેપણ, જેમાં અનંત દૂરની સીધી રેખા પોતાનામાં ફેરવાય છે.

પ્રોજેક્ટિવ રૂપાંતરણના ગુણધર્મો:

પ્રોજેકટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન દરમિયાન, એક લીટી પર ન હોય તેવા ત્રણ બિંદુઓ એક લીટી પર ન હોય તેવા ત્રણ બિંદુઓમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન દરમિયાન, ફ્રેમ ફ્રેમમાં ફેરવાય છે.

પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન દરમિયાન, એક લીટી સીધી લીટીમાં જાય છે, અને પેન્સિલ પેન્સિલમાં જાય છે.

હોમોલોજી, હોમોલોજીના ગુણધર્મો:

પ્લેનનું પ્રોજેકટિવ રૂપાંતરણ કે જેમાં અપરિવર્તક બિંદુઓની રેખા હોય છે, અને તેથી અસ્પષ્ટ રેખાઓની પેન્સિલ હોય છે, તેને હોમોલોજી કહેવામાં આવે છે.

1. બિન-સંયોગી અનુરૂપ હોમોલોજી બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા એ એક અપ્રિય રેખા છે;

2. બિન-સંયોજક અનુરૂપ હોમોલોજી બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાઓ એ જ પેન્સિલની છે, જેનું કેન્દ્ર એક અનિવાર્ય બિંદુ છે.

3. બિંદુ, તેની છબી અને હોમોલોજીનું કેન્દ્ર સમાન સીધી રેખા પર આવેલું છે.

પ્રોજેક્ટિવ રૂપાંતરણોનું જૂથ:પ્રોજેક્ટીવ પ્લેન P 2 ના પ્રોજેકટિવ મેપિંગને પોતાના પર ધ્યાનમાં લો, એટલે કે, આ પ્લેનનું પ્રોજેકટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન (P 2 ’ = P 2).

પહેલાની જેમ, પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન P 2 ના પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન f 1 અને f 2 ની રચના f 1 અને f 2: f = f 2 °f 1 ની અનુક્રમિક અમલીકરણનું પરિણામ છે.

પ્રમેય 1: પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન P 2 ના તમામ પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો સેટ H એ પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશનની રચનાના સંદર્ભમાં એક જૂથ છે.

ચોરસ આકાર.
સ્વરૂપોની નિશ્ચિતતા પર સહી કરો. સિલ્વેસ્ટર માપદંડ

વિશેષણ "ચતુર્ભુજ" તરત જ સૂચવે છે કે અહીં કંઈક ચોરસ (બીજી ડિગ્રી) સાથે જોડાયેલ છે, અને ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં આપણે આ "કંઈક" અને આકાર શું છે તે શોધીશું. તે જીભ ટ્વિસ્ટર હોવાનું બહાર આવ્યું :)

મારા નવા પાઠમાં સ્વાગત છે, અને તાત્કાલિક વોર્મ-અપ તરીકે અમે પટ્ટાવાળા આકારને જોઈશું રેખીય. રેખીય સ્વરૂપ ચલોકહેવાય છે સજાતીય 1લી ડિગ્રી બહુપદી:

- કેટલીક ચોક્કસ સંખ્યાઓ * (અમે ધારીએ છીએ કે તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય નથી), a એ ચલ છે જે મનસ્વી મૂલ્યો લઈ શકે છે.

* આ વિષયના માળખામાં આપણે ફક્ત વિચારણા કરીશું વાસ્તવિક સંખ્યાઓ .

અમે વિશેના પાઠમાં પહેલેથી જ "સમાન્ય" શબ્દનો સામનો કર્યો છે રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ, અને માં આ કિસ્સામાંતે સૂચવે છે કે બહુપદીમાં વત્તા સ્થિર નથી.

ઉદાહરણ તરીકે: - બે ચલોનું રેખીય સ્વરૂપ

હવે આકાર ચતુર્ભુજ છે. ચતુર્ભુજ આકાર ચલોકહેવાય છે સજાતીય 2જી ડિગ્રીનું બહુપદી, જેની દરેક મુદતચલનો ચોરસ અથવા ડબલ્સચલોનું ઉત્પાદન. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, બે ચલોના ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

ધ્યાન આપો!આ પ્રમાણભૂત સંકેત, અને તમારે તેમાં કંઈપણ બદલવાની જરૂર નથી! "ડરામણી" દેખાવ હોવા છતાં, અહીં બધું સરળ છે - સ્થિરાંકોના ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટ્સ સંકેત આપે છે કે કયા ચલો કયા શબ્દમાં શામેલ છે:
- આ શબ્દમાં ઉત્પાદન અને (ચોરસ) શામેલ છે;
- અહીં કામ છે;
- અને અહીં કામ છે.

- જ્યારે તેઓ ગુણાંકનું "માઈનસ" ગુમાવે છે, ત્યારે હું તરત જ એક ગંભીર ભૂલની અપેક્ષા રાખું છું, તે સમજાતું નથી કે તે કોઈ શબ્દનો સંદર્ભ આપે છે:

કેટલીકવાર ભાવનામાં "શાળા" ડિઝાઇન વિકલ્પ હોય છે, પરંતુ માત્ર ક્યારેક. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે સ્થિરાંકો અમને અહીં કંઈપણ કહેતા નથી, અને તેથી "સરળ સંકેત" યાદ રાખવું વધુ મુશ્કેલ છે. ખાસ કરીને જ્યારે વધુ ચલો હોય.

અને ચતુર્ભુજ ત્રણનું સ્વરૂપચલો પહેલાથી જ છ સભ્યો ધરાવે છે:

...શા માટે "બે" પરિબળોને "મિશ્ર" શબ્દોમાં મૂકવામાં આવે છે? આ અનુકૂળ છે, અને તે શા માટે ટૂંક સમયમાં સ્પષ્ટ થશે.

જોકે સામાન્ય સૂત્રચાલો તેને લખીએ, તેને "શીટ" તરીકે ગોઠવવાનું અનુકૂળ છે:

- અમે દરેક લાઇનનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરીએ છીએ - તેમાં કંઈ ખોટું નથી!

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં ચલોના વર્ગો સાથેના પદો અને તેમના જોડી ઉત્પાદનો સાથેના પદો હોય છે (સે.મી. સંયુક્ત સંયોજન સૂત્ર) . વધુ કંઈ નહીં - કોઈ “લોનલી એક્સ” અને કોઈ એડ્ડ કોન્સ્ટન્ટ નહીં (પછી તમને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ મળશે નહીં, પરંતુ વિજાતીય 2જી ડિગ્રીનું બહુપદી).

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ સંકેત

મૂલ્યોના આધારે, પ્રશ્નમાંનું સ્વરૂપ હકારાત્મક અને બંને પર લઈ શકે છે નકારાત્મક મૂલ્યો, અને તે જ કોઈપણ રેખીય સ્વરૂપને લાગુ પડે છે - જો તેના ગુણાંકમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યથી અલગ હોય, તો તે કાં તો હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક (મૂલ્યો પર આધાર રાખીને) હોઈ શકે છે.

આ ફોર્મ કહેવામાં આવે છે વૈકલ્પિક ચિહ્ન. અને જો સાથે રેખીય સ્વરૂપબધું પારદર્શક છે, પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સાથે વસ્તુઓ વધુ રસપ્રદ છે:

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે આ સ્વરૂપ કોઈપણ ચિહ્નનો અર્થ લઈ શકે છે, આમ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ પણ વૈકલ્પિક હોઈ શકે છે.

અથવા કદાચ નહીં:

- હંમેશા, સિવાય કે એકસાથે શૂન્યની બરાબર હોય.

- કોઈપણ માટે વેક્ટરશૂન્ય સિવાય.

અને સામાન્ય રીતે,જો કોઈ માટે બિન-શૂન્યવેક્ટર , ​​, પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કહેવાય છે હકારાત્મક ચોક્કસ; જો એમ હોય તો નકારાત્મક નિશ્ચિત.

અને બધું સારું હશે, પરંતુ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની નિશ્ચિતતા ફક્ત તેમાં જ દેખાય છે સરળ ઉદાહરણો, અને આ દૃશ્યતા થોડી જટિલતા સાથે પણ ખોવાઈ જાય છે:
– ?

કોઈ એવું માની શકે છે કે ફોર્મ હકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પરંતુ શું ખરેખર આવું છે? અચાનક એવા મૂલ્યો છે કે જેના પર તે શૂન્ય કરતાં ઓછું?

ત્યાં એ પ્રમેય: જો બધા eigenvaluesચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિસિસ હકારાત્મક છે * , પછી તે હકારાત્મક ચોક્કસ છે. જો બધા નકારાત્મક છે, તો નકારાત્મક.

* તે સિદ્ધાંતમાં સાબિત થયું છે કે વાસ્તવિક સપ્રમાણ મેટ્રિક્સના તમામ ઇજેન મૂલ્યો માન્ય

ચાલો ઉપરના ફોર્મનું મેટ્રિક્સ લખીએ:
અને Eq થી. ચાલો તેણીને શોધીએ eigenvalues:

ચાલો સારા જૂના ઉકેલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ:

, જેનો અર્થ થાય છે ફોર્મ હકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, એટલે કે. કોઈપણ બિન-શૂન્ય મૂલ્યો માટે શૂન્ય કરતાં વધારે.

માનવામાં આવેલ પદ્ધતિ કામ કરતી હોય તેવું લાગે છે, પરંતુ ત્યાં એક મોટી પરંતુ છે. પહેલેથી જ ત્રણ-બાય-ત્રણ મેટ્રિક્સ માટે, યોગ્ય સંખ્યાઓ શોધવી એ એક લાંબુ અને અપ્રિય કાર્ય છે; ઉચ્ચ સંભાવના સાથે તમને અતાર્કિક મૂળ સાથે 3જી ડિગ્રીનો બહુપદી મળશે.

મારે શું કરવું જોઈએ? એક સરળ રસ્તો છે!

સિલ્વેસ્ટર માપદંડ

ના, સિલ્વેસ્ટર સ્ટેલોન નહીં :) પ્રથમ, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે તે શું છે ખૂણે સગીરો મેટ્રિસિસ આ ક્વોલિફાયર જે તેની ડાબી બાજુથી "વધે છે". ટોચનો ખૂણો:

અને છેલ્લો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક બરાબર છે.

હવે, વાસ્તવમાં, માપદંડ:

1) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે હકારાત્મક રીતેજો અને માત્ર જો તેના બધા કોણીય સગીર શૂન્ય કરતા વધારે હોય તો: .

2) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે નકારાત્મકજો અને માત્ર જો તેના કોણીય સગીરો ચિહ્નમાં વૈકલ્પિક હોય, જેમાં 1 લી સગીર શૂન્ય કરતા ઓછો હોય: , , જો – સમ અથવા , જો – વિષમ.

જો ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો નાનો હોય વિરોધી ચિહ્ન, પછી ફોર્મ વૈકલ્પિક ચિહ્ન. જો કોણીય સગીર "તે" ચિહ્નના હોય, પરંતુ તેમની વચ્ચે શૂન્ય હોય, તો આ છે ખાસ કેસ, જેની હું થોડી વાર પછી ચર્ચા કરીશ, અમે વધુ સામાન્ય ઉદાહરણો પર ક્લિક કર્યા પછી.

ચાલો મેટ્રિક્સના કોણીય સગીરોનું વિશ્લેષણ કરીએ :

અને આ તરત જ અમને કહે છે કે ફોર્મ નકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી.

નિષ્કર્ષ: તમામ કોર્નર સગીર શૂન્ય કરતા વધારે છે, જેનો અર્થ થાય છે ફોર્મ હકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

શું eigenvalue પદ્ધતિમાં કોઈ તફાવત છે? ;)

ચાલો માંથી ફોર્મ મેટ્રિક્સ લખીએ ઉદાહરણ 1:

પ્રથમ તેનું કોણીય ગૌણ છે, અને બીજું , જેમાંથી તે અનુસરે છે કે આકાર ચિહ્નમાં વૈકલ્પિક છે, એટલે કે. મૂલ્યો પર આધાર રાખીને, તે હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે. જો કે, આ પહેલેથી જ સ્પષ્ટ છે.

ચાલો ફોર્મ અને તેના મેટ્રિક્સમાંથી લઈએ ઉદાહરણ 2:

આંતરદૃષ્ટિ વિના આ બહાર કાઢવાનો કોઈ રસ્તો નથી. પરંતુ સિલ્વેસ્ટરના માપદંડ સાથે અમને કોઈ પરવા નથી:
, તેથી, ફોર્મ ચોક્કસપણે નકારાત્મક નથી.

, અને ચોક્કસપણે હકારાત્મક નથી (કારણ કે તમામ કોણીય સગીર હકારાત્મક હોવા જોઈએ).

નિષ્કર્ષ: આકાર વૈકલ્પિક છે.

માટે વોર્મ-અપ ઉદાહરણો સ્વતંત્ર નિર્ણય:

ઉદાહરણ 4

સંશોધન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોનિશાનીની નિશ્ચિતતા માટે

અ)

આ ઉદાહરણોમાં બધું સરળ છે (પાઠનો અંત જુઓ), પરંતુ હકીકતમાં, આવા કાર્યને પૂર્ણ કરવા માટે સિલ્વેસ્ટરનો માપદંડ પૂરતો ન હોઈ શકે.

મુદ્દો એ છે કે ત્યાં "એજ" કેસો છે, એટલે કે: જો કોઈ હોય તો બિન-શૂન્યવેક્ટર, પછી આકાર નક્કી થાય છે બિન-નકારાત્મક, જો - પછી નકારાત્મક. આ સ્વરૂપો છે બિન-શૂન્યવેક્ટર્સ જેના માટે

અહીં તમે નીચેના "એકોર્ડિયન" ને ટાંકી શકો છો:

હાઇલાઇટિંગ સંપૂર્ણ ચોરસ, અમે તરત જ જોઈએ છીએ બિન-નકારાત્મકતાફોર્મ: , અને તે સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે કોઈપણ વેક્ટર માટે શૂન્ય બરાબર છે, ઉદાહરણ તરીકે: .

"મિરર" ઉદાહરણ નકારાત્મક ચોક્કસ સ્વરૂપ:

અને એક વધુ તુચ્છ ઉદાહરણ:
– અહીં ફોર્મ કોઈપણ વેક્ટર માટે શૂન્ય બરાબર છે, જ્યાં એક મનસ્વી સંખ્યા છે.

બિન-નકારાત્મક અથવા બિન-સકારાત્મક સ્વરૂપોને કેવી રીતે ઓળખવા?

આ માટે આપણને ખ્યાલની જરૂર છે મુખ્ય સગીરો મેટ્રિસિસ મેજર માઇનોર એ તત્વોથી બનેલું માઇનોર છે જે સમાન સંખ્યાઓ સાથે પંક્તિઓ અને કૉલમના આંતરછેદ પર ઊભા છે. આમ, મેટ્રિક્સમાં 1લા ક્રમના બે મુખ્ય સગીર છે:
(તત્વ 1લી પંક્તિ અને 1લી કૉલમના આંતરછેદ પર છે);
(તત્વ 2જી પંક્તિ અને 2જી કૉલમના આંતરછેદ પર છે),

અને 2જી ક્રમમાં એક મુખ્ય સગીર:
- 1લી, 2જી પંક્તિ અને 1લી, 2જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું.

મેટ્રિક્સ "ત્રણ બાય ત્રણ" છે ત્યાં સાત મુખ્ય સગીર છે, અને અહીં તમારે તમારા દ્વિશિરને ફ્લેક્સ કરવું પડશે:
- 1લા ઓર્ડરના ત્રણ સગીર,
ત્રણ બીજા ક્રમના સગીર:
- 1લી, 2જી પંક્તિ અને 1લી, 2જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું;
- 1લી, 3જી પંક્તિ અને 1લી, 3જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું;
- 2જી, 3જી પંક્તિ અને 2જી, 3જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું,
અને એક ત્રીજો ક્રમ નાનો:
- 1લી, 2જી, 3જી પંક્તિ અને 1લી, 2જી અને 3જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું.
વ્યાયામસમજવા માટે: મેટ્રિક્સના તમામ મુખ્ય સગીરો લખો .
અમે પાઠના અંતે તપાસ કરીએ છીએ અને ચાલુ રાખીએ છીએ.

શ્વાર્ઝેનેગર માપદંડ:

1) બિન-શૂન્ય* ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યાખ્યાયિત બિન-નકારાત્મકજો અને માત્ર જો તેના તમામ મુખ્ય સગીરો બિન-નકારાત્મક(શૂન્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર).

* શૂન્ય (ડિજનરેટ) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં શૂન્ય સમાન તમામ ગુણાંક હોય છે.

2) મેટ્રિક્સ સાથે બિન-શૂન્ય ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે નકારાત્મકજો અને માત્ર જો:
- 1લી ઓર્ડરના મુખ્ય સગીરો બિન-હકારાત્મક(શૂન્ય કરતાં ઓછું અથવા બરાબર);
- 2જી ક્રમના મુખ્ય સગીરો બિન-નકારાત્મક;
- 3જી ક્રમના મુખ્ય સગીરો બિન-હકારાત્મક(પરિવર્તન શરૂ થયું);
…
- ક્રમના મુખ્ય નાના બિન-હકારાત્મક, જો - વિચિત્ર અથવા બિન-નકારાત્મક, જો - પણ.

જો ઓછામાં ઓછું એક સગીર વિરુદ્ધ ચિહ્નનું હોય, તો ફોર્મ સાઇન-વૈકલ્પિક છે.

ચાલો જોઈએ કે ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં માપદંડ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે:

ચાલો આકાર મેટ્રિક્સ બનાવીએ, અને સૌ પ્રથમચાલો કોણીય સગીરોની ગણતરી કરીએ - જો તે હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો શું?

પ્રાપ્ત મૂલ્યો સિલ્વેસ્ટર માપદંડને સંતોષતા નથી, પરંતુ બીજા નાના નકારાત્મક નથી, અને આ 2જી માપદંડને તપાસવાનું જરૂરી બનાવે છે (2જી માપદંડના કિસ્સામાં આપોઆપ પરિપૂર્ણ થશે નહીં, એટલે કે ફોર્મના ચિહ્ન પરિવર્તન વિશે તરત જ નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે).

1લા ઓર્ડરના મુખ્ય સગીર:
- હકારાત્મક,
2જી ક્રમની મુખ્ય નાની:
- નકારાત્મક નથી.

આમ, તમામ મુખ્ય સગીર નકારાત્મક નથી, જેનો અર્થ થાય છે ફોર્મ બિન-નકારાત્મક.

ચાલો આકાર મેટ્રિક્સ લખીએ , જેના માટે સિલ્વેસ્ટર માપદંડ દેખીતી રીતે સંતુષ્ટ નથી. પરંતુ અમને વિરોધી ચિહ્નો પણ મળ્યા નથી (કારણ કે બંને કોણીય સગીર શૂન્ય સમાન છે). તેથી, અમે બિન-નકારાત્મકતા/બિન-સકારાત્મકતા માપદંડની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ છીએ. 1લા ઓર્ડરના મુખ્ય સગીર:
- હકારાત્મક નથી,
2જી ક્રમની મુખ્ય નાની:
- નકારાત્મક નથી.

આમ, શ્વાર્ઝેનેગરના માપદંડ (બિંદુ 2) મુજબ, ફોર્મ બિન-સકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

હવે ચાલો વધુ રસપ્રદ સમસ્યા પર નજીકથી નજર કરીએ:

ઉદાહરણ 5

સંકેતની નિશ્ચિતતા માટે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પરીક્ષણ કરો

આ ફોર્મઓર્ડર "આલ્ફા" ને શણગારે છે, જે કોઈપણની સમાન હોઈ શકે છે વાસ્તવિક સંખ્યા. પરંતુ તે ફક્ત વધુ મનોરંજક હશે અમે નક્કી કરીએ છીએ.

પ્રથમ, ચાલો ફોર્મ મેટ્રિક્સ લખીએ; મુખ્ય કર્ણઅમે ચોરસ માટે ગુણાંક મૂકીએ છીએ, અને સપ્રમાણ સ્થળોએ અમે અનુરૂપ "મિશ્ર" ઉત્પાદનોના અડધા ગુણાંક મૂકીએ છીએ:

ચાલો કોણીય સગીરોની ગણતરી કરીએ:

હું 3જી લાઇન પર ત્રીજા નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરીશ:

વ્યાખ્યા.એક સાથે શૂન્ય ન હોય તેવા ચલોના વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે તેના તમામ મૂલ્યો ધન હોય તો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને સકારાત્મક નિશ્ચિત કહેવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક ચોક્કસ છે.

વ્યાખ્યા.ચલોના બિન-શૂન્ય મૂલ્યો માટે બિન-શૂન્ય મૂલ્યના અપવાદ સાથે, જો તેના તમામ મૂલ્યો નકારાત્મક હોય તો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને નકારાત્મક ચોક્કસ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને હકારાત્મક (નકારાત્મક) અર્ધનિશ્ચિત કહેવામાં આવે છે જો તે નકારાત્મક (હકારાત્મક) મૂલ્યો ન લે.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો જે હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લે છે તેને અનિશ્ચિત કહેવામાં આવે છે.

મુ n=1 ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કાં તો સકારાત્મક નિશ્ચિત (એટ) અથવા નકારાત્મક ચોક્કસ (એટ) છે. અનિશ્ચિત સ્વરૂપોપર દેખાય છે.

પ્રમેય(ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની હકારાત્મક નિશ્ચિતતા માટે સિલ્વેસ્ટર પરીક્ષણ). ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ માટે ક્રમમાં

હકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી, તે જરૂરી છે અને નીચેની શરતોને પરિપૂર્ણ કરવા માટે પૂરતું છે:

.

પુરાવો. અમે માં સમાવિષ્ટ ચલોની સંખ્યા પર ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. એક ચલ પર આધાર રાખીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ માટે, અને પ્રમેયનું નિવેદન સ્પષ્ટ છે. ચાલો ધારીએ કે પ્રમેય તેના આધારે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ માટે સાચું છે n-1 ચલો.

1. આવશ્યકતાનો પુરાવો. દો

હકારાત્મક નિશ્ચિત. પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ

હકારાત્મક ચોક્કસ હશે, કારણ કે જો , પછી પર.

ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા, ફોર્મના તમામ મુખ્ય સગીર હકારાત્મક છે, એટલે કે.

.

તે સાબિત કરવાનું બાકી છે.

બિન-ડીજનરેટ રેખીય રૂપાંતરણ દ્વારા હકારાત્મક નિશ્ચિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ X=BYપ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કર્ણ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ છે

નિર્ધારક સાથે.

બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખીય પરિવર્તન IN, મેટ્રિક્સને પરિવર્તિત કરે છે સાથેમેટ્રિક્સમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ. પરંતુ ત્યારથી તે .

2. પર્યાપ્તતાનો પુરાવો. ધારો કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના તમામ અગ્રણી સગીર હકારાત્મક છે: .

ચાલો સાબિત કરીએ કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે. ઇન્ડક્શન ધારણા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની હકારાત્મક નિશ્ચિતતા સૂચવે છે . તેથી જ બિન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તન દ્વારા સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડો થાય છે. ચલોમાં યોગ્ય ફેરફાર કરીને અને મૂકવાથી, આપણને મળે છે

જ્યાં - કેટલાક નવા ગુણાંક.

ચલોમાં ફેરફાર કરીને, આપણને મળે છે

.

આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બરાબર છે, અને તેનું ચિહ્ન , પછી , અને તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ચિહ્ન સાથે એકરુપ છે - હકારાત્મક ચોક્કસ. પ્રમેય સાબિત થાય છે.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત હોવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે

હકારાત્મક ચોક્કસ હતો, જેનો અર્થ છે કે મેટ્રિક્સના તમામ મુખ્ય સગીર

હકારાત્મક હતા. પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે

તે કે મેટ્રિક્સના મુખ્ય સગીરોના ચિહ્નો સીવૈકલ્પિક, બાદબાકી ચિહ્નથી શરૂ થાય છે.

ઉદાહરણ. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિત છે કે અનિશ્ચિત છે તેની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સમાં આ સ્વરૂપ છે:

.

ચાલો મેટ્રિક્સના મુખ્ય સગીરોની ગણતરી કરીએ સાથે:

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે.

ઉકેલ. ચાલો મેટ્રિક્સના મુખ્ય સગીરોની ગણતરી કરીએ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનિશ્ચિત છે.

નિષ્કર્ષમાં, અમે નીચેનું પ્રમેય ઘડીએ છીએ.

પ્રમેય(ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની જડતાનો કાયદો). ધનની સંખ્યા અને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઋણ ચોરસની સંખ્યા, જેમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ ઘટાડીને બિન-અધોગતિમાં આવે છે. રેખીય પરિવર્તનો, આ પરિવર્તનોની પસંદગી પર આધાર રાખતું નથી.

7.5. માટે કાર્યો સ્વતંત્ર કાર્યપ્રકરણ 7 પર

7.1. સાબિત કરો કે જો મેટ્રિક્સ સાથેનું ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હોય એસકારાત્મક નિશ્ચિત છે, પછી સાથે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સહકારાત્મક નિશ્ચિત.

7.2. શોધો સામાન્ય દેખાવવિસ્તારમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

7.3. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ડોમેનમાં સામાન્ય સ્વરૂપ શોધો

વ્યાખ્યા: ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ, રેખીય જગ્યા પર સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપને અનુરૂપ વી , એક વેક્ટર દલીલનું કાર્ય કહેવાય છે .

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ આપવા દો અને તેને અનુરૂપ સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ આપો. પછી

જ્યાંથી તે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને અનુસરે છે, અનુરૂપ સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ પણ અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, રેખીય જગ્યા પર સપ્રમાણ દ્વિરેખીય અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો વચ્ચે વી એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે, તેથી સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોનો અભ્યાસ કરી શકાય છે.

ચાલો વિચાર કરીએ n-પરિમાણીય રેખીય જગ્યા. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ રેખીય અવકાશના આપેલ આધારે તેને અનુરૂપ મેટ્રિક્સને સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે દ્વિરેખીય સ્વરૂપએ જ આધાર પર. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ હંમેશા સપ્રમાણ હોય છે.

ચાલો જગ્યાના અમુક આધાર પર ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ દર્શાવીએ. જો, હંમેશની જેમ, અમે નિયુક્ત કરીએ છીએ એક્સસમાન ધોરણે વેક્ટરના કૉલમનું સંકલન કરો, પછી સમાનતા 5.5 થી આપણે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ લખવાનું મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ:

.

પ્રમેય 5.4.રેખીય અવકાશમાં બે પાયા આપવા દો

(5.10)

, (5.11)

અને અનુક્રમે પાયા (5.10) અને (5.11) માં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિસિસ હોવા દો. પછી ક્યાં ટી- (5.10) થી (5.11) માં સંક્રમણ મેટ્રિક્સ.

સાબિતી પ્રમેય 5.2 અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.

સંક્રમણ મેટ્રિક્સ એ હકીકતને કારણે ટીબિન-ડિજનરેટ છે, પછી જ્યારે નવા આધાર પર પસાર થાય છે ત્યારે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સનો ક્રમ બદલાતો નથી. તેથી, અમે નીચેની વ્યાખ્યા ઘડી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા. રેન્ક રેખીય અવકાશ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું અમુકમાં તેના મેટ્રિક્સનું ક્રમ છે, અને તેથી કોઈપણમાં, અવકાશના આધારે (દ્વારા સૂચિત).

હવે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને સંકલન સ્વરૂપમાં લખીએ. આ કરવા માટે, અમે વેક્ટરને આધારમાં વિસ્તૃત કરીએ છીએ (5.10): . જો સમાન ધોરણે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ હોય, તો સમાનતા (5.4) અનુસાર આપણી પાસે છે

– (5.12)

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું સંકલન સંકેત. ચાલો (5.12) માટે વિગતવાર લખીએ n= 3, આપેલ છે

તેથી, જો આધાર આપવામાં આવે, તો સંકલન સંકેતમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બીજા ડિગ્રીના એકરૂપ બહુપદી જેવું લાગે છે. nચલ - આપેલ ધોરણે વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ. આ બહુપદી કહેવાય છે દૃશ્ય આપેલ ધોરણે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ. પરંતુ એપ્લીકેશનમાં, આવા બહુપદીઓ ઘણીવાર સ્વતંત્ર રીતે ઉદ્ભવે છે, તેની સાથે કોઈ દૃશ્યમાન જોડાણ વિના રેખીય જગ્યાઓ(ઉદાહરણ તરીકે, વિધેયોનો બીજો તફાવત), તેથી આપણે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની બીજી વ્યાખ્યા ઘડીશું.

વ્યાખ્યા. થી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ nચલો આ ચલોમાં બીજી ડિગ્રીની સજાતીય બહુપદી કહેવાય છે, એટલે કે, ફોર્મનું કાર્ય (5.12). ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ (5.12) એ સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ છે.

ઉદાહરણચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સનું સંકલન. દો

(5.12) અને (5.13) થી તે સ્પષ્ટ છે કે ગુણાંક સાથે એકરુપ છે, એટલે કે. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સના કર્ણ તત્વો એ ચોરસના ગુણાંક છે. તે જ રીતે, આપણે તે જોઈએ છીએ - ઉત્પાદનનો અડધો ગુણાંક. આમ, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (5.14) નું મેટ્રિક્સ આના જેવું દેખાય છે:

.

ચાલો હવે ફરીથી અવકાશમાં બે પાયા (5.10) અને (5.11) પસંદ કરીએ અને હંમેશની જેમ, સૂચવીએ, અનુક્રમે પાયા (5.10) અને (5.11) માં વેક્ટરના સંકલન સ્તંભો છે. જ્યારે બેસિસ (5.10) થી બેઝિસ (5.11) તરફ જતી વખતે, વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ કાયદા અનુસાર બદલાય છે:

(5.10) થી (5.11) સુધીનું સંક્રમણ મેટ્રિક્સ ક્યાં છે. નોંધ કરો કે મેટ્રિક્સ બિન-ડિજનરેટ છે. ચાલો સમાનતા (5.15) માં લખીએ સંકલન સ્વરૂપ:

અથવા વિગતવાર:

(5.17)

સમાનતા (5.17) (અથવા (5.16) નો ઉપયોગ કરીને, જે સમાન વસ્તુ છે), આપણે ચલમાંથી ચલોમાં જઈએ છીએ.

વ્યાખ્યા. ચલોનું રેખીય બિન-ડિજનરેટ પરિવર્તન ચલોનું પરિવર્તન કહેવાય છે, સિસ્ટમ દ્વારા સુયોજિતસમાનતા (5.16) અથવા (5.17), અથવા એક મેટ્રિક્સ સમાનતા (5.15), જો કે તે બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ હોય. મેટ્રિક્સ ટીચલોના આ પરિવર્તનનું મેટ્રિક્સ કહેવાય છે.

જો ચલોને બદલે (5.12) માં આપણે સૂત્રો (5.17) અનુસાર ચલો દ્વારા તેમની અભિવ્યક્તિને બદલીએ, તો કૌંસ ખોલો અને સમાન લાવીએ, તો પછી આપણે બીજી ડિગ્રીની બીજી સજાતીય બહુપદી મેળવીએ છીએ:

.

આ કિસ્સામાં, ચલો (5.17) નું રેખીય નોનડિજનરેટ રૂપાંતર ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત કરવા માટે કહેવાય છે. ચલોના મૂલ્યો અને, સંબંધ દ્વારા સંબંધિત(5.15) (અથવા સંબંધો (5.16) અથવા (5.17)), અમે કૉલ કરીશું સંબંધિત ચલોના આપેલ રેખીય બિન-ડિજનરેટ પરિવર્તન માટે.

વ્યાખ્યા.ચલોનો સમૂહ કહેવામાં આવે છે બિન-તુચ્છ , જો ઓછામાં ઓછા એક ચલોનું મૂલ્ય શૂન્યથી અલગ હોય. અન્યથા ચલોનો સમૂહ કહેવામાં આવે છે તુચ્છ .

લેમ્મા 5.2.ચલોના રેખીય બિન-ડિજનરેટ રૂપાંતરણ સાથે, ચલોનો તુચ્છ સમૂહ તુચ્છ સમૂહને અનુરૂપ છે.

સમાનતા (5.15) થી, તે દેખીતી રીતે અનુસરે છે: જો , પછી . બીજી બાજુ, મેટ્રિક્સની બિન-અધોગતિનો ઉપયોગ કરીને ટી, ફરીથી (5.15) માંથી આપણે મેળવીએ છીએ, જેમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે માટે પણ .◄

પરિણામ.ચલોના રેખીય બિન-ડિજનરેટ રૂપાંતરણ સાથે, ચલોનો બિન-તુચ્છ સમૂહ બિન-તુચ્છ સમૂહને અનુરૂપ છે.

પ્રમેય 5.5.જો રેખીય બિન-ડિજનરેટ રૂપાંતર (5.15) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ લે છે મેટ્રિક્સ સાથે એચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં મેટ્રિક્સ સાથે એ", પછી (પ્રમેય 5.4 ની બીજી રચના).

પરિણામ.ચલોના રેખીય બિન-ડિજનરેટ રૂપાંતરણ સાથે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક ચિહ્ન બદલાતો નથી.

ટિપ્પણી.સંક્રમણ મેટ્રિક્સ અને મેટ્રિક્સથી વિપરીત રેખીય ઓપરેટર, ચલોના રેખીય બિન-ડિજનરેટ ટ્રાન્સફોર્મેશનનું મેટ્રિક્સ કૉલમ દ્વારા નહીં, પરંતુ પંક્તિઓ દ્વારા લખવામાં આવે છે.

ચલોના બે રેખીય નોનડિજનરેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન આપવા દો:

ચાલો તેમને અનુક્રમે લાગુ કરીએ:

ચલોના રેખીય બિન-ડિજનરેટ પરિવર્તનની રચના(5.18) અને (5.19) ને તેમની અનુક્રમિક એપ્લિકેશન કહેવામાં આવે છે, એટલે કે (5.20) થી ચલોનું રૂપાંતર એ સ્પષ્ટ છે કે ચલોના બે રેખીય બિન-અધોગતિ પરિવર્તનની રચના પણ ચલોનું એક રેખીય બિન-અધોગતિ રૂપાંતરણ છે.

વ્યાખ્યા.ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો કહેવાય છે સમકક્ષ , જો ત્યાં ચલોનું રેખીય બિન-ડિજનરેટ રૂપાંતર છે જે તેમાંથી એકને બીજામાં લઈ જાય છે.

ચતુર્ભુજ આકાર n ચલોનો f(x 1, x 2,...,x n) એ એક સરવાળો છે, જેમાંથી દરેક પદ કાં તો ચલોમાંના એકનો વર્ગ છે, અથવા ચોક્કસ ગુણાંક સાથે લેવાયેલ બે અલગ-અલગ ચલોનું ઉત્પાદન છે: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

આ ગુણાંકોથી બનેલા મેટ્રિક્સ A ને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. તે હંમેશા છે સપ્રમાણમેટ્રિક્સ (એટલે ​​​​કે મુખ્ય કર્ણ વિશે મેટ્રિક્સ સપ્રમાણતા, a ij =a ji).

મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(X) = X T AX છે, જ્યાં

ખરેખર

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ લખીએ.

આ કરવા માટે, આપણે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ શોધીએ છીએ. તેના ત્રાંસા તત્વો ચોરસ ચલોના ગુણાંક સમાન છે અને બાકીના તત્વો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના અનુરૂપ ગુણાંકના અર્ધભાગ સમાન છે. તેથી જ

ચલ X ના મેટ્રિક્સ-કૉલમને મેટ્રિક્સ-કૉલમ Y ના બિન-ડિજનરેટ રેખીય રૂપાંતર દ્વારા મેળવવા દો, એટલે કે. X = CY, જ્યાં C એ nમા ક્રમનું બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે. પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

આમ, બિન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તન C સાથે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ આ સ્વરૂપ લે છે: A * =C T AC.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો રેખીય રૂપાંતર દ્વારા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 માંથી મેળવેલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(y 1, y 2) શોધીએ.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કહેવાય છે પ્રમાણભૂત(છે પ્રામાણિક દૃશ્ય), જો i≠j માટે તેના તમામ ગુણાંક ij = 0 હોય, એટલે કે f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

તેનું મેટ્રિક્સ કર્ણ છે.

પ્રમેય(સાબિતી અહીં આપવામાં આવી નથી). નોન-ડિજનરેટ રેખીય રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ પસંદ કરીએ છીએ સંપૂર્ણ ચોરસચલ x 1 સાથે:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

હવે આપણે x 2 ચલ સાથે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

પછી બિન-ડિજનરેટ રેખીય રૂપાંતરણ y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 અને y 3 = x 3 આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવે છે(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

નોંધ કરો કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ અસ્પષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે (સમાન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. અલગ અલગ રીતે 1). જો કે, વિવિધ પદ્ધતિઓ દ્વારા મેળવેલ કેનોનિકલ સ્વરૂપોમાં સંખ્યાબંધ સામાન્ય ગુણધર્મો છે. ખાસ કરીને, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના સકારાત્મક (નકારાત્મક) ગુણાંક સાથેના શબ્દોની સંખ્યા આ ફોર્મમાં ફોર્મ ઘટાડવાની પદ્ધતિ પર આધારિત નથી (ઉદાહરણ તરીકે, ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણમાં હંમેશા બે નકારાત્મક અને એક હકારાત્મક ગુણાંક હશે). આ મિલકત કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની જડતાનો કાયદો.

ચાલો સમાન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં અલગ રીતે લાવીને આને ચકાસીએ. ચાલો ચલ x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + સાથે રૂપાંતરણ શરૂ કરીએ. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , જ્યાં y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 અને y 3 = x 1 . અહીં y 3 માટે 2 નો સકારાત્મક ગુણાંક અને y 1 અને y 2 માટે બે નકારાત્મક ગુણાંક (-3) છે (અને બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમને y 1 માટે 2 અને બે નકારાત્મક ગુણાંક - (-5) માટે ધન ગુણાંક મળ્યો છે. y 2 માટે અને (-1/20) y 3 માટે).

તે પણ નોંધવું જોઈએ કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સની રેન્ક, કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ક્રમ, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બિનશૂન્ય ગુણાંકની સંખ્યા જેટલી છે અને રેખીય પરિવર્તન હેઠળ બદલાતી નથી.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(X) કહેવાય છે હકારાત્મક રીતે(નકારાત્મક)ચોક્કસ, જો એકસાથે શૂન્ય ન હોય તેવા ચલોના તમામ મૂલ્યો માટે, તે હકારાત્મક છે, એટલે કે f(X) > 0 (નકારાત્મક, એટલે કે f(X)< 0).

ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 હકારાત્મક નિશ્ચિત છે, કારણ કે ચોરસનો સરવાળો છે, અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 નકારાત્મક નિશ્ચિત છે, કારણ કે રજૂ કરે છે તે ફોર્મ 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 માં રજૂ કરી શકાય છે.

મોટાભાગની વ્યવહારિક પરિસ્થિતિઓમાં, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની ચોક્કસ નિશાની સ્થાપિત કરવી કંઈક વધુ મુશ્કેલ છે, તેથી આ માટે આપણે નીચેનામાંથી એક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (અમે તેને પુરાવા વિના ઘડીશું).

પ્રમેય. એક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિત છે જો અને માત્ર જો બધા eigenvaluesતેના મેટ્રિસિસ હકારાત્મક (નકારાત્મક) છે.

પ્રમેય (સિલ્વેસ્ટર માપદંડ). ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સકારાત્મક ચોક્કસ છે જો અને માત્ર જો આ ફોર્મના મેટ્રિક્સના તમામ અગ્રણી સગીર હકારાત્મક હોય.

મુખ્ય (ખૂણો) નાનો An-th ક્રમના k-th ક્રમના મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે, જે મેટ્રિક્સ A () ની પ્રથમ k પંક્તિઓ અને કૉલમથી બનેલું છે.

નોંધ કરો કે નકારાત્મક ચોક્કસ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો માટે મુખ્ય સગીરોના ચિહ્નો વૈકલ્પિક હોય છે, અને પ્રથમ ક્રમના સગીર નકારાત્મક હોવા જોઈએ.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સંકેતની નિશ્ચિતતા માટે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 તપાસીએ.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે.

પદ્ધતિ 2. મેટ્રિક્સ A  1 =a 11 = 2 > 0 ના પ્રથમ ક્રમનો મુખ્ય સગીર ફોર્મ ચોક્કસ હકારાત્મક છે.

અમે સંકેતની નિશ્ચિતતા માટે બીજા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની તપાસ કરીએ છીએ, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

પદ્ધતિ 1. ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ A = નું મેટ્રિક્સ બનાવીએ. લાક્ષણિક સમીકરણજેવો દેખાશે = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત છે.

પદ્ધતિ 2. મેટ્રિક્સ A  1 =a 11 = = -2 ના પ્રથમ ક્રમનો મુખ્ય ગૌણ< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. પરિણામે, સિલ્વેસ્ટરના માપદંડ મુજબ, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત છે (મુખ્ય સગીરોના ચિહ્નો વૈકલ્પિક, બાદબાકીથી શરૂ થાય છે).

અને બીજા ઉદાહરણ તરીકે, અમે ચિહ્ન-નિર્ધારિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 નું પરીક્ષણ કરીએ છીએ.

પદ્ધતિ 1. ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ A = નું મેટ્રિક્સ બનાવીએ. લાક્ષણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ હશે = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . આમાંની એક સંખ્યા નકારાત્મક છે અને બીજી હકારાત્મક છે. ઇજનવેલ્યુઝના ચિહ્નો અલગ છે. પરિણામે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ ન તો નકારાત્મક કે હકારાત્મક હોઈ શકે છે, એટલે કે. આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સંકેત-નિશ્ચિત નથી (તે કોઈપણ ચિહ્નના મૂલ્યો લઈ શકે છે).

પદ્ધતિ 2. મેટ્રિક્સ A ના પ્રથમ ક્રમનો મુખ્ય સગીર  1 =a 11 = 2 > 0. બીજા ક્રમનો મુખ્ય સગીર 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની ગણવામાં આવેલ પદ્ધતિ જ્યારે ચલોના વર્ગો સાથે બિન-શૂન્ય ગુણાંકનો સામનો કરવામાં આવે ત્યારે વાપરવા માટે અનુકૂળ છે. જો તેઓ ત્યાં ન હોય, તો પણ રૂપાંતરણ હાથ ધરવાનું શક્ય છે, પરંતુ તમારે કેટલીક અન્ય તકનીકોનો ઉપયોગ કરવો પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, જ્યાં y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.