ચાલો કુદરતી લઘુગણકને સમજીએ. પરિશિષ્ટ: e નું કુદરતી લઘુગણક

લઘુગણક આપેલ નંબરઘાતાંક કહેવાય છે કે જેના પર બીજી સંખ્યા ઊભી કરવી જોઈએ, કહેવાય છે આધારઆ નંબર મેળવવા માટે લઘુગણક. ઉદાહરણ તરીકે, 100 નો આધાર 10 લઘુગણક 2 છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, 100 (10 2 = 100) મેળવવા માટે 10 નો વર્ગ હોવો જોઈએ. જો n- આપેલ નંબર, b- આધાર અને l- લોગરીધમ, પછી b l = n. નંબર nબેઝ એન્ટિલોગરિધમ પણ કહેવાય છે bસંખ્યાઓ l. ઉદાહરણ તરીકે, 2 થી બેઝ 10 ની એન્ટિલોગરિધમ 100 ની બરાબર છે. આને સંબંધોના લોગના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. b n = lઅને એન્ટિલોગ b l = n.

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો:

કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા, એકતા સિવાય, લઘુગણકના આધાર તરીકે સેવા આપી શકે છે, પરંતુ, કમનસીબે, તે તારણ આપે છે કે જો bઅને nતર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, તો પછી ભાગ્યે જ કિસ્સાઓમાં આવી તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે l, શું b l = n. જો કે, તે નક્કી કરવું શક્ય છે અતાર્કિક સંખ્યા l, ઉદાહરણ તરીકે, જેમ કે 10 l= 2; આ એક અતાર્કિક સંખ્યા છે lકોઈપણ જરૂરી ચોકસાઈ સાથે અંદાજિત કરી શકાય છે તર્કસંગત સંખ્યાઓ. તે ઉપરના ઉદાહરણમાં તારણ આપે છે lલગભગ 0.3010 ની બરાબર છે, અને 2 ના આધાર 10 લઘુગણકનો આ અંદાજ ચાર-અંકના કોષ્ટકોમાં મળી શકે છે દશાંશ લઘુગણક. બેઝ 10 લોગરીધમ્સ (અથવા બેઝ 10 લોગરીધમ્સ) એટલો સામાન્ય રીતે ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે કે તેને કહેવામાં આવે છે સામાન્યલોગરીધમ અને લોગરીધમ આધારના સ્પષ્ટ સંકેતને બાદ કરતાં, log2 = 0.3010 અથવા log2 = 0.3010 તરીકે લખાયેલ છે. આધાર માટે લઘુગણક ઇ, ગુણાતીત સંખ્યા, લગભગ 2.71828 ની બરાબર કહેવાય છે કુદરતીલઘુગણક તેઓ મુખ્યત્વે કામમાં જોવા મળે છે ગાણિતિક વિશ્લેષણઅને તેની અરજીઓ વિવિધ વિજ્ઞાન. પ્રાકૃતિક લઘુગણક પણ આધારને સ્પષ્ટપણે દર્શાવ્યા વિના લખવામાં આવે છે, પરંતુ વિશિષ્ટ સંકેત ln નો ઉપયોગ કરીને: ઉદાહરણ તરીકે, ln2 = 0.6931, કારણ કે ઇ 0,6931 = 2.

સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ.

સંખ્યાનો નિયમિત લઘુગણક એ એક ઘાતાંક છે જેના પર આપેલ સંખ્યા મેળવવા માટે 10 વધારવો આવશ્યક છે. 10 0 = 1, 10 1 = 10 અને 10 2 = 100 હોવાથી, આપણે તરત જ તે log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, વગેરે મેળવીએ છીએ. પૂર્ણાંક શક્તિઓ વધારવા માટે 10. તેવી જ રીતે, 10 –1 = 0.1, 10 –2 = 0.01 અને તેથી log0.1 = –1, log0.01 = –2, વગેરે. બધા પૂર્ણાંકો માટે નકારાત્મક શક્તિઓ 10. બાકીની સંખ્યાઓની સામાન્ય લઘુગણક સંખ્યા 10 ની નજીકની પૂર્ણાંક શક્તિઓના લઘુગણક વચ્ચે સમાયેલ છે; log2 0 અને 1 ની વચ્ચે હોવો જોઈએ, log20 1 અને 2 ની વચ્ચે હોવો જોઈએ, અને log0.2 -1 અને 0 ની વચ્ચે હોવો જોઈએ. આમ, લોગરિધમ બે ભાગો ધરાવે છે, એક પૂર્ણાંક અને દશાંશ, 0 અને 1 વચ્ચે બંધાયેલ છે. પૂર્ણાંક ભાગ કહેવાય છે લાક્ષણિકતાલઘુગણક અને સંખ્યા દ્વારા જ નક્કી થાય છે, અપૂર્ણાંક ભાગકહેવાય છે મન્ટિસાઅને કોષ્ટકોમાંથી શોધી શકાય છે. ઉપરાંત, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 નો લઘુગણક 0.3010 છે, તેથી log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. તેવી જ રીતે, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. બાદબાકી પછી, આપણને log0.2 = – 0.6990 મળે છે. જો કે, લોગ0.2 ને 0.3010 – 1 અથવા 9.3010 – 10 તરીકે રજૂ કરવું વધુ અનુકૂળ છે; ઘડવામાં આવી શકે છે અને સામાન્ય નિયમ: 10 ની ઘાત વડે ગુણાકાર કરીને આપેલ સંખ્યામાંથી મેળવેલી બધી સંખ્યાઓ સમાન મન્ટિસા ધરાવે છે, જે મન્ટિસા સમાન હોય છે આપેલ નંબર. મોટા ભાગના કોષ્ટકો 1 થી 10 ની રેન્જમાં સંખ્યાઓના મન્ટિસા દર્શાવે છે, કારણ કે કોષ્ટકમાં આપેલ સંખ્યાઓમાંથી અન્ય તમામ સંખ્યાઓના મન્ટિસાસ મેળવી શકાય છે.

મોટાભાગના કોષ્ટકોમાં, લઘુગણક ચાર કે પાંચ સાથે આપવામાં આવે છે દશાંશ, જો કે ત્યાં સાત-અંકના કોષ્ટકો અને કોષ્ટકો પણ મોટી સંખ્યામાં અક્ષરો સાથે છે. આવા કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખવાની સૌથી સરળ રીત ઉદાહરણો સાથે છે. લોગ 3.59 શોધવા માટે, સૌ પ્રથમ, અમે નોંધીએ છીએ કે 3.59 નંબર 10 0 અને 10 1 ની વચ્ચે સમાયેલ છે, તેથી તેની લાક્ષણિકતા 0 છે. અમને કોષ્ટકમાં 35 નંબર (ડાબી બાજુએ) મળે છે અને પંક્તિ સાથે આગળ વધીએ છીએ કૉલમ કે જેની ટોચ પર 9 નંબર છે; આ કૉલમ અને પંક્તિ 35 નું આંતરછેદ 5551 છે, તેથી log3.59 = 0.5551. ચાર સાથેની સંખ્યાની મન્ટિસા શોધવા માટે નોંધપાત્ર આંકડા, પ્રક્ષેપનો આશરો લેવો જરૂરી છે. કેટલાક કોષ્ટકોમાં, કોષ્ટકોના દરેક પૃષ્ઠની જમણી બાજુએ છેલ્લી નવ કૉલમમાં આપેલા પ્રમાણ દ્વારા પ્રક્ષેપને સરળ બનાવવામાં આવે છે. ચાલો હવે log736.4 શોધીએ; 736.4 નંબર 10 2 અને 10 3 ની વચ્ચે આવેલો છે, તેથી તેના લઘુગણકની લાક્ષણિકતા 2 છે. કોષ્ટકમાં આપણે ડાબી બાજુએ એક પંક્તિ શોધીએ છીએ જેમાં 73 છે અને કૉલમ 6 છે. આ પંક્તિ અને આ કૉલમના આંતરછેદ પર છે. નંબર 8669. રેખીય ભાગોમાં આપણે સ્તંભ 4 શોધીએ છીએ પંક્તિ 73 અને કૉલમ 4 ના આંતરછેદ પર નંબર 2 છે. 2 માં 8669 ઉમેરીને, આપણને મન્ટિસા મળે છે - તે 8671 ની બરાબર છે. આમ, log736.4. = 2.8671.

કુદરતી લઘુગણક.

કુદરતી લઘુગણકના કોષ્ટકો અને ગુણધર્મો સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકો અને ગુણધર્મો જેવા જ છે. બંને વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો પૂર્ણાંક ભાગ સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે મહત્વપૂર્ણ નથી. દશાંશ બિંદુ, અને તેથી મન્ટિસા અને લાક્ષણિકતા વચ્ચેનો તફાવત ખાસ ભૂમિકા ભજવતો નથી. સંખ્યા 5.432 ના કુદરતી લઘુગણક; 54.32 અને 543.2 અનુક્રમે 1.6923 ની બરાબર છે; 3.9949 અને 6.2975. જો આપણે તેમની વચ્ચેના તફાવતોને ધ્યાનમાં લઈએ તો આ લઘુગણક વચ્ચેનો સંબંધ સ્પષ્ટ થઈ જશે: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; છેલ્લો નંબર 10 નંબરના પ્રાકૃતિક લઘુગણક કરતાં વધુ કંઈ નથી (આના જેવું લખાયેલું છે: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; છેલ્લો નંબર 2ln10 છે. પરંતુ 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432. આમ, આપેલ સંખ્યાના કુદરતી લઘુગણક દ્વારા aતમે સંખ્યાઓના કુદરતી લઘુગણક શોધી શકો છો, ઉત્પાદનો સમાનસંખ્યાઓ aકોઈપણ ડિગ્રી માટે nસંખ્યા 10 જો ln a ln10 વડે ગુણાકાર ઉમેરો n, એટલે કે ln( aґ10n) = લોગ a + n ln10 = ln a + 2,3026n. ઉદાહરણ તરીકે, ln0.005432 = ln(5.432ґ10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3ґ2.3026) = – 5.2155. તેથી, પ્રાકૃતિક લઘુગણકના કોષ્ટકો, સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકોની જેમ, સામાન્ય રીતે 1 થી 10 સુધીની સંખ્યાઓના માત્ર લઘુગણક ધરાવે છે. કુદરતી લઘુગણકની સિસ્ટમમાં, વ્યક્તિ એન્ટિલોગરિધમ્સ વિશે વાત કરી શકે છે, પરંતુ વધુ વખત તેઓ ઘાતાંકીય કાર્ય અથવા ઘાતાંક વિશે વાત કરે છે. જો x= લોગ y, તે y = e x, અને yના ઘાત કહેવાય છે x(ટાઇપોગ્રાફિક સગવડ માટે, તેઓ વારંવાર લખે છે y= સમાપ્તિ x). ઘાતાંક સંખ્યાના એન્ટિલોગરિધમની ભૂમિકા ભજવે છે x.

દશાંશ અને કુદરતી લઘુગણકના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, તમે 10 સિવાયના કોઈપણ આધારમાં લઘુગણકના કોષ્ટકો બનાવી શકો છો અને ઇ. જો લોગ b એ = x, તે b x = a, અને તેથી લોગ c b x=લોગ c એઅથવા xલોગ c b=લોગ c એ, અથવા x=લોગ c એ/લોગ c b=લોગ b એ. તેથી, બેઝ લોગરીધમ કોષ્ટકમાંથી આ વ્યુત્ક્રમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને cતમે અન્ય કોઈપણ આધારમાં લઘુગણકના કોષ્ટકો બનાવી શકો છો b. ગુણક 1/લોગ c bકહેવાય છે સંક્રમણ મોડ્યુલઆધાર પરથી cઆધાર માટે b. કંઈપણ અટકાવતું નથી, ઉદાહરણ તરીકે, વ્યુત્ક્રમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અથવા લઘુગણકની એક સિસ્ટમમાંથી બીજી સિસ્ટમમાં સંક્રમણ, સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકમાંથી કુદરતી લઘુગણક શોધવા અથવા વિપરીત સંક્રમણ કરવામાં. ઉદાહરણ તરીકે, log105.432 = log ઇ 5.432/લોગ ઇ 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923ґ0.4343 = 0.7350. સંખ્યા 0.4343, જેના દ્વારા સામાન્ય લઘુગણક મેળવવા માટે આપેલ સંખ્યાના કુદરતી લઘુગણકને ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, તે સામાન્ય લઘુગણકની સિસ્ટમમાં સંક્રમણનું મોડ્યુલસ છે.

ખાસ કોષ્ટકો.

લોગરીધમ્સની મૂળ શોધ કરવામાં આવી હતી જેથી, તેમના ગુણધર્મો લોગનો ઉપયોગ કરીને ab=લોગ a+ લોગ bઅને લોગ a/b=લોગ a- લોગ b, ઉત્પાદનોને સરવાળો અને ભાગને તફાવતમાં ફેરવો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો લોગ aઅને લોગ bઓળખાય છે, પછી સરવાળા અને બાદબાકીનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઉત્પાદન અને ભાગનો લઘુગણક સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ. ખગોળશાસ્ત્રમાં, જો કે, તે ઘણી વાર છે આપેલ મૂલ્યોલોગ aઅને લોગ bલોગ શોધવાની જરૂર છે( a + b) અથવા લોગ( a – b). અલબત્ત, સૌ પ્રથમ લોગરીધમના કોષ્ટકોમાંથી શોધી શકાય છે aઅને b, પછી સૂચવેલ સરવાળો અથવા બાદબાકી કરો અને, ફરીથી કોષ્ટકો તરફ વળો, જરૂરી લઘુગણક શોધો, પરંતુ આવી પ્રક્રિયા માટે ત્રણ વખત કોષ્ટકોનો સંદર્ભ લેવાની જરૂર પડશે. ઝેડ. લિયોનેલીએ 1802 માં કહેવાતા કોષ્ટકો પ્રકાશિત કર્યા. ગૌસિયન લઘુગણક- સરવાળો અને તફાવતો ઉમેરવા માટે લઘુગણક - જેણે પોતાને કોષ્ટકોની એક ઍક્સેસ સુધી મર્યાદિત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું.

1624 માં, I. કેપ્લરે કોષ્ટકોની દરખાસ્ત કરી પ્રમાણસર લઘુગણક, એટલે કે સંખ્યાઓના લઘુગણક a/x, ક્યાં a- કેટલાક હકારાત્મક સતત. આ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ખગોળશાસ્ત્રીઓ અને નેવિગેટર્સ દ્વારા કરવામાં આવે છે.

પર પ્રમાણસર લઘુગણક a= 1 કહેવાય છે લઘુગણક દ્વારાઅને તેનો ઉપયોગ ગણતરીમાં થાય છે જ્યારે કોઈને ઉત્પાદનો અને ક્વોશન્ટ્સ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે. સંખ્યાનું કોલોગરિધમ n લઘુગણક સમાન પારસ્પરિક સંખ્યા; તે કોલોગ n= લોગ1/ n= – લોગ n. જો log2 = 0.3010 હોય, તો colog2 = – 0.3010 = 0.6990 – 1. કોલોગરિધમનો ઉપયોગ કરવાનો ફાયદો એ છે કે જ્યારે સમીકરણોના લઘુગણકની કિંમતની ગણતરી કરવામાં આવે છે જેમ કે pq/આરધન દશાંશ લૉગનો ત્રણ ગણો સરવાળો પી+ લોગ q+કોલોગ આરમિશ્ર સરવાળો અને તફાવત લોગ કરતાં શોધવાનું સરળ છે પી+ લોગ q- લોગ આર.

વાર્તા.

લઘુગણકની કોઈપણ પ્રણાલી અંતર્ગત સિદ્ધાંત ઘણા લાંબા સમયથી જાણીતો છે અને તે પ્રાચીન બેબીલોનીયન ગણિત (લગભગ 2000 બીસી)માં શોધી શકાય છે. તે દિવસોમાં, વચ્ચે પ્રક્ષેપ કોષ્ટક મૂલ્યોસમગ્ર હકારાત્મક ડિગ્રીપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ ગણતરી કરવા માટે થતો હતો ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ. ઘણા સમય પછી, આર્કિમિડીઝ (287-212 બીસી) એ શોધવા માટે 10 8 ની શક્તિઓનો ઉપયોગ કર્યો ઉપલી મર્યાદાતત્કાલીન જાણીતા બ્રહ્માંડને સંપૂર્ણપણે ભરવા માટે જરૂરી રેતીના દાણાઓની સંખ્યા. આર્કિમીડીસે ઘાતાંકની મિલકત તરફ ધ્યાન દોર્યું જે લઘુગણકની અસરકારકતા ધરાવે છે: શક્તિઓનું ઉત્પાદન ઘાતાંકના સરવાળાને અનુરૂપ છે. મધ્ય યુગના અંતમાં અને આધુનિક યુગની શરૂઆતમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ વધુને વધુ ભૌમિતિક અને અંકગણિત પ્રગતિ વચ્ચેના સંબંધ તરફ વળવા લાગ્યા. એમ. સ્ટીફેલ તેમના નિબંધમાં પૂર્ણાંક અંકગણિત(1544) નંબર 2 ની હકારાત્મક અને નકારાત્મક શક્તિઓનું કોષ્ટક આપ્યું:

સ્ટીફેલે નોંધ્યું કે પ્રથમ પંક્તિ (ઘાતાક પંક્તિ) ની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો નીચેની પંક્તિ (ઘાતાક પંક્તિ) ની બે અનુરૂપ સંખ્યાઓના ગુણાંકને અનુરૂપ બેના ઘાતાંક જેટલો છે. આ કોષ્ટકના સંબંધમાં, સ્ટીફેલે ચારની સમકક્ષ ચાર નિયમો ઘડ્યા આધુનિક નિયમોઘાતાંક પરની કામગીરી અથવા લઘુગણક પરની કામગીરી માટેના ચાર નિયમો: ટોચની લાઇનમાંનો સરવાળો નીચેની લાઇનમાંના ઉત્પાદનને અનુરૂપ છે; ટોચની લીટી પર બાદબાકી નીચેની લીટી પરના વિભાજનને અનુરૂપ છે; ટોચની લીટી પર ગુણાકાર નીચેની લીટી પરના ઘાતાંકને અનુલક્ષે છે; ટોચની લાઇન પરનું વિભાજન નીચેની લાઇન પરના મૂળને અનુલક્ષે છે.

દેખીતી રીતે, સ્ટીફેલના નિયમો જેવા જ નિયમો જે. નેપરને તેમના કાર્યમાં ઔપચારિક રીતે લઘુગણકની પ્રથમ સિસ્ટમ રજૂ કરવા તરફ દોરી ગયા. લઘુગણકના અદ્ભુત કોષ્ટકનું વર્ણન, 1614 માં પ્રકાશિત થયું હતું. પરંતુ નેપિયરના વિચારો ઉત્પાદનોને સરવાળોમાં રૂપાંતરિત કરવાની સમસ્યા સાથે સંકળાયેલા હતા ત્યારથી, તેમના કાર્યના પ્રકાશનના દસ કરતાં વધુ વર્ષ પહેલાં, નેપિયરને ડેનમાર્કથી સમાચાર મળ્યા કે ટાઈકો બ્રાહે ઓબ્ઝર્વેટરીમાં તેમના સહાયકોએ એક પદ્ધતિ બનાવી હતી. ઉત્પાદનોને રકમમાં રૂપાંતરિત કરવું શક્ય છે. નેપિયરને મળેલા સંદેશમાં ઉલ્લેખિત પદ્ધતિ ઉપયોગ પર આધારિત હતી ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોપ્રકાર

તેથી નેપરના કોષ્ટકોમાં મુખ્યત્વે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના લઘુગણકનો સમાવેશ થતો હતો. નેપિયર દ્વારા પ્રસ્તાવિત વ્યાખ્યામાં આધારની વિભાવના સ્પષ્ટપણે સામેલ ન હોવા છતાં, તેમની સિસ્ટમમાં લઘુગણકની સિસ્ટમના આધારની સમકક્ષ ભૂમિકા નંબર (1 – 10 –7)ґ10 7 દ્વારા ભજવવામાં આવી હતી, જે લગભગ 1/ ની બરાબર હતી. ઇ.

નેપરથી સ્વતંત્ર રીતે અને તેની સાથે લગભગ એક જ સમયે, લોગરીધમ્સની એક સિસ્ટમ, જે પ્રકારમાં એકદમ સમાન છે, તેની શોધ અને પ્રાગમાં જે. બર્ગી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જે 1620માં પ્રકાશિત થઈ હતી. અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ કોષ્ટકો. આ બેઝ (1 + 10 –4) ґ10 4 માટે એન્ટિલોગરિધમ્સના કોષ્ટકો હતા, જે સંખ્યાનો એકદમ સારો અંદાજ છે ઇ.

નેપર સિસ્ટમમાં, સંખ્યા 10 7 ના લઘુગણકને શૂન્ય માનવામાં આવતું હતું, અને જેમ જેમ સંખ્યામાં ઘટાડો થતો ગયો તેમ તેમ લઘુગણકમાં વધારો થતો ગયો. જ્યારે જી. બ્રિગ્સ (1561-1631) નેપિયરની મુલાકાતે ગયા, ત્યારે બંને સંમત થયા કે 10 નંબરનો આધાર તરીકે ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ રહેશે અને એકના લઘુગણકને શૂન્ય ગણવું. પછી, જેમ જેમ સંખ્યા વધશે તેમ તેમ તેમના લઘુગણકમાં વધારો થશે. તેથી અમને મળ્યું આધુનિક સિસ્ટમદશાંશ લઘુગણક, જેનું કોષ્ટક બ્રિગ્સે તેમના કાર્યમાં પ્રકાશિત કર્યું હતું લઘુગણક અંકગણિત(1620). આધાર માટે લઘુગણક ઇ, જો કે નેપર દ્વારા રજૂ કરાયેલ બરાબર નથી, ઘણીવાર નેપર્સ કહેવાય છે. બ્રિગ્સ દ્વારા "લાક્ષણિકતા" અને "મન્ટિસા" શબ્દોની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી.

અમલમાં પ્રથમ લઘુગણક ઐતિહાસિક કારણોસંખ્યાઓ 1/ માટે વપરાયેલ અંદાજ ઇઅને ઇ. થોડા અંશે પછી, કુદરતી લઘુગણકનો વિચાર હાયપરબોલા હેઠળના વિસ્તારોના અભ્યાસ સાથે સંકળાયેલો થવા લાગ્યો. xy= 1 (ફિગ. 1). 17મી સદીમાં તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે આ વળાંક, ધરી દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર xઅને ઓર્ડિનેટ કરે છે x= 1 અને x = a(ફિગ. 1 માં આ વિસ્તાર ગાઢ અને છૂટાછવાયા બિંદુઓથી ઢંકાયેલો છે) માં વધે છે અંકગણિત પ્રગતિ, જ્યારે aમાં વધે છે ભૌમિતિક પ્રગતિ. તે ચોક્કસપણે આ અવલંબન છે જે ઘાતાંક અને લઘુગણક સાથેની કામગીરીના નિયમોમાં ઉદ્ભવે છે. આનાથી નેપેરિયન લઘુગણકને "હાયપરબોલિક લોગરીધમ્સ" કહેવાનો જન્મ થયો.

લઘુગણક કાર્ય.

એક સમય એવો હતો જ્યારે લઘુગણકને માત્ર ગણતરીના સાધન તરીકે ગણવામાં આવતું હતું, પરંતુ 18મી સદીમાં, મુખ્યત્વે યુલરના કાર્યોને આભારી, ખ્યાલની રચના થઈ હતી. લઘુગણક કાર્ય. આવા કાર્યનો આલેખ y= લોગ x, જેની ઓર્ડિનેટ્સ અંકગણિત પ્રગતિમાં વધે છે, જ્યારે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં એબ્સિસાસ વધે છે, તે ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. 2, એ. વ્યસ્ત અથવા ઘાતાંકીય કાર્યનો આલેખ y = e x, જેની ઓર્ડિનેટ્સ ભૌમિતિક પ્રગતિમાં વધારો કરે છે, અને જેની અંકગણિત પ્રગતિમાં એબ્સિસિસ વધે છે, તે અનુક્રમે, ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 2, b. (વળાંક y=લોગ xઅને y = 10xઆકારમાં વણાંકો સમાન y= લોગ xઅને y = e x.) લઘુગણક કાર્યની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યાઓ પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે,

kpi; અને, એ જ રીતે, નંબર -1 ના પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ ફોર્મની જટિલ સંખ્યાઓ છે (2 k + 1)pi, ક્યાં k- પૂર્ણાંક. સમાન વિધાન સામાન્ય લઘુગણક અથવા લઘુગણકની અન્ય સિસ્ટમો માટે સાચા છે. વધુમાં, જટિલ સંખ્યાઓના જટિલ લઘુગણકને સમાવવા માટે યુલરની ઓળખનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણકની વ્યાખ્યાને સામાન્ય બનાવી શકાય છે.

લઘુગણક કાર્યની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવે છે. જો f(x) – સતત કાર્ય વાસ્તવિક સંખ્યા x, નીચેના ત્રણ ગુણધર્મો ધરાવે છે: f (1) = 0, f (b) = 1, f (યુવી) = f (u) + f (વિ), તે f(x) એ સંખ્યાના લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે xપર આધારિત છે b. આ લેખની શરૂઆતમાં આપેલી વ્યાખ્યા કરતાં આ વ્યાખ્યાના ઘણા ફાયદા છે.

અરજીઓ.

લઘુગણકનો મૂળ રીતે ઉપયોગ ફક્ત ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો, અને આ એપ્લિકેશન હજુ પણ તેમની સૌથી મહત્વપૂર્ણ પૈકીની એક છે. ઉત્પાદનો, અવશેષો, શક્તિઓ અને મૂળોની ગણતરી માત્ર લોગરિધમ્સના પ્રકાશિત કોષ્ટકોની વિશાળ ઉપલબ્ધતા દ્વારા જ નહીં, પણ કહેવાતાના ઉપયોગ દ્વારા પણ કરવામાં આવે છે. સ્લાઇડ નિયમ- એક કોમ્પ્યુટેશનલ ટૂલ જેનો ઓપરેટિંગ સિદ્ધાંત લોગરીધમ્સના ગુણધર્મો પર આધારિત છે. શાસક લઘુગણક ભીંગડાથી સજ્જ છે, એટલે કે. નંબર 1 થી કોઈપણ નંબરનું અંતર xલોગની સમાન બનવા માટે પસંદ કર્યું x; એક સ્કેલને બીજાની તુલનામાં સ્થાનાંતરિત કરીને, લઘુગણકના સરવાળો અથવા તફાવતોનું પ્લોટિંગ કરવું શક્ય છે, જે અનુરૂપ સંખ્યાઓના ઉત્પાદનો અથવા ભાગને સ્કેલમાંથી સીધા વાંચવાનું શક્ય બનાવે છે. માં સંખ્યાઓ રજૂ કરવાનો લાભ લો લઘુગણક સ્વરૂપપરવાનગી આપે છે, વગેરે. પ્લોટિંગ ગ્રાફ માટે લઘુગણક કાગળ (બંને સંકલન અક્ષો પર તેના પર મુદ્રિત લઘુગણક ભીંગડા સાથેનો કાગળ). જો ફંક્શન ફોર્મના પાવર લોને સંતોષે છે y = kxn, પછી તેણી લઘુગણક ગ્રાફએક સીધી રેખા જેવો દેખાય છે, કારણ કે લોગ y=લોગ k + nલોગ x- લોગના સંદર્ભમાં સમીકરણ રેખીય yઅને લોગ x. તેનાથી વિપરિત, જો અમુક કાર્યાત્મક અવલંબનનો લઘુગણક ગ્રાફ સીધી રેખા જેવો દેખાય છે, તો આ અવલંબન એક શક્તિ છે. સેમીલોગરિધમિક પેપર (જેમાં ઓર્ડિનેટ અક્ષ હોય છે લઘુગણક સ્કેલ, અને એબ્સીસા અક્ષ એ એક સમાન સ્કેલ છે) તે કિસ્સાઓમાં અનુકૂળ છે જ્યાં ઘાતાંકીય કાર્યોને ઓળખવા માટે જરૂરી છે. ફોર્મના સમીકરણો y = kb rxજ્યારે પણ ચોક્કસ જથ્થો, જેમ કે વસ્તી, જથ્થો કિરણોત્સર્ગી સામગ્રીઅથવા બેંક બેલેન્સ, ઉપલબ્ધના પ્રમાણસર દરે ઘટે છે અથવા વધે છે આ ક્ષણેરહેવાસીઓની સંખ્યા, કિરણોત્સર્ગી પદાર્થઅથવા પૈસા. જો આવી અવલંબન અર્ધ-લોગરિધમિક કાગળ પર રચવામાં આવે, તો આલેખ સીધી રેખા જેવો દેખાશે.

લોગરીધમિક કાર્ય કુદરતી સ્વરૂપોની વિશાળ વિવિધતા સાથે જોડાણમાં ઉદ્ભવે છે. સૂર્યમુખીના ફૂલોમાં ફૂલો લોગરિધમિક સર્પાકારમાં ગોઠવાયેલા હોય છે, મોલસ્ક શેલ્સ ટ્વિસ્ટેડ હોય છે નોટિલસ, પર્વત ઘેટાંના શિંગડા અને પોપટની ચાંચ. આ તમામ કુદરતી આકારો લોગરીધમિક સર્પાકાર તરીકે ઓળખાતા વળાંકના ઉદાહરણો તરીકે સેવા આપી શકે છે કારણ કે માં ધ્રુવીય સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, તેનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે r = ae bq, અથવા ln આર= લોગ a + bq. આવા વળાંકને ગતિશીલ બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જેનું ધ્રુવથી અંતર ભૌમિતિક પ્રગતિમાં વધે છે, અને તેની ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા વર્ણવેલ કોણ અંકગણિત પ્રગતિમાં વધે છે. આવા વળાંકની સર્વવ્યાપકતા, અને તેથી લઘુગણક કાર્ય, એ હકીકત દ્વારા સારી રીતે સચિત્ર છે કે તે આટલા દૂર અને સંપૂર્ણ રીતે દેખાય છે. વિવિધ વિસ્તારો, એક તરંગી કેમના સમોચ્ચ અને પ્રકાશ તરફ ઉડતા કેટલાક જંતુઓના માર્ગની જેમ.

કુદરતી લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો, ગ્રાફ, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, મૂલ્યોનો સમૂહ, મૂળભૂત સૂત્રો, વ્યુત્પન્ન, અભિન્ન, વિસ્તરણ પાવર શ્રેણીઅને જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને ln x ફંક્શનનું પ્રતિનિધિત્વ.

વ્યાખ્યા

કુદરતી લઘુગણક ફંક્શન y = છે ln x, ઘાતાંકીયનો વ્યસ્ત, x = e y, અને e સંખ્યાના આધારનો લઘુગણક છે: ln x = log e x.

પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો ગણિતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેનું વ્યુત્પન્ન સૌથી સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે: (ln x)′ = 1/ x.

પર આધારિત છે વ્યાખ્યાઓ, કુદરતી લઘુગણકનો આધાર સંખ્યા છે ઇ:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

કાર્ય y = નો ગ્રાફ ln x.

કુદરતી લઘુગણકનો આલેખ (કાર્યો y = ln x) ઘાતાંકીય ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે અરીસાની છબીસીધી રેખા y = x સાથે સંબંધિત.

કુદરતી લઘુગણક પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે હકારાત્મક મૂલ્યોચલ x.

તે તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં એકવિધ રીતે વધે છે. 0 x → પર

કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા માઈનસ અનંત (-∞) છે. x → + ∞ તરીકે, કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા વત્તા અનંત (+ ∞) છે. મોટા x માટે, લઘુગણક એકદમ ધીમેથી વધે છે. કોઈપણપાવર કાર્ય

x a ધન ઘાતાંક સાથે a લઘુગણક કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે.

કુદરતી લઘુગણકના ગુણધર્મો

વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, મૂલ્યોનો સમૂહ, આત્યંતિક, વધારો, ઘટાડો

પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે, તેથી તેની કોઈ સીમા નથી. કુદરતી લઘુગણકના મુખ્ય ગુણધર્મો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

ln x મૂલ્યો

ln 1 = 0

કુદરતી લઘુગણક માટે મૂળભૂત સૂત્રો

વ્યસ્ત કાર્યની વ્યાખ્યામાંથી નીચેના સૂત્રો:

લઘુગણકની મુખ્ય મિલકત અને તેના પરિણામો

બેઝ રિપ્લેસમેન્ટ ફોર્મ્યુલા

કોઈપણ લઘુગણકને મૂળ અવેજી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુદરતી લઘુગણકના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

આ સૂત્રોના પુરાવા વિભાગ "લોગરીધમ" માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

વ્યસ્ત કાર્ય

કુદરતી લઘુગણકનો વ્યસ્ત એ ઘાતાંક છે.

જો, તો પછી

જો, તો.

વ્યુત્પન્ન ln x
.
કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન:
.
મોડ્યુલસ x ના કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન:
.
nમા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન:

વ્યુત્પન્ન સૂત્રો >>>

અભિન્ન
.
ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી ભાગો દ્વારા એકીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે:

તેથી,

જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓ
.
જટિલ ચલ z ના કાર્યને ધ્યાનમાં લો: ચાલો જટિલ ચલ વ્યક્ત કરીએ z આરમોડ્યુલ દ્વારા φ :
.
અને દલીલ
.
લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે છે:
.
અથવા
દલીલ φ અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી. જો તમે મૂકો
, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે,

તે વિવિધ n માટે સમાન સંખ્યા હશે.

તેથી, કુદરતી લઘુગણક, જટિલ ચલના કાર્ય તરીકે, એકલ-મૂલ્યવાળું કાર્ય નથી.

પાવર શ્રેણી વિસ્તરણ

જ્યારે વિસ્તરણ થાય છે:
આઈ.એન. બ્રોન્સ્ટીન, કે.એ. સેમેન્દ્યાયેવ, ઇજનેરો અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક, "લેન", 2009.

ઘણીવાર નંબર લો ઇ = 2,718281828 . આ આધાર પર આધારિત લઘુગણક કહેવાય છે કુદરતી. કુદરતી લઘુગણક સાથે ગણતરીઓ કરતી વખતે, ચિહ્ન સાથે કામ કરવું સામાન્ય છે ln, નહીં લોગ; જ્યારે નંબર 2,718281828 , આધાર વ્યાખ્યાયિત, સૂચવવામાં નથી.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ફોર્મ્યુલેશન આના જેવું દેખાશે: કુદરતી લઘુગણક સંખ્યાઓ એક્સ- આ એક સૂચક છે ડિગ્રી, જેના પર સંખ્યા વધારવી આવશ્યક છે ઇમેળવવા માટે x.

તેથી, ln(7,389...)= 2, ત્યારથી ઇ 2 =7,389... . કુદરતી લઘુગણકનંબર પોતે ઇ= 1 કારણ કે ઇ 1 =ઇ, અને એકતાનો કુદરતી લઘુગણક શૂન્ય બરાબર, કારણ કે ઇ 0 = 1.

નંબર પોતે ઇમોનોટોનિક બાઉન્ડેડ ક્રમની મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરે છે

તેની ગણતરી કરી ઇ = 2,7182818284... .

ઘણી વાર, મેમરીમાં સંખ્યાને ઠીક કરવા માટે, જરૂરી સંખ્યાના અંકો કેટલીક બાકી તારીખ સાથે સંકળાયેલા હોય છે. સંખ્યાના પ્રથમ નવ અંકોને યાદ રાખવાની ઝડપ ઇજો તમે જોશો કે 1828 એ લીઓ ટોલ્સટોયના જન્મનું વર્ષ છે તો દશાંશ બિંદુ પછી વધશે!

આજે ત્યાં પૂરતા છે સંપૂર્ણ કોષ્ટકોકુદરતી લઘુગણક.

સમયપત્રકકુદરતી લઘુગણક(કાર્યો y=ln x) એક પરિણામ છે ગ્રાફિક્સઘાતાંક સીધી રેખાની તુલનામાં અરીસાના પ્રતિબિંબ છે y = xઅને ફોર્મ ધરાવે છે:

કુદરતી લઘુગણકદરેક હકારાત્મક માટે શોધી શકાય છે વાસ્તવિક સંખ્યા aવળાંક હેઠળના વિસ્તાર તરીકે y = 1/xથી 1 થી a.

આ ફોર્મ્યુલેશનની પ્રાથમિક પ્રકૃતિ, જે અન્ય ઘણા સૂત્રો સાથે સુસંગત છે જેમાં કુદરતી લઘુગણક સામેલ છે, તે "કુદરતી" નામની રચનાનું કારણ હતું.

જો તમે વિશ્લેષણ કરો કુદરતી લઘુગણક , વાસ્તવિક તરીકે કાર્યવાસ્તવિક ચલ, પછી તે કાર્ય કરે છે વ્યસ્ત કાર્ય ઘાતાંકીય કાર્ય માટે, જે ઓળખમાં ઘટાડો કરે છે:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

તમામ લઘુગણક સાથે સામ્યતા દ્વારા, કુદરતી લઘુગણક ગુણાકારને વધારામાં, વિભાજનને બાદબાકીમાં રૂપાંતરિત કરે છે:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

લઘુગણક દરેક હકારાત્મક આધાર માટે શોધી શકાય છે જે એક સમાન નથી, માત્ર માટે જ નહીં ઇ, પરંતુ અન્ય પાયા માટે લઘુગણક માત્ર કુદરતી લઘુગણકથી અલગ છે સતત ગુણક, અને સામાન્ય રીતે કુદરતી લઘુગણકના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

વિશ્લેષણ કર્યા સમયપત્રકકુદરતી લઘુગણક,અમે શોધીએ છીએ કે તે ચલના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે અસ્તિત્વમાં છે x. તે તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં એકવિધ રીતે વધે છે.

મુ x → 0 કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા માઈનસ અનંત છે ( -∞ .એટ x → +∞ કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા વત્તા અનંત છે ( + ∞ ). મોટા પ્રમાણમાં xલઘુગણક ખૂબ ધીમેથી વધે છે. કોઈપણ x → + ∞ તરીકે, કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા વત્તા અનંત (+ ∞) છે. મોટા x માટે, લઘુગણક એકદમ ધીમેથી વધે છે. કોઈપણ xaહકારાત્મક ઘાતાંક સાથે aલઘુગણક કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે. પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે, તેથી તેની કોઈ સીમા નથી.

ઉપયોગ કુદરતી લઘુગણક પસાર કરતી વખતે ખૂબ જ તર્કસંગત ઉચ્ચ ગણિત. આમ, લોગરીધમનો ઉપયોગ એ સમીકરણોના જવાબ શોધવા માટે અનુકૂળ છે જેમાં અજ્ઞાત ઘાતાંક તરીકે દેખાય છે. ગણતરીઓમાં કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે મોટી સંખ્યામાં ગાણિતિક સૂત્રો. આધાર માટે લઘુગણક ઇ નોંધપાત્ર સંખ્યા ઉકેલતી વખતે હાજર હોય છે શારીરિક સમસ્યાઓઅને કુદરતી રીતે પ્રવેશ કરો ગાણિતિક વર્ણનવ્યક્તિગત રાસાયણિક, જૈવિક અને અન્ય પ્રક્રિયાઓ. આમ, લોગરીધમનો ઉપયોગ જાણીતી અર્ધ-જીવન માટે ક્ષીણ સ્થિરાંકની ગણતરી કરવા અથવા કિરણોત્સર્ગીતાની સમસ્યાઓના ઉકેલમાં સડો સમયની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. તેઓ પ્રદર્શન કરે છે અગ્રણી ભૂમિકાગણિતની ઘણી શાખાઓમાં અને વ્યવહારુ વિજ્ઞાન, તેઓને ઉકેલવા માટે ફાઇનાન્સના ક્ષેત્રમાં આશરો લેવામાં આવે છે મોટી સંખ્યામાંચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી સહિત કાર્યો.

બિલકુલ ખરાબ તો નથી ને? જ્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓ તમને એક લાંબી, મૂંઝવણભરી વ્યાખ્યા આપવા માટે શબ્દો શોધે છે, ત્યારે ચાલો આ સરળ અને સ્પષ્ટ શબ્દોને નજીકથી જોઈએ.

e નો અર્થ વૃદ્ધિ થાય છે

સંખ્યા e નો અર્થ છે સતત વૃદ્ધિ. આપણે અગાઉના ઉદાહરણમાં જોયું તેમ, e x આપણને વ્યાજ અને સમયને લિંક કરવાની મંજૂરી આપે છે: 100% વૃદ્ધિ પર 3 વર્ષ 300% પર 1 વર્ષ સમાન છે, "ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ" ધારીને.

તમે કોઈપણ ટકાવારી અને સમય મૂલ્યોને બદલી શકો છો (4 વર્ષ માટે 50%), પરંતુ સગવડ માટે ટકાવારી 100% તરીકે સેટ કરવી વધુ સારું છે (તે 2 વર્ષ માટે 100% થાય છે). 100% પર જઈને, અમે ફક્ત સમય ઘટક પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી શકીએ છીએ:

e x = e ટકા * સમય = e 1.0 * સમય = e સમય

દેખીતી રીતે e x નો અર્થ છે:

• સમયના x એકમો પછી મારું યોગદાન કેટલું વધશે (100% સતત વૃદ્ધિ ધારીને).
• ઉદાહરણ તરીકે, 3 સમયના અંતરાલ પછી મને e 3 = 20.08 ગણી વધુ "વસ્તુઓ" પ્રાપ્ત થશે.

e x એ સ્કેલિંગ પરિબળ છે જે દર્શાવે છે કે x સમયની માત્રામાં આપણે કયા સ્તરે વધીશું.

કુદરતી લઘુગણક એટલે સમય

પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ e નું વ્યસ્ત છે, જે વિરુદ્ધ માટેનો ફેન્સી શબ્દ છે. quirks બોલતા; લેટિનમાં તેને લોગરીથમસ નેચરલી કહેવાય છે, તેથી સંક્ષેપ ln.

અને આ વ્યુત્ક્રમ અથવા વિરુદ્ધનો અર્થ શું છે?

• e x અમને સમયને બદલવા અને વૃદ્ધિ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે.
• ln(x) અમને વૃદ્ધિ અથવા આવક લેવા અને તેને ઉત્પન્ન કરવામાં જે સમય લાગે છે તે શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

• e 3 બરાબર 20.08. ત્રણ સમયગાળા પછી આપણી પાસે 20.08 વખત હશે વધુમાંજ્યાં અમે શરૂઆત કરી હતી.
• ln(08/20) અંદાજે 3 હશે. જો તમને 20.08 ગણા વૃદ્ધિમાં રસ હોય, તો તમારે 3 સમય અવધિની જરૂર પડશે (ફરીથી, 100% સતત વૃદ્ધિ ધારીને).

હજુ વાંચો છો? પ્રાકૃતિક લઘુગણક ઇચ્છિત સ્તર સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી સમય દર્શાવે છે.

આ બિન-માનક લઘુગણક ગણતરી

શું તમે લોગરીધમમાંથી પસાર થયા છો? વિચિત્ર જીવો. તેઓ ગુણાકારને વધારામાં કેવી રીતે ફેરવી શક્યા? બાદબાકીમાં ભાગલા વિશે શું? ચાલો જોઈએ.

ln(1) બરાબર શું છે? સાહજિક રીતે, પ્રશ્ન એ છે: મારી પાસે જે છે તેના કરતાં 1x વધુ મેળવવા માટે મારે કેટલો સમય રાહ જોવી જોઈએ?

શૂન્ય. શૂન્ય. બિલકુલ નહિ. તમારી પાસે પહેલેથી જ એક વાર છે. લેવલ 1 થી લેવલ 1 માં જવામાં વધારે સમય લાગતો નથી.

• ln(1) = 0

ઠીક છે, શું વિશે અપૂર્ણાંક મૂલ્ય? ઉપલબ્ધ જથ્થાનો 1/2 બાકી રહે તે માટે અમને કેટલો સમય લાગશે? આપણે જાણીએ છીએ કે 100% સતત વૃદ્ધિ સાથે, ln(2) નો અર્થ એ થાય છે કે તે બમણો થવામાં જે સમય લે છે. જો આપણે ચાલો સમય પાછો ફેરવીએ(એટલે ​​​​કે, નકારાત્મક સમયની રાહ જુઓ), પછી આપણી પાસે જે છે તેનો અડધો ભાગ આપણને મળશે.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

તાર્કિક, અધિકાર? જો આપણે પાછા (સમય પાછળ) 0.693 સેકન્ડ પર જઈશું, તો આપણને ઉપલબ્ધ અડધી રકમ મળશે. સામાન્ય રીતે, તમે અપૂર્ણાંકને ફેરવી શકો છો અને લઈ શકો છો નકારાત્મક મૂલ્ય: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. આનો અર્થ એ છે કે જો આપણે 1.09 વખત સમય પર પાછા જઈશું, તો આપણે વર્તમાન સંખ્યાના ત્રીજા ભાગને જ શોધીશું.

ઠીક છે, નકારાત્મક સંખ્યાના લઘુગણક વિશે શું? 1 થી -3 સુધીના બેક્ટેરિયાની વસાહતને "વધવા" માટે કેટલો સમય લાગે છે?

આ અશક્ય છે! તમે નકારાત્મક બેક્ટેરિયાની ગણતરી મેળવી શકતા નથી, શું તમે? તમે શૂન્યની મહત્તમ (એર... ન્યુનત્તમ) મેળવી શકો છો, પરંતુ આ નાના ક્રિટર્સમાંથી તમે નકારાત્મક સંખ્યા મેળવી શકો તેવો કોઈ રસ્તો નથી. નકારાત્મક બેક્ટેરિયાની ગણતરીનો કોઈ અર્થ નથી.

• ln(નકારાત્મક સંખ્યા) = અવ્યાખ્યાયિત

"અવ્યાખ્યાયિત" નો અર્થ એ છે કે નકારાત્મક મૂલ્ય મેળવવા માટે રાહ જોવી પડે તેટલો સમય નથી.

લોગરીધમિક ગુણાકાર માત્ર આનંદી છે

ચાર ગણો વધવા માટે કેટલો સમય લાગશે? અલબત્ત, તમે ફક્ત ln(4) લઈ શકો છો. પરંતુ આ ખૂબ સરળ છે, આપણે બીજી રીતે જઈશું.

તમે ચારગણી વૃદ્ધિને બમણી (ln(2) સમયના એકમોની જરૂર છે) અને પછી ફરીથી બમણી (બીજા ln(2) સમયના એકમોની જરૂર છે) તરીકે વિચારી શકો છો:

• 4 ગણો વધવાનો સમય = ln(4) = બમણો થવાનો સમય અને પછી ફરી બમણો = ln(2) + ln(2)

રસપ્રદ. કોઈપણ વૃદ્ધિ દર, કહો કે 20, 10 ગણા વધારા પછી બમણો થતો ગણી શકાય. અથવા 4 ગણો વધારો, અને પછી 5 ગણો. અથવા ત્રણ ગણો અને પછી 6.666 ગણો વધારો. પેટર્ન જુઓ?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A ગુણ્યા B નો લઘુગણક log(A) + log(B) છે. જ્યારે વૃદ્ધિની દ્રષ્ટિએ જોવામાં આવે ત્યારે આ સંબંધ તરત જ અર્થપૂર્ણ બને છે.

જો તમને 30x વૃદ્ધિમાં રસ હોય, તો તમે એક બેઠકમાં ln(30) રાહ જોઈ શકો છો, અથવા ત્રણ ગણા માટે ln(3) અને પછી 10x માટે બીજી ln(10) રાહ જોઈ શકો છો. અંતિમ પરિણામતે જ છે, તેથી અલબત્ત સમય સ્થિર (અને રહે છે).

વિભાજન વિશે શું? ખાસ કરીને, ln(5/3) નો અર્થ છે: તે 5 ગણો વધવા માટે કેટલો સમય લેશે અને પછી તેમાંથી 1/3 મેળવશે?

સરસ, 5 ગણી વૃદ્ધિ ln(5) છે. 1/3 ગણો વધારો સમયના -ln(3) એકમો લેશે. તેથી,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

આનો અર્થ છે: તેને 5 ગણો વધવા દો, અને પછી "સમયસર પાછા જાઓ" ત્યાં સુધી કે જ્યાં તે રકમનો માત્ર ત્રીજો ભાગ જ રહે છે, તેથી તમને 5/3 વૃદ્ધિ મળશે. સામાન્ય રીતે તે બહાર વળે છે

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

હું આશા રાખું છું કે લઘુગણકનું વિચિત્ર અંકગણિત તમારા માટે અર્થપૂર્ણ થવાનું શરૂ કરી રહ્યું છે: વૃદ્ધિ દરનો ગુણાકાર વૃદ્ધિના સમયના એકમોને ઉમેરવાનું બને છે, અને ભાગાકાર કરવાથી સમયના એકમો બાદબાકી થાય છે. નિયમો યાદ રાખવાની જરૂર નથી, તેમને સમજવાનો પ્રયાસ કરો.

મનસ્વી વૃદ્ધિ માટે કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ કરવો

સારું, અલબત્ત," તમે કહો છો, "જો વૃદ્ધિ 100% હોય તો આ બધું સારું છે, પરંતુ મને મળેલા 5% વિશે શું?"

કોઈ સમસ્યા નથી. આપણે ln() સાથે જે "સમય"ની ગણતરી કરીએ છીએ તે વાસ્તવમાં વ્યાજ દર અને સમયનું સંયોજન છે, e x સમીકરણમાંથી સમાન X. અમે માત્ર સરળતા માટે ટકાવારી 100% પર સેટ કરવાનું નક્કી કર્યું છે, પરંતુ અમે કોઈપણ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવા માટે સ્વતંત્ર છીએ.

ચાલો કહીએ કે આપણે 30x વૃદ્ધિ હાંસલ કરવા માંગીએ છીએ: ln(30) લો અને 3.4 મેળવો આનો અર્થ છે:

• e x = ઊંચાઈ
• e 3.4 = 30

દેખીતી રીતે, આ સમીકરણનો અર્થ થાય છે "3.4 વર્ષમાં 100% વળતર 30x વૃદ્ધિ આપે છે." આ સમીકરણને આપણે નીચે પ્રમાણે લખી શકીએ.

• e x = e દર*સમય
• e 100% * 3.4 વર્ષ = 30

જ્યાં સુધી દર * સમય 3.4 રહે ત્યાં સુધી આપણે “શરત” અને “સમય” ના મૂલ્યો બદલી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે 30x વૃદ્ધિમાં રસ ધરાવીએ, તો આપણે 5%ના વ્યાજ દરે કેટલો સમય રાહ જોવી પડશે?

• ln(30) = 3.4
• દર * સમય = 3.4
• 0.05 * સમય = 3.4
• સમય = 3.4 / 0.05 = 68 વર્ષ

હું આ પ્રમાણે કારણ આપું છું: "ln(30) = 3.4, તેથી 100% વૃદ્ધિ પર તે 3.4 વર્ષ લેશે. જો હું વૃદ્ધિ દર બમણો કરું, જરૂરી સમયઅડધી થઈ જશે."

• 3.4 વર્ષ માટે 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 વર્ષમાં 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8 વર્ષ માટે 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 વર્ષથી 5% = .05 * 68 = 3.4.

મહાન, અધિકાર? કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ કોઈપણ વ્યાજ દર અને સમય સાથે થઈ શકે છે કારણ કે તેનું ઉત્પાદન સ્થિર રહે છે. તમે ગમે તેટલું ચલ મૂલ્યો ખસેડી શકો છો.

સરસ ઉદાહરણ: સિત્તેરનો નિયમ

સિત્તેરનો નિયમ એ એક ગાણિતિક ટેકનિક છે જે તમને તમારા પૈસા બમણા થવામાં કેટલો સમય લાગશે તેનો અંદાજ લગાવવા દે છે. હવે આપણે તેને અનુમાનિત કરીશું (હા!), અને વધુમાં, આપણે તેના સારને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિના 100% વ્યાજ પર તમારા નાણાંને બમણા કરવામાં કેટલો સમય લાગશે?

અરે. અમે સતત વૃદ્ધિના કિસ્સામાં કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ કર્યો, અને હવે તમે વાર્ષિક સંયોજન વિશે વાત કરી રહ્યા છો? શું આ ફોર્મ્યુલા આવા કેસ માટે અયોગ્ય બની જશે? હા, તે થશે, પરંતુ 5%, 6% અથવા તો 15% જેવા વાસ્તવિક વ્યાજ દરો માટે, વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ અને સતત વૃદ્ધિ વચ્ચેનો તફાવત નાનો હશે. તેથી રફ અંદાજ કામ કરે છે, અમ, આશરે, તેથી અમે ડોળ કરીશું કે અમારી પાસે સંપૂર્ણ રીતે સતત ઉપાર્જન છે.

હવે પ્રશ્ન સરળ છે: તમે 100% વૃદ્ધિ સાથે કેટલી ઝડપથી બમણી કરી શકો છો? ln(2) = 0.693. 100% ના સતત વધારા સાથે અમારી રકમને બમણી કરવામાં 0.693 એકમ સમય (અમારા કિસ્સામાં વર્ષો) લાગે છે.

તેથી, જો વ્યાજ દર 100% ન હોય, પરંતુ 5% અથવા 10% કહો તો શું?

સરળતાથી! શરત * સમય = 0.693 હોવાથી, અમે રકમ બમણી કરીશું:

• દર * સમય = 0.693
• સમય = 0.693 / શરત

તે તારણ આપે છે કે જો વૃદ્ધિ 10% છે, તો તેને બમણી થવામાં 0.693 / 0.10 = 6.93 વર્ષ લાગશે.

ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, ચાલો બંને બાજુઓને 100 વડે ગુણાકાર કરીએ, પછી આપણે "0.10" ને બદલે "10" કહી શકીએ:

• ડબલ થવાનો સમય = 69.3 / શરત, જ્યાં શરત ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

હવે 5%, 69.3/5 = 13.86 વર્ષના દરે બમણું કરવાનો સમય છે. જો કે, 69.3 એ સૌથી અનુકૂળ ડિવિડન્ડ નથી. ચાલો નજીકની સંખ્યા, 72 પસંદ કરીએ, જે 2, 3, 4, 6, 8 અને અન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે અનુકૂળ છે.

• ડબલ કરવાનો સમય = 72 / શરત

જે સિત્તેરનો નિયમ છે. બધું આવરી લેવામાં આવ્યું છે.

જો તમારે ત્રણ ગણો કરવાનો સમય શોધવાની જરૂર હોય, તો તમે ln(3) ~ 109.8 નો ઉપયોગ કરી શકો છો અને મેળવી શકો છો

• ત્રણ ગણો કરવાનો સમય = 110 / શરત

બીજું શું છે ઉપયોગી નિયમ. "72 નો નિયમ" વ્યાજ દરોમાં વૃદ્ધિ, વસ્તી વૃદ્ધિ, બેક્ટેરિયલ સંસ્કૃતિ અને કોઈપણ વસ્તુ જે ઝડપથી વધે છે તેને લાગુ પડે છે.

આગળ શું છે?

હું આશા રાખું છું કે કુદરતી લઘુગણક હવે તમારા માટે અર્થપૂર્ણ છે - તે દર્શાવે છે કે કોઈપણ સંખ્યાને વધવા માટે કેટલો સમય લાગે છે ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ. મને લાગે છે કે તેને કુદરતી કહેવામાં આવે છે કારણ કે e વૃદ્ધિનું સાર્વત્રિક માપ છે, તેથી ln ગણી શકાય સાર્વત્રિક રીતેતે વધવા માટે કેટલો સમય લે છે તે નક્કી કરવું.

જ્યારે પણ તમે ln(x) જુઓ છો, ત્યારે યાદ રાખો કે "X ગણો વધવા માટે જે સમય લાગે છે." આવનારા લેખમાં હું e અને lnનું સંયોજનમાં વર્ણન કરીશ જેથી હવામાં ગણિતની તાજી સુગંધ ભરાઈ જાય.

પરિશિષ્ટ: e નું કુદરતી લઘુગણક

ઝડપી ક્વિઝ: ln(e) શું છે?

• ગણિતનો રોબોટ કહેશે: કારણ કે તેઓ એકબીજાના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, તે સ્પષ્ટ છે કે ln(e) = 1.
• સમજનાર વ્યક્તિ: ln(e) એ "e" ગણો (લગભગ 2.718) વધવા માટે કેટલી વાર લાગે છે તે સંખ્યા છે. જો કે, સંખ્યા e એ પોતે 1 ના પરિબળ દ્વારા વૃદ્ધિનું માપ છે, તેથી ln(e) = 1.

સ્પષ્ટ વિચારો.