ચાલો નીચેના મુખ્ય પ્રમેયને સાબિત કરીએ.

પ્રમેય. સેગમેન્ટ પર સતત [ a, b] કાર્ય f(x) આ સેગમેન્ટ પર એકીકૃત છે.

પુરાવો. કોઈપણ આપવા દો ε > 0. કાર્યની સમાન સાતત્યતાને કારણે f(x) સેગમેન્ટ પર [ a, b] હકારાત્મક સંખ્યા માટે ε /(b - a) તમે આનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો δ > 0, જે પાર્ટીશન કરતી વખતે ટીસેગમેન્ટ [ a, b] આંશિક ભાગોમાં [ x i -1 , x i], લંબાઈ Δ x iજેમાંથી ઓછા છે δ , વધઘટ ωiકાર્યો f(x) આવા દરેક આંશિક સેગમેન્ટ પર ઓછા હશે ε /(b - a). તેથી, આવા પાર્ટીશનો માટે ટી

તેથી, સતત સેગમેન્ટ માટે [ a, b] કાર્યો f(x) અખંડિતતા માટે પૂરતી શરતો સંતુષ્ટ છે.

ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર- ઓપરેશન લેવા વચ્ચેનો સંબંધ આપે છે ચોક્કસ અભિન્નઅને એન્ટિડેરિવેટિવ ગણતરીઓ. ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર - મૂળભૂત સૂત્રઅભિન્ન કલન.

આ સૂત્રકોઈપણ કાર્ય માટે સાચું f(x), સેગમેન્ટ પર સતત [a, b], એફ- માટે એન્ટિડેરિવેટિવ f(x). આમ, ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવા માટે, તમારે કેટલાક એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવાની જરૂર છે એફકાર્યો f(x), પોઈન્ટ પર તેના મૂલ્યોની ગણતરી કરો a અને bઅને તફાવત શોધો F(b) - F(a).

પદ્ધતિસરના લક્ષણોઇન્ટિગ્રલની વ્યાખ્યાનો પરિચય.

આ વિષયનો અભ્યાસ ધોરણ 11માં થાય છે અને તેનો મુખ્ય હેતુ વિદ્યાર્થીઓને વિસ્તારની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે શીખવવાનો છે. વક્ર ટ્રેપેઝોઇડઅને અન્ય વધુ જટિલ આંકડાઓ અને વોલ્યુમોની ગણતરી કરો ભૌમિતિક શરીરએક અભિન્ન ઉપયોગ. આ વિષયનું મહત્વ એ છે કે એકીકરણ અથવા એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવાનું છે વ્યસ્ત સમસ્યાવ્યુત્પન્ન શોધવી. આ વિષય શીખતા પહેલા, વિદ્યાર્થીઓ ફંકશન સાથે નીચેના કાર્યો કરવા સક્ષમ હતા: સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર. આ વિષયનો અભ્યાસ કર્યા પછી, વિદ્યાર્થીઓ એક નવી પ્રવૃત્તિ કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ: ભિન્નતા.

આ વિષયનો અભ્યાસ પૂર્ણ થાય છે શાળા અભ્યાસક્રમ ગાણિતિક વિશ્લેષણ

આ વિષયસમાવેશ થાય છે નીચેના પ્રશ્નો: એન્ટિડેરિવેટિવ, એન્ટિડેરિવેટિવની મૂળભૂત મિલકત, એન્ટિડેરિવેટિવ્સ શોધવા માટેના ત્રણ નિયમો, વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ, ઇન્ટિગ્રલ, ન્યૂટન-લેબનીઝ ફોર્મ્યુલા, ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ.

ઇન્ટિગ્રલની વિભાવના રજૂ કરવાની બે રીત છે: 1લી રીત એ છે કે ઇન્ટિગ્રલને એન્ટિડેરિવેટિવના વધારા તરીકે ધ્યાનમાં લેવું; ઉદાહરણ તરીકે, પાઠ્યપુસ્તકમાં એ.એન. કોલમોગોરોવ., અને 2જી પદ્ધતિ - અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા તરીકે અવિભાજ્યની વિચારણા. ઉદાહરણ તરીકે, પાઠ્યપુસ્તક અલીમોવ Sh.A.

શાળાના બાળકો માટે સૌથી મુશ્કેલ અને અપ્રાપ્ય એ બીજો અભિગમ છે, કારણ કે મર્યાદાના સિદ્ધાંતનો શાળામાં અભ્યાસ થતો નથી. શાળા પ્રથમ અભિગમનો ઉપયોગ કરે છે. S cr.tr. =F(b)-F(a)-માં આ અભિગમ અમલમાં મૂકવામાં આવ્યો છે આધુનિક પાઠ્યપુસ્તકો.

તુલનાત્મક વિશ્લેષણમાં વિષય સામગ્રી શાળા પાઠ્યપુસ્તકો

એ.એન. કોલમોગોરોવ દ્વારા પાઠયપુસ્તકમાં "બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત", જ્યારે ઇન્ટિગ્રલ રજૂ કરવામાં આવે છે, ત્યારે વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રની ગણતરી કરવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે લેખક પાઠ્યપુસ્તકમાં બે રીતો આપે છે: વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્ર પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને અભિન્ન રકમનો ઉપયોગ કરીને. બીજી પદ્ધતિ ઇન્ટિગ્રલ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે નીચે આવે છે. અવિભાજ્ય રકમોનો ઉપયોગ કરીને, શરીર, કાર્યના જથ્થાની ગણતરી માટે પણ સૂત્રો લેવામાં આવે છે. ચલ બળ, તેમજ સળિયાના સમૂહ અને દળનું કેન્દ્ર શોધવા.

મોર્ડકોવિચ એ.જી. દ્વારા પાઠયપુસ્તકમાં “બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત”, જ્યારે “નિશ્ચિત અભિન્ન” ની વિભાવના રજૂ કરતી વખતે, સમસ્યાઓ તરફ દોરી જાય છે. આ ખ્યાલ, એટલે કે વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની સમસ્યા, સળિયાના સમૂહની ગણતરી કરવાની સમસ્યા અને બિંદુને ખસેડવાની સમસ્યા. ત્રણેય સમસ્યાઓ, જ્યારે હલ થાય છે, ત્યારે સમાન ગાણિતિક મોડેલમાં ઘટાડો થાય છે.

એસ.એમ. નિકોલસ્કીની પાઠયપુસ્તક "બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત" માં વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરીની સમસ્યાની વિચારણાથી અવિભાજ્ય રકમની વિભાવના અને તેમની મર્યાદા તરફ દોરી જાય છે, જેના પછી ચોક્કસ પૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા રજૂ કરવામાં આવે છે. . સૈદ્ધાંતિક પૃષ્ઠભૂમિચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની અરજીને આમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે શારીરિક સમસ્યાઓ, બળના કામ માટેના કાર્યો તરીકે, કાર્ય ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ, ચલ-ઘનતાના સળિયાના સમૂહની ગણતરી કરવા માટે, દિવાલ પર પ્રવાહીનું દબાણ અને ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર.

શ્રી એ. અલીમોવ દ્વારા પાઠયપુસ્તકમાં "બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત" માં, ઇન્ટિગ્રલની વિભાવના રજૂ કરતા પહેલા, વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રને શોધવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જ્યાં વિસ્તારની ગણતરી કરવામાં આવે છે. ફંક્શન f(x) નું એન્ટિડેરિવેટિવ F(x) તફાવત F(b) - F(a) એ સેગમેન્ટ પર ફંક્શન f(x) નો અભિન્ન ભાગ કહેવાય છે. આગળ, લેખક અભિન્ન રકમનો ઉપયોગ કરીને વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરીને ધ્યાનમાં લે છે, કહે છે કે અવિભાજ્યની અંદાજિત ગણતરીની આ પદ્ધતિ માટે બોજારૂપ ગણતરીઓની જરૂર છે અને તે એવા કિસ્સાઓમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે જ્યાં તે શોધવાનું શક્ય ન હોય. કાર્યનું એન્ટિડેરિવેટિવ. ઇન્ટિગ્રલના ઉપયોગના ઉદાહરણો તરીકે, ટાંકીમાંથી વહેતા પાણીની સમસ્યાઓ અને બળનું કાર્ય શોધવામાં આવે છે. માટે કાર્યો સ્વતંત્ર નિર્ણયસમાન પ્રકારના છે અને તેમાંના ઘણા ઓછા છે.

d(τ)→0

ટીકા 1. જો ફંક્શન f(x) અંતબિંદુઓ a, b સાથેના અંતરાલ પર એકીકૃત છે, તો અસમાનતા ધરાવે છે

રિમાર્ક 2. જો ફંક્શન f(x) ચાલુ હોય તો f(x) ≥ 0 ચાલુ હોય

અને x0 : f(x0 ) > 0, પછી f(x) dx > 0.

1.6 પીસવાઇઝ સતત કાર્યની અખંડિતતા

ચાલો આપણે એકીકૃત કાર્યોના વર્ગને ધ્યાનમાં લઈએ, વર્ગ કરતાં વિશાળ સતત કાર્યો. આને નીચેના લેમ્માની જરૂર છે, જે વધુ એક સૂચવે છે પૂરતી સ્થિતિકાર્યની અખંડિતતા.

લેમ્મા 1.3. ફંક્શન f(x) ને અંતરાલ પર એકીકૃત થવા દો. માં ફંક્શનની કિંમત બદલવી મર્યાદિત સંખ્યાપોઈન્ટ તેની અખંડિતતા અને ઈન્ટિગ્રલના મૂલ્યને અસર કરતા નથી.

ચાલો, નિશ્ચિતતા માટે, A > 0. ચાલો આપણે ε > 0 ને ઠીક કરીએ અને પસંદ કરીએ

આર્બિટરી પાર્ટીશન τ = (xk )n k=0 N વ્યાસ સાથે d(τ)<2A . Точка α может принадлежать только одному отрезку разбиения, если α не является точкой из разбиения τ, или двум отрезкам, если α является точкой из разбиения τ, не совпадающей с a или b. В любом случае

I(fe) = fe (x) dx = 0.

2) ચાલો f R ,

0,x\(α),

અને g(x) = A − f(α), x = α.

પછી fe (x) = f(x) + g(x), x , અને પ્રમેય 1.12 દ્વારા ફંક્શન fe પર સંકલન કરી શકાય તેવું છે, અને

જો ફંક્શનના મૂલ્યમાં ફેરફાર સેગમેન્ટ પરના પોઈન્ટની મર્યાદિત સંખ્યામાં થાય છે, તો આવા દરેક પોઈન્ટ માટે ફંક્શન g જેવું જ ફંક્શન બનાવવું જોઈએ, જે પર ઈન્ટિગ્રેબલ હશે, (1.21) જેવો સરવાળો લખો. , અને પ્રમેય 1.12 લાગુ કરો.

વ્યાખ્યા 1.6. કાર્ય f:

સેગમેન્ટ પર સતત , જો મર્યાદિત સંખ્યામાં પોઈન્ટના સમાવેશ દ્વારા, પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ.

→ R એ ભાગરૂપે સતત ચાલુ હોવાનું કહેવાય છે અને તેના બિંદુઓ કયા છે

ચોખા. 1.1: પીસવાઇઝ સતત કાર્યનું ઉદાહરણ

હવે આપણે એક પરિણામ સાબિત કરી શકીએ છીએ જે રીમેનિયન ઇન્ટિગ્રેબલ ફંક્શન્સના વર્ગને વિસ્તૃત કરે છે.

પ્રમેય 1.19. જો ફંક્શન f: → R એ અંતરાલ પર ટુકડા પ્રમાણે સતત હોય, તો તે તેના પર અવિભાજ્ય છે.

ચાલો એ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે ફંક્શન f(x) માં સેગમેન્ટ પર પ્રથમ પ્રકારનું c (a, b) એક વિરામ બિંદુ હોય, એટલે કે, ત્યાં મર્યાદિત હોય

મર્યાદા મૂલ્યો f(c + 0) અને f(c − 0). ચાલો કાર્યો જોઈએ

વિધેયો f1 (x) અને f2 (x) અંતરાલો પર સતત હોવાથી અને અનુક્રમે, તેઓ આ અંતરાલો પર એકીકૃત છે. પછી, લેમ્મા 1.3 દ્વારા, ફંક્શન f(x), જે ફંકશન f1 (x) થી એક બિંદુ પર મૂલ્ય દ્વારા અલગ પડે છે, તે અંતરાલ પર એકીકૃત છે. એ જ રીતે, f(x) એ અંતરાલ પર એકીકૃત છે. પછી પ્રમેય 1.17 દ્વારા f(x) પર એકીકૃત છે.

ટિપ્પણી. જો ફંક્શન f(x) સેગમેન્ટ પર ટુકડા મુજબ સતત હોય, તો તે તેના પર અવિભાજ્ય છે અને આવા ફંક્શનના ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવા માટે, સેગમેન્ટને મર્યાદિત સંખ્યામાં સેગમેન્ટમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે જેથી f(x) એ સતત હોય. અને અંતરાલો પર બાઉન્ડેડ ફંક્શન (ak, bk).

1.7 પ્રથમ અભિન્ન સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય

પ્રમેય 1.20. વિધેયો f અને g ને શરતોને સંતોષવા દો:

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, g(x) ≥ 0, x, પછી શરત 2 માંથી) તે અનુસરે છે કે mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x), x. વિધેયો f અને g થી

અંતરાલ પર અવિભાજ્ય છે, પછી ફંક્શન f g પણ આ અંતરાલ પર અને પ્રમેય 1.18 ના આધારે એકીકૃત છે

કિસ્સામાં, સમાનતા (1.22) કોઈપણ µ માટે સંતુષ્ટ છે.

µ ની વ્યાખ્યા સમાનતા સૂચવે છે (1.22) . જ્યારે g(x) ≤ 0 ચાલુ હોય ત્યારે પ્રમેય એ જ રીતે સાબિત થાય છે.

કોરોલરી 1. જો ફંક્શન f એ અંતરાલ иm ≤ f(x) ≤ M, x પર એકીકૃત થઈ શકે છે, તો

µ : f(x) dx = µ(b − a).

કોરોલરી 2. જો ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત હોય અને ફંક્શન g(x) એકીકૃત હોય અને તેના પર ચિહ્ન બદલાતું નથી, તો પછી

અંતરાલ પર ફંક્શન f(x) ના સાતત્યથી તે અનુસરે છે કે તે તેના પર એકીકૃત છે. વેયરસ્ટ્રાસના બીજા પ્રમેય મુજબ

એક અંતરાલ પર સતત ફંક્શનના મધ્યવર્તી મૂલ્ય પર બોલઝાનો-કોચી પ્રમેય દ્વારા, બિંદુ c અને p અને q પરના અંતિમ બિંદુઓ સાથેના સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે અને તેથી c, જેમ કે f(c) = µ. આમ,

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની વિભાવના તરફ દોરી જતી સમસ્યાઓ (વક્ર ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્ર પર સમસ્યા, ચલ બળની ક્રિયા હેઠળ કાર્યની ગણતરી કરવામાં સમસ્યા). ચોક્કસ અભિન્નતાનો ખ્યાલ. ડાર્બોક્સ રકમ અને તેમની મિલકતો (વિહંગાવલોકન). અખંડિતતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ. સતત કાર્યની અખંડિતતા. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના મૂળભૂત ગુણધર્મો

વક્ર ટ્રેપેઝોઇડના વિસ્તાર પર સમસ્યા.ચાલો વિચાર કરીએ સપાટ આકૃતિ, જ્યાં રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે f(x) એ સતત હકારાત્મક કાર્ય છે (ફિગ 3 જુઓ). આ આંકડો કહેવામાં આવે છે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ. ચાલો વિસ્તાર વિશે પ્રશ્ન પૂછીએ એફઆ ટ્રેપેઝોઇડ.

વિભાજન [ a, b] બિંદુઓ અને દો λ = મહત્તમ( x k +1 - x k). પ્રત્યક્ષ x = x kઅમારા ટ્રેપેઝોઇડને તોડી નાખો nસાંકડી પટ્ટાઓ. કાર્ય થી f(x) સતત છે, પછી જ્યારે તે થોડો બદલાય છે x k ≤ x ≤ x k+1 અને મોટી ભૂલ વિના તે અંતરાલ પર ગણતરી કરી શકાય છે [ x k , x k+1 ] અચલ અને સમાન f(ξ k), ક્યાં ξ kઅંતરાલમાં એક મનસ્વી બિંદુ છે [ x k , x k+1]. તે જોવાનું સરળ છે કે બનાવેલ ધારણા ઉપરોક્ત પટ્ટાઓને લંબચોરસ તરીકે અને આપણા સમગ્ર ટ્રેપેઝોઇડને ફિગમાં બતાવેલ સ્ટેપ્ડ આકૃતિ તરીકે લેવા સમાન છે. 4. આ સ્ટેપ્ડ આકૃતિનો વિસ્તાર દેખીતી રીતે સમાન છે નાના માટે આ વિસ્તાર માની લેવો સ્વાભાવિક છે λ અમારા માટે રુચિના વિસ્તારનું અંદાજિત મૂલ્ય છે એફ. તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા અમે કૉલ કરીશું વિસ્તારઅમારી વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડ મર્યાદા .

જો ફંક્શનમાં ઓછામાં ઓછું એક એન્ટિડેરિવેટિવ હોય, તો તેમાં અનંતપણે ઘણા એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોય છે. વ્યવહારમાં, પોઈન્ટ પર એન્ટિડેરિવેટિવના મૂલ્યોમાં તફાવત જોવા માટે ઘણી વાર જરૂરી છે bઅને a. આ તફાવત મનસ્વી સ્થિરાંકની પસંદગી પર આધારિત નથી સાથે,કારણ કે .. કાર્ય કરવા દો fઅંતરાલ પર આપવામાં આવે છે અને તેના પર એન્ટિડેરિવેટિવ હોય છે એફ. તફાવત કહેવાય છે ચોક્કસ અભિન્નકાર્યો fસેગમેન્ટ સાથે અને સૂચિત કરો સંખ્યાઓ bઅને a કહેવાય છે એકીકરણની ઉપલી અને નીચલી મર્યાદા.સેગમેન્ટ એકીકરણનો વિસ્તાર.

વેરિયેબલ ફોર્સ વર્ક. ચળવળ ધ્યાનમાં લો સામગ્રી બિંદુચલ બળ f ની ક્રિયા હેઠળ OX અક્ષ સાથે, ધરી પર બિંદુ xની સ્થિતિને આધારે, એટલે કે. બળ, જે x નું કાર્ય છે. પછી એક ભૌતિક બિંદુને x = a માંથી સ્થિતિ x = b પર ખસેડવા માટે જરૂરી કાર્ય A ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

ઓપીની મિલકતો.

1) જો કાર્ય fઅંતરાલ પર એન્ટિડેરિવેટિવ હોય છે અને પછી તે કોઈપણ સંખ્યા હોય .

2) જો ફંક્શનમાં અંતરાલ પર એન્ટિડેરિવેટિવ હોય, તો પછી.

3) ઉમેરણ મિલકત.જો કાર્ય fસેગમેન્ટમાં એન્ટિડેરિવેટિવ છે અને પછી .

4) જો કાર્ય fપછી સેગમેન્ટમાં એન્ટિડેરિવેટિવ છે .

5)6)

7) જો કાર્ય fસેગમેન્ટમાં એન્ટિડેરિવેટિવ છે અને તે પછી સમાન છે . જો f પછી વિચિત્ર છે.

8) જો કાર્ય f પીરિયડ હોય છે અને સેગમેન્ટમાં માટે એન્ટિડેરિવેટિવ હોય છે f, પછી કોઈપણ માટે aસમાનતા સાચી છે .

9) જો .

11) અસમાનતાને અંતરાલ પર પકડી રાખવા દો, અને આ અંતરાલ પર કાર્ય fએન્ટીડેરિવેટિવ છે. પછી .

Darboux રકમો. ચાલો સરવાળો કરીએ. આને નીચલા અને ઉપલા ડાર્બોક્સ સમો કહેવામાં આવે છે.

ગુણધર્મોDarboux રકમો: 1) જો સેગમેન્ટને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરવાના હાલના બિંદુઓમાં નવા પોઈન્ટ ઉમેરવામાં આવે, તો નીચલા ડાર્બોક્સ સરવાળા માત્ર વધી શકે છે, અને ઉપલા સરવાળામાં ઘટાડો થાય છે. તે. જો τ′ એ પાર્ટીશન τ નું શુદ્ધિકરણ છે, તો .

2) દરેક નીચલી ડાર્બોક્સ રકમ દરેક ઉપલા સરવાળા કરતાં વધી જતી નથી, તે પણ અંતરાલના અલગ પાર્ટીશનને અનુરૂપ હોય.

3) - દ્વારા કાર્યનું ઓસિલેશન - ફંક્શનનું લોઅર ડાર્બોક્સ ઇન્ટિગ્રલ fપર, ઉપલા ડાર્બોક્સ અભિન્ન છે. નીચલા ડાર્બોક્સ સરવાળોનો સમૂહ () ઉપરના ઓછામાં ઓછા એક ઉપલા ડાર્બોક્સ સરવાળો દ્વારા બંધાયેલો છે અને પછી તેની પાસે છે. ઉપલા ડાર્બોક્સ રકમનો સમૂહ () નીચે બંધાયેલો છે, તેથી ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે -, અને. તે..

ગુઅખંડિતતા માટે જરૂરી શરત.જો કોઈ ફંક્શન અંતરાલ પર એકીકૃત હોય, તો તે તેના પર બંધાયેલ છે . ગુઅખંડિતતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ.ચોક્કસ અંતરાલ પર બંધાયેલ ફંક્શન તેના પર એકીકૃત થઈ શકે તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ સ્થિતિનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ ε>0 માટે δ(ε)>0 અસ્તિત્વમાં છે, કે કોઈપણ પાર્ટીશન માટે τ δ કરતા ઓછી સુંદરતા નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે:-<ε.

ગુસતત કાર્યની અખંડિતતા.જો f(x)ચાલુ છે, પછી તે તેના પર એકીકૃત છે. ગુ. કાર્ય નિશ્ચિત અને એકવિધ અને તેના પર એકીકૃત છે. ગુ. જો કોઈ ફંક્શન બાઉન્ડેડ અને અંતરાલ પર સતત હોય, કદાચ મર્યાદિત સંખ્યામાં પોઈન્ટ સિવાય, તો તે તેના પર એકીકૃત છે.