ગાણિતિક મોડેલ અને ગાણિતિક મોડેલિંગનો ખ્યાલ. ગાણિતિક મોડેલિંગની વ્યાખ્યા અને હેતુ

એસ.પી. બોબકોવ, ડી.ઓ. BYTEV

સિસ્ટમ્સ મોડલિંગ

ટ્યુટોરીયલ

ફેડરલ એજન્સીશિક્ષણ દ્વારા

રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થાઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણ

ઇવાનવો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી ઓફ કેમિકલ ટેકનોલોજી

આંતરરાષ્ટ્રીય યુનિવર્સિટીબિઝનેસ અને નવી ટેકનોલોજી (સંસ્થા)

એસ.પી. બોબકોવ, ડી.ઓ. BYTEV

સિસ્ટમ્સ મોડલિંગ

ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે.

બોબકોવ એસ.પી. સિસ્ટમ્સનું મોડેલિંગ: પાઠ્યપુસ્તક. ભથ્થું / S.P. બોબકોવ,

TO. બાયટેવ; ઇવાન. રાજ્ય રાસાયણિક તકનીક યુનિવર્સિટી – ઇવાનોવો, 2008. – 156 પૃષ્ઠ. - ISBN

લક્ષ્ય શિક્ષણ સહાય- વિદ્યાર્થીઓને આપો સામાન્ય વિચારતકનીકી અને તકનીકી મોડેલિંગની આધુનિક પદ્ધતિઓ વિશે આર્થિક સિસ્ટમોઅને વસ્તુઓ.

માર્ગદર્શિકા સામાન્ય મુદ્દાઓ અને આધુનિક પદ્ધતિસરની ચર્ચા કરે છે

મોડેલિંગ ટેક્નોલોજી, સતત અને અલગ નિર્ધારિત મોડલ

વસ્તુઓ અને પ્રણાલીઓના વિભાગો, અલગ અને સતત સમય સાથે સ્ટોકેસ્ટિક મોડલ. સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ સાથે સિસ્ટમોના સિમ્યુલેશન મોડેલિંગની પદ્ધતિઓ પર ખૂબ ધ્યાન આપવામાં આવે છે. અન્ય મોડેલિંગ અભિગમોની ઝાંખી આપવામાં આવી છે. જટિલ સિસ્ટમો, જેમ કે માહિતી-એન્ટ્રોપી, ઉપયોગ ન્યુરલ નેટવર્ક્સઅને પેટ્રી નેટ્સ.

પાઠ્યપુસ્તક વિશેષતા 080801 “એપ્લાઇડ ઇન્ફોર્મેટિક્સ” અને 230201 માં અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે.

« માહિતી સિસ્ટમોઅને ટેકનોલોજી." વધુમાં, માર્ગદર્શિકા અન્ય વિશેષતાઓ અને ક્ષેત્રોના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

કોષ્ટક 7. Il.92. ગ્રંથસૂચિ: 10 શીર્ષકો

સંપાદકીય અને પ્રકાશન પરિષદ ઇવાનવના નિર્ણય દ્વારા પ્રકાશિત-

રશિયન સ્ટેટ યુનિવર્સિટી ઓફ કેમિકલ ટેકનોલોજી.

સમીક્ષકો:

એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ વિભાગ, ઇવાનોવો સ્ટેટ એનર્જી યુનિવર્સિટી; ભૌતિક અને ગાણિતિક વિજ્ઞાનના ડૉક્ટર વી.એ. સોકોલોવ, (યારોસ્લાવલ સ્ટેટ યુનિવર્સિટી).

ISBN 5-9616-0268-6 © ઉચ્ચ વ્યવસાયિક શિક્ષણની રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા ઇવાનોવો સ્ટેટ કેમિકલ-ટેક્નોલોજીકલ યુનિવર્સિટી", 2008

1.5. ગાણિતિક મોડેલિંગ યોજનાનો ખ્યાલ. . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. સામાન્ય તકનીકગાણિતિક મોડલ બનાવવું. . . . . . . . . . . 13

1.7. મૂળભૂત ખ્યાલો વ્યવસ્થિત અભિગમસર્જન માટે

ગાણિતિક મોડેલો. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. નિર્ણાયક મોડલ્સ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. તકનીકી વસ્તુઓના ગાણિતિક મોડલ. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. ઘટક કાર્યાત્મક સમીકરણોવસ્તુઓ . . . . 20

2.1.2. તબક્કાના ચલો અને તેમની સામ્યતા. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. ટોપોલોજીકલ સમીકરણો. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. તકનીકી વસ્તુઓના મોડલ બનાવવાના ઉદાહરણો. . . . . . . 25

2.1.5. તકનીકી ઉપકરણોના નમૂનાઓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. મર્યાદિત રાજ્ય મશીનો. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. મર્યાદિત રાજ્ય મશીનનો ખ્યાલ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. વર્ણનની પદ્ધતિઓ અને મર્યાદિત રાજ્ય મશીનોના વર્ગો. . . . . . . . 32

2.2.3. અન્ય પ્રકારના મર્યાદિત રાજ્ય મશીનો. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. સ્ટોચેસ્ટિક મોડલ્સ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતના તત્વો. . . . . . . . . . . 39

3.1.1. રેન્ડમ પ્રક્રિયાનો ખ્યાલ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. અલગ માર્કોવ સાંકળો. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. સ્થિર સંભાવના વિતરણ. . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4. સતત માર્કોવ સાંકળો. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.5. સમીકરણો A.N. કોલમોગોરોવ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.6. ઇવેન્ટ સ્ટ્રીમ્સ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. મૂળભૂત સિદ્ધાંત કતાર. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. સામાન્યકૃત બ્લોક ડાયાગ્રામ SMO. વિકલ્પો

અને લક્ષણો. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. પ્રતીક્ષા અને દર્દીની વિનંતીઓ સાથે ઓપન-એન્ડેડ QS. 58

3.2.3. ઓપન-લૂપ QS ના ચલોને મર્યાદિત કરો. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4 ઓપન-લૂપ QS નો સામાન્ય કેસ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.5. બંધ QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.6. કતારબદ્ધ નેટવર્ક્સ

સરળ ઘટના પ્રવાહ સાથે. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. સંભવિત ઓટોમેટા. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

પરિચય

મોડેલિંગ એ આસપાસના વિશ્વ વિશે જ્ઞાન મેળવવા અને તેનો ઉપયોગ કરવાની સાર્વત્રિક પદ્ધતિ છે. મોડેલિંગનો ઉપયોગ હંમેશા વ્યક્તિ દ્વારા હેતુપૂર્ણ પ્રવૃત્તિઓમાં કરવામાં આવે છે, ખાસ કરીને સંશોધનમાં. આધુનિક પરિસ્થિતિઓમાં, ગાણિતિક મોડેલિંગની ભૂમિકા અને મહત્વ વધી રહ્યું છે, જે માધ્યમોના વિકાસ સાથે કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીઘણીવાર કમ્પ્યુટર તરીકે ઓળખાવા લાગ્યું.

ગાણિતિક (કમ્પ્યુટર) મોડેલો, તેમના તર્ક અને કડક ઔપચારિક સ્વભાવને કારણે, અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમોના ગુણધર્મોને નિર્ધારિત કરતા મુખ્ય પરિબળોને ઓળખવાનું અને તેમની પ્રતિક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. બાહ્ય પ્રભાવોઅને પરિમાણ ફેરફારો. ઘણીવાર ગાણિતિક મોડલ કુદરતી (ભૌતિક) કરતા સરળ અને વાપરવા માટે વધુ અનુકૂળ હોય છે. તેઓ કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગો હાથ ધરવાનું શક્ય બનાવે છે, જેનો વાસ્તવિક અમલ મુશ્કેલ અથવા અશક્ય છે.

મૂળભૂત સિદ્ધાંતો શીખવી ગાણિતિક મોડેલિંગપ્રવૃત્તિના તકનીકી ક્ષેત્રોમાં નિષ્ણાતોની તાલીમનો એક અભિન્ન ભાગ છે. મોડેલિંગ ઑબ્જેક્ટ્સ અને સિસ્ટમ્સના મૂળભૂત પાસાઓના અભ્યાસ સાથે સંબંધિત શિસ્ત, સંઘીય શૈક્ષણિક ધોરણોના ઘટકો હોવાને કારણે, સંબંધિત અભ્યાસક્રમમાં સમાવિષ્ટ ફરજિયાત છે.

આ ટ્યુટોરીયલનો હેતુ આધુનિક મોડેલીંગ પદ્ધતિઓની સુસંગત રજૂઆત છે. આ માર્ગદર્શિકા મુખ્યત્વે “માહિતી પ્રણાલીઓ” અને “એપ્લાઈડ ઈન્ફોર્મેટિક્સ (ઉદ્યોગ દ્વારા” ની વિશેષતાઓ અને ક્ષેત્રોમાં અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે. જો કે, આવી વિદ્યાશાખાઓ શીખવવાના અનુભવને ધ્યાનમાં લેતા તકનીકી યુનિવર્સિટીઓ, લેખકોએ ફક્ત માહિતી પ્રણાલીઓને ધ્યાનમાં લેવા માટે પોતાને મર્યાદિત ન રાખવાની સલાહ આપી હતી, પરંતુ ટેક્સ્ટમાં તકનીકી અને તકનીકી-આર્થિક પ્રણાલીઓ અને ઑબ્જેક્ટ્સની વિચારણા પણ શામેલ કરવાની સલાહ આપી હતી.

મેન્યુઅલ સામગ્રી નીચે પ્રમાણે રચાયેલ છે. પ્રથમ પ્રકરણ સામાન્ય મુદ્દાઓ અને આધુનિક મોડેલિંગ પદ્ધતિની ચર્ચા કરે છે, ગાણિતિક મોડેલો બનાવતી વખતે સિસ્ટમ અભિગમનો ઉપયોગ. બીજો પ્રકરણ ઑબ્જેક્ટ્સ અને સિસ્ટમ્સના સતત અને અલગ નિર્ણાયક મોડલની વિચારણા માટે સમર્પિત છે. વિવિધ ભૌતિક પ્રકૃતિના તકનીકી પદાર્થોના મોડેલોના સંશ્લેષણ અને વિશ્લેષણમાં સમાનતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત છે. ત્રીજો પ્રકરણ અલગ અને સાથે સ્ટોકેસ્ટિક મોડલ્સનો અભ્યાસ કરે છે સતત સમય. મેન્યુઅલમાં વધુ ધ્યાન સંભવિત લાક્ષણિકતાઓવાળી સિસ્ટમ્સના સિમ્યુલેશનની પદ્ધતિઓ પર આપવામાં આવે છે, જે ચોથા પ્રકરણની સામગ્રી બનાવે છે. પાંચમું પ્રકરણ જટિલ સિસ્ટમોના મોડેલિંગ માટેના અન્ય અભિગમોની ઝાંખી પૂરી પાડે છે, જેમ કે માહિતી-એન્ટ્રોપી, ન્યુરલ નેટવર્કનો ઉપયોગ અને પેટ્રી નેટ.

ગાણિતિક મોડેલિંગના સામાન્ય ખ્યાલો

કમ્પ્યુટરે આપણા જીવનમાં નિશ્ચિતપણે પ્રવેશ કર્યો છે, અને વ્યવહારીક રીતે માનવીય પ્રવૃત્તિનું કોઈ ક્ષેત્ર નથી જ્યાં કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ થતો નથી. નવા મશીનો બનાવવા અને સંશોધન કરવાની પ્રક્રિયામાં હવે કમ્પ્યુટરનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે તકનીકી પ્રક્રિયાઓઅને તેમના શ્રેષ્ઠ વિકલ્પોની શોધ; નક્કી કરતી વખતે આર્થિક કાર્યો, જ્યારે આયોજન અને ઉત્પાદન વ્યવસ્થાપનની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે છે વિવિધ સ્તરો. રોકેટ ટેક્નોલોજી, એરક્રાફ્ટ મેન્યુફેક્ચરિંગ, શિપબિલ્ડિંગ, તેમજ ડેમ, પુલ વગેરેની ડિઝાઇનમાં મોટા પદાર્થોનું સર્જન સામાન્ય રીતે કમ્પ્યુટરના ઉપયોગ વિના અશક્ય છે.

ઉકેલવા માટે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરવો લાગુ સમસ્યાઓ, સૌ પ્રથમ, લાગુ થયેલ સમસ્યાનું ઔપચારિક ગાણિતિક ભાષામાં "અનુવાદ" થવું જોઈએ, એટલે કે. માટે વાસ્તવિક પદાર્થ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમ, તેનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું આવશ્યક છે.

"મોડલ" શબ્દ લેટિન મોડસ (કૉપિ, ઇમેજ, રૂપરેખા) પરથી આવ્યો છે. મોડેલિંગ એ અમુક ઑબ્જેક્ટ A ને અન્ય ઑબ્જેક્ટ B સાથે બદલવાનું છે. બદલાયેલ ઑબ્જેક્ટ A ને મૂળ અથવા મોડેલિંગ ઑબ્જેક્ટ કહેવામાં આવે છે, અને બદલી B ને મોડેલ કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મૉડલ એ મૂળ ઑબ્જેક્ટ માટે અવેજી ઑબ્જેક્ટ છે, જે મૂળના કેટલાક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ પૂરો પાડે છે.

મોડેલિંગનો હેતુ એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી વસ્તુઓ વિશેની માહિતી મેળવવા, પ્રક્રિયા કરવા, પ્રસ્તુત કરવાનો અને ઉપયોગ કરવાનો છે બાહ્ય વાતાવરણ; અને અહીંનું મોડેલ ઑબ્જેક્ટના વર્તનના ગુણધર્મો અને પેટર્નને સમજવાના સાધન તરીકે કાર્ય કરે છે.

ગાણિતિક મૉડલિંગ એ વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા પ્રણાલીનો અભ્યાસ કરવાનું એક સાધન છે જેને ગાણિતિક મોડલ સાથે બદલીને વધુ અનુકૂળ હોય છે. પ્રાયોગિક સંશોધનકમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને.

ગાણિતિક મોડેલિંગ એ વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓના ગાણિતિક મોડેલો બનાવવા અને અભ્યાસ કરવાની પ્રક્રિયા છે. તમામ કુદરતી અને સામાજિક વિજ્ઞાન કે જે ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરે છે તે આવશ્યકપણે ગાણિતિક મોડેલિંગમાં રોકાયેલા છે: તેઓ વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટને તેના મોડેલ સાથે બદલે છે અને પછી પછીનો અભ્યાસ કરે છે. કોઈપણ મોડેલિંગની જેમ, ગાણિતિક મોડેલ અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઘટનાનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરતું નથી, અને આ રીતે મેળવેલા પરિણામોની લાગુ પડવા અંગેના પ્રશ્નો ખૂબ જ અર્થપૂર્ણ છે. ગાણિતિક મોડેલ એ વાસ્તવિકતાનો ઉપયોગ કરીને સરળ વર્ણન છે ગાણિતિક ખ્યાલો.

ગાણિતિક મોડલ સમીકરણો અને અન્યની ભાષામાં ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાની આવશ્યક વિશેષતાઓને વ્યક્ત કરે છે ગાણિતિક સાધનો. હકીકતમાં, ગણિત પોતે જે પ્રતિબિંબિત કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યું છે તેના માટે તેના અસ્તિત્વને આભારી છે, એટલે કે. તમારા પોતાના પર મોડેલ ચોક્કસ ભાષાઆસપાસના વિશ્વની પેટર્ન.

મુ ગાણિતિક મોડેલિંગચોક્કસ ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ગણિતની ભાષામાં ઘડવામાં આવેલા મોડેલ દ્વારા ઑબ્જેક્ટનો અભ્યાસ હાથ ધરવામાં આવે છે.

આપણા સમયમાં ગાણિતિક મોડેલિંગનો માર્ગ પૂર્ણ-સ્કેલ મોડેલિંગ કરતાં વધુ વ્યાપક છે. કોમ્પ્યુટરના આગમન દ્વારા ગાણિતિક મોડેલિંગના વિકાસને એક વિશાળ પ્રોત્સાહન આપવામાં આવ્યું હતું, જો કે આ પદ્ધતિ હજારો વર્ષો પહેલા ગણિત સાથે એકસાથે ઉદભવેલી હતી.

જેમ કે ગાણિતિક મોડેલિંગને હંમેશા કમ્પ્યુટર સપોર્ટની જરૂર હોતી નથી. ગાણિતિક મોડેલિંગમાં વ્યવસાયિક રીતે સંકળાયેલા દરેક નિષ્ણાત મોડેલનો વિશ્લેષણાત્મક અભ્યાસ કરવા માટે શક્ય બધું કરે છે. વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો (એટલે ​​​​કે, મૂળ ડેટા દ્વારા અભ્યાસના પરિણામોને વ્યક્ત કરતા સૂત્રો દ્વારા પ્રસ્તુત) સામાન્ય રીતે સંખ્યાત્મક ઉકેલો કરતાં વધુ અનુકૂળ અને વધુ માહિતીપ્રદ હોય છે. જટિલ ગાણિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓની ક્ષમતાઓ, જો કે, ખૂબ મર્યાદિત છે અને, એક નિયમ તરીકે, આ પદ્ધતિઓ સંખ્યાત્મક મુદ્દાઓ કરતાં ઘણી વધુ જટિલ છે.

ગાણિતિક મૉડલ એ વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ્સ, પ્રક્રિયાઓ અથવા પ્રણાલીઓની અંદાજિત રજૂઆત છે, જે ગાણિતિક શબ્દોમાં વ્યક્ત થાય છે અને મૂળની આવશ્યક વિશેષતાઓને સાચવે છે. માં ગાણિતિક મોડેલો માત્રાત્મક સ્વરૂપ, તાર્કિક અને ગાણિતિક રચનાઓનો ઉપયોગ કરીને, ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના મૂળભૂત ગુણધર્મો, તેના પરિમાણો, આંતરિક અને બાહ્ય જોડાણોનું વર્ણન કરો

બધા મોડેલોને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1. વાસ્તવિક
2. સંપૂર્ણ

બદલામાં, વાસ્તવિક મોડેલોને આમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1. સંપૂર્ણ પાયે,
2. ભૌતિક,
3. ગાણિતિક

આદર્શ મોડેલોને વિભાજિત કરી શકાય છે:

1. દ્રશ્ય
2. પ્રતિકાત્મક
3. ગાણિતિક

વાસ્તવિક ફુલ-સ્કેલ મોડલ્સ વાસ્તવિક વસ્તુઓ, પ્રક્રિયાઓ અને સિસ્ટમો છે જેના પર વૈજ્ઞાનિક, તકનીકી અને ઔદ્યોગિક પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક ભૌતિક મોડેલો- આ મોડેલો, ડમીઝ, પ્રજનન છે ભૌતિક ગુણધર્મોમૂળ (કાઇનેમેટિક, ડાયનેમિક, હાઇડ્રોલિક, થર્મલ, ઇલેક્ટ્રિકલ, લાઇટિંગ મોડલ્સ).

વાસ્તવિક ગાણિતિક એ એનાલોગ, માળખાકીય, ભૌમિતિક, ગ્રાફિક, ડિજિટલ અને સાયબરનેટિક મોડલ છે.

આદર્શ વિઝ્યુઅલ મોડલ ડાયાગ્રામ, નકશા, રેખાંકનો, આલેખ, આલેખ, એનાલોગ, માળખાકીય અને ભૌમિતિક મોડલ છે.

આદર્શ સાઇન મોડલ પ્રતીકો, મૂળાક્ષરો, પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ, ઓર્ડર કરેલ નોટેશન, ટોપોલોજીકલ નોટેશન, નેટવર્ક પ્રતિનિધિત્વ છે.

આદર્શ ગાણિતિક મોડલ એ વિશ્લેષણાત્મક, કાર્યાત્મક, સિમ્યુલેશન અને સંયુક્ત મોડલ છે.

ઉપરોક્ત વર્ગીકરણમાં, કેટલાક મોડેલોમાં ડબલ અર્થઘટન હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, એનાલોગ). પૂર્ણ-સ્કેલ સિવાયના તમામ મોડેલોને માનસિક મોડલના એક વર્ગમાં જોડી શકાય છે, કારણ કે તેઓ માનવ અમૂર્ત વિચારસરણીનું ઉત્પાદન છે.

ગેમ થિયરીના તત્વો

IN સામાન્ય કેસરમત માટે ઉકેલ તદ્દન છે મુશ્કેલ કાર્ય, અને સમસ્યાની જટિલતા અને તેને ઉકેલવા માટે જરૂરી ગણતરીઓની માત્રા વધવાની સાથે ઝડપથી વધે છે. જો કે, આ મુશ્કેલીઓ મૂળભૂત પ્રકૃતિની નથી અને તે માત્ર ગણતરીના ખૂબ મોટા જથ્થા સાથે સંકળાયેલી છે, જે કેટલાક કિસ્સાઓમાં વ્યવહારીક રીતે અશક્ય બની શકે છે. ઉકેલ શોધવાની પદ્ધતિનું મુખ્ય પાસું કોઈપણ માટે રહે છે એક જ.

ચાલો આને રમતના ઉદાહરણથી સમજાવીએ. ચાલો તેને ભૌમિતિક અર્થઘટન આપીએ - પહેલેથી જ એક અવકાશી. અમારી ત્રણ વ્યૂહરચનાઓને પ્લેનમાં ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે ; પ્રથમ મૂળ મૂળમાં આવેલું છે (ફિગ. 1). બીજા અને ત્રીજા - કુહાડીઓ પર ઓહઅને ઓહશરૂઆતથી 1 ના અંતરે.

Axes I-I, II-II અને III-III પ્લેન પર લંબરૂપ બિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવે છે . I-I અક્ષ પર વ્યૂહરચના માટે ચૂકવણી છે; II-II અને III-III અક્ષો વ્યૂહરચના માટે ચૂકવણી છે. દરેક દુશ્મન વ્યૂહરચના પર એક પ્લેન કટીંગ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે અક્ષ I-I, II-II અને III-III, જીતના સમાન વિભાગો

યોગ્ય વ્યૂહરચના અને વ્યૂહરચના સાથે . આ રીતે દુશ્મનની બધી વ્યૂહરચના તૈયાર કર્યા પછી, અમે ત્રિકોણ (ફિગ. 2) ઉપર વિમાનોનો પરિવાર મેળવીએ છીએ.

આ કુટુંબ માટે, તમે ચૂકવણી માટે નીચી સીમા પણ બનાવી શકો છો, જેમ કે અમે કિસ્સામાં કર્યું છે, અને આ સીમા પર પ્લેન પર મહત્તમ ઊંચાઈ સાથે બિંદુ N શોધી શકો છો. . આ ઊંચાઈ રમતની કિંમત હશે.

શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચનામાં વ્યૂહરચનાઓની ફ્રીક્વન્સી કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે (x, y)પોઈન્ટ N, એટલે કે:

જો કે, આ ભૌમિતિક બાંધકામકેસ માટે પણ તે અમલમાં મૂકવું સરળ નથી અને તેની જરૂર છે ઊંચા ખર્ચસમય અને કલ્પનાનો પ્રયત્ન. રમતના સામાન્ય કિસ્સામાં, તેને સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે - પરિમાણીય જગ્યાઅને તમામ સ્પષ્ટતા ગુમાવે છે, જો કે સંખ્યાબંધ કેસોમાં ભૌમિતિક પરિભાષાનો ઉપયોગ ઉપયોગી હોઈ શકે છે. વ્યવહારમાં રમતો હલ કરતી વખતે, ભૌમિતિક સાદ્રશ્યનો નહીં, પરંતુ ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ, ખાસ કરીને કારણ કે આ પદ્ધતિઓ જ કમ્પ્યુટર્સ પર સમસ્યા હલ કરવા માટે યોગ્ય છે.

આ તમામ પદ્ધતિઓ અનિવાર્યપણે અનુગામી અજમાયશ દ્વારા સમસ્યાને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે, પરંતુ ટ્રાયલના ક્રમને ક્રમ આપવાથી તમે અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ કરી શકો છો જે સૌથી વધુ આર્થિક રીતે ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે.

અહીં આપણે સંક્ષિપ્તમાં રમતો ઉકેલવા માટેની એક ગણતરી પદ્ધતિ જોઈશું - કહેવાતી રેખીય પ્રોગ્રામિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને.

આ કરવા માટે, ચાલો પહેલા આપીએ સામાન્ય સેટિંગરમત માટે ઉકેલ શોધવા વિશે સમસ્યાઓ. સાથે એક રમત આપવા દો ટીખેલાડી વ્યૂહરચના એઅને nખેલાડી વ્યૂહરચના INઅને ચુકવણી મેટ્રિક્સ આપવામાં આવે છે

રમતનો ઉકેલ શોધવા માટે તે જરૂરી છે, એટલે કે ખેલાડીઓ A અને Bની બે શ્રેષ્ઠ મિશ્ર વ્યૂહરચના.

જ્યાં (કેટલીક સંખ્યાઓ અને શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે).

અમારી શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના એસ*એદુશ્મનની કોઈપણ વર્તણૂક માટે, અને તેના શ્રેષ્ઠ વર્તણૂક (વ્યૂહરચના) માટે સમાન લાભ અમને પૂરો પાડવો જોઈએ. એસ*બી.સમાન વ્યૂહરચના એસ*બીદુશ્મનને આપણી કોઈપણ વર્તણૂક માટે અને આપણા શ્રેષ્ઠ વર્તન માટે સમાન (વ્યૂહરચના એસ*એ).

રમત કિંમત માં આ કિસ્સામાંઅમને અજાણ્યા; આપણે ધારીશું કે તે અમુક ધન સંખ્યાની બરાબર છે. આ રીતે માનીને, અમે તર્કની સામાન્યતાનું ઉલ્લંઘન કરતા નથી; તે > 0 હોવા માટે, તે દેખીતી રીતે પૂરતું છે કે મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો બિન-નકારાત્મક છે. આ હંમેશા પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા ઉમેરીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે હકારાત્મક મૂલ્યએલ આ કિસ્સામાં, રમતની કિંમત એલ દ્વારા વધશે, પરંતુ ઉકેલ બદલાશે નહીં.

ચાલો અમારી શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના પસંદ કરીએ એસ*એ.પછી પ્રતિસ્પર્ધીની વ્યૂહરચના સાથેનું અમારું સરેરાશ વળતર બરાબર હશે:

અમારી શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના એસ*એતેની પાસે એવી મિલકત છે કે, દુશ્મનની કોઈપણ વર્તણૂક માટે, તે તેનાથી ઓછો લાભ પ્રદાન કરે છે; તેથી, કોઈપણ સંખ્યાઓ કરતાં ઓછી ન હોઈ શકે. અમને ઘણી શરતો મળે છે:

(1)

ચાલો અસમાનતાઓ (1) ને હકારાત્મક મૂલ્ય દ્વારા વિભાજીત કરીએ અને સૂચિત કરીએ:

પછી શરત (1) તરીકે લખવામાં આવશે

(2)

જ્યાં બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ છે. કારણ કે જથ્થો સ્થિતિને સંતોષે છે

અમે અમારી ખાતરીપૂર્વકની જીતને શક્ય તેટલી ઊંચી બનાવવા માંગીએ છીએ; દેખીતી રીતે, તે જ સમયે જમણી બાજુસમાનતા (3) લઘુત્તમ મૂલ્ય લે છે.

આમ, રમતનો ઉકેલ શોધવાની સમસ્યા નીચેની ગાણિતિક સમસ્યામાં આવે છે: બિન-નકારાત્મક માત્રા નક્કી કરો , સંતોષકારક શરતો (2), જેથી તેમનો સરવાળો

ન્યૂનતમ હતું.

સામાન્ય રીતે, જ્યારે આત્યંતિક મૂલ્યો (મેક્સિમા અને મિનિમા) શોધવા સંબંધિત સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કાર્યને અલગ પાડવામાં આવે છે અને ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્યની બરાબર સેટ કરવામાં આવે છે. પરંતુ આવી તકનીક આ કિસ્સામાં નકામું છે, કારણ કે ફંક્શન Ф, જે જરૂર છેલઘુત્તમ, રેખીય છે, અને તમામ દલીલોના સંદર્ભમાં તેના ડેરિવેટિવ્ઝ એક સમાન છે, એટલે કે, તે ક્યાંય અદૃશ્ય થતા નથી. પરિણામે, ફંક્શનની મહત્તમતા દલીલોમાં ફેરફારોની શ્રેણીની સીમા પર ક્યાંક પ્રાપ્ત થાય છે, જે દલીલો અને શરતો (2) ની બિન-નકારાત્મકતાની જરૂરિયાત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ભિન્નતાનો ઉપયોગ કરીને આત્યંતિક મૂલ્યો શોધવાની તકનીક એવા કિસ્સાઓમાં પણ અયોગ્ય છે કે જ્યાં જીતની મહત્તમ નીચલી (અથવા ઉપલાની લઘુત્તમ) મર્યાદા રમતને હલ કરવા માટે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, જેમ આપણે કર્યું. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓએ રમતોને હલ કરતી વખતે તે કર્યું હતું, ખરેખર, નીચેની સીમા સીધી રેખાઓના વિભાગોથી બનેલી હોય છે, અને મહત્તમ તે બિંદુએ પ્રાપ્ત થાય છે જ્યાં વ્યુત્પન્ન શૂન્ય સમાન હોય છે (આવો કોઈ બિંદુ નથી), પરંતુ અંતરાલની સીમા પર અથવા સીધા વિભાગોના આંતરછેદના બિંદુએ.

ઉકેલવા માટે સમાન કાર્યો, ઘણી વાર વ્યવહારમાં આવી, ગણિતમાં એક વિશેષ ઉપકરણ વિકસાવવામાં આવ્યું છે રેખીય પ્રોગ્રામિંગ.

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આપેલ છે:

(4)

તે જથ્થાના બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો શોધવા માટે જરૂરી છે જે શરતોને સંતોષે છે (4) અને તે જ સમયે આપેલ સજાતીયને ઓછું કરવું રેખીય કાર્યજથ્થો ( રેખીય સ્વરૂપ):

તે જોવાનું સરળ છે કે ઉપર દર્શાવેલ ગેમ થિયરી સમસ્યા એ રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનો વિશેષ કેસ છે

પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે શરતો (2) શરતો (4) ની સમકક્ષ નથી, કારણ કે સમાન ચિહ્નોને બદલે તેમાં અસમાનતાના ચિહ્નો છે. જો કે, નવા ડમી બિન-નકારાત્મક ચલો રજૂ કરીને અને શરતો (2) ફોર્મમાં લખીને અસમાનતાના ચિહ્નોથી છુટકારો મેળવવો સરળ છે:

(5)

ફોર્મ Φ જે નાનું કરવાની જરૂર છે તે બરાબર છે

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ ઉપકરણ પ્રમાણમાં ઓછી સંખ્યામાં ક્રમિક નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરીને મૂલ્યો પસંદ કરવાનું શક્ય બનાવે છે , જણાવેલ જરૂરિયાતોને સંતોષે છે. વધુ સ્પષ્ટતા માટે, અમે અહીં આ ઉપકરણનો સીધો ઉપયોગ ચોક્કસ રમતોને ઉકેલવાની સામગ્રી પર દર્શાવીશું.

તમારા સારા કાર્યને જ્ઞાન આધાર પર સબમિટ કરવું સરળ છે. નીચેના ફોર્મનો ઉપયોગ કરો

વિદ્યાર્થીઓ, સ્નાતક વિદ્યાર્થીઓ, યુવા વૈજ્ઞાનિકો કે જેઓ તેમના અભ્યાસ અને કાર્યમાં જ્ઞાન આધારનો ઉપયોગ કરે છે તેઓ તમારા ખૂબ આભારી રહેશે.

પર પોસ્ટ કર્યું http://www.allbest.ru/

1. ગાણિતિક મોડેલિંગની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

ઉકેલ વ્યવહારુ સમસ્યાઓસમસ્યા (વિકાસશીલ ગાણિતિક મોડેલ), મેળવેલ ગાણિતિક મોડેલનો અભ્યાસ કરવા, પ્રાપ્ત ગાણિતિક પરિણામનું વિશ્લેષણ કરવા માટેની પદ્ધતિ પસંદ કરવી. સમસ્યાનું ગાણિતિક ફોર્મ્યુલેશન સામાન્ય રીતે ભૌમિતિક છબીઓ, કાર્યો, સમીકરણોની સિસ્ટમો વગેરેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન (ઘટના) સતત અથવા અલગ, નિર્ધારિત અથવા સ્ટોકેસ્ટિક અને અન્ય ગાણિતિક સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે.

ગાણિતિક મોડેલિંગનો સિદ્ધાંત આસપાસના વિશ્વમાં વિવિધ ઘટનાઓની ઘટનાના દાખલાઓની ઓળખ અથવા તેમના ગાણિતિક વર્ણન અને મોડેલિંગ દ્વારા સંપૂર્ણ-સ્કેલ પરીક્ષણો કર્યા વિના સિસ્ટમો અને ઉપકરણોના સંચાલનની ખાતરી કરે છે. આ કિસ્સામાં, ગણિતની જોગવાઈઓ અને કાયદાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તેમના આદર્શીકરણના અમુક સ્તરે સિમ્યુલેટેડ ઘટનાઓ, સિસ્ટમો અથવા ઉપકરણોનું વર્ણન કરે છે.

ગાણિતિક મોડલ (MM) એ અમુક સિસ્ટમ (અથવા ઓપરેશન)નું ઔપચારિક વર્ણન છે અમૂર્ત ભાષા, ઉદાહરણ તરીકે, ગાણિતિક સંબંધોના સમૂહ અથવા અલ્ગોરિધમ ડાયાગ્રામના સ્વરૂપમાં, એટલે કે. ગાણિતિક વર્ણન, જે સિસ્ટમ્સ અથવા ઉપકરણોના સંપૂર્ણ-સ્કેલ પરીક્ષણ દરમિયાન મેળવેલા તેમના વાસ્તવિક વર્તનની પૂરતા પ્રમાણમાં નજીકના સ્તરે સિસ્ટમ્સ અથવા ઉપકરણોના સંચાલનનું સિમ્યુલેશન પ્રદાન કરે છે. કોઈપણ MM વાસ્તવિક વસ્તુ, ઘટના અથવા પ્રક્રિયાને વાસ્તવિકતાના અમુક અંશે અંદાજ સાથે વર્ણવે છે. MM નો પ્રકાર વાસ્તવિક પદાર્થની પ્રકૃતિ અને અભ્યાસના ઉદ્દેશ્યો બંને પર આધાર રાખે છે.

સામાજિક, આર્થિક, જૈવિક અને ગાણિતિક મોડેલિંગ ભૌતિક ઘટના, ઑબ્જેક્ટ્સ, સિસ્ટમ્સ અને વિવિધ ઉપકરણો પૈકી એક છે આવશ્યક માધ્યમવિવિધ પ્રકારની સિસ્ટમો અને ઉપકરણોની પ્રકૃતિ અને ડિઝાઇનનું જ્ઞાન. જાણીતા ઉદાહરણો અસરકારક ઉપયોગપરમાણુ તકનીકો, ઉડ્ડયન અને એરોસ્પેસ સિસ્ટમ્સના નિર્માણમાં, વાતાવરણીય અને સમુદ્રી ઘટનાઓ, હવામાન વગેરેની આગાહીમાં મોડેલિંગ.

જો કે, મોડેલિંગના આવા ગંભીર ક્ષેત્રોમાં ઘણીવાર સુપરકોમ્પ્યુટર અને વૈજ્ઞાનિકોની મોટી ટીમો દ્વારા મોડેલિંગ અને તેના ડિબગીંગ માટે ડેટા તૈયાર કરવા માટે વર્ષોના કામની જરૂર પડે છે. જો કે, આ કિસ્સામાં, જટિલ સિસ્ટમો અને ઉપકરણોનું ગાણિતિક મોડેલિંગ માત્ર સંશોધન અને પરીક્ષણ પર નાણાં બચાવે છે, પરંતુ તેને દૂર પણ કરી શકે છે. પર્યાવરણીય આપત્તિઓ- ઉદાહરણ તરીકે, તે તમને પરમાણુ પરીક્ષણ છોડી દેવાની મંજૂરી આપે છે અને થર્મોન્યુક્લિયર શસ્ત્રોતેના ગાણિતિક મોડેલિંગની તરફેણમાં અથવા તેમની વાસ્તવિક ઉડાન પહેલાં એરોસ્પેસ સિસ્ટમ્સના પરીક્ષણની તરફેણમાં.

દરમિયાન, ઉકેલ સ્તરે ગાણિતિક મોડેલિંગ વધુ છે સરળ કાર્યો, ઉદાહરણ તરીકે, મિકેનિક્સ ક્ષેત્રથી, ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ, ઇલેક્ટ્રોનિક્સ, રેડિયો એન્જિનિયરિંગ અને વિજ્ઞાન અને તકનીકના અન્ય ઘણા ક્ષેત્રો હવે આધુનિક પીસી પર કરવા માટે ઉપલબ્ધ બન્યા છે. અને જ્યારે સામાન્યકૃત મોડેલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે એકદમ જટિલ સિસ્ટમ્સનું અનુકરણ કરવું શક્ય બને છે, ઉદાહરણ તરીકે, ટેલિકમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સ અને નેટવર્ક્સ, રડાર અથવા રેડિયો નેવિગેશન સિસ્ટમ્સ.

ગાણિતિક મોડેલિંગનો હેતુ ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ (પ્રકૃતિ અથવા તકનીકમાં) નું વિશ્લેષણ કરવાનો છે. બદલામાં, આને અભ્યાસ કરવા માટે MM પ્રક્રિયાના ઔપચારિકકરણની જરૂર છે. મોડેલ એક ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ હોઈ શકે છે જેમાં ચલોનો સમાવેશ થાય છે જેની વર્તણૂક વાસ્તવિક સિસ્ટમ જેવી જ હોય ​​છે. મોડેલમાં રેન્ડમનેસના ઘટકો શામેલ હોઈ શકે છે જે સંભાવનાઓને ધ્યાનમાં લે છે શક્ય ક્રિયાઓબે અથવા વધુ"ખેલાડીઓ", ઉદાહરણ તરીકે, ગેમ થિયરીમાં; અથવા તે ઓપરેટિંગ સિસ્ટમના એકબીજા સાથે જોડાયેલા ભાગોના વાસ્તવિક ચલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે.

સિસ્ટમોની લાક્ષણિકતાઓના અભ્યાસ માટે ગાણિતિક મોડેલિંગને વિશ્લેષણાત્મક, સિમ્યુલેશન અને સંયુક્તમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. બદલામાં, એમએમને સિમ્યુલેશન અને વિશ્લેષણાત્મકમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

2. ગાણિતિક મોડેલો બનાવવાની સુવિધાઓ

પ્રયોજિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરવા માટે, સૌ પ્રથમ, લાગુ થયેલ સમસ્યાનું ઔપચારિક ગાણિતિક ભાષામાં "અનુવાદ" કરવું આવશ્યક છે, એટલે કે. વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમ માટે, તેનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું આવશ્યક છે.

જથ્થાત્મક સ્વરૂપમાં ગાણિતિક મોડેલો, તાર્કિક અને ગાણિતિક રચનાઓનો ઉપયોગ કરીને, ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના મૂળભૂત ગુણધર્મો, તેના પરિમાણો, આંતરિક અને બાહ્ય જોડાણોનું વર્ણન કરે છે.

ગાણિતિક મોડેલ બનાવવા માટે તમારે આની જરૂર પડશે:

વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરો;

તેની સૌથી નોંધપાત્ર લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને પ્રકાશિત કરો;

ચલોને વ્યાખ્યાયિત કરો, એટલે કે. પરિમાણો કે જેના મૂલ્યો ઑબ્જેક્ટની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને અસર કરે છે;

લોજિકલ-ગાણિતિક સંબંધો (સમીકરણો, સમાનતાઓ, અસમાનતાઓ, તાર્કિક-ગાણિતિક બાંધકામો) નો ઉપયોગ કરીને ચલોના મૂલ્યો પર ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના મૂળભૂત ગુણધર્મોની અવલંબનનું વર્ણન કરો;

પસંદ કરો આંતરિક સંચારપ્રતિબંધો, સમીકરણો, સમાનતાઓ, અસમાનતાઓ, તાર્કિક અને ગાણિતિક બાંધકામોનો ઉપયોગ કરીને ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમ;

બાહ્ય જોડાણોને ઓળખો અને પ્રતિબંધો, સમીકરણો, સમાનતાઓ, અસમાનતાઓ, તાર્કિક અને ગાણિતિક રચનાઓનો ઉપયોગ કરીને તેનું વર્ણન કરો.

ગાણિતિક મોડેલિંગ, ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમનો અભ્યાસ કરવા અને તેના ગાણિતિક વર્ણનને દોરવા ઉપરાંત, તેમાં પણ શામેલ છે:

એક અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ જે ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના વર્તનનું મોડેલ કરે છે;

કોમ્પ્યુટેશનલ અને ફુલ-સ્કેલ પ્રયોગોના આધારે મોડેલ અને ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમની પર્યાપ્તતા તપાસવી;

મોડલ ગોઠવણ;

મોડેલનો ઉપયોગ કરીને.

અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયાઓ અને સિસ્ટમોનું ગાણિતિક વર્ણન આના પર આધાર રાખે છે:

વાસ્તવિક પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમની પ્રકૃતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, મિકેનિક્સ, થર્મોડાયનેમિક્સ, હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ, ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ, પ્લાસ્ટિસિટી સિદ્ધાંત, સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત વગેરેના નિયમોના આધારે સંકલિત કરવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ અને સિસ્ટમોના અભ્યાસ અને સંશોધનની આવશ્યક વિશ્વસનીયતા અને ચોકસાઈ.

ગાણિતિક મોડલ પસંદ કરવાના તબક્કે, નીચેનાની સ્થાપના કરવામાં આવે છે: ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમની રેખીયતા અને બિન-રેખીયતા, ગતિશીલતા અથવા સ્થિરતા, સ્થિરતા અથવા બિન-સ્થિરતા, તેમજ અભ્યાસ હેઠળની ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાના નિર્ધારણની ડિગ્રી. ગાણિતિક મોડેલિંગ દરમિયાન, વ્યક્તિ ઇરાદાપૂર્વક ચોક્કસથી વિચલિત થાય છે ભૌતિક પ્રકૃતિઑબ્જેક્ટ્સ, પ્રક્રિયાઓ અથવા સિસ્ટમો અને મુખ્યત્વે આ પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરતા જથ્થાઓ વચ્ચેના માત્રાત્મક નિર્ભરતાના અભ્યાસ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે.

ગાણિતિક મોડલ ક્યારેય વિચારણા હેઠળની વસ્તુ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમ સાથે સંપૂર્ણપણે સરખું હોતું નથી. સરળીકરણ અને આદર્શીકરણના આધારે, તે ઑબ્જેક્ટનું અંદાજિત વર્ણન છે. તેથી, મોડેલના વિશ્લેષણમાંથી પ્રાપ્ત પરિણામો અંદાજિત છે. તેમની ચોકસાઈ મોડેલ અને ઑબ્જેક્ટ વચ્ચેની પર્યાપ્તતા (અનુપાલન) ની ડિગ્રી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ગાણિતિક મૉડલનું નિર્માણ સામાન્ય રીતે વિચારણા હેઠળના ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના સૌથી સરળ, સૌથી ક્રૂડ ગાણિતિક મોડલના નિર્માણ અને વિશ્લેષણથી શરૂ થાય છે. ભવિષ્યમાં, જો જરૂરી હોય તો, મોડેલને શુદ્ધ કરવામાં આવે છે અને ઑબ્જેક્ટ સાથે તેના પત્રવ્યવહારને વધુ સંપૂર્ણ બનાવવામાં આવે છે, ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ લઈએ. ડેસ્કની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવું જરૂરી છે. સામાન્ય રીતે, આ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈને માપીને અને પછી પરિણામી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે. આ પ્રાથમિક પ્રક્રિયાનો વાસ્તવમાં અર્થ નીચે મુજબ છે: વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ (કોષ્ટકની સપાટી)ને અમૂર્ત ગાણિતિક મોડેલ - એક લંબચોરસ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. કોષ્ટકની સપાટીની લંબાઈ અને પહોળાઈને માપીને મેળવેલા પરિમાણો લંબચોરસને સોંપવામાં આવે છે, અને આવા લંબચોરસનો વિસ્તાર લગભગ ટેબલના જરૂરી વિસ્તાર તરીકે લેવામાં આવે છે.

જો કે, ડેસ્ક માટેનું લંબચોરસ મોડેલ સૌથી સરળ, સૌથી ક્રૂડ મોડલ છે. જો તમે સમસ્યા માટે વધુ ગંભીર અભિગમ અપનાવો છો, તો ટેબલનો વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે લંબચોરસ મોડેલનો ઉપયોગ કરતા પહેલા, આ મોડેલને તપાસવાની જરૂર છે. નીચે પ્રમાણે તપાસ કરી શકાય છે: લંબાઈને માપો વિરુદ્ધ બાજુઓકોષ્ટક, તેમજ તેના કર્ણની લંબાઈ અને તેમની એકબીજા સાથે સરખામણી કરો. જો, ચોકસાઈની આવશ્યક ડિગ્રી સાથે, વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈ અને કર્ણની લંબાઈ જોડીમાં સમાન હોય, તો કોષ્ટકની સપાટીને ખરેખર એક લંબચોરસ તરીકે ગણી શકાય. નહિંતર, લંબચોરસ મોડેલને નકારવું પડશે અને સામાન્ય ચતુર્ભુજ મોડેલ સાથે બદલવું પડશે. વધુ સાથે ઉચ્ચ માંગચોકસાઈમાં સુધારો કરવા માટે, મોડેલને વધુ શુદ્ધ કરવું જરૂરી હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટકના ખૂણાઓના ગોળાકારને ધ્યાનમાં લેવા.

આ સાથે સરળ ઉદાહરણતે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે ગાણિતિક મોડલ અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવતું નથી. સમાન કોષ્ટક માટે આપણે કાં તો લંબચોરસ મોડેલ અથવા વધુ અપનાવી શકીએ છીએ જટિલ મોડેલસામાન્ય ચતુર્ભુજ અથવા ગોળાકાર ખૂણાઓ સાથેનો ચતુષ્કોણ. એક અથવા બીજા મોડેલની પસંદગી ચોકસાઈની જરૂરિયાત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધતી જતી સચોટતા સાથે, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમની નવી અને નવી સુવિધાઓને ધ્યાનમાં લેતા, મોડેલ જટિલ હોવું જોઈએ.

ચાલો બીજા ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ: ક્રેન્ક મિકેનિઝમની હિલચાલનો અભ્યાસ (ફિગ. 4).

આ મિકેનિઝમના કાઇનેમેટિક પૃથ્થકરણ માટે, સૌ પ્રથમ, તેનું કાઇનેમેટિક મોડલ બનાવવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે: અમે મિકેનિઝમને તેના કાઇનેમેટિક ડાયાગ્રામથી બદલીએ છીએ, જ્યાં તમામ લિંક્સને કઠોર કનેક્શન્સ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, આ ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, અમે વેગ અને પ્રવેગના સમીકરણો મેળવીએ છીએ 1 લી અને 2 જી ક્રમના વિભેદક સમીકરણો.

ચાલો આ સમીકરણો લખીએ:

જ્યાં C 0 એ સ્લાઇડર C ની અત્યંત જમણી સ્થિતિ છે:

આર- ત્રિજ્યાએબી ક્રેન્ક;

એલ- લંબાઈકનેક્ટિંગ રોડ બીસી;

ક્રેન્ક કોણ;

પરિણામી ગુણાતીત સમીકરણો નીચેની સરળ ધારણાઓના આધારે ફ્લેટ અક્ષીય ક્રેન્ક મિકેનિઝમની ગતિના ગાણિતિક મોડેલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે: અમને તેમાં રસ ન હતો માળખાકીય સ્વરૂપોઅને શરીરના મિકેનિઝમમાં સમાવિષ્ટ જનતાનું સ્થાન, અને મિકેનિઝમના તમામ શરીર, અમે સીધા સેગમેન્ટ્સ સાથે બદલ્યા. વાસ્તવમાં, મિકેનિઝમની તમામ લિંક્સમાં સમૂહ અને તદ્દન છે જટિલ આકાર. ઉદાહરણ તરીકે, કનેક્ટિંગ સળિયા એ એક જટિલ પ્રિફેબ્રિકેટેડ કનેક્શન છે, જેનો આકાર અને પરિમાણો, અલબત્ત, મિકેનિઝમની હિલચાલને અસર કરશે, જ્યારે પ્રશ્નમાં મિકેનિઝમની હિલચાલનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું, અમે તેને ધ્યાનમાં લીધું નથી મિકેનિઝમમાં સમાવિષ્ટ શરીરની સ્થિતિસ્થાપકતાને ધ્યાનમાં લો, એટલે કે. બધી કડીઓ અમૂર્ત એકદમ કઠોર સંસ્થાઓ તરીકે ગણવામાં આવી હતી. વાસ્તવમાં, મિકેનિઝમમાં સમાવિષ્ટ તમામ સંસ્થાઓ છે સ્થિતિસ્થાપક સંસ્થાઓ. જ્યારે મિકેનિઝમ ફરે છે, ત્યારે તેઓ કોઈક રીતે વિકૃત થઈ જશે, અને તેઓ વિકસિત પણ થઈ શકે છે સ્થિતિસ્થાપક સ્પંદનો. આ બધું, અલબત્ત, મિકેનિઝમની હિલચાલને પણ અસર કરશે; અમે લિંક્સની મેન્યુફેક્ચરિંગ ભૂલ, કાઇનેમેટિક જોડીઓ A, B, C, વગેરેને ધ્યાનમાં લીધા નથી.

આમ, ફરી એક વાર એ વાત પર ભાર મૂકવો જરૂરી છે કે સમસ્યાના ઉકેલના પરિણામોની ચોકસાઈની જરૂરિયાતો જેટલી વધારે છે, ગાણિતિક મોડલ બનાવતી વખતે અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમની વિશેષતાઓને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂરિયાત વધારે છે. જો કે, સમયસર અહીં રોકાવું મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે એક જટિલ ગાણિતિક મોડેલ હલ કરવા માટે મુશ્કેલ સમસ્યામાં ફેરવાઈ શકે છે.

એક મોડેલ સૌથી સહેલાઈથી બાંધવામાં આવે છે જ્યારે ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમની વર્તણૂક અને ગુણધર્મોને નિર્ધારિત કરતા કાયદાઓ સારી રીતે જાણીતા હોય, અને ત્યાં એક વિશાળ વ્યવહારુ અનુભવતેમની એપ્લિકેશનો વધુ જટિલ પરિસ્થિતિ ઊભી થાય છે જ્યારે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમ વિશેનું આપણું જ્ઞાન અપૂરતું હોય છે. આ કિસ્સામાં, ગાણિતિક મોડેલ બનાવતી વખતે, એવી ધારણાઓ કરવી જરૂરી છે જે પૂર્વધારણાના સ્વભાવમાં હોય છે, તેને અનુમાનિત કહેવામાં આવે છે. આવા કાલ્પનિક મોડેલના અભ્યાસના પરિણામે મેળવેલા તારણો શરતી છે. નિષ્કર્ષોને ચકાસવા માટે, કમ્પ્યુટર પર મોડેલના અભ્યાસના પરિણામોની સંપૂર્ણ-સ્કેલ પ્રયોગના પરિણામો સાથે તુલના કરવી જરૂરી છે. આમ, વિચારણા હેઠળની ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના અભ્યાસ માટે ચોક્કસ ગાણિતિક મોડેલની લાગુ પડવાનો પ્રશ્ન ગાણિતિક પ્રશ્ન નથી અને તેને ગાણિતિક પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલી શકાતો નથી.

સત્યનો મુખ્ય માપદંડ છે પ્રયોગ, પોતાનામાં અભ્યાસ. વ્યાપક અર્થમાંઆ શબ્દ.

લાગુ સમસ્યાઓમાં ગાણિતિક મોડેલનું નિર્માણ કાર્યના સૌથી જટિલ અને મહત્વપૂર્ણ તબક્કાઓમાંનું એક છે. અનુભવ બતાવે છે કે ઘણા કિસ્સાઓમાં યોગ્ય મોડલ પસંદ કરવાનો અર્થ અડધાથી વધુ સમસ્યા હલ કરવાનો છે. આ તબક્કાની મુશ્કેલી એ છે કે તેમાં ગાણિતિક અને વિશેષ જ્ઞાનનું સંયોજન જરૂરી છે. તેથી, તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે લાગુ પડતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, ગણિતશાસ્ત્રીઓને ઑબ્જેક્ટ વિશે વિશેષ જ્ઞાન હોય, અને તેમના ભાગીદારો, નિષ્ણાતો પાસે ચોક્કસ ગાણિતિક સંસ્કૃતિ હોય, તેમના ક્ષેત્રમાં સંશોધનનો અનુભવ હોય, કમ્પ્યુટર્સ અને પ્રોગ્રામિંગનું જ્ઞાન હોય.

3. સામાન્ય ગાણિતિક મોડેલ

ગાણિતિક મોડેલ પ્રારંભિક ડેટા અને ઇચ્છિત જથ્થા વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે.

· ઇનપુટ ડેટાનો સમૂહ (ચલો) X,Y; X એ ચલ ચલોનો સમૂહ છે; Y - સ્વતંત્ર ચલો (અચલ);

· ગાણિતિક ઓપરેટર L, જે આ ડેટા પર કામગીરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે; જેના દ્વારા અમારો અર્થ ગાણિતિક ક્રિયાઓની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ છે જે ઇનપુટ અને આઉટપુટ ડેટા (ચલ) ના સેટ વચ્ચે સંખ્યાત્મક અથવા તાર્કિક સંબંધોનું વર્ણન કરે છે;

· આઉટપુટ ડેટાનો સમૂહ (ચલો) G(X,Y); માપદંડ કાર્યોનો સમૂહ છે, જેમાં (જો જરૂરી હોય તો) ઉદ્દેશ્ય કાર્યનો સમાવેશ થાય છે.

ગાણિતિક મોડેલ એ ડિઝાઇન કરેલ ઑબ્જેક્ટનું ગાણિતિક એનાલોગ છે. ઑબ્જેક્ટ માટે તેની પર્યાપ્તતાની ડિગ્રી ડિઝાઇન સમસ્યાના ઉકેલોની રચના અને શુદ્ધતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

વૈવિધ્યસભર પરિમાણોનો સમૂહ (ચલો) X વૈવિધ્યસભર પરિમાણો R x (શોધ સ્પેસ) ની જગ્યા બનાવે છે, જે વિવિધ પરિમાણોની સંખ્યાના સમાન પરિમાણ n સાથે મેટ્રિક છે.

સ્વતંત્ર ચલોનો સમૂહ Y ઇનપુટ ડેટા R y ની મેટ્રિક જગ્યા બનાવે છે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે જગ્યા R y ના દરેક ઘટકને શ્રેણી દ્વારા ઉલ્લેખિત કરવામાં આવે છે શક્ય મૂલ્યો, સ્વતંત્ર ચલોનો સમૂહ R y જગ્યાના અમુક મર્યાદિત સબસ્પેસ સાથે મેપ થયેલ છે.

સ્વતંત્ર ચલોનો સમૂહ Y ઑબ્જેક્ટના ઑપરેટિંગ વાતાવરણને નિર્ધારિત કરે છે, એટલે કે. બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ જેમાં ડિઝાઇન કરેલ ઑબ્જેક્ટ કાર્ય કરશે તે આ હોઈ શકે છે:

ઑબ્જેક્ટના તકનીકી પરિમાણો કે જે ડિઝાઇન પ્રક્રિયા દરમિયાન ફેરફારને પાત્ર નથી;

પર્યાવરણની ભૌતિક વિક્ષેપ કે જેની સાથે ડિઝાઇન ઑબ્જેક્ટ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે;

વ્યૂહાત્મક પરિમાણો કે જે ડિઝાઇન ઑબ્જેક્ટને પ્રાપ્ત કરવું આવશ્યક છે.

વિચારણા હેઠળના સામાન્ય મોડેલનો આઉટપુટ ડેટા માપદંડ સૂચકાંકો R G ની મેટ્રિક જગ્યા બનાવે છે.

કોમ્પ્યુટર-સહાયિત ડિઝાઇન સિસ્ટમમાં ગાણિતિક મોડેલના ઉપયોગનો આકૃતિ આકૃતિ 2 માં બતાવવામાં આવ્યો છે.

4. જરૂરીયાતો થી ગાણિતિક મોડેલો

ગાણિતિક મોડલ સમસ્યા પરિણામ

MO માટેની મુખ્ય જરૂરિયાતો પર્યાપ્તતા, ચોકસાઈ અને કાર્યક્ષમતાની જરૂરિયાતો છે.

1. પર્યાપ્તતા - પ્રદર્શિત કરવાની ક્ષમતા ઉલ્લેખિત ગુણધર્મોઉલ્લેખિત કરતાં વધુ ન હોય તેવી ભૂલ સાથેનો ઑબ્જેક્ટ.

2. ચોકસાઈ - વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટના પરિમાણોના મૂલ્યો અને ગાણિતિક મોડેલો પર ગણતરી કરાયેલ વચ્ચેના કરારની ડિગ્રી દ્વારા મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે.

3. સાર્વત્રિકતા - મોડેલમાં વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટના ગુણધર્મોની રજૂઆતની સંપૂર્ણતાને લાક્ષણિકતા આપે છે.

4. ખર્ચ-અસરકારકતા - સામાન્ય રીતે કમ્પ્યુટર મેમરી અને સમયના જરૂરી ખર્ચ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. કેટલીકવાર તે મોડેલની એક ઍક્સેસ માટે જરૂરી કામગીરીની સંખ્યા દ્વારા અંદાજવામાં આવે છે જ્યારે મોડેલ સમીકરણો ઉકેલવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ પસંદ કરતી વખતે ચોકસાઈ અને કાર્યક્ષમતા માટે સમાન આવશ્યકતાઓ દેખાય છે.

એક તરફ સાર્વત્રિકતા, ચોકસાઈ, પર્યાપ્તતા અને બીજી તરફ કાર્યક્ષમતા માટેની જરૂરિયાતો વિરોધાભાસી છે. આ ચોક્કસ ગુણધર્મોમાં ભિન્ન મોડેલોની સંપૂર્ણ શ્રેણીનું સંચાલન નક્કી કરે છે.

5. ગાણિતિક મોડેલ મેળવવા માટેની પદ્ધતિઓ

1. ઑબ્જેક્ટ ગુણધર્મોની પસંદગી જે મોડેલમાં પ્રતિબિંબિત થવાની છે. વિશ્લેષણના આધારે પસંદગી શક્ય કાર્યક્રમોમોડેલ અને એમએમની સાર્વત્રિકતાની ડિગ્રી નક્કી કરે છે.

2. ઑબ્જેક્ટના પસંદ કરેલા ગુણધર્મો વિશે પ્રારંભિક માહિતીનો સંગ્રહ. માહિતીના સ્ત્રોત આ હોઈ શકે છે: મોડેલ વિકસાવતા એન્જિનિયરનો અનુભવ અને જ્ઞાન; વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી સાહિત્ય, મુખ્યત્વે સંદર્ભ સાહિત્ય; પ્રોટોટાઇપ્સનું વર્ણન - એલિમેન્ટ્સ માટે ઉપલબ્ધ એમએમ કે જે અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટ સાથે તેમના ગુણધર્મોમાં સમાન છે; પરિમાણોના પ્રાયોગિક માપનના પરિણામો, વગેરે.

3. એમએમ રચનાનું સંશ્લેષણ. MM માળખું - સ્પષ્ટીકરણ વિના મોડેલના ગાણિતિક સંબંધોનું સામાન્ય દૃશ્ય સંખ્યાત્મક મૂલ્યોપરિમાણો તેમનામાં દેખાય છે. મોડેલનું માળખું પણ રજૂ કરી શકાય છે ગ્રાફિક સ્વરૂપ, ઉદાહરણ તરીકે સમકક્ષ સર્કિટ અથવા ગ્રાફના સ્વરૂપમાં. બંધારણનું સંશ્લેષણ એ ઔપચારિક બનાવવા માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને સૌથી મુશ્કેલ ઓપરેશન છે.

4. MM પરિમાણોના આંકડાકીય મૂલ્યોની ગણતરી. આ સમસ્યા આપેલ માળખાના મોડેલની ભૂલને ઘટાડવાની સમસ્યા તરીકે ઉભી થાય છે.

5. MM ની ચોકસાઈ અને પર્યાપ્તતાનું મૂલ્યાંકન. ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, એવા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ કે જેનો ઉપયોગ સમસ્યાના ઉકેલમાં કરવામાં આવ્યો ન હતો.

6. કમ્પ્યુટર પર કાર્યાત્મક એમએમનું અમલીકરણ પસંદગી સૂચવે છે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિપસંદ કરેલી પદ્ધતિની વિશેષતાઓ અનુસાર સમીકરણો ઉકેલવા અને સમીકરણોનું પરિવર્તન કરવું. અલ્ટીમેટ ગોલપરિવર્તન - પ્રાથમિક ક્રિયાઓના ક્રમના સ્વરૂપમાં કાર્યકારી વિશ્લેષણ કાર્યક્રમ મેળવવો (અંકગણિત અને લોજિકલ કામગીરી), કોમ્પ્યુટર આદેશો દ્વારા અમલમાં મૂકાયેલ છે. પ્રારંભિક ક્રિયાઓના ક્રમમાં મૂળ MM ના ઉલ્લેખિત રૂપાંતરણ કમ્પ્યુટર દ્વારા આપમેળે કરવામાં આવે છે ખાસ કાર્યક્રમો CAD એન્જિનિયર દ્વારા બનાવવામાં આવેલ છે. CAD યુઝર એન્જિનિયરને માત્ર તે દર્શાવવાની જરૂર છે કે તે કયા ઉપલબ્ધ પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરવા માંગે છે. વિવિધ અધિક્રમિક સ્તરોથી સંબંધિત MM પરિવર્તનની પ્રક્રિયા આકૃતિ 3 માં દર્શાવવામાં આવી છે.

આકૃતિ 3 PDE ના ગાણિતિક મોડલ્સના પરિવર્તનની પ્રક્રિયા - આંશિક વિભેદક સમીકરણો; ODE - સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો; એયુ -- બીજગણિતીય સમીકરણો; LEA -- રેખીય બીજગણિત સમીકરણો; 1...12 -- MM માં વેરીએબલ્સને અલગ પાડવાની પરસ્પર નિર્દેશિત રીતો

7. વપરાશકર્તા એન્જિનિયર વિશ્લેષણ કરેલ ઑબ્જેક્ટ વિશે અને તેના માટે અનુકૂળ સૉફ્ટવેર પૅકેજની સમસ્યા-લક્ષી ભાષામાં કરવા માટેની ડિઝાઇન પ્રક્રિયાઓ વિશે પ્રારંભિક માહિતી સેટ કરે છે. આકૃતિ 5.1 માં શાખા 1 એ સીમાની સમસ્યા તરીકે સૂક્ષ્મ સ્તર સાથે સંબંધિત સમસ્યાની રચનાને અનુરૂપ છે, મોટાભાગે PDE ના સ્વરૂપમાં. PDE ને ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ ચલોના વિવેકીકરણ અને સમસ્યાના બીજગણિતીકરણ પર આધારિત છે.

વિવેકીકરણમાં સતત ચલોને બદલવાનો સમાવેશ થાય છે મર્યાદિત સમૂહઅભ્યાસ માટે ઉલ્લેખિત અવકાશી અને સમય અંતરાલોમાં તેમના મૂલ્યો; બીજગણિતીકરણ - ડેરિવેટિવ્સને બીજગણિત સંબંધો સાથે બદલવામાં.

6. ગાણિતિક મોડેલોનો ઉપયોગ

આધુનિક કમ્પ્યુટર્સની કમ્પ્યુટિંગ શક્તિ, વપરાશકર્તાને તમામ સિસ્ટમ સંસાધનોની જોગવાઈ સાથે જોડાયેલી, સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે અને પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે ઇન્ટરેક્ટિવ મોડની શક્યતા, અમને સમસ્યા હલ કરવા માટે જરૂરી સમય ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.

ગાણિતિક મોડેલનું સંકલન કરતી વખતે, સંશોધકને આવશ્યક છે:

· અભ્યાસ હેઠળના પદાર્થના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરો;

· પદાર્થના મુખ્ય ગુણધર્મોને ગૌણમાંથી અલગ કરવાની ક્ષમતા;

· કરેલી ધારણાઓનું મૂલ્યાંકન કરો.

મોડેલ પ્રારંભિક ડેટા અને ઇચ્છિત માત્રા વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે. પ્રારંભિક ડેટામાંથી ઇચ્છિત મૂલ્યો તરફ જવા માટે ક્રિયાઓના ક્રમને એલ્ગોરિધમ કહેવામાં આવે છે.

સમસ્યા હલ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિની પસંદગી સાથે સંકળાયેલું છે. ગાણિતિક મોડેલના પ્રતિનિધિત્વના સ્વરૂપ પર આધાર રાખીને (બીજગણિત અથવા વિભેદક સ્વરૂપ) વિવિધ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

Allbest.ru પર પોસ્ટ કર્યું

સમાન દસ્તાવેજો

ગાણિતિક મોડેલિંગની મૂળભૂત વિભાવનાઓ, ઉત્પાદન આયોજન સમસ્યાઓ અને પરિવહન સમસ્યાઓના મોડલ બનાવવાના તબક્કાઓની લાક્ષણિકતાઓ; તેમના ઉકેલ માટે વિશ્લેષણાત્મક અને પ્રોગ્રામ અભિગમ. રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સિમ્પલેક્સ પદ્ધતિ.

કોર્સ વર્ક, 12/11/2011 ઉમેર્યું


તકનીકી પ્રકૃતિની લાગુ સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં MathCAD સિસ્ટમનો ઉપયોગ. ગાણિતિક મોડેલિંગના મૂળભૂત માધ્યમો. ઉકેલ વિભેદક સમીકરણો. વિદ્યુત સર્કિટના ગાણિતિક મોડલને અમલમાં મૂકવા માટે MathCad સિસ્ટમનો ઉપયોગ.

કોર્સ વર્ક, 11/17/2016 ઉમેર્યું


"વિભેદક સમીકરણ" ના ખ્યાલનો સાર. ગાણિતિક મોડેલિંગના મુખ્ય તબક્કાઓ. વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલ તરફ દોરી જતી સમસ્યાઓ. શોધ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. લોલક ઘડિયાળોની ચોકસાઇ. બોલની ગતિનો નિયમ નક્કી કરવાની સમસ્યાનું નિરાકરણ.

કોર્સ વર્ક, 12/06/2013 ઉમેર્યું


જીવવિજ્ઞાનમાં ગાણિતિક મોડેલિંગની વર્તમાન સમસ્યાનો અભ્યાસ. શિકાર માટે શિકારી સ્પર્ધાના સંશોધિત લોટકા-વોલ્ટેરા મોડેલનો અભ્યાસ. મૂળ સિસ્ટમનું રેખીયકરણ હાથ ધરવું. બિનરેખીય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ.

પરીક્ષણ, 04/20/2016 ઉમેર્યું


ગાણિતિક મોડેલિંગના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત જોગવાઈઓ. ગાણિતિક મોડેલનું માળખું. માં રેખીય અને બિનરેખીય વિકૃતિ પ્રક્રિયાઓ ઘન. મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જટિલ રૂપરેખાંકનના ઢગલાનાં ગાણિતિક મોડેલનો અભ્યાસ કરવા માટેની પદ્ધતિ.

કોર્સ વર્ક, 01/21/2014 ઉમેર્યું


ગાણિતિક રેખીય અને બિનરેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓનો ખ્યાલ અને પ્રકાર. ડાયનેમિક પ્રોગ્રામિંગ, એક્સેલ સ્પ્રેડશીટનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું નિરાકરણ. રોકાણના શ્રેષ્ઠ વિતરણને પસંદ કરવા પર ગતિશીલ પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓ.

કોર્સ વર્ક, 05/21/2010 ઉમેર્યું


સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓગણિતમાં વૈકલ્પિક વર્ગો, મૂળભૂત સ્વરૂપો અને અમલીકરણની પદ્ધતિઓ. એક કેલેન્ડર અને વિષયોનું પ્લાન બનાવવું વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ

વિષયવસ્તુ ગાણિતિક મોડેલિંગનો વિષય. મોડેલિંગની મૂળભૂત બાબતો. એક મોડેલનો ખ્યાલ. મોડેલિંગ સિદ્ધાંત. વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનની પદ્ધતિ તરીકે મોડેલિંગ. મોડેલિંગ તબક્કાઓ. તબક્કા 1 - 2 ની લાક્ષણિકતાઓ. મોડેલિંગ તબક્કાઓ. 3-4 તબક્કાની લાક્ષણિકતાઓ. મોડેલોનું વર્ગીકરણ. સામાન્ય ઝાંખી. આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલનું વર્ગીકરણ. આર્થિક અને ગાણિતિક મોડેલિંગના તબક્કાઓ. ગાણિતિક મોડેલ. લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ. રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું નિવેદન. ભૌમિતિક અર્થઘટન અને ગ્રાફિક ઉકેલરેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓ. સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિ. પ્રારંભિક સંદર્ભ યોજનાનું નિર્માણ. સિમ્પ્લેક્સ કોષ્ટકો. સંદર્ભ યોજનાની શ્રેષ્ઠતાની નિશાની. દ્વૈતનો ખ્યાલ. દ્વિ સમસ્યાઓ અને તેમની મિલકતોનું નિર્માણ. પરિવહન સમસ્યા. પ્રારંભિક સંદર્ભ યોજનાનું નિર્માણ. પરિવહન સમસ્યા. સંભવિતતાની પદ્ધતિ.

વિષયવસ્તુ આલેખ સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ અને વ્યાખ્યાઓ. ડિગ્રાફના ઘટકોનો ક્રમ. ફુલ્કર્સનનું અલ્ગોરિધમ. આલેખમાં ટૂંકા માર્ગો શોધવાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. મહત્તમ પ્રવાહ સમસ્યા અને તેના કાર્યક્રમો. નેટવર્ક સેટિંગમાં પરિવહન સમસ્યા. તત્વો નેટવર્ક આયોજન. ડાયનેમિક પ્રોગ્રામિંગના સિદ્ધાંતો, પદ્ધતિની કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયા. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ. પદ્ધતિનો સાર. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. મેટ્રિક્સ ગેમ્સના સિદ્ધાંતના તત્વો. જોડી કરેલ શૂન્ય-સમ મેટ્રિક્સ રમતો. મેટ્રિક્સ રમતો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. પ્રકૃતિ સાથે રમતો. નિર્ણય લેવા માટેના માપદંડ. મેપલ 7 પેકેજની સામાન્ય ઝાંખી. તેની ક્ષમતાઓ. પ્રોગ્રામ ઇન્ટરફેસ, આદેશો સાથે કામ કરે છે. ચલોનો ઉપયોગ કરીને. કોષ્ટકો સાથે કામ.

ગાણિતિક મોડેલિંગનો વિષય. મોડેલિંગની મૂળભૂત બાબતો ગાણિતિક મોડેલિંગ એ ઘટનાઓ, પ્રક્રિયાઓ, સિસ્ટમો અથવા ઑબ્જેક્ટ્સનું નિર્માણ અને અભ્યાસ કરીને અને પછીનો ઉપયોગ કરીને લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવા અથવા સ્પષ્ટ કરવા માટેનો અભ્યાસ છે. તર્કસંગત રીતોનવી ડિઝાઇન કરેલી તકનીકી પ્રક્રિયાઓ, સિસ્ટમો અને વસ્તુઓનું નિર્માણ. ગાણિતિક મોડલ એ એબ્સ્ટ્રેક્શન છે વાસ્તવિક દુનિયા, જેમાં સંશોધક વચ્ચેના રસના સંબંધો વાસ્તવિક તત્વોગાણિતિક શ્રેણીઓ વચ્ચે યોગ્ય સંબંધો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ સંબંધો સામાન્ય રીતે સમીકરણો અને (અથવા) અસમાનતાના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે જે સિમ્યુલેટેડ વાસ્તવિક સિસ્ટમની કામગીરીને લાક્ષણિકતા આપે છે. ગાણિતિક મોડેલો બનાવવાની કળા એ છે કે તેના ગાણિતિક વર્ણનમાં શક્ય તેટલી સંક્ષિપ્તતા સાથે સંશોધકને રુચિ ધરાવતા વિશ્લેષિત વાસ્તવિકતાના ચોક્કસ પાસાઓના મોડેલ પ્રજનનની પૂરતી ચોકસાઈ સાથે જોડવામાં આવે છે. સિમ્યુલેશન મેનુ - સર્જનાત્મક પ્રક્રિયા, મોટી માત્રામાં માહિતીની ગંભીર તૈયારી અને પ્રક્રિયાની જરૂર છે, શ્રમની તીવ્રતા અને હ્યુરિસ્ટિક સિદ્ધાંતોનું સંયોજન અને પ્રકૃતિમાં સંભવિત હોવું.

એક મોડેલનો ખ્યાલ. વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનની પદ્ધતિ તરીકે મોડેલિંગ એક મોડેલ એ વાસ્તવિક વસ્તુ, ઘટના અથવા પ્રક્રિયાની કેટલીક સરળ સામ્યતા છે. મૉડલ એ ભૌતિક અથવા માનસિક રીતે કલ્પનાશીલ ઑબ્જેક્ટ છે જે તેના અભ્યાસના હેતુ માટે મૂળ ઑબ્જેક્ટને બદલે છે, આ અભ્યાસ માટે મહત્વપૂર્ણ છે તે મૂળના કેટલાક વિશિષ્ટ લક્ષણો અને ગુણધર્મોને સાચવે છે. એક સારી રીતે બાંધેલું મોડેલ, એક નિયમ તરીકે, વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ કરતાં સંશોધન માટે વધુ સુલભ છે (ઉદાહરણ તરીકે, દેશની અર્થવ્યવસ્થા, સૂર્યમંડળ, વગેરે). અન્ય, મોડેલનો કોઈ ઓછો મહત્વનો હેતુ એ નથી કે તેની સહાયથી, સૌથી નોંધપાત્ર પરિબળો કે જે ઑબ્જેક્ટના ચોક્કસ ગુણધર્મો બનાવે છે તે ઓળખવામાં આવે છે. મોડેલ તમને ઑબ્જેક્ટને કેવી રીતે નિયંત્રિત કરવું તે શીખવાની પણ પરવાનગી આપે છે, જે એવા કિસ્સાઓમાં મહત્વપૂર્ણ છે કે જ્યાં ઑબ્જેક્ટ સાથે પ્રયોગ કરવો અસુવિધાજનક, મુશ્કેલ અથવા અશક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે પ્રયોગ લાંબી અવધિઅથવા જ્યારે ઑબ્જેક્ટને અનિચ્છનીય અથવા બદલી ન શકાય તેવી સ્થિતિમાં ઘટાડવાનું જોખમ હોય છે). આમ, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે મોડેલ જરૂરી છે તે માટે: ચોક્કસ ઑબ્જેક્ટ કેવી રીતે રચાયેલ છે તે સમજવા - તેની રચના, મૂળભૂત ગુણધર્મો, વિકાસના નિયમો અને બાહ્ય વિશ્વ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શું છે; ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાને સંચાલિત કરવાનું અને નિર્ધારિત કરવાનું શીખો શ્રેષ્ઠ માર્ગોઆપેલ ધ્યેયો અને માપદંડ (ઓપ્ટિમાઇઝેશન) સાથે સંચાલન; મેનુ અમલીકરણના પ્રત્યક્ષ અને પરોક્ષ પરિણામોની આગાહી કરે છે આપેલ પદ્ધતિઓઅને પદાર્થ, પ્રક્રિયા પર પ્રભાવના સ્વરૂપો.

મોડેલિંગ સ્ટેજ સ્ટેજ 1 સ્ટેજ I ની લાક્ષણિકતાઓ. કાર્ય હેઠળ જ સમસ્યાનું નિવેદન સામાન્ય અર્થમાંએક સમસ્યા છે જેને હલ કરવાની જરૂર છે. મુખ્ય વસ્તુ એ મોડેલિંગ ઑબ્જેક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરવી અને પરિણામ શું હોવું જોઈએ તે સમજવું. રચનાની પ્રકૃતિના આધારે, બધી સમસ્યાઓને બે મુખ્ય જૂથોમાં વહેંચી શકાય છે. પ્રથમ જૂથમાં એવા કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે જેમાં કોઈ વસ્તુની લાક્ષણિકતાઓ તેના પર કેટલાક પ્રભાવ હેઠળ કેવી રીતે બદલાય છે તેનો અભ્યાસ કરવો જરૂરી છે. સમસ્યાની આ રચનાને સામાન્ય રીતે "શું થશે જો..." કહેવાય છે. સમસ્યાઓના બીજા જૂથમાં નીચેની સામાન્ય રચના છે: ઑબ્જેક્ટ પર શું અસર થવી જોઈએ જેથી તેના પરિમાણો ચોક્કસ સંતોષી શકે આપેલ શરત? સમસ્યાના આ ફોર્મ્યુલેશનને ઘણીવાર "કેવી રીતે કરવું તે..." કહેવામાં આવે છે. સિમ્યુલેશનના લક્ષ્યો મોડેલના ડિઝાઇન પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. મોટેભાગે, આ સમસ્યાની રચનામાં પૂછાયેલા પ્રશ્નના જવાબની શોધ છે. આગળ, ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાના વર્ણન પર આગળ વધો. આ તબક્કે, મોડેલની વર્તણૂક જેના પર આધાર રાખે છે તે પરિબળોને ઓળખવામાં આવે છે. માં મોડેલિંગ કરતી વખતે સ્પ્રેડશીટ્સઆહ, તમે ફક્ત તે જ પરિમાણોને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો જેની પાસે છે માત્રાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. કેટલીકવાર સમસ્યાને પહેલાથી જ સરળ સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવી શકે છે, અને તે સ્પષ્ટપણે લક્ષ્યો નક્કી કરે છે અને મોડેલ પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. ઑબ્જેક્ટનું પૃથ્થકરણ કરતી વખતે, નીચેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવો જરૂરી છે: શું અભ્યાસ હેઠળની ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાને એક સંપૂર્ણ તરીકે ગણી શકાય, અથવા તે સરળ ઑબ્જેક્ટ્સ ધરાવતી સિસ્ટમ છે? જો આ એક સંપૂર્ણ છે, તો પછી તમે માહિતી મોડેલ બનાવવા માટે આગળ વધી શકો છો. જો તે સિસ્ટમ છે, તો તમારે તેને બનાવેલ ઑબ્જેક્ટ્સનું વિશ્લેષણ કરવા અને તેમની વચ્ચેના જોડાણો નક્કી કરવા માટે આગળ વધવાની જરૂર છે. મેનુ

મોડેલિંગ સ્ટેજ સ્ટેજ 2 સ્ટેજ II ની લાક્ષણિકતાઓ. મોડલ ડેવલપમેન્ટ ઑબ્જેક્ટના વિશ્લેષણના પરિણામોના આધારે, એ માહિતી મોડેલ. તે ઑબ્જેક્ટના તમામ ગુણધર્મો, તેમના પરિમાણો, ક્રિયાઓ અને સંબંધોનું વિગતવાર વર્ણન કરે છે. આગળ, માહિતી મોડેલને પ્રતીકાત્મક સ્વરૂપોમાંથી એકમાં વ્યક્ત કરવું આવશ્યક છે. અમે સ્પ્રેડશીટ પર્યાવરણમાં કામ કરીશું તે ધ્યાનમાં લેતા, માહિતી મોડેલને ગાણિતિકમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે. માહિતી અને ગાણિતિક મોડેલોના આધારે, કોમ્પ્યુટર મોડેલ કોષ્ટકોના રૂપમાં સંકલિત કરવામાં આવે છે, જેમાં ડેટાના ત્રણ ક્ષેત્રોને અલગ પાડવામાં આવે છે: પ્રારંભિક ડેટા, મધ્યવર્તી ગણતરીઓ, પરિણામો. સ્ત્રોત ડેટા મેન્યુઅલી દાખલ કરવામાં આવે છે. ગણતરીઓ, મધ્યવર્તી અને અંતિમ બંને, સ્પ્રેડશીટ્સના નિયમો અનુસાર લખેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. મેનુ

મોડેલિંગ સ્ટેજ સ્ટેજ 3 ની લાક્ષણિકતાઓ સ્ટેજ III. કોમ્પ્યુટર પ્રયોગ નવી ડિઝાઇન વિકાસને જીવન આપવા માટે, નવા પરિચય માટે તકનીકી ઉકેલોઉત્પાદનમાં અથવા નવા વિચારોને ચકાસવા માટે, એક પ્રયોગની જરૂર છે. તાજેતરના ભૂતકાળમાં, આવા પ્રયોગ ક્યાં તો હાથ ધરવામાં આવી શકે છે પ્રયોગશાળા શરતોતેના માટે ખાસ બનાવેલ ઇન્સ્ટોલેશન પર, અથવા સિટુમાં, એટલે કે ઉત્પાદનના વાસ્તવિક નમૂના પર, તેને તમામ પ્રકારના પરીક્ષણોને આધિન. આ માટે ઘણું જરૂરી છે સામગ્રી ખર્ચઅને સમય. મોડેલોના કમ્પ્યુટર અભ્યાસ બચાવમાં આવ્યા. કમ્પ્યુટર પ્રયોગ કરતી વખતે, મોડેલોની શુદ્ધતા તપાસવામાં આવે છે. મોડેલની વર્તણૂકનો અભ્યાસ વિવિધ ઑબ્જેક્ટ પરિમાણો હેઠળ કરવામાં આવે છે. દરેક પ્રયોગ પરિણામોની સમજ સાથે છે. જો કોમ્પ્યુટર પ્રયોગના પરિણામો સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાના અર્થનો વિરોધાભાસ કરે છે, તો ભૂલને ખોટી રીતે પસંદ કરેલ મોડેલમાં અથવા તેને ઉકેલવા માટેની અલ્ગોરિધમ અને પદ્ધતિમાં જોવી જોઈએ. ભૂલોને ઓળખવા અને દૂર કર્યા પછી, કમ્પ્યુટર પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. મેનુ

મોડેલિંગ સ્ટેજ સ્ટેજ 4 સ્ટેજ IV ની લાક્ષણિકતાઓ. મોડેલિંગ પરિણામોનું વિશ્લેષણ મોડેલિંગનો અંતિમ તબક્કો એ મોડેલ વિશ્લેષણ છે. પ્રાપ્ત ગણતરી ડેટાના આધારે, અમે તપાસ કરીએ છીએ કે ગણતરીઓ અમારી સમજણ અને મોડેલિંગ લક્ષ્યોને કેટલી સારી રીતે અનુરૂપ છે. આ તબક્કે, અપનાવેલ મોડેલને સુધારવા માટેની ભલામણો અને, જો શક્ય હોય તો, ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયા નક્કી કરવામાં આવે છે. મેનુ

મોડેલોનું વર્ગીકરણ ઉપયોગના ક્ષેત્ર દ્વારા વર્ગીકરણ શૈક્ષણિક: વિઝ્યુઅલ એડ્સ, વિવિધ સિમ્યુલેટર, તાલીમ કાર્યક્રમો. અનુભવી: વધુ અભ્યાસ (જહાજ, કાર, એરોપ્લેન, હાઇડ્રોઇલેક્ટ્રિક સ્ટેશનના મોડલ) માટે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તુની ઘટાડેલી અથવા વિસ્તૃત નકલો. પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી મોડેલો બનાવવામાં આવે છે (ટેલિવિઝનના પરીક્ષણ માટેનું સ્ટેન્ડ; સિંક્રોટ્રોન - ઇલેક્ટ્રોન એક્સિલરેટર, વગેરે). ગેમિંગ: લશ્કરી, આર્થિક, રમતગમત, વ્યવસાયિક રમતો. સિમ્યુલેશન: ચોકસાઈની વિવિધ ડિગ્રી સાથે વાસ્તવિકતાને પ્રતિબિંબિત કરો (નવું પરીક્ષણ દવાઉંદર પરના અસંખ્ય પ્રયોગોમાં; ઉત્પાદનમાં નવી ટેકનોલોજી દાખલ કરવાના પ્રયોગો). સમય પરિબળને ધ્યાનમાં લેતા વર્ગીકરણ સ્ટેટિક મોડલ - ઑબ્જેક્ટનું મોડેલ આ ક્ષણેસમય ડાયનેમિક મોડલતમને સમય જતાં ઑબ્જેક્ટમાં ફેરફારો જોવાની મંજૂરી આપે છે. મેનુ

મૉડલનું વર્ગીકરણ પ્રતિનિધિત્વની પદ્ધતિ દ્વારા વર્ગીકરણ એ મટીરિયલ મૉડલ એ ઑબ્જેક્ટની ભૌતિક સમાનતા છે. તેઓ મૂળના ભૌમિતિક અને ભૌતિક ગુણધર્મોનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે (સ્ટફ્ડ પક્ષીઓ, પ્રાણીઓના નમૂનાઓ, આંતરિક અવયવો માનવ શરીર, ભૌગોલિક અને ઐતિહાસિક નકશા, યોજના સૌર સિસ્ટમ). માહિતી મૉડલ એ માહિતીનો સમૂહ છે જે ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા, ઘટનાના ગુણધર્મો અને અવસ્થાઓ તેમજ તેની સાથેના સંબંધને દર્શાવે છે. બહારની દુનિયા. કોઈપણ માહિતી મૉડલમાં ઑબ્જેક્ટ વિશે માત્ર આવશ્યક માહિતી હોય છે, જે હેતુ માટે તે બનાવવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લેતા. વિવિધ હેતુઓ માટે બનાવાયેલ સમાન ઑબ્જેક્ટના માહિતી મોડેલો સંપૂર્ણપણે અલગ હોઈ શકે છે. મૌખિક મોડેલ - માનસિક અથવા માહિતી મોડેલ બોલચાલનું સ્વરૂપ. સાઇન મોડલ એ એક માહિતી મોડેલ છે જે વિશેષ સંકેતો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, કોઈપણ ઔપચારિક ભાષા દ્વારા. આઇકોનિક મોડલ ડ્રોઇંગ, ટેક્સ્ટ, આલેખ, આકૃતિઓ, કોષ્ટકો વગેરે છે. કમ્પ્યુટર મોડેલ- સોફ્ટવેર એન્વાયર્નમેન્ટના માધ્યમથી અમલમાં મુકાયેલ મોડેલ. ઑબ્જેક્ટ (ઘટના, પ્રક્રિયા) નું મોડેલ બનાવતા પહેલા, તેના ઘટક તત્વો અને તેમની વચ્ચેના જોડાણોને ઓળખવા જરૂરી છે (ડ્રો સિસ્ટમ વિશ્લેષણ) અને પરિણામી રચનાને અમુક પૂર્વનિર્ધારિત સ્વરૂપમાં "અનુવાદ કરો" - માહિતીને ઔપચારિક બનાવો. મેનુ ફોર્મલાઇઝેશન એ પસંદગી અને અનુવાદની પ્રક્રિયા છે આંતરિક માળખુંચોક્કસ સમયે પદાર્થ, ઘટના અથવા પ્રક્રિયા માહિતી માળખું- ફોર્મ.

આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલનું વર્ગીકરણ આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલ એ નિયંત્રિત અને નિયંત્રિત આર્થિક પ્રક્રિયાઓના નમૂના છે જેનો ઉપયોગ આર્થિક વાસ્તવિકતાને બદલવા માટે થાય છે. ઑબ્જેક્ટને મોડેલ કરવા માટેના મોડલની પર્યાપ્તતા અવલોકન કરેલા તથ્યો સાથે સંશોધન પરિણામોના સંયોગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં પ્રેક્ટિસનો અર્થ વાસ્તવિકતા છે. તેમના ઉદ્દેશિત હેતુ અનુસાર, આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલને સૈદ્ધાંતિક અને વિશ્લેષણાત્મક એપ્લાઇડ ઇકોનોમિકમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને ગાણિતિક મોડલને સમગ્ર રાષ્ટ્રીય અર્થતંત્રના મોડેલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને તેની સબસિસ્ટમ્સ (ક્ષેત્રો, પ્રદેશો, વગેરે) મોડેલો કાર્યાત્મક અને માળખાકીય છે. મોડેલો વર્ણનાત્મક અથવા આદર્શમૂલક હોઈ શકે છે. વર્ણનાત્મક મોડેલો પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે: આ કેવી રીતે થાય છે અને તે કેવી રીતે વધુ વિકાસ કરી શકે છે? સામાન્ય મોડેલો પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે: આ કેવી રીતે હોવું જોઈએ? એટલે કે, તેઓ હેતુપૂર્ણ પ્રવૃત્તિનો સમાવેશ કરે છે. અવ્યવસ્થિતતા અને અનિશ્ચિતતાને ધ્યાનમાં લેતા સખત નિર્ધારિત મોડેલો અને મોડેલો છે. મોડેલો સ્થિર અથવા ગતિશીલ હોઈ શકે છે. વિચારણા હેઠળના સમયગાળાના આધારે, ટૂંકા ગાળાના (1-5 વર્ષ) અને લાંબા ગાળાના (10-15 અથવા વધુ વર્ષ) આગાહી અને આયોજનના મોડલને અલગ પાડવામાં આવે છે. આવા મોડેલોમાં સમય પોતે જ સતત અથવા વિવેકપૂર્ણ રીતે બદલાઈ શકે છે. મેનુ મોડલ રેખીય અથવા બિનરેખીય હોઈ શકે છે.

આર્થિક અને ગાણિતિક મોડેલિંગના તબક્કાઓ. સ્ટેજીંગ આર્થિક સમસ્યાઅને તેનું વિશ્લેષણ. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે સમસ્યાનો સાર નક્કી કરવો, બનાવેલી ધારણાઓ અને પ્રશ્નો કે જેના જવાબો જરૂરી છે. સ્ટેજમાં ઑબ્જેક્ટની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને પ્રકાશિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે, ગૌણમાંથી અમૂર્ત. જો જરૂરી હોય તો, ઑબ્જેક્ટના વર્તન અને વિકાસને સમજાવતી પૂર્વધારણાઓની રચના. ગાણિતિક મોડેલનું નિર્માણ. આર્થિક સમસ્યાના ઔપચારિકકરણનો તબક્કો. તે માનવું ખોટું છે કે મોડેલ જેટલી વધુ હકીકતો ધ્યાનમાં લે છે, તે વધુ સારું છે. મોડેલની જટિલતા અને બોજારૂપતામાં ફેરફાર સંશોધન પ્રક્રિયાને જટિલ બનાવે છે. ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે વાસ્તવિક તકોમાહિતી અને ગાણિતિક આધાર. પરિણામી અસર સાથે મોડેલિંગની કિંમતની તુલના કરવી જરૂરી છે. ગાણિતિક મૉડલની સૌથી મહત્ત્વની વિશેષતાઓમાંની એક વિવિધ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે તેનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવના છે. મેનુ

આર્થિક અને ગાણિતિક મોડેલિંગના તબક્કાઓ. ગાણિતિક વિશ્લેષણમોડેલો આ તબક્કાનો હેતુ શોધવાનો છે સામાન્ય ગુણધર્મોમોડેલો મહત્વનો મુદ્દો- ઉકેલના અસ્તિત્વનો પુરાવો. પ્રારંભિક માહિતીની તૈયારી એ ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે તે એકત્રિત કરવામાં કેટલો સમય લાગશે જરૂરી માહિતી, માહિતી તૈયાર કરવાના ખર્ચને ધ્યાનમાં લો. તૈયારીની પ્રક્રિયામાં, સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ, સૈદ્ધાંતિક અને ગાણિતિક આંકડા. સંખ્યાત્મક ઉકેલ. સમસ્યાના સંખ્યાત્મક ઉકેલ માટે એલ્ગોરિધમ્સનો વિકાસ, કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સનું સંકલન અને સીધી ગણતરીઓ. આ તબક્કે મુશ્કેલી આર્થિક સમસ્યાઓના વિશાળ પરિમાણ અને નોંધપાત્ર માત્રામાં માહિતી પર પ્રક્રિયા કરવાની જરૂરિયાત દ્વારા બનાવવામાં આવી છે. સંખ્યાત્મક પરિણામો અને તેમની એપ્લિકેશનનું મેનૂ વિશ્લેષણ. આ તબક્કે, મોડેલિંગ પરિણામોની શુદ્ધતા અને સંપૂર્ણતા અને તેમની વ્યવહારિક લાગુ પડવાની ડિગ્રી વિશે પ્રશ્ન ઊભો થાય છે.

લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ. આ ગાણિતિક મોડેલિંગની એક શાખા છે, જેની તમામ અવલંબન રેખીય છે. કોઈપણ રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાના ગાણિતિક મોડલમાં બિન-નકારાત્મકતા Xj ≥ 0 માટે Z= max(min) મેનૂ શરતોનું સ્વરૂપ છે

ઉદાહરણ: ઉત્પાદનો u 1 અને u 2 ના ઉત્પાદનમાં, લેથ્સ અને મિલિંગ મશીનો, તેમજ સ્ટીલ અને નોન-ફેરસ મેટલ્સનો ઉપયોગ u 1, 300 અને 200 એકમોના ઉત્પાદન માટેના તકનીકી ધોરણો અનુસાર થાય છે; ટર્નિંગ અને મિલિંગ સાધનોની જરૂર છે, અનુક્રમે (કલાકોમાં), અને સ્ટીલ અને નોન-ફેરસ મેટલ્સના 10 અને 20 એકમો (કિલોમાં). ઉત્પાદન ઉત્પાદન કરવા માટે અનુક્રમે 2, 400, 100, 70, 50 સમાન સંસાધનોના એકમો જરૂરી છે. વર્કશોપમાં 12400 અને 6800 કલાક, 640 અને 840 કિ.ગ્રા. સામગ્રી ઉત્પાદનના યુનિટ દીઠ વેચાણમાંથી નફો u 1=6000 ડેન. એકમો , u 2=16000 ડેન. એકમો આવશ્યક: મોડેલ બનાવવા માટે અનુકૂળ કોષ્ટકમાં સ્રોત ડેટાનો સારાંશ આપો. સમસ્યાનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવો. ઉત્પાદનોના ઉત્પાદન માટેની યોજના નક્કી કરો, શરત હેઠળ મહત્તમ નફો સુનિશ્ચિત કરો કે મિલિંગ મશીનોના સંચાલનના સમયનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ થવો જોઈએ.

ઉકેલ: x1 એ ઉત્પાદનોની સંખ્યા u 1 છે અને x2 એ ઉત્પાદનોની સંખ્યા u 2 છે, z એ કુલ નફો છે.

લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ. આ નોટેશનનું સામાન્ય અથવા વ્યુત્પન્ન સ્વરૂપ છે. વેરિયેબલ્સ Xj કે જે અવરોધોની સિસ્ટમ અને બિન-નેગેટિવિટી સ્થિતિને સંતોષે છે તેને સ્વીકાર્ય કહેવાય છે. માન્ય ચલો કે જે ઉદ્દેશ્ય કાર્યને મહત્તમ અથવા લઘુત્તમમાં ફેરવે છે તેને શ્રેષ્ઠ કહેવામાં આવે છે. આવી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ સાર્વત્રિક અને વિશેષમાં વહેંચાયેલી છે. કોઈપણ PLP ઉકેલવા માટે સાર્વત્રિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. ખાસ પદ્ધતિઓમોડેલની સુવિધાઓ ધ્યાનમાં લો. ZLP ની વિશેષ વિશેષતા એ છે કે મહત્તમ (મિનિટ) ઉદ્દેશ્ય કાર્ય પ્રદેશની સીમા સુધી પહોંચે છે. સ્વીકાર્ય ઉકેલો. પીએલપીમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે: શ્રેષ્ઠ તકનીકો પસંદ કરવાની સમસ્યા; મિશ્રણ સમસ્યા; સામગ્રી કાપવાની સમસ્યા; પરિવહન સમસ્યા; મેનુ સમસ્યા સંસાધનોના શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ વિશે છે; ઓર્ડર પ્લેસમેન્ટ સમસ્યા;

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું નિવેદન કોઈપણ ZLP ગાણિતિક મોડેલનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે. રેકોર્ડિંગ PAP મેનુ જનરલના 3 સ્વરૂપો છે (મફત)

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું નિવેદન આ તમામ સ્વરૂપો સમાન છે. મહત્તમથી લઘુત્તમ (અથવા ઊલટું) તરફ જવા માટે, તમારે નોટેશનમાં દરેક શબ્દના ચિહ્નો બદલવાની જરૂર છે ઉદ્દેશ્ય કાર્ય. ફોર્મની અસમાનતાને ફોર્મની અસમાનતામાં ફેરવવા માટે (અને તેનાથી વિપરીત), તમારે અસમાનતાની બંને બાજુઓને -1 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. મેનુ કેનોનિકલ (મુખ્ય) અસમાનતાને સમાનતામાં ફેરવવા માટે (અને ઊલટું), તમારે ડાબી બાજુએ વધારાના બિન-નકારાત્મક ચલ ઉમેરવા અથવા બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, તેને સંતુલન ચલ કહેવામાં આવે છે. ઉદ્દેશ્ય કાર્ય લખતી વખતે, તેની પાસે ગુણાંક =0 હોય છે.

ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યવહારિક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ સમસ્યાનું નિર્માણ કરીને (ગાણિતિક મોડેલ વિકસાવવા), પરિણામી ગાણિતિક મોડેલનો અભ્યાસ કરવા માટેની પદ્ધતિ પસંદ કરીને અને પ્રાપ્ત ગાણિતિક પરિણામનું વિશ્લેષણ કરીને સતત કરવામાં આવે છે. સમસ્યાનું ગાણિતિક ફોર્મ્યુલેશન સામાન્ય રીતે ભૌમિતિક છબીઓ, કાર્યો, સમીકરણોની સિસ્ટમો વગેરેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન (ઘટના) સતત અથવા અલગ, નિર્ધારિત અથવા સ્ટોકેસ્ટિક અને અન્ય ગાણિતિક સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે.

ગાણિતિક મોડેલિંગનો સિદ્ધાંત આસપાસના વિશ્વમાં વિવિધ ઘટનાઓની ઘટનાના દાખલાઓની ઓળખ અથવા તેમના ગાણિતિક વર્ણન અને મોડેલિંગ દ્વારા સંપૂર્ણ-સ્કેલ પરીક્ષણો કર્યા વિના સિસ્ટમો અને ઉપકરણોના સંચાલનની ખાતરી કરે છે. આ કિસ્સામાં, ગણિતની જોગવાઈઓ અને કાયદાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તેમના આદર્શીકરણના અમુક સ્તરે સિમ્યુલેટેડ ઘટનાઓ, સિસ્ટમો અથવા ઉપકરણોનું વર્ણન કરે છે.

ગાણિતિક મૉડલ (એમએમ) એ અમુક અમૂર્ત ભાષામાં સિસ્ટમ (અથવા ઑપરેશન)નું ઔપચારિક વર્ણન છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગાણિતિક સંબંધોના સમૂહ અથવા અલ્ગોરિધમ ડાયાગ્રામના સ્વરૂપમાં, એટલે કે ગાણિતિક વર્ણન જે ઑપરેશનનું સિમ્યુલેશન પૂરું પાડે છે. સિસ્ટમો અથવા ઉપકરણોના સંપૂર્ણ-સ્કેલ પરીક્ષણ દરમિયાન મેળવેલ તેમના વાસ્તવિક વર્તનની પૂરતી નજીકના સ્તરે સિસ્ટમો અથવા ઉપકરણો. કોઈપણ MM વાસ્તવિક વસ્તુ, ઘટના અથવા પ્રક્રિયાને વાસ્તવિકતાના અમુક અંશે અંદાજ સાથે વર્ણવે છે. MM નો પ્રકાર વાસ્તવિક પદાર્થની પ્રકૃતિ અને અભ્યાસના ઉદ્દેશ્યો બંને પર આધાર રાખે છે.

સામાજિક, આર્થિક, જૈવિક અને ભૌતિક ઘટનાઓ, વસ્તુઓ, પ્રણાલીઓ અને વિવિધ ઉપકરણોનું ગાણિતિક મોડેલિંગ એ પ્રકૃતિને સમજવા અને વિવિધ પ્રકારની સિસ્ટમો અને ઉપકરણોને ડિઝાઇન કરવા માટેનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ માધ્યમ છે. પરમાણુ તકનીકો, ઉડ્ડયન અને એરોસ્પેસ સિસ્ટમ્સના નિર્માણમાં, વાતાવરણીય અને સમુદ્રી ઘટનાઓ, હવામાન વગેરેની આગાહીમાં મોડેલિંગના અસરકારક ઉપયોગના જાણીતા ઉદાહરણો છે.

જો કે, મોડેલિંગના આવા ગંભીર ક્ષેત્રોમાં ઘણીવાર સુપરકોમ્પ્યુટર અને વૈજ્ઞાનિકોની મોટી ટીમો દ્વારા મોડેલિંગ અને તેના ડિબગીંગ માટે ડેટા તૈયાર કરવા માટે વર્ષોના કામની જરૂર પડે છે. જો કે, આ કિસ્સામાં, જટિલ સિસ્ટમો અને ઉપકરણોનું ગાણિતિક મોડેલિંગ માત્ર સંશોધન અને પરીક્ષણ પર નાણાં બચાવે છે, પરંતુ પર્યાવરણીય આપત્તિઓને પણ દૂર કરી શકે છે - ઉદાહરણ તરીકે, તે તમને તેમના ગાણિતિક મોડેલિંગની તરફેણમાં પરમાણુ અને થર્મોન્યુક્લિયર શસ્ત્રોના પરીક્ષણને છોડી દેવાની મંજૂરી આપે છે. અથવા તેમની વાસ્તવિક ફ્લાઇટ્સ પહેલાં એરોસ્પેસ સિસ્ટમ્સનું પરીક્ષણ.

દરમિયાન, સરળ સમસ્યાઓ ઉકેલવાના સ્તરે ગાણિતિક મોડેલિંગ, ઉદાહરણ તરીકે, મિકેનિક્સ, ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ, ઇલેક્ટ્રોનિક્સ, રેડિયો એન્જિનિયરિંગ અને વિજ્ઞાન અને તકનીકના અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાંથી, હવે આધુનિક પીસી પર કરવા માટે ઉપલબ્ધ બન્યું છે. અને જ્યારે સામાન્યકૃત મોડેલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે એકદમ જટિલ સિસ્ટમ્સનું અનુકરણ કરવું શક્ય બને છે, ઉદાહરણ તરીકે, ટેલિકમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સ અને નેટવર્ક્સ, રડાર અથવા રેડિયો નેવિગેશન સિસ્ટમ્સ.

ગાણિતિક મોડેલિંગનો હેતુ ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ (પ્રકૃતિ અથવા તકનીકમાં) નું વિશ્લેષણ કરવાનો છે. બદલામાં, આને અભ્યાસ કરવા માટે MM પ્રક્રિયાના ઔપચારિકકરણની જરૂર છે. મોડેલ એક ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ હોઈ શકે છે જેમાં ચલોનો સમાવેશ થાય છે જેની વર્તણૂક વાસ્તવિક સિસ્ટમ જેવી જ હોય ​​છે. મોડેલમાં અવ્યવસ્થિતતાના ઘટકો શામેલ હોઈ શકે છે જે બે અથવા વધુ "ખેલાડીઓ" ની સંભવિત ક્રિયાઓની સંભાવનાઓને ધ્યાનમાં લે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગેમ થિયરીમાં; અથવા તે ઓપરેટિંગ સિસ્ટમના એકબીજા સાથે જોડાયેલા ભાગોના વાસ્તવિક ચલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે.

સિસ્ટમોની લાક્ષણિકતાઓના અભ્યાસ માટે ગાણિતિક મોડેલિંગને વિશ્લેષણાત્મક, સિમ્યુલેશન અને સંયુક્તમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. બદલામાં, એમએમને સિમ્યુલેશન અને વિશ્લેષણાત્મકમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.