ત્રિકોણ એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જેમાં ત્રણ સીધી રેખાઓ હોય છે જે એક જ સીધી રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુઓ પર જોડાય છે. રેખાઓના જોડાણ બિંદુઓ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે, જે નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા છે લેટિન અક્ષરોમાં(દા.ત. A, B, C). ત્રિકોણની જોડતી સીધી રેખાઓને સેગમેન્ટ્સ કહેવામાં આવે છે, જે સામાન્ય રીતે લેટિન અક્ષરો દ્વારા પણ સૂચવવામાં આવે છે. ભેદ પાડવો નીચેના પ્રકારોત્રિકોણ

• લંબચોરસ.
• સ્થૂળ.
• તીવ્ર કોણીય.
• બહુમુખી.
• સમભુજ.
• સમદ્વિબાજુ.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે સામાન્ય સૂત્રો

લંબાઈ અને ઊંચાઈના આધારે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર

S= a*h/2,
જ્યાં a એ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે જેનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે, h એ આધાર તરફ દોરેલી ઊંચાઈની લંબાઈ છે.

હેરોનનું સૂત્ર

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
જ્યાં √ છે વર્ગમૂળ, p એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે, a,b,c એ ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઈ છે. સૂત્ર p=(a+b+c)/2 નો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી કરી શકાય છે.

કોણ અને સેગમેન્ટની લંબાઈના આધારે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર

S = (a*b*sin(α))/2,
જ્યાં b,c છેત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ, sin(α) એ બે બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાની સાઈન છે.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર, અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા અને ત્રણ બાજુઓ આપેલ છે

S=p*r,
જ્યાં p એ ત્રિકોણનો અર્ધ-પરિમિતિ છે જેનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે, r એ આ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

ત્રણ બાજુઓ પર આધારિત ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર અને તેની ફરતે ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા

S= (a*b*c)/4*R,
જ્યાં a,b,c એ ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઇ છે, R એ ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

બિંદુઓના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર

પોઈન્ટના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ એ xOy સિસ્ટમમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે, જ્યાં x એ એબ્સીસા છે, y એ ઓર્ડિનેટ છે. કાર્ટેશિયન સિસ્ટમપ્લેન પરના xOy કોઓર્ડિનેટ્સ પરસ્પર લંબરૂપ કહેવાય છે સંખ્યાત્મક અક્ષોઓહ અને ઓય સાથે સામાન્ય શરૂઆતબિંદુ O પર સંદર્ભ. જો આ પ્લેન પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ A(x1, y1), B(x2, y2) અને C(x3, y3) સ્વરૂપમાં આપવામાં આવ્યા હોય, તો તમે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો. મદદથી નીચેનું સૂત્ર, જેમાંથી મેળવવામાં આવે છે વેક્ટર ઉત્પાદનબે વેક્ટર.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
જ્યાં || મોડ્યુલ માટે વપરાય છે.

કાટકોણ ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો

જમણો ત્રિકોણ એ ત્રિકોણ છે જેનો એક ખૂણો 90 ડિગ્રી છે. ત્રિકોણમાં આવો એક જ ખૂણો હોઈ શકે છે.

બે બાજુઓ પરના કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર

S= a*b/2,
જ્યાં a,b એ પગની લંબાઈ છે. પગ એ જમણા ખૂણાને અડીને બાજુઓ છે.

કર્ણ અને તીવ્ર કોણ પર આધારિત કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર

S = a*b*sin(α)/ 2,
જ્યાં a, b ત્રિકોણના પગ છે, અને sin(α) એ કોણની સાઈન છે કે જેના પર a, b રેખાઓ છેદે છે.

બાજુ અને વિરોધી ખૂણા પર આધારિત કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર

S = a*b/2*tg(β),
જ્યાં a, b ત્રિકોણના પગ છે, tan(β) એ કોણની સ્પર્શક છે કે જેના પર પગ a, b જોડાયેલા છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણ છે જેમાં બે હોય છે સમાન બાજુઓ. આ બાજુઓને બાજુઓ કહેવામાં આવે છે, અને બીજી બાજુ આધાર છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમે નીચેનામાંથી એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે મૂળભૂત સૂત્ર

S=h*c/2,
જ્યાં c એ ત્રિકોણનો આધાર છે, h એ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે જે પાયા સુધી નીચે આવે છે.

બાજુ અને આધાર પર આધારિત સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું સૂત્ર

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
જ્યાં c એ ત્રિકોણનો આધાર છે, a એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની એક બાજુનું કદ છે.

સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું

સમભુજ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે. વિસ્તારની ગણતરી કરવી સમભુજ ત્રિકોણતમે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:
S = (√3*a*a)/4,
જ્યાં a એ સમભુજ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે.

ઉપરોક્ત સૂત્રો તમને ત્રિકોણના જરૂરી વિસ્તારની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપશે. તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે કે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ત્રિકોણના પ્રકાર અને ગણતરી માટે ઉપયોગમાં લઈ શકાય તેવા ઉપલબ્ધ ડેટાને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે.

ત્રિકોણ એ સૌથી સરળ ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેમાં ત્રણ બાજુઓ અને ત્રણ શિરોબિંદુઓ હોય છે. તેની સરળતાને લીધે, ત્રિકોણનો ઉપયોગ પ્રાચીન સમયથી હાથ ધરવા માટે કરવામાં આવે છે વિવિધ માપન, અને આજે આકૃતિ વ્યવહારુ અને રોજિંદા સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

ત્રિકોણની વિશેષતાઓ

આકૃતિનો ઉપયોગ પ્રાચીન સમયથી ગણતરી માટે કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જમીન સર્વેક્ષણકર્તાઓ અને ખગોળશાસ્ત્રીઓ વિસ્તારો અને અંતરની ગણતરી કરવા માટે ત્રિકોણના ગુણધર્મો સાથે કાર્ય કરે છે. આ આકૃતિના ક્ષેત્રફળ દ્વારા કોઈપણ n-gon ના ક્ષેત્રફળને વ્યક્ત કરવું સરળ છે, અને આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા બહુકોણના વિસ્તારો માટે સૂત્રો મેળવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. કાયમી નોકરીત્રિકોણ સાથે, ખાસ કરીને જમણા ત્રિકોણ સાથે, ગણિતની સંપૂર્ણ શાખા - ત્રિકોણમિતિનો આધાર બન્યો.

ત્રિકોણ ભૂમિતિ

પ્રાચીન કાળથી ભૌમિતિક આકૃતિના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે: ત્રિકોણ વિશેની સૌથી પ્રાચીન માહિતી 4,000 વર્ષ પહેલાં ઇજિપ્તની પેપિરીમાં મળી આવી હતી. પછી આકૃતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો પ્રાચીન ગ્રીસઅને ત્રિકોણની ભૂમિતિમાં સૌથી મોટું યોગદાન યુક્લિડ, પાયથાગોરસ અને હેરોન દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. ત્રિકોણનો અભ્યાસ ક્યારેય બંધ ન થયો અને 18મી સદીમાં લિયોનહાર્ડ યુલરે આકૃતિના ઓર્થોસેન્ટર અને યુલર વર્તુળનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો. 19મી અને 20મી સદીના વળાંક પર, જ્યારે એવું લાગતું હતું કે ત્રિકોણ વિશે સંપૂર્ણપણે બધું જ જાણીતું છે, ત્યારે ફ્રેન્ક મોર્લીએ કોણ ત્રિકોણ પર પ્રમેય ઘડ્યો, અને વેકલો સિઅરપિન્સકીએ ખંડિત ત્રિકોણનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો.

આપણને ઘણા પ્રકારના સપાટ ત્રિકોણ પરિચિત છે શાળા અભ્યાસક્રમભૂમિતિ:

• તીવ્ર - આકૃતિના બધા ખૂણા તીવ્ર છે;
• સ્થૂળ - આકૃતિમાં એક છે અસ્પષ્ટ કોણ(90 ડિગ્રીથી વધુ);
• લંબચોરસ - આકૃતિમાં 90 ડિગ્રી સમાન એક જમણો કોણ છે;
• સમદ્વિબાજુ - બે સમાન બાજુઓ સાથેનો ત્રિકોણ;
• સમભુજ - બધી સમાન બાજુઓ સાથેનો ત્રિકોણ.
• IN વાસ્તવિક જીવનત્યાં તમામ પ્રકારના ત્રિકોણ છે, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં આપણે ભૌમિતિક આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર પડી શકે છે.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

વિસ્તાર એ અંદાજ છે કે પ્લેનનો કેટલો ભાગ આકૃતિને ઘેરી લે છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છ રીતે શોધી શકાય છે, જેમાં બાજુઓ, ઊંચાઈ, ખૂણાઓ, અંકિત અથવા પરિમાણિત વર્તુળની ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને તેમજ હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અથવા ગણતરી કરી શકાય છે. ડબલ અભિન્નપ્લેનને મર્યાદિત કરતી રેખાઓ સાથે. સૌથી વધુ સરળ સૂત્રત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે આના જેવો દેખાય છે:

જ્યાં a ત્રિકોણની બાજુ છે, h તેની ઊંચાઈ છે.

જો કે, વ્યવહારમાં ભૌમિતિક આકૃતિની ઊંચાઈ શોધવાનું આપણા માટે હંમેશા અનુકૂળ નથી. અમારા કેલ્ક્યુલેટરનું અલ્ગોરિધમ તમને જાણીને વિસ્તારની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે:

• ત્રણ બાજુઓ;
• બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ;
• એક બાજુ અને બે ખૂણા.

ત્રણ બાજુઓ દ્વારા વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે, અમે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

જ્યાં p એ ત્રિકોણની અર્ધ પરિમિતિ છે.

ક્લાસિક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બે બાજુઓ પરનો વિસ્તાર અને એક ખૂણાની ગણતરી કરવામાં આવે છે:

S = a × b × sin(alfa),

જ્યાં આલ્ફા એ બાજુઓ a અને b વચ્ચેનો ખૂણો છે.

એક બાજુ અને બે ખૂણાઓના સંદર્ભમાં વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે, અમે સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જે:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

ઉપયોગ કરીને સરળ પ્રમાણ, અમે બીજી બાજુની લંબાઈ નક્કી કરીએ છીએ, જે પછી આપણે S = a × b × sin(alfa) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરીએ છીએ. આ અલ્ગોરિધમસંપૂર્ણપણે સ્વયંસંચાલિત છે અને તમારે ફક્ત ઉલ્લેખિત વેરિયેબલ્સ દાખલ કરવાની અને પરિણામ મેળવવાની જરૂર છે. ચાલો એક-બે ઉદાહરણો જોઈએ.

જીવનમાંથી ઉદાહરણો

પેવિંગ સ્લેબ

ચાલો કહીએ કે તમે ત્રિકોણાકાર ટાઇલ્સ સાથે ફ્લોરને મોકળો કરવા માંગો છો, અને જથ્થો નક્કી કરવા માંગો છો જરૂરી સામગ્રી, તમારે એક ટાઇલનો વિસ્તાર અને ફ્લોરનો વિસ્તાર શોધવો જોઈએ. ધારો કે તમારે એક ટાઇલનો ઉપયોગ કરીને 6 ચોરસ મીટર સપાટી પર પ્રક્રિયા કરવાની જરૂર છે જેના પરિમાણો a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm છે સ્વાભાવિક રીતે, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, કેલ્ક્યુલેટર હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરે છે અને આપે છે. પરિણામ:

આમ, એક ટાઇલ તત્વનું ક્ષેત્રફળ 0.021 હશે ચોરસ મીટર, અને તમારે ફ્લોર સુધારણા માટે 6/0.021 = 285 ત્રિકોણની જરૂર પડશે. 20, 21 અને 29 નંબરો બને છે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ- સંખ્યાઓ જે સંતોષે છે. અને તે સાચું છે, અમારા કેલ્ક્યુલેટરે પણ ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓની ગણતરી કરી છે, અને ગામા કોણ બરાબર 90 ડિગ્રી છે.

શાળા કાર્ય

IN શાળા કાર્યત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું જરૂરી છે, એ જાણીને કે બાજુ a = 5 સેમી, અને કોણ આલ્ફા અને બીટા અનુક્રમે 30 અને 50 ડિગ્રી છે. આ સમસ્યાને મેન્યુઅલી ઉકેલવા માટે, આપણે સૌપ્રથમ સાપેક્ષ ગુણોત્તરના પ્રમાણ અને વિરોધી ખૂણાઓના સાઈનનો ઉપયોગ કરીને બાજુ b નું મૂલ્ય શોધીશું, અને પછી સરળ સૂત્ર S = a × b × sin(alfa) નો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્રફળ નક્કી કરીશું. ચાલો સમય બચાવીએ, કેલ્ક્યુલેટર ફોર્મમાં ડેટા દાખલ કરીએ અને ત્વરિત જવાબ મેળવીએ

કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ખૂણા અને બાજુઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવવું મહત્વપૂર્ણ છે, અન્યથા પરિણામ ખોટું હશે.

નિષ્કર્ષ

ત્રિકોણ એ એક અનન્ય આકૃતિ છે જે વાસ્તવિક જીવનમાં અને અમૂર્ત ગણતરીઓમાં જોવા મળે છે. કોઈપણ પ્રકારના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે અમારા ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે, તમે વિવિધ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તમામ પદ્ધતિઓમાંથી, સૌથી સરળ અને વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ એ છે કે ઊંચાઈને પાયાની લંબાઈથી ગુણાકાર કરવી અને પછી પરિણામને બે વડે વિભાજીત કરવું. જોકે આ પદ્ધતિમાત્ર એકથી દૂર. નીચે તમે વાંચી શકો છો કે ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો વિવિધ સૂત્રો.

અલગથી, અમે વિસ્તારની ગણતરી કરવાની રીતો જોઈશું ચોક્કસ પ્રકારોત્રિકોણ - લંબચોરસ, સમદ્વિબાજુ અને સમભુજ. અમે દરેક સૂત્ર સાથે ટૂંકી સમજૂતી આપીએ છીએ જે તમને તેના સારને સમજવામાં મદદ કરશે.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેની સાર્વત્રિક પદ્ધતિઓ

નીચેના સૂત્રો ખાસ સંકેતનો ઉપયોગ કરે છે. અમે તેમાંથી દરેકને ડિસિફર કરીશું:

• a, b, c - આકૃતિની ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ જે આપણે વિચારી રહ્યા છીએ;
• r એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે જે આપણા ત્રિકોણમાં લખી શકાય છે;
• R એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે જે તેની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે;
• α એ બાજુઓ b અને c દ્વારા રચાયેલા ખૂણાની તીવ્રતા છે;
• β એ a અને c વચ્ચેના ખૂણાની તીવ્રતા છે;
• γ એ બાજુઓ a અને b દ્વારા રચાયેલા ખૂણાની તીવ્રતા છે;
• h એ આપણા ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે, કોણ α થી બાજુ a સુધી નીચું;
• p – a, b અને c બાજુઓનો અડધો સરવાળો.

તે તાર્કિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે તમે આ રીતે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેમ શોધી શકો છો. ત્રિકોણ સરળતાથી એક સમાંતરગ્રામમાં પૂર્ણ કરી શકાય છે, જેમાં ત્રિકોણની એક બાજુ કર્ણ તરીકે કાર્ય કરશે. સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ તેની એક બાજુની લંબાઈને તેની તરફ દોરવામાં આવેલી ઊંચાઈના મૂલ્યથી ગુણાકાર કરીને જોવા મળે છે. કર્ણ આ શરતી સમાંતરગ્રામને 2 સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી, તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે આપણા મૂળ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આ સહાયક સમાંતરગ્રામના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોવું જોઈએ.

S=½ a b sin γ

આ સૂત્ર મુજબ, ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેની બે બાજુઓની લંબાઈ એટલે કે a અને b ને તેમના દ્વારા રચાયેલા કોણની સાઈન વડે ગુણાકાર કરીને જોવા મળે છે. આ સૂત્ર તાર્કિક રીતે પાછલા એકમાંથી ઉતરી આવ્યું છે. જો આપણે કોણ β થી બાજુ b સુધીની ઊંચાઈ ઓછી કરીએ, તો પછી, ગુણધર્મો અનુસાર જમણો ત્રિકોણ, બાજુ a ની લંબાઈને કોણ γ ની સાઈન વડે ગુણાકાર કરતી વખતે, આપણે ત્રિકોણની ઊંચાઈ મેળવીએ છીએ, એટલે કે h.

પ્રશ્નમાંની આકૃતિનો વિસ્તાર વર્તુળની અડધી ત્રિજ્યાનો ગુણાકાર કરીને જોવા મળે છે જે તેની પરિમિતિ દ્વારા તેમાં લખી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે અર્ધ-પરિમિતિનું ઉત્પાદન અને ઉલ્લેખિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધીએ છીએ.

S= a b c/4R

આ સૂત્ર મુજબ, આપણને જે મૂલ્યની જરૂર છે તે આકૃતિની બાજુઓના ઉત્પાદનને તેની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળની 4 ત્રિજ્યા દ્વારા વિભાજીત કરીને શોધી શકાય છે.

આ સૂત્રો સાર્વત્રિક છે, કારણ કે તેઓ કોઈપણ ત્રિકોણ (સ્કેલિન, સમદ્વિબાજુ, સમબાજુ, લંબચોરસ) નું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. આ વધુ ઉપયોગ કરીને પણ કરી શકાય છે જટિલ ગણતરીઓ, જેના પર અમે વિગતવાર ધ્યાન આપીશું નહીં.

વિશિષ્ટ ગુણધર્મો સાથે ત્રિકોણના વિસ્તારો

કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું? આ આકૃતિની ખાસિયત એ છે કે તેની બે બાજુઓ એક સાથે તેની ઊંચાઈઓ છે. જો a અને b પગ છે, અને c એ કર્ણ બને છે, તો આપણે આના જેવો વિસ્તાર શોધીએ છીએ:

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું? તેની લંબાઈ a સાથે બે બાજુઓ અને લંબાઈ b સાથે એક બાજુ છે. પરિણામે, તેનું ક્ષેત્રફળ બાજુ a ના ચોરસના ગુણાંકને γ કોણ ની સાઈન વડે 2 વડે ભાગીને નક્કી કરી શકાય છે.

સમભુજ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું? તેમાં, બધી બાજુઓની લંબાઈ a ની બરાબર છે, અને બધા ખૂણાઓની તીવ્રતા α છે. તેની ઊંચાઈ બાજુ a ની લંબાઈ અને 3 ના વર્ગમૂળના અડધા ગુણાંક જેટલી છે. વિસ્તાર શોધવા માટે નિયમિત ત્રિકોણ, તમારે બાજુ a ના વર્ગને 3 ના વર્ગમૂળ વડે ગુણાકાર કરવાની અને 4 વડે ભાગવાની જરૂર છે.

થી વિરુદ્ધ શિરોબિંદુ) અને પરિણામી ઉત્પાદનને બે વડે વિભાજીત કરો. ફોર્મમાં આ આના જેવું દેખાય છે:

S = ½ * a * h,

ક્યાં:
S - ત્રિકોણનો વિસ્તાર,
a તેની બાજુની લંબાઈ છે,
h એ આ બાજુથી નીચેની ઊંચાઈ છે.

માપના સમાન એકમોમાં બાજુની લંબાઈ અને ઊંચાઈ રજૂ કરવી આવશ્યક છે. આ કિસ્સામાં, ત્રિકોણનો વિસ્તાર અનુરૂપ “” એકમોમાં મેળવવામાં આવશે.

ઉદાહરણ.
એક બાજુ સ્કેલીન ત્રિકોણ 20 સેમી લાંબો, લંબરૂપ 10 સેમી લાંબો વિપરીત શિરોબિંદુથી નીચે આવે છે.
ત્રિકોણનો વિસ્તાર જરૂરી છે.
ઉકેલ.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

જો સ્કેલેન ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ જાણીતો હોય, તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

S = ½ * a * b * sinγ,

જ્યાં: a, b - બેની લંબાઈ મનસ્વી બાજુઓ, અને γ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.

વ્યવહારમાં, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે માપવામાં આવે છે જમીન પ્લોટ, ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કેટલીકવાર મુશ્કેલ હોય છે, કારણ કે તે જરૂરી છે વધારાના બાંધકામોઅને કોણ માપન.

જો તમે સ્કેલેન ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ જાણો છો, તો હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ,
p – અર્ધ-પરિમિતિ: p = (a+b+c)/2.

જો, બધી બાજુઓની લંબાઈ ઉપરાંત, ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા જાણીતી હોય, તો નીચેના કોમ્પેક્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

જ્યાં: r – અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા (р – અર્ધ-પરિમિતિ).

સ્કેલેન ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ અને તેની બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

જ્યાં: R – ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા.

જો તમે ત્રિકોણની એક બાજુની લંબાઈ અને ત્રણ ખૂણા જાણો છો (સૈદ્ધાંતિક રીતે, બે પર્યાપ્ત છે - ત્રીજાનું મૂલ્ય ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓના સરવાળાની સમાનતાથી ગણવામાં આવે છે - 180º), તો પછી ઉપયોગ કરો. સૂત્ર:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

જ્યાં α એ બાજુ a ની વિરુદ્ધ ખૂણાનું મૂલ્ય છે;
β, γ – ત્રિકોણના બાકીના બે ખૂણાઓના મૂલ્યો.

શોધવાની જરૂર છે વિવિધ તત્વોવિસ્તારો સહિત ત્રિકોણ, વચ્ચે ઘણી સદીઓ પૂર્વે દેખાયા વૈજ્ઞાનિકો ખગોળશાસ્ત્રીઓપ્રાચીન ગ્રીસ. ચોરસ ત્રિકોણગણતરી કરી શકાય છે વિવિધ રીતેવિવિધ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને. ગણતરી પદ્ધતિ કયા તત્વો પર આધારિત છે ત્રિકોણજાણીતું

સૂચનાઓ

જો શરતમાંથી આપણે બે બાજુઓ b, c અને તેમના દ્વારા રચાયેલ કોણના મૂલ્યો જાણીએ છીએ?, તો ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ABC સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:
S = (bcsin?)/2.

જો શરતમાંથી આપણે બે બાજુઓ a, b અને તેમના દ્વારા ન બનેલા કોણના મૂલ્યો જાણીએ છીએ?, તો ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ABC નીચે મુજબ જોવા મળે છે:
કોણ શોધવું?, પાપ? = bsin?/a, પછી કોણ પોતે નક્કી કરવા માટે કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો.
કોણ શોધવું?, ? = 180°-?-?.
આપણે S = (એબ્સિન?)/2 વિસ્તાર પોતે શોધીએ છીએ.

જો સ્થિતિથી આપણે ફક્ત ત્રણ બાજુઓના મૂલ્યો જાણીએ છીએ ત્રિકોણ a, b અને c, પછી વિસ્તાર ત્રિકોણ ABC સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), જ્યાં p – અર્ધ-પરિમિતિ p = (a+b+c)/2

જો સમસ્યાની સ્થિતિમાંથી આપણે ઊંચાઈ જાણીએ છીએ ત્રિકોણ h અને જે બાજુ આ ઊંચાઈ ઓછી કરવામાં આવે છે, તે પછી વિસ્તાર ત્રિકોણસૂત્ર અનુસાર ABC:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

જો આપણે બાજુઓનો અર્થ જાણીએ ત્રિકોણ a, b, c અને આ વિશે વર્ણવેલ ત્રિજ્યા ત્રિકોણઆર, પછી આનો વિસ્તાર ત્રિકોણ ABC સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
S = abc/4R.
જો ત્રણ બાજુઓ a, b, c અને અંકિતની ત્રિજ્યા જાણીતી હોય, તો ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ABC સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:
S = pr, જ્યાં p એ અર્ધ-પરિમિતિ છે, p = (a+b+c)/2.

જો ABC સમભુજ હોય, તો સૂત્ર દ્વારા વિસ્તાર જોવા મળે છે:
S = (a^2v3)/4.
જો ત્રિકોણ ABC- સમદ્વિબાજુ, પછી ક્ષેત્ર સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, જ્યાં c – ત્રિકોણ.
જો ત્રિકોણ ABC કાટખૂણે હોય, તો ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:
S = ab/2, જ્યાં a અને b પગ છે ત્રિકોણ.
જો ત્રિકોણ ABC એ જમણો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે, તો ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે:
S = c^2/4 = a^2/2, જ્યાં c એ કર્ણ છે ત્રિકોણ, a=b – પગ.

વિષય પર વિડિઓ

સ્ત્રોતો:

• ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે માપવું

ટીપ 3: જો કોણ જાણીતું હોય તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું

વિસ્તાર શોધવા માટે માત્ર એક પરિમાણ (કોણ) જાણવું પૂરતું નથી ટ્રે ચોરસ . જો ત્યાં કોઈ વધારાના પરિમાણો હોય, તો પછી વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે તમે ફોર્મ્યુલામાંથી એક પસંદ કરી શકો છો જેમાં કોણ મૂલ્યનો ઉપયોગ જાણીતા ચલોમાંથી એક તરીકે થાય છે. સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા કેટલાક સૂત્રો નીચે આપેલા છે.

સૂચનાઓ

જો, બે બાજુઓ દ્વારા રચાયેલ કોણ (γ) ના કદ ઉપરાંત ટ્રે ચોરસ , તો પછી આ બાજુઓની લંબાઈ (A અને B) પણ જાણીતી છે ચોરસ(S) આકૃતિઓને બાજુઓની લંબાઈના અડધા ગુણાંક અને આની સાઈન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જાણીતો કોણ: S=½×A×B×sin(γ).

ત્રિકોણ સૌથી સામાન્ય છે ભૌમિતિક આકારો, જેની સાથે આપણે પહેલેથી જ પરિચિત છીએ પ્રાથમિક શાળા. દરેક વિદ્યાર્થીને ભૂમિતિના પાઠોમાં ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નનો સામનો કરવો પડે છે. તો, આપેલ આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની કઈ વિશેષતાઓ ઓળખી શકાય? આ લેખમાં આપણે આવા કાર્યને પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી મૂળભૂત સૂત્રો જોઈશું અને ત્રિકોણના પ્રકારોનું પણ વિશ્લેષણ કરીશું.

ત્રિકોણના પ્રકાર

તમે ત્રિકોણનો વિસ્તાર એકદમ શોધી શકો છો અલગ અલગ રીતે, કારણ કે ભૂમિતિમાં ત્રણ ખૂણાઓ ધરાવતી એક કરતાં વધુ પ્રકારની આકૃતિઓ છે. આ પ્રકારોમાં શામેલ છે:

• સ્થૂળ.
• સમભુજ (સાચો).
• જમણો ત્રિકોણ.
• સમદ્વિબાજુ.

ચાલો તેમને દરેક પર નજીકથી નજર કરીએ હાલના પ્રકારોત્રિકોણ

હલ કરતી વખતે આ ભૌમિતિક આકૃતિને સૌથી સામાન્ય ગણવામાં આવે છે ભૌમિતિક સમસ્યાઓ. જ્યારે મનસ્વી ત્રિકોણ દોરવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે, ત્યારે આ વિકલ્પ બચાવમાં આવે છે.

તીવ્ર ત્રિકોણમાં, નામ સૂચવે છે તેમ, બધા ખૂણા તીવ્ર હોય છે અને 180° સુધી ઉમેરે છે.

આ પ્રકારનો ત્રિકોણ પણ ખૂબ જ સામાન્ય છે, પરંતુ તીવ્ર ત્રિકોણ કરતાં થોડો ઓછો સામાન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ હલ કરતી વખતે (એટલે ​​કે, તેની ઘણી બાજુઓ અને ખૂણાઓ જાણીતા છે અને તમારે બાકીના તત્વો શોધવાની જરૂર છે), કેટલીકવાર તમારે કોણ સ્થૂળ છે કે નહીં તે નક્કી કરવાની જરૂર છે. કોસાઇન એ નકારાત્મક સંખ્યા છે.

B, એક ખૂણાનું મૂલ્ય 90° કરતાં વધી જાય છે, તેથી બાકીના બે ખૂણા નાના મૂલ્યો લઈ શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, 15° અથવા તો 3°).

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે આ પ્રકારના, તમારે કેટલીક ઘોંઘાટ જાણવાની જરૂર છે, જેના વિશે આપણે આગળ વાત કરીશું.

નિયમિત અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ

નિયમિત બહુકોણએ એક આકૃતિ છે જેમાં n ખૂણાઓ શામેલ છે અને જેની બાજુઓ અને ખૂણાઓ બધા સમાન છે. આ એક નિયમિત ત્રિકોણ છે. ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો 180° હોવાથી, ત્રણેય ખૂણોમાંથી દરેક 60° છે.

નિયમિત ત્રિકોણ, તેની મિલકતને કારણે, તેને સમભુજ આકૃતિ પણ કહેવામાં આવે છે.

તે નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે નિયમિત ત્રિકોણમાં ફક્ત એક વર્તુળ લખી શકાય છે, અને તેની આસપાસ ફક્ત એક વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે, અને તેમના કેન્દ્રો એક જ બિંદુ પર સ્થિત છે.

સમબાજુના પ્રકાર ઉપરાંત, કોઈ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણને પણ અલગ કરી શકે છે, જે તેનાથી થોડો અલગ છે. આવા ત્રિકોણમાં, બે બાજુઓ અને બે ખૂણા એકબીજાની સમાન હોય છે, અને ત્રીજી બાજુ (જેની બાજુમાં સમાન ખૂણા) આધાર છે.

આકૃતિ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ DEF દર્શાવે છે જેના ખૂણા D અને F સમાન છે અને DF આધાર છે.

જમણો ત્રિકોણ

કાટકોણ ત્રિકોણનું નામ એટલા માટે રાખવામાં આવ્યું છે કારણ કે તેનો એક ખૂણો જમણો છે, એટલે કે 90° બરાબર છે. અન્ય બે ખૂણાઓ 90° સુધી ઉમેરે છે.

સૌથી વધુ મોટી બાજુઆવા ત્રિકોણમાંથી, 90° કોણની સામે પડેલો એક કર્ણાકાર છે, જ્યારે બાકીની બે બાજુઓ પગ છે. આ પ્રકારના ત્રિકોણ માટે, પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ પડે છે:

પગની લંબાઈના ચોરસનો સરવાળો કર્ણોની લંબાઈના વર્ગના બરાબર છે.

આકૃતિ AC અને પગ AB અને BC સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ BAC દર્શાવે છે.

કાટકોણ સાથે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે સંખ્યાત્મક મૂલ્યોતેના પગ.

ચાલો આપેલ આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના સૂત્રો તરફ આગળ વધીએ.

વિસ્તાર શોધવા માટે મૂળભૂત સૂત્રો

ભૂમિતિમાં, બે સૂત્રોને ઓળખી શકાય છે જે મોટાભાગના પ્રકારના ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધવા માટે યોગ્ય છે, જેમ કે તીવ્ર, સ્થૂળ, નિયમિત અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ. ચાલો તેમાંના દરેકને જોઈએ.

બાજુ અને ઊંચાઈ દ્વારા

આ સૂત્રઅમે જે આકૃતિ પર વિચાર કરી રહ્યા છીએ તેનો વિસ્તાર શોધવા માટે સાર્વત્રિક છે. આ કરવા માટે, બાજુની લંબાઈ અને તેના તરફ દોરવામાં આવેલી ઊંચાઈની લંબાઈ જાણવા માટે તે પૂરતું છે. સૂત્ર પોતે (આધાર અને ઊંચાઈનું અડધું ઉત્પાદન) નીચે મુજબ છે:

જ્યાં A બાજુ છે આપેલ ત્રિકોણ, અને H ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, વિસ્તાર શોધવા માટે તીવ્ર ત્રિકોણ ACB, તમારે તેની બાજુ AB ને ઊંચાઈ CD વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને પરિણામી મૂલ્યને બે વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

જો કે, આ રીતે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું હંમેશા સરળ હોતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે સ્થૂળ ત્રિકોણ, તેની એક બાજુ ચાલુ રાખવી જરૂરી છે અને તે પછી જ તેની ઊંચાઈ દોરો.

વ્યવહારમાં, આ સૂત્રનો ઉપયોગ અન્ય કરતા વધુ વખત થાય છે.

બંને બાજુઓ અને ખૂણા પર

આ સૂત્ર, અગાઉના એકની જેમ, મોટાભાગના ત્રિકોણ માટે યોગ્ય છે અને તેના અર્થમાં ત્રિકોણની બાજુ અને ઊંચાઈનો વિસ્તાર શોધવા માટેના સૂત્રનું પરિણામ છે. એટલે કે, પ્રશ્નમાંનું સૂત્ર અગાઉના સૂત્રમાંથી સરળતાથી મેળવી શકાય છે. તેની રચના આના જેવી લાગે છે:

S = ½*sinO*A*B,

જ્યાં A અને B ત્રિકોણની બાજુઓ છે અને O એ A અને B બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.

ચાલો યાદ કરીએ કે ખૂણાની સાઈનને વિશિષ્ટ કોષ્ટકમાં જોઈ શકાય છે, જેનું નામ બાકીના નામ પર રાખવામાં આવ્યું છે. સોવિયત ગણિતશાસ્ત્રીવી. એમ. બ્રાડિસ.

હવે ચાલો અન્ય સૂત્રો તરફ આગળ વધીએ જે ફક્ત અસાધારણ પ્રકારના ત્રિકોણ માટે યોગ્ય છે.

કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

સાર્વત્રિક સૂત્ર ઉપરાંત, જેમાં ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ શોધવાની જરૂરિયાતનો સમાવેશ થાય છે, જમણો ખૂણો ધરાવતા ત્રિકોણનો વિસ્તાર તેના પગમાંથી શોધી શકાય છે.

આમ, જમણો ખૂણો ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પગનું અડધું ઉત્પાદન છે, અથવા:

જ્યાં a અને b કાટકોણ ત્રિકોણના પગ છે.

નિયમિત ત્રિકોણ

આ પ્રકારભૌમિતિક આકૃતિઓ અલગ પડે છે કે તેનો વિસ્તાર તેની માત્ર એક બાજુના દર્શાવેલ મૂલ્ય સાથે મળી શકે છે (કારણ કે નિયમિત ત્રિકોણની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે). તેથી, જ્યારે "જ્યારે બાજુઓ સમાન હોય ત્યારે ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધવા" ના કાર્યનો સામનો કરવામાં આવે ત્યારે તમારે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:

S = A 2 *√3 / 4,

જ્યાં A એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ છે.

હેરોનનું સૂત્ર

છેલ્લો વિકલ્પત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું એ હેરોનનું સૂત્ર છે. તેનો ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે આકૃતિની ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ જાણવાની જરૂર છે. હેરોનનું સૂત્ર આના જેવું લાગે છે:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

જ્યાં a, b અને c આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ છે.

કેટલીકવાર સમસ્યા આપવામાં આવે છે: "નિયમિત ત્રિકોણનો વિસ્તાર તેની બાજુની લંબાઈ શોધવા માટે છે." IN આ કિસ્સામાંઆપણે નિયમિત ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ તે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે અને તેમાંથી બાજુનું મૂલ્ય (અથવા તેના ચોરસ) મેળવવાની જરૂર છે:

A 2 = 4S / √3.

પરીક્ષા કાર્યો

ગણિતમાં GIA સમસ્યાઓના ઘણા સૂત્રો છે. વધુમાં, ઘણી વાર ચેકર્ડ કાગળ પર ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું જરૂરી છે.

આ કિસ્સામાં, આકૃતિની એક બાજુએ ઊંચાઈ દોરવી, કોષોમાંથી તેની લંબાઈ નક્કી કરવી અને તેનો ઉપયોગ કરવો સૌથી અનુકૂળ છે. સાર્વત્રિક સૂત્રવિસ્તાર શોધવા માટે:

તેથી, લેખમાં પ્રસ્તુત સૂત્રોનો અભ્યાસ કર્યા પછી, તમને કોઈપણ પ્રકારના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવામાં કોઈ સમસ્યા નહીં થાય.