એક રેન્ડમ દલીલનું કાર્ય અને તેનું વિતરણ. રેન્ડમ દલીલ કાર્યો

કાર્ય વ્યાખ્યા રેન્ડમ ચલો. અલગ રેન્ડમ દલીલ કાર્ય અને તેના સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. સતત રેન્ડમ દલીલનું કાર્ય અને તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. બે ના કાર્યો રેન્ડમ દલીલો. બે રેન્ડમ દલીલોના કાર્ય માટે સંભાવના વિતરણ કાર્ય અને ઘનતાનું નિર્ધારણ.

એક રેન્ડમ ચલના કાર્યની સંભાવના વિતરણનો કાયદો

વિવિધની ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન કરવા સંબંધિત સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે આપોઆપ સિસ્ટમો, ઉત્પાદન ચોકસાઈ વ્યક્તિગત તત્વોસિસ્ટમો, વગેરે, ઘણીવાર એક અથવા વધુ રેન્ડમ ચલોના કાર્યોને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. આવા કાર્યો પણ રેન્ડમ ચલ છે. તેથી, સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, સમસ્યામાં દેખાતા રેન્ડમ ચલોના વિતરણ કાયદાને જાણવું જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ દલીલોની સિસ્ટમનો વિતરણ કાયદો અને કાર્યાત્મક અવલંબન સામાન્ય રીતે જાણીતું છે.

આમ, એક સમસ્યા ઊભી થાય છે જે નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે.

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ આપેલ છે (X_1,X_2,\ldots,X_n), જેનો વિતરણ કાયદો જાણીતો છે. કેટલાક રેન્ડમ ચલ Y ને આ રેન્ડમ ચલોના કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

વિધેયોના સ્વરૂપ (6.1) અને કાયદાને જાણીને, રેન્ડમ ચલ Y ના વિતરણનો કાયદો નક્કી કરવો જરૂરી છે. સંયુક્ત વિતરણતેણીની દલીલો.

ચાલો એક રેન્ડમ દલીલના કાર્યના વિતરણ કાયદાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ

Y=\varphi(X).

\શરૂઆત(એરે)(|c|c

પછી Y=\varphi(X) પણ શક્ય મૂલ્યો સાથેનું એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે. જો બધા મૂલ્યો y_1,y_2,\ldots,y_nઅલગ છે, પછી દરેક k=1,2, \ldots, n ઘટનાઓ \(X=x_k\) અને \(Y=y_k=\varphi(x_k)\)સમાન છે. આથી,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

\begin(એરે)(|c|c (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(એરે)

જો સંખ્યાઓ વચ્ચે y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n)ત્યાં સમાન છે, પછી દરેક જૂથ સમાન મૂલ્યો y_k=\varphi(x_k) તમારે કોષ્ટકમાં એક કૉલમ ફાળવવાની અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે.

સતત રેન્ડમ ચલ માટે, સમસ્યા નીચે મુજબ છે: રેન્ડમ ચલ X ની વિતરણ ઘનતા f(x) જાણીને, રેન્ડમ ચલ Y=\varphi(X) ની વિતરણ ઘનતા g(y) શોધો. સમસ્યા હલ કરતી વખતે, અમે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ ધારીએ કે ફંક્શન y=\varphi(x) એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે, સતત અને અંતરાલ (a;b) પર અલગ છે જેના પર X ની તમામ સંભવિત કિંમતો આવેલી છે. પછી વ્યસ્ત કાર્ય x=\psi(y) અસ્તિત્વમાં છે, જ્યારે એકવિધ રીતે વધતી જતી, સતત અને ભિન્નતા પણ છે. આ કિસ્સામાં આપણે મેળવીએ છીએ

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

ઉદાહરણ 1. રેન્ડમ ચલ X ઘનતા સાથે વિતરિત

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

અવલંબન Y=X^3 દ્વારા X મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલ રેન્ડમ ચલ Y ના વિતરણનો કાયદો શોધો.

ઉકેલ.ફંક્શન y=x^3 અંતરાલ પર મોનોટોનિક હોવાથી (-\infty;+\infty), અમે સૂત્ર (6.2) લાગુ કરી શકીએ છીએ. ફંક્શન \varphi(x)=x^3 ના સંદર્ભમાં વ્યસ્ત કાર્ય એ \psi(y)=\sqrt(y) છે, તેનું વ્યુત્પન્ન \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). આથી,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

ચાલો નોનમોનોટોનિક ફંક્શનના કેસને ધ્યાનમાં લઈએ. ફંક્શન y=\varphi(x) ને એવું રહેવા દો કે વ્યસ્ત ફંક્શન x=\psi(y) અસ્પષ્ટ છે, એટલે કે y નું એક મૂલ્ય દલીલ xના અનેક મૂલ્યોને અનુરૂપ છે, જેને આપણે સૂચવીએ છીએ x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), જ્યાં n એ વિભાગોની સંખ્યા છે જેમાં ફંક્શન y=\varphi(x) એકવિધ રીતે બદલાય છે. પછી

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

ઉદાહરણ 2. ઉદાહરણ 1 ની શરતો હેઠળ, રેન્ડમ ચલ Y=X^2 નું વિતરણ શોધો.

ઉકેલ.વ્યસ્ત કાર્ય x=\psi(y) અસ્પષ્ટ છે. દલીલ y નું એક મૂલ્ય x ફંક્શનના બે મૂલ્યોને અનુરૂપ છે

\begin(એકત્ર કરેલ)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\જમણે)^2/2)\!\left|-\frac(1) )(2\sqrt(y)\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\જમણે)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y))\,e^(-y/2) .\અંત(એકત્ર થયેલ)

બે રેન્ડમ ચલોના કાર્યનો વિતરણ કાયદો

રેન્ડમ વેરીએબલ Y ને સિસ્ટમ (X_1;X_2) બનાવતા બે રેન્ડમ ચલોનું કાર્ય થવા દો, એટલે કે. Y=\varphi(X_1;X_2). કાર્ય એ સિસ્ટમના જાણીતા વિતરણ (X_1;X_2) નો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલ Y નું વિતરણ શોધવાનું છે.

f(x_1;x_2) એ રેન્ડમ ચલ (X_1;X_2) ની સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતા છે. ચાલો X_1 ની બરાબર એક નવો જથ્થો Y_1 ને ધ્યાનમાં લઈએ અને સમીકરણોની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ

અમે ધારીશું કે આ સિસ્ટમ x_1,x_2 ના સંદર્ભમાં અનન્ય રીતે ઉકેલી શકાય તેવી છે

રેન્ડમ ચલ Y ની વિતરણ ઘનતા

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\right|dx_1.

નોંધ કરો કે જો રજૂ કરેલ નવું મૂલ્ય Y_1 X_2 ની બરાબર સેટ કરેલ હોય તો તર્ક બદલાતો નથી.

રેન્ડમ ચલોના કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા

વ્યવહારમાં, ઘણીવાર એવા કિસ્સાઓ હોય છે જ્યારે રેન્ડમ ચલોના કાર્યના વિતરણના કાયદાને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરવાની કોઈ ખાસ જરૂર હોતી નથી, પરંતુ તે ફક્ત તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ સૂચવવા માટે પૂરતું છે. આમ, આ કાર્યોના વિતરણના નિયમો ઉપરાંત રેન્ડમ ચલોના કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવામાં સમસ્યા ઊભી થાય છે.

રેન્ડમ ચલ Y ને રેન્ડમ દલીલ X નું કાર્ય થવા દો કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છેવિતરણ

Y=\varphi(X).

તે નક્કી કરવા માટે, જથ્થા Y ના વિતરણનો કાયદો શોધ્યા વિના, તે જરૂરી છે ગાણિતિક અપેક્ષા

M(Y)=M[\varphi(X)].

X એ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સીરિઝ ધરાવતું એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે

\begin(એરે)(|c|c

ચાલો Y મૂલ્યના મૂલ્યો અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓનું કોષ્ટક બનાવીએ:

\begin(એરે)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(એરે)

આ કોષ્ટક રેન્ડમ ચલ Y ની વિતરણ શ્રેણી નથી, ત્યારથી માં સામાન્ય કેસકેટલાક મૂલ્યો સમાન હોઈ શકે છે અને ટોચની પંક્તિમાંના મૂલ્યો ચડતા ક્રમમાં હોય તે જરૂરી નથી. જો કે, રેન્ડમ ચલ Y ની ગાણિતિક અપેક્ષા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

ફોર્મ્યુલા (6.4) સ્પષ્ટપણે ફંક્શન \varphi(X) ના વિતરણ કાયદાને સમાવતું નથી, પરંતુ ફક્ત દલીલ X નો વિતરણ કાયદો ધરાવે છે. આમ, વિધેય Y=\varphi(X) ની ગાણિતિક અપેક્ષા નક્કી કરવા માટે, ફંક્શન \varphi(X) ના વિતરણ કાયદાને જાણવું બિલકુલ જરૂરી નથી, પરંતુ દલીલ X ના વિતરણ કાયદાને જાણવું જરૂરી છે.

સતત રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

ચાલો એવા કિસ્સાઓ પર વિચાર કરીએ કે જ્યારે, રેન્ડમ દલીલોના કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધવા માટે, દલીલોના વિતરણના નિયમોનું પણ જ્ઞાન જરૂરી નથી, પરંતુ ફક્ત તેમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને જાણવા માટે તે પૂરતું છે. ચાલો આ કિસ્સાઓને પ્રમેયના રૂપમાં ઘડીએ.

પ્રમેય 6.1. આશ્રિત અને સ્વતંત્ર બંને રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા આ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

પ્રમેય 6.2. બે રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ વત્તા સહસંબંધ ક્ષણના ઉત્પાદનની સમાન છે:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

કોરોલરી 6.1. બે અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદન સમાન છે.

કોરોલરી 6.2. બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

રેન્ડમ ચલોના ફંક્શનનો ભિન્નતા

વિક્ષેપની વ્યાખ્યા દ્વારા આપણી પાસે છે D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. આથી,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], ક્યાં .

ચાલો આપીએ ગણતરીના સૂત્રોમાત્ર સતત રેન્ડમ દલીલોના કેસ માટે. એક અવ્યવસ્થિત દલીલ Y=\varphi(X) ના કાર્ય માટે, તફાવત સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x))^2f(x)\,dx,

જ્યાં M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા \varphi(X);

f(x) - મૂલ્ય X ની વિતરણ ઘનતા.

ફોર્મ્યુલા (6.5) ને નીચેના સાથે બદલી શકાય છે:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X) ચાલો વિચાર કરીએવિક્ષેપ પ્રમેય જે રમે છેમહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા

સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના કાર્યક્રમોમાં. પ્રમેય 6.3.રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત આ ચલોના ચલોના સરવાળાના સરવાળા વત્તા સરવાળાના બમણા સમાન છે

સહસંબંધ ક્ષણો

નીચેના તમામ સાથે દરેક સમન્ડ જથ્થો:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i)કોરોલરી 6.3.

અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત એ શરતોના ભિન્નતાના સરવાળા સમાન છે:

\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2). સહસંબંધ ક્ષણ અને સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો.

ગુણધર્મ 1. રેન્ડમ ચલોમાં સ્થિરાંકો ઉમેરવાથી સહસંબંધ ક્ષણ અને સહસંબંધ ગુણાંક બદલાતા નથી.

ગુણધર્મ 2. કોઈપણ રેન્ડમ ચલ X અને Y માટે, સહસંબંધ ક્ષણનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય આ મૂલ્યોના ભિન્નતાના ભૌમિતિક સરેરાશ કરતાં વધી જતું નથી:

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

16.1. એક રેન્ડમ દલીલના કાર્યના વિતરણનો કાયદો.

ત્યાં સતત રેન્ડમ ચલ છે એક્સવિતરણ ઘનતા સાથે f(x) . અન્ય રેન્ડમ ચલ વાયકાર્યાત્મક અવલંબન દ્વારા તેની સાથે જોડાયેલ છે: .

તે જથ્થાની વિતરણ ઘનતા શોધવા માટે જરૂરી છે વાય. ચાલો x-અક્ષના વિભાગને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના પર જથ્થાના તમામ સંભવિત મૂલ્યો આવેલા છે એક્સ, એટલે કે.

સમસ્યાને હલ કરવાની પદ્ધતિ એ વિસ્તારમાં કાર્યની વર્તણૂક પર આધારિત છે: પછી ભલે તે એકવિધ છે કે નહીં.

આ વિભાગમાં આપણે તે કેસને ધ્યાનમાં લઈશું જ્યારે સેગમેન્ટ પરનું કાર્ય મોનોટોનિક હોય. આ કિસ્સામાં, અમે બે કેસોનું અલગથી વિશ્લેષણ કરીશું: એકવિધ વધારો અને કાર્યમાં એકવિધ ઘટાડો.

1. વિસ્તારમાં કાર્ય એકવિધ રીતે વધે છે (ફિગ. 6.1.1). જ્યારે મૂલ્ય એક્સવિવિધ મૂલ્યો લે છે

વિસ્તાર, રેન્ડમ બિંદુ ( એક્સ, વાય) માત્ર વળાંક સાથે ખસે છે; આ રેન્ડમ પોઈન્ટનું ઓર્ડિનેટ તેના એબ્સીસા દ્વારા સંપૂર્ણપણે નક્કી થાય છે.

ચાલો જથ્થાની વિતરણ ઘનતા દર્શાવીએ વાય. નક્કી કરવા માટે, આપણે પહેલા જથ્થાનું વિતરણ કાર્ય શોધીએ છીએ વાય: .

ચાલો ડાયરેક્ટ કરીએ એબી, અંતરે x-અક્ષની સમાંતર yતેમાંથી (ફિગ. 6.1.1). શરત સંતોષવા માટે, એક રેન્ડમ બિંદુ (એક્સ, વાય) વળાંકના તે વિભાગ પર પડવું જોઈએ જે સીધી રેખાની નીચે આવેલું છે એબી; આ માટે તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે રેન્ડમ ચલ એક્સથી x-અક્ષ વિભાગ પર પડ્યો aથી x, ક્યાં x- વળાંક અને સીધી રેખાના આંતરછેદના બિંદુનો એબ્સીસા એબી. આથી,

(6.1.1) તે સેગમેન્ટ પર મોનોટોનિક હોવાથી, એક વ્યસ્ત સિંગલ-વેલ્યુડ ફંક્શન છે. પછી

(6.1.2) ચલના સંદર્ભમાં અભિન્ન (6.1.2) ને અલગ પાડવું ખાતેઉપલી મર્યાદામાં સમાવિષ્ટ, અમે મેળવીએ છીએ:

(6.1.3) 2. વિભાગ પરનું કાર્ય એકવિધ રીતે ઘટે છે (ફિગ. 6.1.2). આ કિસ્સામાં

(6.1.4) જ્યાંથી

(6.1.5) સૂત્રો (6.1.3) અને (6.1.5) ની સરખામણી કરતા, અમે નોંધ્યું છે કે તેઓને એકમાં જોડી શકાય છે:

(6.1.6)

ખરેખર, જ્યારે તે વધે છે, ત્યારે તેનું વ્યુત્પન્ન (અને તેથી) હકારાત્મક છે. ઘટતા કાર્ય માટે, વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, પરંતુ સૂત્ર (6.1.5) માં તેની સામે એક બાદબાકી છે. પરિણામે, ફોર્મ્યુલા (6.1.6), જેમાં વ્યુત્પન્ન મોડ્યુલો લેવામાં આવે છે, તે બંને કિસ્સાઓમાં સાચું છે.

3. કેસ ધ્યાનમાં લો જ્યારે વિભાગ પર કાર્ય શક્ય મૂલ્યોદલીલ એકવિધ નથી (ફિગ. 6.1.3).

ચાલો વિતરણ કાર્ય શોધીએ જી(y) જથ્થો વાય. આ કરવા માટે, ચાલો ફરીથી એક સીધી રેખા દોરીએ એબી, x-અક્ષની સમાંતર, અંતરે ખાતેતેમાંથી અને વળાંકના તે વિભાગો પસંદ કરો જ્યાં સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે. આ વિભાગોને એબ્સીસા અક્ષના વિભાગોને અનુરૂપ થવા દો: .

ઘટના રેન્ડમ વેરીએબલના હિટની સમકક્ષ છે એક્સસાઇટ્સમાંથી એક પર - તે કોઈ વાંધો નથી. તેથી જ

(6.1.7) આમ, જથ્થાના વિતરણ કાર્ય માટે અમારી પાસે સૂત્ર છે:

(6.1.8) અંતરાલોની સીમાઓ પર આધાર રાખે છે ખાતેઅને ચોક્કસ સ્વરૂપ આપવામાં આવે છે, વિધેયો સ્પષ્ટ કાર્યો તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે ખાતે. ભિન્નતા જી(y) કદમાં ખાતે, ઇન્ટિગ્રલ્સની મર્યાદામાં સમાવિષ્ટ, અમે જથ્થાની વિતરણ ઘનતા મેળવીએ છીએ વાય:

(6.1.9) ઉદાહરણ. તીવ્રતા એક્સસાઇટ પર સમાન ઘનતાના કાયદાને આધીન છે.

જથ્થાના વિતરણનો કાયદો શોધો.

ઉકેલ. અમે ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ (ફિગ. 6.1.4). દેખીતી રીતે, કાર્ય અંતરાલમાં બિન-મોનોટોનિક પણ છે. ફોર્મ્યુલા (6.1.8) લાગુ કરીને, અમારી પાસે છે:

ચાલો દ્વારા મર્યાદા વ્યક્ત કરીએ ખાતે: ; . પછી

(6.1.10) ઘનતા શોધવા માટે g(ખાતે) ચલના સંદર્ભમાં આ અભિવ્યક્તિને અલગ કરો ખાતે, ઇન્ટિગ્રલ્સની મર્યાદામાં શામેલ છે, અમે મેળવીએ છીએ:

તે ધ્યાનમાં રાખીને , અમને મળે છે:

(6.1.11) માટે સૂચવે છે વાયવિતરણ કાયદો (6.1.11), એ નોંધવું જોઈએ કે તે માત્ર 0 થી 1 ની રેન્જમાં જ માન્ય છે, એટલે કે. તે મર્યાદામાં કે જેમાં તે દલીલ સાથે બદલાય છે એક્સ, થી, સુધીના અંતરાલમાં બંધ. આ મર્યાદાની બહાર ઘનતા છે g(ખાતે) શૂન્ય બરાબર છે.

કાર્યનો આલેખ g(ખાતે) આકૃતિ 6.1.5 માં આપેલ છે. મુ ખાતે=1 વળાંક g(y) પાસે અનંત તરફ જતી શાખા છે.

26.2. બે રેન્ડમ ચલોના કાર્યનો વિતરણ કાયદો.

બે સતત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ છે (એક્સ, વાય) વિતરણ ઘનતા સાથે f(x, y) . રેન્ડમ ચલ ઝેડસાથે સંકળાયેલ છે એક્સઅને વાયકાર્યાત્મક અવલંબન:

Z મૂલ્યના વિતરણનો કાયદો શોધવો જરૂરી છે.

સમસ્યા હલ કરવા માટે, અમે ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરીશું. ફંક્શનને હવે વળાંક તરીકે દર્શાવવામાં આવશે નહીં, પરંતુ સપાટી તરીકે દર્શાવવામાં આવશે (ફિગ. 6.2.1).

ચાલો Z મૂલ્યનું વિતરણ કાર્ય શોધીએ:

(6.2.1) ચાલો સમતલની સમાંતર એક સમતલ Q દોરીએ xOy, અંતરે zતેણી પાસેથી. આ પ્લેન સપાટીને અમુક વળાંક સાથે છેદે છે TO. ચાલો વળાંક ડિઝાઇન કરીએ TOપ્લેન માટે xOy. આ પ્રક્ષેપણ, જેનું સમીકરણ, પ્લેનને વિભાજિત કરશે xOyબે વિસ્તારોમાં; તેમાંથી એક માટે, પ્લેન ઉપરની સપાટીની ઊંચાઈ xOyઓછું હશે, અને બીજા માટે - વધુ z. ચાલો સૂચિત કરીએ ડીવિસ્તાર કે જેના માટે આ ઊંચાઈ ઓછી છે z. અસમાનતા (6.2.1) રાખવા માટે, એક રેન્ડમ બિંદુ (એક્સ, વાય) દેખીતી રીતે વિસ્તારમાં આવવું જોઈએ ડી; તેથી,

(6.2.2) અભિવ્યક્તિમાં (6.2.2) જથ્થો zએકીકરણની મર્યાદાઓ દ્વારા ગર્ભિત રીતે પ્રવેશ કરે છે.

ભિન્નતા જી(z) દ્વારા z, અમે જથ્થાની વિતરણ ઘનતા મેળવીએ છીએ ઝેડ:

(6.2.3) ફંક્શનના ચોક્કસ સ્વરૂપને જાણીને, આપણે એકીકરણની મર્યાદાને આના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ zઅને અભિવ્યક્તિ લખો g(z) સ્પષ્ટપણે

36.3. બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણનો નિયમ. વિતરણ કાયદાની રચના.

પ્રદેશ ડીઆ કિસ્સામાં - પ્લેનનો નીચેનો ડાબો ભાગ xOy, ફિગમાં શેડ. 6.3.1. સૂત્ર (6.3.2) મુજબ અમારી પાસે છે:

ચલના સંદર્ભમાં આ અભિવ્યક્તિને અલગ પાડવી z, આંતરિક અવિભાજ્યની ઉપલી મર્યાદામાં સમાવિષ્ટ, અમે મેળવીએ છીએ:

(6.3.1) આ બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણ ઘનતા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર છે.

આદર સાથે સમસ્યાની સમપ્રમાણતાના કારણોસર એક્સઅને વાયતમે સમાન સૂત્રનું બીજું સંસ્કરણ લખી શકો છો:

(6.3.2) જે પ્રથમની સમકક્ષ છે અને તેના બદલે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ રચનાઓ સામાન્ય કાયદા . બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લો એક્સઅને વાય, સામાન્ય કાયદાઓને આધીન:

આ કાયદાઓની રચના કરવી જરૂરી છે, એટલે કે, જથ્થાના વિતરણનો કાયદો શોધવા માટે: .

ચાલો વિતરણ કાયદાની રચના માટે સામાન્ય સૂત્ર લાગુ કરીએ:

(6.3.3) જો આપણે ઇન્ટિગ્રેન્ડના ઘાતાંકમાં કૌંસ ખોલીએ અને સમાન શરતો લાવીએ, તો આપણને મળશે:

આ અભિવ્યક્તિઓને ફોર્મ્યુલામાં બદલીને આપણે પહેલાથી જ અનુભવીએ છીએ

(6.3.4) પરિવર્તન પછી આપણને મળે છે:

(6.3.5) અને આ વિક્ષેપના કેન્દ્ર સાથેના સામાન્ય કાયદા સિવાય બીજું કંઈ નથી

(6.3.6) અને પ્રમાણભૂત વિચલન

(6.3.7) નીચેના ગુણાત્મક તર્કનો ઉપયોગ કરીને સમાન નિષ્કર્ષ પર વધુ સરળતાથી પહોંચી શકાય છે.

કૌંસ ખોલ્યા વિના અને ઇન્ટિગ્રેન્ડ (6.3.3) માં કોઈપણ પરિવર્તન કર્યા વિના, અમે તરત જ નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ઘાતાંક એ એક ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી છે. એક્સપ્રકાર

જ્યાં ગુણાંકમાં એતીવ્રતા zગુણાંકમાં બિલકુલ સમાયેલ નથી INપ્રથમ શક્તિ અને ગુણાંકમાં શામેલ છે સાથે- ચોરસ. આને ધ્યાનમાં રાખીને અને ફોર્મ્યુલા (6.3.4) લાગુ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે g(z) ઘાતાંકીય ફંક્શન છે જેનો ઘાતાંક આદરમાં ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી છે z, અને વિતરણ ઘનતા; આ પ્રકાર સામાન્ય કાયદાને અનુરૂપ છે. તેથી અમે; અમે સંપૂર્ણ ગુણાત્મક નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: મૂલ્ય z ના વિતરણનો કાયદો સામાન્ય હોવો જોઈએ. આ કાયદાના પરિમાણો શોધવા માટે - અને - અમે ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉમેરણના પ્રમેય અને ભિન્નતાઓના ઉમેરણના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું. ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉમેરાના પ્રમેય મુજબ. ભિન્નતાના વધારાના પ્રમેય દ્વારા અથવા જે સૂત્ર (6.3.7) અનુસરે છે.

પ્રમાણભૂત વિચલનોથી તેમના પ્રમાણસર સંભવિત વિચલનો તરફ આગળ વધતાં, અમે પ્રાપ્ત કરીએ છીએ: .

આમ, અમે નીચેના નિયમ પર આવ્યા છીએ: જ્યારે સામાન્ય કાયદાઓને જોડવામાં આવે છે, ત્યારે એક સામાન્ય કાયદો ફરીથી પ્રાપ્ત થાય છે, અને ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતાઓ (અથવા સંભવિત વિચલનોના વર્ગો)નો સારાંશ આપવામાં આવે છે.

સામાન્ય કાયદાઓની રચના માટેના નિયમને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની મનસ્વી સંખ્યાના કિસ્સામાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે.

જો ઉપલબ્ધ હોય nસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ: વિક્ષેપના કેન્દ્રો અને પ્રમાણભૂત વિચલનો સાથેના સામાન્ય કાયદાને આધીન, પછી મૂલ્ય પણ પરિમાણો સાથેના સામાન્ય કાયદાને આધીન છે

(6.3.8) (6.3.9) સૂત્ર (6.3.9) ને બદલે, તમે સમકક્ષ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

જો રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ (એક્સ, વાય) સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત, પરંતુ મૂલ્યો એક્સ, વાયનિર્ભર છે, તો તે સાબિત કરવું મુશ્કેલ નથી, પહેલાની જેમ, સામાન્ય સૂત્ર (6.3.1) ના આધારે, કે જથ્થાના વિતરણનો કાયદો પણ એક સામાન્ય કાયદો છે. સ્કેટરિંગ કેન્દ્રો હજુ પણ બીજગણિતીય રીતે ઉમેરવામાં આવે છે, પરંતુ પ્રમાણભૂત વિચલનો માટે નિયમ વધુ જટિલ બને છે: , જ્યાં, આર- જથ્થાના સહસંબંધનો ગુણાંક એક્સઅને વાય.

જ્યારે કેટલાક આશ્રિત રેન્ડમ ચલો ઉમેરવામાં આવે છે, જે તેમની સંપૂર્ણતામાં સામાન્ય કાયદાને આધીન હોય છે, ત્યારે સરવાળાના વિતરણનો કાયદો પણ પરિમાણો સાથે સામાન્ય હોવાનું બહાર આવે છે.

(6.3.10)(6.3.11) અથવા સંભવિત વિચલનોમાં

જથ્થાના સહસંબંધ ગુણાંક ક્યાં છે એક્સ i , એક્સ j, અને સરવાળો તમામ અલગ અલગ જોડી પ્રમાણે જથ્થાના સંયોજનો સુધી વિસ્તરે છે.

અમે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ મિલકતના પ્રતીતિ પામ્યા છીએ સામાન્ય કાયદો: સામાન્ય કાયદાઓની રચના સાથે, એક સામાન્ય કાયદો ફરીથી પ્રાપ્ત થાય છે. આ કહેવાતી "સ્થિરતા મિલકત" છે. વિતરણ કાયદો સ્થિર કહેવાય છે જો આ પ્રકારના બે કાયદાઓની રચના ફરીથી સમાન પ્રકારના કાયદામાં પરિણમે છે. અમે ઉપર બતાવ્યું કે સામાન્ય કાયદો સ્થિર છે. બહુ ઓછા વિતરણ કાયદાઓમાં સ્થિરતાની મિલકત હોય છે. સમાન ઘનતાનો નિયમ અસ્થિર છે: 0 થી 1 ના વિભાગોમાં સમાન ઘનતાના બે નિયમોને જોડીને, અમે સિમ્પસનનો કાયદો મેળવ્યો.

વ્યવહારમાં તેના વ્યાપક ઉપયોગ માટે સામાન્ય કાયદાની સ્થિરતા એ એક આવશ્યક શરતો છે. જો કે, સામાન્ય એક ઉપરાંત, કેટલાક અન્ય વિતરણ કાયદાઓમાં પણ સ્થિરતાની મિલકત છે. સામાન્ય કાયદાની વિશેષતા એ છે કે જ્યારે પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં વ્યવહારિક રીતે મનસ્વી વિતરણ કાયદાઓ જોડવામાં આવે છે, ત્યારે શરતોના વિતરણ કાયદા શું હતા તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, કુલ કાયદો ઇચ્છિત તરીકે સામાન્યની નજીકનો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 0 થી 1 સુધીના વિસ્તારોમાં સમાન ઘનતાના ત્રણ નિયમો બનાવીને આનું ઉદાહરણ આપી શકાય છે. પરિણામી વિતરણ કાયદો g(z) ફિગમાં બતાવેલ છે. 6.3.1. ડ્રોઇંગ પરથી જોઈ શકાય છે, ફંક્શનનો ગ્રાફ g(z) સામાન્ય કાયદાના ગ્રાફની ખૂબ યાદ અપાવે છે.

46.4. ઉત્પાદન વિતરણ.

(6.4.1)

ફિગ માં. ઘટના શેડ દ્વારા બતાવવામાં આવે છે. હવે તે સ્પષ્ટ છે

5(6.4.2) (6.4.3) 6.5. રેન્ડમ ચલના વર્ગનું વિતરણ.

(6.5.1) (6.5.2) ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે, અમારી પાસે:

(6.5.3) જો આ કિસ્સામાં, તો પછી

6(6.5.4) 6.6. ખાનગી વિતરણ.

(6.6.1)

ફિગ માં. 6.6.1 તે સ્પષ્ટ છે કે ઘટના છાયાવાળા વિસ્તારો દ્વારા રજૂ થાય છે. તેથી જ

(6.6.2) (6.6.3) જો; ; સ્વતંત્ર, પછી તે મેળવવાનું સરળ છે:

(6.6.4) વિતરણ (6.6.4)ને કોચી નામ આપવામાં આવ્યું છે. તે તારણ આપે છે કે આ વિતરણમાં કોઈ ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા નથી.

76.7. રેન્ડમ ચલોના કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ.

(6.7.1) ચાલો આપણે જથ્થાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે દલીલોની સિસ્ટમના વિતરણનો નિયમ જાણીએ વાય, સૌ પ્રથમ, ગાણિતિક અપેક્ષા અને તફાવત.

ચાલો કલ્પના કરીએ કે અમે વિતરણ કાયદો શોધવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ g(y) જથ્થો વાય. પછી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવાનું કાર્ય સરળ બની જાય છે; તેઓ સૂત્રો અનુસાર જોવા મળે છે:

(6.7.2) (6.7.3) જો કે, વિતરણ કાયદો શોધવાનું કાર્ય g(y) જથ્થો વાયઘણીવાર તદ્દન મુશ્કેલ બહાર વળે છે. સમસ્યા હલ કરવા માટે, જથ્થાના વિતરણનો કાયદો શોધો વાયજરૂરી નથી: માત્ર એક જથ્થાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે વાય, તેના વિતરણ કાયદાને જાણવાની જરૂર નથી; દલીલોના વિતરણના કાયદાને જાણવું પૂરતું છે.

આમ, આ કાર્યોના વિતરણના નિયમોને નિર્ધારિત કર્યા વિના રેન્ડમ ચલોના કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવામાં સમસ્યા ઊભી થાય છે.

ચાલો આપેલ દલીલ વિતરણ કાયદા માટે ફંક્શનની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો સૌથી સરળ કેસથી શરૂઆત કરીએ - એક દલીલનું કાર્ય.

એક રેન્ડમ ચલ છે એક્સઆપેલ વિતરણ કાયદા સાથે; અન્ય રેન્ડમ ચલ વાયસાથે સંકળાયેલ છે એક્સકાર્યાત્મક અવલંબન: વાય= (એક્સ).

જથ્થાના વિતરણનો કાયદો શોધ્યા વિના જરૂરી છે વાય, તેની ગાણિતિક અપેક્ષા નક્કી કરો:

(6.7.4) ચાલો પહેલા કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે એક્સવિતરણ શ્રેણી સાથે એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે:

x i એક્સ 1 x 2 …x n પી i પી 1 પી 2 …પી nચાલો ટેબલના રૂપમાં જથ્થાના સંભવિત મૂલ્યો લખીએ વાયઅને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ:

(x i ) (x 1 ) (x 2 ) …(x n ) પી i પી 1 પી 2 …પી nકોષ્ટક 6.7.2 એ જથ્થો વિતરણ શ્રેણી નથી વાય, કારણ કે સામાન્ય કિસ્સામાં કેટલાક મૂલ્યો

(6.7.5) એકબીજા સાથે સુસંગત હોઈ શકે છે. કોષ્ટકમાંથી (6.7.1) મૂલ્યના વિતરણની સાચી શ્રેણીમાં જવા માટે વાય, મૂલ્યો (6.7.5)ને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવા, સમાન મૂલ્યોને અનુરૂપ કૉલમને જોડવા જરૂરી રહેશે. વાય, અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ ઉમેરો. મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા વાયસૂત્ર દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે

(6.7.6) દેખીતી રીતે, જથ્થો ટી ખાતે - એમ((એક્સ)), ફોર્મ્યુલા (6.7.6) દ્વારા નિર્ધારિત, જો સરવાળા ચિહ્ન હેઠળ, કેટલીક શરતો અગાઉથી જોડવામાં આવે, અને શરતોનો ક્રમ બદલાઈ જાય તો તે બદલી શકાતો નથી.

ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા માટેનું ફોર્મ્યુલા (6.7.6) સ્પષ્ટપણે ફંક્શનના જ વિતરણ કાયદાને સમાવતું નથી, પરંતુ માત્ર દલીલના વિતરણનો કાયદો ધરાવે છે. આમ, માટેવ્યાખ્યાઓગાણિતિકઅપેક્ષાઓકાર્યોબિલકુલનથીજરૂરીખબરકાયદોવિતરણઆકાર્યો, એપર્યાપ્ત­ બરાબરખબરકાયદોવિતરણદલીલ.

સૂત્ર (6.7.6) માંના સરવાળાને અભિન્ન અને સંભાવના સાથે બદલીને આર i- સંભાવનાનું તત્વ, અમે સતત રેન્ડમ ચલ માટે સમાન સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

(6.7.7) જ્યાં f(x) એક્સ.

ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા એ જ રીતે નક્કી કરી શકાય છે ખાતે(એક્સ, વાય) બે રેન્ડમ દલીલોમાંથી એક્સઅને વાય. અલગ જથ્થા માટે

(6.7.8) જ્યાં - સંભાવના કે સિસ્ટમ ( એક્સ, વાય) મૂલ્યો લેશે (x i y j). સતત માત્રા માટે

(6.7.9) જ્યાં f(x, ખાતે) - સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતા ( એક્સ, વાય).

રેન્ડમ દલીલોની મનસ્વી સંખ્યાથી ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. અમે માત્ર સતત જથ્થા માટે અનુરૂપ સૂત્ર રજૂ કરીએ છીએ:

(6.7.10) જ્યાં - સિસ્ટમ વિતરણ ઘનતા.

(6.7.10) જેવા ફોર્મ્યુલા ઘણી વાર સંભાવના સિદ્ધાંતના વ્યવહારિક ઉપયોગમાં જોવા મળે છે, જ્યારે તે સંખ્યાબંધ અવ્યવસ્થિત દલીલો પર આધારિત હોય તેવા કોઈપણ જથ્થાની સરેરાશની વાત આવે છે.

આમ, વિધેયના વિતરણ કાયદા ઉપરાંત કોઈપણ સંખ્યાબંધ અવ્યવસ્થિત દલીલોના કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધી શકાય છે. તેવી જ રીતે, ફંક્શનની અન્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધી શકાય છે - વિવિધ ઓર્ડરની ક્ષણો. દરેક ક્ષણ અભ્યાસ હેઠળના રેન્ડમ ચલના ચોક્કસ કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી હોવાથી, કોઈપણ ક્ષણની ગણતરી ઉપર દર્શાવેલ સમાન તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. અહીં અમે ગણતરીના સૂત્રો માત્ર વિભિન્નતા માટે અને માત્ર સતત રેન્ડમ દલીલોના કિસ્સામાં રજૂ કરીએ છીએ.

એક અવ્યવસ્થિત દલીલના કાર્યનો તફાવત સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

(6.7.11) જ્યાં ટી= એમ[(x)] - કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા ( એક્સ);f(એક્સ) - જથ્થો વિતરણ ઘનતા એક્સ.

બે અવ્યવસ્થિત દલીલોના કાર્યનો તફાવત સમાન રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

(6.7.12) કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા ક્યાં છે (એક્સ, વાય); f(x, y) - સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતા (એક્સ, વાય). છેલ્લે, રેન્ડમ દલીલોની મનસ્વી સંખ્યાના કિસ્સામાં, સમાન સંકેતમાં.

પાછલા પ્રકરણમાં, આપણે ફંક્શન સીની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિઓથી પરિચિત થયા છીએ. વી. અને બતાવ્યું કે તેમને શોધવા માટે આ વિધેયોના વિતરણના નિયમોને જાણવું જરૂરી નથી, પરંતુ દલીલોના વિતરણના નિયમોને જાણવું પૂરતું છે. બતાવ્યા પ્રમાણે, એન્જિનિયરિંગ પ્રેક્ટિસના ઘણા કિસ્સાઓમાં, ફંક્શન્સની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધતી વખતે c. વી. તમે દલીલોના વિતરણના કાયદા વિના પણ કરી શકો છો - આ દલીલોની માત્ર સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

જો કે, ઘણીવાર એન્જીનિયરીંગ એપ્લીકેશનમાં ફંક્શન cના વિતરણના નિયમો નક્કી કરવામાં સમસ્યા ઊભી થાય છે. વી. આ વિધેયો તેમના સંભવિત મૂલ્યોના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં આવતા હોવાની સંભાવના નક્કી કરતી વખતે સામાન્ય રીતે આ જરૂરી છે.

આ બિંદુએ અમે નીચેની સમસ્યા હલ કરીશું. ત્યાં સતત એસ. વી. Xsઘનતા/(x); સાથે. વી. ટી s દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. વી. એક્સકાર્યાત્મક અવલંબન

વિતરણ કાયદો સી શોધવા માટે જરૂરી છે. વી. વાય

ચાલો પહેલા એ કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈએ કે જ્યારે ફંક્શન cp(A) સખત રીતે એકવિધ, સતત અને અંતરાલમાં અલગ હોય છે ( એ, b) c ના તમામ સંભવિત મૂલ્યો. વી. એક્સવિતરણ કાર્ય જી(y)s વી. ^સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત

જો ફંક્શન φ(x) c ના સંભવિત મૂલ્યોની સમગ્ર શ્રેણી પર એકવિધ રીતે વધે છે. વી. ^(ફિગ. 9.1.1), પછી ઘટના (T(X f (y)), જ્યાં z(y) = xત્યાં એક ફંક્શન છે જે ફંક્શનનું વ્યસ્ત છે

મૂલ્ય દ્વારા આ અભિવ્યક્તિને અલગ પાડવું y,માં સમાવેશ થાય છે ઉપલી મર્યાદાઅભિન્ન, અમે p.r મેળવીએ છીએ. રેન્ડમ ચલ વાય:

જો કાર્ય cf (X)સાઇટ પર (a, b)સંભવિત મૂલ્યો c. વી. એક્સએકવિધ રીતે ઘટે છે (ફિગ. 9.1.2), પછી ઘટના (T |/ (y)). આથી,

ચોખા. 9.1.1

નીચલી મર્યાદામાં સમાવિષ્ટ ચલ y ના સંદર્ભમાં C(y) ને અલગ પાડવાથી, અમે p.r. રેન્ડમ ચલ Y:

કારણ કે ઘનતા નકારાત્મક હોઈ શકતી નથી, સૂત્રો (9.1.4) અને (9.1.6) ને એકમાં જોડી શકાય છે:

1 સૂત્રોમાં (9.1.3) અને (9.1.5) c ના સંભવિત મૂલ્યોની શ્રેણી. વી. તે હોઈ શકે છે (- ao, oo), એટલે કે. એ= - oo; b - oo પછી શક્ય કિંમતો યુ- f (A) અભિવ્યક્તિ y થી નક્કી થાય છે, - - φ (x;) (/= 1,2,..., p)આ કિસ્સામાં સમાનતા છે

સમસ્યા 1. વિતરણ કાયદો રેખીય કાર્યએક રેન્ડમ દલીલ. મોનોટોન ફંક્શનનો ખાસ કિસ્સો એ રેખીય કાર્ય છે ખાતે = ઓહ + bજ્યાં a, b -બિન-રેન્ડમ જથ્થો. ચાલો આપણે સતત c નું રેખીય કાર્ય બનીએ. વી. Xsઘનતા/(x):

ચાલો, ફોર્મ્યુલા (9.1.7) નો ઉપયોગ કરીને, વિતરણ ઘનતા શોધીએ g(y) રેન્ડમ ચલ યુ.આ કિસ્સામાં, વ્યસ્ત કાર્ય φ (y) = (y - b)/a;તેનું વ્યુત્પન્ન f" (y) = 1 /એડેરિવેટિવ 1/|i|નું મોડ્યુલસ. ફોર્મ્યુલા (9.1.7) આપે છે

ઉદાહરણ 1. રેન્ડમ ચલ એક્સઘાતાંકીય રીતે વિતરિત

રેન્ડમ ચલ રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે X:

જો એસ. વી. LG અલગ છે અને તેમાં સંખ્યાબંધ વિતરણો છે

ઉકેલ. આ કિસ્સામાં, વ્યસ્ત કાર્ય φ (y) = (2 - y)/3. y માટે સૂત્ર (*) માં x > 0 ની સ્થિતિ y = 2 - 3x બને છે

ઘનતા ગ્રાફ g(y) ફિગમાં બતાવેલ છે. 9.1.3.

ઉદાહરણ 2. શોધો p.r. રેખીય કાર્ય Y= aX+ bસામાન્ય રીતે વિતરિત દલીલ એક્સલક્ષણો સાથે t xઅને ઓ*.

ઉકેલ. સૂત્ર (9.1.7) મુજબ અમારી પાસે છે

અને આ લાક્ષણિકતાઓ સાથેનો સામાન્ય કાયદો છે કે = અંતે x + b , D y = = a 2 o 2 x; a y = a o x.આમ, સામાન્ય રીતે વિતરિત c ના રેખીય પરિવર્તનના પરિણામે. વી. એક્સઅમને s મળે છે. વી. વાય,પણ સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત. ?

ઉદાહરણ 3. સતત s. વી. એક્સકોચીના કાયદા અનુસાર તેના સૌથી સરળ (પ્રમાણિક) સ્વરૂપમાં વિતરિત:

સાથે. વી. તેની સાથે સંકળાયેલ પરાધીનતા છે:

વિતરણ ઘનતા શોધો c. વી. વાય.

ઉકેલ. કાર્ય થી ખાતે= 1 - x 2 એ સમગ્ર વિભાગ (-oo, oo) પર એકવિધ (એકવિધ રીતે ઘટતું) છે, અમે સૂત્ર (9.1.7) લાગુ કરીએ છીએ. ચાલો ઉકેલને બે કૉલમના રૂપમાં લખીએ; ડાબી બાજુએ સમસ્યાના સામાન્ય ઉકેલમાં અપનાવવામાં આવેલા કાર્યોના હોદ્દા મૂકવામાં આવશે; આ ઉદાહરણને અનુરૂપ પ્રથમ - વિશિષ્ટ કાર્યોમાં.

ઉદાહરણ 4. S.v. X એ સમાન કોચી કાયદા/(x) = = 1/[i (1 + x 2)] અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે; સાથે. વી. પરીક્ષણ મૂલ્ય, પારસ્પરિક X:

તેની ઘનતા શોધો g(y).

ઉકેલ. કાર્યનો આલેખ ખાતે= 1/x ફિગમાં બતાવેલ છે. 9.1.4. આ ફંક્શન બીજા પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે (- oo થી + oo) x = 0 પર; પરંતુ વ્યસ્ત કાર્ય x = 1 છે /yઅસંદિગ્ધ છે, તેથી તમે તે જ ફોર્મ્યુલા (9.1.7) નો ઉપયોગ કરી શકો છો જે એકવિધ કાર્ય માટે લેવામાં આવ્યું હતું. ચાલો ફરીથી ઉકેલને બે કૉલમના રૂપમાં ઘડીએ (ડાબી બાજુ - સામાન્ય કેસ, જમણી બાજુ - વિશેષ કેસ):

એટલે કે પારસ્પરિક Y = 1/Xસમાન X,કોચી વિતરણ ધરાવે છે. ?

ઉદાહરણ 5. મોલેક્યુલર અથડામણની ઝડપ એક્સપેરામીટર o સાથે રેલેના કાયદા અનુસાર વિતરિત;

ઉર્જાનો જથ્થો પ્રકાશિત થાય છે વાયપરમાણુઓના અથડામણ પર સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

p.r શોધો સાથે. વી. વાય.

ઉકેલ. x > O માટે ફંક્શન (X) મોનોટોનિક છે. ઉદાહરણનો ઉકેલ ફરીથી બે કૉલમના રૂપમાં ગોઠવાયેલ છે (ડાબી બાજુએ સામાન્ય કેસ છે, જમણી બાજુએ ચોક્કસ ચોક્કસ કેસ છે):

ઉદાહરણ 6. વર્તુળની ત્રિજ્યા એક્સપેરામીટર a સાથે રેલેના કાયદા અનુસાર વિતરિત:

વિતરણ કાયદો શોધો p. વી. Y-વર્તુળનો વિસ્તાર.

ઉકેલ. એસ.વી. Y = nX 2 જ્યારે કાર્ય એકવિધ છે X> 0 y (y) =

= (^/l) 1/2 ; k"OOl=-t=, જ્યાંથી 2 u)પુ

તેથી, એસ. વી. pa-1 સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદો ધરાવે છે

મીટર--. ?

2co જી

ઉદાહરણ 7. એક બિંદુ દ્વારા એ, ધરી પર સૂવું અથવા, એક સીધી રેખા દોરો abએક ખૂણા પર Hk axis અથવા (જુઓ આકૃતિ. 9.1.5). કોણ ^ સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે

અંતરાલમાં + yj. ^ a ^ ti વિતરણ કાયદો c. વી. યુ-રેખાના આંતરછેદના બિંદુનો એબ્સીસા સાથે abઅક્ષ 0%.

ઉદાહરણ 8. વોલ્ટેજ ^ પરિમાણો સાથે સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત t x, st x; સ્થિર વોલ્ટેજ યુફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

યુઉકેલ. એસ.વી. યુ-મિશ્ર:

જ્યાં Ф(X) એ લેપ્લેસ ફંક્શન છે. વિતરણ કાર્ય આર.વી. યુફોર્મ ધરાવે છે:

ફિગ માં. 9.1.6 ગ્રાફ બતાવે છે જી(y). સામાન્ય રીતે, જો વિતરણ કાર્ય સી. વી. હેસ્ટ F(x),તે

ઉદાહરણ 9. વોલ્ટેજ સ્ટેબિલાઇઝર એવી રીતે કામ કરે છે કે તે ઉપરથી વોલ્ટેજને મર્યાદિત કરે છે:

વિતરણ કાર્ય શોધો c. વી. યુ, જો વિતરણ કાર્ય c આપવામાં આવે છે. વી. એક્સ- F(x).

ઉકેલ. અગાઉના ઉદાહરણના ઉકેલ સાથે સામ્યતા દ્વારા, આપણે મેળવીએ છીએ

ઉદાહરણ 10. વોલ્ટેજ સ્ટેબિલાઇઝર એક્સએવી રીતે કામ કરે છે કે તે નીચેથી વોલ્ટેજને મર્યાદિત કરે છે:

વિતરણ કાર્ય શોધો c. વી. વાય,જો ઉલ્લેખિત છે F(x) -વિતરણ કાર્ય c. વી. એક્સ.

ઉકેલ. ઉદાહરણ 8 ના ઉકેલ અનુસાર, અમે મેળવીએ છીએ

ચાલો હવે કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે ફંક્શન y -એ, b)સંભવિત મૂલ્યો c. વી. મોનોટોનિક નથી (ફિગ. 9.1.7). આ કિસ્સામાં, વ્યસ્ત કાર્ય x = |/ (y) અસ્પષ્ટ છે.

વ્યસ્ત કાર્ય c/ ના મૂલ્યોની સંખ્યા (y)કયા મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે ખાતેઅમે લીધો; ચાલો આ મૂલ્યો દર્શાવીએ |/i (y), |/2 (y),..., ઉહ), ... ઘટના Y એ સીને મારવા સમાન છે. વી. એક્સફિગમાં જાડી રેખા સાથે ચિહ્નિત થયેલ બિન-ઓવરલેપિંગ સેગમેન્ટ્સમાંના એકમાં. 9.1.7, જ્યાં વળાંક y = φ (x) નો અનુરૂપ ભાગ સીધી રેખા y ની નીચે આવેલો છે; અમારા કિસ્સામાં આ વિભાગો હશે: થી એથી i x(y); ts/2 થી (y) D° Fz (y), v|/ 4 (y) થી |/ 5 (y) તે. ડી.; છેલ્લો સેગમેન્ટ ડોટ સાથે સમાપ્ત થઈ શકે છે bઅને કદાચ બિંદુઓમાંથી એક y, (y) (આ બિનમહત્વપૂર્ણ છે). પોઇન્ટ હિટ એચવીઆ વિભાગો અસંગત ઘટનાઓ છે; સંભાવનાઓના ઉમેરાના નિયમ અનુસાર

તેની મર્યાદામાં સમાવિષ્ટ ચલના સંદર્ભમાં અવિભાજ્યને અલગ પાડવા માટેના નિયમને ધ્યાનમાં લેવું (એટલે ​​​​કે: આવા ચલના સંદર્ભમાં અવિભાજ્યનું વ્યુત્પન્ન ઉપલી મર્યાદાના સંકલન મૂલ્યના વ્યુત્પન્ન વડે ગુણાકારની સમાન છે. ઉપલી મર્યાદા બાદ નીચલી મર્યાદાના વ્યુત્પન્ન દ્વારા ગુણાકાર નીચલી મર્યાદાના સંકલનનું મૂલ્ય), અમે અમારા કિસ્સામાં મેળવીએ છીએ:

તે બિંદુઓ પર જ્યાં cp(x), સીધી રેખા y ને વટાવતા, ઘટે છે (x-અક્ષના અનુરૂપ વિભાગની શરૂઆત, જેના માટે Y વ્યુત્પન્ન y" (y) નકારાત્મક છે; તે બાદબાકી ચિહ્ન સાથે સરવાળા (9.1.11)માં પણ સમાયેલ છે; તે બિંદુઓ પર જ્યાં φ (x) વધે છે, φ" (y) (વિભાગનો અંત) તે વત્તા ચિહ્ન છે. સ્થિરાંકોના વ્યુત્પન્ન એઅને bશૂન્યની બરાબર છે, તેથી બિંદુઓ દેખાય છે કે કેમ તે કોઈ વાંધો નથી એઅને bવિભાગની શરૂઆત અથવા અંતના સ્વરૂપમાં. ફોર્મ્યુલા (9.1.11) માં તમામ શબ્દો હકારાત્મક છે, અને તે ખૂબ જ સરળ સ્વરૂપ લે છે:

જ્યાં થી- આપેલ y, φ ને અનુરૂપ વ્યસ્ત કાર્યના મૂલ્યોની સંખ્યા (y); f 2 (y);...; f^(y) - આપેલ y ને અનુરૂપ વ્યસ્ત કાર્યના મૂલ્યો.

સમસ્યા 2. રેન્ડમ ચલના મોડ્યુલસના વિતરણનો નિયમ. સમસ્યા નીચે પ્રમાણે જણાવવામાં આવી છે: સતત s આપવામાં આવે છે. વી. Xcઘનતા/(x) વિસ્તારમાં (- oo, + oo); રેન્ડમ ચલ K એ સંબંધ દ્વારા તેની સાથે સંબંધિત છે:

વિતરણ ઘનતા શોધો c. વી. વાય.

ઉકેલ. કાર્ય ખાતે= |x| એકવિધ નથી; તેનો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 9.1.8. આપેલ માટે વ્યસ્ત કાર્ય ખાતેબે અર્થો છે: ?i (y) = - y; Fg (y) = Y- ફોર્મ્યુલા (9.1.12) નો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ:

(નકારાત્મક રેન્ડમ ચલ વાયન હોઈ શકે). ખાસ કરીને, જો ઘનતા /(x) મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે, એટલે કે /(-x) =/(x), સૂત્ર (9.1.13) આપશે:

સમસ્યા 3. રેન્ડમ ચલના વર્ગનો વિતરણ કાયદો. ચાલો સતત s. વી. એક્સઘનતા /(x); તેના ચોરસની વિતરણ ઘનતા શોધો.

ઉકેલ. કાર્ય ખાતે= x 2 મોનોટોનિક નથી (ફિગ. 9.1.9); f, (y) = -y[y;

ખાતે 2 (y) = 4y-

ફોર્મ્યુલા (9.1.12) આપે છે

ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે એસ. વી. એક્સસામાન્ય વિતરણ છે

પરિમાણો સાથે t x = 0; a x = 1; / (x) = e~ x^/l/2l, પૃષ્ઠ. વી. વિતરણ ધરાવે છે

આ વિતરણનો વળાંક ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 9.1.10. ?

ચોખા. 9.1.9

અત્યાર સુધી અમે ફંક્શન દલીલ વખતે જ કેસને ધ્યાનમાં લીધો છે Y= f (X)- સતત રેન્ડમ ચલ. હવે ચાલો સારમાં સરળ, પરંતુ લેખિત કિસ્સામાં વધુ જટિલ, જ્યારે દલીલ કરીએ એક્સ- discrete s. વી. વિતરણ શ્રેણી સાથે:

વિતરણ શ્રેણીની કેટલીક "સમાનતા" c. વી. કોષ્ટક બતાવશે:

તેમાંથી વિતરણ શ્રેણી બનાવવા માટે, તમારે પ્રથમ, ટોચની પંક્તિમાં મૂલ્યોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવાની જરૂર છે, અને બીજું, તેમાંથી જે સમાન હોય છે તેને જોડવાની જરૂર છે (સંદિગ્ધતાને કારણે. વ્યસ્ત કાર્ય), અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ ઉમેરો. આ રીતે મેળવેલ શ્રેણી વિતરણ શ્રેણી c હશે. વી. વાય.

ઉદાહરણ 11. ડિસ્ક્રીટ એસ. વી. એક્સવિતરણ શ્રેણી છે:

તેના ચોરસના વિતરણની શ્રેણી બનાવો

ઉકેલ. "અનુક્રમિત" વિતરણ શ્રેણીમાં ફોર્મ છે:

ચાલો c ના મૂલ્યો ગોઠવીએ. વી. વાયચડતા ક્રમમાં, અમે સમાન રાશિઓને જોડીએ છીએ અને તેમની સંભાવનાઓ ઉમેરીએ છીએ; અમે વિતરણ શ્રેણી c મેળવીએ છીએ. વી. વાય

12. ઉદાહરણ એ.આ ખામીઓમાંથી કુલ સામગ્રી નુકસાન તેમની સંખ્યાના વર્ગના પ્રમાણસર છે:

જ્યાં c > 0 એ બિન-રેન્ડમ મૂલ્ય છે. આ નુકસાનના વિતરણનો કાયદો શોધો.

ઉકેલ. વિતરણ શ્રેણી એક્સફોર્મ ધરાવે છે:

કિંમતો થી વાયમૂલ્યો સાથે વધારો એક્સઅને તેમની વચ્ચે કોઈ સંયોગો નથી (ક્ષેત્ર 0, 1, માં વ્યસ્ત કાર્ય ટી,... અસંદિગ્ધ છે), તો પછી ટાઇમટ વિતરણ શ્રેણીનું સ્વરૂપ છે:

ભાગ 6

રેન્ડમ ચલોના કાર્યો

વ્યાખ્યાન 11

1. વિતરણ કાયદો અને રેન્ડમ ચલોના કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

વ્યાખ્યાનનો હેતુ: રેન્ડમ ચલના કાર્યની વિભાવનાને રજૂ કરવા અને આ કિસ્સામાં ઊભી થતી સમસ્યાઓનું વર્ગીકરણ કરવું; એક રેન્ડમ દલીલના કાર્યના વિતરણનો કાયદો અને બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણનો કાયદો મેળવો; વિતરણ કાયદાની રચનાની વિભાવના સમજાવો.

રેન્ડમ ચલના કાર્યનો ખ્યાલ

સંભાવના સિદ્ધાંતના વ્યવહારુ કાર્યક્રમોમાં વિશિષ્ટ સ્થાનએવા કાર્યો દ્વારા કબજે કરવામાં આવે છે કે જેમાં વિતરણ કાયદા અને/અથવા રેન્ડમ ચલોના કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવાની જરૂર હોય છે. સૌથી સરળ કિસ્સામાં, સમસ્યા નીચે મુજબ છે: તકનીકી ઉપકરણના ઇનપુટ પર રેન્ડમ પ્રભાવ પ્રાપ્ત થાય છે
; ઉપકરણ ખુલ્લા છે
કેટલાક કાર્યાત્મક પરિવર્તન અને આઉટપુટ પર રેન્ડમ ચલ આપે છે
(જુઓ ફિગ. 6.1). આપણે રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો જાણીએ છીએ
, અને તે રેન્ડમ ચલની વિતરણ કાયદો અને/અથવા સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે જરૂરી છે .

ત્રણ મુખ્ય ઉભરતા પડકારોને ઓળખી શકાય છે:

1. રેન્ડમ ચલના વિતરણના કાયદાને જાણવું
(અથવા રેન્ડમ વેક્ટર
), આઉટપુટ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો શોધો
(અથવા
).

2. રેન્ડમ ચલના વિતરણના કાયદાને જાણવું
, આઉટપુટ રેન્ડમ ચલની માત્ર સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો.

3. કેટલાક કિસ્સાઓમાં (વિશિષ્ટ પ્રકારના પરિવર્તન સાથે ) આઉટપુટની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે, ઇનપુટ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાને જાણવું જરૂરી નથી
, પરંતુ માત્ર તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો , રેન્ડમ ચલ પર કાર્યાત્મક રીતે આધાર રાખીને
, એટલે કે
. રેન્ડમ ચલ દો
અલગ છે અને તેની વિતરણ શ્રેણી જાણીતી છે:

જ્યાં
.

જ્યારે રેન્ડમ ચલ મૂલ્ય ઇનપુટને પૂરું પાડવામાં આવે છે
આઉટપુટ પર આપણને મળે છે
સંભાવના સાથે . અને તેથી રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો માટે
. આમ, અમને ટેબલ મળે છે. 6.1.

કોષ્ટક 6.1

પરિણામી કોષ્ટક 6.1 સામાન્ય કિસ્સામાં રેન્ડમ ચલનું નજીકનું વિતરણ હોઈ શકતું નથી , કારણ કે કોષ્ટકની ટોચની પંક્તિના મૂલ્યો બિન-વધતા ક્રમમાં ગોઠવી શકાય છે, અને કેટલાક
એકરૂપ પણ થઈ શકે છે.

ટેબલ કન્વર્ટ કરવા માટે. રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણીમાં 6.1 શક્ય મૂલ્યોને ઓર્ડર કરવો જરૂરી છે
ચડતા ક્રમમાં, અને એકરૂપ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ
ફોલ્ડ કરવાની જરૂર છે.

રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે (6.1) ને વિતરણ શ્રેણીમાં રૂપાંતરિત કરવાની કોઈ જરૂર નથી, કારણ કે તેઓ કોષ્ટક (6.1) પરથી ગણતરી કરી શકાય છે. ખરેખર, રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો શોધવો તેમની સંભાવનાઓ પર, અમને મળે છે

. (6.1)

આમ, દલીલનો માત્ર વિતરણ કાયદો જાણીને
, તમે રેન્ડમ ચલના કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધી શકો છો.

એ જ રીતે, આપણે રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા શોધીએ છીએ :

એ જ રીતે, અમે રેન્ડમ ચલના કોઈપણ ક્રમની પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણો નક્કી કરીએ છીએ
:

સતત રેન્ડમ ચલ માટે
, વિતરણ ઘનતા ધરાવે છે
, અમને મળે છે

;

;

ફંક્શનની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે આપણે તે જોઈએ છીએ
તેના વિતરણ કાયદાને જાણવાની જરૂર નથી - દલીલ વિતરણ કાયદાનું જ્ઞાન પૂરતું છે
.

રેન્ડમ ચલોના કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ પરના પ્રમેય

કેટલીક સમસ્યાઓમાં, રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓના કાર્યો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે
. આ કિસ્સામાં, દલીલના વિતરણ કાયદાનું જ્ઞાન પણ જરૂરી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા
, પરંતુ રેન્ડમ ચલોની આ સિસ્ટમની માત્ર સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ ધરાવવા માટે તે પૂરતું છે. આવી સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે, રેન્ડમ ચલોના કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ પર નીચેના પ્રમેય ઘડવામાં આવ્યા છે:

1.
, 3.
,

2.
, 4.
,

જ્યાં બિન-રેન્ડમ જથ્થો છે.

5. કોઈપણ સંખ્યાની શરતો માટે, સ્વતંત્ર અને આશ્રિત, સહસંબંધિત અને અસંબંધિત.

6. રેન્ડમ ચલોના રેખીય સંયોજનમાંથી ગાણિતિક અપેક્ષા
વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સમાન રેખીય કાર્ય સમાન છે:

.

7. રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું વિચલન સહસંબંધ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકોના સરવાળા જેટલું છે
આ રેન્ડમ ચલો

.

સહસંબંધ મેટ્રિક્સ થી
મુખ્ય કર્ણ કે જેના પર વિક્ષેપો સ્થિત છે તેના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, પછી આપણે ફોર્મમાં છેલ્લું સૂત્ર ફરીથી લખીએ છીએ

.

જો રેન્ડમ ચલો
સહસંબંધ નથી, પછી ભિન્નતાના ઉમેરા પરનો પ્રમેય માન્ય છે:

.

8. રેન્ડમ ચલોના રેખીય કાર્યનો તફાવત સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

.

9. બે અવ્યવસ્થિત ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા ગાણિતિક અપેક્ષાઓ વત્તા સહપ્રવર્તનના ઉત્પાદનની સમાન છે

બેના ઉત્પાદનની અપેક્ષા અસંબંધિતરેન્ડમ ચલો તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદન સમાન છે

10. ઉત્પાદન તફાવત સ્વતંત્રરેન્ડમ ચલો

સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત

જો રેન્ડમ ચલો
સ્વતંત્ર અને કેન્દ્રિત, આપણને મળે છે

.

રેન્ડમ દલીલના કાર્યના વિતરણનો કાયદો

ત્યાં સતત રેન્ડમ ચલ છે
વિતરણ ઘનતા સાથે
રેન્ડમ ચલ સાથે સંકળાયેલ કાર્યાત્મક અવલંબન
. રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો શોધવા માટે તે જરૂરી છે .

ચાલો જ્યારે કેસ ધ્યાનમાં લઈએ
સખત રીતે એકવિધ, સતત અને અંતરાલ પર અલગ
રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો
.

વિતરણ કાર્ય
રેન્ડમ ચલ વ્યાખ્યા દ્વારા ત્યાં છે
. જો કાર્ય
એકવિધ રીતે વધે છેરેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની શ્રેણી પર
, પછી ઘટના
ઘટનાની સમકક્ષ છે
, ક્યાં
ત્યાં એક ફંક્શન છે જે ફંક્શનનું વ્યસ્ત છે
. જ્યારે રેન્ડમ ચલ
સ્વીકારે છે સાઇટ પર મૂલ્યો
, પછી એક રેન્ડમ બિંદુ
વળાંક સાથે ખસે છે
(ઓર્ડિનેટ સંપૂર્ણપણે એબ્સીસા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે) (જુઓ ફિગ. 6.2). કડક એકવિધતા થી
એકવિધતા અનુસરે છે
, અને તેથી રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

.

દ્વારા આ અભિવ્યક્તિનો તફાવત ઇન્ટિગ્રલની ઉપલી મર્યાદામાં સમાવિષ્ટ, અમે રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા મેળવીએ છીએ ફોર્મમાં

જો કાર્ય
સાઇટ પર
રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો
એકવિધ રીતે ઘટે છે, પછી, સમાન ગણતરીઓ હાથ ધર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ

. (6.3)

રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની શ્રેણી
થી (6.2) અને (6.3) અભિવ્યક્તિઓમાં હોઈ શકે છે
થી
.

વિતરણ ઘનતા નકારાત્મક હોઈ શકતી નથી, તેથી સૂત્રો (6.2) અને (6.3) ને એકમાં જોડી શકાય છે.

. (6.4)

ઉદાહરણ . રેન્ડમ ચલ કાર્ય કરવા દો
રેખીય છે, એટલે કે
, ક્યાં
. સતત રેન્ડમ ચલ
વિતરણ ઘનતા ધરાવે છે
, અને પછી, અભિવ્યક્તિ (6.4) નો ઉપયોગ કરીને, અમે વિતરણ કાયદો શોધીએ છીએ
, આપેલ છે કે વ્યસ્ત કાર્ય છે
, અને તેના વ્યુત્પન્નનું મોડ્યુલસ બરાબર છે
,

. (6.5)

જો રેન્ડમ ચલ
સામાન્ય વિતરણ છે

,

પછી (6.5) મુજબ આપણને મળે છે

.

આ હજુ પણ ગાણિતિક અપેક્ષા સાથેનો સામાન્ય વિતરણ કાયદો છે
, વિખેરવું
અને સરેરાશ ચોરસ વિચલન
.

સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના રેખીય પરિવર્તનના પરિણામે
આપણને રેન્ડમ ચલ મળે છે , સામાન્ય કાયદા અનુસાર પણ વિતરિત.

બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણનો નિયમ. વિતરણ કાયદાની રચના

અમારી પાસે બે સતત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ છે
અને તેમનો સરવાળો રેન્ડમ ચલ છે
. રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો શોધવો જરૂરી છે , જો સિસ્ટમની સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા જાણીતી હોય
.

વિતરણ કાર્ય એ પ્રદેશનો વિસ્તાર છે
પ્લેનમાં
, જ્યાં અસમાનતા ધરાવે છે
(જુઓ ફિગ. 6.3), એટલે કે.

.

પી ના સંદર્ભમાં આ અભિવ્યક્તિને અલગ પાડવી , અમે રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણ ઘનતા મેળવીએ છીએ

.

શરતોની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં રાખીને, આપણે સમાન સંબંધ લખી શકીએ છીએ

.

જો રેન્ડમ ચલો અને
સ્વતંત્ર છે, એટલે કે સમાનતા સંતુષ્ટ છે, પછી છેલ્લા બે સૂત્રો ફોર્મ લેશે:

; (6.6)

. (6.7)

કિસ્સામાં જ્યારે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો ઉમેરવામાં આવે છે અને
પછી તેઓ વાત કરે છે વિતરણ કાયદાની રચનાઓ. વિતરણ કાયદાની રચના સૂચવવા માટે, નીચે આપેલા સાંકેતિક સંકેતનો ઉપયોગ ક્યારેક થાય છે:
.

વિતરણનો કાયદો કહેવાય છે રચના પ્રતિરોધક, જો આ પ્રકારના વિતરણ કાયદાની રચના ફરીથી સમાન કાયદામાં પરિણમે છે, પરંતુ વિવિધ પરિમાણ મૂલ્યો સાથે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે બે સ્વતંત્ર સામાન્ય રેન્ડમ ચલો ઉમેરો છો, તો પરિણામી રેન્ડમ ચલમાં સામાન્ય વિતરણ કાયદો હશે, એટલે કે સામાન્ય કાયદો રચના માટે પ્રતિરોધક છે. સામાન્ય કાયદા ઉપરાંત, એર્લાંગ, દ્વિપદી અને પોઈસનના વિતરણ કાયદાઓ રચના માટે પ્રતિરોધક છે.