ચોથો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ. રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

વિશેષ મહત્વરેન્ડમ ચલના વિતરણને દર્શાવવા માટે, તેમની પાસે પ્રારંભિક અને કેન્દ્રીય ક્ષણો તરીકે ઓળખાતી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ છે.

શરૂઆતની ક્ષણ k-મો ઓર્ડર α k(એક્સ) રેન્ડમ ચલ એક્સ k-આ જથ્થાની મી શક્તિ, એટલે કે.

α k(એક્સ) = એમ(X કે) (6.8)

વિવિધ માટે ગાણિતિક અપેક્ષાની વ્યાખ્યાને કારણે ફોર્મ્યુલા (6.8). રેન્ડમ ચલોતેનું પોતાનું સ્વરૂપ છે, એટલે કે, સાથે એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે મર્યાદિત સમૂહમૂલ્યો

સતત રેન્ડમ ચલ માટે

, (6.10)

જ્યાં f(x) - રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા એક્સ.

અયોગ્ય અભિન્નફોર્મ્યુલામાં (6.10) માં ફેરવાય છે ચોક્કસ અભિન્નમર્યાદિત અંતરાલ પર, જો સતત રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો ફક્ત આ અંતરાલમાં અસ્તિત્વમાં હોય.

અગાઉ રજૂ કરાયેલ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાંની એક - ગાણિતિક અપેક્ષા - પ્રથમ ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ કરતાં વધુ કંઈ નથી, અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણ:

એમ(એક્સ) = α 1 (એક્સ).

અગાઉના ફકરામાં, કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો એચ.એમ(એક્સ). જો આ જથ્થાને મુખ્ય માનવામાં આવે છે, તો તેના માટે પ્રારંભિક ક્ષણો પણ શોધી શકાય છે. તીવ્રતા માટે જ એક્સઆ ક્ષણોને કેન્દ્રીય કહેવામાં આવશે.

કેન્દ્રીય ક્ષણ k-મો ઓર્ડર μ k(એક્સ) રેન્ડમ ચલ એક્સગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે k-કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલની મી શક્તિ, એટલે કે.

μ k(એક્સ) = એમ[(એચ.એમ(એક્સ))k] (6.11)

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કેન્દ્રિય બિંદુ k-મો ક્રમ એ ગાણિતિક અપેક્ષા છે kવિચલનની મી ડિગ્રી.

કેન્દ્રીય ક્ષણ kમૂલ્યોના મર્યાદિત સમૂહ સાથેના અલગ રેન્ડમ ચલ માટેનો ક્રમ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

, (6.12)

સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલ માટે:

(6.13)

ભવિષ્યમાં, જ્યારે તે સ્પષ્ટ થાય છે કે આપણે કયા પ્રકારના રેન્ડમ ચલ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, ત્યારે અમે તેને પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોના સંકેતમાં લખીશું નહીં, એટલે કે. તેના બદલે α k(એક્સ) અને μ k(એક્સ) અમે ખાલી લખીશું α kઅને μ k .

તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ ઓર્ડર કેન્દ્રીય ક્ષણ શૂન્ય બરાબર, કારણ કે આ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા કરતાં વધુ કંઈ નથી, જે અગાઉ સાબિત થયું હતું તે મુજબ શૂન્ય બરાબર છે, એટલે કે. .

તે સમજવું મુશ્કેલ નથી કે રેન્ડમ ચલની સેકન્ડ-ઓર્ડર કેન્દ્રીય ક્ષણ એક્સસમાન રેન્ડમ ચલના વિચલન સાથે એકરુપ છે, એટલે કે.

વધુમાં, ત્યાં છે નીચેના સૂત્રો, પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોને જોડે છે:

તેથી, પ્રથમ અને બીજા ઓર્ડરની ક્ષણો (ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ) વિતરણની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે: તેની સ્થિતિ અને મૂલ્યોના સ્કેટરની ડિગ્રી. વધુ માટે વિગતવાર વર્ણનવિતરણ ઉચ્ચ ઓર્ડરની ક્ષણો છે. ચાલો તે બતાવીએ.

ચાલો ધારીએ કે રેન્ડમ ચલનું વિતરણ તેની ગાણિતિક અપેક્ષાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. પછી તમામ વિષમ-ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણો, જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય, તો શૂન્ય સમાન છે. આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે કે દરેક માટે વિતરણની સમપ્રમાણતાને કારણે હકારાત્મક મૂલ્યજથ્થો એક્સ − એમ(એક્સ) એક સમાન મોડ્યુલસ છે નકારાત્મક મૂલ્ય, અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ સમાન છે. પરિણામે, સૂત્રમાંનો સરવાળો (6.12) પરિમાણમાં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં ભિન્ન હોય છે, જે સમીકરણ પર એકબીજાને રદ કરે છે. આમ, સમગ્ર રકમ, એટલે કે. કોઈપણ વિષમ ક્રમના ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલની કેન્દ્રિય ક્ષણ શૂન્ય છે. એ જ રીતે, સતત રેન્ડમ ચલના કોઈપણ વિષમ ક્રમની કેન્દ્રિય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર છે, જેમ કે એક વિષમ કાર્યની સપ્રમાણ મર્યાદામાં અભિન્ન છે.

એવું માનવું સ્વાભાવિક છે કે જો વિષમ ક્રમની કેન્દ્રિય ક્ષણ શૂન્યથી અલગ હોય, તો તેની ગાણિતિક અપેક્ષાના સંદર્ભમાં વિતરણ પોતે સપ્રમાણ નહીં હોય. તદુપરાંત, કેન્દ્રિય ક્ષણ શૂન્યથી વધુ અલગ પડે છે, વિતરણમાં અસમપ્રમાણતા વધારે છે. ચાલો અસમપ્રમાણતાની લાક્ષણિકતા તરીકે સૌથી નાના વિષમ ક્રમની કેન્દ્રિય ક્ષણ લઈએ. કોઈપણ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ધરાવતા રેન્ડમ ચલો માટે ફર્સ્ટ-ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ શૂન્ય હોવાથી, આ હેતુ માટે ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે. જો કે, આ ક્ષણ રેન્ડમ ચલના ક્યુબનું પરિમાણ ધરાવે છે. આ ખામીમાંથી છૂટકારો મેળવવા અને પરિમાણહીન રેન્ડમ ચલ પર જવા માટે, મૂલ્યને વિભાજીત કરો કેન્દ્રીય ક્ષણપ્રમાણભૂત વિચલનના ઘન દીઠ.

અસમપ્રમાણતા ગુણાંક એ એસ અથવા માત્ર અસમપ્રમાણતાપ્રમાણભૂત વિચલનના ઘન સાથે ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણનો ગુણોત્તર કહેવાય છે, એટલે કે.

કેટલીકવાર અસમપ્રમાણતાને "સ્ક્યુનેસ" કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે એસ કેશું આવે છે અંગ્રેજી શબ્દત્રાંસુ - "ત્રાંસી".

જો અસમપ્રમાણતા ગુણાંક નકારાત્મક હોય, તો તેનું મૂલ્ય નકારાત્મક શબ્દો (વિચલનો) દ્વારા ખૂબ પ્રભાવિત થાય છે અને વિતરણમાં હશે ડાબી અસમપ્રમાણતા, અને વિતરણ ગ્રાફ (વળાંક) ગાણિતિક અપેક્ષાની ડાબી બાજુએ ચપટી છે. જો ગુણાંક હકારાત્મક છે, તો પછી અસમપ્રમાણતા અધિકાર, અને વળાંક ગાણિતિક અપેક્ષા (ફિગ. 6.1) ની જમણી બાજુએ ચપટી છે.

બતાવ્યા પ્રમાણે, તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોના ફેલાવાને દર્શાવવા માટે, બીજી કેન્દ્રિય ક્ષણનો ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે. વિખેરવું જો આ ક્ષણ ખૂબ મહત્વ ધરાવે છે સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, તો પછી આ રેન્ડમ ચલમાં મૂલ્યોનો મોટો સ્કેટર હોય છે અને અનુરૂપ વિતરણ વળાંક વળાંક કરતાં વધુ ચપટી આકાર ધરાવે છે જેના માટે બીજી કેન્દ્રીય ક્ષણ હોય છે ઓછી કિંમત. તેથી, બીજી કેન્દ્રિય ક્ષણ અમુક અંશે, "ફ્લેટ-ટોપ્ડ" અથવા "શાર્પ-ટોપ્ડ" વિતરણ વળાંકને દર્શાવે છે. જો કે, આ લાક્ષણિકતા ખૂબ અનુકૂળ નથી. સેકન્ડ ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટનું પરિમાણ છે ચોરસ સમાનરેન્ડમ ચલના પરિમાણો. જો આપણે ક્ષણ મૂલ્યને પ્રમાણભૂત વિચલનના વર્ગ દ્વારા વિભાજીત કરીને પરિમાણહીન જથ્થો મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ, તો કોઈપણ રેન્ડમ ચલ માટે આપણે મેળવીએ છીએ: . આમ, આ ગુણાંક રેન્ડમ ચલના વિતરણની કોઈ લાક્ષણિકતા હોઈ શકે નહીં. તે તમામ વિતરણો માટે સમાન છે. આ કિસ્સામાં, તમે કેન્દ્રિય ક્ષણનો ઉપયોગ કરી શકો છો ચોથો ક્રમ.

અધિક એક સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત જથ્થો છે

(6.15)

કુર્ટોસિસનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે સતત રેન્ડમ ચલ માટે થાય છે અને વિતરણ વળાંકના કહેવાતા "સ્ટીપનેસ" અથવા અન્યથા, પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યા મુજબ, "ફ્લેટ-ટોપ્ડ" અથવા "શાર્પ-ટોપ્ડ" ડિસ્ટ્રિબ્યુશન કર્વને દર્શાવવા માટે સેવા આપે છે. સંદર્ભ વિતરણ વળાંકને વળાંક તરીકે ગણવામાં આવે છે સામાન્ય વિતરણ(આગામી પ્રકરણમાં વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવશે). ઉપર વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે સામાન્ય કાયદો, સમાનતા ધરાવે છે. તેથી, અધિક સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે(6.15), સરખામણી માટે સેવા આપે છે આપેલ વિતરણસામાન્ય સાથે, જેની કુર્ટોસિસ શૂન્યની બરાબર છે.

જો કેટલાક અવ્યવસ્થિત ચલ માટે હકારાત્મક કર્ટોસિસ પ્રાપ્ત થાય છે, તો આ મૂલ્યનું વિતરણ વળાંક સામાન્ય વિતરણ વળાંક કરતાં વધુ ટોચ પર છે. જો કર્ટોસિસ નકારાત્મક છે, તો સામાન્ય વિતરણ વળાંક (ફિગ. 6.2) ની તુલનામાં વળાંક વધુ ફ્લેટ-ટોપ છે.

ચાલો હવે આગળ વધીએ ચોક્કસ પ્રકારોઅલગ અને સતત રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમો.

કેન્દ્રીય ક્ષણોને વિતરણ ક્ષણો કહેવામાં આવે છે, જ્યારે ગણતરી કરવામાં આવે છે કે અંકગણિત સરેરાશમાંથી વિકલ્પોના વિચલનને પ્રારંભિક મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે આ શ્રેણી.

1. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ ઓર્ડરની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

2. ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને સેકન્ડ-ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટની ગણતરી કરો:

અંતરાલો વચ્ચેની કિંમત ક્યાં છે;

આ એક ભારિત સરેરાશ છે;

Fi એ મૂલ્યોની સંખ્યા છે.

3. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

અંતરાલો વચ્ચેની કિંમત ક્યાં છે; - આ ભારિત સરેરાશ છે; - મૂલ્યોની ફાઈ-સંખ્યા.

4. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

અંતરાલો વચ્ચેની કિંમત ક્યાં છે; - આ ભારિત સરેરાશ છે; - મૂલ્યોની ફાઈ-સંખ્યા.

કોષ્ટક 3.2 માટે ગણતરી

કોષ્ટક 3.4 માટે ગણતરી

1. ફોર્મ્યુલા (7.1) નો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ-ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

2. ફોર્મ્યુલા (7.2) નો ઉપયોગ કરીને સેકન્ડ-ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટની ગણતરી કરો:

3. ફોર્મ્યુલા (7.3) નો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

4. ફોર્મ્યુલા (7.4) નો ઉપયોગ કરીને ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

કોષ્ટક 3.6 માટે ગણતરી

1. ફોર્મ્યુલા (7.1) નો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ-ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

2. ફોર્મ્યુલા (7.2) નો ઉપયોગ કરીને સેકન્ડ-ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટની ગણતરી કરો:

3. ફોર્મ્યુલા (7.3) નો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

4. ફોર્મ્યુલા (7.4) નો ઉપયોગ કરીને ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણની ગણતરી કરો:

ત્રણ સમસ્યાઓ માટે ઓર્ડર 1, 2, 3, 4 ની ક્ષણોની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. જ્યાં અસમપ્રમાણતાની ગણતરી કરવા માટે ત્રીજા ક્રમની ક્ષણની જરૂર હોય છે, અને કુર્ટોસિસની ગણતરી કરવા માટે ચોથા ક્રમની ક્ષણની જરૂર હોય છે.

વિતરણ અસમપ્રમાણતાની ગણતરી

આંકડાકીય પ્રેક્ટિસમાં, વિવિધ વિતરણોનો સામનો કરવો પડે છે. નીચેના પ્રકારના વિતરણ વણાંકો છે:

· એકલ-શિરોબિંદુ વણાંકો: સપ્રમાણતા, સાધારણ અસમપ્રમાણ અને અત્યંત અસમપ્રમાણતા;

· મલ્ટિવર્ટેક્સ વણાંકો.

સજાતીય વસ્તી, એક નિયમ તરીકે, એકલ-શિરોબિંદુ વિતરણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. મલ્ટિવર્ટેક્સ અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી વસ્તીની વિવિધતા સૂચવે છે. બે અથવા વધુ શિરોબિંદુઓનો દેખાવ વધુ એકરૂપ જૂથોને ઓળખવા માટે ડેટાને ફરીથી જૂથબદ્ધ કરવું જરૂરી બનાવે છે.

શોધવાનું સામાન્યવિતરણમાં તેની એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકન, તેમજ અસમપ્રમાણતા અને કર્ટોસિસના સૂચકાંકોની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. સપ્રમાણ વિતરણો માટે, વિતરણ કેન્દ્રની બંને બાજુએ સમાન રીતે સ્થિત કોઈપણ બે વિકલ્પોની ફ્રીક્વન્સી એકબીજાની સમાન હોય છે. આવા વિતરણો માટે ગણતરી કરેલ સરેરાશ, મોડ અને મધ્યક પણ સમાન છે.

માપનના વિવિધ એકમો સાથે અનેક વિતરણોની અસમપ્રમાણતાના તુલનાત્મક અભ્યાસમાં, તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે. સંબંધિત સૂચકઅસમપ્રમાણતા():

ભારિત સરેરાશ ક્યાં છે; મો-ફેશન; - રુટ સરેરાશ ચોરસ ભારિત વિક્ષેપ; મી-મધ્યમ.

તેનું મૂલ્ય હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમે વાત કરી રહ્યા છીએજમણી બાજુની અસમપ્રમાણતા વિશે, અને બીજામાં - ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા વિશે.

જમણી બાજુની અસમપ્રમાણતા સાથે Mo>Me >x. સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતો (અસમપ્રમાણતાના સૂચક તરીકે) આપેલ શ્રેણીના ક્યુબ્ડના પ્રમાણભૂત વિચલન માટે ત્રીજા ક્રમના કેન્દ્રીય ક્ષણનો ગુણોત્તર છે:

ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ ક્યાં છે; -સરેરાશ પ્રમાણભૂત વિચલનસમઘન માં.

અરજી આ સૂચકતે માત્ર અસમપ્રમાણતાની તીવ્રતા નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે, પણ તેની હાજરી તપાસવાનું પણ શક્ય બનાવે છે વસ્તી. તે સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે કે 0.5 (ચિહ્નને ધ્યાનમાં લીધા વિના) કરતાં વધુની વિકૃતિને નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે; જો તે 0.25 કરતા ઓછું હોય, તો તે નજીવું છે.

ભૌતિકતાનું મૂલ્યાંકન સરેરાશ પર આધારિત છે ચોરસ ભૂલ, અસમપ્રમાણતા ગુણાંક (), જે અવલોકનો (n) ની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે અને સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

જ્યાં n એ અવલોકનોની સંખ્યા છે.

આ કિસ્સામાં, અસમપ્રમાણતા નોંધપાત્ર છે અને વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાનું વિતરણ અસમપ્રમાણ છે. નહિંતર, અસમપ્રમાણતા નજીવી છે અને તેની હાજરી રેન્ડમ સંજોગોને કારણે થઈ શકે છે.

કોષ્ટક 3.2 માટે ગણતરીસરેરાશ માસિક દ્વારા વસ્તીનું જૂથીકરણ વેતન, ઘસવું.

ડાબી બાજુની, નોંધપાત્ર અસમપ્રમાણતા.

કોષ્ટક 3.4 માટે ગણતરીરિટેલ ટર્નઓવર, મિલિયન રુબેલ્સ દ્વારા સ્ટોર્સનું જૂથીકરણ.

1. ચાલો ફોર્મ્યુલા (7.5) નો ઉપયોગ કરીને અસમપ્રમાણતા નક્કી કરીએ:

જમણી બાજુની, નોંધપાત્ર અસમપ્રમાણતા.

કોષ્ટક 3.6 માટે ગણતરીપરિવહન નૂર ટર્નઓવર દ્વારા પરિવહન સંસ્થાઓનું જૂથીકરણ જાહેર ઉપયોગ(મિલિયન t.km)

1. ચાલો ફોર્મ્યુલા (7.5) નો ઉપયોગ કરીને અસમપ્રમાણતા નક્કી કરીએ:

જમણી બાજુની, સહેજ અસમપ્રમાણતા.

વિતરણના કુર્ટેસની ગણતરી

સપ્રમાણ વિતરણો માટે, કુર્ટોસિસ ઇન્ડેક્સ () ની ગણતરી કરી શકાય છે:

ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ ક્યાં છે; - ચોથી શક્તિ માટે પ્રમાણભૂત વિચલન.

કોષ્ટક 3.2 માટે ગણતરીસરેરાશ માસિક પગાર દ્વારા વસ્તીનું જૂથીકરણ, ઘસવું.

કોષ્ટક 3.4 માટે ગણતરીરિટેલ ટર્નઓવર, મિલિયન રુબેલ્સ દ્વારા સ્ટોર્સનું જૂથીકરણ.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુર્ટોસિસ સૂચકની ગણતરી કરીએ (7.7)

પીક વિતરણ.

કોષ્ટક 3.6 માટે ગણતરીજાહેર પરિવહનના નૂર ટર્નઓવર દ્વારા પરિવહન સંસ્થાઓનું જૂથીકરણ (મિલિયન t.km)

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુર્ટોસિસ સૂચકની ગણતરી કરીએ (7.7)

ફ્લેટ ટોપ વિતરણ.

વસ્તીની એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકન

કોષ્ટક 3.2 માટે એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકનસરેરાશ માસિક પગાર દ્વારા વસ્તીનું જૂથીકરણ, ઘસવું.

એ નોંધવું જોઈએ કે અસમપ્રમાણતા અને કુર્ટોસિસના સૂચકાંકો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાના વિતરણના સ્વરૂપને સીધી રીતે દર્શાવતા હોવા છતાં, તેમની વ્યાખ્યામાં માત્ર વર્ણનાત્મક મહત્વ નથી. ઘણીવાર અસમપ્રમાણતા અને કુર્ટોસિસ સામાજિક રીતે વધુ સંશોધન માટે ચોક્કસ સંકેતો આપે છે - આર્થિક ઘટના. પ્રાપ્ત પરિણામ અસમપ્રમાણતાની હાજરી સૂચવે છે જે તીવ્રતામાં નોંધપાત્ર છે અને પ્રકૃતિમાં નકારાત્મક છે તે નોંધવું જોઈએ કે અસમપ્રમાણતા ડાબી બાજુ છે. વધુમાં, વસ્તીમાં ફ્લેટ-ટોપ વિતરણ છે.

કોષ્ટક 3.4 માટે એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકનરિટેલ ટર્નઓવર, મિલિયન રુબેલ્સ દ્વારા સ્ટોર્સનું જૂથીકરણ.

પ્રાપ્ત પરિણામ અસમપ્રમાણતાની હાજરી સૂચવે છે જે તીવ્રતામાં નોંધપાત્ર છે અને પ્રકૃતિમાં હકારાત્મક છે તે નોંધવું જોઈએ કે અસમપ્રમાણતા જમણી બાજુ છે. અને વસ્તીમાં તીવ્ર-શિરોબિંદુ વિતરણ પણ છે.

કોષ્ટક 3.6 માટે એકરૂપતાનું મૂલ્યાંકનજાહેર પરિવહનના નૂર ટર્નઓવર દ્વારા પરિવહન સંસ્થાઓનું જૂથીકરણ (મિલિયન t.km)

પ્રાપ્ત પરિણામ અસમપ્રમાણતાની હાજરી સૂચવે છે જે તીવ્રતામાં નજીવી છે અને પ્રકૃતિમાં હકારાત્મક છે તે નોંધવું જોઈએ કે અસમપ્રમાણતા જમણી બાજુ છે; વધુમાં, વસ્તીમાં ફ્લેટ-ટોપ વિતરણ છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા. ગાણિતિક અપેક્ષાઅલગ રેન્ડમ ચલ એક્સ, યજમાન અંતિમ સંખ્યામૂલ્યો એક્સiસંભાવનાઓ સાથે આરi, રકમ કહેવામાં આવે છે:

ગાણિતિક અપેક્ષાસતત રેન્ડમ ચલ એક્સતેના મૂલ્યોના ઉત્પાદનનું અભિન્ન અંગ કહેવાય છે એક્સસંભાવના વિતરણ ઘનતા પર f(x):

(6b)

અયોગ્ય અભિન્ન (6 b) સંપૂર્ણપણે કન્વર્જન્ટ હોવાનું માનવામાં આવે છે (અન્યથા તેઓ કહે છે કે ગાણિતિક અપેક્ષા એમ(એક્સ) અસ્તિત્વમાં નથી). ગાણિતિક અપેક્ષા લાક્ષણિકતા ધરાવે છે સરેરાશ મૂલ્યરેન્ડમ ચલ એક્સ. તેનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલના પરિમાણ સાથે એકરુપ છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો:

વિખેરી નાખવું. ભિન્નતારેન્ડમ ચલ એક્સનંબર કહેવામાં આવે છે:

તફાવત છે છૂટાછવાયા લાક્ષણિકતારેન્ડમ ચલ મૂલ્યો એક્સતેના સરેરાશ મૂલ્યની તુલનામાં એમ(એક્સ). વિચલનનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલ વર્ગના પરિમાણ જેટલું છે. વિભિન્નતા (8) અને ગાણિતિક અપેક્ષા (5) એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે અને (6) સતત રેન્ડમ ચલ માટેની વ્યાખ્યાઓના આધારે, અમે વિભિન્નતા માટે સમાન અભિવ્યક્તિઓ મેળવીએ છીએ:

(9)

અહીં m = એમ(એક્સ).

વિક્ષેપ ગુણધર્મો:

માનક વિચલન:

(11)

સરેરાશ ના પરિમાણ થી ચોરસ વિચલનરેન્ડમ ચલની જેમ જ, તેનો ઉપયોગ વિચલન કરતાં વિક્ષેપના માપ તરીકે વધુ વખત થાય છે.

વિતરણની ક્ષણો. ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપની વિભાવનાઓ વધુના વિશેષ કિસ્સાઓ છે સામાન્ય ખ્યાલરેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ માટે - વિતરણ ક્ષણો. રેન્ડમ ચલના વિતરણની ક્ષણોને રેન્ડમ ચલના કેટલાક સરળ કાર્યોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. તેથી, ઓર્ડરની ક્ષણ kબિંદુ સંબંધિત એક્સ 0 ને ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે એમ(એક્સ–એક્સ 0 )k. મૂળ વિશે ક્ષણો એક્સ= 0 કહેવાય છે પ્રારંભિક ક્ષણોઅને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

(12)

પ્રથમ ઓર્ડરની પ્રારંભિક ક્ષણ એ વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલના વિતરણનું કેન્દ્ર છે:

(13)

વિતરણ કેન્દ્ર વિશે ક્ષણો એક્સ= mકહેવાય છે કેન્દ્રીય બિંદુઓઅને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

(14)

(7) થી તે અનુસરે છે કે પ્રથમ-ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ હંમેશા શૂન્યની બરાબર છે:

કેન્દ્રીય ક્ષણો રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની ઉત્પત્તિ પર આધાર રાખતા નથી, કારણ કે જ્યારે દ્વારા સ્થાનાંતરિત થાય છે સતત મૂલ્ય સાથેતેનું વિતરણ કેન્દ્ર સમાન મૂલ્ય દ્વારા બદલાય છે સાથે, અને કેન્દ્રમાંથી વિચલન બદલાતું નથી: એક્સ – m = (એક્સ – સાથે) – (m – સાથે).
હવે તે સ્પષ્ટ છે વિખેરવું- આ સેકન્ડ ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ:

અસમપ્રમાણતા. ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ:

(17)

મૂલ્યાંકન માટે સેવા આપે છે વિતરણ અસમપ્રમાણતા. જો વિતરણ બિંદુ વિશે સપ્રમાણ છે એક્સ= m, પછી ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર હશે (વિષમ ઓર્ડરની તમામ કેન્દ્રીય ક્ષણોની જેમ). તેથી, જો ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ શૂન્યથી અલગ હોય, તો વિતરણ સપ્રમાણ હોઈ શકતું નથી. અસમપ્રમાણતાની તીવ્રતાનું મૂલ્યાંકન પરિમાણહીનનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે અસમપ્રમાણતા ગુણાંક:

(18)

અસમપ્રમાણતા ગુણાંક (18) ની નિશાની જમણી- અથવા ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા (ફિગ. 2) સૂચવે છે.

ચોખા. 2. વિતરણ અસમપ્રમાણતાના પ્રકારો.

અધિક. ચોથો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ:

(19)

કહેવાતા મૂલ્યાંકન માટે સેવા આપે છે અધિક, જે સામાન્ય વિતરણ વળાંકના સંબંધમાં વિતરણના કેન્દ્રની નજીકના વિતરણ વળાંકની ઢાળ (શિખરતા) ની ડિગ્રી નક્કી કરે છે. સામાન્ય વિતરણ માટે, કુર્ટોસિસ તરીકે લેવાયેલ મૂલ્ય છે:

(20)

ફિગ માં. 3 સાથે વિતરણ વણાંકોના ઉદાહરણો બતાવે છે વિવિધ અર્થોઅધિક સામાન્ય વિતરણ માટે ઇ= 0. જે વણાંકો સામાન્ય કરતા વધુ પોઇન્ટેડ હોય છે તેમાં પોઝિટિવ કર્ટોસિસ હોય છે, જે વધુ ફ્લેટ ટોપવાળા હોય છે તેમાં નેગેટિવ કર્ટોસિસ હોય છે.

ચોખા. 3. ઢાળવાળી વિવિધ ડિગ્રી (કર્ટોસિસ) સાથે વિતરણ વણાંકો.

એન્જિનિયરિંગ એપ્લિકેશન્સમાં ઉચ્ચ-ક્રમની ક્ષણો ગાણિતિક આંકડાસામાન્ય રીતે ઉપયોગ થતો નથી.

ફેશન અલગરેન્ડમ ચલ એ તેની સૌથી સંભવિત કિંમત છે. ફેશન સતતરેન્ડમ ચલ એ તેનું મૂલ્ય છે કે જેના પર સંભાવના ઘનતા મહત્તમ છે (ફિગ. 2). જો વિતરણ વળાંકમાં મહત્તમ એક હોય, તો વિતરણ કહેવામાં આવે છે યુનિમોડલ. જો વિતરણ વક્રમાં એક કરતાં વધુ મહત્તમ હોય, તો વિતરણ કહેવામાં આવે છે મલ્ટિમોડલ. કેટલીકવાર એવા વિતરણો હોય છે કે જેના વક્ર મહત્તમને બદલે લઘુત્તમ હોય છે. આવા વિતરણો કહેવામાં આવે છે મોડલ વિરોધી. IN સામાન્ય કેસરેન્ડમ વેરીએબલની સ્થિતિ અને ગાણિતિક અપેક્ષાઓ એકરૂપ થતા નથી. ખાસ કિસ્સામાં, માટે મોડલ, એટલે કે એક મોડ, સપ્રમાણ વિતરણ અને જો ગાણિતિક અપેક્ષા હોય, તો બાદમાં વિતરણની સપ્રમાણતાના મોડ અને કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય.

મધ્યક રેન્ડમ ચલ એક્સ- આ તેનો અર્થ છે મેહ, જેના માટે સમાનતા ધરાવે છે: એટલે કે. તે રેન્ડમ વેરીએબલની સમાન સંભાવના છે એક્સઓછા કે વધુ હશે મેહ. ભૌમિતિક રીતે મધ્યકએ બિંદુનો એબ્સીસા છે કે જેના પર વિતરણ વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે (ફિગ. 2). સપ્રમાણ મોડલ વિતરણના કિસ્સામાં, મધ્યક, મોડ અને ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે.

3.4. રેન્ડમ ચલની ક્ષણો.

ઉપર અમે SV ની વ્યાપક લાક્ષણિકતાઓથી પરિચિત થયા: વિતરણ કાર્ય અને એક અલગ SV માટે વિતરણ શ્રેણી, વિતરણ કાર્ય અને સતત SV માટે સંભાવના ઘનતા. માહિતી સામગ્રીના સંદર્ભમાં આ જોડીમાં સમકક્ષ લાક્ષણિકતાઓ છે કાર્યોઅને સંભવિત દૃષ્ટિકોણથી SV નું સંપૂર્ણ વર્ણન કરો. જો કે, ઘણી વ્યવહારુ પરિસ્થિતિઓમાં રેન્ડમ વેરીએબલને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવું કાં તો અશક્ય અથવા બિનજરૂરી છે. ઘણીવાર તે એક અથવા વધુ સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતું છે સંખ્યાત્મકપરિમાણો કે જે અમુક અંશે વિતરણની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓનું વર્ણન કરે છે, અને કેટલીકવાર સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ શોધવી એ ઇચ્છનીય હોવા છતાં, ગાણિતિક રીતે ખૂબ જ મુશ્કેલ છે, અને સંખ્યાત્મક પરિમાણો સાથે સંચાલન કરવા છતાં, અમે અંદાજિત સુધી મર્યાદિત છીએ, પરંતુ વધુ સરળ વર્ણન. ઉલ્લેખિત સંખ્યાત્મક પરિમાણો કહેવામાં આવે છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓઅવ્યવસ્થિત ચલો અને વિજ્ઞાન અને તકનીકીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં સંભાવના સિદ્ધાંતના એપ્લિકેશનમાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે, સમસ્યાઓના ઉકેલની સુવિધા આપે છે અને ઉકેલના પરિણામોને સરળ અને દ્રશ્ય સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને બે પ્રકારમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: ક્ષણો અને સ્થિતિ લાક્ષણિકતાઓ.ક્ષણોના ઘણા પ્રકારો છે, જેમાંથી બે સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે: પ્રાથમિક અને કેન્દ્રિય. અન્ય પ્રકારની ક્ષણો, દા.ત. સંપૂર્ણ ક્ષણો, કારણભૂત ક્ષણો, અમે ધ્યાનમાં લેતા નથી. ઇન્ટિગ્રલના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ ટાળવા માટે - કહેવાતા Stieltjes integral, અમે સતત અને અલગ SVs માટે અલગથી ક્ષણોની વ્યાખ્યા આપીએ છીએ.

વ્યાખ્યાઓ. 1. શરૂઆતની ક્ષણk-મી ઓર્ડર ડિસ્ક્રીટ એસવીજથ્થો કહેવાય છે

જ્યાં f(x) આપેલ SV ની સંભાવના ઘનતા છે.

3. કેન્દ્રીય ક્ષણk-મી ઓર્ડર ડિસ્ક્રીટ એસવીજથ્થો કહેવાય છે

એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં એક જ સમયે અનેક SVs વિચારણા હેઠળ છે, ગેરસમજ ટાળવા માટે, ક્ષણની ઓળખ સૂચવવા માટે, તે અનુકૂળ છે; અમે કૌંસમાં અનુરૂપ SV ના હોદ્દો સૂચવીને આ કરીશું, ઉદાહરણ તરીકે, , વગેરે. આ હોદ્દો ફંક્શન નોટેશન સાથે મૂંઝવણમાં ન હોવો જોઈએ, અને કૌંસમાંનો અક્ષર ફંક્શન દલીલ સાથે મૂંઝવણમાં ન હોવો જોઈએ. સમાનતા (3.4.1 - 3.4.4) ની જમણી બાજુએ સરવાળો અને પૂર્ણાંકો મૂલ્યના આધારે એકરૂપ થઈ શકે છે અથવા અલગ થઈ શકે છે kઅને ચોક્કસ વિતરણ. પ્રથમ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે કે ક્ષણ અસ્તિત્વમાં નથી અથવા અલગ પડે છે, બીજામાં - શું ક્ષણ અસ્તિત્વમાં છે અથવા કન્વર્જ થાય છે.જો એક અલગ SV પાસે મર્યાદિત મૂલ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા હોય ( એનઅલબત્ત), પછી તેની બધી ક્ષણો મર્યાદિત ક્રમની છે kઅસ્તિત્વમાં છે. અનંત પર એન, કેટલાકથી શરૂ કરીને kઅને ઉચ્ચ ઓર્ડર માટે, એક અલગ SV (પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય બંને) ની ક્ષણો અસ્તિત્વમાં ન હોઈ શકે. સતત SV ની ક્ષણો, જેમ કે વ્યાખ્યાઓમાંથી જોઈ શકાય છે, તે અયોગ્ય પૂર્ણાંકો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જે ચોક્કસથી શરૂ કરીને અલગ થઈ શકે છે. kઅને ઉચ્ચ ઓર્ડર માટે (એક સાથે પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય). ઝીરોથ ઓર્ડરની ક્ષણો હંમેશા એકરૂપ થાય છે.

ચાલો આપણે પહેલા પ્રારંભિક અને પછી કેન્દ્રિય ક્ષણોને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ. ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, પ્રારંભિક ક્ષણ k-મો ક્રમ "ભારિત સરેરાશ" છે k-એસવી મૂલ્યોની મી ડિગ્રી; એક અલગ SV ના કિસ્સામાં, વજન એ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ છે, સતત SV ના કિસ્સામાં, વજન કાર્ય એ સંભાવનાની ઘનતા છે; આ પ્રકારની કામગીરીનો વ્યાપકપણે મિકેનિક્સમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે જેથી લોકોના વિતરણનું વર્ણન કરવામાં આવે (સ્થિર ક્ષણો, જડતાની ક્ષણો, વગેરે); આ સંદર્ભમાં ઉદ્ભવતા સામ્યતાઓની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

પ્રારંભિક ક્ષણોની વધુ સારી સમજણ માટે, અમે તેમને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ છીએ k. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, નીચલા ઓર્ડરની ક્ષણો સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે, એટલે કે નાની kતેથી, મૂલ્યો વધારવાના ક્રમમાં વિચારણા હાથ ધરવી જોઈએ k. શૂન્ય ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ બરાબર છે

1, સ્વતંત્ર એસવી માટે;

=1, સતત SV માટે,

તે કોઈપણ SV માટે તે સમાન મૂલ્ય સમાન છે - એક, અને તેથી SV ના આંકડાકીય ગુણધર્મો વિશે કોઈ માહિતી ધરાવતું નથી.

પ્રથમ ઓર્ડર પ્રારંભિક ક્ષણ (અથવા પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણ) બરાબર છે

સ્વતંત્ર એસવી માટે;

, સતત SV માટે.

આ બિંદુ એ કોઈપણ SV ની સૌથી મહત્વપૂર્ણ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે, જેના માટે ઘણા એકબીજા સાથે સંકળાયેલા કારણો છે. પ્રથમ, ચેબીશેવના પ્રમેય (વિભાગ 7.4 જુઓ), SV પર અમર્યાદિત સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે, અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ (એક અર્થમાં) તરફ વળે છે, આમ, કોઈપણ SV માટે, આ એક લાક્ષણિક સંખ્યા છે. જેની આસપાસ તેના મૂલ્યો અનુભવ પર જૂથબદ્ધ છે. બીજું, સતત સીવી માટે તે સંખ્યાત્મક રીતે બરાબર છે એક્સ-વળાંક દ્વારા રચાયેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રનું મો સંકલન f(x) (એક સમાન ગુણધર્મ એક સ્વતંત્ર એસવી માટે થાય છે), તેથી આ ક્ષણને "વિતરણના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર" કહી શકાય. ત્રીજે સ્થાને, આ ક્ષણમાં નોંધપાત્ર ગાણિતિક ગુણધર્મો છે જે અભ્યાસક્રમ દરમિયાન સ્પષ્ટ થઈ જશે, ખાસ કરીને, તેથી તેનું મૂલ્ય કેન્દ્રિય ક્ષણોના અભિવ્યક્તિઓમાં શામેલ છે (જુઓ (3.4.3) અને (3.4.4)).

સંભાવના સિદ્ધાંતની સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ સમસ્યાઓ અને તેના નોંધપાત્ર ગાણિતિક ગુણધર્મો માટે આ ક્ષણનું મહત્વ એ હકીકત તરફ દોરી ગયું છે કે હોદ્દો અને નામ "પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણ" ઉપરાંત, અન્ય હોદ્દો અને નામોનો ઉપયોગ સાહિત્યમાં થાય છે, વધુ કે ઓછા. અનુકૂળ અને ઉલ્લેખિત ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. સૌથી સામાન્ય નામો છે: ગાણિતિક અપેક્ષા, સરેરાશ મૂલ્ય, અને નોટેશન: m, એમ[એક્સ], . આપણે મોટાભાગે "ગાણિતિક અપેક્ષા" અને નોટેશન શબ્દનો ઉપયોગ કરીશું m; જો ત્યાં અનેક SVs હોય, તો અમે ગાણિતિક અપેક્ષાની ઓળખ દર્શાવતી સબસ્ક્રીપ્ટનો ઉપયોગ કરીશું, ઉદાહરણ તરીકે, m x , m yવગેરે

બીજા-ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ (અથવા બીજી પ્રારંભિક ક્ષણ) બરાબર છે

સ્વતંત્ર એસવી માટે;

, સતત એસવી માટે;

ક્યારેક તેને કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ ચલનો સરેરાશ ચોરસઅને નિયુક્ત થયેલ છે એમ.

ત્રીજો ક્રમ પ્રારંભિક ક્ષણ (અથવા ત્રીજી પ્રારંભિક ક્ષણ) બરાબર છે

સ્વતંત્ર એસવી માટે;

, સતત સીબી માટે

ક્યારેક તેને કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ ઘનઅને નિયુક્ત થયેલ છે એમ[એક્સ 3 ].

પ્રારંભિક મુદ્દાઓની સૂચિ ચાલુ રાખવાનો કોઈ અર્થ નથી. ચાલો ઓર્ડરની ક્ષણોના મહત્વપૂર્ણ અર્થઘટન પર ધ્યાન આપીએ k>1. ચાલો, એસવી સાથે એક્સત્યાં એક SV પણ છે વાય, અને Y=X k (k=2, 3, ...). આ સમાનતાનો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાયતે અર્થમાં નિર્ધારિત રીતે જોડાયેલા છે કે જ્યારે એસ.વી એક્સમૂલ્ય લે છે x, NE વાયમૂલ્ય લે છે y=x k(ભવિષ્યમાં, SV ના આ જોડાણને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે). પછી, (3.4.1) અને (3.4.2) અનુસાર

=m y , k=2, 3, ...,

એટલે કે k SV ની મી પ્રારંભિક ક્ષણ ગાણિતિક અપેક્ષા જેટલી છે kઆ રેન્ડમ ચલની -મી શક્તિ. ઉદાહરણ તરીકે, રેન્ડમ ક્યુબની કિનારી લંબાઈની ત્રીજી પ્રારંભિક ક્ષણ એ ક્યુબના વોલ્યુમની ગાણિતિક અપેક્ષા જેટલી છે. ચોક્કસ ક્ષણોને સમજવાની ક્ષમતા ગાણિતિક અપેક્ષાઓ- ગાણિતિક અપેક્ષાના ખ્યાલના મહત્વનું બીજું પાસું.

ચાલો કેન્દ્રિય મુદ્દાઓને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ. કારણ કે, જેમ નીચે સ્પષ્ટ થશે, કેન્દ્રીય ક્ષણો અસ્પષ્ટપણે પ્રારંભિક ક્ષણો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અને તેનાથી ઊલટું, પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે શા માટે કેન્દ્રિય ક્ષણોની જરૂર છે અને શા માટે પ્રારંભિક ક્ષણો પૂરતી નથી. ચાલો SV ને ધ્યાનમાં લઈએ એક્સ(સતત અથવા અલગ) અને અન્ય SV Y, પ્રથમ સાથે સંબંધિત Y=X+a, ક્યાં a 0 - બિન-રેન્ડમ વાસ્તવિક સંખ્યા. દરેક મૂલ્ય xરેન્ડમ ચલ એક્સમૂલ્યને અનુરૂપ છે y=x+aરેન્ડમ ચલ વાય, તેથી SV નું વિતરણ વાય SV વિતરણ જેવો જ આકાર હશે (વિવિધ કેસમાં વિતરણ બહુકોણ દ્વારા અથવા સતત કિસ્સામાં સંભાવના ઘનતા દ્વારા વ્યક્ત) એક્સ, પરંતુ રકમ દ્વારા x-અક્ષ સાથે સ્થાનાંતરિત a. પરિણામે, પ્રારંભિક ક્ષણો એસ.વી વાય SV ની અનુરૂપ ક્ષણોથી અલગ હશે એક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, તે જોવાનું સરળ છે m y = મી x +a(વધુ ક્ષણો ઉચ્ચ ક્રમવધુ જટિલ સંબંધો દ્વારા જોડાયેલા છે). તેથી અમે તે સ્થાપિત કર્યું છે પ્રારંભિક ક્ષણો સમગ્ર વિતરણના શિફ્ટના સંદર્ભમાં અવિચલ નથી. સમાન પરિણામ પ્રાપ્ત થશે જો તમે ડિસ્ટ્રિબ્યુશનને નહીં, પરંતુ x-અક્ષની શરૂઆત રકમ દ્વારા આડી રીતે કરો છો - a, એટલે કે સમકક્ષ નિષ્કર્ષ પણ માન્ય છે: x-અક્ષની શરૂઆતની આડી શિફ્ટના સંદર્ભમાં પ્રારંભિક ક્ષણો અવિચલ નથી.

કેન્દ્રીય ક્ષણો, વિતરણના તે ગુણધર્મોને વર્ણવવા માટે બનાવાયેલ છે જે સંપૂર્ણ રીતે તેમની પાળી પર આધારિત નથી, આ ખામીથી મુક્ત છે. ખરેખર, (3.4.3) અને (3.4.4) પરથી જોઈ શકાય છે, જ્યારે સમગ્ર વિતરણ રકમ દ્વારા બદલાય છે a, અથવા, સમાન શું છે, x-અક્ષની શરૂઆતને રકમ દ્વારા ખસેડીને - a, બધા મૂલ્યો x, સમાન સંભાવનાઓ સાથે (વિવિધ કિસ્સામાં) અથવા સમાન સંભાવનાની ઘનતા (સતત કિસ્સામાં), રકમ દ્વારા બદલાશે a, પરંતુ મૂલ્ય સમાન રકમથી બદલાશે m, તેથી સમાનતાઓની જમણી બાજુઓ પરના કૌંસના મૂલ્યો બદલાશે નહીં. આમ, કેન્દ્રીય ક્ષણો સમગ્ર વિતરણના શિફ્ટના સંદર્ભમાં અવિચલ છે, અથવા, x-અક્ષની શરૂઆતની આડી પાળીના સંદર્ભમાં, સમાન શું છે.આ ક્ષણોને તે દિવસોમાં "કેન્દ્રીય" નામ મળ્યું જ્યારે પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણને "કેન્દ્ર" કહેવામાં આવતું હતું. તે નોંધવું ઉપયોગી છે કે SV ના કેન્દ્રિય ક્ષણ એક્સ SV ના અનુરૂપ પ્રારંભિક ક્ષણ તરીકે સમજી શકાય છે એક્સ 0 સમાન

NE એક્સ 0 કહેવાય છે કેન્દ્રિત(એસવીને સંબંધિત એક્સ), અને તે તરફ દોરી જતી કામગીરી, એટલે કે રેન્ડમ ચલમાંથી તેની ગાણિતિક અપેક્ષા બાદબાકી કરવી, કહેવાય છે કેન્દ્રીકરણ. જેમ આપણે પછી જોઈશું, આ ખ્યાલ અને આ કામગીરી સમગ્ર અભ્યાસક્રમ દરમિયાન ઉપયોગી થશે. નોંધ કરો કે ઓર્ડરની કેન્દ્રીય ક્ષણ k>1ને ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ) તરીકે ગણી શકાય. k-કેન્દ્રિત SV ની મી ડિગ્રી: .

ચાલો નીચલા ઓર્ડરના કેન્દ્રિય ક્ષણોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ. શૂન્ય ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ બરાબર છે

, અલગ SVs માટે;

, સતત એસવી માટે;

એટલે કે કોઈપણ SV માટે અને આ SV ના આંકડાકીય ગુણધર્મો વિશે કોઈ માહિતી ધરાવતું નથી.

પ્રથમ ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ (અથવા પ્રથમ કેન્દ્રીય ક્ષણ) બરાબર છે

અલગ SV માટે;

સતત સીબી માટે; એટલે કે કોઈપણ SV માટે અને આ SV ના આંકડાકીય ગુણધર્મો વિશે કોઈ માહિતી ધરાવતું નથી.

સેકન્ડ ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ (અથવા સેકન્ડ સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ) બરાબર છે

, અલગ SV માટે;

, સતત SV માટે.

નીચે સ્પષ્ટ થશે તેમ, આ બિંદુ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ પૈકીનું એક છે, કારણ કે તેનો ઉપયોગ SV મૂલ્યોના વિક્ષેપ (અથવા વિક્ષેપ) ના માપદંડ તરીકે થાય છે, તેથી તેને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે. વિખેરવુંઅને નિયુક્ત થયેલ છે ડીએક્સ. નોંધ કરો કે આને કેન્દ્રિય SV ના સરેરાશ ચોરસ તરીકે સમજી શકાય છે.

ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ (ત્રીજી કેન્દ્રીય ક્ષણ) બરાબર છે

ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ એક્સ 2 :

એમ(એક્સ 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

તે આપણે જોઈએ છીએ એમ(એક્સ 2) ઘણું બધું એમ(એક્સ). આનું કારણ સ્ક્વેરિંગ પછી છે શક્ય અર્થજથ્થો એક્સમૂલ્યને અનુરૂપ 2 x=100 તીવ્રતા X, 10,000 ની બરાબર થઈ, એટલે કે નોંધપાત્ર રીતે વધારો થયો; આ મૂલ્યની સંભાવના ઓછી છે (0.01).

આમ, થી સંક્રમણ એમ(એક્સ) પ્રતિ એમ(એક્સ 2) તે સંભવિત મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા પરના પ્રભાવને વધુ સારી રીતે ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય બનાવ્યું, જે મોટી છે અને તેની સંભાવના ઓછી છે. અલબત્ત, જો કિંમત એક્સઘણા મોટા અને અસંભવિત મૂલ્યો હતા, પછી મૂલ્યમાં સંક્રમણ એક્સ 2, અને તેથી પણ વધુ માત્રામાં એક્સ 3 , એક્સ 4, વગેરે, અમને આ મોટા, પરંતુ અસંભવિત સંભવિત મૂલ્યોની "ભૂમિકાને વધુ મજબૂત" કરવાની મંજૂરી આપશે. તેથી જ સમગ્રની ગાણિતિક અપેક્ષાને ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે હકારાત્મક ડિગ્રીરેન્ડમ ચલ (માત્ર અલગ જ નહીં, પણ સતત).

ઓર્ડરની પ્રારંભિક ક્ષણ kરેન્ડમ ચલ એક્સજથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે Xk:

v k = M(એક્સ).

ખાસ કરીને,

વિ 1 = એમ(એક્સ), વિ 2 = એમ(એક્સ 2).

આ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને, ભિન્નતાની ગણતરી માટેનું સૂત્ર ડી(એક્સ)= એમ(એક્સ 2)- [એમ(એક્સ)] 2 આ રીતે લખી શકાય છે:

ડી(એક્સ)=v 2 – . (*)

રેન્ડમ ચલની ક્ષણો ઉપરાંત એક્સવિચલનની ક્ષણો ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે એક્સ-એમ(એક્સ).

રેન્ડમ ચલ X ના ક્રમ k ની કેન્દ્રિય ક્ષણ એ જથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષા છે(એચ.એમ(એક્સ))k:

ખાસ કરીને,

પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોને જોડતા સંબંધો સરળતાથી પ્રાપ્ત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, (*) અને (***) ની સરખામણી કરવાથી આપણને મળે છે

m 2 = v 2 – .

કેન્દ્રીય ક્ષણની વ્યાખ્યાના આધારે અને ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, સૂત્રો મેળવવા માટે તે મુશ્કેલ નથી:

m 3 = v 3 – 3વિ 2 વિ 1 + 2 ,

m 4 = v 4 – 4વિ 3 વિ 1 + 6વિ 2 + 3 .

ઉચ્ચ ઓર્ડર પળોનો ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે.

ટિપ્પણી. અહીં ચર્ચા કરાયેલા મુદ્દા કહેવામાં આવે છે સૈદ્ધાંતિકસૈદ્ધાંતિક ક્ષણોથી વિપરીત, અવલોકન ડેટામાંથી ગણતરી કરવામાં આવતી ક્ષણોને કહેવામાં આવે છે. પ્રયોગમૂલકપ્રાયોગિક ક્ષણોની વ્યાખ્યાઓ નીચે આપવામાં આવી છે (જુઓ પ્રકરણ XVII, § 2).

કાર્યો

1. બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ભિન્નતા જાણીતા છે: ડી(એક્સ) = 4, ડી(વાય)=3. આ જથ્થાઓના સરવાળાનો તફાવત શોધો.

પ્રતિનિધિ 7.

2. રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા એક્સ 5 ની બરાબર છે. નીચેના જથ્થાનો તફાવત શોધો: a) એક્સ-1; b) -2 એક્સ;વી) ઝેડએચ + 6.

પ્રતિનિધિએ) 5; b) 20; c) 45.

3. રેન્ડમ ચલ એક્સમાત્ર બે મૂલ્યો લે છે: +C અને -C, દરેક 0.5 ની સંભાવના સાથે. આ જથ્થાનો તફાવત શોધો.

પ્રતિનિધિ સાથે 2 .

4. , તેના વિતરણના કાયદાને જાણીને

પ્રતિનિધિ 67,6404.

5. રેન્ડમ ચલ એક્સબે સંભવિત મૂલ્યો લઈ શકે છે: એક્સ 1 સંભાવના સાથે 0.3 અને x 2 સંભાવના 0.7 સાથે, અને એક્સ 2 > એક્સ 1 . શોધો x 1 અને x 2, તે જાણીને એમ(એક્સ) = 2, 7i ડી(એક્સ) =0,21.

પ્રતિનિધિ x 1 = 2, x 2 = 3.

6. રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા શોધો એક્સ- ઘટનાઓની સંખ્યા એબે માં સ્વતંત્ર પરીક્ષણો, જો એમ(એક્સ) = 0, 8.

નોંધ. લખો દ્વિપદી કાયદોઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાનું સંભવિત વિતરણ એબે સ્વતંત્ર અજમાયશમાં.

પ્રતિનિધિ 0, 48.

7. ચાર સ્વતંત્ર રીતે ઓપરેટિંગ ઉપકરણો ધરાવતા ઉપકરણનું પરીક્ષણ કરવામાં આવી રહ્યું છે. ઉપકરણની નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે: આર 1 = 0,3; આર 2 = 0,4; પી 3 = 0,5; આર 4 = 0.6. નિષ્ફળ ઉપકરણોની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા અને તફાવત શોધો.

પ્રતિનિધિ 1,8; 0,94.

8. રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા શોધો એક્સ- 100 સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા, જેમાંના દરેકમાં ઘટના બનવાની સંભાવના 0.7 છે.

પ્રતિનિધિ 21.

9. રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા ડી(એક્સ) = 6.25. પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો ( એક્સ).

પ્રતિનિધિ 2, 5.

10. રેન્ડમ ચલ વિતરણ કાયદા દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે

આ મૂલ્યનું પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.

પ્રતિનિધિ 2, 2.

11. 9 સમાન રીતે વિતરિત પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોમાંના પ્રત્યેકનો તફાવત 36 ની બરાબર છે. આ ચલોના અંકગણિત સરેરાશનો તફાવત શોધો.

પ્રતિનિધિ 4.

12. 16 સમાન રીતે વિતરિત પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોમાંના દરેકનું પ્રમાણભૂત વિચલન 10 છે. આ ચલોના અંકગણિત સરેરાશનું પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.

પ્રતિનિધિ 2,5.

પ્રકરણ નવ

મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો

પ્રારંભિક ટિપ્પણી

પહેલેથી જ જાણીતું છે તેમ, પરીક્ષણના પરિણામે રેન્ડમ ચલ સંભવિત મૂલ્યોમાંથી કયા મૂલ્યો લેશે તે અગાઉથી વિશ્વાસપૂર્વક આગાહી કરવી અશક્ય છે; તે ઘણા અવ્યવસ્થિત કારણો પર આધાર રાખે છે, જેને ધ્યાનમાં લઈ શકાય નહીં. એવું લાગે છે કે આ અર્થમાં દરેક રેન્ડમ ચલ વિશે આપણી પાસે ખૂબ જ સાધારણ માહિતી હોવાથી, વર્તનની પેટર્ન અને સરવાળો પૂરતા પ્રમાણમાં સ્થાપિત કરવાનું ભાગ્યે જ શક્ય છે. મોટી સંખ્યામાંરેન્ડમ ચલો. વાસ્તવમાં આ સાચું નથી. તે તારણ આપે છે કે ચોક્કસ પ્રમાણમાં વ્યાપક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, પૂરતી મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ચલોનું એકંદર વર્તન લગભગ તેના રેન્ડમ પાત્રને ગુમાવે છે અને કુદરતી બને છે.

પ્રેક્ટિસ માટે, તે પરિસ્થિતિઓને જાણવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે જેના હેઠળ ઘણા અવ્યવસ્થિત કારણોની સંયુક્ત ક્રિયા પરિણામ તરફ દોરી જાય છે જે લગભગ તકથી સ્વતંત્ર છે, કારણ કે તે વ્યક્તિને ઘટનાના માર્ગની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ શરતો પ્રમેય બેરિંગમાં દર્શાવેલ છે સામાન્ય નામકાયદો મોટી સંખ્યામાં. આમાં ચેબીશેવ અને બર્નૌલીના પ્રમેયનો સમાવેશ થાય છે (અન્ય પ્રમેય છે જેની અહીં ચર્ચા કરવામાં આવી નથી). ચેબીશેવનું પ્રમેય સૌથી વધુ છે સામાન્ય કાયદોમોટી સંખ્યામાં, બર્નૌલીનું પ્રમેય સૌથી સરળ છે. આ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, અમે ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીશું.

ચેબીશેવની અસમાનતા

ચેબીશેવની અસમાનતા અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલ માટે માન્ય છે. સરળતા માટે, અમે અલગ જથ્થાઓ માટે આ અસમાનતાને સાબિત કરવા માટે અમારી જાતને પ્રતિબંધિત કરીએ છીએ.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો X,વિતરણ કોષ્ટક દ્વારા ઉલ્લેખિત:

ચાલો આપણે સંભવિતતાનો અંદાજ કાઢવાનું કાર્ય જાતે સેટ કરીએ કે રેન્ડમ ચલનું તેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી વિચલન ઓળંગતું નથી. સંપૂર્ણ મૂલ્ય હકારાત્મક સંખ્યાઇ. જો e પર્યાપ્ત નાના હોય, તો અમે તેની સંભાવનાનો અંદાજ લગાવીશું એક્સમૂલ્યોને તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની એકદમ નજીક લેશે. P. L. Chebyshev એ અસમાનતા સાબિત કરી જે અમને રુચિ ધરાવતો અંદાજ આપવા દે છે.

ચેબીશેવની અસમાનતા. ચોક્કસ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલ X નું વિચલન ધન સંખ્યા e કરતાં ઓછી હોય તેવી સંભાવના કરતાં ઓછી નથી 1-ડી(એક્સ)/e 2 :

આર(|X -M(એક્સ)|< e ) 1-ડી(એક્સ)/e 2 .

પુરાવો. અસમાનતાના અમલીકરણમાં સમાવિષ્ટ ઘટનાઓ હોવાથી |એક્સ-એમ(એક્સ)|અને |એક્સ-એમ(એક્સ)| e,વિરુદ્ધ છે, તો પછી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે, એટલે કે.