ઉપલી મર્યાદાના અભિન્ન કાર્ય તરીકે એન્ટિડેરિવેટિવ. વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ

કાર્યનું હજી સુધી કોઈ HTML સંસ્કરણ નથી.

સમાન દસ્તાવેજો

જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિઅસ્તિત્વ ચોક્કસ અભિન્ન. ના નિશ્ચિત અભિન્ન ની સમાનતા બીજગણિતીય સરવાળો(તફાવત) બે કાર્યો. સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય - પરિણામ અને સાબિતી. ભૌમિતિક અર્થચોક્કસ અભિન્ન.

પ્રસ્તુતિ, 09/18/2013 ઉમેર્યું


અવિભાજ્ય રકમની વિભાવનાનો અભ્યાસ. એકીકરણની ઉપલી અને નીચલી મર્યાદા. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ. સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયનો પુરાવો. ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ચલનો ફેરફાર. ચલ ઉપલા બાઉન્ડના સંદર્ભમાં ઇન્ટિગ્રલનું વ્યુત્પન્ન.

પ્રસ્તુતિ, 04/11/2013 ઉમેર્યું


ચોક્કસ અભિન્ન અંગના ખ્યાલ અને મૂળભૂત ગુણધર્મોનો પરિચય. સેગમેન્ટ [a, b] પર ફંક્શન y=f(x) માટે અવિભાજ્ય રકમની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રની રજૂઆત. ઇન્ટિગ્રલ શૂન્ય બરાબર છે જો કે એકીકરણની નીચલી અને ઉપલી મર્યાદા સમાન હોય.

પ્રસ્તુતિ, 09/18/2013 ઉમેર્યું


ચોક્કસ અવિભાજ્યની વિભાવના તરફ દોરી જતી સમસ્યાઓ. અવિભાજ્ય સરવાળાની મર્યાદા તરીકે ચોક્કસ અભિન્ન. નિશ્ચિત અને અનિશ્ચિત અભિન્ન અંગો વચ્ચેનો સંબંધ. ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર. ભૌમિતિક અને યાંત્રિક અર્થમાંચોક્કસ અભિન્ન.

અમૂર્ત, 10/30/2010 ઉમેર્યું


પ્રાચીન સમયમાં એકીકરણ પદ્ધતિઓ. એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનનો ખ્યાલ. મુખ્ય પ્રમેય અભિન્ન કલન. અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત પૂર્ણાંકોના ગુણધર્મો અને તેમની ગણતરીની પદ્ધતિઓ, મનસ્વી સ્થિરાંકો. પ્રાથમિક કાર્યોના અભિન્ન ઘટકોનું કોષ્ટક.

પ્રસ્તુતિ, 09/11/2011 ઉમેર્યું


એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનનો ખ્યાલ, એન્ટિડેરિવેટિવ્સ પર પ્રમેય. અનિશ્ચિત અભિન્ન, તેના ગુણધર્મો અને કોષ્ટક. ચોક્કસ અવિભાજ્યની વિભાવના, તેના ભૌમિતિક અર્થ અને મૂળભૂત ગુણધર્મો. ચોક્કસ અભિન્ન અને ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનું વ્યુત્પન્ન.

કોર્સ વર્ક, 10/21/2011 ઉમેર્યું


પ્રતિબિંબીત કાર્યની વિભાવના અને ગુણધર્મો. વિભેદક સિસ્ટમ અને અસ્તિત્વની શરતોનું પ્રથમ અભિન્ન અંગ. વિક્ષેપ શરતો વિભેદક સિસ્ટમો, જે સમયની સમપ્રમાણતાને બદલતા નથી. પ્રથમ અભિન્ન અને સમકક્ષ સિસ્ટમો વચ્ચેના જોડાણનું નિર્ધારણ.

કોર્સ વર્ક, 08/21/2009 ઉમેર્યું


સમ, વિષમ અને સપ્રમાણ સંબંધિત અક્ષ કાર્યોનો ખ્યાલ અને અભ્યાસ. સતત ચિહ્નના અંતરાલોનો ખ્યાલ. બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતા, વળાંક બિંદુઓ. વર્ટિકલ અને ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ. ઓછામાં ઓછું અને ઉચ્ચતમ મૂલ્યકાર્યો અને અભિન્ન.

વ્યવહારુ કાર્ય, 03/25/2011 ઉમેર્યું


એક સ્વતંત્ર ચલનું કાર્ય. મર્યાદાના ગુણધર્મો. વ્યુત્પન્ન અને વિભેદક કાર્યો, સમસ્યા હલ કરવા માટે તેમની અરજી. એન્ટિડેરિવેટિવનો ખ્યાલ. ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી માટે અંદાજિત પદ્ધતિઓ. સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય.

પાઠ નોંધો, 10/23/2013 ઉમેરવામાં આવી


સામાન્ય ખ્યાલ સંખ્યા ક્રમ. એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા. અનંત મોટા અને નાના કાર્ય. કાર્ય, તેની મર્યાદા અને અનંત વચ્ચેનું જોડાણ નાનું કાર્ય. મર્યાદાના અસ્તિત્વના ચિહ્નો. મર્યાદા વિશે મૂળભૂત પ્રમેય: સંક્ષિપ્ત વર્ણન.

કાર્ય કરવા દો f(tબિંદુ ધરાવતા કેટલાક અંતરાલ પર ) વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે aપછી દરેક નંબર xઆ અંતરાલથી તમે સંખ્યાને મેચ કરી શકો છો ,

આમ અંતરાલ પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરે છે આઈ(x), જેને સામાન્ય રીતે ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે ચોક્કસ અભિન્ન કહેવાય છે. તે બિંદુએ નોંધ કરો x = aઆ કાર્ય શૂન્યની બરાબર છે. ચાલો બિંદુ પર આ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ x. આ કરવા માટે, પ્રથમ બિંદુ પર કાર્યના વધારાને ધ્યાનમાં લો xદલીલમાં વધારો કરતી વખતે ડી x:

ડી આઈ(x) = આઈ(x+ડી x) – આઈ(x) =

.

ફિગ માં બતાવ્યા પ્રમાણે. 4, ઇન્ક્રીમેન્ટ D માટેના સૂત્રમાં છેલ્લા પૂર્ણાંકનું મૂલ્ય આઈ(x) એ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના વિસ્તારની બરાબર છે, જે હેચિંગ દ્વારા ચિહ્નિત થયેલ છે. ડી ના નાના મૂલ્યો પર x(અહીં, આ કોર્સમાં અન્યત્રની જેમ, જ્યારે દલીલ અથવા કાર્યના નાના વધારા વિશે બોલતા હોય, ત્યારે અમારો અર્થ છે સંપૂર્ણ મૂલ્યોઇન્ક્રીમેન્ટ, કારણ કે ઇન્ક્રીમેન્ટ પોઝીટીવ અને નેગેટીવ બંને હોઈ શકે છે), આ વિસ્તાર અંદાજે સમાન વિસ્તારલંબચોરસ, ડબલ હેચિંગ સાથે આકૃતિમાં ચિહ્નિત થયેલ છે. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે f(x) ડી x. અહીંથી આપણને સંબંધ મળે છે

.

છેલ્લી અંદાજિત સમાનતામાં, અંદાજની ચોકસાઈ વધારે છે, ડી નું મૂલ્ય નાનું x.

ઉપરથી તે ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રને અનુસરે છે આઈ(x):

.

બિંદુ x પરની ઉપલી મર્યાદાના સંદર્ભમાં ચોક્કસ પૂર્ણાંકનું વ્યુત્પન્ન બિંદુ x પરના પૂર્ણાંકના મૂલ્ય જેટલું છે. તે અનુસરે છે કે કાર્ય ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x), અને આવા એન્ટિડેરિવેટિવ જે બિંદુ પર લે છે x = aઅર્થ શૂન્ય બરાબર. આ હકીકત ફોર્મમાં ચોક્કસ અભિન્નનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાનું શક્ય બનાવે છે

. (1)

દો એફ(x)ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ પણ છે f(x), પછી પ્રમેય દ્વારા વિશે સામાન્ય દૃશ્યકાર્યોના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સ આઈ(x) = એફ(x) + સી, ક્યાં સી- નંબર નથી. તે જ સમયે જમણી બાજુફોર્મ્યુલા (1) ફોર્મ લે છે

આઈ(x) – આઈ(a) = એફ(x) + સી– (એફ(a) +સી) = એફ(x) – એફ(a). (2)

સૂત્રોમાંથી (1) અને (2) બદલી પછી xપર bફંક્શનના ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રને અનુસરે છે f(t) અંતરાલ સાથે [ a;b]:

,

જેને સામાન્ય રીતે સૂત્ર કહેવામાં આવે છે ન્યુટન-લીબનીઝ. અહીં એફ(x)- કોઈપણ કાર્યનું એન્ટિડેરિવેટિવ f(x).

ફંક્શનના ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે f(x) અંતરાલ સાથે [ a;b], તમારે કેટલાક એન્ટીડેરિવેટિવ શોધવાની જરૂર છે એફ(x) કાર્યો f(x) અને બિંદુઓ પર એન્ટિડેરિવેટિવના મૂલ્યોમાં તફાવતની ગણતરી કરો bઅને a. આ એન્ટિડેરિવેટિવ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત સામાન્ય રીતે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ᴛ.ᴇ. .

ચાલો ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ 1. .

ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરતી વખતે, તમે ઉપયોગ કરી શકો છો ચલ રિપ્લેસમેન્ટ ફોર્મ્યુલા:

.

અહીં aઅને bઅનુક્રમે, સમીકરણો પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે j(a) = a; j(b) = b, અને કાર્યો f,j, j¢યોગ્ય અંતરાલો પર સતત હોવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 2..

ચાલો બદલીએ: ln x = tઅથવા x = e t, પછી જો x = 1, પછી t = 0, અને જો x = e, તે t = 1. પરિણામે આપણને મળે છે:

.

જો કે, જ્યારે ચલોના ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવામાં આવે ત્યારે, અગાઉના સંકલન ચલ પર પાછા આવવું અત્યંત મહત્વનું નથી. એકીકરણની નવી મર્યાદાઓ રજૂ કરવા માટે તે પૂરતું છે.

જો ફંક્શન y = f(x) અંતરાલ પર અવિભાજ્ય છે, તો તે કોઈપણ નાના અંતરાલ પર અખંડિત છે, એટલે કે. "xO માટે એક અભિન્ન છે

મર્યાદા અને સંકલન ચલના હોદ્દાઓને ગૂંચવવામાં ન આવે તે માટે, અમે એકીકરણ ચલને t દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. પછી ઇન્ટિગ્રલ (4) ફોર્મમાં લખવામાં આવશે આ ઇન્ટિગ્રલની કિંમત એક ફંક્શન છે ઉપલી મર્યાદા x અને Ф(х) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

. (5)

ફંક્શન Ф(х) કહેવાય છે ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે અભિન્ન.

ચાલો ફંક્શન Ф(х) ના કેટલાક ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

T.3.1.(ફંક્શનની સાતત્ય Ф(х))

જો ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત રહેશે, તો ફંક્શન Ф(x) પણ અંતરાલ પર સતત રહેશે.

T.3.2 (ફંક્શનનો તફાવત Ф(х))

જો ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત હોય, તો ફંક્શન Ф(x) કોઈપણ સમયે અલગ કરી શકાય તેવું છે. આંતરિક બિંદુઆ સેગમેન્ટનો x, અને સમાનતા સાચી છે

.

પરિણામ

જો ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત હોય, તો આ ફંક્શન માટે એન્ટિડેરિવેટિવ ઓન છે આ સેગમેન્ટ, અને ફંક્શન Ф(x) - ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથેનું એક અવિભાજ્ય - ફંક્શન f(x) માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે.

ફંક્શન f(x) માટેનું દરેક અન્ય એન્ટિડેરિવેટિવ Ф(x) થી માત્ર અચળ શબ્દથી અલગ હોવાથી, અમે સ્થાપિત કરી શકીએ છીએ. અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત અભિન્ન અંગો વચ્ચેનું જોડાણ:

,

જ્યાં C એક મનસ્વી સ્થિરાંક છે.

પ્રશ્ન 4. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી. ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર

અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા તરીકે અવિભાજ્યની વ્યાખ્યા પર આધારિત પદ્ધતિ દ્વારા ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી સામાન્ય રીતે સાથે સંકળાયેલી હોય છે મોટી મુશ્કેલીઓ. ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરવા માટે વધુ અનુકૂળ પદ્ધતિ છે, જે અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત પૂર્ણાંકો વચ્ચેના સ્થાપિત જોડાણ પર આધારિત છે.

T.4.1.જો ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત હોય અને F(x) ફંક્શન f(x) on માટે કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ હોય, તો સૂત્ર માન્ય છે

. (6)

ફોર્મ્યુલા (6) કહેવાય છે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર.

જો તમે હોદ્દો દાખલ કરો છો પછી ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર (6) તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે

.

ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર આપે છે અનુકૂળ રીતચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે, f(x) માટે કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન F(x) શોધવાનું અને સેગમેન્ટના છેડે F(b) - F(a) તફાવત લેવો જરૂરી છે.

ઉદાહરણ

પ્રશ્ન 5. ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ભાગો દ્વારા ચલ અને એકીકરણમાં ફેરફાર

વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ

ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરતી વખતે, અવેજી પદ્ધતિ અથવા ચલ પરિવર્તન પદ્ધતિનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

T.5.1. (ચોક્કસ અભિન્નતામાં ચલનો ફેરફાર)

ફંક્શન y = f(x) ને અંતરાલ પર સતત રહેવા દો. પછી જો:

1) ફંક્શન x = j(t) અને તેના વ્યુત્પન્ન x′ = j′(t) અંતરાલ પર સતત છે;

2) x = j(t) ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ એ સેગમેન્ટ છે;

3) j(a) = a, j(b) = b,

પછી તે વાજબી છે ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ચલ બદલવા માટેનું સૂત્ર:

.

ટિપ્પણી

1. અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અભિન્નની ગણતરી કરતી વખતે, જૂના ચલ પર પાછા ફરવાની જરૂર નથી.

2. ઘણીવાર, અવેજી x = j(t) ને બદલે, અવેજી t = g(x) નો ઉપયોગ થાય છે.

3. સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે, પ્રમેયમાં સૂચિબદ્ધ શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસવી જરૂરી છે. જો આ શરતોનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવે છે, તો પછી ખોટું પરિણામ પ્રાપ્ત થઈ શકે છે.

ઉદાહરણ. ગણતરી કરો

ભાગો દ્વારા એકીકરણ

T.5.2. (ચોક્કસ અભિન્ન ભાગમાં ભાગો દ્વારા એકીકરણ)

જો ફંક્શન્સ u = u(x) અને v = v(x) ના અંતરાલ પર સતત ડેરિવેટિવ્સ હોય, તો ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટેનું સૂત્ર:

.

ઉદાહરણ. ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે ઇન્ટિગ્રલ.ચોક્કસ અવિભાજ્યનું મૂલ્ય સંકલન ચલ કયા અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે તેના પર નિર્ભર નથી: (આને ચકાસવા માટે, અવિભાજ્ય રકમો લખવા માટે તે પૂરતું છે; તેઓ એકરૂપ છે). આ વિભાગમાં, એકીકરણ ચલ અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે t , અને પત્ર x ચાલો એકીકરણની ઉપલી મર્યાદા દર્શાવીએ. અમે ધારીશું કે ઇન્ટિગ્રલની ઉપલી મર્યાદા બદલાઈ શકે છે, એટલે કે. શું x - ચલ, પરિણામે ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શન હશે Ф( x ) તેની ઉપલી મર્યાદા: . તે સાબિત કરવું સરળ છે કે જો f (t ) એકીકૃત છે, પછી Ф( x ) સતત છે, પરંતુ નીચેના મૂળભૂત પ્રમેય આપણા માટે વધુ મહત્વપૂર્ણ છે:
ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે અભિન્ન પ્રમેય. જો કાર્ય f (t ) બિંદુના પડોશમાં સતત છે t = x , પછી આ બિંદુએ ફંક્શન Ф( x ) વિભેદક છે, અને .
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉપલી મર્યાદાના સંદર્ભમાં સતત કાર્યના ચોક્કસ અવિભાજ્યનું વ્યુત્પન્ન આ મર્યાદામાં ઇન્ટિગ્રેંડના મૂલ્ય જેટલું છે.
દસ્તાવેજ. ચાલો ઉપલી મર્યાદા આપીએ x વધારો પછી , ક્યાં c - વચ્ચે પડેલો એક બિંદુ x અને (આવા બિંદુનું અસ્તિત્વ સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે; સમાન ચિહ્નની ઉપરની સંખ્યા એ ચોક્કસ પૂર્ણાંકની લાગુ ગુણધર્મની સંખ્યા છે). . ચાલો દોડી જઈએ. તે જ સમયે ( c - વચ્ચે સ્થિત એક બિંદુ x અને). કારણ કે f (t ) બિંદુ પર સતત છે t = x , તે . તેથી ત્યાં છે , અને . પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ચાલો પ્રથમ નોંધ કરીએ મહત્વપૂર્ણ પરિણામઆ પ્રમેય. અનિવાર્યપણે, અમે સાબિત કર્યું છે કે કોઈપણ સતત કાર્ય f (x ) પાસે એન્ટિડેરિવેટિવ છે, અને આ એન્ટિડેરિવેટિવ ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

36. ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર.

જો f (x ) અંતરાલ પર સતત છે [ a , b ], અને એફ (x ) એ ફંક્શનનું અમુક એન્ટિડેરિવેટિવ છે, પછી .
ડૉ.અમે તે કાર્ય સ્થાપિત કર્યું છે - સતત ના એન્ટિડેરિવેટિવ f (x ). કારણ કે એફ (x ) પણ એન્ટિડેરિવેટિવ છે, પછી Ф( x ) = એફ (x ) + સી . ચાલો આ સમાનતામાં મૂકીએ x = a . કારણ કે , તે . સમાનતામાં ચાલો ચલોને ફરીથી ડિઝાઇન કરીએ: એકીકરણ વેરીએબલ માટે t ચાલો નોટેશન પર પાછા આવીએ x , ઉપલી મર્યાદા x ચાલો સૂચિત કરીએ b . છેવટે, .
ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રની જમણી બાજુનો તફાવત વિશિષ્ટ પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: (અહીં "માંથી અવેજી તરીકે વાંચે છે a થી b "), તેથી ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર સામાન્ય રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છે: .

37. ભાગો દ્વારા એકીકરણ અને ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ચલનું પરિવર્તન.

જો u(x) અને વિ(x) - અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત બે કાર્યો [ a, b] અને ત્યાં સતત ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે

ફોર્મ્યુલા (24) છે ચોક્કસ પૂર્ણાંકો માટે ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટેનું સૂત્ર.

સાબિતી ખૂબ જ સરળ છે. બરાબર,

કારણ કે ભાગો સૂત્ર દ્વારા એકીકરણ અનુસાર તે હશે

પછી આ તે છે જ્યાં (24) અનુસરે છે.

દો f(zપી, q], એ φ (x) અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત એક સતત કાર્ય છે [ a, b], જે ત્યાં સતત વ્યુત્પન્ન છે φ "(x) અને અસમાનતાને સંતોષે છે પી ≤ φ (x) ≤ q.

તે કિસ્સામાં

ફોર્મ્યુલા (22) ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ચલ બદલવા માટેના નિયમને વ્યક્ત કરે છે. તે ચલને અનિશ્ચિત અવિભાજ્યમાં બદલવાના નિયમ જેવું લાગે છે, પરંતુ તે તેનાથી અલગ છે કે અહીં જૂના ચલ પર પાછા ફરવાની જરૂર નથી, કારણ કે સૂત્ર (22) બેની સમાનતા દર્શાવે છે. સતત સંખ્યાઓ. ચાલો એ પણ નોંધીએ કે ચોક્કસ પૂર્ણાંકોના કિસ્સામાં, આ સૂત્ર અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોમાં બંને પ્રકારના અવેજી નિયમોને બદલે છે; માત્ર, તેને વ્યવહારમાં લાગુ કરતી વખતે, તમારે ક્યારેક તેને ડાબેથી જમણે વાંચવું પડે છે, તો ક્યારેક જમણેથી ડાબે.

પ્રમેયના પુરાવા તરફ આગળ વધીએ છીએ, અમે અનુક્રમે, સૂત્ર (22) ની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંકોને સૂચિત કરીએ છીએ. આઈસિંહ અને આઈઅધિકાર

દો એફ(z) - માટે એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્ય f(z). પછી, ન્યુટન-લીબનીઝ

આઈઅધિકારો = એફ[φ (b)] - એફ[φ (a)]. (23)

માટે આઈપછી સિંહ

પરંતુ પ્રમેય મુજબ તે હશે

આઈસિંહ = એફ[φ (b)] - એફ[φ (a)].

અહીંથી અને (23) તે તેને અનુસરે છે આઈસિંહ = આઈઅધિકાર

38. સમ, વિષમ અને સામયિક કાર્યોના અવિભાજ્ય.

થિયરી 1. અંતરાલ [-a,a] પર f(x) ને એકીકૃત થવા દો સમ કાર્ય:

આને સાબિત કરવા માટે, ચાલો મૂળ અવિભાજ્યને બે પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરીએ:

નિવેદન સાબિત થયું છે.

થિયરી 2. f(x) ને અંતરાલ [-a,a] પર એકીકૃત કરી શકાય તેવું એક વિચિત્ર કાર્ય થવા દો:

પ્રમેય સમાન રીતે સાબિત થાય છે:

λ પર નિર્ભર નથી. ખાસ કરીને,

ચાલો આ સમાનતાની જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિમાંથી λ ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ:

અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ્સ

એકીકરણની અનંત મર્યાદા(ઓ) સાથે અયોગ્ય સંકલન

ક્યારેક આવા અયોગ્ય અભિન્ન પણ કહેવાય છે પ્રથમ પ્રકારનું અયોગ્ય અભિન્ન. સામાન્ય રીતે, અનંત મર્યાદા સાથેનો અયોગ્ય અભિન્ન મોટાભાગે આના જેવો દેખાય છે: . તે ચોક્કસ અવિભાજ્યથી કેવી રીતે અલગ છે? ઉપલી મર્યાદા પર. તે અનંત છે: .

અનંત નીચી મર્યાદા અથવા બે સાથેના પૂર્ણાંકો ઓછા સામાન્ય છે અનંત મર્યાદા: .

અમે સૌથી લોકપ્રિય કેસ ધ્યાનમાં લઈશું. અન્ય જાતો સાથે કામ કરવાની તકનીક સમાન છે, અને ફકરાના અંતે આવા ઉદાહરણોની લિંક હશે.

શું અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે? ના, ઈન્ટિગ્રેન્ડ ઈન્ટરવલ પર સતત હોવું જોઈએ

મદદ: કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, વિધાન ખોટું છે: જો કાર્યમાં અસંતુલન હોય, તો કેટલાક કિસ્સાઓમાં અર્ધ-અંતરાલને કેટલાક ભાગોમાં વિભાજિત કરવું અને કેટલાક અયોગ્ય પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરવી શક્ય છે. સરળતા માટે, હવે પછી હું કહીશ કે અયોગ્ય અભિન્ન અસ્તિત્વ નથી.

ચાલો ડ્રોઇંગમાં ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શનના ગ્રાફનું નિરૂપણ કરીએ. આ કેસ માટે લાક્ષણિક ગ્રાફ અને વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ આના જેવો દેખાય છે:

અહીં બધું બરાબર છે, અર્ધ-અંતરાંત પર પૂર્ણાંક સતત છે, અને તેથી, અયોગ્ય પૂર્ણાંક અસ્તિત્વમાં છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આપણું વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ છે અનંત(જમણી બાજુ સુધી મર્યાદિત નથી) આકૃતિ.
સંખ્યાત્મક રીતે અયોગ્ય અભિન્ન વિસ્તાર સમાનશેડ આકૃતિ, બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1) પ્રથમ, મનમાં જે વિચાર આવે છે: “કારણ કે આકૃતિ અનંત છે, તો પછી ", બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિસ્તાર પણ અનંત છે. એવું હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે કે અયોગ્ય અભિન્ન અલગ પડે છે.

2) પરંતુ. તે ગમે તેટલું વિરોધાભાસી લાગે, અનંત આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ બરાબર હોઈ શકે... મર્યાદિત સંખ્યા! ઉદાહરણ તરીકે: . શું આ સાચું હોઈ શકે? સરળતાથી. બીજા કિસ્સામાં, અયોગ્ય અભિન્ન કન્વર્જ થાય છે.

કયા કિસ્સાઓમાં અયોગ્ય અભિન્ન ભિન્ન થાય છે અને કયા કિસ્સાઓમાં તે એકરૂપ થાય છે? તે સંકલન પર આધાર રાખે છે, અને ચોક્કસ ઉદાહરણોઅમે ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તેની તપાસ કરીશું.

જો અનંત વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ ધરીની નીચે સ્થિત હોય તો શું થાય? આ કિસ્સામાં, અયોગ્ય અભિન્ન (જુદી જાય છે) અથવા મર્યાદિત નકારાત્મક સંખ્યાની બરાબર છે.

અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

મહત્વપૂર્ણ! જ્યારે તમને ઉકેલ માટે કોઈપણ અયોગ્ય સંકલન ઓફર કરવામાં આવે છે, ત્યારે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ત્યાં કોઈ વિસ્તારની કોઈ વાત નથી અને કોઈ ડ્રોઇંગ બનાવવાની જરૂર નથી. તમારું કાર્ય NUMBER શોધવાનું છે અથવા સાબિત કરવાનું છે કે અયોગ્ય અભિન્ન અલગ પડે છે. મેં અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલનો ભૌમિતિક અર્થ સમજાવ્યો છે જેથી સામગ્રીને સમજવામાં સરળતા રહે.

કારણ કે અયોગ્ય પૂર્ણાંક ચોક્કસ પૂર્ણાંક સાથે ખૂબ સમાન છે, તો પછી સૂત્ર યાદ કરો ન્યુટન-લીબનીઝ: . હકીકતમાં, સૂત્ર પણ લાગુ પડે છે અયોગ્ય ઇન્ટિગ્રલ, તેને માત્ર થોડો ફેરફાર કરવાની જરૂર છે. શું તફાવત છે? એકીકરણની અનંત ઉપલી મર્યાદા પર: . સંભવતઃ, ઘણાએ અનુમાન લગાવ્યું હતું કે આ પહેલાથી જ મર્યાદાના સિદ્ધાંતના ઉપયોગને નુકસાન પહોંચાડે છે, અને સૂત્ર આ રીતે લખવામાં આવશે: .

કાર્ય કરવા દો f(tબિંદુ ધરાવતા કેટલાક અંતરાલ પર ) વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે aપછી દરેક નંબર xઆ અંતરાલથી આપણે સંખ્યાને મેચ કરી શકીએ છીએ,

આમ અંતરાલ પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરે છે આઈ(x), જેને ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે ચોક્કસ અભિન્ન કહેવાય છે. તે બિંદુએ નોંધ કરો x = aઆ કાર્ય શૂન્યની બરાબર છે. ચાલો બિંદુ પર આ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ x. આ કરવા માટે, પ્રથમ બિંદુ પર કાર્યના વધારાને ધ્યાનમાં લો xદલીલમાં વધારો કરતી વખતે ડી x:

ડી આઈ(x) = આઈ(x+ડી x) – આઈ(x) =

.

ફિગ માં બતાવ્યા પ્રમાણે. 4, ઇન્ક્રીમેન્ટ D માટેના સૂત્રમાં છેલ્લા પૂર્ણાંકનું મૂલ્ય આઈ(x) વિસ્તારની બરાબર છે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ, શેડિંગ સાથે ચિહ્નિત. ડી ના નાના મૂલ્યો પર x(અહીં, આ કોર્સમાં અન્યત્રની જેમ, જ્યારે દલીલ અથવા કાર્યના નાના ઇન્ક્રીમેન્ટ વિશે વાત કરવામાં આવે છે, ત્યારે અમારો અર્થ ઇન્ક્રીમેન્ટની સંપૂર્ણ માત્રા છે, કારણ કે ઇન્ક્રીમેન્ટ પોતે હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને હોઈ શકે છે) આ વિસ્તાર લગભગ સમાન છે. ડબલ-હેચ્ડ ડ્રોઇંગ પર ચિહ્નિત થયેલ લંબચોરસનો વિસ્તાર. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે f(x) ડી x. અહીંથી આપણને સંબંધ મળે છે

.

છેલ્લી અંદાજિત સમાનતામાં, અંદાજની ચોકસાઈ વધારે છે, ડી નું મૂલ્ય નાનું x.

ઉપરથી તે ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રને અનુસરે છે આઈ(x):

.

બિંદુ x પરની ઉપલી મર્યાદાના સંદર્ભમાં ચોક્કસ પૂર્ણાંકનું વ્યુત્પન્ન બિંદુ x પરના પૂર્ણાંકના મૂલ્ય જેટલું છે. તે અનુસરે છે કે કાર્ય ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે f(x), અને આવા એન્ટિડેરિવેટિવ જે બિંદુ પર લે છે x = aશૂન્ય બરાબર મૂલ્ય. આ હકીકત ફોર્મમાં ચોક્કસ અભિન્નતાને રજૂ કરવાનું શક્ય બનાવે છે

. (1)

દો એફ(x)ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ પણ છે f(x), પછી ફંક્શનના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સના સામાન્ય સ્વરૂપ પર પ્રમેય દ્વારા આઈ(x) = એફ(x) + સી, ક્યાં સી- ચોક્કસ સંખ્યા. આ કિસ્સામાં, સૂત્ર (1) ની જમણી બાજુ ફોર્મ લે છે

આઈ(x) – આઈ(a) = એફ(x) + સી– (એફ(a) +સી) = એફ(x) – એફ(a). (2)

સૂત્રોમાંથી (1) અને (2) બદલી પછી xપર bફંક્શનના ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રને અનુસરે છે f(t) અંતરાલ સાથે [ a;b]:

,

જે કહેવાય છે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર. અહીં એફ(x)- ફંક્શનનું કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ f(x).

ફંક્શનના ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે f(x) અંતરાલ સાથે [ a;b], તમારે કેટલાક એન્ટીડેરિવેટિવ શોધવાની જરૂર છે એફ(x) કાર્યો f(x) અને બિંદુઓ પર એન્ટિડેરિવેટિવના મૂલ્યોમાં તફાવતની ગણતરી કરો bઅને a. આ એન્ટિડેરિવેટિવ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત સામાન્ય રીતે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, એટલે કે. .

ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ચલનો ફેરફાર.ન્યુટન-લીબનીઝ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરતી વખતે, સમસ્યાને ઉકેલવાના તબક્કાઓને સખત રીતે અલગ ન કરવા માટે વધુ સારું છે (એન્ટિગ્રેન્ડનું એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવું, એન્ટિડેરિવેટિવનું ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધવું). આ અભિગમ, જે ખાસ કરીને, ચોક્કસ અવિભાજ્ય માટેના ભાગો દ્વારા ચલ અને એકીકરણમાં ફેરફાર માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે, તે સામાન્ય રીતે ઉકેલના લેખનને સરળ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે.

પ્રમેય. ફંક્શન φ(t) ને અંતરાલ પર સતત વ્યુત્પન્ન થવા દો [α,β], a=φ(α), β=φ(β) અને ફંક્શન f(x) ફોર્મ x ના દરેક બિંદુ x પર સતત રહેવા દો. =φ(t), જ્યાં t [α,β].

પછી નીચેની સમાનતા સાચી છે:

આ સૂત્રને ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ચલ બદલવા માટેનું સૂત્ર કહેવામાં આવે છે.

અનિશ્ચિત અવિભાજ્યની જેમ જ, ચલના ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને આપણે અવિભાજ્યને સરળ બનાવી શકીએ છીએ, તેને ટેબ્યુલર એક(ઓ) ની નજીક લાવી શકીએ છીએ. તદુપરાંત, માં અનિશ્ચિત અભિન્ન વિપરીત આ કિસ્સામાંમૂળ એકીકરણ ચલ પર પાછા ફરવાની જરૂર નથી. φ(t)=a અને φ(t)=b સમીકરણોના ચલ tના ઉકેલ તરીકે નવા ચલ t પર α અને β ની એકીકરણની મર્યાદા શોધવા માટે તે પૂરતું છે. વ્યવહારમાં, વેરીએબલ રિપ્લેસમેન્ટ કરતી વખતે, તેઓ મોટાભાગે જૂના ચલના સંદર્ભમાં નવા ચલની અભિવ્યક્તિ t=ψ(x) સૂચવીને પ્રારંભ કરે છે. આ કિસ્સામાં, ચલ t પર એકીકરણની મર્યાદા શોધવાનું સરળ છે: α=ψ(a), β=ψ(b).

ઉદાહરણ 19. ગણતરી કરો

ચાલો t=2-x 2 મૂકીએ. પછી dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx અને xdx=- dt. જો x=0, તો t=2-0 2 =2, અને જો x=1, તો t=2-1 2 =1 તેથી:

ભાગો દ્વારા એકીકરણ.ભાગો દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ અમને મૂળ ઘટાડવા માટે પરવાનગી આપે છે અનિશ્ચિત અભિન્નવધુ માટે સરળ દૃશ્યઅથવા અવિભાજ્ય ટેબલ પર. આ પદ્ધતિનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે જો ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં લઘુગણક, ઘાતાંકીય, વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ, ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમજ તેમના સંયોજનો.

ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે.

એટલે કે, એકીકરણ f(x)dxતેને ફંક્શનના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરો u(x)પર d(v(x))- વિભેદક કાર્ય v(x). આગળ આપણે ફંક્શન શોધીએ છીએ v(x)(મોટેભાગે પદ્ધતિ દ્વારા સીધું એકીકરણ) અને d(u(x))- વિભેદક કાર્ય u(x). અમે મળેલા અભિવ્યક્તિઓને ભાગો સૂત્ર દ્વારા એકીકરણમાં બદલીએ છીએ અને મૂળ અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકને તફાવતમાં ઘટાડવામાં આવે છે. . છેલ્લું અનિશ્ચિત પૂર્ણાંક કોઈપણ એકીકરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને લઈ શકાય છે, જેમાં ભાગો દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિનો સમાવેશ થાય છે.