બે રેન્ડમ દલીલોના ઉદાહરણોનું કાર્ય. રેન્ડમ ચલોના કાર્યોના વિતરણના નિયમો

દરેક રેન્ડમ ચલ સંપૂર્ણપણે તેના દ્વારા નક્કી થાય છે વિતરણ કાર્ય.

જો x એ રેન્ડમ ચલ છે, તો ફંક્શન એફ(x) = Fx(x) = પી(x< x) કહેવાય છે વિતરણ કાર્યરેન્ડમ ચલ x. અહીં પી(x<x) - સંભવિતતા કે રેન્ડમ ચલ x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લે છે x.

તે સમજવું અગત્યનું છે કે વિતરણ કાર્ય એ રેન્ડમ ચલનો "પાસપોર્ટ" છે: તેમાં રેન્ડમ ચલ વિશેની બધી માહિતી શામેલ છે અને તેથી રેન્ડમ ચલના અભ્યાસમાં તેના વિતરણ કાર્યના અભ્યાસનો સમાવેશ થાય છે,જે ઘણી વખત સરળ રીતે કહેવાય છે વિતરણ.

કોઈપણ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

બેનું કાર્ય રેન્ડમ દલીલો: જોશક્ય મૂલ્યોની દરેક જોડી રેન્ડમ ચલોઅને રેન્ડમ ચલનું એક સંભવિત મૂલ્ય અનુલક્ષે છે, તો તેને કહેવામાં આવે છે બે રેન્ડમ દલીલોનું કાર્યઅને અને લખો:

જો અને અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ હોય, તો ફંક્શનનું વિતરણ શોધવા માટે, આપણે બધા શોધવા જોઈએ શક્ય મૂલ્યો, જેના માટે તે દરેક સંભવિત મૂલ્યને તમામ સંભવિત મૂલ્યો સાથે ઉમેરવા માટે પૂરતું છે; મળેલ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ મૂલ્યોમાંથી ઉમેરવામાં આવેલી સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે અને.

19. મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો.મોટી સંખ્યાના કાયદાના પ્રમેય તક અને આવશ્યકતા વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરે છે.

મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો એ કેટલાક પ્રમેય માટેનું સામાન્ય નામ છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે પરીક્ષણોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, સરેરાશ મૂલ્યો ચોક્કસ સ્થિરાંકો તરફ વળે છે.

ચેબીશેવની અસમાનતા.

લેમ્મા: જો રેન્ડમ ચલ X ની મર્યાદિત અપેક્ષા M(X) અને ભિન્નતા D(X) હોય, તો કોઈપણ ધન માટે અસમાનતા સાચી છે

ચેબીશેવનું પ્રમેય: પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X 1, X 2, X 3, ..., X n માટે, જેમાંથી દરેકનો ભિન્નતા સમાન સ્થિર સંખ્યા B કરતાં વધી જતો નથી, એક મનસ્વી મનસ્વી રીતે નાની સંખ્યા e માટે નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે:

તે પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે કે રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ, જેમ જેમ તેમની સંખ્યામાં વધારો થાય છે, તે સ્થિરતાની મિલકત દર્શાવે છે, એટલે કે, બિન-રેન્ડમ મૂલ્યની સંભાવનામાં વલણ ધરાવે છે, જે આ જથ્થાઓની ગાણિતિક અપેક્ષાઓનો અંકગણિત સરેરાશ છે, એટલે કે. અનુસાર વિચલનની સંભાવના સંપૂર્ણ મૂલ્યરેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશ કરતા ઓછો છે ઇજેમ n અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે, તે 1 તરફ વળે છે, એટલે કે. લગભગ ચોક્કસ ઘટના બની જાય છે.

ચેબીશેવના પ્રમેયનો વિશેષ કેસ: ચાલો n ટ્રાયલ્સમાં, રેન્ડમ ચલના n મૂલ્યો જોવામાં આવે છે X,ગાણિતિક અપેક્ષા રાખવી M(X)અને તફાવત D(X).પ્રાપ્ત મૂલ્યોને રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણી શકાય X 1, X 2, X 3, ..., X n,.આ રીતે સમજવું જોઈએ. ની શ્રેણી nપરીક્ષણો વારંવાર હાથ ધરવામાં આવે છે. તેથી, i-th કસોટીના પરિણામે, i=l, 2, 3, ..., p,પરીક્ષણોની દરેક શ્રેણીમાં રેન્ડમ ચલની એક અથવા બીજી કિંમત દેખાશે X,અગાઉથી ખબર નથી. આથી, i-e i-th ટેસ્ટમાં મેળવેલ રેન્ડમ વેરીએબલનું મૂલ્ય xi એ ટેસ્ટની એક શ્રેણીમાંથી બીજી ટેસ્ટમાં ખસેડતી વખતે રેન્ડમ રીતે બદલાય છે. આમ, દરેક મૂલ્ય x i ને રેન્ડમ ચલ ગણી શકાય ક્ઝી.

બર્નૌલીનું પ્રમેય. બર્નૌલીનું પ્રમેય: જો દરેક n સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટના A ની સંભાવના સ્થિર અને p ની સમાન હોય, તો મનસ્વી e માટે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n માટે>0 અસમાનતા સાચી છે

મર્યાદામાં પસાર થવું, અમારી પાસે છે બર્નૌલીનું પ્રમેય ઘટના બનવાની સંભાવના અને તેની વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે સંબંધિત આવર્તનદેખાવ અને આ આવર્તન લગભગ શું હશે તેની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે nપરીક્ષણો પ્રમેય પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ગુણોત્તર t/nપરીક્ષણોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે સ્થિરતાની મિલકત છે.

ક્યારેક (નક્કી કરતી વખતે વ્યવહારુ સમસ્યાઓ) એ સંભવિતતાનો અંદાજ લગાવવો જરૂરી છે કે અપેક્ષિત પરિણામ pr થી n ટ્રાયલ્સમાં ઘટનાની સંખ્યા m નું વિચલન ઓળંગશે નહીં ચોક્કસ સંખ્યાઇ. આ અંદાજ માટે, અસમાનતા તરીકે ફરીથી લખવામાં આવે છે

20.કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય (C.L.T.)- સંભાવના સિદ્ધાંતમાં પ્રમેયનો વર્ગ જે કહે છે કે સરવાળો પૂરતો છે મોટી માત્રામાંનબળા આશ્રિત રેન્ડમ ચલો કે જે લગભગ સમાન ભીંગડા ધરાવે છે (કોઈ એક શબ્દનું વર્ચસ્વ નથી અથવા સરવાળે નિર્ણાયક યોગદાન આપતું નથી) સામાન્યની નજીકનું વિતરણ ધરાવે છે.

એપ્લિકેશન્સમાં ઘણા રેન્ડમ ચલો ઘણા નબળા આશ્રિત રેન્ડમ પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ રચાયેલા હોવાથી, તેમનું વિતરણ સામાન્ય માનવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, શરત પૂરી કરવી આવશ્યક છે કે કોઈપણ પરિબળો પ્રભાવશાળી નથી. સેન્ટ્રલ પ્રમેય મર્યાદિત કરોઆ કિસ્સાઓમાં, સામાન્ય વિતરણનો ઉપયોગ વાજબી છે.

કન્વોલ્યુશન ફોર્મ્યુલા. સામાન્ય વિતરણની સ્થિરતા.

o જો રેન્ડમ ચલ X અને Y ના સંભવિત મૂલ્યોની દરેક જોડી રેન્ડમ ચલ Z ના એક સંભવિત મૂલ્યને અનુરૂપ હોય, તો Z કહેવામાં આવે છે બે રેન્ડમ દલીલો X અને Y નું કાર્ય:

વધુ ઉદાહરણો બતાવશે કે શરતોના જાણીતા વિતરણોમાંથી ફંક્શનનું વિતરણ કેવી રીતે શોધવું. આ સમસ્યા ઘણીવાર વ્યવહારમાં જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો X એ માપન ઉપકરણ (સમાન રીતે વિતરિત) ના રીડિંગ્સમાં ભૂલ છે, તો પછી ભૂલોના સરવાળાના વિતરણના કાયદાને શોધવાનું કાર્ય ઉદ્ભવે છે.

કેસ 1.ચાલો X અને Y- અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો. Z=X+Y ફંક્શન માટે વિતરણ કાયદો બનાવવા માટે, Z ના તમામ સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓ શોધવા જરૂરી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ ચલ Z ની વિતરણ શ્રેણી સંકલિત કરવામાં આવી છે.

ઉદાહરણ 1.ડિસ્ટ્રિબ્યુશન દ્વારા ઉલ્લેખિત અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y

રેન્ડમ ચલ Z=X+Y નું વિતરણ બનાવો.

Z ના સંભવિત મૂલ્યો એ X ના તમામ સંભવિત મૂલ્યો સાથે X ના દરેક સંભવિત મૂલ્યનો સરવાળો છે.

ચાલો આ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવના શોધીએ. Z=4 માટે તે પૂરતું છે કે મૂલ્ય X એ મૂલ્યો x 1 =1 અને મૂલ્ય Y-મૂલ્ય y 1 =3 લે છે. આ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ, આ વિતરણ કાયદાઓમાંથી નીચે મુજબ છે, અનુક્રમે 0.4 અને 0.2 ની સમાન છે.

રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર હોવાથી, ઘટનાઓ X=1 અને Y=3 સ્વતંત્ર છે અને તેથી, તેમની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના (એટલે ​​​​કે ઘટના Z=1+3=4) ગુણાકાર અનુસાર પ્રમેય 0.4 0, 2=0.08 બરાબર છે.

આપણે એ જ રીતે શોધી શકીએ છીએ

ચાલો પ્રથમ સંભાવનાઓ ઉમેરીને જરૂરી વિતરણ લખીએ અસંગત ઘટનાઓ Z=z 2 અને Z=z 3. (0.32+0.12=0.44)

નિયંત્રણ: 0.08+0.44+0.48=1.

ચાલો વિચાર કરીએ સામાન્ય કેસ:

X અને Y ને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ રહેવા દો જે મૂલ્યો લે છે. ચાલો, દ્વારા સૂચિત કરીએ.

Z=X+H. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ

આમ, - કન્વ્યુલેશન ફોર્મ્યુલા.

કેસ 2. X અને Y ને સતત રેન્ડમ ચલ રહેવા દો.

પ્રમેય.જો X અને Y એ સ્વતંત્ર સતત રેન્ડમ ચલ છે, તો રેન્ડમ ચલ Z=X+Y પણ સતત છે, અને રેન્ડમ ચલ Z ની વિતરણ ઘનતા કન્વ્યુલેશન ફોર્મ્યુલા છે.

ઓ સરવાળો વિતરણ ઘનતાસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો કહેવાય છે રચના

ટિપ્પણી.જો X અને Y ના સંભવિત મૂલ્યો બિન-નકારાત્મક હોય, તો કન્વ્યુલેશન ફોર્મ્યુલા .

ઓ સંભાવના વિતરણનો નિયમ કહેવાય છે ટકાઉ , જો આવા કાયદાઓની રચના સમાન વિતરણ કાયદો છે (અલગ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, પરિમાણોમાં). સામાન્ય કાયદામાં સ્થિરતા ગુણધર્મો છે, એટલે કે. સામાન્ય કાયદાઓની રચના પણ છે સામાન્ય વિતરણ, અને આ રચનાની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને શરતોના ભિન્નતાના સરવાળો સમાન છે:

ખાસ કરીને, જો X~N(0,1) અને Y~N(0,1), તો Z=X+Y~N(0,2).

ઉદાહરણ 2.રેન્ડમ ચલ X 1,...,X k ને સ્વતંત્ર અને ધરાવવા દો ઘાતાંકીય વિતરણપરિમાણ λ>0 સાથે, એટલે કે .

વિતરણ ઘનતા શોધો.

જો x≤0, તો.

સમાન તર્ક હાથ ધરવા, અમને મળે છે:

સિસ્ટમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

બે રેન્ડમ ચલો.

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનું વર્ણન કરવા માટે, ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતાઓ ઉપરાંત, અન્ય લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આમાં સહપ્રવૃત્તિ અને સુધારણા પરિબળનો સમાવેશ થાય છે.

ઓ સહવર્તનરેન્ડમ ચલ X અને Y વચ્ચેની સંખ્યા કહેવાય છે, જ્યાં.

સતત રેન્ડમ ચલ X અને Y માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

ચાલો બતાવીએ કે જો રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર છે, તો. X અને Y ને સતત રેન્ડમ ચલ રહેવા દો

ઓ સહસંબંધ ગુણાંકરેન્ડમ ચલ X અને Y વચ્ચેની સંખ્યા કહેવાય છે.

સહસંબંધ ગુણધર્મો.

મિલકત 1.સહસંબંધ ગુણાંકનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય એકતા કરતાં વધી જતું નથી, એટલે કે. .

મિલકત 2.રેન્ડમ ચલ X અને Y એક રેખીય સંબંધ દ્વારા સંબંધિત હોવા માટે તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત હોવા માટે. તે. સંભાવના સાથે 1.

મિલકત 3.જો રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે, તો તે અસંબંધિત છે, એટલે કે. r=0.

X અને Y ને સ્વતંત્ર રહેવા દો, પછી ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મ દ્વારા

o બે રેન્ડમ ચલ X અને Y કહેવામાં આવે છે સહસંબંધિત, જો તેમનો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યથી અલગ હોય.

ઓ રેન્ડમ ચલ X અને Y ને અસંબંધિત કહેવામાં આવે છેજો તેમનો સહસંબંધ ગુણાંક 0 છે.

ટિપ્પણી.બે રેન્ડમ ચલોનો સહસંબંધ તેમની અવલંબન સૂચવે છે, પરંતુ અવલંબન હજુ સુધી સહસંબંધને સૂચિત કરતું નથી. બે અવ્યવસ્થિત ચલોની સ્વતંત્રતા પરથી તે અનુસરે છે કે તેઓ અસંબંધિત છે, પરંતુ અસંબંધિતતાથી તે નિષ્કર્ષ કાઢવો હજુ પણ અશક્ય છે કે આ ચલો સ્વતંત્ર છે.

સહસંબંધ ગુણાંક રેન્ડમ ચલોની વૃત્તિને દર્શાવે છે રેખીય અવલંબન. સહસંબંધ ગુણાંકનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું વધારે છે, રેખીય અવલંબન તરફનું વલણ વધારે છે.

જો રેન્ડમ ચલોના શક્ય મૂલ્યોની દરેક જોડી એક્સઅને વાયરેન્ડમ ચલના એક સંભવિત મૂલ્યને અનુરૂપ છે Z,તે ઝેડકહેવાય છે બે રેન્ડમ દલીલો Xનું કાર્યઅને Y:

Z= j ( એક્સ, વાય).

આગળનાં ઉદાહરણો બતાવશે કે ફંક્શનનું વિતરણ કેવી રીતે શોધવું Z = X + Yશરતોના જાણીતા વિતરણો અનુસાર. આ સમસ્યા ઘણીવાર વ્યવહારમાં જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો એક્સ- માપન ઉપકરણના રીડિંગ્સની ભૂલ (સામાન્ય રીતે વિતરિત), વાય- રીડિંગ્સને નજીકના સ્કેલ ડિવિઝનમાં ગોળાકાર કરવામાં ભૂલ (સમાન રીતે વિતરિત), પછી કાર્ય ઉદ્ભવે છે - ભૂલોના સરવાળાના વિતરણનો કાયદો શોધવા માટે Z=X+Y.

1. ચાલો એક્સઅને વાય- અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો. વિધેયના વિતરણ કાયદાને દોરવા માટે Z = X + Y,આપણે તમામ સંભવિત મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે ઝેડઅને તેમની સંભાવનાઓ.

ઉદાહરણ 1.અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો વિતરણો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

રેન્ડમ ચલનું વિતરણ બનાવો Z = X+Y.

ઉકેલ. સંભવિત મૂલ્યો ઝેડદરેક સંભવિત મૂલ્યનો સરવાળો છે એક્સતમામ સંભવિત મૂલ્યો સાથે Y:

z 1 = 1+ 3= 4; z 2 = 1+ 4= 5; z 3 = 2+ 3= 5; z 4 = 2+ 4= 6.

ચાલો આ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ શોધીએ. ક્રમમાં ઝેડ= 4, તે પર્યાપ્ત છે કે મૂલ્ય એક્સઅર્થ લીધો x 1 =1 અને મૂલ્ય વાય- અર્થ y 1 = 3. આ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ, આ વિતરણ કાયદાઓમાંથી નીચે મુજબ છે, અનુક્રમે 0.4 અને 0.2 ની સમાન છે.

દલીલો એક્સઅને વાયસ્વતંત્ર છે, તેથી ઘટનાઓ X= 1i વાય= 3 સ્વતંત્ર છે અને તેથી, તેમની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના (એટલે ​​​​કે, ઘટનાની સંભાવના ઝેડ= 1+3 = 4) ગુણાકાર પ્રમેય દ્વારા 0.4*0.2 = 0.08 બરાબર છે.

એ જ રીતે આપણે શોધીએ છીએ:

પી(Z= 1+ 4= 5) = 0, 4* 0, 8= 0, 32;

આર(Z= 2 + 3 = 5) = 0, 6* 0, 2 = 0, 12;

આર(Z= 2 + 4 = 6)= 0, 6* 0, 8 = 0, 48.

ચાલો પ્રથમ સંભાવનાઓ ઉમેરીને જરૂરી વિતરણ લખીએ અસંગત ઘટનાઓ Z = z 2 , Z = z 3 (0,32+0,12 = 0,44):

નિયંત્રણ: 0.08 + 0.44 + 0.48 = 1.

2. ચાલો એક્સઅને વાય- સતત રેન્ડમ ચલો. સાબિત: જો એક્સઅને વાયસ્વતંત્ર, પછી વિતરણ ઘનતા g(z) રકમો Z = X + Y(જો કે ઓછામાં ઓછી એક દલીલની ઘનતા અંતરાલ પર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવી હોય () એક સૂત્ર દ્વારા) સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

(*)

અથવા સમાન સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને

(**)

જ્યાં f 1 ,એફ 2 - દલીલોની વિતરણ ઘનતા.

જો દલીલોના સંભવિત મૂલ્યો બિન-નકારાત્મક હોય, તો પછી g(z) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે

(***)

અથવા સમકક્ષ સૂત્ર દ્વારા

(****)

સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની વિતરણ ઘનતાને કહેવામાં આવે છે રચના

સંભાવના વિતરણનો નિયમ કહેવાય છે ટકાઉજો આવા કાયદાઓની રચના સમાન કાયદો છે (અલગ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, પરિમાણોમાં). સામાન્ય કાયદામાં સ્થિરતાની મિલકત હોય છે: સામાન્ય કાયદાઓની રચનામાં પણ સામાન્ય વિતરણ હોય છે (આ રચનાની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતા અનુક્રમે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને શરતોના ભિન્નતાના સરવાળા જેટલી હોય છે). ઉદાહરણ તરીકે, જો એક્સઅને વાય- સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો સામાન્ય રીતે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતાઓ સાથે અનુક્રમે સમાન વિતરિત એ 1 = Z, a 2 = 4, ડી 1 =1, ડી 2 = 0, 5, પછી આ જથ્થાઓની રચના (એટલે ​​​​કે, રકમ Z ની સંભાવના ઘનતા = એક્સ+ વાય) પણ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, અને રચનાની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે સમાન છે એ = 3 + 4 = 7; ડી=l +0.5=1.5.

ઉદાહરણ 2.સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાયવિતરણ ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

f(x)= ;

f(y)= .

આ કાયદાઓની રચના શોધો, એટલે કે રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા Z = X+Y.

ઉકેલ. દલીલોના સંભવિત મૂલ્યો બિન-નકારાત્મક છે તેથી, અમે સૂત્ર (***) નો ઉપયોગ કરીશું.

તેની અહીં નોંધ કરો z 0 કારણ કે Z=X+Yઅને, શરત દ્વારા, શક્ય મૂલ્યો એક્સઅને વાયબિન-નકારાત્મક.

ચી ચોરસ વિતરણ

દો X i(i = 1, 2, ..., પૃ) એ સામાન્ય સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, અને તેમાંના દરેકની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્યની બરાબર છે, અને પ્રમાણભૂત વિચલન એક સમાન છે. પછી આ જથ્થાઓના વર્ગોનો સરવાળો

સાથે ચી ચોરસ કાયદા અનુસાર વિતરિત k = nસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી; જો આ જથ્થાઓ એક રેખીય સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે, ઉદાહરણ તરીકે , પછી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા k=n- 1.

આ વિતરણની ઘનતા

જ્યાં - ગામા કાર્ય; ખાસ કરીને

(n+ 1)=n!.

આ બતાવે છે કે ચી ચોરસ વિતરણ એક પરિમાણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા k

જેમ જેમ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, વિતરણ ધીમે ધીમે સામાન્યની નજીક આવે છે.

વિદ્યાર્થી વિતરણ

દો ઝેડસામાન્ય રેન્ડમ ચલ છે, અને એમ(ઝેડ) = 0, s( ઝેડ)= 1, a વી- સ્વતંત્ર ઝેડએક જથ્થો જે કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે kસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી. પછી મૂલ્ય

નામનું વિતરણ છે ટી-વિતરણ અથવા વિદ્યાર્થી વિતરણ (અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી ડબલ્યુ. ગોસેટનું ઉપનામ), સાથે kસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી.

તેથી, નોર્મલાઇઝ્ડનો ગુણોત્તર સામાન્ય કદથી વર્ગમૂળસાથે ચી-સ્ક્વેર કાયદા અનુસાર વિતરિત સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલમાંથી kદ્વારા વિભાજિત સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી k,સાથે વિદ્યાર્થીના કાયદા અનુસાર વિતરિત kસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી.

જેમ જેમ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, વિદ્યાર્થીઓનું વિતરણ ઝડપથી સામાન્ય થાય છે. વધુ માહિતીઆ વિતરણ વિશે નીચે આપેલ છે (જુઓ પ્રકરણ XVI, § 16).

§ 15. વિતરણ એફફિશર - સ્નેડેકોર

જો યુઅને વી- સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે કાયદા અનુસાર વિતરિત સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો k 1 અને k 2 , પછી મૂલ્ય

વિતરણ કહેવાય છે એફસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે ફિશર-સ્નેડેકોર k 1 અને k 2 (ક્યારેક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે વી 2).

આ વિતરણની ઘનતા

અમે જુઓ કે વિતરણ એફબે પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા. આ વિતરણ વિશે વધારાની માહિતી નીચે આપેલ છે (જુઓ પ્રકરણ XIX, § 8).

કાર્યો

1. રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો X,તેની વિતરણ ઘનતા જાણીને:

અ) અન્ય મૂલ્યો માટે x;

b) f(x)= 1/ 2lખાતે એ- l x a+l, f(x)= અન્ય મૂલ્યો માટે 0 એક્સ.

પ્રતિનિધિ a)એમ(એક્સ)= 0, ડી(એક્સ) = l/2; b) એમ(એક્સ)= એ, ડી(એક્સ)= લ 2 / 3.

2. રેન્ડમ ચલ એક્સસામાન્ય રીતે વિતરિત. આ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલન અનુક્રમે 6 અને 2 ની સમાન છે, જે પરીક્ષણના પરિણામે છે એક્સઅંતરાલ (4,8) માં સમાયેલ મૂલ્ય લેશે.

પ્રતિનિધિ 0,6826.

3. રેન્ડમ ચલ સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે. આ મૂલ્યનું પ્રમાણભૂત વિચલન 0.4 છે. ચોક્કસ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલનું વિચલન 0.3 કરતાં ઓછું હશે તેવી સંભાવના શોધો.

પ્રતિનિધિ 0,5468.

4. રેન્ડમ માપન ભૂલોને આધીન છે સામાન્ય કાયદોસરેરાશ સાથે ચોરસ વિચલન s=1 mm અને ગાણિતિક અપેક્ષા એ= 0. સંભવિતતા શોધો કે બે સ્વતંત્ર અવલોકનોમાંથી ઓછામાં ઓછા એકની ભૂલ સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં 1.28 મીમીથી વધુ ન હોય.

પ્રતિનિધિ 0,96.

5. ઓટોમેટિક મશીન દ્વારા ઉત્પાદિત રોલર્સને પ્રમાણભૂત ગણવામાં આવે છે જો ડિઝાઇનના કદમાંથી રોલર વ્યાસનું વિચલન 2 મીમીથી વધુ ન હોય. રેન્ડમ વિચલનોરોલર વ્યાસ પ્રમાણભૂત વિચલન s = 1.6 mm અને ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સામાન્ય કાયદાનું પાલન કરે છે a = 0. મશીન પ્રમાણભૂત રોલરોના કેટલા ટકા ઉત્પાદન કરે છે?

પ્રતિનિધિઆશરે 79%.

6. અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે: