ફંક્શનનું સૌથી મોટું પૂર્ણાંક મૂલ્ય. ફંક્શનની સૌથી મોટી કિંમત કેવી રીતે શોધવી? વ્યવહારિક વર્ગો માટે પદ્ધતિસરની ભલામણો વિષય: પરિચય

જીવનના ઘણા ક્ષેત્રોમાં, તમારે સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને કંઈક ઉકેલવાની જરૂરિયાતનો સામનો કરવો પડી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અર્થશાસ્ત્ર અને એકાઉન્ટિંગમાં, તમે ઑપ્ટિમાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરીને કેટલાક સૂચકાંકોના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ માત્ર શોધી શકો છો. ઉલ્લેખિત પરિમાણો. અને આ ફંક્શનના આપેલ સેગમેન્ટ પર સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા સિવાય બીજું કંઈ નથી. હવે ચાલો જોઈએ કે કેવી રીતે શોધવું ઉચ્ચતમ મૂલ્યકાર્યો

સૌથી વધુ મૂલ્ય શોધવું: સૂચનાઓ

1. ફંક્શનના કયા સેગમેન્ટ પર તમારે મૂલ્યની ગણતરી કરવાની જરૂર છે તે શોધો, તેને બિંદુઓ સાથે નિયુક્ત કરો. આ અંતરાલ ખુલ્લું હોઈ શકે છે (જ્યારે કાર્ય સેગમેન્ટની બરાબર હોય છે), બંધ (જ્યારે કાર્ય સેગમેન્ટ પર હોય છે) અને અનંત (જ્યારે કાર્ય સમાપ્ત થતું નથી).
2. વ્યુત્પન્ન કાર્ય શોધો.
3. ફંક્શનના સેગમેન્ટ પરના બિંદુઓ શોધો જ્યાં ડેરિવેટિવ શૂન્ય બરાબર છે, અને તે છે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ. પછી આ બિંદુઓ પર કાર્યના મૂલ્યોની ગણતરી કરો અને સમીકરણ ઉકેલો. પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી સૌથી મોટું શોધો.
4. પર કાર્ય મૂલ્યો જણાવો અંતિમ બિંદુઓ, તેમાંથી મોટા નક્કી કરો
5. સૌથી મોટા મૂલ્ય સાથે ડેટાની તુલના કરો અને સૌથી મોટો પસંદ કરો. આ ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય હશે.

ફંક્શનની સૌથી મોટી પૂર્ણાંક કિંમત કેવી રીતે શોધવી? તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે કે ફંક્શન સમ કે બેકી છે, અને પછી ઉકેલો નક્કર ઉદાહરણ. જો સંખ્યા અપૂર્ણાંક સાથે મેળવવામાં આવે છે, તો તેને ધ્યાનમાં ન લો; ફંક્શનના સૌથી મોટા પૂર્ણાંક મૂલ્યનું પરિણામ ફક્ત પૂર્ણાંક હશે.

એક કાર્ય તરીકે ગાણિતિક વિશ્લેષણના આવા પદાર્થનો અભ્યાસ ખૂબ મહત્વ ધરાવે છે અર્થઅને વિજ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રોમાં. ઉદાહરણ તરીકે, માં આર્થિક વિશ્લેષણવર્તનનું સતત મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે કાર્યોનફો, એટલે કે તેની સૌથી મોટી નક્કી કરવા માટે અર્થઅને તેને હાંસલ કરવા માટે વ્યૂહરચના વિકસાવો.

સૂચનાઓ

કોઈપણ વર્તનનો અભ્યાસ હંમેશા વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રની શોધ સાથે શરૂ થવો જોઈએ. સામાન્ય રીતે શરત દ્વારા ચોક્કસ કાર્યતે મહાન નક્કી કરવા માટે જરૂરી છે અર્થ કાર્યોકાં તો આ સમગ્ર વિસ્તાર પર, અથવા ખુલ્લી અથવા બંધ સરહદો સાથેના ચોક્કસ અંતરાલ પર.

ના આધારે, સૌથી મોટું છે અર્થ કાર્યો y(x0), જેમાં વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં કોઈપણ બિંદુ માટે અસમાનતા y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) ધરાવે છે. ગ્રાફિકલી, જો દલીલ મૂલ્યો એબ્સીસા અક્ષ સાથે મૂકવામાં આવે તો આ બિંદુ સૌથી વધુ હશે, અને ફંક્શન પોતે ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે.

સૌથી મહાન નક્કી કરવા માટે અર્થ કાર્યો, ત્રણ-પગલાંના અલ્ગોરિધમને અનુસરો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તમે એકતરફી અને , તેમજ વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવા માટે સક્ષમ હોવા જોઈએ. તેથી, અમુક ફંક્શન y(x) આપવા દો અને તમારે તેનું સૌથી મોટું શોધવાની જરૂર છે અર્થસીમા મૂલ્યો A અને B સાથે ચોક્કસ અંતરાલ પર.

આ અંતરાલ વ્યાખ્યાના અવકાશમાં છે કે કેમ તે શોધો કાર્યો. આ કરવા માટે, તમારે તમામ સંભવિત પ્રતિબંધોને ધ્યાનમાં લઈને તેને શોધવાની જરૂર છે: અભિવ્યક્તિમાં અપૂર્ણાંકની હાજરી, વર્ગમૂળવગેરે વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ દલીલ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જેના માટે કાર્ય અર્થપૂર્ણ છે. નક્કી કરો કે આપેલ અંતરાલ તેનો સબસેટ છે. જો હા, તો પછી આગળના પગલા પર આગળ વધો.

વ્યુત્પન્ન શોધો કાર્યોઅને વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સમાન કરીને પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો. આ રીતે તમને કહેવાતા સ્થિર બિંદુઓના મૂલ્યો મળશે. મૂલ્યાંકન કરો કે તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અંતરાલ A, B સાથે સંબંધિત છે.

ત્રીજા તબક્કે, આ બિંદુઓને ધ્યાનમાં લો અને તેમના મૂલ્યોને કાર્યમાં બદલો. અંતરાલ પ્રકાર પર આધાર રાખીને, નીચેના વધારાના પગલાંઓ કરો. જો ત્યાં ફોર્મ [A, B] નો સેગમેન્ટ હોય, તો સીમા બિંદુઓ અંતરાલમાં સમાવવામાં આવે છે, આ કૌંસ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. મૂલ્યોની ગણતરી કરો કાર્યો x = A અને x = B માટે. જો અંતરાલ ખુલ્લું હોય (A, B), તો બાઉન્ડ્રી મૂલ્યો પંચર થાય છે, એટલે કે. તેમાં સમાવિષ્ટ નથી. x→A અને x→B માટે એકતરફી મર્યાદા ઉકેલો. ફોર્મ [A, B) અથવા (A, B) નું સંયુક્ત અંતરાલ, જેની એક સીમા તેની સાથે જોડાયેલી છે, અન્ય એક બાજુની મર્યાદા શોધી શકતી નથી કારણ કે x પંચર કરેલ મૂલ્ય તરફ વળે છે અને બીજાને બદલે છે ફંક્શન અનંત દ્વિ-પક્ષીય અંતરાલ (-∞, +∞) અથવા ફોર્મના એકતરફી અનંત અંતરાલ: , (-∞, B) વાસ્તવિક મર્યાદાઓ માટે, પહેલાથી વર્ણવેલ સિદ્ધાંતો અનુસાર આગળ વધો અનંત રાશિઓ, અનુક્રમે x→-∞ અને x→+∞ માટે મર્યાદા જુઓ.

આ તબક્કે કાર્ય

"ફંક્શનના બહુવિધ મૂલ્યો" વિષયના અભ્યાસ માટે પદ્ધતિસરની ભલામણો. ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો."

ગણિતમાં જ મુખ્ય અર્થ છે

સત્ય પ્રાપ્ત કરવા માટે - ઇન્ડક્શન અને સાદ્રશ્ય.

આપેલ:- કાર્ય. ચાલો સૂચિત કરીએ
- કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન.

ફંક્શનના મૂલ્યોનો સમૂહ (ડોમેન) એ તે તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જે ફંક્શન લઈ શકે છે.
.ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ અક્ષ પર ફંક્શનના ગ્રાફનું પ્રક્ષેપણ થાય છે
.

જો ત્યાં એક બિંદુ છે જેમ કે કોઈપણ માટે સમૂહમાં અસમાનતા છે
, પછી તેઓ કહે છે કે સેટ પરનું કાર્ય તેના પર લે છે nai ઓછી કિંમત

જો ત્યાં કોઈ બિંદુ હોય કે જે કોઈપણ સમૂહ માટે અસમાનતા ધરાવે છે
, પછી તેઓ કહે છે કે સેટ પરનું કાર્ય તેના પર લે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્ય .

કાર્ય કહેવાય છે નીચે બંધાયેલજો આવી સંખ્યા હોય તો સેટ પર
. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે કાર્યનો ગ્રાફ સીધી રેખા કરતા ઓછો નથી
.

કાર્ય કહેવાય છે ઉપર બંધાયેલજો આવી સંખ્યા હોય તો સેટ પર , કે કોઈપણ સમૂહ માટે અસમાનતા સાચી છે
. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનનો ગ્રાફ સીધી રેખા કરતા વધારે નથી

કાર્ય કહેવાય છે મર્યાદિતસેટ પર જો તે નીચે અને ઉપરથી આ સેટ પર બંધાયેલ હોય. ફંક્શનની સીમાનો અર્થ એ છે કે તેનો ગ્રાફ ચોક્કસ આડી બેન્ડની અંદર છે.

અંકગણિત સરેરાશ અને ભૌમિતિક સરેરાશ વિશે કોચીની અસમાનતા
:

>,>0) ઉદાહરણ:

અંતરાલ પર ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો

(સેગમેન્ટ, અંતરાલ, કિરણ)

એક અંતરાલ પર સતત કાર્યોના ગુણધર્મો.

1. જો કોઈ ફંક્શન સેગમેન્ટ પર સતત હોય, તો તે તેના પર તેની મહત્તમ અને લઘુત્તમ બંને કિંમતો સુધી પહોંચે છે.

2. સતત ફંક્શન સેગમેન્ટના છેડે અને તેની અંદર એમ બંને રીતે તેના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો સુધી પહોંચી શકે છે

3. જો સેગમેન્ટની અંદર સૌથી મોટું (અથવા સૌથી નાનું) મૂલ્ય પ્રાપ્ત થાય છે, તો માત્ર સ્થિર અથવા નિર્ણાયક બિંદુ પર.

સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ સેગમેન્ટ પર સતત કાર્ય

1. વ્યુત્પન્ન શોધો
.

2. સેગમેન્ટની અંદર સ્થિત સ્થિર અને નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો .

3. પસંદ કરેલ સ્થિર અને નિર્ણાયક બિંદુઓ પર અને સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યો શોધો, એટલે કે.
અને
.

4.મળેલા મૂલ્યોમાંથી, સૌથી નાનું પસંદ કરો (આ હશે
) અને સૌથી મહાન (આ હશે
)

અંતરાલ પર એકવિધ હોય તેવા સતત કાર્યોના ગુણધર્મો:

સેગમેન્ટમાં સતત વધારો ફંક્શન તેના સૌથી મોટા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે
, સૌથી નાનું - પર
.

સેગમેન્ટ પર સતત ઘટાડો ફંક્શન તેની સૌથી મોટી કિંમત પર પહોંચે છે અને તેની ન્યૂનતમ કિંમત પર પહોંચે છે.

જો કાર્ય મૂલ્ય
અમુક અંતરાલ પર બિન-ઋણાત્મક, પછી આ કાર્ય અને કાર્ય
, જ્યાં n એ કુદરતી સંખ્યા છે, તે જ બિંદુ પર સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય લે છે.

સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો સતત કાર્યઅંતરાલ પર
અથવા બીમ પર

(ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ).

જો સતત ફંક્શનમાં અંતરાલ અથવા કિરણો પર એક જ અંતિમ બિંદુ હોય અને આ એક્સ્ટ્રીમમ મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ હોય, તો આ બિંદુએ સૌથી મહાન અથવા સૌથી નાનું મૂલ્યકાર્યો (અથવા)

કાર્યોની એકવિધતાની મિલકતનો ઉપયોગ.

1. બે વધતા કાર્યોનું બનેલું જટિલ કાર્ય વધી રહ્યું છે.

2.જો કાર્ય વધે અને કાર્ય
ઘટે છે, પછી કાર્ય
- ઘટી રહ્યું છે.

3. બે વધતા (ઘટાતા) કાર્યોનો સરવાળો, વધતો (ઘટતો) કાર્ય.

4. જો Eq માં.
ડાબી બાજુ એ વધતું (અથવા ઘટતું) કાર્ય છે, પછી સમીકરણમાં વધુમાં વધુ એક મૂળ હોય છે.

5.જો ફંક્શન વધી રહ્યું છે (ઘટાડી રહ્યું છે), અને ફંક્શન ઘટી રહ્યું છે (વધતું), તો સમીકરણ
વધુમાં વધુ એક ઉકેલ છે.

6. સમીકરણ
ઓછામાં ઓછું એક રુટ છે જો અને માત્ર જો

બહુવિધ અર્થોથી સંબંધિત છે
કાર્યો .

બાઉન્ડેડ ફંક્શન્સની મિલકતનો ઉપયોગ.

1. જો સમીકરણની ડાબી બાજુ (અસમાનતા) (
અમુક સંખ્યા કરતા ઓછી અથવા તેની બરાબર (
), એ જમણી બાજુઆ સંખ્યા () કરતાં મોટી અથવા બરાબર છે, તો સિસ્ટમ ધરાવે છે
જેનો ઉકેલ એ સમીકરણ (અસમાનતા)નો ઉકેલ છે.

સ્વ-નિયંત્રણ કાર્યો

અરજી:

3. બધા મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે
ઉકેલ છે.

હોમવર્ક

1. ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો:

, જો
.

2. ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો:

.

3. ફંક્શનનું સૌથી મોટું પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો:

. જે અનુલક્ષે છે મહાન. આદર્શ-...

વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરવામાં સૌથી વધુ રસ છે. આ શું સાથે જોડાયેલ છે? નફો વધારવો, ખર્ચ ઘટાડવો, સાધનસામગ્રીનો શ્રેષ્ઠ ભાર નક્કી કરવો... બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જીવનના ઘણા ક્ષેત્રોમાં આપણે કેટલાક પરિમાણોને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવાની સમસ્યાઓ હલ કરવી પડશે. અને આ ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવાના કાર્યો છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો સામાન્ય રીતે ચોક્કસ અંતરાલ X પર માંગવામાં આવે છે, જે કાં તો ફંક્શનનું સંપૂર્ણ ડોમેન છે અથવા વ્યાખ્યાના ડોમેનનો ભાગ છે. અંતરાલ X પોતે એક સેગમેન્ટ, ખુલ્લું અંતરાલ હોઈ શકે છે , અનંત અંતરાલ.

આ લેખમાં આપણે સ્પષ્ટપણે સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા વિશે વાત કરીશું આપેલ કાર્યએક ચલ y=f(x) .

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

કાર્યનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય - વ્યાખ્યાઓ, ચિત્રો.

ચાલો સંક્ષિપ્તમાં મુખ્ય વ્યાખ્યાઓ જોઈએ.

કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય તે કોઈપણ માટે અસમાનતા સાચી છે.

કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્યઅંતરાલ X પર y=f(x) આવી કિંમત કહેવાય છે તે કોઈપણ માટે અસમાનતા સાચી છે.

આ વ્યાખ્યાઓ સાહજિક છે: ફંક્શનનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય એ એબ્સીસા પર વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર સૌથી મોટું (નાનું) સ્વીકૃત મૂલ્ય છે.

સ્થિર બિંદુઓ– આ દલીલના મૂલ્યો છે જેના પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બને છે.

સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધતી વખતે આપણને સ્થિર બિંદુઓની શા માટે જરૂર છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ ફર્મેટના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે. આ પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે જો વિભેદક કાર્યમાં એક્સ્ટ્રીમ ( સ્થાનિક લઘુત્તમઅથવા સ્થાનિક મહત્તમ) ચોક્કસ બિંદુ પર, પછી આ બિંદુ સ્થિર છે. આમ, ફંક્શન ઘણીવાર આ અંતરાલમાંથી સ્થિર બિંદુઓમાંથી એક પર અંતરાલ X પર તેનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય લે છે.

ઉપરાંત, ફંક્શન ઘણીવાર તેના સૌથી મોટા અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો એવા બિંદુઓ પર લઈ શકે છે કે જ્યાં આ ફંક્શનનું પ્રથમ ડેરિવેટિવ અસ્તિત્વમાં નથી, અને ફંક્શન પોતે જ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

ચાલો તરત જ આ વિષય પરના સૌથી સામાન્ય પ્રશ્નોમાંથી એકનો જવાબ આપીએ: "શું ફંક્શનનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય નક્કી કરવું હંમેશા શક્ય છે"? ના, હંમેશા નહીં. કેટલીકવાર અંતરાલ X ની સીમાઓ કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમાઓ સાથે સુસંગત હોય છે, અથવા અંતરાલ X અનંત હોય છે. અને અનંતતા પર અને વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમાઓ પરના કેટલાક કાર્યો અનંત મોટા અને અનંત નાના બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે. આ કિસ્સાઓમાં, કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્ય વિશે કશું કહી શકાતું નથી.

સ્પષ્ટતા માટે, અમે ગ્રાફિક ચિત્ર આપીશું. ચિત્રો જુઓ અને ઘણું બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે.

સેગમેન્ટ પર

પ્રથમ આકૃતિમાં, ફંક્શન સેગમેન્ટ [-6;6] ની અંદર સ્થિત સ્થિર બિંદુઓ પર સૌથી મોટું (મહત્તમ y) અને સૌથી નાનું (મિનિમ y) મૂલ્યો લે છે.

બીજા આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવેલ કેસનો વિચાર કરો. ચાલો સેગમેન્ટને માં બદલીએ. આ ઉદાહરણમાં, ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય પર પ્રાપ્ત થાય છે સ્થિર બિંદુ, અને સૌથી મહાન - અંતરાલની જમણી સીમાને અનુરૂપ એબ્સીસા સાથેના બિંદુ પર.

આકૃતિ 3 માં, સેગમેન્ટના બાઉન્ડ્રી પોઈન્ટ્સ [-3;2] ફંક્શનના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યને અનુરૂપ પોઈન્ટના એબ્સીસાસ છે.

ખુલ્લા અંતરાલ પર

ચોથા આકૃતિમાં, કાર્ય ખુલ્લા અંતરાલ (-6;6) ની અંદર સ્થિત સ્થિર બિંદુઓ પર સૌથી મોટું (મહત્તમ y) અને સૌથી નાનું (મિનિમ y) મૂલ્યો લે છે.

અંતરાલ પર, સૌથી મોટા મૂલ્ય વિશે કોઈ નિષ્કર્ષ કાઢી શકાતા નથી.

અનંત પર

સાતમી આકૃતિમાં પ્રસ્તુત ઉદાહરણમાં, ફંક્શન એબ્સીસા x=1 સાથે સ્થિર બિંદુ પર સૌથી મોટું મૂલ્ય (મહત્તમ y) લે છે અને અંતરાલની જમણી સીમા પર સૌથી નાનું મૂલ્ય (મિનિમ y) પ્રાપ્ત થાય છે. માઈનસ અનંત પર, ફંક્શન વેલ્યુ એસિમ્પટોટિકલી y=3 સુધી પહોંચે છે.

અંતરાલમાં, ફંક્શન સૌથી નાનું કે સૌથી મોટું મૂલ્ય સુધી પહોંચતું નથી. જેમ જેમ x=2 જમણી બાજુથી નજીક આવે છે, ફંક્શન મૂલ્યો માઈનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે (સીધી રેખા x=2 છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ), અને જેમ જેમ એબ્સીસા વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, કાર્ય મૂલ્યો એસિમ્પટોટિકલી y=3 સુધી પહોંચે છે. આ ઉદાહરણનું ગ્રાફિક ચિત્ર આકૃતિ 8 માં બતાવવામાં આવ્યું છે.

સેગમેન્ટ પર સતત કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ.

ચાલો એક અલ્ગોરિધમ લખીએ જે આપણને સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધવા દે છે.

1. અમે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ અને તપાસ કરીએ છીએ કે તે સમગ્ર સેગમેન્ટ ધરાવે છે કે કેમ.
2. અમે એવા તમામ બિંદુઓ શોધીએ છીએ કે જેના પર પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી અને જે સેગમેન્ટમાં સમાયેલ છે (સામાન્ય રીતે આવા બિંદુઓ મોડ્યુલસ સાઇન હેઠળ દલીલ સાથે ફંક્શનમાં જોવા મળે છે અને પાવર કાર્યોઅપૂર્ણાંક-તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે). જો આવા કોઈ બિંદુઓ ન હોય, તો પછીના મુદ્દા પર આગળ વધો.
3. અમે સેગમેન્ટમાં આવતા તમામ સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ, પરિણામી સમીકરણને હલ કરીએ છીએ અને યોગ્ય મૂળ પસંદ કરીએ છીએ. જો ત્યાં કોઈ સ્થિર બિંદુઓ ન હોય અથવા તેમાંથી કોઈ પણ સેગમેન્ટમાં ન આવે, તો પછીના બિંદુ પર આગળ વધો.
4. અમે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી પસંદ કરેલા સ્થિર બિંદુઓ (જો કોઈ હોય તો), એવા બિંદુઓ પર કરીએ છીએ જ્યાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી (જો કોઈ હોય તો), તેમજ x=a અને x=b પર.
5. ફંક્શનના પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી, અમે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું પસંદ કરીએ છીએ - તે અનુક્રમે ફંક્શનના જરૂરી સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો હશે.

ચાલો સેગમેન્ટ પર ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટે ઉદાહરણને ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમનું વિશ્લેષણ કરીએ.

ઉદાહરણ.

ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધો

• સેગમેન્ટ પર;
• સેગમેન્ટ પર [-4;-1] .

ઉકેલ.

ફંક્શનનું ડોમેન એ સંપૂર્ણ સેટ છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, શૂન્ય સિવાય, તે છે. બંને વિભાગો વ્યાખ્યા ડોમેનમાં આવે છે.

આના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

દેખીતી રીતે, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ અને [-4;-1] પર અસ્તિત્વમાં છે.

અમે સમીકરણમાંથી સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ. એકમાત્ર વાસ્તવિક મૂળ x=2 છે. આ સ્થિર બિંદુ પ્રથમ સેગમેન્ટમાં આવે છે.

પ્રથમ કેસ માટે, અમે સેગમેન્ટના છેડે અને સ્થિર બિંદુ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ, એટલે કે, x=1, x=2 અને x=4 માટે:

તેથી, કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય x=1 પર પ્રાપ્ત થાય છે, અને સૌથી નાનું મૂલ્ય - x=2 પર.

બીજા કેસ માટે, અમે ફંક્શન વેલ્યુની ગણતરી ફક્ત સેગમેન્ટના છેડે [-4;-1] કરીએ છીએ (કારણ કે તેમાં એક પણ સ્થિર બિંદુ નથી):

આ લેખમાં હું ફંક્શનના અભ્યાસમાં શોધવાની કુશળતાને કેવી રીતે લાગુ કરવી તે વિશે વાત કરીશ: તેનું સૌથી મોટું અથવા નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે. અને પછી અમે ટાસ્ક B15 થી ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરીશું બેંક ખોલોમાટે કાર્યો.

હંમેશની જેમ, ચાલો પહેલા સિદ્ધાંતને યાદ કરીએ.

ફંક્શનના કોઈપણ અભ્યાસની શરૂઆતમાં, આપણે તેને શોધીએ છીએ

ફંક્શનની સૌથી મોટી અથવા સૌથી નાની કિંમત શોધવા માટે, તમારે તપાસ કરવાની જરૂર છે કે કયા અંતરાલ પર ફંક્શન વધે છે અને કયા પર તે ઘટે છે.

આ કરવા માટે, આપણે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે અને તેના સતત ચિહ્નના અંતરાલોનું પરીક્ષણ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, તે અંતરાલો કે જેના પર વ્યુત્પન્ન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે.

અંતરાલો કે જેના પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન ધન છે તે વધતા કાર્યના અંતરાલો છે.

અંતરાલો કે જેના પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે તે ઘટતા કાર્યના અંતરાલો છે.

1. ચાલો ટાસ્ક B15 (નં. 245184) હલ કરીએ

તેને હલ કરવા માટે, અમે નીચેના અલ્ગોરિધમનું પાલન કરીશું:

a) કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો

b) ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ.

c) ચાલો તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ.

d) ચાલો ફંક્શનના સતત ચિહ્નના અંતરાલ શોધીએ.

e) તે ​​બિંદુ શોધો કે જેના પર કાર્ય સૌથી વધુ મૂલ્ય લે છે.

f) આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત શોધો.

હું વિડિઓ ટ્યુટોરીયલમાં આ કાર્યનો વિગતવાર ઉકેલ આપું છું:

તમારું બ્રાઉઝર કદાચ સમર્થિત નથી. ટ્રેનરનો ઉપયોગ કરવા માટે " યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાનો સમય", ડાઉનલોડ કરવાનો પ્રયાસ કરો
ફાયરફોક્સ

2. ચાલો કાર્ય B15 (નં. 282862) હલ કરીએ

ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો સેગમેન્ટ પર

તે સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શન સેગમેન્ટ પર મહત્તમ બિંદુ પર, x=2 પર સૌથી વધુ મૂલ્ય લે છે. ચાલો આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત શોધીએ:

જવાબ: 5

3. ચાલો કાર્ય B15 (નં. 245180) હલ કરીએ:

ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. કારણ કે મૂળ કાર્ય શીર્ષક="4-2x-x^2>0 ની વ્યાખ્યાના ડોમેન મુજબ">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. અંશ શૂન્ય બરાબરખાતે ચાલો તપાસ કરીએ કે તે સંબંધ ધરાવે છે ODZ કાર્યો. આ કરવા માટે, ચાલો તપાસીએ કે શું શરત શીર્ષક="4-2x-x^2>0 છે."> при .!}

શીર્ષક="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ ODZ ફંક્શનનો છે

ચાલો બિંદુની જમણી અને ડાબી બાજુએ વ્યુત્પન્નના ચિહ્નનું પરીક્ષણ કરીએ:

આપણે જોઈએ છીએ કે કાર્ય બિંદુ પર તેની સૌથી મોટી કિંમત લે છે. હવે ચાલો ફંક્શનની કિંમત અહીં શોધીએ:

નોંધ 1. નોંધ કરો કે આ સમસ્યામાં અમને ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મળ્યું નથી: અમે ફક્ત પ્રતિબંધો નક્કી કર્યા છે અને તપાસ્યું છે કે જે બિંદુ પર ડેરિવેટિવ શૂન્ય બરાબર છે તે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત છે કે કેમ. આ કાર્ય માટે આ પૂરતું હોવાનું બહાર આવ્યું. જો કે, આ હંમેશા કેસ નથી. તે કાર્ય પર આધાર રાખે છે.

નોંધ 2. વર્તનનો અભ્યાસ કરતી વખતે જટિલ કાર્યતમે આ નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

• જો જટિલ ફંક્શનનું બાહ્ય કાર્ય વધી રહ્યું હોય, તો ફંક્શન તેની સૌથી મોટી કિંમત તે જ બિંદુએ લે છે જ્યાં આંતરિક કાર્યસૌથી વધુ મૂલ્ય લે છે. આ વધતા કાર્યની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે: જો અંતરાલ I પર કાર્ય વધે છે ઉચ્ચ મૂલ્યઆ અંતરાલની દલીલ ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
• જો જટિલ ફંક્શનનું બાહ્ય કાર્ય ઘટતું હોય, તો ફંક્શન તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય તે જ બિંદુએ લે છે જ્યાં આંતરિક કાર્ય તેની સૌથી નાની કિંમત લે છે . આ ઘટતા ફંક્શનની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે: જો આ અંતરાલમાંથી દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો અંતરાલ I પર ફંક્શન ઘટે છે

અમારા ઉદાહરણમાં, બાહ્ય કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં વધે છે. લઘુગણકની નિશાની હેઠળ એક અભિવ્યક્તિ છે - ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, જે, નકારાત્મક અગ્રણી ગુણાંક સાથે, બિંદુ પર સૌથી વધુ મૂલ્ય લે છે . આગળ, આપણે આ x મૂલ્યને ફંક્શન સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો.