વિવિધ ડિગ્રી સાથે અસમાનતા. ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ

ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ તે છે જેમાં અજ્ઞાત ઘાતાંકમાં સમાયેલ છે.

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવાથી ઘણીવાર સમીકરણ a x = a b ઉકેલવામાં આવે છે, જ્યાં a > 0, a ≠ 1, x અજ્ઞાત છે. આ સમીકરણમાં એક જ મૂળ x = b છે, કારણ કે નીચેનું પ્રમેય સાચું છે:

પ્રમેય. જો a > 0, a ≠ 1 અને a x 1 = a x 2, તો x 1 = x 2.

ચાલો ધ્યાનમાં લીધેલા નિવેદનને સમર્થન આપીએ.

ચાલો ધારીએ કે સમાનતા x 1 = x 2 ધરાવતું નથી, એટલે કે. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, પછી ઘાતાંકીય કાર્ય y = a x વધે છે અને તેથી અસમાનતા a x 1 સંતોષવી આવશ્યક છે< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. બંને કિસ્સાઓમાં અમને શરત a x 1 = a x 2 નો વિરોધાભાસ પ્રાપ્ત થયો છે.

ચાલો ઘણી સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

સમીકરણ 4 ∙ 2 x = 1 ઉકેલો.

ઉકેલ.

ચાલો 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 સ્વરૂપમાં સમીકરણ લખીએ, જેમાંથી આપણને x + 2 = 0 મળે છે, એટલે કે. x = -2.

જવાબ આપો. x = -2.

સમીકરણ 2 3x ∙ 3 x = 576 ઉકેલો.

ઉકેલ.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 થી, સમીકરણ 8 x ∙ 3 x = 24 2 અથવા 24 x = 24 2 તરીકે લખી શકાય.

અહીંથી આપણને x = 2 મળે છે.

જવાબ આપો. x = 2.

સમીકરણ 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 ઉકેલો.

ઉકેલ.

તેને ડાબી બાજુના કૌંસમાંથી બહાર કાઢીને સામાન્ય ગુણક 3 x - 2, આપણને મળે છે 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

જ્યાંથી 3 x - 2 = 1, એટલે કે x – 2 = 0, x = 2.

જવાબ આપો. x = 2.

સમીકરણ 3 x = 7 x ઉકેલો.

ઉકેલ.

7 x ≠ 0 થી, સમીકરણ 3 x /7 x = 1 તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાંથી (3/7) x = 1, x = 0.

જવાબ આપો. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.

3 x = a ને બદલીને આપેલ સમીકરણચતુર્ભુજ સમીકરણ 2 – 4a – 45 = 0 સુધી ઘટાડે છે.

આ સમીકરણને ઉકેલતા, આપણે તેના મૂળ શોધીએ છીએ: a 1 = 9, અને 2 = -5, જ્યાંથી 3 x = 9, 3 x = -5.

સમીકરણ 3 x = 9 માં મૂળ 2 છે, અને સમીકરણ 3 x = -5 માં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે ઘાતાંકીય કાર્ય નકારાત્મક મૂલ્યો લઈ શકતું નથી.

જવાબ આપો. x = 2.

ઉકેલ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓઘણીવાર અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે a x > a b અથવા a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания ઘાતાંકીય કાર્ય.

ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓ જોઈએ.

અસમાનતા 3 x ઉકેલો< 81.

ઉકેલ.

ચાલો અસમાનતાને 3 x સ્વરૂપમાં લખીએ< 3 4 . Так как 3 >1, પછી કાર્ય y = 3 x વધી રહ્યું છે.

તેથી, એક્સ માટે< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

આમ, એક્સ પર< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 એક્સ< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

જવાબ આપો. એક્સ< 4.

અસમાનતા 16 x +4 x – 2 > 0 ઉકેલો.

ઉકેલ.

ચાલો 4 x = t દર્શાવીએ, તો આપણને મળે છે ચતુર્ભુજ અસમાનતા t2 + t – 2 > 0.

આ અસમાનતા ટી માટે ધરાવે છે< -2 и при t > 1.

t = 4 x હોવાથી, આપણને બે અસમાનતા 4 x મળે છે< -2, 4 х > 1.

પ્રથમ અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે તમામ x € R માટે 4 x > 0.

આપણે બીજી અસમાનતા 4 x > 4 0 ફોર્મમાં લખીએ છીએ, જ્યાંથી x > 0.

જવાબ આપો. x > 0.

ગ્રાફિકલી સમીકરણ (1/3) x = x – 2/3 ઉકેલો.

ઉકેલ.

1) ચાલો ફંક્શન y = (1/3) x અને y = x – 2/3 ના ગ્રાફ બનાવીએ.

2) અમારી આકૃતિના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે માનવામાં આવેલ કાર્યોના આલેખ એબ્સીસા x ≈ 1 સાથે બિંદુ પર છેદે છે. તપાસ કરવાથી સાબિત થાય છે કે

x = 1 આ સમીકરણનું મૂળ છે:

(1/3) 1 = 1/3 અને 1 – 2/3 = 1/3.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે સમીકરણના મૂળમાંથી એક શોધી કાઢ્યું છે.

3) ચાલો અન્ય મૂળ શોધીએ અથવા સાબિત કરીએ કે ત્યાં કોઈ નથી. ફંક્શન (1/3) x ઘટી રહ્યું છે, અને ફંક્શન y = x – 2/3 વધી રહ્યું છે. તેથી, x > 1 માટે, પ્રથમ કાર્યની કિંમતો 1/3 કરતાં ઓછી છે, અને બીજી - 1/3 કરતાં વધુ; x પર< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 અને x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

જવાબ આપો. x = 1.

નોંધ કરો કે આ સમસ્યાના ઉકેલમાંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે અસમાનતા (1/3) x > x – 2/3 x માટે સંતુષ્ટ છે< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

અને x = b સૌથી સરળ છે ઘાતાંકીય સમીકરણ. તેનામાં a શૂન્યથી ઉપરઅને એએક સમાન નથી.

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા

ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે તેના મૂલ્યોની શ્રેણી હકારાત્મક સુધી મર્યાદિત છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. પછી જો b = 0 હોય, તો સમીકરણ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. આ જ પરિસ્થિતિ સમીકરણમાં જોવા મળે છે જ્યાં b

હવે ચાલો ધારીએ કે b>0. જો ઘાતાંકીય કાર્યમાં આધાર છે aએકતા કરતાં વધારે છે, તો પછી કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધતું જશે. જો આધાર માટે ઘાતાંકીય કાર્યમાં હોય એપૂર્ણ આગામી શરત 0

આના આધારે અને મૂળ પ્રમેયને લાગુ કરતાં, આપણે શોધી કાઢ્યું કે સમીકરણ a x = b માં એક જ મૂળ છે, b>0 અને ધન માટે aનથી એક સમાન. તેને શોધવા માટે, તમારે b ને b = a c સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાની જરૂર છે.
ત્યારે સ્વાભાવિક છે કે સાથે a x = a c સમીકરણનો ઉકેલ હશે.

ચાલો વિચાર કરીએ આગામી ઉદાહરણ: સમીકરણ 5 ઉકેલો (x 2 - 2*x - 1) = 25.

ચાલો 25 ને 5 2 તરીકે કલ્પીએ, આપણને મળે છે:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

અથવા સમકક્ષ શું છે:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

અમને જે મળ્યું તે ઉકેલવું ચતુર્ભુજ સમીકરણકોઈપણ જાણીતી પદ્ધતિઓ. આપણને બે મૂળ મળે છે x = 3 અને x = -1.

જવાબ: 3;-1.

ચાલો સમીકરણ 4 x - 5*2 x + 4 = 0 હલ કરીએ. ચાલો બદલીએ: t=2 x અને નીચેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવો:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
અમે કોઈપણ જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ. આપણને મૂળ મળે છે t1 = 1 t2 = 4

હવે આપણે સમીકરણો 2 x = 1 અને 2 x = 4 હલ કરીએ છીએ.

જવાબ: 0;2.

ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

સરળ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનો ઉકેલ પણ વધતા અને ઘટતા કાર્યોના ગુણધર્મો પર આધારિત છે. જો ઘાતાંકીય ફંક્શનમાં આધાર a એક કરતા વધારે હોય, તો ફંક્શન વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધતું જશે. જો આધાર માટે ઘાતાંકીય કાર્યમાં હોય એનીચેની શરત પૂરી થાય છે 0, તો પછી આ કાર્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમગ્ર સમૂહ પર ઘટતું જશે.