નાના શંકુ સૂત્રનું વોલ્યુમ. શંકુ વોલ્યુમ

શંકુનું કદ પિરામિડના જથ્થાના સમાન સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: V = 1/3 S h,

જ્યાં V એ શંકુનું કદ છે, S એ શંકુના પાયાનો વિસ્તાર છે, h- તેની ઊંચાઈ.

છેલ્લે V = 1/3 πR 2 h, જ્યાં R એ શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા છે.

શંકુના જથ્થા માટે સૂત્ર મેળવવાનું નીચેના તર્ક દ્વારા સમજાવી શકાય છે:

એક શંકુ આપવા દો (અંજીર). ચાલો તેમાં લખીએ યોગ્ય પિરામિડ, એટલે કે, ચાલો શંકુની અંદર એક પિરામિડ બનાવીએ, જેની ટોચ શંકુની ટોચ સાથે એકરુપ હોય છે, અને આધાર છે નિયમિત બહુકોણ, શંકુના પાયા પર અંકિત.

આ પિરામિડની માત્રા સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: V’ = 1/3 S’ h, જ્યાં V એ પિરામિડનું કદ છે,

S' તેના આધારનો વિસ્તાર છે, h- પિરામિડની ઊંચાઈ.

જો તે જ સમયે આપણે ખૂબ સાથે બહુકોણ લઈએ મોટી સંખ્યામાંબાજુઓ, તો પછી પિરામિડના પાયાનો વિસ્તાર વર્તુળના ક્ષેત્રથી ખૂબ ઓછો અલગ હશે, અને પિરામિડનો જથ્થો શંકુના જથ્થાથી ખૂબ ઓછો અલગ હશે. જો આપણે કદમાં આ તફાવતોને અવગણીએ, તો શંકુનું પ્રમાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

V=1/3S h, જ્યાં V એ શંકુનું પ્રમાણ છે, S એ શંકુના પાયાનો વિસ્તાર છે, h- શંકુની ઊંચાઈ.

S ને πR 2 થી બદલીને, જ્યાં R એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, આપણને સૂત્ર મળે છે: V = 1 / 3 πR 2 h, શંકુના જથ્થાને વ્યક્ત કરે છે.

નોંધ. V = 1/3 S સૂત્રમાં hસચોટ, અંદાજિત સમાનતાની નિશાની મૂકવામાં આવી નથી, જો કે તર્કના આધારે અમે તેને અંદાજિત ગણી શકીએ છીએ, પરંતુ ઉચ્ચ શાળામાં ઉચ્ચ શાળાતે સાબિત થાય છે કે સમાનતા

V=1/3S hચોક્કસ, અંદાજિત નથી.

મનસ્વી શંકુનું પ્રમાણ

પ્રમેય. મનસ્વી શંકુનું પ્રમાણ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈના ઉત્પાદનના ત્રીજા ભાગ જેટલું છે, તે

V = 1/3 QH, (1)

જ્યાં Q એ આધારનો વિસ્તાર છે અને H એ શંકુની ઊંચાઈ છે.

શિરોબિંદુ S અને આધાર Ф (ફિગ.) સાથેના શંકુને ધ્યાનમાં લો.

આધાર Φ નું ક્ષેત્રફળ Q ની બરાબર છે અને શંકુની ઊંચાઈ H ની બરાબર છે. પછી બહુકોણ Φ નો ક્રમ છે. nઅને F' nવિસ્તારો સાથે પ્ર nઅને Q' nજેમ કે

એફ n⊂ Ф n⊂ Ф' nઅને \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= પ્ર.

તે સ્પષ્ટ છે કે ટોચના S અને આધાર Ф' સાથેનો પિરામિડ nઆપેલ શંકુમાં કોતરવામાં આવશે, અને શિરોબિંદુ S અને આધાર Ф સાથેનો પિરામિડ n- શંકુની આસપાસ વર્ણવેલ.

આ પિરામિડની માત્રા અનુક્રમે સમાન છે

વી n= 1/3 પ્ર n H, V' n= 1/3 Q' nએચ

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V’ n= 1/3 QH

પછી સૂત્ર (1) સાબિત થાય છે.

પરિણામ. શંકુનું કદ, જેનો આધાર અર્ધ-અક્ષો a અને b સાથે લંબગોળ છે, સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

V = 1/3π abએચ (2)

ખાસ કરીને, શંકુનું કદ જેનો આધાર ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છેઆર, સૂત્ર દ્વારા ગણતરી

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

જ્યાં H શંકુની ઊંચાઈ છે.

જેમ જાણીતું છે, અર્ધ-અક્ષો સાથે લંબગોળનો વિસ્તાર એઅને bπ ની બરાબર ab, અને તેથી સૂત્ર (2) Q = π સાથે (1) માંથી મેળવવામાં આવે છે ab. જો a = b= R, પછી સૂત્ર (3) મળે છે.

જમણા ગોળાકાર શંકુનું કદ

પ્રમેય 1. ડાયરેક્ટ વોલ્યુમ ગોળાકાર શંકુઊંચાઈ H અને આધાર ત્રિજ્યા સાથે R ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે

V = 1 / 3 π R 2 H

આ શંકુને ધરીની આસપાસ O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) બિંદુઓ પર શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણને ફેરવીને મેળવેલા શરીર તરીકે ગણી શકાય. ઓહ(ચોખા.).

ત્રિકોણ OAB છે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ, અનુરૂપ કાર્ય

y = R/H એક્સ, એક્સ∈ તેથી, ઉપયોગ કરીને જાણીતું સૂત્ર, અમને મળે છે

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$

પરિણામ. જમણા ગોળાકાર શંકુનું પ્રમાણ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈના ઉત્પાદનના ત્રીજા ભાગ જેટલું છે, એટલે કે

જ્યાં પ્ર - આધાર વિસ્તાર, અને H - શંકુ ઊંચાઈ.

પ્રમેય 2. આધાર ત્રિજ્યા r અને R અને ઊંચાઈ H સાથે કાપેલા શંકુના જથ્થાની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે

V = 1 / 3 πH( આર 2 + R 2 + આરઆર).

એક અક્ષની આસપાસ ફેરવીને કાપવામાં આવેલ શંકુ મેળવી શકાય છે ઓહટ્રેપેઝોઇડ ઓ એબીસી (ફિગ.).

રેખા AB બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે (0; આર) અને (H; R), તેથી તે સમીકરણ ધરાવે છે

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

અમે મેળવીએ છીએ

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે, અમે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$

દેખીતી રીતે જ્યારે એક્સ 0 થી H સુધી બદલાય છે, ચલ અનેથી બદલાય છે આરઆર માટે, અને તેથી

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(array)(c)R\\\\ r\end(array)\right.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

એક ગોળા જેનું કદ 8π છે તે સમઘનમાં લખાયેલું છે. ક્યુબનું વોલ્યુમ શોધો.

ઉકેલ

ક્યુબની બાજુ રહેવા દો. પછી ઘનનું કદ V = a 3 છે.

દડો સમઘનમાં લખાયેલો હોવાથી, દડાની ત્રિજ્યા છે અડધા સમાનક્યુબની કિનારીઓ, એટલે કે R = a/2 (આકૃતિ જુઓ).

બોલનું પ્રમાણ V w = (4/3)πR 3 અને 8π બરાબર છે, તેથી

(4/3)πR 3 = 8π,

અને ઘનનું કદ V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48 છે.

કાર્ય B9 ( લાક્ષણિક વિકલ્પો 2015)

શંકુનું પ્રમાણ 32 છે. શંકુના પાયાની સમાંતર ઊંચાઈની મધ્યમાં એક વિભાગ દોરવામાં આવે છે, જે આધાર છે. નાના શંકુસમાન ટોચ સાથે. નાના શંકુનું કદ શોધો.

ઉકેલ

ચાલો કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ:

72353. શંકુનું પ્રમાણ 10 છે. શંકુના પાયાની સમાંતર ઊંચાઈની મધ્યમાં એક વિભાગ દોરવામાં આવે છે, જે સમાન શિરોબિંદુ સાથે નાના શંકુનો આધાર છે. નાના શંકુનું કદ શોધો.

ચાલો આપણે તરત જ નોંધ લઈએ કે મૂળ અને કટ ઓફ શંકુ સમાન છે અને જો આપણે મૂળ શંકુની તુલનામાં કટ ઓફ શંકુને ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણે આ કહી શકીએ: નાનો શંકુ અડધા અથવા 0.5 જેટલા ગુણાંક સાથે મોટા શંકુ સમાન છે. . અમે લખી શકીએ છીએ:

કોઈ લખી શકે છે:

એક એવું વિચારી શકે છે!

ચાલો કટ-ઓફ એકની તુલનામાં મૂળ શંકુને ધ્યાનમાં લઈએ. આપણે કહી શકીએ કે મોટો શંકુ બે સમાન ગુણાંક સાથે કટ ઓફ એક સમાન છે, ચાલો લખીએ:

હવે સમાનતા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કર્યા વિના ઉકેલ જુઓ.

શંકુનું પ્રમાણ તેના પાયાના ક્ષેત્રફળ અને તેની ઊંચાઈના ઉત્પાદનના ત્રીજા ભાગ જેટલું છે:

સૂચવેલ ક્રોસ-સેક્શન સાથે લેટરલ પ્રોજેક્શન (સાઇડ વ્યૂ) ને ધ્યાનમાં લો:

મોટા શંકુની ત્રિજ્યા R ની બરાબર, H ની ઊંચાઈ સમાન રહેવા દો. વિભાગ (નાના શંકુનો આધાર) ઊંચાઈની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે, જેનો અર્થ છે કે તેની ઊંચાઈ H/2 જેટલી હશે. અને આધારની ત્રિજ્યા R/2 ની બરાબર છે, આ ત્રિકોણની સમાનતાને અનુસરે છે.

ચાલો મૂળ શંકુનું પ્રમાણ લખીએ:

કટ ઓફ શંકુનું પ્રમાણ બરાબર હશે:

તેથી વિગતવાર ઉકેલોપ્રસ્તુત છે જેથી તમે જોઈ શકો કે તર્ક કેવી રીતે બાંધી શકાય. કોઈપણ રીતે કાર્ય કરો - મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તમે નિર્ણયના સારને સમજો છો. જો તમે પસંદ કરેલ માર્ગ તર્કસંગત ન હોય તો પણ પરિણામ (સાચો પરિણામ) મહત્વપૂર્ણ છે.

જવાબ: 1.25

318145. શંકુ આકારના વાસણમાં, પ્રવાહીનું સ્તર તેની અડધી ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. પ્રવાહીનું પ્રમાણ 70 મિલી છે. કન્ટેનરને સંપૂર્ણ રીતે ભરવા માટે કેટલા મિલીલીટર પ્રવાહી ઉમેરવું જોઈએ?

આ કાર્ય પાછલા એક જેવું જ છે. તેમ છતાં આપણે અહીં પ્રવાહી વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, ઉકેલનો સિદ્ધાંત સમાન છે.

અમારી પાસે બે શંકુ છે - આ જ વાસણ છે અને "નાના" શંકુ (પ્રવાહીથી ભરેલા), તે સમાન છે. તે જાણીતું છે કે વોલ્યુમો સમાન સંસ્થાઓનીચે પ્રમાણે સંબંધિત છે:

પ્રારંભિક શંકુ (જહાજ) 2 ના ગુણાંક સાથે પ્રવાહીથી ભરેલા શંકુ જેવું જ છે, કારણ કે એવું કહેવાય છે કે પ્રવાહીનું સ્તર અડધી ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. તમે વધુ વિગતવાર લખી શકો છો:

અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

આમ, તમારે ઉમેરવાની જરૂર છે:

પ્રવાહી સાથે અન્ય સમસ્યાઓ.

74257. શંકુનું વોલ્યુમ V શોધો, જેનું જનરેટિક્સ 44 ની બરાબર છે અને 30 0 ના ખૂણા પર આધારના સમતલ તરફ વળેલું છે. કૃપા કરીને તમારા જવાબમાં V/Pi સૂચવો.

શંકુ વોલ્યુમ:

આપણે કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને શંકુની ઊંચાઈ શોધીએ છીએ.

30°ના ખૂણોની સામે પડેલો પગ અડધા કર્ણોની બરાબર છે. હાયપોટેન્યુસ, માં આ કિસ્સામાં, શંકુનું જનરેટર છે. તેથી શંકુની ઊંચાઈ 22 છે.

અમે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આધારની ત્રિજ્યાનો ચોરસ શોધીએ છીએ:

*આપણે ત્રિજ્યાના વર્ગની જરૂર છે, ત્રિજ્યાની નહીં.

શાળામાં અભ્યાસ કરાયેલ પરિભ્રમણના શરીર સિલિન્ડર, શંકુ અને બોલ છે.

જો ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં કોઈ સમસ્યા હોય તો તમારે શંકુના જથ્થા અથવા ગોળાના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો તમારી જાતને નસીબદાર માનો.

સિલિન્ડર, શંકુ અને ગોળાના વોલ્યુમ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્રો લાગુ કરો. તે બધા અમારા ટેબલમાં છે. હૃદયથી શીખો. અહીંથી સ્ટીરિયોમેટ્રીનું જ્ઞાન શરૂ થાય છે.

કેટલીકવાર ઉપરથી દૃશ્ય દોરવાનું સારું છે. અથવા, આ સમસ્યાની જેમ, નીચેથી.

2. સાચી આસપાસ વર્ણવેલ શંકુનું કદ કેટલી વખત છે ચતુષ્કોણીય પિરામિડ, આ પિરામિડમાં કોતરેલા શંકુના જથ્થા કરતાં વધારે છે?

તે સરળ છે - નીચેથી દૃશ્ય દોરો. આપણે જોઈએ છીએ કે મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતા ઘણી મોટી છે. બંને શંકુની ઊંચાઈ સમાન છે. તેથી, મોટા શંકુનું પ્રમાણ બમણું મોટું હશે.

અન્ય મહત્વપૂર્ણ બિંદુ. યાદ રાખો કે ભાગ B ની સમસ્યાઓમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા વિકલ્પોગણિતમાં જવાબ પૂર્ણાંક અથવા મર્યાદિત સંખ્યા તરીકે લખવામાં આવે છે દશાંશ. તેથી, ભાગ B માં તમારા જવાબમાં કોઈ અથવા ન હોવું જોઈએ. સંખ્યાના અંદાજિત મૂલ્યને બદલવાની પણ જરૂર નથી! તે ચોક્કસપણે સંકોચાઈ જ જોઈએ! તે આ હેતુ માટે છે કે કેટલીક સમસ્યાઓમાં કાર્ય ઘડવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચે મુજબ: "સિલિન્ડરની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર વિભાજિત કરો."

ક્રાંતિના શરીરના કદ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્રો બીજે ક્યાં વપરાય છે? અલબત્ત, સમસ્યા C2 (16) માં. અમે તમને તેના વિશે પણ જણાવીશું.