ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉદાહરણો અને વિગતવાર ઉકેલ ઉકેલવા. ચતુર્ભુજ સમીકરણો, મૂળ સૂત્ર, ઉદાહરણો ઉકેલવા

", એટલે કે, પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણો. આ પાઠમાં આપણે જોઈશું જેને ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છેઅને તેને કેવી રીતે ઉકેલવું.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ શું છે?

મહત્વપૂર્ણ!

સમીકરણની ડિગ્રી એ ઉચ્ચતમ ડિગ્રી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે કે જ્યાં અજ્ઞાત રહે છે.

જો મહત્તમ ડિગ્રી, જેમાં અજ્ઞાત "2" છે, જેનો અર્થ છે કે તમારી પાસે ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉદાહરણો

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

મહત્વપૂર્ણ!

ચતુર્ભુજ સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ આના જેવું દેખાય છે:

• “a”, “b” અને “c” નંબરો આપવામાં આવ્યા છે.
• "a" એ પ્રથમ અથવા સર્વોચ્ચ ગુણાંક છે;
• "b" એ બીજો ગુણાંક છે; "c" -.

મફત સભ્ય

“a”, “b” અને “c” શોધવા માટે તમારે તમારા સમીકરણને ચતુર્ભુજ સમીકરણ “ax 2 + bx + c = 0” ના સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવવાની જરૂર છે.

• −x 2 + x +
• a = −1
• b = 1

  1

  3

• x 2 + 0.25x = 0
• a = 1
• b = 0.25

• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0
• b = 0

c = −8

ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા વિપરીતરેખીય સમીકરણો ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે, એક વિશેષ.

મૂળ શોધવા માટેનું સૂત્ર

યાદ રાખો!

• ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે તમારે આની જરૂર છે: સુધી ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઘટાડવુંસામાન્ય દેખાવ
• "ax 2 + bx + c = 0". એટલે કે, ફક્ત "0" જમણી બાજુએ રહેવું જોઈએ;

મૂળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તેનું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ.

X 2 − 3x − 4 = 0 "x 2 − 3x − 4 = 0" સમીકરણ પહેલાથી જ સામાન્ય સ્વરૂપ "ax 2 + bx + c = 0" માં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે અને તેને વધારાના સરળીકરણની જરૂર નથી. તેને હલ કરવા માટે, આપણે ફક્ત અરજી કરવાની જરૂર છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટેનું સૂત્ર

x 1;2 =

તેનો ઉપયોગ કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે.
સૂત્ર “x 1;2 = ” માં આમૂલ અભિવ્યક્તિ ઘણીવાર બદલાઈ જાય છે

"b 2 − 4ac" અક્ષર "D" માટે અને તેને ભેદભાવ કહેવામાં આવે છે. "ભેદભાવ કરનાર શું છે" પાઠમાં ભેદભાવ કરનારની વિભાવનાની વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

x 2 + 9 + x = 7x

આ સ્વરૂપમાં, ગુણાંક “a”, “b” અને “c” નક્કી કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. ચાલો પહેલા સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપ “ax 2 + bx + c = 0” માં ઘટાડીએ.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

હવે તમે મૂળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

એવા સમયે હોય છે જ્યારે ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું કોઈ મૂળ હોતું નથી. આ પરિસ્થિતિ ત્યારે ઊભી થાય છે જ્યારે મૂળની નીચેનું સૂત્ર બહાર આવે છે નકારાત્મક સંખ્યા.

માત્ર. સૂત્રો અનુસાર અને સ્પષ્ટ સરળ નિયમો. પ્રથમ તબક્કે

જરૂરી આપેલ સમીકરણપ્રમાણભૂત સ્વરૂપ તરફ દોરી જાય છે, એટલે કે. ફોર્મ માટે:

જો તમને આ ફોર્મમાં સમીકરણ પહેલેથી જ આપવામાં આવ્યું છે, તો તમારે પ્રથમ સ્ટેજ કરવાની જરૂર નથી. સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે તે યોગ્ય રીતે કરવું

બધા ગુણાંક નક્કી કરો, એ, bઅને c.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટેનું સૂત્ર.

રુટ ચિહ્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે ભેદભાવપૂર્ણ . જેમ તમે જોઈ શકો છો, X શોધવા માટે, અમે

અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ માત્ર a, b અને c. તે. થી ગુણાંક ચતુર્ભુજ સમીકરણ. ફક્ત તેને કાળજીપૂર્વક સેટ કરો

મૂલ્યો a, b અને cઅમે આ સૂત્રમાં ગણતરી કરીએ છીએ. અમે સાથે અવેજી તેમનાચિહ્નો

દાખ્લા તરીકે, સમીકરણમાં:

એ =1; b = 3; c = -4.

અમે મૂલ્યોને બદલીએ છીએ અને લખીએ છીએ:

ઉદાહરણ લગભગ હલ થઈ ગયું છે:

આ જવાબ છે.

સૌથી સામાન્ય ભૂલો સાઇન મૂલ્યો સાથે મૂંઝવણ છે a, bઅને સાથે. અથવા બદલે, અવેજી સાથે

નકારાત્મક મૂલ્યોમૂળની ગણતરી માટેના સૂત્રમાં. અહીં સાચવે છે વિગતવાર પ્રવેશસૂત્રો

ચોક્કસ સંખ્યાઓ સાથે. જો તમને ગણતરીમાં સમસ્યા હોય, તો તે કરો!

ધારો કે આપણે નીચેના ઉદાહરણને હલ કરવાની જરૂર છે:

અહીં a = -6; b = -5; c = -1

અમે તમામ ચિહ્નો અને કૌંસ સાથે કંઈપણ ચૂક્યા વિના, કાળજીપૂર્વક, વિગતવાર વર્ણન કરીએ છીએ:

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઘણીવાર સહેજ અલગ દેખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

હવે પ્રાયોગિક તકનીકોની નોંધ લો જે ભૂલોની સંખ્યામાં નાટકીય રીતે ઘટાડો કરે છે.

પ્રથમ મુલાકાત. પહેલાં આળસુ ન બનો ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવુંતેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવો.

આનો મતલબ શું થયો?

ચાલો કહીએ કે તમામ પરિવર્તનો પછી તમને નીચેનું સમીકરણ મળે છે:

મૂળ સૂત્ર લખવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં! તમે લગભગ ચોક્કસપણે મતભેદોને મિશ્રિત કરશો a, b અને c.

ઉદાહરણ યોગ્ય રીતે બનાવો. પ્રથમ, X સ્ક્વેર, પછી સ્ક્વેર વગર, પછી ફ્રી ટર્મ. આની જેમ:

માઈનસથી છૂટકારો મેળવો. કેવી રીતે? આપણે સમગ્ર સમીકરણને -1 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અમને મળે છે:

પરંતુ હવે તમે મૂળ માટે સૂત્ર સુરક્ષિત રીતે લખી શકો છો, ભેદભાવની ગણતરી કરી શકો છો અને ઉદાહરણ ઉકેલવાનું સમાપ્ત કરી શકો છો.

તમારા માટે નક્કી કરો. તમારી પાસે હવે મૂળ 2 અને -1 હોવા જોઈએ.

રિસેપ્શન બીજું.મૂળ તપાસો! દ્વારા વિયેટાનું પ્રમેય.

આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે, એટલે કે. જો ગુણાંક

x 2 +bx+c=0,

પછીx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે જેમાં a≠1:

x 2 +bx+c=0,

દ્વારા સમગ્ર સમીકરણને વિભાજીત કરો અ:

→ →

જ્યાં x 1અને x 2 - સમીકરણના મૂળ.

સ્વાગત ત્રીજા. જો તમારું સમીકરણ છે અપૂર્ણાંક મતભેદ, - અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવો! ગુણાકાર

સામાન્ય છેદ સાથેનું સમીકરણ.

નિષ્કર્ષ. વ્યવહારુ સલાહ:

1. હલ કરતા પહેલા, અમે ચતુર્ભુજ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ અને તેને બનાવીએ છીએ અધિકાર.

2. જો X વર્ગની સામે નકારાત્મક ગુણાંક હોય, તો આપણે દરેક વસ્તુનો ગુણાકાર કરીને તેને દૂર કરીએ છીએ

-1 દ્વારા સમીકરણો.

3. જો ગુણાંક અપૂર્ણાંક હોય, તો અમે અનુરૂપ દ્વારા સમગ્ર સમીકરણનો ગુણાકાર કરીને અપૂર્ણાંકને દૂર કરીએ છીએ

પરિબળ

4. જો x ચોરસ શુદ્ધ હોય, તો તેનો ગુણાંક એક સમાનદ્વારા ઉકેલ સરળતાથી ચકાસી શકાય છે

હું આશા રાખું છું કે આ લેખનો અભ્યાસ કર્યા પછી તમે શીખી શકશો કે સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ કેવી રીતે શોધવું.

ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને, અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે, અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તમને "અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા" લેખમાં મળશે.

કયા ચતુર્ભુજ સમીકરણોને પૂર્ણ કહેવામાં આવે છે? આ ફોર્મ ax 2 + b x + c = 0 ના સમીકરણો, જ્યાં a, b અને c ગુણાંક શૂન્યની બરાબર નથી. તેથી, સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે, આપણે ભેદભાવ D ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

D = b 2 – 4ac.

ભેદભાવ કરનારની કિંમતના આધારે, અમે જવાબ લખીશું.

જો ભેદભાવ કરનાર નકારાત્મક સંખ્યા છે (D< 0),то корней нет.

જો ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય બરાબર, પછી x = (-b)/2a. જ્યારે ભેદભાવ ધન સંખ્યા (D > 0) હોય,

પછી x 1 = (-b - √D)/2a, અને x 2 = (-b + √D)/2a.

દાખ્લા તરીકે. સમીકરણ ઉકેલો x 2- 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

જવાબ: 2.

સમીકરણ 2 ઉકેલો x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

જવાબ: કોઈ મૂળ નથી.

સમીકરણ 2 ઉકેલો x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

જવાબ: – 3.5; 1.

તો ચાલો આકૃતિ 1 માં આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉકેલની કલ્પના કરીએ.

આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તમે કોઈપણ સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલી શકો છો. તમારે ફક્ત સાવચેત રહેવાની જરૂર છે સમીકરણ બહુપદી તરીકે લખવામાં આવ્યું હતું પ્રમાણભૂત દૃશ્ય

એ x 2 + bx + c,અન્યથા તમે ભૂલ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x + 3 + 2x 2 = 0 લખવામાં, તમે ભૂલથી નક્કી કરી શકો છો કે

a = 1, b = 3 અને c = 2. પછી

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 અને પછી સમીકરણના બે મૂળ છે. અને આ સાચું નથી. (ઉપરના ઉદાહરણ 2 નો ઉકેલ જુઓ).

તેથી, જો સમીકરણ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદી તરીકે લખાયેલું ન હોય, તો પ્રથમ સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદી તરીકે લખવું આવશ્યક છે (સાથે એકપદી ઉચ્ચતમ સૂચકડિગ્રી, એટલે કે એ x 2 , પછી ઓછા સાથે – bxઅને પછી મફત સભ્ય સાથે.

જ્યારે ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ અને બીજા ટર્મમાં એક સમાન ગુણાંક સાથેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો, ત્યારે તમે અન્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો. ચાલો આ સૂત્રોથી પરિચિત થઈએ. જો સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બીજા પદનો સમાન ગુણાંક (b = 2k) હોય, તો તમે આકૃતિ 2 માં આકૃતિમાં બતાવેલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલી શકો છો.

જો ગુણાંક પર હોય તો સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઘટાડેલું કહેવામાં આવે છે x 2 એક સમાન છે અને સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે x 2 + px + q = 0. આવા સમીકરણ ઉકેલ માટે આપી શકાય છે, અથવા તે સમીકરણના તમામ ગુણાંકને ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરીને મેળવી શકાય છે. એ, પર ઊભા x 2 .

આકૃતિ 3 ઘટાડેલા ચોરસને ઉકેલવા માટેનું આકૃતિ બતાવે છે
સમીકરણો ચાલો આ લેખમાં ચર્ચા કરેલ સૂત્રોના ઉપયોગનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો

3x 2 + 6x – 6 = 0.

ચાલો આકૃતિ 1 માં આકૃતિમાં બતાવેલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણ ઉકેલીએ.

ડી = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

જવાબ: –1 – √3; –1 + √3

તમે આ સમીકરણમાં x નો ગુણાંક જોઈ શકો છો બેકી સંખ્યા, એટલે કે, b = 6 અથવા b = 2k, જ્યાંથી k = 3. પછી ચાલો આકૃતિ D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 આકૃતિના આકૃતિમાં આપેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરીએ. = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

જવાબ: –1 – √3; –1 + √3. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાંના તમામ ગુણાંકો 3 વડે વિભાજ્ય છે તેની નોંધ લેતા અને ભાગાકાર કરવાથી, આપણને ઘટેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 + 2x – 2 = 0 મળે છે.
સમીકરણો આકૃતિ 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

જવાબ: –1 – √3; –1 + √3.

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, આ સમીકરણ દ્વારા હલ કરતી વખતે વિવિધ સૂત્રોઅમને એ જ જવાબ મળ્યો. તેથી, આકૃતિ 1 માં આકૃતિમાં બતાવેલ સૂત્રોમાં સંપૂર્ણ રીતે નિપુણતા પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તમે હંમેશા કોઈપણ સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને હલ કરવામાં સમર્થ હશો.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી હોય, ત્યારે સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

હું આશા રાખું છું કે આ લેખનો અભ્યાસ કર્યા પછી તમે શીખી શકશો કે સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ કેવી રીતે શોધવું.

ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને, અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે, અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તમને "અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા" લેખમાં મળશે.

કયા ચતુર્ભુજ સમીકરણોને પૂર્ણ કહેવામાં આવે છે? આ ફોર્મ ax 2 + b x + c = 0 ના સમીકરણો, જ્યાં a, b અને c ગુણાંક શૂન્યની બરાબર નથી. તેથી, સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે, આપણે ભેદભાવ D ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

D = b 2 – 4ac.

ભેદભાવ કરનારની કિંમતના આધારે, અમે જવાબ લખીશું.

જો ભેદભાવ કરનાર નકારાત્મક સંખ્યા છે (D< 0),то корней нет.

જો ભેદભાવ શૂન્ય હોય, તો x = (-b)/2a. જ્યારે ભેદભાવ હકારાત્મક સંખ્યા (D > 0) હોય છે,

પછી x 1 = (-b - √D)/2a, અને x 2 = (-b + √D)/2a.

દાખ્લા તરીકે. સમીકરણ ઉકેલો x 2- 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

જવાબ: 2.

સમીકરણ 2 ઉકેલો x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

જવાબ: કોઈ મૂળ નથી.

સમીકરણ 2 ઉકેલો x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

જવાબ: – 3.5; 1.

તો ચાલો આકૃતિ 1 માં આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉકેલની કલ્પના કરીએ.

આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તમે કોઈપણ સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલી શકો છો. તમારે ફક્ત સાવચેત રહેવાની જરૂર છે સમીકરણ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદી તરીકે લખવામાં આવ્યું હતું

એ x 2 + bx + c,અન્યથા તમે ભૂલ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x + 3 + 2x 2 = 0 લખવામાં, તમે ભૂલથી નક્કી કરી શકો છો કે

a = 1, b = 3 અને c = 2. પછી

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 અને પછી સમીકરણના બે મૂળ છે. અને આ સાચું નથી. (ઉપરના ઉદાહરણ 2 નો ઉકેલ જુઓ).

તેથી, જો સમીકરણ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદી તરીકે લખાયેલું ન હોય, તો પહેલા સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદી તરીકે લખવું જોઈએ (સૌથી મોટા ઘાતાંક સાથેનું એકપદી પ્રથમ આવવું જોઈએ, એટલે કે એ x 2 , પછી ઓછા સાથે – bxઅને પછી મફત સભ્ય સાથે.

જ્યારે ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ અને બીજા ટર્મમાં એક સમાન ગુણાંક સાથેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો, ત્યારે તમે અન્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો. ચાલો આ સૂત્રોથી પરિચિત થઈએ. જો સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બીજા પદનો સમાન ગુણાંક (b = 2k) હોય, તો તમે આકૃતિ 2 માં આકૃતિમાં બતાવેલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલી શકો છો.

જો ગુણાંક પર હોય તો સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઘટાડેલું કહેવામાં આવે છે x 2 એક સમાન છે અને સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે x 2 + px + q = 0. આવા સમીકરણ ઉકેલ માટે આપી શકાય છે, અથવા તે સમીકરણના તમામ ગુણાંકને ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરીને મેળવી શકાય છે. એ, પર ઊભા x 2 .

આકૃતિ 3 ઘટાડેલા ચોરસને ઉકેલવા માટેનું આકૃતિ બતાવે છે
સમીકરણો ચાલો આ લેખમાં ચર્ચા કરેલ સૂત્રોના ઉપયોગનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો

3x 2 + 6x – 6 = 0.

ચાલો આકૃતિ 1 માં આકૃતિમાં બતાવેલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણ ઉકેલીએ.

ડી = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

જવાબ: –1 – √3; –1 + √3

તમે નોંધ કરી શકો છો કે આ સમીકરણમાં x નો ગુણાંક એક સમાન સંખ્યા છે, એટલે કે, b = 6 અથવા b = 2k, જ્યાંથી k = 3 છે. પછી ચાલો આકૃતિ D ના રેખાકૃતિમાં બતાવેલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

જવાબ: –1 – √3; –1 + √3. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાંના તમામ ગુણાંકો 3 વડે વિભાજ્ય છે તેની નોંધ લેતા અને ભાગાકાર કરવાથી, આપણને ઘટેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 + 2x – 2 = 0 મળે છે.
સમીકરણો આકૃતિ 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

જવાબ: –1 – √3; –1 + √3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, વિવિધ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, અમને સમાન જવાબ મળ્યો. તેથી, આકૃતિ 1 માં આકૃતિમાં બતાવેલ સૂત્રોમાં સંપૂર્ણ રીતે નિપુણતા પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તમે હંમેશા કોઈપણ સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને હલ કરવામાં સમર્થ હશો.

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણોતેઓ તેને 8 મા ધોરણમાં અભ્યાસ કરે છે, તેથી અહીં કંઈ જટિલ નથી. તેમને હલ કરવાની ક્ષમતા એકદમ જરૂરી છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ એ ax 2 + bx + c = 0 સ્વરૂપનું સમીકરણ છે, જ્યાં a, b અને c ગુણાંક છે મનસ્વી સંખ્યાઓ, અને a ≠ 0.

ચોક્કસ ઉકેલ પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરતા પહેલા, નોંધ લો કે તમામ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ત્રણ વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1. કોઈ મૂળ નથી;
2. બરાબર એક મૂળ છે;
3. તેઓ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે.

આ છે મહત્વપૂર્ણ તફાવતરેખીય સમીકરણોમાંથી ચતુર્ભુજ સમીકરણો, જ્યાં મૂળ હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે. સમીકરણના કેટલા મૂળ છે તે કેવી રીતે નક્કી કરવું? આ માટે એક અદ્ભુત વસ્તુ છે - ભેદભાવપૂર્ણ.

ભેદભાવ કરનાર

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 આપીએ તો ભેદભાવ ફક્ત D = b 2 − 4ac છે.

તમારે આ સૂત્રને હૃદયથી જાણવાની જરૂર છે. તે ક્યાંથી આવે છે તે હવે મહત્વનું નથી. બીજી વસ્તુ મહત્વપૂર્ણ છે: ભેદભાવની નિશાની દ્વારા તમે નક્કી કરી શકો છો કે ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં કેટલા મૂળ છે. જેમ કે:

1. જો ડી< 0, корней нет;
2. જો D = 0, તો બરાબર એક મૂળ છે;
3. જો D > 0 હોય, તો બે મૂળ હશે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: ભેદભાવ મૂળની સંખ્યા સૂચવે છે, અને તેમના બધા ચિહ્નો પર નહીં, કારણ કે કેટલાક કારણોસર ઘણા લોકો માને છે. ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને તમે બધું જાતે સમજી શકશો:

કાર્ય. ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેટલા મૂળ ધરાવે છે:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણ માટે ગુણાંક લખીએ અને ભેદભાવ શોધીએ:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

તેથી ભેદભાવ હકારાત્મક છે, તેથી સમીકરણના બે અલગ-અલગ મૂળ છે. અમે બીજા સમીકરણનું સમાન રીતે વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

ભેદભાવ નકારાત્મક છે, ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. છેલ્લું સમીકરણ બાકી છે:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

ભેદભાવ શૂન્ય છે - મૂળ એક હશે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે દરેક સમીકરણ માટે ગુણાંક લખવામાં આવ્યા છે. હા, તે લાંબુ છે, હા, તે કંટાળાજનક છે, પરંતુ તમે મતભેદને મિશ્રિત કરશો નહીં અને મૂર્ખ ભૂલો કરશો નહીં. તમારા માટે પસંદ કરો: ઝડપ અથવા ગુણવત્તા.

માર્ગ દ્વારા, જો તમને તે અટકી જાય, તો થોડા સમય પછી તમારે બધા ગુણાંક લખવાની જરૂર રહેશે નહીં. તમે તમારા માથામાં આવા ઓપરેશન કરશો. મોટાભાગના લોકો 50-70 ઉકેલી સમીકરણો પછી ક્યાંક આ કરવાનું શરૂ કરે છે - સામાન્ય રીતે, એટલું નહીં.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ

હવે ચાલો ઉકેલ તરફ જ આગળ વધીએ. જો ભેદભાવ D > 0 હોય, તો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધી શકાય છે:

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે મૂળભૂત સૂત્ર

જ્યારે D = 0, તમે આમાંથી કોઈપણ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરી શકો છો - તમને તે જ નંબર મળશે, જે જવાબ હશે. છેવટે, જો ડી< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

પ્રથમ સમીકરણ:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે. ચાલો તેમને શોધીએ:

બીજું સમીકરણ:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ સમીકરણ ફરીથી બે મૂળ ધરાવે છે. ચાલો તેમને શોધીએ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

છેલ્લે, ત્રીજું સમીકરણ:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ સમીકરણ એક મૂળ ધરાવે છે. કોઈપણ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ:

જેમ તમે ઉદાહરણોમાંથી જોઈ શકો છો, બધું ખૂબ સરળ છે. જો તમે સૂત્રો જાણો છો અને ગણતરી કરી શકો છો, તો કોઈ સમસ્યા રહેશે નહીં. મોટાભાગે, સૂત્રમાં નકારાત્મક ગુણાંકને સ્થાનાંતરિત કરતી વખતે ભૂલો થાય છે. અહીં ફરીથી, ઉપર વર્ણવેલ તકનીક મદદ કરશે: સૂત્રને શાબ્દિક રીતે જુઓ, દરેક પગલું લખો - અને ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તમે ભૂલોથી છુટકારો મેળવશો.

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો

એવું બને છે કે ચતુર્ભુજ સમીકરણ વ્યાખ્યામાં આપેલ કરતાં થોડું અલગ છે. દાખ્લા તરીકે:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

તે નોંધવું સરળ છે કે આ સમીકરણોમાં એક પદ ખૂટે છે. આવા ચતુર્ભુજ સમીકરણો પ્રમાણભૂત સમીકરણો કરતાં ઉકેલવા માટે પણ સરળ છે: તેમને ભેદભાવની ગણતરી કરવાની પણ જરૂર નથી. તેથી, ચાલો એક નવો ખ્યાલ રજૂ કરીએ:

સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 એ અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છે જો b = 0 અથવા c = 0, એટલે કે. ચલ x અથવા મુક્ત તત્વનો ગુણાંક શૂન્યની બરાબર છે.

અલબત્ત, જ્યારે આ બંને ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય ત્યારે ખૂબ જ મુશ્કેલ કેસ શક્ય છે: b = c = 0. આ કિસ્સામાં, સમીકરણ ax 2 = 0 સ્વરૂપ લે છે. દેખીતી રીતે, આવા સમીકરણમાં એક જ મૂળ હોય છે: x = 0.

ચાલો બાકીના કેસોને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો b = 0, પછી આપણે ફોર્મ ax 2 + c = 0 નું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ. ચાલો તેને થોડું રૂપાંતર કરીએ:

અંકગણિત થી વર્ગમૂળથી જ અસ્તિત્વમાં છે બિન-નકારાત્મક સંખ્યા, છેલ્લી સમાનતા માત્ર (−c /a) ≥ 0 માટે અર્થપૂર્ણ છે. નિષ્કર્ષ:

1. જો ફોર્મ ax 2 + c = 0 ના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં અસમાનતા (−c /a) ≥ 0 સંતોષાય છે, તો ત્યાં બે મૂળ હશે. સૂત્ર ઉપર આપેલ છે;
2. જો (−c /a)< 0, корней нет.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ભેદભાવની જરૂર ન હતી - અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં ત્યાં કોઈ નથી જટિલ ગણતરીઓ. વાસ્તવમાં, અસમાનતા (−c /a) ≥ 0 યાદ રાખવાની પણ જરૂર નથી. તે x 2 ને વ્યક્ત કરવા અને સમાન ચિહ્નની બીજી બાજુ શું છે તે જોવા માટે પૂરતું છે. જો ત્યાં ધન સંખ્યા છે, તો બે મૂળ હશે. જો તે નકારાત્મક છે, તો ત્યાં કોઈ મૂળ હશે નહીં.

હવે ચાલો ફોર્મ ax 2 + bx = 0 ના સમીકરણો જોઈએ, જેમાં મુક્ત તત્વ શૂન્ય બરાબર છે. અહીં બધું સરળ છે: ત્યાં હંમેશા બે મૂળ હશે. તે બહુપદીને પરિબળ કરવા માટે પૂરતું છે:

જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય હોય ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્ય હોય છે. આ તે છે જ્યાંથી મૂળ આવે છે. નિષ્કર્ષમાં, ચાલો આમાંના કેટલાક સમીકરણો જોઈએ:

કાર્ય. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલો:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. ત્યાં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે ચોરસ નકારાત્મક સંખ્યાની બરાબર ન હોઈ શકે.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.