1લા અને 2જા પ્રકારના વક્રીય સમીકરણોનો ઉપયોગ. કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી: સિદ્ધાંત અને ઉદાહરણો

વ્યાખ્યાન 5 1 લી અને 2 જી પ્રકારના વક્રીકૃત અવિભાજ્ય, તેમના ગુણધર્મો..

વળાંક સમૂહ સમસ્યા. 1 લી પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન.

વળાંક સમૂહ સમસ્યા.પીસવાઇઝ સ્મૂથ મટિરિયલ વળાંકના દરેક બિંદુએ L: (AB) તેની ઘનતા સ્પષ્ટ કરીએ. વળાંકનો સમૂહ નક્કી કરો.

ચાલો આપણે એ જ રીતે આગળ વધીએ જે રીતે આપણે સપાટ પ્રદેશનું દળ નક્કી કરતી વખતે કર્યું હતું ( ડબલ અભિન્ન) અને અવકાશી શરીર (ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ).

1. અમે ચાપ પ્રદેશ L ના વિભાજનને તત્વોમાં ગોઠવીએ છીએ - પ્રાથમિક ચાપ જેથી આ તત્વો સામાન્ય ન હોય આંતરિક બિંદુઓઅને( શરત એ )

3. અવિભાજ્ય સરવાળો બનાવો , ચાપની લંબાઈ ક્યાં છે (સામાન્ય રીતે ચાપ અને તેની લંબાઈ માટે સમાન સંકેત રજૂ કરવામાં આવે છે). આ - અંદાજિત મૂલ્યસમૂહ વળાંક. સરળીકરણ એ છે કે અમે ચાપની ઘનતા દરેક તત્વ પર સ્થિર હોવાનું માની લીધું અને અંતિમ સંખ્યાતત્વો

પૂરી પાડવામાં આવેલ મર્યાદા પર ખસેડવું (શરત B ), અમે અવિભાજ્ય સરવાળોની મર્યાદા તરીકે પ્રથમ પ્રકારનું વક્રીકૃત પૂર્ણાંક મેળવીએ છીએ:

.

અસ્તિત્વ પ્રમેય.

વિધેયને પીસવાઇઝ સ્મૂધ ચાપ L પર સતત રહેવા દો. પછી અવિભાજ્ય સરવાળોની મર્યાદા તરીકે પ્રથમ પ્રકારની એક રેખા અવિભાજ્ય અસ્તિત્વમાં છે.

ટિપ્પણી.આ મર્યાદા તેના પર નિર્ભર નથી

પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગના ગુણધર્મો.

1. રેખીયતા
એ) સુપરપોઝિશન પ્રોપર્ટી

b) એકરૂપતાની મિલકત .

પુરાવો. ચાલો સમાનતાઓની ડાબી બાજુએ અવિભાજ્ય માટેના અવિભાજ્ય સરવાળો લખીએ. અવિભાજ્ય સરવાળો મર્યાદિત સંખ્યામાં પદો ધરાવે છે, તેથી આપણે સમાનતાઓની જમણી બાજુઓ માટે અવિભાજ્ય સરવાળો તરફ આગળ વધીએ છીએ. પછી આપણે મર્યાદામાં પસાર થઈએ છીએ, સમાનતામાં મર્યાદા સુધી પસાર થવા પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવીએ છીએ.

2. ઉમેરણ.
જો , તે = +

3. અહીં આર્ક લંબાઈ છે.

4. જો અસમાનતા ચાપ પર સંતુષ્ટ છે, તો પછી

પુરાવો. ચાલો આપણે અવિભાજ્ય રકમો માટે અસમાનતા લખીએ અને મર્યાદા તરફ આગળ વધીએ.

નોંધ કરો કે, ખાસ કરીને, તે શક્ય છે

5. અંદાજ પ્રમેય.

જો ત્યાં સ્થિરાંકો છે, તો પછી

પુરાવો. એકીકૃત અસમાનતા (સંપત્તિ 4), આપણને મળે છે . ગુણધર્મ 1 દ્વારા, અવિભાજ્યમાંથી સ્થિરાંકો દૂર કરી શકાય છે. પ્રોપર્ટી 3 નો ઉપયોગ કરીને, અમે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવીએ છીએ.

6. સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય(અવિભાજ્યનું મૂલ્ય).

એક બિંદુ છે , શું

પુરાવો. કાર્ય બંધ પર સતત હોવાથી મર્યાદિત સમૂહ, પછી તે અસ્તિત્વમાં છે નીચેની ધાર અને ટોચની ધાર . અસમાનતા સંતોષાય છે. બંને બાજુઓને L વડે ભાગતા, આપણને મળે છે . પરંતુ નંબર કાર્યના નીચલા અને ઉપલા સીમાઓ વચ્ચે બંધાયેલ છે. બંધ બાઉન્ડેડ સેટ L પર ફંક્શન સતત હોવાથી, પછી અમુક સમયે ફંક્શને આ મૂલ્ય લેવું આવશ્યક છે. આથી, .

પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી.

ચાલો ચાપ Lનું પરિમાણ કરીએ: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). ચાલો t 0 બિંદુ A ને અનુલક્ષે, અને t 1 બિંદુ B ને અનુરૂપ. પછી પ્રથમ પ્રકારની રેખા અવિભાજ્ય ઘટે છે ચોક્કસ અભિન્ન (- ચાપની લંબાઈના તફાવતની ગણતરી કરવા માટે 1લા સેમેસ્ટરથી જાણીતું સૂત્ર):

ઉદાહરણ.સજાતીય (k સમાન ઘનતા) હેલિક્સના એક વળાંકના સમૂહની ગણતરી કરો: .

2જા પ્રકારનું કર્વિલિનિયર ઇન્ટિગ્રલ.

બળના કામની સમસ્યા.

1. અમે પ્રદેશ-આર્ક AB ના વિભાજનને તત્વો - પ્રાથમિક ચાપમાં ગોઠવીએ છીએ જેથી આ તત્વોમાં સામાન્ય આંતરિક બિંદુઓ ન હોય અને( શરત એ )

2. ચાલો પાર્ટીશનના તત્વો પર "ચિહ્નિત બિંદુઓ" M i ને ચિહ્નિત કરીએ અને તેમાં ફંક્શનની કિંમતોની ગણતરી કરીએ

3. ચાલો અવિભાજ્ય સરવાળો બનાવીએ , જ્યાં વેક્ટર -આર્કને સબટેન્ડ કરતી તાર સાથે નિર્દેશિત થાય છે.

4. પૂરી પાડવામાં આવેલ મર્યાદા પર જવું (શરત B ), અમે અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા (અને બળના કાર્ય) તરીકે બીજા પ્રકારનું વક્રીકૃત અવિભાજ્ય પ્રાપ્ત કરીએ છીએ:

. ઘણીવાર સૂચવવામાં આવે છે

અસ્તિત્વ પ્રમેય.

વેક્ટર ફંક્શનને પીસવાઇઝ સ્મૂથ ચાપ L પર સતત રહેવા દો. પછી બીજા પ્રકારનું વક્રીકૃત અવિભાજ્ય અવિભાજ્ય સરવાળોની મર્યાદા તરીકે અસ્તિત્વમાં છે.

.

ટિપ્પણી.આ મર્યાદા તેના પર નિર્ભર નથી

જ્યાં સુધી શરત A સંતુષ્ટ હોય ત્યાં સુધી પાર્ટીશન પસંદ કરવાની પદ્ધતિ

પાર્ટીશન તત્વો પર "ચિહ્નિત બિંદુઓ" પસંદ કરીને,

જ્યાં સુધી શરત B સંતુષ્ટ હોય ત્યાં સુધી પાર્ટીશનને રિફાઇન કરવા માટેની પદ્ધતિ

2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગના ગુણધર્મો.

1. રેખીયતા
એ) સુપરપોઝિશન પ્રોપર્ટી

b) એકરૂપતાની મિલકત .

પુરાવો. ચાલો સમાનતાઓની ડાબી બાજુએ અવિભાજ્ય માટેના અવિભાજ્ય સરવાળો લખીએ. ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અવિભાજ્ય રકમમાં પદોની સંખ્યા મર્યાદિત હોવાથી ડોટ ઉત્પાદન, ચાલો સમાનતાઓની જમણી બાજુઓ માટેના અભિન્ન સરવાળો તરફ આગળ વધીએ. પછી આપણે મર્યાદામાં પસાર થઈએ છીએ, સમાનતામાં મર્યાદા સુધી પસાર થવા પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવીએ છીએ.

2. ઉમેરણ.
જો , તે = + .

પુરાવો. ચાલો પ્રદેશ L નું પાર્ટીશન પસંદ કરીએ જેથી કરીને પાર્ટીશનના કોઈપણ તત્વો (શરૂઆતમાં અને પાર્ટીશનને રિફાઈન કરતી વખતે) એક જ સમયે L 1 અને તત્વો L 2 બંને સમાવે નહીં. આ અસ્તિત્વ પ્રમેય (પ્રમેય પર ટિપ્પણી) નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. આગળ, ફકરા 1 ની જેમ, પુરાવો અભિન્ન રકમ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે.

3. ઓરિએન્ટેબિલિટી.

= -

પુરાવો. ચાપ -L ઉપર અભિન્ન, એટલે કે. વી નકારાત્મક દિશાઆર્કનું ટ્રાવર્સલ એ અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા છે જેની શરતોમાં () છે. સ્કેલર પ્રોડક્ટમાંથી અને મર્યાદિત સંખ્યામાં શરતોના સરવાળામાંથી "માઈનસ" લઈને અને મર્યાદામાં પસાર થવાથી, અમે જરૂરી પરિણામ મેળવીએ છીએ.

સૈદ્ધાંતિક લઘુત્તમ

વક્ર અને સપાટીના અભિન્ન ભાગોઘણીવાર ભૌતિકશાસ્ત્રમાં જોવા મળે છે. તેઓ બે પ્રકારમાં આવે છે, જેમાંથી પ્રથમની અહીં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. આ
ઇન્ટિગ્રલ્સના પ્રકાર અનુસાર બાંધવામાં આવે છે સામાન્ય યોજના, જેના દ્વારા ચોક્કસ, ડબલ અને ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ. ચાલો આ યોજનાને સંક્ષિપ્તમાં યાદ કરીએ.
ત્યાં અમુક ઑબ્જેક્ટ છે જેના પર એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે (એક-પરિમાણીય, દ્વિ-પરિમાણીય અથવા ત્રિ-પરિમાણીય). આ પદાર્થ નાના ભાગોમાં વિભાજિત છે,
દરેક ભાગમાં એક બિંદુ પસંદ થયેલ છે. આ દરેક બિંદુઓ પર, ઇન્ટિગ્રેન્ડની કિંમતની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને તે ભાગના માપ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
સંબંધ ધરાવે છે આપેલ બિંદુ(એક સેગમેન્ટની લંબાઈ, આંશિક પ્રદેશનો વિસ્તાર અથવા વોલ્યુમ). પછી આવા તમામ ઉત્પાદનોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે અને મર્યાદા સંતુષ્ટ થાય છે
ઑબ્જેક્ટને અનંત ભાગોમાં તોડવા માટે સંક્રમણ. પરિણામી મર્યાદાને અભિન્ન કહેવામાં આવે છે.

1. પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની વ્યાખ્યા

ચાલો વળાંક પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. વળાંક સુધારી શકાય તેવું માનવામાં આવે છે. ચાલો યાદ કરીએ કે આનો અર્થ શું છે, આશરે કહીએ તો,
કે મનસ્વી રીતે નાની કડીઓ સાથેની તૂટેલી રેખાને વળાંકમાં અંકિત કરી શકાય છે, અને મર્યાદામાં તે અનંત છે મોટી સંખ્યામાંલિંક્સ, તૂટેલી લાઇનની લંબાઈ રહેવી જોઈએ
અંતિમ વળાંકને લંબાઈના આંશિક ચાપમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને દરેક ચાપ પર એક બિંદુ પસંદ કરવામાં આવે છે. એક કાર્ય સંકલિત કરવામાં આવી રહ્યું છે
બધા આંશિક ચાપ પર સમીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે . પછી મર્યાદા સુધીનો માર્ગ સૌથી મોટી લંબાઈના વલણ સાથે હાથ ધરવામાં આવે છે
આંશિક ચાપથી શૂન્ય સુધી. મર્યાદા એ પ્રથમ પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન અંગ છે
.
આ અભિન્નતાની એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષતા, જે તેની વ્યાખ્યાથી સીધી રીતે અનુસરે છે, તે એકીકરણની દિશાથી તેની સ્વતંત્રતા છે, એટલે કે.
.

2. પ્રથમ પ્રકારની સપાટીના અભિન્ન ભાગની વ્યાખ્યા

સ્મૂથ અથવા પીસવાઈસ સ્મૂથ સપાટી પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યને ધ્યાનમાં લો. સપાટી આંશિક વિસ્તારોમાં વહેંચાયેલી છે
વિસ્તારો સાથે, આવા દરેક ક્ષેત્રમાં એક બિંદુ પસંદ કરવામાં આવે છે. એક કાર્ય સંકલિત કરવામાં આવી રહ્યું છે , સમીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે
તમામ આંશિક વિસ્તારો પર . પછી મર્યાદા સુધીનો માર્ગ તમામ આંશિકમાંથી સૌથી મોટા વ્યાસના વલણ સાથે હાથ ધરવામાં આવે છે
વિસ્તારો શૂન્ય. મર્યાદા એ પ્રથમ પ્રકારની સપાટીનું અભિન્ન અંગ છે
.

3. પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી

પ્રથમ પ્રકારની વક્રીકૃત અભિન્ન ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ તેના ઔપચારિક સંકેતોથી પહેલેથી જ જોઈ શકાય છે, પરંતુ હકીકતમાં તે સીધા જ અનુસરે છે.
વ્યાખ્યાઓ અવિભાજ્ય એક નિશ્ચિત એક સુધી ઘટાડી દેવામાં આવે છે; તમારે ફક્ત વક્રના ચાપના વિભેદકને લખવાની જરૂર છે જેની સાથે એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે.
સાથે શરૂઆત કરીએ સરળ કેસસ્પષ્ટ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ પ્લેન વળાંક સાથે એકીકરણ. આ કિસ્સામાં, આર્ક વિભેદક
.
પછી ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં ચલનો ફેરફાર કરવામાં આવે છે, અને ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ લે છે
,
જ્યાં સેગમેન્ટ વળાંકના તે ભાગ સાથે ચલમાં થતા ફેરફારને અનુરૂપ છે જેની સાથે એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે.

ઘણી વાર વળાંક પેરામેટ્રિક રીતે સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. ફોર્મના સમીકરણો પછી આર્ક વિભેદક
.
આ સૂત્ર ખૂબ જ સરળ રીતે ન્યાયી છે. અનિવાર્યપણે, આ પાયથાગોરિયન પ્રમેય છે. ચાપ વિભેદક વાસ્તવમાં વળાંકના અનંત ભાગની લંબાઈ છે.
જો વળાંક સરળ હોય, તો તેના અનંત ભાગને લંબચોરસ ગણી શકાય. સીધી રેખા માટે આપણી પાસે સંબંધ છે
.
વળાંકની એક નાની ચાપ માટે તેને હાથ ધરવામાં આવે તે માટે, વ્યક્તિએ મર્યાદિત વૃદ્ધિથી ભિન્નતા તરફ આગળ વધવું જોઈએ:
.
જો વળાંક પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત છે, તો પછી તફાવતોની ગણતરી સરળ રીતે કરવામાં આવે છે:
વગેરે
તદનુસાર, ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં ચલોને બદલ્યા પછી, લીટી ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:
,
જ્યાં વળાંકનો ભાગ જેની સાથે એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે તે પેરામીટર ફેરફારના સેગમેન્ટને અનુરૂપ છે.

જ્યારે વક્રમાં ઉલ્લેખિત હોય ત્યારે પરિસ્થિતિ કંઈક વધુ જટિલ છે વક્રીય કોઓર્ડિનેટ્સ. આ મુદ્દાની સામાન્ય રીતે વિભેદક માળખામાં ચર્ચા કરવામાં આવે છે
ભૂમિતિ ચાલો આપેલ વળાંક સાથે અવિભાજ્યની ગણતરી કરવા માટે એક સૂત્ર આપીએ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સસમીકરણ
.
ચાલો ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં ચાપના વિભેદક માટે વાજબીપણું આપીએ. ગ્રીડ બાંધકામની વિગતવાર ચર્ચા ધ્રુવીય સિસ્ટમસંકલન
સેમી. ચાલો ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે સંકલન રેખાઓના સંબંધમાં સ્થિત વળાંકનો એક નાનો ચાપ પસંદ કરીએ. 1. દર્શાવવામાં આવેલ તમામની નાનકડીતાને કારણે
ચાપ ફરીથી આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરી શકીએ છીએ અને લખી શકીએ છીએ:
.
અહીંથી ચાપના વિભેદક માટે ઇચ્છિત અભિવ્યક્તિને અનુસરે છે.

શુદ્ધ સાથે સૈદ્ધાંતિક બિંદુવિઝ્યુઅલ પરિપ્રેક્ષ્યમાં, તે સરળ રીતે સમજવા માટે પૂરતું છે કે પ્રથમ પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન તેના ચોક્કસ કિસ્સામાં ઘટાડવું આવશ્યક છે -
ચોક્કસ અભિન્ન માટે. ખરેખર, વળાંકના પેરામીટરાઇઝેશન દ્વારા નિર્ધારિત ફેરફાર કરીને કે જેની સાથે ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવામાં આવે છે, અમે સ્થાપિત કરીએ છીએ
આપેલ વળાંકના એક ભાગ અને પેરામીટર ફેરફારના સેગમેન્ટ વચ્ચે વન-ટુ-વન મેપિંગ. અને આ અભિન્નતામાં ઘટાડો છે
સાથે સુસંગત સીધી રેખા સાથે સંકલન અક્ષ- એક ચોક્કસ અભિન્ન.

4. પ્રથમ પ્રકારની સપાટીના અભિન્ન ભાગની ગણતરી

પાછલા મુદ્દા પછી, તે સ્પષ્ટ હોવું જોઈએ કે પ્રથમ પ્રકારની સપાટીના અભિન્ન ભાગની ગણતરી કરવાના મુખ્ય ભાગોમાંનું એક સપાટી તત્વ લખવાનું છે,
જેના પર એકીકરણ કરવામાં આવે છે. ફરીથી, ચાલો સ્પષ્ટ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સપાટીના સરળ કેસથી પ્રારંભ કરીએ. પછી
.
ઇન્ટિગ્રેંડમાં અવેજી બનાવવામાં આવે છે, અને સપાટીનું અભિન્ન ઘટાડીને ડબલ કરવામાં આવે છે:
,
પ્લેનનો વિસ્તાર ક્યાં છે જેમાં સપાટીનો ભાગ કે જેના પર એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે તે અનુમાનિત છે.

જો કે, સ્પષ્ટ સમીકરણ દ્વારા સપાટીને વ્યાખ્યાયિત કરવી ઘણીવાર અશક્ય છે, અને પછી તેને પેરામેટ્રિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. ફોર્મના સમીકરણો
.
આ કિસ્સામાં સપાટી તત્વ વધુ જટિલ લખાયેલ છે:
.
સપાટીના અભિન્નને તે મુજબ લખી શકાય છે:
,
સપાટીના ભાગને અનુરૂપ પરિમાણ ફેરફારોની શ્રેણી ક્યાં છે જેના પર એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે.

5. પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અને સપાટીના અભિન્ન અંગોનો ભૌતિક અર્થ

ચર્ચા કરેલ અભિન્ન ભાગો ખૂબ જ સરળ અને સ્પષ્ટ છે ભૌતિક અર્થ. કેટલાક વળાંક હોવા દો જેની રેખીય ઘનતા નથી
સતત, અને બિંદુનું કાર્ય છે . ચાલો આ વળાંકનો સમૂહ શોધીએ. ચાલો વળાંકને ઘણા નાના તત્વોમાં તોડીએ,
જેની અંદર તેની ઘનતા લગભગ સ્થિર ગણી શકાય. જો વળાંકના નાના ટુકડાની લંબાઈ બરાબર હોય, તો તેનું દળ
, વળાંકના પસંદ કરેલા ભાગનો કોઈપણ બિંદુ ક્યાં છે (કોઈપણ, કારણ કે ઘનતા અંદર છે
આ ભાગ લગભગ સતત હોવાનું માનવામાં આવે છે). તદનુસાર, સમગ્ર વળાંકનો સમૂહ તેના વ્યક્તિગત ભાગોના સમૂહનો સરવાળો કરીને મેળવવામાં આવે છે:
.
સમાનતા સચોટ બનવા માટે, વ્યક્તિએ વળાંકને અનંત ભાગોમાં વિભાજીત કરવાની મર્યાદા સુધી જવું જોઈએ, પરંતુ આ પ્રથમ પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન અંગ છે.

જો રેખીય ચાર્જ ઘનતા જાણીતી હોય તો વળાંકના કુલ ચાર્જનો પ્રશ્ન એ જ રીતે ઉકેલવામાં આવે છે .

આ દલીલો સરળતાથી બિનસમાન રીતે ચાર્જ કરેલ સપાટીના કિસ્સામાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે સપાટીની ઘનતાચાર્જ . પછી
સપાટી ચાર્જ એ પ્રથમ પ્રકારની સપાટીનું અભિન્ન અંગ છે
.

નોંધ. પેરામેટ્રિક રીતે વ્યાખ્યાયિત સપાટીના તત્વ માટે એક બોજારૂપ સૂત્ર યાદ રાખવું અસુવિધાજનક છે. અન્ય અભિવ્યક્તિ વિભેદક ભૂમિતિમાં મેળવવામાં આવે છે,
તે કહેવાતા ઉપયોગ કરે છે પ્રથમ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપસપાટીઓ

પ્રથમ પ્રકારના વક્રીકૃત અવિભાજ્યની ગણતરીના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1. એક રેખા સાથે અભિન્ન.
ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

બિંદુઓમાંથી પસાર થતા રેખાખંડ સાથે અને .

પ્રથમ, અમે સીધી રેખાનું સમીકરણ લખીએ છીએ જેની સાથે એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે: . ચાલો આ માટે અભિવ્યક્તિ શોધીએ:
.
અમે અભિન્ન ગણતરી કરીએ છીએ:

ઉદાહરણ 2. પ્લેનમાં વળાંક સાથે ઇન્ટિગ્રલ.
ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

પોઈન્ટથી પોઈન્ટ સુધી પેરાબોલા ચાપ સાથે.

સેટપોઇન્ટ્સઅને તમને પેરાબોલાના સમીકરણમાંથી ચલ વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે: .

અમે અભિન્ન ગણતરી કરીએ છીએ:
.

જો કે, ચલના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલા સમીકરણ દ્વારા વળાંક આપવામાં આવે છે તે હકીકતનો લાભ લઈને, બીજી રીતે ગણતરીઓ હાથ ધરવાનું શક્ય હતું.
જો આપણે પરિમાણ તરીકે ચલ લઈએ, તો આ તરફ દોરી જશે નાનો ફેરફારઆર્ક વિભેદક માટે અભિવ્યક્તિઓ:
.
તદનુસાર, અભિન્ન સહેજ બદલાશે:
.
આ અવિભાજ્યને વિભેદક હેઠળના ચલને બદલીને સરળતાથી ગણતરી કરવામાં આવે છે. પરિણામ પ્રથમ ગણતરી પદ્ધતિની જેમ જ અભિન્ન છે.

ઉદાહરણ 3. પ્લેનમાં વળાંક સાથે ઇન્ટિગ્રલ (પેરામેટ્રિઝેશનનો ઉપયોગ કરીને).
ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

વર્તુળના ઉપરના અડધા ભાગ સાથે .

તમે, અલબત્ત, વર્તુળના સમીકરણમાંથી એક ચલને વ્યક્ત કરી શકો છો, અને પછી બાકીની ગણતરીઓ પ્રમાણભૂત રીતે કરી શકો છો. પરંતુ તમે પણ ઉપયોગ કરી શકો છો
પેરામેટ્રિક વળાંક સ્પષ્ટીકરણ. જેમ તમે જાણો છો, વર્તુળને સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઉપલા અર્ધવર્તુળ
અંદર પરિમાણમાં ફેરફારને અનુરૂપ છે. ચાલો આર્ક વિભેદકની ગણતરી કરીએ:
.
આમ,

ઉદાહરણ 4. ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં ઉલ્લેખિત પ્લેન પરના વળાંક સાથે ઇન્ટિગ્રલ.
ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

લેમ્નિસ્કેટના જમણા લોબ સાથે .

ઉપરનું ડ્રોઇંગ લેમ્નિસ્કેટ દર્શાવે છે. એકીકરણ તેના જમણા લોબ સાથે હાથ ધરવામાં આવશ્યક છે. ચાલો વળાંક માટે આર્ક વિભેદક શોધીએ :
.
આગળનું પગલું ધ્રુવીય કોણ પર એકીકરણની મર્યાદા નક્કી કરવાનું છે. તે સ્પષ્ટ છે કે અસમાનતા સંતુષ્ટ હોવી જ જોઈએ, અને તેથી
.
અમે અભિન્ન ગણતરી કરીએ છીએ:

ઉદાહરણ 5. અવકાશમાં વળાંક સાથે અભિન્ન.
ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

પરિમાણ પરિવર્તનની મર્યાદાને અનુરૂપ હેલિક્સના વળાંક સાથે

પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરેલ વળાંક AB ને સરળ કહેવામાં આવે છે જો ફંક્શન્સ હોય અને સેગમેન્ટ પર સતત ડેરિવેટિવ્સ હોય, અને જો સેગમેન્ટ પર મર્યાદિત સંખ્યામાં બિંદુઓ પર આ ડેરિવેટિવ્સ અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા એક સાથે અદૃશ્ય થઈ જાય, તો વળાંકને પીસવાઈઝ સ્મૂધ કહેવામાં આવે છે. AB ને સપાટ વળાંક, સ્મૂથ અથવા પીસવાઇઝ સ્મૂથ થવા દો. ચાલો f(M) એ વળાંક AB પર અથવા આ વળાંક ધરાવતા અમુક ડોમેન Dમાં વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે. ચાલો બિંદુઓ દ્વારા ભાગોમાં વળાંક A B ના વિભાજનને ધ્યાનમાં લઈએ (ફિગ. 1). દરેક ચાપ પર આપણે A^At+i પસંદ કરીએ છીએ મનસ્વી બિંદુ Mk અને એક સરવાળો બનાવો જ્યાં Alt એ ચાપની લંબાઈ હોય અને તેને વળાંકની ચાપની લંબાઈ પર ફંક્શન f(M) માટેનો અભિન્ન સરવાળો કહો. આંશિક ચાપની લંબાઈમાં D/ને સૌથી મોટો ગણવા દો, એટલે કે અવકાશ વણાંકો માટે 1 લી પ્રકારના વક્રીલીયન ઇન્ટિગ્રલ્સના પ્રોપર્ટીઝ, 2 જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલ્સ વ્યાખ્યાઓ વચ્ચે વક્રીકૃત ઇન્ટિગ્રલ પ્રોપર્ટીઝ રિલેશનશિપની ગણતરી. જો અભિન્ન રકમ પર (I) હોય અંતિમ મર્યાદા , જે કર્વ AB ને ભાગોમાં વિભાજિત કરવાની પદ્ધતિ પર અથવા પાર્ટીશનના દરેક ચાપ પરના બિંદુઓની પસંદગી પર આધારિત નથી, તો પછી આ મર્યાદાને \th પ્રકારના ફંક્શન f(નું વક્રીકૃત અભિન્ન કહેવામાં આવે છે. M) વળાંક AB (વળાંકની ચાપની લંબાઈ પર અવિભાજ્ય) ની સાથે અને આ કિસ્સામાં, કાર્ય /(M) એ વળાંક ABU ની સમોચ્ચ સાથે સંકલિત હોવાનું કહેવાય છે; એકીકરણ, A એ પ્રારંભિક બિંદુ છે, B એ એકીકરણનો અંતિમ બિંદુ છે. આમ, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ઉદાહરણ 1. ચલ રેખીય ઘનતા J(M) સાથેના સમૂહને કેટલાક સરળ વળાંક L સાથે વિતરિત કરવા દો. વળાંક L નો સમૂહ m શોધો. (2) ચાલો વળાંક L ને n મનસ્વી ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ) અને દરેક ભાગના લગભગ દળની ગણતરી કરીએ, એમ ધારીને કે દરેક ભાગ પર ઘનતા સ્થિર છે અને તેના કોઈપણ બિંદુઓ પર ઘનતા સમાન છે. , ઉદાહરણ તરીકે, અત્યંત ડાબા બિંદુ પર /(Af*). પછી સરવાળો ksh જ્યાં D/d એ Dth ભાગની લંબાઈ છે, તે સામૂહિક m નું અંદાજિત મૂલ્ય હશે તે સ્પષ્ટ છે કે વળાંક Lનું વિભાજન જેટલું નાનું હશે, તેટલું ઓછું આપણે ચોક્કસ મૂલ્ય મેળવીશું સમગ્ર વળાંક Lનો સમૂહ, એટલે કે. જો 0 એ AB વળાંક પર હોય, તો 5. જો ફંક્શન એબી વળાંક પર અવિભાજ્ય હોય, તો ફંક્શન || A B પર પણ એકીકૃત છે, અને તે જ સમયે b. સરેરાશ સૂત્ર. જો ફંક્શન / એ વળાંક AB સાથે સતત હોય, તો આ વળાંક પર એક બિંદુ Mc છે કે જ્યાં L એ વળાંક AB ની લંબાઈ છે. 1.3. 1લા પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગની ગણતરી ચાલો વક્ર AB ને પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે, જેમાં બિંદુ A ને t = to, અને બિંદુ B મૂલ્યને અનુરૂપ હોય. અમે ધારીશું કે ફંક્શન્સ) તેમના ડેરિવેટિવ્સ સાથે સતત ચાલુ છે અને અસમાનતા સંતુષ્ટ છે પછી સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે ખાસ કરીને, જો વક્ર AB સતત છે [a, b] પર વિભેદક અને બિંદુ A મૂલ્ય x = a, અને બિંદુ B - મૂલ્ય x = 6, પછી, x ને પરિમાણ તરીકે લેતા, આપણને 1.4 મળે છે. અવકાશી વળાંકો માટે 1લા પ્રકારના વક્રીલિનીય અભિન્ન 1લા પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન ની વ્યાખ્યા, ઉપર સમતલ વળાંક માટે ઘડવામાં આવી છે, જ્યારે ફંક્શન f(M) અમુક અવકાશી વળાંક AB સાથે આપવામાં આવે છે ત્યારે તેને શાબ્દિક રીતે કેસમાં લઈ જવામાં આવે છે. વક્ર AB ને પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે, અવકાશી વણાંકો માટે 1 લી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલના ગુણધર્મ 2 જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલ વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો. નીચેના સૂત્ર: ઉદાહરણ 2. વક્રીકૃત અભિન્નની ગણતરી કરો જ્યાં L એ બિંદુ પર શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણનો સમોચ્ચ છે* (ફિગ. 3). એડિટિવિટીના ગુણધર્મ દ્વારા આપણી પાસે છે ચાલો આપણે દરેક અવિભાજ્યની અલગથી ગણતરી કરીએ. OA સેગમેન્ટ પર આપણી પાસે છે: , પછી સેગમેન્ટ AN પર આપણી પાસે છે, ક્યાં અને પછી ફિગ. છેલ્લે, તેથી, નોંધ. ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી કરતી વખતે, અમે પ્રોપર્ટી 1 નો ઉપયોગ કર્યો, જે મુજબ. 2જી પ્રકારના વક્રીલીયર ઇન્ટિગ્રલ્સ A B ને xOy પ્લેન પર એક સરળ અથવા પીસવાઇઝ સરળ લક્ષી વળાંક બનવા દો અને વળાંક AB ધરાવતા અમુક ડોમેન Dમાં વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર ફંક્શન તરીકે દો. ચાલો વળાંક AB ને એવા ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ આપણે અનુક્રમે (ફિગ. 4) દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. દરેક પ્રાથમિક ચાપ AkAk+\ પર આપણે એક આર્બિટરી પોઈન્ટ લઈએ છીએ અને D/ ને સૌથી મોટી વ્યાખ્યાની લંબાઈ બનાવીએ છીએ. જો સરવાળા (1) પાસે એક મર્યાદિત મર્યાદા હોય જે પ્રાથમિક ચાપ પર વળાંક AB ને વિભાજન કરવાની પદ્ધતિ અથવા બિંદુઓ rjk)ની પસંદગી પર આધારિત નથી, તો આ મર્યાદાને વેક્ટરના 2-શહેરની વક્રીકૃત અભિન્ન કહેવામાં આવે છે. વક્ર AB ની સાથે કાર્ય કરે છે અને ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે તેથી વ્યાખ્યા પ્રમેય 2 દ્વારા. જો અમુક ડોમેન D જેમાં વળાંક AB હોય છે, કાર્યો સતત હોય, તો 2-શહેરનું વક્રીકૃત અભિન્ન અસ્તિત્વ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ચાલો બિંદુ M(x, y) ના ત્રિજ્યા વેક્ટર હોઈએ. પછી સૂત્ર (2) માં ઇન્ટિગ્રેન્ડને વેક્ટર F(M) અને drના સ્કેલર ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. તેથી વક્ર AB ની સાથે વેક્ટર ફંક્શનના 2જા પ્રકારનું અવિભાજ્ય સંક્ષિપ્તમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: 2.1. 2જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી ચાલો વક્ર AB ને પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ, જ્યાં વિધેયો સેગમેન્ટ પરના ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે સતત હોય છે, અને t0 થી t\ માં પરિમાણમાં ફેરફાર a ની ગતિને અનુરૂપ છે. બિંદુ A થી બિંદુ B સુધીના વળાંક AB સાથે. 2જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલને પણ ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરીમાં ઘટાડી શકાય છે. О) ઉદાહરણ 1. બિંદુઓને જોડતા સીધી રેખા ખંડ સાથે અવિભાજ્યની ગણતરી કરો 2) સમાન બિંદુઓને જોડતા પેરાબોલા સાથે) રેખા પરિમાણનું સમીકરણ, જ્યાંથી તેથી 2) રેખા AB નું સમીકરણ: તેથી માનવામાં આવેલું ઉદાહરણ અભિષેક કરે છે કે મૂલ્ય 2જી પ્રકારનું વળાંક અભિન્ન, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એકીકરણ પાથના આકાર પર આધાર રાખે છે. 2.2. 2જી પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગના ગુણધર્મો 1. રેખીયતા. જો સ્પેસ કર્વ માટે 1લા પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની પ્રોપર્ટીઝ હોય તો 2જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી વક્રીકૃત ઇન્ટિગ્રલ પ્રોપર્ટીઝની ગણતરી પછી કોઈપણ વાસ્તવિક a અને /5 માટે એક ઇન્ટિગ્રલ હોય છે જ્યાં 2. Additenost. જો વળાંક AB ને ભાગો AC અને SB માં વિભાજિત કરવામાં આવે અને એક વક્રીકૃત અવિભાજ્ય અસ્તિત્વ ધરાવે છે, તો પૂર્ણાંકો પણ અસ્તિત્વમાં છે બળ ક્ષેત્રચોક્કસ પાથ સાથે F: જ્યારે વળાંક સાથેની હિલચાલની દિશા બદલાય છે, ત્યારે આ વળાંક સાથેના બળ ક્ષેત્રનું કાર્ય વિપરીત ચિહ્નને બદલે છે. 2.3. 1 લી અને 2 જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલ વચ્ચેનો સંબંધ 2 જી પ્રકારના વક્રીલીનિયર ઇન્ટિગ્રલને ધ્યાનમાં લો જ્યાં ઓરિએન્ટેડ કર્વ AB (A - પ્રારંભિક બિંદુ, માં - અંતિમ બિંદુ) વેક્ટર સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે (અહીં I એ વળાંકની લંબાઈ છે, જે દિશામાં AB વળાંક લક્ષી છે તે દિશામાં માપવામાં આવે છે) (ફિગ. 6). પછી dr અથવા જ્યાં r = m(1) - એકમ વેક્ટરબિંદુ M(1) પર વળાંક AB ની સ્પર્શક. પછી નોંધ કરો કે આ સૂત્રમાં છેલ્લું અવિભાજ્ય એ 1લા પ્રકારનું વક્રીકૃત અભિન્ન અંગ છે. જ્યારે વળાંક AB નું ઓરિએન્ટેશન બદલાય છે, ત્યારે સ્પર્શક r ના એકમ વેક્ટરને વિરોધી વેક્ટર (-r) દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે તેના ચિહ્નમાં ફેરફાર કરે છે. એકીકરણઅને, તેથી, અવિભાજ્યની નિશાની.

વળાંક સમૂહ સમસ્યા.પીસવાઇઝ સ્મૂથ મટિરિયલ વળાંકના દરેક બિંદુએ L: (AB) તેની ઘનતા સ્પષ્ટ કરીએ. વળાંકનો સમૂહ નક્કી કરો.

ચાલો આપણે એ જ રીતે આગળ વધીએ જે રીતે આપણે સપાટ પ્રદેશ (ડબલ ઇન્ટિગ્રલ) અને અવકાશી શરીર (ટ્રિપલ ઇન્ટિગ્રલ) નું દળ નક્કી કરતી વખતે કર્યું હતું.

1. અમે એરિયા-આર્ક એલના વિભાજનને તત્વોમાં ગોઠવીએ છીએ - પ્રાથમિક ચાપ જેથી આ તત્વોમાં સામાન્ય આંતરિક બિંદુઓ ન હોય અને
(શરત એ )

2. ચાલો પાર્ટીશનના તત્વો પર "ચિહ્નિત બિંદુઓ" M i ને ચિહ્નિત કરીએ અને તેમાં ફંક્શનની કિંમતોની ગણતરી કરીએ

3. ચાલો અવિભાજ્ય સરવાળો બનાવીએ
, ક્યાં - ચાપ લંબાઈ (સામાન્ય રીતે આર્ક અને તેની લંબાઈ માટે સમાન સંકેતો રજૂ કરવામાં આવે છે). આ વળાંકના સમૂહ માટે અંદાજિત મૂલ્ય છે. સરળીકરણ એ છે કે અમે ચાપની ઘનતા દરેક તત્વ પર સ્થિર હોવાનું માની લીધું અને ઘટકોની મર્યાદિત સંખ્યા લીધી.

પૂરી પાડવામાં આવેલ મર્યાદા પર ખસેડવું
(શરત B ), અમે અવિભાજ્ય સરવાળોની મર્યાદા તરીકે પ્રથમ પ્રકારનું વક્રીકૃત પૂર્ણાંક મેળવીએ છીએ:

.

અસ્તિત્વ પ્રમેય 10 .

કાર્ય કરવા દો
એક પીસવાઇઝ સ્મૂધ ચાપ L 11 પર સતત છે. પછી અવિભાજ્ય સરવાળોની મર્યાદા તરીકે પ્રથમ પ્રકારની રેખા અવિભાજ્ય અસ્તિત્વમાં છે.

ટિપ્પણી.આ મર્યાદા તેના પર નિર્ભર નથી

પાર્ટીશન પસંદ કરવા માટેની પદ્ધતિ, જ્યાં સુધી શરત A સંતુષ્ટ છે

પાર્ટીશન તત્વો પર "ચિહ્નિત બિંદુઓ" પસંદ કરીને,

પાર્ટીશનને શુદ્ધ કરવાની પદ્ધતિ, જ્યાં સુધી શરત B સંતુષ્ટ છે

પ્રથમ પ્રકારના વક્રીય અભિન્ન અંગના ગુણધર્મો.

1. રેખીયતાએ) સુપરપોઝિશન પ્રોપર્ટી

b) એકરૂપતાની મિલકત
.

પુરાવો. ચાલો સમાનતાઓની ડાબી બાજુએ અવિભાજ્ય માટેના અવિભાજ્ય સરવાળો લખીએ. અવિભાજ્ય સરવાળો મર્યાદિત સંખ્યામાં પદો ધરાવે છે, તેથી આપણે સમાનતાઓની જમણી બાજુઓ માટે અવિભાજ્ય સરવાળો તરફ આગળ વધીએ છીએ. પછી આપણે મર્યાદામાં પસાર થઈએ છીએ, સમાનતામાં મર્યાદા સુધી પસાર થવા પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવીએ છીએ.

2. ઉમેરણ.જો
, તે
=
+

પુરાવો. ચાલો પ્રદેશ L નું પાર્ટીશન પસંદ કરીએ જેથી પાર્ટીશનના કોઈપણ તત્વો (શરૂઆતમાં અને પાર્ટીશનને રિફાઈન કરતી વખતે) એક જ સમયે L 1 અને તત્વો L 2 બંને સમાવે નહીં. આ અસ્તિત્વ પ્રમેય (પ્રમેય પર ટિપ્પણી) નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. આગળ, ફકરા 1 ની જેમ, પુરાવો અભિન્ન રકમ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે.

3.
.અહીં - ચાપ લંબાઈ .

4. જો ચાપ પર હોય અસમાનતા સંતુષ્ટ છે, પછી

પુરાવો. ચાલો આપણે અવિભાજ્ય રકમો માટે અસમાનતા લખીએ અને મર્યાદા તરફ આગળ વધીએ.

નોંધ કરો કે, ખાસ કરીને, તે શક્ય છે

5. અંદાજ પ્રમેય.

જો સ્થિરાંકો અસ્તિત્વમાં છે
, કંઈક

પુરાવો. એકીકૃત અસમાનતા
(સંપત્તિ 4), આપણને મળે છે
. અચલના ગુણધર્મ 1 દ્વારા
ઇન્ટિગ્રલ્સની નીચેથી બહાર કાઢી શકાય છે. પ્રોપર્ટી 3 નો ઉપયોગ કરીને, અમે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવીએ છીએ.

6. સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય(અવિભાજ્યનું મૂલ્ય).

એક બિંદુ છે
, શું

પુરાવો. કાર્ય થી
બંધ બાઉન્ડેડ સેટ પર સતત , પછી તેનું ઇન્ફિમમ અસ્તિત્વમાં છે
અને ટોચની ધાર
. અસમાનતા સંતોષાય છે. બંને બાજુઓને L વડે ભાગતા, આપણને મળે છે
. પરંતુ નંબર
કાર્યના નીચલા અને ઉપલા સીમાઓ વચ્ચે બંધાયેલ છે. કાર્ય થી
બંધ બાઉન્ડેડ સેટ L પર સતત છે, પછી અમુક સમયે
ફંક્શને આ મૂલ્ય સ્વીકારવું આવશ્યક છે. આથી,
.