આમ, વેક્ટરની લંબાઈ તેના કોઓર્ડિનેટ્સના વર્ગોના સરવાળાના વર્ગમૂળ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
. n-પરિમાણીય વેક્ટરની લંબાઈ સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે
. જો આપણે યાદ રાખીએ કે વેક્ટરના દરેક સંકલન એ અંત અને શરૂઆતના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો તફાવત છે, તો આપણે સેગમેન્ટની લંબાઈ માટેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ, એટલે કે. બિંદુઓ વચ્ચે યુક્લિડિયન અંતર.

ડોટ ઉત્પાદન પ્લેન પરના બે વેક્ટર એ આ વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણના કોસાઈનનું ઉત્પાદન છે:
. તે સાબિત કરી શકાય છે કે બે વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન = (x 1, x 2) અને = (y 1 , y 2) આ વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન છે:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

n-પરિમાણીય અવકાશમાં, વેક્ટર્સ X= (x 1, x 2,...,x n) અને Y= (y 1, y 2,...,y n) નું સ્કેલર ઉત્પાદન ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે તેમના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

વેક્ટર્સને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની ક્રિયા એક પંક્તિ મેટ્રિક્સને કૉલમ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવા સમાન છે. અમે ભારપૂર્વક કહીએ છીએ કે પરિણામ સંખ્યા હશે, વેક્ટર નહીં.

વેક્ટર્સના સ્કેલર પ્રોડક્ટમાં નીચેના ગુણધર્મો (એક્સિઓમ્સ) હોય છે:

1) વિનિમયાત્મક મિલકત: X*Y=Y*X.

2) વધારાના સંદર્ભમાં વિતરણ મિલકત: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે 
.

4)
, ifX એ શૂન્ય વેક્ટર નથી;
ifX એ શૂન્ય વેક્ટર છે.

એક રેખીય વેક્ટર સ્પેસ કે જેમાં વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન આપવામાં આવે છે જે ચાર અનુરૂપ ધરીને સંતોષે છે તેને કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન રેખીય વેક્ટરજગ્યા.

તે જોવાનું સરળ છે કે જ્યારે આપણે કોઈપણ વેક્ટરને પોતાનાથી ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે આપણને તેની લંબાઈનો વર્ગ મળે છે. તેથી તે અલગ છે લંબાઈવેક્ટરને તેના સ્કેલર ચોરસના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:.

વેક્ટર લંબાઈ નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, જ્યાં એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે;

3) |X*Y||X|*|Y| ( કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતા);

4) |X+Y||X|+|Y| ( ત્રિકોણ અસમાનતા).

n-પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ  સ્કેલર પ્રોડક્ટની વિભાવનાના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે. હકીકતમાં, જો
, તે
. આ અપૂર્ણાંક એક કરતા વધારે નથી (કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતા અનુસાર), તેથી અહીંથી આપણે  શોધી શકીએ છીએ.

બે વેક્ટર કહેવાય છે ઓર્થોગોનલઅથવા લંબ, જો તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર હોય. સ્કેલર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે શૂન્ય વેક્ટર કોઈપણ વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે. જો બંને ઓર્થોગોનલ વેક્ટર બિન-શૂન્ય હોય, તો cos= 0, એટલે કે =/2 = 90 o.

ચાલો ફરીથી આકૃતિ 7.4 જોઈએ. આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે વેક્ટરના ઝોકના કોણની કોસાઈન આડી અક્ષતરીકે ગણી શકાય
, અને વેક્ટરના કોણનો કોસાઇન ઊભી અક્ષકેવી રીતે
. આ નંબરો સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે દિશા કોસાઇન્સ. તે ચકાસવું સરળ છે કે દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા એક સમાન હોય છે: cos 2 +cos 2 = 1. તેવી જ રીતે, ઉચ્ચ પરિમાણની જગ્યાઓ માટે દિશા કોસાઇનની વિભાવનાઓ રજૂ કરી શકાય છે.

વેક્ટર જગ્યા આધાર

વેક્ટર માટે, આપણે ખ્યાલોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ રેખીય સંયોજન,રેખીય અવલંબનઅને સ્વતંત્રતામેટ્રિક્સ પંક્તિઓ માટે આ વિભાવનાઓ કેવી રીતે રજૂ કરવામાં આવી હતી તેના જેવું જ. એ પણ સાચું છે કે જો વેક્ટર્સ રેખીય રીતે આશ્રિત હોય, તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અન્યની દ્રષ્ટિએ રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે (એટલે ​​​​કે, તે તેમાંથી એક રેખીય સંયોજન છે). વાતચીત પણ સાચી છે: જો એક વેક્ટર અન્યનું રેખીય સંયોજન છે, તો આ બધા વેક્ટર એકસાથે રેખીય રીતે આધારિત છે.

નોંધ કરો કે જો વેક્ટર્સ વચ્ચે a l , a 2 ,...a m શૂન્ય વેક્ટર હોય, તો વેક્ટરનો આ સમૂહ આવશ્યકપણે રેખીય રીતે આધારિત છે. વાસ્તવમાં, આપણને l a l + 2 a 2 +...  m a m = 0 મળે છે જો, ઉદાહરણ તરીકે, આપણે શૂન્ય વેક્ટર પરના ગુણાંક j ને એક સાથે અને અન્ય તમામ ગુણાંકને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ. આ કિસ્સામાં, બધા ગુણાંક શૂન્ય ( j ≠ 0) ની સમાન હશે નહીં.

વધુમાં, જો વેક્ટરના સમૂહમાંથી વેક્ટરનો અમુક ભાગ રેખીય રીતે આધારિત હોય, તો આ તમામ વેક્ટર રેખીય રીતે આધારિત હોય છે. વાસ્તવમાં, જો કેટલાક વેક્ટર્સ તેમના રેખીય સંયોજનમાં ગુણાંક સાથે શૂન્ય વેક્ટર આપે છે જે બંને શૂન્ય નથી, તો શૂન્ય ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરાયેલા બાકીના વેક્ટરને ઉત્પાદનોના આ સરવાળામાં ઉમેરી શકાય છે, અને તે હજી પણ શૂન્ય વેક્ટર હશે.

વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર છે કે કેમ તે કેવી રીતે નક્કી કરવું?

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ત્રણ વેક્ટર લઈએ: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) અને a 3 = (3, 1, 4, 3). ચાલો તેમાંથી એક મેટ્રિક્સ બનાવીએ, જેમાં તેઓ કૉલમ હશે:

પછી આ મેટ્રિક્સની રેન્ક નક્કી કરવા માટે રેખીય અવલંબનનો પ્રશ્ન ઘટાડવામાં આવશે. જો તે ત્રણ સમાન હોવાનું બહાર આવે છે, તો ત્રણેય સ્તંભો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને જો તે ઓછા હોવાનું બહાર આવે છે, તો આ વેક્ટર્સની રેખીય અવલંબન સૂચવે છે.

રેન્ક 2 હોવાથી, વેક્ટર રેખીય રીતે આધારિત છે.

નોંધ કરો કે સમસ્યાનું નિરાકરણ તર્કથી પણ શરૂ થઈ શકે છે જે રેખીય સ્વતંત્રતાની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે. જેમ કે, એક વેક્ટર સમીકરણ  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 બનાવો, જે ફોર્મ  l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, -) લેશે. 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). પછી આપણને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સિસ્ટમને ઉકેલવાથી તે મેળવવામાં ઘટાડો થશે સ્ટેપ મેટ્રિક્સ, ફક્ત તેમાં વધુ એક કૉલમ હશે - મફત સભ્યો. તેઓ બધા શૂન્ય સમાન હશે, ત્યારથી રેખીય પરિવર્તનોશૂન્ય અલગ પરિણામ તરફ દોરી શકતા નથી. સમીકરણોની રૂપાંતરિત સિસ્ટમ આ સ્વરૂપ લેશે:

આ સિસ્ટમનો ઉકેલ હશે (-с;-с; с), જ્યાં с એ મનસ્વી સંખ્યા છે; ઉદાહરણ તરીકે, (-1;-1;1). આનો અર્થ એ થયો કે જો આપણે  l = -1; 2 =-1 અને 3 = 1 લઈએ, તો l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, એટલે કે. વેક્ટર્સ વાસ્તવમાં રેખીય રીતે આધારિત છે.

ઉકેલેલ ઉદાહરણ પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે જો આપણે અવકાશના પરિમાણ કરતા વધુ વેક્ટરની સંખ્યા લઈએ, તો તે આવશ્યકપણે રેખીય રીતે આધારિત હશે. વાસ્તવમાં, જો આપણે આ ઉદાહરણમાં પાંચ વેક્ટર લઈએ, તો આપણને 4 x 5 મેટ્રિક્સ મળશે, જેનો ક્રમ ચાર કરતા વધારે ન હોઈ શકે. તે. રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કૉલમની મહત્તમ સંખ્યા હજુ પણ ચાર કરતાં વધુ નહીં હોય. બે, ત્રણ અથવા ચાર ચાર-પરિમાણીય વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોઈ શકે છે, પરંતુ પાંચ કે તેથી વધુ નહીં. પરિણામે, પ્લેનમાં બે કરતા વધુ વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોઈ શકતા નથી. દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈપણ ત્રણ વેક્ટર રેખીય રીતે આધારિત છે. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, કોઈપણ ચાર (અથવા વધુ) વેક્ટર હંમેશા રેખીય રીતે આધારિત હોય છે. વગેરે.

તેથી જ પરિમાણજગ્યાને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરની મહત્તમ સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જે તેમાં હોઈ શકે છે.

n-પરિમાણીય અવકાશના n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરનો સમૂહ R કહેવાય છે આધારઆ જગ્યા.

પ્રમેય. રેખીય અવકાશના દરેક વેક્ટરને બેઝિસ વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે અને અનન્ય રીતે રજૂ કરી શકાય છે.

પુરાવો. ચાલો વેક્ટર e l , e 2 ,...e n ને આધાર-પરિમાણીય જગ્યા R રચીએ. ચાલો સાબિત કરીએ કે કોઈપણ વેક્ટર X આ વેક્ટરોનું રેખીય સંયોજન છે. કારણ કે, વેક્ટર X સાથે મળીને, વેક્ટરની સંખ્યા (n +1) બનશે, આ (n +1) વેક્ટર રેખીય રીતે આધારિત હશે, એટલે કે. ત્યાં સંખ્યાઓ છે l, 2,..., n,, એક સાથે શૂન્યની બરાબર નથી, જેમ કે

 l e l + 2 e 2 +... n e n +Х = 0

આ કિસ્સામાં, 0, કારણ કે અન્યથા આપણે l e l + 2 e 2 +... n e n = 0 મેળવીશું, જ્યાં બધા ગુણાંક l , 2 ,..., n શૂન્ય સમાન નથી. આનો અર્થ એ છે કે આધાર વેક્ટર રેખીય રીતે આધારિત હશે. તેથી, આપણે પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુઓને આના દ્વારા વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +... ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l + x 2 e 2 + ... x n e n,

જ્યાં x j = -( j /),
.

હવે આપણે સાબિત કરીએ છીએ કે રેખીય સંયોજનના સ્વરૂપમાં આવી રજૂઆત અનન્ય છે. ચાલો વિપરીત ધારીએ, એટલે કે. કે ત્યાં બીજી રજૂઆત છે:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...y n e n

ચાલો તેમાંથી અગાઉ મેળવેલ અભિવ્યક્તિને ટર્મ દ્વારા બાદ કરીએ:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +... (y n – x n)e n

આધાર વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ કે (y j - x j) = 0,
, એટલે કે y j = x j . તેથી અભિવ્યક્તિ સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

અભિવ્યક્તિ X = x l e l +x 2 e 2 + ... x n e n કહેવાય છે વિઘટનવેક્ટર X e l, e 2,...e n, અને સંખ્યાઓ x l, x 2,...x n - પર આધારિત છે સંકલનવેક્ટર x આ આધારને સંબંધિત, અથવા આ આધારમાં.

તે સાબિત કરી શકાય છે કે જો n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશના બિન-શૂન્ય વેક્ટર્સ જોડીમાં ઓર્થોગોનલ હોય, તો તેઓ એક આધાર બનાવે છે. વાસ્તવમાં, ચાલો સમાનતાની બંને બાજુએ l e l + 2 e 2 +... n e n = 0 ને કોઈપણ વેક્ટર e i વડે ગુણાકાર કરીએ. આપણને મળે છે  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i =  i માટે 0.

n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ સ્વરૂપના વેક્ટર e l , e 2 ,...e n ઓર્થોનોર્મલ આધાર, જો આ વેક્ટર જોડી પ્રમાણે ઓર્થોગોનલ હોય અને તેમાંના દરેકનો ધોરણ એક સમાન હોય, એટલે કે. જો i≠j и |е i | માટે e i *e j = 0 હોય = 1 fori.

પ્રમેય (કોઈ સાબિતી નથી). દરેક n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં ઓર્થોનોર્મલ આધાર હોય છે.

ઓર્થોનોર્મલ આધારનું ઉદાહરણ n એકમ વેક્ટર e i ની સિસ્ટમ છે, જેના માટે i-th ઘટક એક સમાન છે અને બાકીના ઘટકો શૂન્ય સમાન છે. આવા દરેક વેક્ટર કહેવાય છે ort. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર વેક્ટર (1, 0, 0), (0, 1, 0) અને (0, 0, 1) ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર બનાવે છે.

વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન (ત્યારબાદ SP તરીકે ઓળખવામાં આવે છે). પ્રિય મિત્રો! ગણિતની પરીક્ષામાં વેક્ટરને ઉકેલવા માટેની સમસ્યાઓના જૂથનો સમાવેશ થાય છે. અમે પહેલાથી જ કેટલીક સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લીધી છે. તમે તેમને "વેક્ટર્સ" શ્રેણીમાં જોઈ શકો છો. સામાન્ય રીતે, વેક્ટર્સનો સિદ્ધાંત જટિલ નથી, મુખ્ય વસ્તુ તેનો સતત અભ્યાસ કરવો છે. માં વેક્ટર સાથે ગણતરીઓ અને કામગીરી શાળા અભ્યાસક્રમગણિત સરળ છે, સૂત્રો જટિલ નથી. પર એક નજર નાખો. આ લેખમાં આપણે વેક્ટર્સના SP પરની સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરીશું (યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશનમાં સમાવિષ્ટ). હવે સિદ્ધાંતમાં "નિમજ્જન":

એચ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, તમારે તેના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી બાદબાકી કરવાની જરૂર છેતેના મૂળના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ

અને એક વધુ વસ્તુ:

*વેક્ટર લંબાઈ (મોડ્યુલસ) નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે:

આ સૂત્રો યાદ રાખવા જોઈએ !!!

ચાલો વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ બતાવીએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે તે 0 થી 180 0 સુધી બદલાઈ શકે છે(અથવા 0 થી Pi રેડિયનમાં).

અમે સ્કેલર પ્રોડક્ટની નિશાની વિશે કેટલાક તારણો દોરી શકીએ છીએ. વેક્ટર લંબાઈ છે હકારાત્મક મૂલ્ય, આ સ્પષ્ટ છે. આનો અર્થ એ છે કે સ્કેલર ઉત્પાદનની નિશાની વેક્ટર્સ વચ્ચેના કોણના કોસાઇનના મૂલ્ય પર આધારિત છે.

સંભવિત કિસ્સાઓ:

1. જો વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો તીવ્ર હોય (0 0 થી 90 0 સુધી), તો કોણના કોસાઇનનું હકારાત્મક મૂલ્ય હશે.

2. જો વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો સ્થૂળ હોય (90 0 થી 180 0 સુધી), તો કોણના કોસાઇનનું મૂલ્ય નકારાત્મક હશે.

*શૂન્ય ડિગ્રી પર, એટલે કે જ્યારે વેક્ટરની દિશા સમાન હોય છે, કોસાઇન એક સમાનઅને તે મુજબ પરિણામ હકારાત્મક આવશે.

180 o પર, એટલે કે જ્યારે વેક્ટર હોય છે વિરુદ્ધ દિશાઓ, કોસાઇન એક બાદબાકી સમાન છે,અને તે મુજબ પરિણામ નકારાત્મક આવશે.

હવે મહત્વનો મુદ્દો!

90 o પર, એટલે કે જ્યારે વેક્ટર એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે, ત્યારે કોસાઇન શૂન્ય બરાબર, અને તેથી SP શૂન્યની બરાબર છે. આ હકીકત (પરિણામ, નિષ્કર્ષ) નો ઉપયોગ ઘણી સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં થાય છે જ્યાં આપણે વાત કરી રહ્યા છીએ સંબંધિત સ્થિતિવેક્ટર્સ, જેમાં શામેલ સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે ખુલ્લી બેંકગણિત સોંપણીઓ.

ચાલો વિધાન ઘડીએ: સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે જો અને માત્ર જો આ વેક્ટર લંબ રેખાઓ પર આવેલા હોય.

તેથી, એસપી વેક્ટર માટેના સૂત્રો:

જો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અથવા તેમની શરૂઆત અને છેડાના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીતા હોય, તો આપણે હંમેશા વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ શોધી શકીએ છીએ:

ચાલો કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ:

27724 a અને b વેક્ટરનો સ્કેલર ગુણાંક શોધો.

આપણે બેમાંથી એક ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન શોધી શકીએ છીએ:

વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ અજ્ઞાત છે, પરંતુ આપણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ અને પછી પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. બંને વેક્ટરની ઉત્પત્તિ કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે સુસંગત હોવાથી, આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ તેમના છેડાના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે, એટલે કે

વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધવા તે આમાં વર્ણવેલ છે.

અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

જવાબ: 40

ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, વેક્ટરના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી તેની શરૂઆતના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ બાદબાકી કરવી જરૂરી છે, જેનો અર્થ છે

અમે સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ છીએ:

જવાબ: 40

વેક્ટર a અને b વચ્ચેનો કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.

વેક્ટર્સના કોઓર્ડિનેટ્સનું સ્વરૂપ દો:

વેક્ટર્સ વચ્ચેનો કોણ શોધવા માટે, અમે વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

વેક્ટર વચ્ચેના કોણનો કોસાઇન:

આથી:

આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે:

ચાલો તેમને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ 45 ડિગ્રી છે.

જવાબ: 45

વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન

અમે વેક્ટર્સ સાથે વ્યવહાર કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. પ્રથમ પાઠ પર ડમી માટે વેક્ટર્સઅમે વેક્ટરની વિભાવના, વેક્ટર સાથેની ક્રિયાઓ, વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર સાથેની સૌથી સરળ સમસ્યાઓ જોઈ. જો તમે શોધ એંજીનમાંથી આ પૃષ્ઠ પર પ્રથમ વખત આવ્યા છો, તો હું ઉપરોક્ત વાંચવાની ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું પ્રારંભિક લેખ, કારણ કે સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવવા માટે તે શરતો અને હોદ્દાઓથી પરિચિત હોવા જરૂરી છે જેનો હું ઉપયોગ કરું છું, મૂળભૂત જ્ઞાનવેક્ટર વિશે અને ઉકેલવા માટે સક્ષમ બનો પ્રાથમિક કાર્યો. આ પાઠવિષયનું તાર્કિક ચાલુ છે, અને તેના પર હું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશ લાક્ષણિક કાર્યો, જે વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરે છે. આ ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ પ્રવૃત્તિ . ઉદાહરણોને ન છોડવાનો પ્રયાસ કરો, તેઓ એક ઉપયોગી બોનસ સાથે આવે છે - પ્રેક્ટિસ તમને કવર કરેલ સામગ્રીને એકીકૃત કરવામાં અને સામાન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં વધુ સારી રીતે મદદ કરશે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ.

વેક્ટરનો ઉમેરો, સંખ્યા વડે વેક્ટરનો ગુણાકાર.... તે વિચારવું નિષ્કપટ હશે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ કંઈક બીજું લઈને આવ્યા નથી. પહેલેથી જ ચર્ચા કરેલી ક્રિયાઓ ઉપરાંત, વેક્ટર સાથેની અન્ય સંખ્યાબંધ ક્રિયાઓ છે, જેમ કે: વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન, વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદનઅને વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન. વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન અમને શાળાથી પરિચિત છે, અન્ય બે ઉત્પાદનો પરંપરાગત રીતે અભ્યાસક્રમ સાથે સંબંધિત છે ઉચ્ચ ગણિત. વિષયો સરળ છે, ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ સીધું અને સમજી શકાય તેવું છે. એકમાત્ર વસ્તુ. ત્યાં માહિતીનો યોગ્ય જથ્થો છે, તેથી એક જ સમયે દરેક વસ્તુને માસ્ટર અને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરવો અનિચ્છનીય છે. આ ખાસ કરીને ડમીઝ માટે સાચું છે, મારા પર વિશ્વાસ કરો, લેખક સંપૂર્ણપણે ગણિતમાંથી ચિકાટિલો જેવું અનુભવવા માંગતા નથી. ઠીક છે, ગણિતમાંથી નહીં, અલબત્ત, ક્યાં તો =) વધુ તૈયાર વિદ્યાર્થીઓ સામગ્રીનો પસંદગીપૂર્વક ઉપયોગ કરી શકે છે, માં ચોક્કસ અર્થમાં, ગુમ થયેલ જ્ઞાન "મેળવો", તમારા માટે હું હાનિકારક ગણના ડ્રેક્યુલા બનીશ =)

ચાલો આખરે દરવાજો ખોલીએ અને ઉત્સાહથી જોઈએ કે જ્યારે બે વેક્ટર એકબીજાને મળે છે ત્યારે શું થાય છે...

વેક્ટરના સ્કેલર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા.
સ્કેલર ઉત્પાદનના ગુણધર્મો. લાક્ષણિક કાર્યો

ડોટ પ્રોડક્ટનો ખ્યાલ

વિશે પ્રથમ વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ. મને લાગે છે કે દરેક વ્યક્તિ સાહજિક રીતે સમજે છે કે વેક્ટર્સ વચ્ચેનો કોણ શું છે, પરંતુ માત્ર કિસ્સામાં, થોડી વધુ વિગત. ચાલો મુક્ત ગણીએ શૂન્ય વેક્ટરઅને . જો આપણે આ વેક્ટર્સમાંથી કાવતરું કરીએ મનસ્વી બિંદુ, તમને એક ચિત્ર મળે છે જેની ઘણા લોકોએ તેમના મનમાં પહેલેથી જ કલ્પના કરી છે:

હું કબૂલ કરું છું, અહીં મેં પરિસ્થિતિનું વર્ણન ફક્ત સમજણના સ્તરે કર્યું છે. જો તમને વેક્ટર્સ વચ્ચેના ખૂણાની કડક વ્યાખ્યાની જરૂર હોય, તો વ્યવહારિક સમસ્યાઓ માટે કૃપા કરીને પાઠ્યપુસ્તકનો સંદર્ભ લો, સૈદ્ધાંતિક રીતે, અમને તેની જરૂર નથી. અહીં અને અહીં પણ હું શૂન્ય વેક્ટરને તેમના ઓછા વ્યવહારિક મહત્વને કારણે અવગણીશ. મેં ખાસ કરીને અદ્યતન સાઇટ મુલાકાતીઓ માટે આરક્ષણ કર્યું છે જેઓ પછીના કેટલાક નિવેદનોની સૈદ્ધાંતિક અપૂર્ણતા માટે મને ઠપકો આપી શકે છે.

સાહિત્યમાં, કોણનું પ્રતીક ઘણીવાર છોડી દેવામાં આવે છે અને સરળ રીતે લખવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા:બે વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનને NUMBER કહેવાય છે, ઉત્પાદન સમાનઆ વેક્ટરની લંબાઈ તેમની વચ્ચેના કોણના કોસાઈન દ્વારા:

હવે આ એકદમ કડક વ્યાખ્યા છે.

અમે આવશ્યક માહિતી પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ:

હોદ્દો:સ્કેલર ઉત્પાદન દ્વારા અથવા સરળ રીતે સૂચવવામાં આવે છે.

ઓપરેશનનું પરિણામ NUMBER છે: વેક્ટરને વેક્ટર દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને પરિણામ એ સંખ્યા છે. ખરેખર, જો વેક્ટરની લંબાઈ સંખ્યાઓ હોય, કોણનો કોસાઈન એક સંખ્યા હોય, તો તેનું ઉત્પાદન નંબર પણ હશે.

માત્ર થોડા વોર્મ-અપ ઉદાહરણો:

ઉદાહરણ 1

ઉકેલ:અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ . IN આ કિસ્સામાં:

જવાબ:

કોસાઇન મૂલ્યો માં શોધી શકાય છે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક. હું તેને છાપવાની ભલામણ કરું છું - તે ટાવરના લગભગ તમામ વિભાગોમાં જરૂરી રહેશે અને ઘણી વખત જરૂર પડશે.

કેવળ સાથે ગાણિતિક બિંદુદૃશ્યની દ્રષ્ટિએ, સ્કેલર ઉત્પાદન પરિમાણહીન છે, એટલે કે, પરિણામ, આ કિસ્સામાં, માત્ર એક સંખ્યા છે અને બસ. ભૌતિકશાસ્ત્રની સમસ્યાઓના દૃષ્ટિકોણથી, સ્કેલર ઉત્પાદનમાં હંમેશા ચોક્કસ હોય છે ભૌતિક અર્થ, એટલે કે, પરિણામ પછી તમારે એક અથવા બીજા સૂચવવાની જરૂર છે ભૌતિક એકમ. બળના કાર્યની ગણતરીનું પ્રામાણિક ઉદાહરણ કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકમાં મળી શકે છે (સૂત્ર બરાબર એક સ્કેલર ઉત્પાદન છે). બળનું કાર્ય જૌલ્સમાં માપવામાં આવે છે, તેથી, જવાબ તદ્દન વિશિષ્ટ રીતે લખવામાં આવશે, ઉદાહરણ તરીકે, .

ઉદાહરણ 2

જો શોધો , અને વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ બરાબર છે.

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય, જવાબ પાઠના અંતે છે.

વેક્ટર અને ડોટ ઉત્પાદન મૂલ્ય વચ્ચેનો ખૂણો

ઉદાહરણ 1 માં સ્કેલર ઉત્પાદન હકારાત્મક હોવાનું બહાર આવ્યું છે, અને ઉદાહરણ 2 માં તે નકારાત્મક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ચાલો શોધી કાઢીએ કે સ્કેલર પ્રોડક્ટની નિશાની શું આધાર રાખે છે. ચાલો આપણા સૂત્ર જોઈએ: . બિન-શૂન્ય વેક્ટરની લંબાઈ હંમેશા હકારાત્મક હોય છે: , તેથી ચિહ્ન માત્ર કોસાઈનના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.

નોંધ: નીચેની માહિતીની વધુ સારી સમજણ માટે, મેન્યુઅલમાં કોસાઇન ગ્રાફનો અભ્યાસ કરવો વધુ સારું છે કાર્ય ગ્રાફ અને ગુણધર્મો. કોસાઇન સેગમેન્ટ પર કેવી રીતે વર્તે છે તે જુઓ.

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, વેક્ટર્સ વચ્ચેનો કોણ અંદર બદલાઈ શકે છે , અને નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1) જો ખૂણોવેક્ટર્સ વચ્ચે મસાલેદાર: (0 થી 90 ડિગ્રી સુધી), પછી , અને ડોટ ઉત્પાદન હકારાત્મક હશે સહ-નિર્દેશિત, પછી તેમની વચ્ચેનો કોણ શૂન્ય ગણવામાં આવે છે, અને સ્કેલર ઉત્પાદન પણ હકારાત્મક હશે. ત્યારથી, સૂત્ર સરળ બનાવે છે: .

2) જો ખૂણોવેક્ટર્સ વચ્ચે મંદબુદ્ધિ: (90 થી 180 ડિગ્રી સુધી), પછી , અને, તે મુજબ, ડોટ ઉત્પાદન નકારાત્મક છે: . ખાસ કેસ: જો વેક્ટર્સ વિરુદ્ધ દિશાઓ, પછી તેમની વચ્ચેનો કોણ ગણવામાં આવે છે વિસ્તૃત: (180 ડિગ્રી). સ્કેલર ઉત્પાદન પણ નકારાત્મક છે, ત્યારથી

વિરોધાભાસી નિવેદનો પણ સાચા છે:

1) જો , તો આ વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ તીવ્ર છે. વૈકલ્પિક રીતે, વેક્ટર સહ-દિશામાં હોય છે.

2) જો , તો આ વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો સ્થૂળ છે. વૈકલ્પિક રીતે, વેક્ટર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

પણ વિશેષ રસત્રીજો કેસ રજૂ કરે છે:

3) જો ખૂણોવેક્ટર્સ વચ્ચે પ્રત્યક્ષ: (90 ડિગ્રી), પછી સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય છે: . વાતચીત પણ સાચી છે: જો , તો . નિવેદન નીચે પ્રમાણે સઘન રીતે ઘડી શકાય છે: બે વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય છે જો અને માત્ર જો વેક્ટર ઓર્થોગોનલ હોય. લઘુ ગાણિતિક સંકેત:

! નોંધ : ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ ગાણિતિક તર્કની મૂળભૂત બાબતો: ડબલ-સાઇડ લોજિકલ પરિણામ ચિહ્ન સામાન્ય રીતે "જો અને માત્ર જો", "જો અને માત્ર જો" વાંચવામાં આવે છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, તીરો બંને દિશામાં નિર્દેશિત છે - "આમાંથી આને અનુસરે છે, અને ઊલટું - તેમાંથી આને અનુસરે છે." માર્ગ દ્વારા, વન-વે ફોલો આઇકનથી શું તફાવત છે? ચિહ્ન જણાવે છે માત્ર તે, કે "આમાંથી આ અનુસરે છે," અને તે હકીકત નથી કે વિરુદ્ધ સાચું છે. ઉદાહરણ તરીકે: , પરંતુ દરેક પ્રાણી પેન્થર નથી, તેથી આ કિસ્સામાં તમે આયકનનો ઉપયોગ કરી શકતા નથી. તે જ સમયે, ચિહ્નને બદલે કરી શકે છેએકતરફી ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, સમસ્યા હલ કરતી વખતે, અમને જાણવા મળ્યું કે અમે તારણ કાઢ્યું છે કે વેક્ટર ઓર્થોગોનલ છે: - આવી એન્ટ્રી સાચી હશે, અને તેના કરતાં પણ વધુ યોગ્ય હશે .

ત્રીજા કિસ્સાનું ખૂબ જ વ્યવહારુ મહત્વ છે, કારણ કે તે તમને વેક્ટર ઓર્થોગોનલ છે કે નહીં તે તપાસવાની મંજૂરી આપે છે. આ કાર્યઅમે પાઠના બીજા વિભાગમાં હલ કરીશું.

ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો

ચાલો પરિસ્થિતિ પર પાછા ફરીએ જ્યારે બે વેક્ટર સહ-નિર્દેશિત. આ કિસ્સામાં, તેમની વચ્ચેનો કોણ શૂન્ય છે, , અને સ્કેલર ઉત્પાદન સૂત્ર ફોર્મ લે છે: .

જો વેક્ટરને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે તો શું થાય છે? તે સ્પષ્ટ છે કે વેક્ટર પોતાની સાથે સંરેખિત છે, તેથી અમે ઉપરોક્ત સરળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

નંબર પર બોલાવવામાં આવે છે સ્કેલર ચોરસવેક્ટર, અને તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

આમ, સ્કેલર ચોરસ વેક્ટર ચોરસ સમાનઆ વેક્ટરની લંબાઈ:

આ સમાનતામાંથી આપણે વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી માટે સૂત્ર મેળવી શકીએ છીએ:

અત્યાર સુધી તે અસ્પષ્ટ લાગે છે, પરંતુ પાઠના ઉદ્દેશો તેની જગ્યાએ બધું મૂકશે. સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે આપણને પણ જરૂર છે ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો.

મનસ્વી વેક્ટર અને કોઈપણ સંખ્યા માટે, નીચેના ગુણધર્મો:

1) - વિનિમયાત્મક અથવા વિનિમયાત્મકસ્કેલર ઉત્પાદન કાયદો.

2) - વિતરણ અથવા વિતરણકારીસ્કેલર ઉત્પાદન કાયદો. ફક્ત, તમે કૌંસ ખોલી શકો છો.

3) - સહયોગી અથવા સહયોગીસ્કેલર ઉત્પાદન કાયદો. સ્થિરાંક સ્કેલર ઉત્પાદનમાંથી મેળવી શકાય છે.

ઘણીવાર, તમામ પ્રકારની મિલકતો (જે સાબિત કરવાની પણ જરૂર છે!) વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા બિનજરૂરી કચરો તરીકે જોવામાં આવે છે, જેને માત્ર પરીક્ષા પછી તરત જ યાદ રાખવાની અને સુરક્ષિત રીતે ભૂલી જવાની જરૂર છે. એવું લાગે છે કે અહીં શું મહત્વનું છે, દરેક વ્યક્તિ પહેલા ધોરણથી જ જાણે છે કે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી: . મારે તમને ચેતવણી આપવી જોઈએ કે ઉચ્ચ ગણિતમાં આવા અભિગમથી વસ્તુઓને ગડબડ કરવી સરળ છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, વિનિમયાત્મક મિલકત માટે સાચું નથી બીજગણિત મેટ્રિક્સ. તે માટે પણ સાચું નથી વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન. તેથી, ઓછામાં ઓછું, શું કરી શકાય છે અને શું કરી શકાતું નથી તે સમજવા માટે ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં તમે આવો છો તે કોઈપણ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવો વધુ સારું છે.

ઉદાહરણ 3

.

ઉકેલ:પ્રથમ, ચાલો વેક્ટર સાથે પરિસ્થિતિને સ્પષ્ટ કરીએ. તેમ છતાં આ શું છે? વેક્ટર્સનો સરવાળો એ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર છે, જે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ભૌમિતિક અર્થઘટનવેક્ટર સાથેની ક્રિયાઓ લેખમાં મળી શકે છે ડમી માટે વેક્ટર્સ. વેક્ટર સાથેની સમાન સુંગધી પાનવાળી એક વિલાયતી વનસ્પતિ એ વેક્ટરનો સરવાળો છે અને .

તેથી, સ્થિતિ અનુસાર, સ્કેલર ઉત્પાદન શોધવાનું જરૂરી છે. સિદ્ધાંતમાં, તમારે કાર્યકારી સૂત્ર લાગુ કરવાની જરૂર છે , પરંતુ મુશ્કેલી એ છે કે આપણે વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ જાણતા નથી. પરંતુ સ્થિતિ વેક્ટર્સ માટે સમાન પરિમાણો આપે છે, તેથી અમે એક અલગ માર્ગ લઈશું:

(1) વેક્ટરના અભિવ્યક્તિઓને બદલો.

(2) આપણે બહુપદીના ગુણાકારના નિયમ અનુસાર કૌંસ ખોલીએ છીએ, અસંસ્કારી જીભ ટ્વિસ્ટરલેખમાં મળી શકે છે જટિલ સંખ્યાઓઅથવા અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યનું એકીકરણ. હું મારી જાતને પુનરાવર્તિત કરીશ નહીં =) માર્ગ દ્વારા, સ્કેલર ઉત્પાદનની વિતરિત મિલકત અમને કૌંસ ખોલવાની મંજૂરી આપે છે. અમારો અધિકાર છે.

(3) પ્રથમ અને છેલ્લા શબ્દોમાં આપણે વેક્ટરના સ્કેલર ચોરસને સઘન રીતે લખીએ છીએ: . બીજી મુદતમાં આપણે સ્કેલર ઉત્પાદનની પરિવર્તનક્ષમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: .

(4) અમે રજૂ કરીએ છીએ સમાન શરતો: .

(5) પ્રથમ ટર્મમાં આપણે સ્કેલર સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેનો ઉલ્લેખ થોડા સમય પહેલા થયો હતો. છેલ્લી મુદતમાં, તે મુજબ, તે જ વસ્તુ કાર્ય કરે છે: . અમે અનુસાર બીજી મુદત વિસ્તૃત પ્રમાણભૂત સૂત્ર .

(6) આ શરતોને બદલો , અને અંતિમ ગણતરીઓ કાળજીપૂર્વક હાથ ધરો.

જવાબ:

નકારાત્મક મૂલ્યસ્કેલર પ્રોડક્ટ એ હકીકત જણાવે છે કે વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ સ્થૂળ છે.

સમસ્યા લાક્ષણિક છે, તેને જાતે હલ કરવા માટે અહીં એક ઉદાહરણ છે:

ઉદાહરણ 4

વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન શોધો અને જો તે જાણીતું હોય તો .

હવે અન્ય સામાન્ય કાર્ય, માત્ર પર નવું સૂત્રવેક્ટર લંબાઈ. અહીં નોટેશન થોડું ઓવરલેપિંગ હશે, તેથી સ્પષ્ટતા માટે હું તેને એક અલગ અક્ષર સાથે ફરીથી લખીશ:

ઉદાહરણ 5

વેક્ટરની લંબાઈ શોધો જો .

ઉકેલનીચે મુજબ હશે:

(1) અમે વેક્ટર માટે અભિવ્યક્તિ આપીએ છીએ.

(2) અમે લંબાઈ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: , જ્યારે સમગ્ર અભિવ્યક્તિ ve વેક્ટર "ve" તરીકે કાર્ય કરે છે.

(3) ઉપયોગ કરો શાળા સૂત્રસરવાળોનો વર્ગ. નોંધ કરો કે તે અહીં કેવી રીતે જિજ્ઞાસાપૂર્વક કાર્ય કરે છે: - તે વાસ્તવમાં તફાવતનો વર્ગ છે, અને, હકીકતમાં, તે આવું છે. જેઓ ઈચ્છે છે તેઓ વેક્ટર્સને ફરીથી ગોઠવી શકે છે: - તે જ વસ્તુ થાય છે, શરતોની પુન: ગોઠવણી સુધી.

(4) નીચેની બાબતો અગાઉની બે સમસ્યાઓથી પહેલેથી જ પરિચિત છે.

જવાબ:

અમે લંબાઈ વિશે વાત કરી રહ્યા હોવાથી, પરિમાણ - "એકમો" સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં.

ઉદાહરણ 6

વેક્ટરની લંબાઈ શોધો જો .

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

અમે ડોટ પ્રોડક્ટમાંથી ઉપયોગી વસ્તુઓને સ્ક્વિઝ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. ચાલો આપણા ફોર્મ્યુલાને ફરી જોઈએ . પ્રમાણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, અમે વેક્ટરની લંબાઈને ડાબી બાજુના છેદ પર ફરીથી સેટ કરીએ છીએ:

ચાલો ભાગોને સ્વેપ કરીએ:

આ સૂત્રનો અર્થ શું છે? જો બે વેક્ટરની લંબાઇ અને તેમના સ્કેલર પ્રોડક્ટ જાણીતી હોય, તો આ વેક્ટર વચ્ચેના કોણના કોસાઇન અને પરિણામે, કોણ પોતે જ ગણતરી કરી શકાય છે.

શું ડોટ પ્રોડક્ટ એક નંબર છે? નંબર. શું વેક્ટર લંબાઈ સંખ્યાઓ છે? સંખ્યાઓ. આનો અર્થ એ છે કે અપૂર્ણાંક પણ એક સંખ્યા છે. અને જો કોણનું કોસાઇન જાણીતું છે: , પછી વ્યસ્ત ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને કોણ પોતે જ શોધવાનું સરળ છે: .

ઉદાહરણ 7

વેક્ટર્સ વચ્ચેનો કોણ શોધો અને જો તે જાણીતું હોય તો.

ઉકેલ:અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલુ અંતિમ તબક્કોગણતરીઓ, એક તકનીકી તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો - છેદમાં અતાર્કિકતાને દૂર કરવી. અતાર્કિકતાને દૂર કરવા માટે, મેં અંશ અને છેદને વડે ગુણાકાર કર્યો.

તેથી જો , તે:

વ્યસ્ત મૂલ્યો ત્રિકોણમિતિ કાર્યોદ્વારા શોધી શકાય છે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક. જોકે આવું ભાગ્યે જ બને છે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓમાં, ઘણી વાર કેટલાક અણઘડ રીંછ જેમ કે , અને કોણનું મૂલ્ય લગભગ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને શોધવાનું હોય છે. ખરેખર, આપણે આવા ચિત્ર એક કરતા વધુ વખત જોશું.

જવાબ:

ફરીથી, પરિમાણો - રેડિયન અને ડિગ્રી સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં. વ્યક્તિગત રીતે, દેખીતી રીતે "બધા પ્રશ્નોનું નિરાકરણ" કરવા માટે, હું બંનેને સૂચવવાનું પસંદ કરું છું (સિવાય કે શરત, અલબત્ત, માત્ર રેડિયનમાં અથવા માત્ર ડિગ્રીમાં જવાબ રજૂ કરવાની જરૂર હોય).

હવે તમે સ્વતંત્ર રીતે વધુ સાથે સામનો કરી શકો છો મુશ્કેલ કાર્ય:

ઉદાહરણ 7*

વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ આપેલ છે. વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

કાર્ય એટલું મુશ્કેલ નથી કારણ કે તે બહુ-પગલાં છે.
ચાલો સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ જોઈએ:

1) શરત મુજબ, તમારે વેક્ટર અને વચ્ચેનો કોણ શોધવાની જરૂર છે, તેથી તમારે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે .

2) સ્કેલર ઉત્પાદન શોધો (ઉદાહરણો નંબર 3, 4 જુઓ).

3) વેક્ટરની લંબાઈ અને વેક્ટરની લંબાઈ શોધો (જુઓ ઉદાહરણો નંબર 5, 6).

4) સોલ્યુશનનો અંત ઉદાહરણ નંબર 7 સાથે એકરુપ છે - આપણે નંબર જાણીએ છીએ, જેનો અર્થ એ છે કે કોણ પોતે જ શોધવું સરળ છે:

ઝડપી ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

પાઠનો બીજો વિભાગ સમાન સ્કેલર ઉત્પાદનને સમર્પિત છે. કોઓર્ડિનેટ્સ. તે પ્રથમ ભાગ કરતાં પણ સરળ હશે.

વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન,
ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે

જવાબ:

કહેવાની જરૂર નથી, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે કામ કરવું વધુ સુખદ છે.

ઉદાહરણ 14

વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન શોધો અને જો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. અહીં તમે ઑપરેશનની સહયોગીતાનો ઉપયોગ કરી શકો છો, એટલે કે, ગણતરી કરશો નહીં, પરંતુ તરત જ સ્કેલર પ્રોડક્ટની બહાર ટ્રિપલ લો અને તેને છેલ્લે તેના દ્વારા ગુણાકાર કરો. ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે.

વિભાગના અંતે, વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટેનું ઉત્તેજક ઉદાહરણ:

ઉદાહરણ 15

વેક્ટરની લંબાઈ શોધો , જો

ઉકેલ:પાછલા વિભાગની પદ્ધતિ પોતાને ફરીથી સૂચવે છે: પરંતુ બીજી રીત છે:

ચાલો વેક્ટર શોધીએ:

અને તેની લંબાઈ તુચ્છ સૂત્ર મુજબ :

ડોટ પ્રોડક્ટ અહીં બિલકુલ સંબંધિત નથી!

વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી કરતી વખતે પણ તે ઉપયોગી નથી:
રોકો. શું આપણે વેક્ટર લંબાઈની સ્પષ્ટ મિલકતનો લાભ ન ​​લેવો જોઈએ? વેક્ટરની લંબાઈ વિશે તમે શું કહી શકો? આ વેક્ટરવેક્ટર કરતાં 5 ગણો લાંબો. દિશા વિરુદ્ધ છે, પરંતુ આ વાંધો નથી, કારણ કે આપણે લંબાઈ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. દેખીતી રીતે, વેક્ટરની લંબાઈ ઉત્પાદનની સમાન છે મોડ્યુલવેક્ટર લંબાઈ દીઠ સંખ્યાઓ:
- મોડ્યુલસ ચિહ્ન સંખ્યાના સંભવિત બાદબાકીને "ખાય છે".

આમ:

જવાબ:

કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા ઉલ્લેખિત વેક્ટર વચ્ચેના કોણના કોસાઇન માટેનું સૂત્ર

હવે અમારી પાસે છે સંપૂર્ણ માહિતી, જેથી વેક્ટર વચ્ચેના કોણના કોસાઇન માટે અગાઉ મેળવેલ સૂત્ર વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વ્યક્ત કરો:

પ્લેન વેક્ટર વચ્ચેના કોણનો કોસાઇનઅને, ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે ઉલ્લેખિત, સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત:
.

અવકાશ વેક્ટર વચ્ચેના કોણનો કોસાઇન, ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે ઉલ્લેખિત, સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત:

ઉદાહરણ 16

ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુ આપેલ છે. શોધો (શિરોબિંદુ કોણ).

ઉકેલ:શરતો અનુસાર, ચિત્રની જરૂર નથી, પરંતુ હજુ પણ:

જરૂરી કોણ લીલા ચાપ સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે. ચાલો તરત જ કોણ માટે શાળા હોદ્દો યાદ રાખીએ: - ખાસ ધ્યાનપર સરેરાશઅક્ષર - આ આપણને જોઈતા કોણનું શિરોબિંદુ છે. સંક્ષિપ્તતા માટે, તમે સરળ રીતે પણ લખી શકો છો.

ડ્રોઇંગ પરથી તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે ત્રિકોણનો કોણ વેક્ટર વચ્ચેના કોણ સાથે એકરુપ છે અને બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: .

માનસિક રીતે વિશ્લેષણ કેવી રીતે કરવું તે શીખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ચાલો વેક્ટર્સ શોધીએ:

ચાલો સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ:

અને વેક્ટરની લંબાઈ:

કોણની કોસાઈન:

આ બરાબર કાર્ય પૂર્ણ કરવાનો ક્રમ છે જે હું ડમીઝ માટે ભલામણ કરું છું. વધુ અદ્યતન વાચકો "એક લીટીમાં" ગણતરીઓ લખી શકે છે:

અહીં "ખરાબ" કોસાઇન મૂલ્યનું ઉદાહરણ છે. પરિણામી મૂલ્ય અંતિમ નથી, તેથી છેદમાં અતાર્કિકતાથી છૂટકારો મેળવવામાં થોડો મુદ્દો છે.

ચાલો કોણ પોતે શોધીએ:

જો તમે ડ્રોઇંગ જુઓ છો, તો પરિણામ તદ્દન બુદ્ધિગમ્ય છે. તપાસવા માટે, કોણ પ્રોટ્રેક્ટર વડે પણ માપી શકાય છે. મોનિટર કવરને નુકસાન ન કરો =)

જવાબ:

જવાબમાં આપણે એ ભૂલતા નથી ત્રિકોણના કોણ વિશે પૂછ્યું(અને વેક્ટર વચ્ચેના કોણ વિશે નહીં), ચોક્કસ જવાબ સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં: અને કોણનું અંદાજિત મૂલ્ય: , કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.

જેમણે પ્રક્રિયાનો આનંદ માણ્યો છે તેઓ ખૂણાઓની ગણતરી કરી શકે છે અને પ્રમાણભૂત સમાનતાની માન્યતા ચકાસી શકે છે

ઉદાહરણ 17

ત્રિકોણને અવકાશમાં તેના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બાજુઓ અને વચ્ચેનો કોણ શોધો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ

નાના અંતિમ વિભાગઅનુમાનોને સમર્પિત કરવામાં આવશે, જેમાં સ્કેલર ઉત્પાદન પણ "સંકળાયેલ" છે:

વેક્ટર પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ. સંકલન અક્ષો પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ.
વેક્ટરની દિશા કોસાઇન્સ

વેક્ટરને ધ્યાનમાં લો અને:

ચાલો વેક્ટરને વેક્ટર પર પ્રક્ષેપિત કરીએ આ કરવા માટે, અમે વેક્ટરની શરૂઆત અને અંતને છોડી દઈએ છીએ લંબવેક્ટર સુધી (લીલી ડોટેડ રેખાઓ). કલ્પના કરો કે પ્રકાશના કિરણો વેક્ટર પર કાટખૂણે પડે છે. પછી સેગમેન્ટ (લાલ રેખા) એ વેક્ટરનો "શેડો" હશે. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ સેગમેન્ટની LENGTH છે. એટલે કે, પ્રોજેક્શન એ એક નંબર છે.

આ NUMBER નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: , “મોટા વેક્ટર” વેક્ટરને સૂચવે છે જેપ્રોજેક્ટ, "સ્મોલ સબસ્ક્રિપ્ટ વેક્ટર" વેક્ટરને સૂચવે છે ચાલુજે અનુમાનિત છે.

એન્ટ્રી પોતે આ રીતે વાંચે છે: "વેક્ટર "a" નું વેક્ટર "be" પર પ્રક્ષેપણ.

જો વેક્ટર "be" "ખૂબ ટૂંકો" હોય તો શું થાય? અમે એક સીધી રેખા દોરીએ છીએ જેમાં વેક્ટર “be” હોય છે. અને વેક્ટર “a” પહેલાથી જ અંદાજવામાં આવશે વેક્ટર "be" ની દિશામાં, સરળ રીતે - વેક્ટર “be” ધરાવતી સીધી રેખા સુધી. જો વેક્ટર “a” ત્રીસમા સામ્રાજ્યમાં મુલતવી રાખવામાં આવે તો તે જ વસ્તુ થશે - તે હજી પણ વેક્ટર “be” ધરાવતી સીધી રેખા પર સરળતાથી પ્રક્ષેપિત થશે.

જો કોણવેક્ટર્સ વચ્ચે મસાલેદાર(ચિત્રમાંની જેમ), પછી

જો વેક્ટર્સ ઓર્થોગોનલ, પછી (પ્રક્ષેપણ એ એક બિંદુ છે જેના પરિમાણો શૂન્ય માનવામાં આવે છે).

જો કોણવેક્ટર્સ વચ્ચે મંદબુદ્ધિ(આકૃતિમાં, વેક્ટર તીરને માનસિક રીતે ફરીથી ગોઠવો), પછી (સમાન લંબાઈ, પરંતુ ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે).

ચાલો આ વેક્ટર્સને એક બિંદુથી કાવતરું કરીએ:

દેખીતી રીતે, જ્યારે વેક્ટર ફરે છે, ત્યારે તેનું પ્રક્ષેપણ બદલાતું નથી