સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત સ્થિતિ અનુસાર, પ્રાઇમ મેરિડીયન એ એક માનવામાં આવે છે જે ગ્રીનવિચમાં જૂની ગ્રીનવિચ ઓબ્ઝર્વેટરીમાંથી પસાર થાય છે. GPS નેવિગેટરનો ઉપયોગ કરીને સ્થાનના ભૌગોલિક કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવી શકાય છે. આ ઉપકરણ WGS-84 કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સેટેલાઇટ પોઝિશનિંગ સિસ્ટમ સિગ્નલ મેળવે છે, જે સમગ્ર વિશ્વ માટે સમાન છે.
નેવિગેટર મોડલ ઉત્પાદક, કાર્યક્ષમતા અને ઇન્ટરફેસમાં બદલાય છે. હાલમાં, કેટલાક મોડેલોમાં બિલ્ટ-ઇન GPS નેવિગેટર્સ પણ ઉપલબ્ધ છે સેલ ફોન. પરંતુ કોઈપણ મોડેલ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ રેકોર્ડ અને સાચવી શકે છે.
જીપીએસ કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનું અંતર
વ્યવહારુ ઉકેલવા માટે અને સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓકેટલાક ઉદ્યોગોમાં તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરવામાં સક્ષમ હોવું જરૂરી છે. તમે આ કરી શકો તેવી ઘણી રીતો છે. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપસબમિશન ભૌગોલિક કોઓર્ડિનેટ્સ: ડિગ્રી, મિનિટ, સેકન્ડ.ઉદાહરણ તરીકે, તમે નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરી શકો છો: બિંદુ નંબર 1 - અક્ષાંશ 55°45′07″ N, રેખાંશ 37°36′56″ E; બિંદુ નંબર 2 - અક્ષાંશ 58°00′02″ N, રેખાંશ 102°39′42″ E.
બે બિંદુઓ વચ્ચેની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે. બ્રાઉઝર સર્ચ એન્જિનમાં, તમારે નીચેના શોધ પરિમાણો સેટ કરવા આવશ્યક છે: ઑનલાઇન - બે કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવા માટે. ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરમાં, પ્રથમ અને બીજા કોઓર્ડિનેટ્સ માટે ક્વેરી ફીલ્ડમાં અક્ષાંશ અને રેખાંશ મૂલ્યો દાખલ કરવામાં આવે છે. ગણતરી કરતી વખતે, ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરે પરિણામ આપ્યું - 3,800,619 મી.
આગળની પદ્ધતિ વધુ શ્રમ-સઘન છે, પરંતુ વધુ દ્રશ્ય પણ છે. તમારે કોઈપણ ઉપલબ્ધ મેપિંગ અથવા નેવિગેશન પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. પ્રોગ્રામ કે જેમાં તમે કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને પોઈન્ટ બનાવી શકો છો અને તેમની વચ્ચેનું અંતર માપી શકો છો નીચેના કાર્યક્રમો: બેઝકેમ્પ (મેપસોર્સ પ્રોગ્રામનું આધુનિક એનાલોગ), Google Earth, SAS.Planet.
ઉપરોક્ત તમામ પ્રોગ્રામ કોઈપણ નેટવર્ક વપરાશકર્તા માટે ઉપલબ્ધ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગૂગલ અર્થમાં બે કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પ્રથમ બિંદુ અને બીજા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દર્શાવતા બે લેબલ બનાવવાની જરૂર છે. પછી, "શાસક" ટૂલનો ઉપયોગ કરીને, તમારે પ્રથમ અને બીજા ચિહ્નોને રેખા સાથે કનેક્ટ કરવાની જરૂર છે, પ્રોગ્રામ આપમેળે માપન પરિણામ પ્રદર્શિત કરશે અને પૃથ્વીની ઉપગ્રહ છબી પરનો માર્ગ બતાવશે.
ઉપર આપેલા ઉદાહરણના કિસ્સામાં, ગૂગલ અર્થ પ્રોગ્રામે પરિણામ આપ્યું - બિંદુ નંબર 1 અને બિંદુ નંબર 2 વચ્ચેના અંતરની લંબાઈ 3,817,353 મીટર છે.
અંતર નક્કી કરતી વખતે ભૂલ કેમ થાય છે
કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેની હદની તમામ ગણતરીઓ ચાપની લંબાઈની ગણતરી પર આધારિત છે. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા ચાપની લંબાઈની ગણતરીમાં સામેલ છે. પરંતુ પૃથ્વીનો આકાર અંડાકાર લંબગોળની નજીક હોવાથી, પૃથ્વીની ત્રિજ્યા ચોક્કસ બિંદુઓ પર અલગ પડે છે. કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવા માટે, પૃથ્વીની ત્રિજ્યાનું સરેરાશ મૂલ્ય લેવામાં આવે છે, જે માપમાં ભૂલ આપે છે. જેટલું વધારે અંતર માપવામાં આવે છે, તેટલી મોટી ભૂલ.વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનું નિરાકરણ ઘણીવાર ઘણી મુશ્કેલીઓ સાથે હોય છે. વિદ્યાર્થીને આ મુશ્કેલીઓનો સામનો કરવામાં મદદ કરો, તેમજ તેની પાસે જે છે તેનો ઉપયોગ કરવાનું શીખવો સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનનક્કી કરતી વખતે ચોક્કસ કાર્યો"ગણિત" વિષયના કોર્સના તમામ વિભાગોમાં - અમારી સાઇટનો મુખ્ય હેતુ.
વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવાનું શરૂ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓ તેના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન પર એક બિંદુ બાંધવામાં સક્ષમ હોવા જોઈએ, તેમજ આપેલ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકે છે.
પ્લેનમાં લેવાયેલા બે બિંદુઓ A(x A; y A) અને B(x B; y B) વચ્ચેના અંતરની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), જ્યાં d એ સેગમેન્ટની લંબાઈ છે જે પ્લેન પર આ બિંદુઓને જોડે છે.
જો સેગમેન્ટનો એક છેડો કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે એકરુપ હોય અને બીજામાં કોઓર્ડિનેટ M(x M; y M) હોય, તો d ની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર OM = √(x M 2 + y M 2) સ્વરૂપ લેશે. ).
1. આ બિંદુઓના આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સના આધારે બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી
ઉદાહરણ 1.
ને જોડતા સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધો સંકલન વિમાનપોઈન્ટ A(2; -5) અને B(-4; 3) (ફિગ. 1).
ઉકેલ.
સમસ્યાનું નિવેદન જણાવે છે: x A = 2; x B = -4; y A = -5 અને y B = 3. d શોધો.
ફોર્મ્યુલા d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:
d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. આપેલ ત્રણ બિંદુઓથી સમાન અંતર ધરાવતા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી
ઉદાહરણ 2.
બિંદુ O 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો, જે ત્રણ બિંદુઓ A(7; -1) અને B(-2; 2) અને C(-1; -5) થી સમાન છે.
ઉકેલ.
સમસ્યાની સ્થિતિની રચના પરથી તે અનુસરે છે કે O 1 A = O 1 B = O 1 C. ઇચ્છિત બિંદુ O 1 ને કોઓર્ડિનેટ્સ (a; b) રાખવા દો. ફોર્મ્યુલા d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:
O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);
O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
ચાલો બે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ:
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
ડાબી બાજુ ચોરસ કર્યા પછી અને જમણા ભાગોઅમે સમીકરણો લખીએ છીએ:
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.
સરળતા, ચાલો લખીએ
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.
સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, અમને મળે છે: a = 2; b = -1.
પોઈન્ટ O 1 (2; -1) એ શરતમાં ઉલ્લેખિત ત્રણ બિંદુઓથી સમાન અંતરે છે જે સમાન સીધી રેખા પર ન આવે. આ બિંદુ ત્રણમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે આપેલ પોઈન્ટ (ફિગ. 2).
3. એક બિંદુના એબ્સીસા (ઓર્ડિનેટ) ની ગણતરી જે એબ્સીસા (ઓર્ડિનેટ) અક્ષ પર સ્થિત છે અને આપેલ બિંદુથી આપેલ અંતર પર છે
ઉદાહરણ 3.
Ox ધરી પર પડેલા બિંદુ B(-5; 6) થી બિંદુ A સુધીનું અંતર 10 છે. બિંદુ A શોધો.
ઉકેલ.
સમસ્યાની સ્થિતિની રચના પરથી તે અનુસરે છે કે બિંદુ A નું પ્રમાણ શૂન્ય અને AB = 10 બરાબર છે.
બિંદુ A ના એબ્સીસાને a દ્વારા દર્શાવતા, આપણે A(a; 0) લખીએ છીએ.
AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).
આપણને સમીકરણ √((a + 5) 2 + 36) = 10 મળે છે. તેને સરળ બનાવતા, આપણી પાસે છે
a 2 + 10a – 39 = 0.
આ સમીકરણના મૂળ એ 1 = -13 છે; અને 2 = 3.
આપણને બે પોઈન્ટ A 1 (-13; 0) અને A 2 (3; 0) મળે છે.
પરીક્ષા:
A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
બંને મેળવેલા મુદ્દાઓ સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર યોગ્ય છે (ફિગ. 3).
4. એબ્સીસા (ઓર્ડિનેટ) એબિંદુની ગણતરી જે એબ્સીસા (ઓર્ડિનેટ) અક્ષ પર સ્થિત છે અને આપેલા બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે છે
ઉદાહરણ 4.
ઓય અક્ષ પર એક બિંદુ શોધો જે બિંદુઓ A (6, 12) અને B (-8, 10) થી સમાન અંતરે છે.
ઉકેલ.
સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ દ્વારા જરૂરી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ, Oy અક્ષ પર પડેલા, O 1 (0; b) થવા દો (Oy અક્ષ પર પડેલા બિંદુ પર, abscissa શૂન્ય છે). તે શરતથી અનુસરે છે કે O 1 A = O 1 B.
ફોર્મ્યુલા d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:
O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
આપણી પાસે સમીકરણ √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) અથવા 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 છે.
સરળીકરણ પછી આપણને મળે છે: b – 4 = 0, b = 4.
બિંદુ O 1 (0; 4) સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ દ્વારા જરૂરી છે (ફિગ. 4).
5. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી જે સંકલન અક્ષો અને અમુક આપેલ બિંદુઓથી સમાન અંતરે સ્થિત છે
ઉદાહરણ 5.
સંકલન અક્ષો અને બિંદુ A(-2; 1) થી સમાન અંતરે કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર સ્થિત બિંદુ M શોધો.
ઉકેલ.
જરૂરી બિંદુ M, બિંદુ A(-2; 1) જેવા, બીજામાં સ્થિત છે સંકલન કોણ, કારણ કે તે બિંદુઓ A, P 1 અને P 2 થી સમાન અંતરે છે (ફિગ. 5). સંકલન અક્ષોથી બિંદુ M નું અંતર સમાન છે, તેથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ (-a; a), જ્યાં a > 0 હશે.
સમસ્યાની સ્થિતિ પરથી તે અનુસરે છે કે MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,
તે |-a| = એ.
ફોર્મ્યુલા d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:
MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).
ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
વર્ગીકરણ અને સરળીકરણ પછી આપણી પાસે છે: a 2 – 6a + 5 = 0. સમીકરણ ઉકેલો, 1 = 1 શોધો; અને 2 = 5.
અમે બે બિંદુઓ M 1 (-1; 1) અને M 2 (-5; 5) મેળવીએ છીએ જે સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે. 
6. એબ્સીસા (ઓર્ડિનેટ) અક્ષથી અને આપેલ બિંદુથી સમાન નિર્દિષ્ટ અંતર પર સ્થિત બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી
ઉદાહરણ 6.
બિંદુ M શોધો કે જેનું ઓર્ડિનેટ અક્ષ અને બિંદુ A(8; 6) થી તેનું અંતર 5 ની બરાબર છે.
ઉકેલ.
સમસ્યાની સ્થિતિઓ પરથી તે અનુસરે છે કે MA = 5 અને બિંદુ M નું અવકાશ 5 ની બરાબર છે. ચાલો બિંદુ M નું ઓર્ડિનેટ b બરાબર હોય, પછી M(5; b) (ફિગ. 6).
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) સૂત્ર મુજબ આપણી પાસે છે:
MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
ચાલો એક સમીકરણ બનાવીએ:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. તેને સરળ બનાવતા, આપણને મળે છે: b 2 – 12b + 20 = 0. આ સમીકરણના મૂળ b 1 = 2 છે; b 2 = 10. પરિણામે, ત્યાં બે બિંદુઓ છે જે સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે: M 1 (5; 2) અને M 2 (5; 10).
તે જાણીતું છે કે ઘણા વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર નિર્ણયસમસ્યાઓને ઉકેલવા માટેની તકનીકો અને પદ્ધતિઓ પર સતત પરામર્શની જરૂર છે. ઘણીવાર, વિદ્યાર્થી શિક્ષકની મદદ વિના સમસ્યા હલ કરવાનો માર્ગ શોધી શકતો નથી. વિદ્યાર્થી અમારી વેબસાઇટ પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જરૂરી સલાહ મેળવી શકે છે.
હજુ પણ પ્રશ્નો છે? પ્લેનમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે -.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!
blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.
શાસકનો ઉપયોગ કરીને. તે વધુ સારું છે કે તે શીટ સામગ્રીમાંથી બનાવવામાં આવે જે શક્ય તેટલી પાતળી હોય. જો તે જે સપાટી પર ફેલાયેલી હોય તે સપાટ ન હોય, તો દરજીનું મીટર મદદ કરશે. અને જો તમારી પાસે પાતળો શાસક ન હોય, અને જો તમને કાર્ડને વીંધવામાં વાંધો ન હોય, તો માપવા માટે હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે, પ્રાધાન્યમાં બે સોય સાથે. પછી તમે તેને ગ્રાફ પેપરમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકો છો અને તેની સાથે સેગમેન્ટની લંબાઈને માપી શકો છો.
બે બિંદુઓ વચ્ચેના રસ્તાઓ ભાગ્યે જ સીધા હોય છે. એક અનુકૂળ ઉપકરણ - એક વળાંકમાપક - તમને રેખાની લંબાઈને માપવામાં મદદ કરશે. તેનો ઉપયોગ કરવા માટે, તીરને શૂન્ય સાથે સંરેખિત કરવા માટે પ્રથમ રોલરને ફેરવો. જો વક્રીમીટર ઇલેક્ટ્રોનિક છે, તો તેને મેન્યુઅલી શૂન્ય પર સેટ કરવું જરૂરી નથી - ફક્ત રીસેટ બટન દબાવો. રોલરને પકડીને, તેને સેગમેન્ટના પ્રારંભિક બિંદુ પર દબાવો જેથી શરીર પરનું નિશાન (રોલરની ઉપર સ્થિત) સીધા આ બિંદુ તરફ નિર્દેશ કરે. પછી ચિહ્ન સાથે સંરેખિત ન થાય ત્યાં સુધી રોલરને રેખા સાથે ખસેડો અંતિમ બિંદુ. જુબાની વાંચો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે કેટલાક વક્રીમીટરમાં બે ભીંગડા હોય છે, જેમાંથી એક સેન્ટીમીટરમાં અને બીજો ઇંચમાં ગ્રેજ્યુએટ થાય છે.
નકશા પર સ્કેલ સૂચક શોધો - તે સામાન્ય રીતે નીચલા જમણા ખૂણામાં સ્થિત હોય છે. કેટલીકવાર આ સૂચક માપાંકિત લંબાઈનો એક ભાગ હોય છે, જેની આગળ તે દર્શાવેલ છે કે તે કયા અંતરને અનુરૂપ છે. આ સેગમેન્ટની લંબાઈને શાસક વડે માપો. જો તે બહાર આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, તેની લંબાઈ 4 સેન્ટિમીટર છે, અને તેની બાજુમાં તે સૂચવવામાં આવ્યું છે કે તે 200 મીટરને અનુરૂપ છે, બીજા નંબરને પ્રથમ દ્વારા વિભાજિત કરો, અને તમે શોધી શકશો કે નકશા પરના દરેકને અનુરૂપ છે. જમીન પર 50 મીટર સુધી. કેટલાક પર, સેગમેન્ટને બદલે છે તૈયાર શબ્દસમૂહ, જે, ઉદાહરણ તરીકે, આના જેવું દેખાઈ શકે છે: "એક સેન્ટિમીટરમાં 150 મીટર છે." સ્કેલને નીચેના ફોર્મના ગુણોત્તર તરીકે પણ સ્પષ્ટ કરી શકાય છે: 1:100000. આ કિસ્સામાં, અમે ગણતરી કરી શકીએ છીએ કે નકશા પરનું એક સેન્ટિમીટર જમીન પરના 1000 મીટરને અનુરૂપ છે, કારણ કે 100000/100 (મીટરમાં સેન્ટિમીટર) = 1000 મીટર છે.
નકશા પર દર્શાવેલ મીટરની સંખ્યા દ્વારા અથવા એક સેન્ટીમીટરમાં ગણતરી કરેલ, સેન્ટીમીટરમાં દર્શાવવામાં આવેલ, શાસક અથવા વક્રીમીટર વડે માપવામાં આવેલ અંતરનો ગુણાકાર કરો. પરિણામ આવશે વાસ્તવિક અંતર, વ્યક્ત, અનુક્રમે, અથવા કિલોમીટર.
કોઈપણ નકશો એ અમુક પ્રદેશની લઘુચિત્ર છબી છે. એક ગુણાંક દર્શાવે છે કે ઇમેજના સંબંધમાં કેટલો ઘટાડો થયો છે વાસ્તવિક પદાર્થ, સ્કેલ કહેવાય છે. તે જાણીને, તમે નક્કી કરી શકો છો અંતરદ્વારા વાસ્તવિક માટે હાલના નકશાકાગળ પર, સ્કેલ એક નિશ્ચિત મૂલ્ય છે. વર્ચ્યુઅલ માટે ઇલેક્ટ્રોનિક કાર્ડ્સમોનિટર સ્ક્રીન પર નકશાની છબીના વિસ્તરણમાં ફેરફાર થતાં આ મૂલ્ય બદલાય છે.
સૂચનાઓ
દ્વારા અંતર નકશોજીઓઇન્ફોર્મેશન પેકેજોમાં "રૂલર" ટૂલનો ઉપયોગ કરીને માપી શકાય છે ગૂગલ અર્થઅને યાન્ડેક્ષ નકશા, નકશા માટેનો આધાર જેમાં ઉપગ્રહ ઉપગ્રહો છે. ફક્ત આ ટૂલ ચાલુ કરો અને તે બિંદુ પર ક્લિક કરો જે તમારા રૂટની શરૂઆતને ચિહ્નિત કરે છે અને જ્યાં તમે તેને સમાપ્ત કરવાની યોજના ઘડી રહ્યા છો. અંતર મૂલ્ય માપનના કોઈપણ એકમોમાં મળી શકે છે.
પ્લેનમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર.
સંકલન સિસ્ટમો
પ્લેનનો દરેક બિંદુ A તેના કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y) દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. તેઓ વેક્ટર 0A ના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સુસંગત છે, બિંદુ 0 થી બહાર આવે છે - કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ.
A અને B ને રહેવા દો મનસ્વી બિંદુઓઅનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ (x 1 y 1) અને (x 2, y 2) સાથેના વિમાનો.
પછી વેક્ટર AB સ્પષ્ટપણે કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (x 2 - x 1, y 2 - y 1). તે જાણીતું છે કે વેક્ટર લંબાઈનો ચોરસ સરવાળો સમાનતેના કોઓર્ડિનેટના ચોરસ. તેથી, બિંદુ A અને B વચ્ચેનું અંતર d, અથવા, જે સમાન છે, વેક્ટર AB ની લંબાઈ, સ્થિતિ પરથી નક્કી થાય છે.
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
પરિણામી સૂત્ર તમને પ્લેન પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાની મંજૂરી આપે છે, જો ફક્ત આ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીતા હોય.
જ્યારે પણ આપણે પ્લેનમાં કોઈ ચોક્કસ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ વિશે વાત કરીએ છીએ, ત્યારે અમારો અર્થ સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ x0y છે. સામાન્ય રીતે, પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અલગ અલગ રીતે પસંદ કરી શકાય છે. તેથી, x0y કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને બદલે, તમે x"0y" કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો, જે પ્રારંભિક બિંદુ 0 ની આસપાસ જૂના સંકલન અક્ષોને ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાંખૂણા પર તીર α .
જો x0y કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેનના અમુક બિંદુઓ કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y) ધરાવતા હોય, તો પછી માં નવી સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ x"0y" તેમાં અલગ અલગ કોઓર્ડિનેટ્સ હશે (x", y").
ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ M ને ધ્યાનમાં લો, જે 0x-અક્ષ પર સ્થિત છે અને 1 ના અંતરે બિંદુ 0 થી અલગ છે.
દેખીતી રીતે, x0y કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આ બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (cos α ,પાપ α ), અને x"0y" કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (1,0) છે.
પ્લેન A અને B પરના કોઈપણ બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આ પ્લેનમાં કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ કેવી રીતે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખે છે. પરંતુ આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને સ્પષ્ટ કરવાની પદ્ધતિ પર આધારિત નથી. અમે આગામી ફકરામાં આ મહત્વપૂર્ણ સંજોગોનો નોંધપાત્ર ઉપયોગ કરીશું.
કસરતો
I. કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પ્લેનના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:
1) (3.5) અને (3.4); 3) (0.5) અને (5, 0); 5) (-3,4) અને (9, -17);
2) (2, 1) અને (- 5, 1); 4) (0, 7) અને (3,3); 6) (8, 21) અને (1, -3).
II. ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો જેની બાજુઓ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવી છે:
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 અને y = 1.
III. x0y કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, બિંદુઓ M અને N અનુક્રમે (1, 0) અને (0,1) કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો, જે જૂના અક્ષોને ફરતે ફેરવવાના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે. પ્રારંભિક બિંદુઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં 30°ના ખૂણા પર.
IV. x0y કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, પોઈન્ટ M અને N પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ (2, 0) અને (\ / 3/2, - 1/2) અનુક્રમે. નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો, જે જૂના અક્ષોને શરૂઆતના બિંદુની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં 30°ના ખૂણાથી ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે.
એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપવામાં આવે.
પ્રમેય 1.1.પ્લેનના કોઈપણ બે બિંદુઓ M 1 (x 1;y 1) અને M 2 (x 2;y 2) માટે, તેમની વચ્ચેનું અંતર d સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પુરાવો.ચાલો અનુક્રમે M 1 અને M 2 બિંદુઓ પરથી લંબ M 1 B અને M 2 A છોડીએ.
Oy અને Ox અક્ષ પર અને K દ્વારા દર્શાવો M 1 B અને M 2 A (ફિગ. 1.4) રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને. નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:
1) પોઈન્ટ M 1, M 2 અને K અલગ છે. દેખીતી રીતે, બિંદુ K પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ છે (x 2;y 1). તે જોવાનું સરળ છે કે M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. કારણ કે ∆M 1 KM 2 લંબચોરસ છે, પછી પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા d = M 1 M 2 = 
= .
2) બિંદુ K બિંદુ M 2 સાથે એકરુપ છે, પરંતુ બિંદુ M 1 (ફિગ. 1.5) થી અલગ છે. આ કિસ્સામાં y 2 = y 1
અને d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= 
=
3) બિંદુ K બિંદુ M 1 સાથે એકરુપ છે, પરંતુ બિંદુ M 2 થી અલગ છે. આ કિસ્સામાં x 2 = x 1 અને d =
M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= 
= .
4) બિંદુ M 2 બિંદુ M 1 સાથે એકરુપ છે. પછી x 1 = x 2, y 1 = y 2 અને
d = M 1 M 2 = O = .
આ સંદર્ભમાં સેગમેન્ટનું વિભાજન.
પ્લેન પર એક મનસ્વી સેગમેન્ટ M 1 M 2 આપવા દો અને M ─ આમાંથી કોઈપણ બિંદુ દો
બિંદુ M 2 (ફિગ. 1.6) થી અલગ સેગમેન્ટ. સંખ્યા l, સમાનતા l = દ્વારા વ્યાખ્યાયિત 
, કહેવાય છે વલણજે બિંદુએ M એ સેગમેન્ટ M 1 M 2 ને વિભાજિત કરે છે.
પ્રમેય 1.2.જો બિંદુ M(x;y) સેગમેન્ટ M 1 M 2 ને l ના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે, તો આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
x = 
, y = 
,
(4)
જ્યાં (x 1;y 1) ─ બિંદુ M 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ, (x 2;y 2) ─ બિંદુ M 2 ના કોઓર્ડિનેટ્સ.
પુરાવો.ચાલો પ્રથમ સૂત્રો (4) સાબિત કરીએ. બીજી ફોર્મ્યુલા એ જ રીતે સાબિત થાય છે. ત્યાં બે સંભવિત કિસ્સાઓ છે.
x = x 1 = 
= 
= .
2) સીધી રેખા M 1 M 2 ઓક્સ અક્ષને લંબરૂપ નથી (ફિગ. 1.6). ચાલો બિંદુઓ M 1, M, M 2 થી Ox અક્ષ સુધી લંબને નીચે કરીએ અને Ox અક્ષ સાથેના તેમના આંતરછેદના બિંદુઓને અનુક્રમે P 1, P, P 2 તરીકે નિયુક્ત કરીએ. વિશે પ્રમેય દ્વારા પ્રમાણસર વિભાગો 
= લ.
કારણ કે P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô અને સંખ્યાઓ (x – x 1) અને (x 2 – x) સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે (x 1 પર< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 નકારાત્મક છે), પછી
l = = 
,
x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,
x = .
કોરોલરી 1.2.1.જો M 1 (x 1;y 1) અને M 2 (x 2;y 2) બે મનસ્વી બિંદુઓ છે અને બિંદુ M(x;y) સેગમેન્ટ M 1 M 2 ની મધ્યમાં છે, તો પછી
x = 
, y = 
(5)
પુરાવો.ત્યારથી M 1 M = M 2 M, પછી l = 1 અને સૂત્રો (4) નો ઉપયોગ કરીને આપણે સૂત્રો (5) મેળવીએ છીએ.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ.
પ્રમેય 1.3.કોઈપણ પોઈન્ટ A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) અને C(x 3;y 3) માટે કે જે એકસરખા બોલતા નથી
સીધો, વિસ્તાર એસ ત્રિકોણ ABCસૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત
S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)
પુરાવો.ક્ષેત્રફળ ∆ ABC ફિગમાં બતાવેલ છે. 1.7, અમે નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરીએ છીએ
S ABC = S ADEC + S BCEF - S ABFD .
અમે ટ્રેપેઝોઇડ્સના ક્ષેત્રની ગણતરી કરીએ છીએ:
એસ ADEC = 
,
S BCEF = 
S ABFD = 
હવે અમારી પાસે છે
S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –
X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –
- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).
અન્ય સ્થાન ∆ ABC માટે, સૂત્ર (6) સમાન રીતે સાબિત થાય છે, પરંતુ તે "-" ચિહ્ન સાથે બહાર આવી શકે છે. તેથી, સૂત્ર (6) માં તેઓ મોડ્યુલસ ચિહ્ન મૂકે છે.
વ્યાખ્યાન 2.
પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ: મુખ્ય ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ, સામાન્ય સમીકરણરેખા, વિભાગોમાં રેખાનું સમીકરણ, બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ. સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો, સમાંતરની સ્થિતિઓ અને પ્લેન પર સીધી રેખાઓની લંબરૂપતા.
2.1. પ્લેન પર એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અને કેટલીક રેખા L આપવા દો.
વ્યાખ્યા 2.1.ફોર્મ F(x;y) = 0 નું સમીકરણ, સંબંધિત ચલો x અને y કહેવાય છે રેખા સમીકરણ એલ(વી આપેલ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ), જો આ સમીકરણ L રેખા પર આવેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ હોય, અને આ રેખા પર ન હોય તેવા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નહીં.
પ્લેન પર રેખાઓના સમીકરણોના ઉદાહરણો.
1) ઓય અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાને ધ્યાનમાં લો લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ (ફિગ. 2.1). ચાલો અક્ષર A દ્વારા Ox ધરી સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુને સૂચવીએ, (a;o) ─ તેના or-
ડીનાટ્સ સમીકરણ x = a એ આપેલ રેખાનું સમીકરણ છે. ખરેખર, આ સમીકરણ આ રેખાના કોઈપણ બિંદુ M(a;y) ના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ છે અને રેખા પર ન હોય તેવા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સથી સંતુષ્ટ નથી. જો a = 0 હોય, તો સીધી રેખા ઓય અક્ષ સાથે એકરુપ થાય છે, જેનું સમીકરણ x = 0 છે.
2) સમીકરણ x - y = 0 એ પ્લેનના બિંદુઓના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે દ્વિભાજકો I અને બનાવે છે III સંકલનખૂણા
3) સમીકરણ x 2 - y 2 = 0 ─ એ સંકલન કોણના બે દ્વિભાજકોનું સમીકરણ છે.
4) સમીકરણ x 2 + y 2 = 0 પ્લેન પર એક બિંદુ O(0;0) વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
5) સમીકરણ x 2 + y 2 = 25 ─ મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા 5 ના વર્તુળનું સમીકરણ.
