વર્તુળમાં શામેલ ખૂણાઓ

એક ખૂણો વિમાનને બે ભાગોમાં તોડે છે. દરેક ભાગને પ્લેન એંગલ કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ 13 માં, બાજુઓ a અને b સાથેનો એક પ્લેન એંગલ છાંયો છે. સાથે સપાટ ખૂણા સામાન્ય બાજુઓવધારાના કહેવાય છે.

જો પ્લેન એંગલ અર્ધ-પ્લેનનો ભાગ હોય, તો તેના ડિગ્રી માપને સમાન બાજુઓવાળા સામાન્ય કોણનું ડિગ્રી માપ કહેવામાં આવે છે. જો પ્લેન એન્ગલમાં હાફ પ્લેન હોય, તો તેનું ડિગ્રી માપ 360° - b ની બરાબર લેવામાં આવે છે, જ્યાં b એ વધારાના પ્લેન એન્ગલ (ફિગ. 14) નું ડિગ્રી માપ છે.

ચોખા. 13

વર્તુળમાં કેન્દ્રિય ખૂણો એ તેના કેન્દ્રમાં શિરોબિંદુ ધરાવતો સમતલ કોણ છે. સમતલ કોણની અંદર સ્થિત વર્તુળના ભાગને આ કેન્દ્રીય કોણ (ફિગ. 15) ને અનુરૂપ વર્તુળની ચાપ કહેવામાં આવે છે. વર્તુળના ચાપનું ડિગ્રી માપ એ સંબંધિત કેન્દ્રીય કોણનું ડિગ્રી માપ છે.

ચોખા. 15

એક ખૂણો જેનું શિરોબિંદુ વર્તુળ પર સ્થિત છે અને જેની બાજુઓ આ વર્તુળને છેદે છે તેને વર્તુળમાં અંકિત કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ 16 માં કોણ BAC વર્તુળમાં અંકિત થયેલ છે. તેનું શિરોબિંદુ A વર્તુળ પર આવેલું છે, અને તેની બાજુઓ વર્તુળને B અને C બિંદુઓ પર છેદે છે. એવું પણ કહેવાય છે કે કોણ A તાર BC પર રહે છે. સીધી રેખા BC વર્તુળને બે ચાપમાં વિભાજિત કરે છે. મધ્ય કોણ, આ ચાપના અનુરૂપ જેમાં બિંદુ A નથી હોતું, તેને આપેલ અંકિત કોણને અનુરૂપ કેન્દ્રીય કોણ કહેવાય છે.

પ્રમેય 5. વર્તુળમાં કોતરેલ કોણ અડધા સમાનઅનુરૂપ કેન્દ્રીય કોણ.

પુરાવો.ચાલો પહેલા વિચારીએ ખાસ કેસ, જ્યારે ખૂણાની એક બાજુ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે (ફિગ. 17, a). ત્રિકોણ AOB સમદ્વિબાજુ છે કારણ કે તેની બાજુઓ OA અને OB ત્રિજ્યામાં સમાન છે. તેથી, ત્રિકોણના ખૂણા A અને B સમાન છે. અને તેમનો સરવાળો સમાન હોવાથી બાહ્ય ખૂણોશિરોબિંદુ O પર ત્રિકોણ, તો ત્રિકોણનો B કોણ AOC ના અડધા ખૂણા જેટલો છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સહાયક વ્યાસ BD (ફિગ. 17, b, c) દોરીને સામાન્ય કેસને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા વિશેષ કેસમાં ઘટાડવામાં આવે છે. આકૃતિ 17, b માં પ્રસ્તુત કેસમાં ABC = CBD + ABD = S COD + S AOD = S AOC.

આકૃતિ 17, c માં પ્રસ્તુત કેસમાં,

CBD - ABD = COD - AOD = AOC.

પ્રમેય સંપૂર્ણપણે સાબિત થાય છે.

વર્તુળના તાર અને સેકન્ટના સેગમેન્ટની પ્રમાણસરતા

જો વર્તુળની તાર AB અને CD બિંદુ S પર છેદે છે

પછી AS?BS=CS?DS.

ચાલો પહેલા સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણ ASD અને CSB સમાન છે (ફિગ. 19). પ્રમેય 5 ની કોરોલરી દ્વારા અંકિત કોણ DCB અને DAB સમાન છે. ખૂણા ASD અને BSC વર્ટિકલ કોણ સમાન છે. દર્શાવેલ ખૂણાઓની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણ ASZ અને CSB સમાન છે.

ત્રિકોણની સમાનતામાંથી પ્રમાણને અનુસરે છે

AS?BS = CS?DS, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે

ફિગ.19

જો બિંદુ P થી વર્તુળ તરફ બે સેકન્ટ્સ દોરવામાં આવે તો, અનુક્રમે A, B અને C, D પર વર્તુળને છેદે છે, તો પછી

બિંદુ A અને C એ બિંદુ P (ફિગ. 20) ની સૌથી નજીકના વર્તુળ સાથેના સેકન્ટ્સના આંતરછેદના બિંદુઓ છે. ત્રિકોણ PAD અને PCB સમાન છે. તેમની પાસે શિરોબિંદુ P પર એક સામાન્ય કોણ છે, અને શિરોબિંદુઓ B અને D પરના ખૂણા વર્તુળમાં લખેલા ખૂણાઓની મિલકત અનુસાર સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતામાંથી પ્રમાણને અનુસરે છે

તેથી PA?PB=PC?PD, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

વિષય પર 8મા ધોરણમાં ભૂમિતિ પાઠ

"તારાઓ, સ્પર્શકો અને સેકન્ટ્સના વિભાગોની પ્રમાણસરતા"

પાઠ હેતુઓ:

તાર, સ્પર્શક અને સેકન્ટના સેગમેન્ટ્સ વચ્ચેના પેટર્નને ઓળખો; સ્પર્શક અને સ્પર્શક બિંદુ તરફ દોરેલા તાર વચ્ચેના ખૂણા (જે કેન્દ્રિય કે અંકિત નથી)નું માપ નક્કી કરો;

ભૌમિતિક ચિત્ર અને લેખન સૂત્રો દ્વારા નવી સામગ્રીની ધારણાની ખાતરી કરો;

વિદ્યાર્થીઓને અગાઉ આવરી લેવામાં આવેલી સામગ્રી પર માર્ગદર્શક પ્રશ્નો દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે પ્રમેયનો પુરાવો શોધવા તરફ દોરી જાય છે; પુરાવા કુશળતાની રચના;

આપેલ કાર્યને અલ્ગોરિધમાઇઝ કરવાનું શીખવું અને તેને ઉકેલવા માટે સંચિત જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવો;

ભૌમિતિક પુરાવાઓની રચનામાં સાક્ષરતાને પ્રોત્સાહન આપવું;

વિશ્લેષણ, સંશ્લેષણ, ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિઓ દ્વારા ચુકાદાઓ અને નિષ્કર્ષોની રચના;

વિદ્યાર્થીઓમાં વિચારોની રચના અને અમલમાં ચોકસાઈ, સ્પષ્ટતા અને તર્ક જેવા લક્ષણોનો વિકાસ કરવો;

વિકાસ અમૂર્ત વિચાર, સક્રિયકરણ વિચાર પ્રક્રિયાઓ, દ્રશ્ય વિકાસ અને શ્રાવ્ય મેમરી, વિદ્યાર્થીઓની વાણી કૌશલ્ય.

પાઠનો પ્રકાર:નવી સામગ્રી શીખવી.

પાઠ યોજના.

નવી વસ્તુઓ શીખવાની તૈયારી સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીમુખ્ય પર વિદ્યાર્થીઓનું સર્વેક્ષણ કરીને સૈદ્ધાંતિક સિદ્ધાંતોવર્તુળ અને તેની સાથે સંકળાયેલ તત્વો વિશે (સ્પર્શકો, સેકન્ટ્સ, તાર, ખૂણા).

સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીની રજૂઆત.

1. વ્યાસ અને તારનાં સેગમેન્ટ્સની પ્રમાણસરતા; તાર વિભાગોની પ્રમાણસરતા.

   સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ તરફ દોરેલ સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેનો ખૂણો.

   સેકન્ટ અને ટેન્જેન્ટ સેગમેન્ટ્સની પ્રમાણસરતા, સેકન્ટ સેગમેન્ટ્સની પ્રમાણસરતા.

પાઠનો સારાંશ: પ્રમેયની રચના પર વિદ્યાર્થીઓનું સર્વેક્ષણ, પ્રમેય સાબિત કરવા માટેના વિચારો, શિક્ષકની ટિપ્પણીઓ સાથે હોમવર્કનું રેકોર્ડિંગ.

નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવાની તૈયારી.

વિષયોની મુખ્ય જોગવાઈઓની રીમાઇન્ડર " પરસ્પર સ્થિતિવર્તુળો અને સીધી રેખાઓ", "વર્તુળમાં સ્પર્શક", "સ્પર્શક ભાગોના ગુણધર્મો", "કેન્દ્રીય કોણ", "ઉતરેલ કોણ. કેન્દ્રિય કોણ દ્વારા અંકિત કોણને માપવું." નીચેના પ્રશ્નો આવરી લેવા જોઈએ:

સમાન ત્રિકોણ; ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો.

સીધી રેખા અને વર્તુળની સંબંધિત સ્થિતિ: સેકન્ટની વ્યાખ્યા, વર્તુળની અંદર પડેલા સેકન્ટના સેગમેન્ટ તરીકે તાર; સ્પર્શક

કેન્દ્રીય કોણનું નિર્ધારણ; અંકિત કોણનું નિર્ધારણ; કેન્દ્રીય કોણની ડિગ્રી માપ; કેન્દ્રિય એક દ્વારા અંકિત કોણને માપવું; અંકિત કોણ પ્રમેયની કોરોલરીઝ.

નવી સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવો અને તેની નોંધ લેવી.

2.1. તાર વિભાગોની પ્રમાણસરતા.

આ સૈદ્ધાંતિક ભાગતાર અને વ્યાસના સેગમેન્ટની પ્રમાણસરતા પર એક પ્રમેયનો સમાવેશ થાય છે જેમાં એક સામાન્ય બિંદુ હોય છે, બે તારોના કેસ માટે કોરોલરી અને એક સામાન્ય બિંદુમાંથી પસાર થતી કોઈપણ સંખ્યામાં તારોના કિસ્સામાં સામાન્યીકરણનો સમાવેશ થાય છે.

પ્રમેય 1: જો વર્તુળની અંદર કોઈ બિંદુ (M) દ્વારા લેવામાં આવે તો, અમુક તાર (AB) અને વ્યાસ (સીડી), તો પછી તાર સેગમેન્ટ્સનું ઉત્પાદન () વ્યાસના સેગમેન્ટ્સના ઉત્પાદન સમાન છે (
)(ફિગ. 1.).

ડી ano:બરાબર( વિશે; ઓએ),
- વ્યાસ, એબી- તાર,
.

સાબિત કરો:= .

પુરાવો:સમાનતા સાબિત કરવા માટે, ગુણોત્તરની તુલના કરવા માટે તે પૂરતું છે
અને
. પ્રમાણસર વિભાગો સમાન ત્રિકોણમાં સમાન બાજુઓ છે. ત્રિકોણનો વિચાર કરો
અને
. આ ત્રિકોણ ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ સંકેત અનુસાર સમાન હશે: ઊભી તરીકે; અંકિત તરીકે, સમાન ચાપ પર આરામ અને. ત્રિકોણની સમાનતામાંથી સમાન બાજુઓના પ્રમાણને અનુસરે છે, એટલે કે.

, અથવા
, અથવા = .

કોરોલરી 2: જો વર્તુળના બે તાર એકબીજાને છેદે છે, તો એક તારનાં સેગમેન્ટ્સનું ઉત્પાદન બીજી તાર (ફિગ. 2.) ના સેગમેન્ટના ગુણાંક જેટલું છે.

આપેલ:બરાબર( વિશે; ઓએ), એબી,ઇએફ- તાર,
.

સાબિત કરો:=
.

પુરાવો:ચાલો વ્યાસ દોરીએ સીડીબિંદુ દ્વારા એમ. પછી, પ્રમેય 1 દ્વારા, તાર માટે એબી: = ;

તાર માટે ઇએફ:
= .

સમાનતાઓની જમણી બાજુઓ સમાન હોવાથી, ડાબી બાજુઓ પણ સમાન છે, એટલે કે.

કોરોલરી 3 (કોરોલરી 1 નું સામાન્યીકરણ): જો કોઈ બિંદુ (M) દ્વારા વર્તુળની અંદર લેવામાં આવે, તો કોઈપણ સંખ્યામાં તાર (એબી, ઇએફ, કેએલ,...), તો પછી દરેક તારનાં સેગમેન્ટ્સનું ઉત્પાદન એ સંખ્યા છે જે તમામ તાર માટે સ્થિર છે (કારણ કે દરેક તાર માટે આ ઉત્પાદન આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતા વ્યાસના ભાગોના ગુણાંક સમાન છે).

સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ તરફ દોરેલ સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેનો ખૂણો.

આ આઇટમ તમને સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેના ખૂણાના માપને નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે જે સ્પર્શેન્દ્રિયના બિંદુ તરફ દોરવામાં આવે છે (જે ન તો કેન્દ્રીય ખૂણો છે કે ન તો વર્તુળમાં કોતરાયેલો ખૂણો). તે તમને સ્પર્શક અને સેકન્ટ સેગમેન્ટની પ્રમાણસરતા પર પ્રમેય સાબિત કરવાની પણ પરવાનગી આપે છે.

પ્રમેય 4: સ્પર્શક અને સંપર્ક બિંદુ તરફ દોરવામાં આવેલ તાર વચ્ચેનો કોણ આ તાર (ફિગ. 3.) ને સમાવીને અડધા ચાપ દ્વારા માપવામાં આવે છે.

ડી ano:બરાબર( ઓહ ઓએ), એસી- સ્પર્શક, એ- સંપર્ક બિંદુ,

એબી- તાર.

સાબિત કરો:
.

પુરાવો:ચાલો જરૂરી સૂચિત કરીએ
દ્વારા . કારણ કે એસી- સ્પર્શક, પછી
. ચાલો વિચાર કરીએ
- સમદ્વિબાજુ ( JSC, VO– radii), પછી

ચાલો શોધીએ

બીજી બાજુ
, તેથી,
, અથવા
.

સ્પર્શક અને સેકન્ટ સેગમેન્ટની પ્રમાણસરતા.

આ ભાગ તમને નક્કી કરવા દે છે પ્રમાણસર વિભાગોએક બિંદુ પરથી દોરેલા સ્પર્શક અને સેકન્ટ માટે, એક બિંદુથી આપેલ વર્તુળમાં દોરેલા બે અથવા વધુ સેકન્ટ માટે.

પ્રમેય 5: જો કોઈ બિંદુ (M) વર્તુળની બહાર લેવામાં આવે છે, તો અમુક સેકન્ટ (MA) અને સ્પર્શક (MS) તેની તરફ દોરવામાં આવે છે, તો સેકન્ટ (MA) અને તેના બાહ્ય ભાગ (MB) નું ઉત્પાદન સમાન છે. સ્પર્શકનો ચોરસ (MC) ( ફિગ. 4.).

ડી ano:બરાબર( ઓહ ઓએ), એમ.એસ- સ્પર્શક, એમ.એ- સેકન્ટ

એમ.વી- સેકન્ટનો બાહ્ય ભાગ એમ.એ.

સાબિત કરો:
.

પુરાવો:સમાનતા સાબિત કરવા માટે, ગુણોત્તરની તુલના કરવા માટે તે પૂરતું છે
અને
, એટલે કે ધ્યાનમાં લો
અને
. ચાલો બતાવીએ કે તેઓ સમાન છે. હકીકતમાં,
- સામાન્ય,
અંકિત તરીકે, અને
પ્રમેય 4 દ્વારા (સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેના કોણ તરીકે સ્પર્શક બિંદુ તરફ દોરવામાં આવે છે), એટલે કે. .

તેથી, તે સમાન છે (ત્રિકોણની સમાનતાના 1લા માપદંડ મુજબ), અને તેથી, = , અથવા .

કોરોલરી 6: જો કોઈ વર્તુળની બહાર લીધેલા કોઈ બિંદુ પરથી તેના તરફ કોઈ સંખ્યાબંધ સેકન્ટ્સ દોરવામાં આવે, તો દરેક સેકન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગનો ગુણાંક આ તમામ સેકન્ટ્સ માટે એક સ્થિર સંખ્યા છે (કારણ કે દરેક સેકન્ટ માટે આ ઉત્પાદન ચોરસ સમાન છે. લીધેલા બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવેલ સ્પર્શકનો).

સારાંશ.

પ્રમેય અને કોરોલરીના ફોર્મ્યુલેશનના ઉચ્ચારણ દ્વારા સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનું પ્રાથમિક એકત્રીકરણ, તેમના પુરાવા માટેના વિચારો.

નીચેનાને હોમવર્ક તરીકે સૂચવવામાં આવ્યું હતું:

સૈદ્ધાંતિક સમસ્યા: વ્યાસ એબીઆપેલ વર્તુળ એક બિંદુથી આગળ વિસ્તરેલ છે IN. અમુક બિંદુ દ્વારા સાથેઆ ચાલુ રાખવાથી એક સીધી રેખા દોરવામાં આવે છે
. જો મનસ્વી બિંદુ એમઆ લંબને બિંદુ સાથે જોડો એ, પછી (દ્વારા સૂચિત આ રેખાના વર્તુળ સાથે આંતરછેદનો બીજો બિંદુ) ઉત્પાદન
કોઈપણ બિંદુ M માટે સ્થિર મૂલ્ય છે.

ફોર્મ્યુલાની અરજી પર સમસ્યાઓ નં. 666 અને નંબર 671 (એલ. એસ. અટાનાસ્યાન દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક) પ્રમાણસર વિભાગોતાર, સ્પર્શક અને સેકન્ટ્સ;

ટાસ્ક નંબર 660 “ઇનસ્ક્રાઇબ એન્ગલ” વિષયની સમીક્ષા કરવા માટે;

સારી રીતે વાંચેલી સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી શીખો (ત્યારથી આગામી પાઠસાથે શરૂ કરવાનું માનવામાં આવે છે પરીક્ષણ કાર્યઆ સિદ્ધાંત મુજબ).

ઉત્પાદકતા.પાઠ દરમિયાન, વિદ્યાર્થીઓએ તાર, સ્પર્શક અને સેકન્ટના સેગમેન્ટ્સ વચ્ચેની પેટર્ન ઓળખી; સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ તરફ દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેના ખૂણાનું માપ નક્કી કરવામાં આવે છે; ભૌમિતિક ચિત્ર અને લેખન સૂત્રો દ્વારા વિદ્યાર્થીઓની નવી સામગ્રીની સમજ સુનિશ્ચિત કરવામાં આવી હતી; વિદ્યાર્થીઓને ભૌમિતિક પુરાવાઓની ડિઝાઇનમાં સક્ષમ બનવાની તાલીમ આપવામાં આવી હતી.

પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, તમારે “વર્તુળ” વિષય પર આવરી લેવામાં આવેલી સામગ્રીનો સંદર્ભ લેવો જોઈએ. સીધી રેખા અને વર્તુળની સંબંધિત સ્થિતિ. કેન્દ્રિય અને અંકિત ખૂણા. બાજુઓ તરીકે વિભાગોની પ્રમાણસરતાના ખ્યાલને યાદ કરો સમાન ત્રિકોણ.

બે તારોના ભાગોની પ્રમાણસરતાને અલગથી પ્રકાશિત કરવી જરૂરી છે. ચોક્કસ વર્ગ અને પાઠની ગતિના આધારે પુરાવા લેખિત અને મૌખિક બંને રીતે હાથ ધરવામાં આવી શકે છે.

સમય, ડિઝાઇનની ગુણવત્તા બચાવવા અને પ્રમેયના પુરાવા શોધવામાં વિદ્યાર્થીઓને શક્ય તેટલું સામેલ કરવા માટે શિક્ષકે બોર્ડ પર સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી (લેખન માટેના ફોર્મ્યુલેશન) લખવાનું વધુ સારું છે.

કામની ઉચ્ચ ગતિએ, તમે વિચારી શકો છો સૈદ્ધાંતિક સમસ્યા, માં પ્રસ્તાવિત હોમવર્ક, સાબિતીનો વિચાર આગળ મૂકો, અને ડિઝાઇનને ઘર પર છોડી દો.

આગલા પાઠમાં અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીને નિયંત્રિત કરવા માટે, તમારે આચરણ કરવું જોઈએ આગળનો સર્વેસ્વરૂપમાં સિદ્ધાંત લેખિત કાર્ય, જેમાં સમાવેશ થઈ શકે છે સરળ કાર્યપર મૂળભૂત સૂત્રોવર્તુળમાં પ્રમાણસરતા.

સાહિત્ય.

પ્રમાણસરતા સેગમેન્ટ્સ? દેખીતી રીતે, સમાનતામાંથી... ઉદાહરણ તરીકે, પાઠભૂમિતિ VI માં વર્ગપર વિષય"ત્રિકોણનું નિર્માણ દ્વારાબે ખૂણા... રચાયા તારઅને સ્પર્શકછેડા તરીકે સેવા આપતા બિંદુઓ પર ચાપ સુધી તાર, સમાન છે "...

તાર અને સેકન્ટ્સના સેગમેન્ટની પ્રમાણસરતા.

સ્પર્શક વિભાગોની મિલકત.

બિંદુઓના સ્થાન પર પ્રમેય.

લંબ દ્વિભાજક.

પરિક્રમા કરેલ વર્તુળ. વર્તુળમાં કોતરેલ ત્રિકોણ.

ત્રિકોણમાં અંકિત એક વર્તુળ.

તમામ વિભાવનાઓ અને નિવેદનો માટે સમસ્યાઓ પ્રસ્તાવિત છે.

પ્રસ્તુતિ પાઠોની શ્રેણી માટે રચાયેલ છે. અંતર શિક્ષણ માટે ઉપયોગ કરી શકાય છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

વિષય: “વર્તુળ”.

વર્તુળ. ત્રિજ્યા. તાર. વ્યાસ. મધ્ય ખૂણો. મધ્ય ખૂણો. અંકિત કોણ. કાર્ય. અંકિત કોણ મિલકત. કાર્ય. ચાપના અડધા સરવાળા પર પ્રમેય. કાર્ય. ચાપના અર્ધ-ભેદ પર પ્રમેય. કાર્ય. છેદતી તારોના ભાગોનું ઉત્પાદન. તાર અને સેકન્ટ્સના સેગમેન્ટની પ્રમાણસરતા. સ્પર્શક વિભાગોની મિલકત. કાર્ય. પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન. બિંદુઓના સ્થાન પર પ્રમેય. લંબ દ્વિભાજક. પરિક્રમા કરેલ વર્તુળ. વર્તુળમાં કોતરેલ ત્રિકોણ. કાર્ય. કાર્ય. વર્તુળમાં સ્પર્શક. ત્રિકોણમાં અંકિત એક વર્તુળ. કાર્ય. ચતુર્ભુજની ફરતે ઘેરાયેલું વર્તુળ. કાર્ય. ચતુર્ભુજમાં અંકિત એક વર્તુળ. કાર્ય.

વર્તુળ એ એક આકૃતિ છે જેમાં આપેલ બિંદુ - વર્તુળનું કેન્દ્ર - સમતુલાના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે. વર્તુળના કેન્દ્ર O થી તેના પર પડેલા બિંદુ A નું અંતર 5 cm છે તે સાબિત કરો કે આ વર્તુળના બિંદુ O થી B બિંદુ સુધીનું અંતર 5 cm છે અને O થી બિંદુ C અને D સુધીનું અંતર તેના પર પડેલું નથી. 5 સે.મી.ની બરાબર નથી. પરિઘ. O C D A B પાછા

ત્રિજ્યા. ત્રિજ્યા એ વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે કેન્દ્રને જોડતો ભાગ છે. પોઈન્ટ્સ X,Y,Zકેન્દ્ર M સાથે વર્તુળ પર સૂવું. આ વર્તુળ સેગમેન્ટ MX ની ત્રિજ્યા છે; YZ સેગમેન્ટ? Y X Z પાછા

CHORD. વર્તુળનો તાર શું છે? તાર એ વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ છે. પાછળ ઓ એ બી

વ્યાસ. વર્તુળનો વ્યાસ કેટલો છે? વ્યાસ એ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તાર છે. પાછળ ઓ એ બી

કેન્દ્રીય ખૂણો એ વર્તુળના કેન્દ્રમાં તેના શિરોબિંદુ સાથેનો ખૂણો છે. સેન્ટ્રલ એન્ગલનું ડિગ્રી માપ અનુલક્ષે છે ડિગ્રી માપચાપ જેના પર તે આરામ કરે છે (જો ચાપ અર્ધવર્તુળ કરતા નાની હોય). ચિત્રમાંથી તમામ કેન્દ્રીય ખૂણાઓને નામ આપો. O C A B m પાછા

જો આપેલ વર્તુળના કેન્દ્રિય ખૂણા સમાન હોય, તો અનુરૂપ ચાપ જોડીમાં સમાન હોય છે. વિરોધી વિધાન બનાવો. A O C B D પાછા

સમાવિષ્ટ કોણ. એક ખૂણો જેનું શિરોબિંદુ વર્તુળ પર સ્થિત છે અને જેની બાજુઓ આ વર્તુળને છેદે છે તેને વર્તુળમાં અંકિત કહેવામાં આવે છે. વર્તુળમાં કયા ખૂણાઓ લખેલા છે? પાછા એ બી સી

વર્તુળમાં કોણ ABC લખેલું છે. એસી - વ્યાસ. સાબિત કરો કે કોણ ABC એ કાટકોણ છે. કાર્ય. પાછા O A C B

સમાવેશ એંગલ પ્રોપર્ટી. સાબિત કરો કે વર્તુળમાં લખેલા બધા ખૂણા સમાન છે, જેની બાજુઓ વર્તુળના આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને શિરોબિંદુઓ આ બિંદુઓને જોડતી સીધી રેખાની સમાન બાજુ પર આવેલા છે. પાછા

ટાસ્ક. બિંદુઓ A, B અને C કેન્દ્ર O સાથે વર્તુળ પર આવેલા છે,  ABC = 50 ,  AB:  CB = 5: 8. આ ચાપ અને  AOC શોધો. પાછા

આકૃતિમાંથી પ્રમેય સાબિત કરો. એક ખૂણો ( ABC), જેનું શિરોબિંદુ વર્તુળની અંદર આવેલું છે, તે બે ચાપ (AC અને D E) ના અડધા સરવાળા દ્વારા માપવામાં આવે છે, જેમાંથી એક તેની બાજુઓ વચ્ચે અને બીજો બાજુઓના વિસ્તરણ વચ્ચે હોય છે. .  ABC = 0.5 ( D E +  AC). D E A C પાછા

ટાસ્ક. કોર્ડ્સ MK અને PT બિંદુ A પર છેદે છે. લંબાઈ AM શોધો જો AR = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3: 4. પાછળ

આકૃતિમાંથી પ્રમેય સાબિત કરો. એક ખૂણો ( ABC), જેનું શિરોબિંદુ વર્તુળની બહાર આવેલું છે અને બાજુઓ વર્તુળ સાથે છેદે છે, તે તેની બાજુઓ વચ્ચે બંધ બે ચાપ (AC અને D E) ના અડધા તફાવત દ્વારા માપવામાં આવે છે.  ABC = 0.5 ( D E +  AC). B D E A C પાછા

ટાસ્ક. બિંદુ A થી 5 સેમી ત્રિજ્યાના વર્તુળના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર 10 સેમી છે A સેકન્ટ બિંદુ A દ્વારા દોરવામાં આવે છે અને બિંદુ B અને C પર વર્તુળને છેદે છે. જો બિંદુ B સેગમેન્ટ AC ને અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરે છે તો AC શોધો. પાછા

આંતરછેદ તારોના ભાગોનું ઉત્પાદન. છેદતી તારોના વિભાગોની લંબાઈનું ઉત્પાદન સમાન છે. આ પ્રમેયને “જો” અને “તો” શબ્દો સાથે જણાવો. તમારી જાતનું પરીક્ષણ કરો: “જો તાર AB અને C D બિંદુ M પર છેદે છે, તો AM  BM = CM  D M C B m A D પાછળ

તાર અને સેકન્ડના સેગમેન્ટ્સની પ્રમાણસરતા. સેકન્ટ સેગમેન્ટની લંબાઈનો ગુણાંક સ્પર્શક સેગમેન્ટની લંબાઈના ચોરસ જેટલો છે. જો વર્તુળમાં એક સીકન્ટ અને સ્પર્શક બિંદુ M દ્વારા દોરવામાં આવે છે, અને બિંદુઓ A અને B એ સીકન્ટ સાથે વર્તુળના આંતરછેદના બિંદુઓ છે, અને C એ સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ છે, તો AM  BM = CM. M S V A પાછા

ટેન્જન્ટ સેગમેન્ટ્સની પ્રોપર્ટીઝ. તેની બહારના બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરેલા બે સ્પર્શકના ભાગો સમાન અને સ્વરૂપ છે સમાન ખૂણાઆ બિંદુને કેન્દ્ર સાથે જોડતી સીધી રેખા સાથે. પ્રમેય જાતે સાબિત કરો. A O C B પાછા

ટાસ્ક. બિંદુ M થી કેન્દ્ર O અને ત્રિજ્યા 8 cm સાથે વર્તુળ સુધી, સ્પર્શક AM અને BM દોરવામાં આવે છે (A અને B સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુઓ છે). જો કોણ AOB 120  હોય તો ત્રિકોણ ABM ની પરિમિતિ શોધો. પાછા

પોઈન્ટ્સનું ભૌમિતિક સ્થાન. બિંદુઓનું સ્થાન એ એક આકૃતિ છે જેમાં પ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે ચોક્કસ મિલકત. સમજાવો કે શા માટે વર્તુળ એ આપેલ બિંદુથી સમાન બિંદુઓનું સ્થાન છે. પાછળ ઓ એ બી

ભૌમિતિક બિંદુઓ વિશે પ્રમેય. આપેલા બે બિંદુઓથી સમાન અંતર ધરાવતા બિંદુઓનું સ્થાન એ આ બિંદુઓને જોડતા અને તેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતા સેગમેન્ટની લંબરૂપ સીધી રેખા છે. આપેલ: a; AB  a; AO = OB. સાબિત કરો: a - લોકસ A અને B થી સમાન બિંદુઓ. શું પ્રમેય સાબિત થશે જો આપણે સ્થાપિત કરીએ કે રેખા a પરનો કોઈપણ બિંદુ A અને B થી સમાન છે. પાછળ A B O M a

મધ્ય કાટખૂણે. એક સેગમેન્ટ AB માટે લંબ દ્વિભાજક એ તેની લંબરૂપ AB ખંડની મધ્યમાંથી પસાર થતી રેખા છે. સાબિત કરો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર આવેલું છે લંબ દ્વિભાજકઆ વર્તુળના કોઈપણ તાર માટે. પાછા

વર્તુળ વર્તુળ. એક વર્તુળમાં લખાયેલ ત્રિકોણ. જો વર્તુળ તેના તમામ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય તો તેને ત્રિકોણની આસપાસ પરિક્રમિત કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ત્રિકોણ એક વર્તુળમાં લખાયેલ હોવાનું કહેવાય છે. સાબિત કરો કે અંકિત ત્રિકોણની બાજુઓ તેની આસપાસના વર્તુળની તાર છે. ત્રિકોણના પરિઘનું કેન્દ્ર ક્યાં છે? પાછા

કાટકોણ ત્રિકોણના ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર ક્યાં છે? કાર્ય. પાછા O A C B

ટાસ્ક. 10, 12, અને 10 સેમી પાછળની બાજુઓ સાથે ત્રિકોણ દ્વારા પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો

વર્તુળની સ્પર્શક એક સીધી રેખા કે જેમાં વર્તુળ સાથે માત્ર એક સામાન્ય બિંદુ હોય તેને વર્તુળની સ્પર્શક કહેવાય છે. સામાન્ય બિંદુવર્તુળ અને સ્પર્શકને સ્પર્શક બિંદુ કહેવામાં આવે છે. વર્તુળના સંબંધમાં C D E ત્રિકોણની બાજુઓ વિશે શું કહી શકાય? પાછા

ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળ. વર્તુળ ત્રિકોણમાં લખેલું કહેવાય છે જો તે તેની બધી બાજુઓને સ્પર્શે છે. આ કિસ્સામાં, ત્રિકોણને વર્તુળની આસપાસ ઘેરાયેલો કહેવામાં આવે છે. ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર ક્યાં છે? ત્રિકોણ ABC એક વર્તુળની આસપાસ છે. AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA ત્રિકોણમાંથી કયા સમાન છે? પાછા

ટાસ્ક. IN જમણો ત્રિકોણએક ખૂણો 30  છે. જો અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા પાછળ 4 સેમી હોય તો ત્રિકોણની નાની બાજુ શોધો

ચતુર્થાંશની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળ. જો વિશે બહિર્મુખ ચતુષ્કોણવર્તુળનું વર્ણન કરી શકે છે, પછી તેનો સરવાળો વિરુદ્ધ ખૂણાબે કાટકોણ સમાન. સાબિત કરો:  A +  C = 180  . વિરોધી વિધાન બનાવો. કયા ચતુષ્કોણની આસપાસ વર્તુળ દોરી શકાય છે? શા માટે? B C D A પાછા

ટાસ્ક. ટ્રેપેઝોઇડનો કર્ણ c છે મોટો આધારકોણ 30  છે, અને ટ્રેપેઝોઇડની નજીક વર્ણવેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર આ આધારનું છે. ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધો જો તે બાજુપાછળ 2 સે.મી

ચતુર્ભુજમાં અંકિત કરેલ વર્તુળ જો કોઈ વર્તુળને ચતુષ્કોણમાં અંકિત કરી શકાય, તો તેની લંબાઈનો સરવાળો વિરુદ્ધ બાજુઓસમાન છે. સાબિત કરો: AB+C D = BC+A D. વિપરીત વિધાન બનાવો. વર્તુળ કયા ચતુષ્કોણમાં અંકિત કરી શકાય છે? B C D A N P K M પાછા

ટાસ્ક. વિસ્તાર શોધો સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડવર્તુળની આસપાસ ઘેરાયેલું છે જો તેના પાયા 2 સેમી અને 8 સેમી પાછળ હોય

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને રસ હોય તો આ કામ, કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

લક્ષ્ય:શીખવાની પ્રેરણામાં વધારો; કમ્પ્યુટિંગ કૌશલ્ય, બુદ્ધિ અને ટીમમાં કામ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો.

પાઠની પ્રગતિ

જ્ઞાન અપડેટ કરવું. આજે આપણે વર્તુળો વિશે વાત કરવાનું ચાલુ રાખીશું. ચાલો હું તમને વર્તુળની વ્યાખ્યા યાદ કરાવું: વર્તુળ શું કહેવાય છે?

વર્તુળસમતલના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ કરતી રેખા છે જે પ્લેનમાં એક બિંદુથી આપેલ અંતરે હોય છે, જેને વર્તુળનું કેન્દ્ર કહેવાય છે.

સ્લાઇડ એક વર્તુળ બતાવે છે, તેનું કેન્દ્ર ચિહ્નિત થયેલ છે - બિંદુ O, બે વિભાગો દોરવામાં આવ્યા છે: OA અને SV. સેગમેન્ટ OA વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળ પરના બિંદુ સાથે જોડે છે. તેને RADIUS કહેવામાં આવે છે (લેટિન ત્રિજ્યામાં - "સ્પોક ઇન ધ વ્હીલ"). સેગમેન્ટ CB વર્તુળના બે બિંદુઓને જોડે છે અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. આ વર્તુળનો વ્યાસ છે (ગ્રીકમાંથી "વ્યાસ" તરીકે અનુવાદિત).

આપણને વર્તુળના તારની વ્યાખ્યાની પણ જરૂર પડશે - આ એક વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ છે (આકૃતિમાં - તાર DE).

ચાલો જાણીએ પ્રશ્ન સીધી રેખા અને વર્તુળની સંબંધિત સ્થિતિ વિશે.

આગળનો પ્રશ્ન અને તે મુખ્ય હશે: છેદતી તાર, સેકન્ટ્સ અને ટેન્જેન્ટમાં હોય તેવા ગુણધર્મો શોધો.

તમે ગણિતના પાઠોમાં આ ગુણોને સાબિત કરશો, અને અમારું કાર્ય સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે આ ગુણધર્મોને કેવી રીતે લાગુ કરવું તે શીખવાનું છે, કારણ કે તેનો ઉપયોગ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સ્વરૂપમાં અને રાજ્ય પરીક્ષાના સ્વરૂપમાં બંને પરીક્ષાઓમાં થાય છે.

ટીમો માટે સોંપણી.

• બિંદુ P પર છેદતી CM અને NF તારોની મિલકત દોરો અને લખો.
• સ્પર્શક KM અને સેકન્ટ KF ના ગુણધર્મો દોરો અને લખો.
• સેકન્ટ KM અને MF ના ગુણધર્મો દોરો અને લખો.

આકૃતિમાં ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, x શોધો. સ્લાઇડ 5-6

જે ઝડપી છે તે વધુ સાચો છે. તમામ સમસ્યાઓના ઉકેલોની ચર્ચા અને ચકાસણી દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે. જેઓ જવાબ આપે છે તેઓ તેમની ટીમ માટે પુરસ્કાર પોઈન્ટ મેળવે છે.

ઠીક છે, હવે ચાલો વધુ ગંભીર સમસ્યાઓના નિરાકરણ તરફ આગળ વધીએ. અમે તમારા ધ્યાન પર ત્રણ બ્લોક્સ રજૂ કરીએ છીએ: છેદતી તાર, એક સ્પર્શક અને એક સેકન્ટ, બે સેકન્ટ. અમે દરેક બ્લોકમાંથી એક સમસ્યાના ઉકેલનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું.

(ઉકેલનું વિશ્લેષણ સાથે કરવામાં આવે છે વિગતવાર રેકોર્ડ №4, №7, №12)

2. સમસ્યા હલ કરવા પર વર્કશોપ

a) છેદતી તાર

1. E – તાર AB અને CD ના આંતરછેદનું બિંદુ. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. સીડી શોધો.

ઉકેલ:

2. E – તાર AB અને CD ના આંતરછેદનું બિંદુ. AB=17, CD=18, ED=2CE. AE અને BE શોધો.

ઉકેલ:

3. E – તાર AB અને CD ના આંતરછેદનું બિંદુ. AB=10, CD=11, BE=CE+1. CE શોધો.

ઉકેલ:

4. E એ તાર AB અને CD નો આંતરછેદ બિંદુ છે. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. સીડી શોધો.

ઉકેલ:

b) સ્પર્શક અને સીકન્ટ

5. સ્પર્શક અને સેકન્ટ એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. સ્પર્શક 6 છે, સેકન્ટ 18 છે. સેકન્ટનો આંતરિક ભાગ નક્કી કરો.

ઉકેલ:

6. સ્પર્શક અને સેકન્ટ એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. સ્પર્શક શોધો જો તે જાણીતું હોય કે તે સેકન્ટના આંતરિક સેગમેન્ટથી 4 વડે ઓછું છે અને બાહ્ય સેગમેન્ટ કરતાં 4 વડે વધારે છે.

ઉકેલ:

7. સ્પર્શક અને સેકન્ટ એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. સેકન્ટ શોધો જો તે જાણીતું હોય કે તેનો આંતરિક સેગમેન્ટ 3:1 તરીકે બાહ્ય સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે, અને સ્પર્શકની લંબાઈ 12 છે.

ઉકેલ:

8. સ્પર્શક અને સેકન્ટ એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. જો તે જાણીતું હોય કે તેનો આંતરિક ભાગ 12 છે અને સ્પર્શકની લંબાઈ 8 છે, તો સેકન્ટનો બાહ્ય ભાગ શોધો.

ઉકેલ:

9. એક જ બિંદુમાંથી નીકળતી સ્પર્શક અને સેકન્ટ અનુક્રમે 12 અને 24 સમાન છે, જો સેકન્ટ કેન્દ્રથી 12 દૂર હોય તો વર્તુળની ત્રિજ્યા નક્કી કરો.

ઉકેલ:

c) બે સેકન્ટ્સ

10. એક બિંદુથી, બે સેકન્ટ વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે, જેનાં આંતરિક સેગમેન્ટ્સ અનુક્રમે 8 અને 16 જેટલા છે. બીજા સેકન્ટનો બાહ્ય સેગમેન્ટ પ્રથમના બાહ્ય સેગમેન્ટ કરતાં 1 ઓછો છે. દરેક સેકન્ટની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ:

11. એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ બે સેકન્ટ દોરવામાં આવે છે. પ્રથમ સેકન્ટનો બાહ્ય સેગમેન્ટ તેના આંતરિક ભાગ સાથે 1:3 તરીકે સંબંધિત છે. બીજા સેકન્ટનો બાહ્ય ભાગ પ્રથમના બાહ્ય ભાગ કરતાં 1 ઓછો છે અને તે 1:8 તરીકે તેના આંતરિક ભાગ સાથે સંબંધિત છે. દરેક સેકન્ટની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ:

12. બિંદુ A દ્વારા, જે વર્તુળની બહાર તેના કેન્દ્રથી 7 ના અંતરે સ્થિત છે, બિંદુ B અને C પર વર્તુળને છેદતી એક સીધી રેખા દોરવામાં આવે છે. જો AB = 3, BC હોય તો વર્તુળની ત્રિજ્યાની લંબાઈ શોધો = 5.

ઉકેલ:

13. બિંદુ A થી, 12 સે.મી.ની લંબાઇનો સેકન્ટ અને સ્પર્શક, જે સેકન્ટના આંતરિક ભાગનો એક ઘટક છે, વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. સ્પર્શકની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. જ્ઞાનનું એકત્રીકરણ

હું માનું છું કે નીચે આપેલા સ્ટેશનોની મુલાકાત લઈને તમારી બુદ્ધિના ભુલભુલામણીમાંથી ટૂંકી મુસાફરી કરવા માટે તમારી પાસે પૂરતું જ્ઞાન છે:

• તે વિશે વિચારો!
• નક્કી કરો!
• મને જવાબ આપો!

તમે સ્ટેશન પર 6 મિનિટથી વધુ નહીં રહી શકો. દરેક માટે યોગ્ય નિર્ણયટીમ પ્રોત્સાહક પોઈન્ટ મેળવે છે.

ટીમોને રૂટ શીટ્સ આપવામાં આવે છે:

રૂટ શીટ

હું તમને નિરાશ કરવા માંગુ છું અમારા પાઠના પરિણામો:

નવા જ્ઞાન ઉપરાંત, હું આશા રાખું છું કે તમે એકબીજાને વધુ સારી રીતે જાણતા હશો અને ટીમમાં કામ કરવાનો અનુભવ મેળવશો. શું તમને લાગે છે કે મેળવેલ જ્ઞાન જીવનમાં ક્યાંક લાગુ પડે છે?

કવિ જી. લોંગફેલો પણ ગણિતશાસ્ત્રી હતા. કદાચ આ જ કારણ છે કે આબેહૂબ છબીઓ જે ગાણિતિક વિભાવનાઓને શણગારે છે જેનો ઉપયોગ તેણે તેમની નવલકથા “કવાંગ” માં કર્યો છે તે જીવન માટે કેટલાક પ્રમેય અને તેમના ઉપયોગને છાપવાનું શક્ય બનાવે છે. અમે નવલકથામાં નીચેની સમસ્યા વાંચીએ છીએ:

“લીલી, પાણીની સપાટીથી એક સ્પેન ઉપર, તાજા પવનના ઝાપટા હેઠળ, તળાવની સપાટીને તેના અગાઉના સ્થાનેથી બે હાથ સ્પર્શે છે; તેના આધારે, તળાવની ઊંડાઈ નક્કી કરવી જરૂરી હતી” (1 સ્પાન 10 ઇંચ બરાબર છે, 2 હાથ 21 ઇંચ છે).

અને આ સમસ્યા છેદતી તારોની મિલકતના આધારે હલ થાય છે. ચિત્ર જુઓ અને સ્પષ્ટ થઈ જશે કે તળાવ કેટલું ઊંડું છે.

ઉકેલ:

વી.પાઠ સારાંશ

U. બધા પરિણામી કોતરેલા ખૂણાઓને નામ આપો (ફિગ. 30).

D. CAB; એબીસી; સૂર્ય.

U. સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેના તમામ ખૂણાઓને નામ આપો.

D. NAB; એનબીએ; કેબીસી; કેસીબી; એમસીએ; MAC.

U. તેમાંથી કોણ સમાન હશે અને શા માટે?

D. NAB = NBA; KBC = KCB; MCA = MAC. સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેના આ ખૂણાઓની દરેક જોડી સમાન ચાપ ધરાવે છે, તેથી તે સંખ્યાત્મક રીતે અડધા સમાન છે, એટલે કે, એકબીજાની સમાન છે.

U. ત્રિકોણના કયા ખૂણા આ ત્રણેય જોડીમાંના દરેક સમાન છે અને શા માટે?

D. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. કારણ કે સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેનો ખૂણો સ્પર્શક અને તાર વચ્ચે સમાવિષ્ટ ચાપ દ્વારા સબટેન્ડ કરેલા અંકિત કોણ જેટલો છે.

U. ANB ત્રિકોણના પ્રકાર વિશે તમે શું કહી શકો; BKC; CMA?

D. તેઓ સમદ્વિબાજુ છે, કારણ કે આ દરેક ત્રિકોણમાં બે સમાન ખૂણા છે.

વીI. હોમવર્ક

અતાનાસ્યાનના પાઠ્યપુસ્તક અનુસાર નંબર 656, 663.

સિદ્ધાંત શીખો (પરીક્ષણની તૈયારી).

પાઠ 6-7

વિષય. તાર અને સેકન્ટ્સના સેગમેન્ટની પ્રમાણસરતા.

પાઠ હેતુઓ.વિદ્યાર્થીઓના વિષયના જ્ઞાન અને સમજણની કસોટી કરો: “ઇનસ્ક્રાઇબ્ડ એન્ગલ”; સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને ધ્યાનમાં લો (તારાઓ અને સેકન્ટ્સ વિશે); સમસ્યા હલ કરવાની કુશળતાને મજબૂત કરો.

I. હોમવર્ક પ્રશ્નો

II. જ્ઞાન કસોટી

થિયરીનું પરીક્ષણ કરવું, “ઇનસ્ક્રાઇબ્ડ એન્ગલ” વિષય પર વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનું પરીક્ષણ કરવું એ કસોટીની પ્રકૃતિ છે. પરીક્ષણ માત્ર વ્યાખ્યાઓ અને ગુણધર્મોનું વાસ્તવિક જ્ઞાન જ નહીં, પણ વિભાવનાઓ વચ્ચેના જોડાણોની સમજ પણ તપાસે છે. તેથી, કેટલાક પ્રશ્નો પાઠ્યપુસ્તક અનુસાર સખત રીતે રચાતા નથી. તે પૂર્ણ થવામાં 5-7 મિનિટ લે છે. કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે. જો વિદ્યાર્થી નિષ્ફળ જાય, તો તેને પાઠ્યપુસ્તકમાંથી શબ્દરચનાના તેના જ્ઞાન પર પરીક્ષણ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે.

પરીક્ષણ વિષયના અંતે હાથ ધરવામાં આવે છે, કારણ કે ચાપ, કેન્દ્રિય અને અંકિત ખૂણાઓ વચ્ચેના તમામ જોડાણો પર કામ કરવું જરૂરી છે.

પરીક્ષા આપતી વખતે વિદ્યાર્થીઓએ માત્ર અનુરૂપ નંબરો જ લખવાની જરૂર છે. અમે સમય બચાવીએ છીએ અને વિદ્યાર્થીઓને વિચારતા કરીએ છીએ.

પરીક્ષણ પછી, તમે એવા પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકો છો જેણે મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓની રુચિ જગાડી.

કસોટી (એલ. એસ. અટાનાસ્યાનના પાઠ્યપુસ્તક મુજબ)

બનાવવા માટે શબ્દસમૂહની શરૂઆત અને અંત ભેગા કરો સાચું નિવેદન. તમારા જવાબમાં, કાર્યના ડાબા અને જમણા ભાગોની સંખ્યા સૂચવો, ઉદાહરણ તરીકે: 2-5.

વિકલ્પ 1

વિકલ્પ 2

જવાબો: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

સાચું નિવેદન બનાવવા માટે શબ્દસમૂહની શરૂઆત અને અંત ભેગા કરો. તમારા જવાબમાં, કાર્યના ડાબા અને જમણા ભાગોની સંખ્યા સૂચવો, ઉદાહરણ તરીકે: 2-5.

વિકલ્પ 1

જવાબો: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

વિકલ્પ 2

જવાબો. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. નવી સામગ્રીની સમજૂતી

યુ.ચાલો પાઠનો વિષય લખીએ અને મૌખિક રીતે તૈયાર ચિત્રનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું વિશ્લેષણ કરીએ (ફિગ. 31)

યુ.વ્યાસ વર્તુળમાં દોરવામાં આવે છે એસી, તાર બી.ડી, NEઅને AD અને સ્પર્શક સીએન, જે AD ની સાતત્ય સાથે 30° નો ખૂણો બનાવે છે.

શોધો ડીબીસી.

સમસ્યાનું કારણ:

1) કોણનું નામ શું છે ડીબીસી, તે કયા ચાપ પર આરામ કરે છે?

2) કોલસા વિશે શું કહી શકાય CAN?

3) સ્પર્શક મિલકત સીએન.

4) તમે CAN કોણની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકો અને શા માટે?

નિષ્કર્ષ: DBC = 60°

અમારા તર્ક દરમિયાન, અમે ડ્રોઇંગમાં સમાન ખૂણાઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, તેમજ ACN = 90 ° આગળ, અમે ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેવાની દરખાસ્ત કરીએ છીએ એચએસઆરઅને એએમડી. આ ત્રિકોણ સમાન છે (જો તમે તેને જાતે જોતા નથી તો તમે મને કહી શકો છો).

ત્રિકોણની સમાનતા સાબિત કરવા માટે, આપણે સમાનતાના ચિહ્નોને યાદ રાખવાની જરૂર છે.

સમાન ખૂણાઓ પહેલેથી જ ડ્રોઇંગ પર ચિહ્નિત થયેલ છે સી.બી.એમ. = CAD(એક ચાપ પર આરામ કરો). જે બાકી છે તે વર્ટિકલ એન્ગલ પર ધ્યાન આપવાનું છે :

IUD = એએમડી, VSM ~ ∆એએમડી(બે ખૂણા પર).

સમાન ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ વિશે શું કહેવાની જરૂર છે? પ્રમાણ બનાવો:

BMAM = CMDM = BCAD.

યુ.. વર્તુળમાં કયા સેગમેન્ટ્સનો સમાવેશ થાય છે તે પ્રમાણમાં છે?

ડી.તાર અને વ્યાસના ભાગો.

યુ.એટલે કે, આપણે ધારી શકીએ કે વર્તુળમાં છેદતી તાર વચ્ચે જોડાણ છે.

ચાલો આપણે પ્રમેય ઘડીએ: જો વર્તુળના બે તાર એકબીજાને છેદે છે, તો એક તારનાં ભાગોનું ઉત્પાદન બીજા તારનાં ભાગોના ગુણાંક જેટલું છે.

પુરાવા એટાનસ્યાનની પાઠ્યપુસ્તક અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે, વિદ્યાર્થીઓ પ્રમેયને સમજવા માટે તૈયાર છે, અને તેને લખવામાં વધુ સમય લાગવો જોઈએ નહીં.

અમે માનીએ છીએ કે સેકન્ટ પ્રમેયને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે.

અમે પ્રમેય માટે એક ડ્રોઇંગ તૈયાર કરીએ છીએ અને વર્તુળના સેકન્ટથી અમારો શું અર્થ થાય છે તે શોધી કાઢીએ છીએ: વર્તુળને બે બિંદુઓ પર છેદતી સીધી રેખા.

ચાલો તેને લખીએ પ્રમેયની રચના: જો જૂઠું બોલવું હોય તો

વર્તુળની બહાર, બે સેકન્ટ દોરવામાં આવે છે, પછી સેકન્ટના ઉત્પાદનો અને તેમના બાહ્ય ભાગો સમાન હોય છે. (અથવા: જો બિંદુ P થી વર્તુળ તરફ બે સેકન્ટ દોરવામાં આવ્યા હોય, તો વર્તુળને બિંદુ A પર છેદે છે, INઅને સી, ડીઅનુક્રમે,

તે એઆરબી.પી. = = સી.પી.- ડી.પી..)

આપેલ: બી.પી.અને ડી.પી.- સેકન્ટ્સ (ફિગ. 32).

સાબિત કરો: BP AP = PD PC.

પુરાવો:

1. ચાલો એક વધારાનું બાંધકામ કરીએ: સૂર્યએનએડી.

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.

ચાલો સેકન્ટ્સ અને વર્તુળની સંબંધિત સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેવાનું ચાલુ રાખીએ. જો આપણે આ ડ્રોઈંગને એવી રીતે બદલીએ કે સેકન્ટ પીબી સ્પર્શકની સ્થિતિ લે, તો આપણું પ્રમેય નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવશે: જો વર્તુળની બહારના એક બિંદુથી આ વર્તુળમાં એક સેકન્ટ અને સ્પર્શક દોરવામાં આવે, તો ચોરસ સ્પર્શકનું ઉત્પાદન સમાનતેના બાહ્ય ભાગથી અલગ.

પીતેથી, આપણે તે સાબિત કરવાની જરૂર છે બી.પી. 2 = PDPC.

ચાલો તાર દોરીએ સૂર્યઅને બી.ડી.

BDC = ½uસૂર્ય(ઉતરેલ તરીકે);

SVR = ½uસૂર્ય(સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેનો ખૂણો), તેથી

BDC = સી.બી.પી..

∆બીપીડી ~ ∆ સી.પી.બી.બે ખૂણા પર.

ચાલો પ્રમાણ લખીએ:

BD/BC = BP/PC =PD/BP, જેનો અર્થ થાય છે બી.પી.2=PCપી.ડી.

શક્ય છે, પ્રમેયની રચના લખીને, સમસ્યા નંબર 670 (અતનાસ્યાન) ઉકેલવા અને આમ પ્રમેયની સાબિતી હાથ ધરવી. સાબિતીનો સિદ્ધાંત પુનરાવર્તિત થતો હોવાથી, ત્રણેય પ્રમેયમાં તે સમાનતા પર આધારિત છે, તમે વિદ્યાર્થીઓમાંથી એકને બોર્ડમાં સાબિતી આપવા માટે કહી શકો છો.

સમસ્યા 1

કેએલ અને એમએન સેકન્ટ્સ છે (ફિગ. નંબર 34). કઈ મિલકત ઘડી શકાય? (અમે ચર્ચા કરીએ છીએ અને ચિત્ર તૈયાર કરીએ છીએ, આ ડ્રોઇંગના આધારે સમસ્યા હલ કરીએ છીએ.)

કોર્ડ્સ MN અને KL બિંદુ C પર છેદે છે. સેગમેન્ટની લંબાઈ નક્કી કરોસી.એલ., જોકે.સી= 3cm, MS = 3cm; CH = 9 સે.મી.વિષય " સેન્ટ્રલઅને અંકિત ખૂણા". સારાંશ અને... આજે આપણી પાસે ફાઇનલ છે પાઠદ્વારા વિષય: "સેન્ટ્રલઅને અંકિત ખૂણા"અમે પુનરાવર્તન, સામાન્યીકરણ, પ્રસ્તુત કરીએ છીએ ...