સંખ્યા વર્તુળનું કેન્દ્ર તેની સાથે એકરુપ છે. વિષય પર બીજગણિત પાઠ (ગ્રેડ 10) માટે પ્રસ્તુતિ: સંકલન સમતલમાં સંખ્યા વર્તુળ

અમે તમારા ધ્યાન પર વિષય પર વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ રજૂ કરીએ છીએ. સંખ્યા વર્તુળ" સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ અને ફંક્શન્સ શું છે તેની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે y= પાપ x, y= cos x, y= tg x, y= સીટીજી xકોઈપણ આંકડાકીય દલીલ માટે. વિચારણા હેઠળ પ્રમાણભૂત કાર્યોએકમ નંબર વર્તુળમાં સંખ્યાઓ અને બિંદુઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહાર પર દરેક સંખ્યા માટે એક બિંદુ શોધવા માટે, અને તેનાથી વિપરીત, દરેક બિંદુ માટે તેને અનુરૂપ સંખ્યાઓનો સમૂહ શોધવા માટે.

વિષય: સિદ્ધાંતના તત્વો ત્રિકોણમિતિ કાર્યો

પાઠ: સંખ્યા વર્તુળ

અમારું તાત્કાલિક ધ્યેય ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવાનું છે: સાઇનસ, કોસાઇન, સ્પર્શક, સહસ્પર્શક-

સંખ્યાત્મક દલીલસંકલન રેખા પર અથવા વર્તુળ પર પ્લોટ કરી શકાય છે.

આવા વર્તુળને સંખ્યાત્મક અથવા એકમ વર્તુળ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે સગવડ માટે, સાથે એક વર્તુળ લો

ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ આપેલ છે, તેને સંકલન રેખા પર ચિહ્નિત કરો

અને ચાલુ સંખ્યા વર્તુળ.

નંબર વર્તુળ સાથે કામ કરતી વખતે, તે સંમત થયું હતું કે કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ હલનચલન એ હકારાત્મક દિશા છે, ઘડિયાળની દિશામાં નકારાત્મક દિશા છે.

લાક્ષણિક કાર્યો - તમારે કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવાની જરૂર છે આપેલ બિંદુઅથવા, તેનાથી વિપરીત, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા બિંદુ શોધો.

સંકલન રેખા બિંદુઓ અને સંખ્યાઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા સંકલન સાથે બિંદુ A ને અનુલક્ષે છે

કોઓર્ડિનેટ સાથેના દરેક બિંદુ B ને માત્ર એક જ સંખ્યા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે - વત્તા અથવા ઓછા ચિહ્ન સાથે 0 થી અંતર લેવામાં આવે છે.

નંબર વર્તુળ પર, એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર ફક્ત એક દિશામાં જ કાર્ય કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ B છે સંકલન વર્તુળ(ફિગ. 2), ચાપની લંબાઈ 1 છે, એટલે કે. આ બિંદુ 1 ને અનુરૂપ છે.

વર્તુળ આપેલ છે, પરિઘ જો તો - લંબાઈ એકમ વર્તુળ.

જો આપણે ઉમેરીએ, તો આપણને સમાન બિંદુ B મળે છે, તો આપણને બિંદુ B પણ મળે છે, બાદબાકી - બિંદુ B પણ મળે છે.

બિંદુ B ને ધ્યાનમાં લો: ચાપ લંબાઈ = 1, પછી સંખ્યાઓ સંખ્યા વર્તુળ પર બિંદુ B ને દર્શાવે છે.

આમ, નંબર 1 નંબર વર્તુળ પરના એક બિંદુને અનુલક્ષે છે - બિંદુ B, અને બિંદુ B ફોર્મના અસંખ્ય બિંદુઓને અનુરૂપ છે .

સંખ્યાના વર્તુળ માટે નીચેનું સાચું છે:

જો ટી. એમજો સંખ્યાનું વર્તુળ સંખ્યાને અનુલક્ષે છે, તો તે ફોર્મની સંખ્યાને પણ અનુરૂપ છે

તમે સંખ્યાના વર્તુળની આસપાસ તમને ગમે તેટલી સંપૂર્ણ ક્રાંતિ કરી શકો છો, હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક દિશા- મુદ્દો એ જ છે. તેથી જ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોઅસંખ્ય ઉકેલો છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ બિંદુ D. તે કયા નંબરોને અનુરૂપ છે?

અમે ચાપ માપીએ છીએ.

બિંદુ D ને અનુરૂપ તમામ સંખ્યાઓનો સમૂહ.

ચાલો સંખ્યાના વર્તુળ પરના મુખ્ય મુદ્દાઓ જોઈએ.

સમગ્ર પરિઘની લંબાઈ.

તે. બહુવિધ કોઓર્ડિનેટ્સનું રેકોર્ડિંગ અલગ હોઈ શકે છે .

ચાલો વિચાર કરીએ લાક્ષણિક કાર્યોનંબર વર્તુળ પર.

1. આપેલ: . શોધો: સંખ્યા વર્તુળ પર એક બિંદુ.

ચાલો આખો ભાગ પસંદ કરીએ:

સંખ્યાના વર્તુળ પર બિંદુ શોધવાનું જરૂરી છે. , પછી .

આ સેટમાં ડોટનો પણ સમાવેશ થાય છે.

2. આપેલ: . શોધો: સંખ્યા વર્તુળ પર એક બિંદુ.

તે ટી શોધવા માટે જરૂરી છે.

t.પણ આ સમૂહનો છે.

સંખ્યા વર્તુળ પરની સંખ્યાઓ અને બિંદુઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારની પ્રમાણભૂત સમસ્યાઓ હલ કરીને, અમને જાણવા મળ્યું કે દરેક સંખ્યા માટે આપણે એક બિંદુ શોધી શકીએ છીએ, અને દરેક બિંદુ માટે આપણે સંખ્યાઓનો સમૂહ શોધી શકીએ છીએ જે આપેલ બિંદુ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

ચાપને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરો અને M અને N બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો.

ચાલો આ બિંદુઓના તમામ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ.

તેથી, અમારો ધ્યેય ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો છે. આ કરવા માટે, આપણે ફંક્શન આર્ગ્યુમેન્ટને કેવી રીતે સ્પષ્ટ કરવું તે શીખવાની જરૂર છે. અમે એકમ વર્તુળના બિંદુઓને જોયા અને બે લાક્ષણિક સમસ્યાઓ ઉકેલી - સંખ્યા વર્તુળ પર એક બિંદુ શોધો અને એકમ વર્તુળ પરના બિંદુના તમામ કોઓર્ડિનેટ્સ લખો.

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9 મી ગ્રેડ: પાઠ્યપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ.- ચોથી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-192 પૃષ્ઠ: બીમાર.

2. મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9મું ધોરણ: વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યાનું પુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ/ એ. જી. મોર્ડકોવિચ, ટી. એન. મિશુસ્ટીના અને અન્ય - 4 થી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર.

3. મકરીચેવ યુ. બીજગણિત. 9મું ધોરણ: સામાન્ય શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓ માટે શૈક્ષણિક. સંસ્થાઓ / યુ. એન. મકરીચેવ, એન. જી. મિંડ્યુક, કે. આઇ. નેશકોવ, આઇ. ઇ. ફેઓક્ટીસ્ટોવ. — 7મી આવૃત્તિ., રેવ. અને વધારાના - એમ.: નેમોસીન, 2008.

4. અલીમોવ શ.એ., કોલ્યાગિન યુ.એમ., સિદોરોવ યુ.વી. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 16મી આવૃત્તિ. - એમ., 2011. - 287 પૃ.

5. મોર્ડકોવિચ એ. જી. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખેલી. - એમ.: 2010. - 224 પૃષ્ઠ: બીમાર.

6. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 ભાગોમાં ભાગ 2. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, એલ. એ. એલેકસાન્ડ્રોવા, ટી. એન. મિશુસ્ટીના અને અન્ય; એડ. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. — 12મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: 2010.-223 પૃષ્ઠ: બીમાર.

મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9 મી ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, ટી. એન. મિશુસ્ટીના, વગેરે. - 4 થી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

આ લેખમાં આપણે સંખ્યાના વર્તુળની વ્યાખ્યાનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું, તેની મુખ્ય મિલકત શોધીશું અને 1,2,3, વગેરે સંખ્યાઓને ગોઠવીશું. વર્તુળ પર અન્ય સંખ્યાઓને કેવી રીતે ચિહ્નિત કરવી તે શીખો (pi સહિત).

સંખ્યા વર્તુળ એકમ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ કહેવાય છે જેના બિંદુઓ અનુરૂપ છે , અનુસાર ગોઠવાયેલ નીચેના નિયમો:

1) મૂળ વર્તુળના અત્યંત જમણા બિંદુ પર છે;

2) કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ - હકારાત્મક દિશા; ઘડિયાળની દિશામાં - નકારાત્મક;

3) જો આપણે વર્તુળ પરનું અંતર \(t\) હકારાત્મક દિશામાં ઘડીએ, તો આપણે \(t\) મૂલ્ય સાથે બિંદુ પર પહોંચીશું;

4) જો આપણે વર્તુળ પરનું અંતર \(t\) ને નકારાત્મક દિશામાં કાવતરું કરીએ, તો આપણે \(–t\) મૂલ્ય સાથે બિંદુ પર પહોંચીશું.

વર્તુળને સંખ્યાનું વર્તુળ કેમ કહેવાય છે?
કારણ કે તેના પર નંબરો છે. આમાં વર્તુળ સમાન છે સંખ્યા અક્ષ- વર્તુળ પર, તેમજ ધરી પર, દરેક સંખ્યા માટે ચોક્કસ બિંદુ છે.

નંબર સર્કલ શું છે તે કેમ જાણો?
સંખ્યાના વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને, સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, ત્રિકોણમિતિ જાણવા માટે અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી 60+ પોઈન્ટ માટે, તમારે સમજવું જોઈએ કે સંખ્યાનું વર્તુળ શું છે અને તેના પર બિંદુઓ કેવી રીતે મૂકવી.

વ્યાખ્યામાં "...એકમ ત્રિજ્યાના..." શબ્દોનો અર્થ શું છે?
આનો અર્થ એ છે કે આ વર્તુળની ત્રિજ્યા \(1\) ની બરાબર છે. અને જો આપણે મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે આવું વર્તુળ બાંધીએ, તો તે અક્ષો સાથે \(1\) અને \(-1\) બિંદુઓ પર છેદે છે.

તેને નાનું દોરવું જરૂરી નથી; તમે અક્ષો સાથેના વિભાગોનું "કદ" બદલી શકો છો, પછી ચિત્ર મોટું થશે (નીચે જુઓ).

શા માટે ત્રિજ્યા બરાબર એક છે? આ વધુ અનુકૂળ છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પરિઘની ગણતરી કરતી વખતે \(l=2πR\), આપણને મળે છે:

સંખ્યા વર્તુળની લંબાઈ \(2π\) અથવા લગભગ \(6.28\) છે.

"...જેના બિંદુઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે" નો અર્થ શું થાય છે?
ઉપર જણાવ્યા મુજબ, કોઈપણ માટે નંબર વર્તુળ પર વાસ્તવિક સંખ્યાત્યાં ચોક્કસપણે તેનું "સ્થળ" હશે - એક બિંદુ જે આ સંખ્યાને અનુરૂપ છે.

નંબર વર્તુળ પર મૂળ અને દિશા કેમ નક્કી કરવી?
મુખ્ય ધ્યેયસંખ્યા વર્તુળ - દરેક સંખ્યા અનન્ય રીતે તેના બિંદુને નિર્ધારિત કરે છે. પરંતુ જો તમને ક્યાંથી ગણતરી કરવી અને ક્યાં ખસેડવું તે ખબર ન હોય તો બિંદુ ક્યાં મૂકવો તે તમે કેવી રીતે નક્કી કરી શકો?

અહીં સંકલન રેખા પર અને સંખ્યાના વર્તુળ પરના મૂળને મૂંઝવવું મહત્વપૂર્ણ નથી - આ બે છે વિવિધ સિસ્ટમોકાઉન્ટડાઉન અને \(x\) અક્ષ પર \(1\) અને વર્તુળ પર \(0\) ને પણ ગૂંચવશો નહીં - આ વિવિધ પદાર્થો પરના બિંદુઓ છે.

કયા બિંદુઓ \(1\), \(2\), વગેરે સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે?
યાદ રાખો, અમે ધાર્યું છે કે સંખ્યાના વર્તુળની ત્રિજ્યા \(1\) છે? આ અમારું એકમ સેગમેન્ટ હશે (સામાન્યતા દ્વારા સંખ્યા અક્ષ), જેને આપણે વર્તુળ પર કાવતરું કરીશું.

નંબર 1 ને અનુરૂપ સંખ્યાના વર્તુળ પર કોઈ બિંદુને ચિહ્નિત કરવા માટે, તમારે 0 થી સકારાત્મક દિશામાં ત્રિજ્યાના સમાન અંતર સુધી જવાની જરૂર છે.

\(2\) સંખ્યાને અનુરૂપ વર્તુળ પર કોઈ બિંદુને ચિહ્નિત કરવા માટે, તમારે મૂળથી બે ત્રિજ્યાના બરાબર અંતરની મુસાફરી કરવાની જરૂર છે, જેથી \(3\) એ ત્રણ ત્રિજ્યાના બરાબર અંતર હોય, વગેરે.

આ ચિત્રને જોતી વખતે, તમારી પાસે 2 પ્રશ્નો હોઈ શકે છે:
1. જ્યારે વર્તુળ “સમાપ્ત” થાય ત્યારે શું થશે (એટલે ​​કે આપણે કરીએ છીએ સંપૂર્ણ વળાંક)?
જવાબ: ચાલો બીજા રાઉન્ડમાં જઈએ! અને જ્યારે બીજો સમાપ્ત થાય, ત્યારે આપણે ત્રીજા પર જઈશું અને તેથી વધુ. તેથી, વર્તુળ પર તમે અરજી કરી શકો છો અનંત સંખ્યાસંખ્યાઓ

2. તેઓ ક્યાં હશે નકારાત્મક સંખ્યાઓ?
જવાબ: ત્યાં જ! શૂન્યમાંથી જરૂરી ત્રિજ્યાની સંખ્યા ગણીને, પણ હવે નકારાત્મક દિશામાં તેમને ગોઠવી શકાય છે.

કમનસીબે, સંખ્યાના વર્તુળ પર પૂર્ણાંકો દર્શાવવાનું મુશ્કેલ છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે સંખ્યાના વર્તુળની લંબાઈ પૂર્ણાંકની બરાબર નહીં હોય: \(2π\). અને ખૂબ જ અનુકૂળ સ્થળો(અક્ષો સાથે આંતરછેદના બિંદુઓ પર) ત્યાં પણ પૂર્ણાંકો નહીં, પરંતુ અપૂર્ણાંક હશે

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "સંકલન પ્લેન પર સંખ્યા વર્તુળ"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

1C થી ગ્રેડ 10 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં મેન્યુઅલ અને સિમ્યુલેટર
પરિમાણો સાથે બીજગણિત સમસ્યાઓ, ગ્રેડ 9-11
ભૂમિતિમાં સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. ગ્રેડ 7-10 માટે ઇન્ટરેક્ટિવ બાંધકામ કાર્યો

આપણે શું અભ્યાસ કરીશું:
1. વ્યાખ્યા.
2. સંખ્યા વર્તુળના મહત્વપૂર્ણ કોઓર્ડિનેટ્સ.
3. સંખ્યાના વર્તુળનું સંકલન કેવી રીતે શોધવું?
4. સંખ્યા વર્તુળના મુખ્ય કોઓર્ડિનેટ્સનું કોષ્ટક.
5. સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો.

સંકલન સમતલ પર સંખ્યા વર્તુળની વ્યાખ્યા

સંકલન સમતલમાં સંખ્યા વર્તુળ પરના દરેક બિંદુના પોતાના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે, અને:
1) $x > 0$, $y > 0$ માટે - પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં;
2) $x 0$ માટે - બીજા ક્વાર્ટરમાં;
3) $x 4 માટે) $x > 0$, $y માટે
સંખ્યાના વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $M(x; y)$ માટે નીચેની અસમાનતાઓ સંતોષાય છે: $-1
સંખ્યાના વર્તુળનું સમીકરણ યાદ રાખો: $x^2 + y^2 = 1$.

આકૃતિમાં પ્રસ્તુત સંખ્યાના વર્તુળ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધવા તે શીખવું આપણા માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

ચાલો બિંદુ $\frac(π)(4)$ નો સંકલન શોધીએ

સંખ્યાના વર્તુળ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ

ઉકેલ:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા $45\frac(π)(4)$ એ સંખ્યાના વર્તુળ પરના સમાન બિંદુને અનુલક્ષે છે જે નંબર $\frac(5π)(4)$ છે. કોષ્ટકમાં $\frac(5π)(4)$ બિંદુની કિંમત જોઈને, આપણને મળે છે: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

ઉદાહરણ 2.
સંખ્યા વર્તુળ પરના બિંદુનું સંકલન શોધો: $P(-\frac(37π)(3))$.

ઉકેલ:

કારણ કે નંબરો $t$ અને $t+2π*k$, જ્યાં k એ પૂર્ણાંક છે, તે સંખ્યા વર્તુળ પરના સમાન બિંદુને અનુરૂપ છે:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
આનો અર્થ એ થાય છે કે સંખ્યા $-\frac(37π)(3)$ નંબર વર્તુળ પરના સમાન બિંદુને અનુલક્ષે છે જે નંબર $–\frac(π)(3)$ છે, અને નંબર –$\frac(π) (3)$ એ $\frac(5π)(3)$ જેવા જ બિંદુને અનુરૂપ છે. કોષ્ટકમાં $\frac(5π)(3)$ બિંદુની કિંમત જોઈને, આપણને મળે છે:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

ઉદાહરણ 3.
$y =\frac(1)(2)$ સાથે સંખ્યાના વર્તુળ પર બિંદુઓ શોધો અને લખો કે તેઓ કયા $t$ને અનુરૂપ છે?

ઉકેલ:
સીધી રેખા $y =\frac(1)(2)$ બિંદુ M અને P પર સંખ્યાના વર્તુળને છેદે છે. બિંદુ M એ સંખ્યા $\frac(π)(6)$ (ટેબલ ડેટામાંથી) ને અનુરૂપ છે. આનો અર્થ છે ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા: $\frac(π)(6)+2π*k$. બિંદુ P એ $\frac(5π)(6)$ નંબરને અનુરૂપ છે, અને તેથી $\frac(5π)(6) +2 π*k$ ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા સાથે.
અમને પ્રાપ્ત થયા છે, જેમ કે આવા કિસ્સાઓમાં વારંવાર કહેવામાં આવે છે, મૂલ્યોની બે શ્રેણી:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ અને $\frac(5π)(6) +2π*k$.
જવાબ: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ અને $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

ઉદાહરણ 4.
સંખ્યા વર્તુળ પર abscissa $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ સાથે બિંદુઓ શોધો અને લખો કે તેઓ કયા $t$ ને અનુરૂપ છે.

ઉકેલ:

સીધી રેખા $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ એ સંખ્યાના વર્તુળને M અને P બિંદુઓ પર છેદે છે. અસમાનતા $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ અનુલક્ષે છે ચાપ PM ના બિંદુઓ સુધી. પોઈન્ટ M $3\frac(π)(4)$ (ટેબલ ડેટામાંથી) નંબરને અનુરૂપ છે. આનો અર્થ $-\frac(3π)(4) +2π*k$ ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા છે. બિંદુ P એ $-\frac(3π)(4)$ નંબરને અનુલક્ષે છે, અને તેથી $-\frac(3π)(4) +2π*k$ ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા સાથે.

પછી આપણને $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ મળે છે.

જવાબ: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ

સંખ્યા વર્તુળએક એકમ વર્તુળ છે જેના બિંદુઓ ચોક્કસ વાસ્તવિક સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે.

એકમ વર્તુળ એ ત્રિજ્યા 1 નું વર્તુળ છે.

સંખ્યા વર્તુળનું સામાન્ય દૃશ્ય.

1) તેની ત્રિજ્યા માપનના એકમ તરીકે લેવામાં આવે છે.

2) આડા અને ઊભા વ્યાસ સંખ્યાના વર્તુળને ચાર ક્વાર્ટરમાં વિભાજિત કરે છે (આકૃતિ જુઓ). તેમને અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા અને ચોથા ક્વાર્ટર કહેવામાં આવે છે.

3) આડો વ્યાસ AC દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જેમાં A સૌથી જમણો બિંદુ છે.
ઊભી વ્યાસને BD તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, જેમાં B સૌથી વધુ બિંદુ છે.
અનુક્રમે:

પ્રથમ ક્વાર્ટર આર્ક AB છે

બીજા ક્વાર્ટર - આર્ક BC

ત્રીજા ક્વાર્ટર - આર્ક સીડી

ચોથા ક્વાર્ટર - આર્ક DA

4) સંખ્યા વર્તુળનું પ્રારંભિક બિંદુ બિંદુ A છે.

નંબર વર્તુળ સાથે ગણતરી ઘડિયાળની દિશામાં અથવા ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કરી શકાય છે.
બિંદુ પરથી ગણવું એ કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ કહેવાય છે સકારાત્મક દિશા.
બિંદુ પરથી ગણતરી કરવી એ ઘડિયાળની દિશામાં કહેવાય છે નકારાત્મક દિશા.

સંકલન પ્લેન પર સંખ્યા વર્તુળ.

સંખ્યા વર્તુળની ત્રિજ્યાનું કેન્દ્ર મૂળ (સંખ્યા 0) ને અનુરૂપ છે.

આડો વ્યાસ ધરીને અનુરૂપ છે x, ઊભી – અક્ષો y.

સંખ્યાના વર્તુળનો પ્રારંભિક બિંદુ A ધરી પર છે xઅને કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (1; 0).

મૂલ્યોxઅનેyસંખ્યાના વર્તુળના ચતુર્થાંશમાં:

સંખ્યાના વર્તુળના મૂળભૂત મૂલ્યો:

નંબર વર્તુળ પરના મુખ્ય બિંદુઓના નામ અને સ્થાનો:

નંબર વર્તુળના નામ કેવી રીતે યાદ રાખવું.

સંખ્યાબંધ વર્તુળના મૂળ નામો સરળતાથી યાદ રાખવામાં તમને મદદ કરશે તેવી ઘણી સરળ પેટર્ન છે.

અમે શરૂ કરીએ તે પહેલાં, ચાલો તમને યાદ અપાવીએ: ગણતરી હકારાત્મક દિશામાં હાથ ધરવામાં આવે છે, એટલે કે બિંદુ A (2π) થી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં.

1) ચાલો શરૂઆત કરીએ આત્યંતિક બિંદુઓસંકલન અક્ષો પર.

પ્રારંભિક બિંદુ 2π છે (અક્ષ પરનો સૌથી જમણો બિંદુ એક્સ, બરાબર 1).

જેમ તમે જાણો છો, 2π એ વર્તુળનો પરિઘ છે. આનો અર્થ એ છે કે અડધુ વર્તુળ 1π અથવા π છે. ધરી એક્સવર્તુળને બરાબર અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. તદનુસાર, ધરી પર સૌથી ડાબે બિંદુ એક્સ-1 ની બરાબર π કહેવાય છે.

ધરી પર સૌથી વધુ બિંદુ ખાતે, 1 ની બરાબર, ઉપલા અર્ધવર્તુળને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. આનો અર્થ એ છે કે જો અર્ધવર્તુળ π હોય, તો અર્ધવર્તુળ π/2 છે.

તે જ સમયે, π/2 એ વર્તુળનો એક ક્વાર્ટર પણ છે. ચાલો પહેલાથી ત્રીજા સુધીના આવા ત્રણ ક્વાર્ટર ગણીએ - અને આપણે ધરી પરના સૌથી નીચલા બિંદુ પર આવીશું ખાતે, બરાબર -1. પરંતુ જો તેમાં ત્રણ ક્વાર્ટરનો સમાવેશ થાય, તો તેનું નામ 3π/2 છે.

2) હવે ચાલો બાકીના મુદ્દાઓ પર આગળ વધીએ. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: બધા વિરોધી બિંદુઓ સમાન અંશ ધરાવે છે - અને આ અક્ષની તુલનામાં વિરોધી બિંદુઓ છે ખાતે, બંને અક્ષોના કેન્દ્રને સંબંધિત છે અને અક્ષને સંબંધિત છે એક્સ. આ અમને ક્રોમિંગ વિના તેમના બિંદુ મૂલ્યો જાણવામાં મદદ કરશે.

તમારે ફક્ત પ્રથમ ક્વાર્ટરના બિંદુઓનો અર્થ યાદ રાખવાની જરૂર છે: π/6, π/4 અને π/3. અને પછી આપણે કેટલીક પેટર્ન "જોઈશું":

- y અક્ષ સાથે સંબંધિતબીજા ક્વાર્ટરના બિંદુઓ પર, પ્રથમ ક્વાર્ટરના બિંદુઓની વિરુદ્ધ, અંશમાં સંખ્યાઓ છેદના કદ કરતાં 1 ઓછી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો એક મુદ્દો લઈએπ/6. અક્ષની તુલનામાં તેની વિરુદ્ધનો બિંદુ ખાતેપણ છેદમાં 6 અને અંશમાં 5 (1 ઓછું) છે. એટલે કે, આ બિંદુનું નામ છે: 5π/6. π/4 સામેના બિંદુમાં પણ છેદમાં 4 અને અંશમાં 3 છે (4 કરતાં 1 ઓછો) - એટલે કે, તે 3π/4 બિંદુ છે.
π/3 સામેના બિંદુમાં પણ છેદમાં 3 છે, અને અંશમાં 1 ઓછો છે: 2π/3.

- સંકલન અક્ષોના કેન્દ્રને સંબંધિતબધું જ બીજી રીતે છે: વિરુદ્ધ બિંદુઓના અંશમાં સંખ્યાઓ (ત્રીજા ક્વાર્ટરમાં) 1 દ્વારા વધુ મૂલ્યછેદ ચાલો ફરીથી બિંદુ π/6 લઈએ. કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં તેની સામેના બિંદુમાં પણ છેદમાં 6 છે, અને અંશમાં સંખ્યા 1 મોટી છે - એટલે કે, તે 7π/6 છે.

બિંદુ π/4 ની સામેના બિંદુમાં પણ છેદમાં 4 છે, અને અંશમાં સંખ્યા 1 વધુ છે: 5π/4.
બિંદુ π/3 ની સામેના બિંદુમાં પણ છેદમાં 3 છે, અને અંશમાં સંખ્યા 1 વધુ છે: 4π/3.

- ધરી સાથે સંબંધિત એક્સ(ચોથા ક્વાર્ટર)બાબત વધુ જટિલ છે. અહીં તમારે છેદના મૂલ્યમાં 1 ઓછી સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે - આ સરવાળો વિરુદ્ધ બિંદુના અંશના સંખ્યાત્મક ભાગ જેટલો હશે. ચાલો ફરી π/6 થી શરુ કરીએ. ચાલો છેદમાં 6 ની બરાબર કિંમત ઉમેરીએ જે આ સંખ્યા કરતા 1 ઓછી છે - એટલે કે, 5. આપણને મળે છે: 6 + 5 = 11. આનો અર્થ એ છે કે તે ધરીની વિરુદ્ધ છે એક્સબિંદુના છેદમાં 6 અને અંશમાં 11 હશે - એટલે કે, 11π/6.

બિંદુ π/4. આપણે છેદની કિંમતમાં 1 ઓછી સંખ્યા ઉમેરીએ છીએ: 4 + 3 = 7. આનો અર્થ એ થાય કે તે ધરીની તુલનામાં તેની વિરુદ્ધ છે. એક્સબિંદુના છેદમાં 4 અને અંશમાં 7 છે - એટલે કે, 7π/4.
બિંદુ π/3. છેદ 3 છે. એક બાય 3 માં ઉમેરો નાની સંખ્યા- એટલે કે, 2. આપણને 5 મળે છે. આનો અર્થ છે કે તેની સામેના બિંદુ અંશમાં 5 ધરાવે છે - અને આ બિંદુ 5π/3 છે.

3) ક્વાર્ટર્સના મધ્યબિંદુઓના બિંદુઓ માટે બીજી પેટર્ન. તે સ્પષ્ટ છે કે તેમનો છેદ 4 છે. ચાલો અંશ પર ધ્યાન આપીએ. પ્રથમ ક્વાર્ટરના મધ્ય ભાગનો અંશ 1π છે (પરંતુ તે 1 લખવાનો રિવાજ નથી). બીજા ક્વાર્ટરના મધ્યનો અંશ 3π છે. ત્રીજા ક્વાર્ટરના મધ્યનો અંશ 5π છે. ચોથા ક્વાર્ટરના મધ્યનો અંશ 7π છે. તે તારણ આપે છે કે મધ્યમ ક્વાર્ટરના અંશમાં ચડતા ક્રમમાં પ્રથમ ચાર વિચિત્ર સંખ્યાઓ હોય છે:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
આ પણ ખૂબ જ સરળ છે. તમામ ક્વાર્ટરના મધ્યબિંદુઓમાં છેદમાં 4 હોવાથી, આપણે તેમને પહેલેથી જ જાણીએ છીએ સંપૂર્ણ નામો: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

સંખ્યાના વર્તુળની વિશેષતાઓ. સંખ્યા રેખા સાથે સરખામણી.

જેમ તમે જાણો છો, સંખ્યા રેખા પર, દરેક બિંદુ અનુલક્ષે છે એકવચન. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ લીટી પર બિંદુ A 3 ની બરાબર છે, તો તે હવે કોઈપણ અન્ય સંખ્યાની બરાબર થઈ શકશે નહીં.

તે સંખ્યા વર્તુળ પર અલગ છે કારણ કે તે એક વર્તુળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, વર્તુળના બિંદુ A થી બિંદુ M પર આવવા માટે, તમે તેને સીધી રેખા પર કરી શકો છો (માત્ર એક ચાપ પસાર કરો છો), અથવા તમે સમગ્ર વર્તુળની આસપાસ જઈ શકો છો, અને પછી બિંદુ M પર આવી શકો છો. નિષ્કર્ષ:

બિંદુ M અમુક સંખ્યા t ની બરાબર થવા દો. જેમ આપણે જાણીએ છીએ, વર્તુળનો પરિઘ 2π છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે વર્તુળ પર બિંદુ t ને બે રીતે લખી શકીએ છીએ: t અથવા t + 2π. આ સમકક્ષ મૂલ્યો છે.
એટલે કે, t = t + 2π. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે પ્રથમ કિસ્સામાં તમે વર્તુળ બનાવ્યા વિના તરત જ બિંદુ M પર આવ્યા છો, અને બીજા કિસ્સામાં તમે વર્તુળ બનાવ્યું છે, પરંતુ તે જ બિંદુ M પર સમાપ્ત થયું છે. તમે આવા બે, ત્રણ અથવા બેસો બનાવી શકો છો વર્તુળો જો આપણે અક્ષર દ્વારા વર્તુળોની સંખ્યા દર્શાવીએ k, પછી આપણને એક નવી અભિવ્યક્તિ મળે છે:
t = t + 2π k.

તેથી સૂત્ર:

સંખ્યા વર્તુળ સમીકરણ
(બીજું સમીકરણ “સાઇન, કોસાઇન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ” વિભાગમાં છે):

જો તમે કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર એકમ નંબર વર્તુળ મૂકો છો, તો તમે તેના બિંદુઓ માટે કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો છો. સંખ્યા વર્તુળ એવી રીતે સ્થિત થયેલ છે કે તેનું કેન્દ્ર પ્લેનની ઉત્પત્તિ સાથે મેળ ખાય છે, એટલે કે બિંદુ O (0; 0).

સામાન્ય રીતે એકમ નંબર વર્તુળ પર વર્તુળના મૂળને અનુરૂપ બિંદુઓ ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે.

• ક્વાર્ટર - 0 અથવા 2π, π/2, π, (2π)/3,
• મધ્યમ ક્વાર્ટર - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• ક્વાર્ટરનો ત્રીજો ભાગ - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર, તેના પર એકમ વર્તુળના ઉપરના સ્થાન સાથે, તમે વર્તુળના આ બિંદુઓને અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો છો.

ક્વાર્ટર્સના છેડાઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે ખૂબ જ સરળ છે. વર્તુળના બિંદુ 0 પર, x કોઓર્ડિનેટ 1 છે, અને y સંકલન 0 છે. આપણે તેને A(0) = A (1; 0) તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.

પ્રથમ ક્વાર્ટરનો અંત ધન y-અક્ષ પર સ્થિત હશે. તેથી, B (π/2) = B (0; 1).

બીજા ક્વાર્ટરનો અંત નકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ પર છે: C (π) = C (-1; 0).

ત્રીજા ક્વાર્ટરનો અંત: D ((2π)/3) = D (0; -1).

પરંતુ ક્વાર્ટર્સના મધ્યબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધી શકાય? આ કરવા માટે, કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો. તેનું કર્ણ એ વર્તુળના કેન્દ્ર (અથવા મૂળ) થી ક્વાર્ટર વર્તુળના મધ્યબિંદુ સુધીનો એક સેગમેન્ટ છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. વર્તુળ એકમ હોવાથી, કર્ણ 1 ની બરાબર છે. આગળ, વર્તુળ પરના બિંદુથી કોઈપણ ધરી સુધી લંબ દોરો. તેને x અક્ષ તરફ રહેવા દો. પરિણામ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેના પગની લંબાઈ વર્તુળ પરના બિંદુના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

એક ક્વાર્ટર વર્તુળ 90º છે. અને અડધો ક્વાર્ટર 45º છે. કર્ણને ચતુર્થાંશના મધ્યબિંદુ તરફ દોરવામાં આવતું હોવાથી, મૂળથી વિસ્તરેલ કર્ણો અને પગ વચ્ચેનો ખૂણો 45º છે. પરંતુ કોઈપણ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180º છે. પરિણામે, કર્ણ અને બીજા પગ વચ્ચેનો ખૂણો પણ 45º રહે છે. આ એક સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં પરિણમે છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી આપણે સમીકરણ x 2 + y 2 = 1 2 મેળવીએ છીએ. x = y અને 1 2 = 1 હોવાથી, સમીકરણ x 2 + x 2 = 1 માં સરળ બને છે. તેને ઉકેલવાથી, આપણને x = √½ = 1/√2 = √2/2 મળે છે.

આમ, બિંદુ M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) ના કોઓર્ડિનેટ્સ.

અન્ય ક્વાર્ટર્સના મધ્યબિંદુઓના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સમાં, ફક્ત ચિહ્નો બદલાશે, અને મૂલ્યોના મોડ્યુલો સમાન રહેશે, કારણ કે જમણો ત્રિકોણ ફક્ત ફેરવવામાં આવશે. અમને મળે છે:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

વર્તુળના ક્વાર્ટર્સના ત્રીજા ભાગના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરતી વખતે, એક કાટખૂણો ત્રિકોણ પણ બાંધવામાં આવે છે. જો આપણે બિંદુ π/6 લઈએ અને x-અક્ષ પર કાટખૂણે દોરીએ, તો કર્ણ અને x-અક્ષ પર પડેલા પગ વચ્ચેનો ખૂણો 30º હશે. તે જાણીતું છે કે એક પગ 30º ના ખૂણાની સામે પડેલો છે અડધા સમાનકર્ણ આનો અર્થ એ થયો કે આપણને y સંકલન મળ્યું છે, તે ½ બરાબર છે.

કર્ણની લંબાઈ અને એક પગને જાણીને, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે બીજો પગ શોધીએ છીએ:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

આમ T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

પ્રથમ ત્રિમાસિક (π/3) ના બીજા ત્રીજા ભાગના બિંદુ માટે, અક્ષને y અક્ષ તરફ લંબ દોરવાનું વધુ સારું છે. પછી મૂળ પરનો કોણ પણ 30º હશે. અહીં x સંકલન અનુક્રમે ½, અને y ની બરાબર હશે, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

ત્રીજા ક્વાર્ટરના અન્ય બિંદુઓ માટે, સંકલન મૂલ્યોના સંકેતો અને ક્રમ બદલાશે. બધા બિંદુઓ કે જે x અક્ષની નજીક છે તેમની પાસે મોડ્યુલસ x સંકલન મૂલ્ય √3/2 ની બરાબર હશે. તે બિંદુઓ કે જે y અક્ષની નજીક છે તેમની પાસે મોડ્યુલસ y મૂલ્ય √3/2 ની બરાબર હશે.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)