પરિમાણો ઉદાહરણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ. પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ (ગ્રાફિકલ ઉકેલ) પરિચય

§ 8. આંકડાઓની સંભાવનાના સિદ્ધાંતની અરજી.

2. અજ્ઞાત વિતરણ પરિમાણોનું નિર્ધારણ.

હિસ્ટોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લગભગ વિતરણ ઘનતાનું પ્લોટિંગ કરી શકીએ છીએ રેન્ડમ ચલ. આ આલેખનો દેખાવ ઘણીવાર અમને રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા વિતરણ વિશે ધારણા કરવા દે છે. આ વિતરણ ઘનતાની અભિવ્યક્તિમાં સામાન્ય રીતે કેટલાક પરિમાણોનો સમાવેશ થાય છે જેને પ્રાયોગિક ડેટામાંથી નિર્ધારિત કરવાની જરૂર છે.
જ્યારે વિતરણ ઘનતા બે પરિમાણો પર આધારિત હોય ત્યારે ચાલો આપણે ચોક્કસ કેસ પર ધ્યાન આપીએ.
તો ચાલો x 1 , x 2 , ..., x n- સતત રેન્ડમ ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યો, અને તેની સંભાવના વિતરણ ઘનતા બે અજાણ્યા પરિમાણો પર આધારિત રહેવા દો એઅને બી, એટલે કે જેવો દેખાય છે. અજાણ્યા પરિમાણો શોધવા માટેની પદ્ધતિઓમાંની એક એઅને બીએ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે તેઓ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા છે કે સૈદ્ધાંતિક વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા નમૂનાના માધ્યમો અને ભિન્નતા સાથે સુસંગત છે:

(66)

જ્યાં

(67)

બે પ્રાપ્ત સમીકરણોમાંથી () શોધો અજાણ્યા પરિમાણો એઅને બી. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો રેન્ડમ ચલ પાળે છે સામાન્ય કાયદોસંભાવના વિતરણ, પછી તેની સંભાવના વિતરણ ઘનતા

બે પરિમાણો પર આધાર રાખે છે aઅને . આ પરિમાણો, જેમ આપણે જાણીએ છીએ, અનુક્રમે છે ગાણિતિક અપેક્ષાઅને સરેરાશ ચોરસ વિચલનરેન્ડમ ચલ; તેથી સમાનતાઓ () આ રીતે લખવામાં આવશે:

(68)

તેથી, સંભાવના વિતરણ ઘનતા ફોર્મ ધરાવે છે

નોંધ 1.અમે પહેલાથી જ માં આ સમસ્યા હલ કરી છે. માપન પરિણામ એ રેન્ડમ ચલ છે જે પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે aઅને . અંદાજિત મૂલ્ય માટે aઅમે મૂલ્ય પસંદ કર્યું, અને અંદાજિત મૂલ્ય માટે - મૂલ્ય.

નોંધ 2.મુ મોટી માત્રામાંપ્રયોગો, જથ્થા શોધવા અને સૂત્રો () નો ઉપયોગ બોજારૂપ ગણતરીઓ સાથે સંકળાયેલ છે. તેથી, તેઓ આ કરે છે: જથ્થાના દરેક અવલોકન મૂલ્યો , માં આવતા iમી અંતરાલ ] X i-1 , X i [ આંકડાકીય શ્રેણી, આશરે ગણવામાં આવે છે મધ્યમાં સમાન c iઆ અંતરાલ, એટલે કે c i =(X i-1 +X i)/2. પ્રથમ અંતરાલ ધ્યાનમાં લો ] X 0 , X 1 [. તે તેને ફટકાર્યો મી 1રેન્ડમ ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યો, જેમાંથી દરેકને આપણે સંખ્યા સાથે બદલીએ છીએ 1 થી. તેથી, આ મૂલ્યોનો સરવાળો લગભગ સમાન છે m 1 s 1. એ જ રીતે, બીજા અંતરાલમાં આવતા મૂલ્યોનો સરવાળો લગભગ સમાન છે m 2 સાથે 2વગેરે તેથી જ

એવી જ રીતે આપણે અંદાજિત સમાનતા મેળવીએ છીએ

તો, ચાલો તે બતાવીએ

(71)

ખરેખર,

પરિમાણો સાથેના સમીકરણોને યોગ્ય રીતે સૌથી વધુ ગણવામાં આવે છે જટિલ કાર્યોખબર માં શાળા ગણિત. તે આ કાર્યો છે જે એકીકૃત રાજ્યમાં B અને C પ્રકારનાં કાર્યોની સૂચિમાં વર્ષ-દર વર્ષે સમાપ્ત થાય છે એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા. જો કે, વચ્ચે મોટી સંખ્યામાંપરિમાણો સાથેના સમીકરણો તે છે જે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે ગ્રાફિકલી. ચાલો ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ.

સંખ્યા a ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો જેના માટે સમીકરણ |x 2 – 2x – 3| = a ને ચાર મૂળ છે.

ઉકેલ.

સમસ્યાના પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો એક પર બિલ્ડ કરીએ સંકલન વિમાનકાર્ય આલેખ

y = |x 2 – 2x – 3| અને y = a.

પ્રથમ ફંક્શનનો ગ્રાફ y = |x 2 – 2x – 3| પેરાબોલા y = x 2 – 2x – 3 ના ગ્રાફમાંથી એક્સ-અક્ષના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણરીતે પ્રદર્શિત કરીને ગ્રાફનો તે ભાગ જે Ox અક્ષની નીચે છે તે મેળવવામાં આવશે. x-અક્ષની ઉપર સ્થિત ગ્રાફનો ભાગ યથાવત રહેશે.

ચાલો આ સ્ટેપ બાય સ્ટેપ કરીએ. ફંક્શનનો ગ્રાફ y = x 2 – 2x – 3 એ પેરાબોલા છે, જેની શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત છે. તેનો ગ્રાફ બનાવવા માટે, આપણે શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ. આ ફોર્મ્યુલા x 0 = -b/2a નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. આમ, x 0 = 2/2 = 1. ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે પેરાબોલાના શિરોબિંદુના સંકલનને શોધવા માટે, અમે પ્રશ્નમાં ફંક્શનના સમીકરણમાં x 0 માટે પરિણામી મૂલ્યને બદલીએ છીએ. આપણને મળે છે કે y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. આનો અર્થ એ છે કે પેરાબોલાના શિરોબિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (1; -4) છે.

આગળ, તમારે સંકલન અક્ષો સાથે પેરાબોલાની શાખાઓના આંતરછેદ બિંદુઓને શોધવાની જરૂર છે. એબ્સીસા અક્ષ સાથે પેરાબોલાની શાખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓ પર, કાર્યનું મૂલ્ય શૂન્ય છે. તેથી, આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 – 2x – 3 = 0 હલ કરીએ છીએ. તેના મૂળ જરૂરી બિંદુઓ હશે. વિએટાના પ્રમેય દ્વારા આપણી પાસે x 1 = -1, x 2 = 3 છે.

ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે પેરાબોલાની શાખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓ પર, દલીલનું મૂલ્ય શૂન્ય છે. આમ, બિંદુ y = -3 એ y-અક્ષ સાથે પેરાબોલાની શાખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ છે. પરિણામી ગ્રાફ આકૃતિ 1 માં બતાવવામાં આવ્યો છે.

ફંક્શન y = |x 2 – 2x – 3| નો ગ્રાફ મેળવવા માટે, ચાલો x-અક્ષની નીચે સમપ્રમાણરીતે x-અક્ષની સાપેક્ષે આવેલ ગ્રાફનો ભાગ પ્રદર્શિત કરીએ. પરિણામી ગ્રાફ આકૃતિ 2 માં બતાવવામાં આવ્યો છે.

ફંક્શન y = a નો આલેખ એબ્સીસા અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા છે. તે આકૃતિ 3 માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ કે આલેખમાં ચાર સામાન્ય બિંદુઓ છે (અને સમીકરણમાં ચાર મૂળ છે) જો એ અંતરાલ (0; 4) સાથે સંબંધિત છે.

પરિણામી અંતરાલમાંથી સંખ્યા a ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો: 1; 2; 3. સમસ્યાના પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો આ સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધીએ: 1 + 2 + 3 = 6.

જવાબ: 6.

સંખ્યા a ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ શોધો જેના માટે સમીકરણ |x 2 – 4|x| – 1| = a ના છ મૂળ છે.

ચાલો ફંક્શન y = |x 2 – 4|x| ને પ્લોટ કરીને શરૂઆત કરીએ – 1|. આ કરવા માટે, આપણે સમાનતા a 2 = |a| નો ઉપયોગ કરીએ છીએ 2 અને ફંક્શનની જમણી બાજુએ લખેલા સબમોડ્યુલર એક્સપ્રેશનમાં સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

પછી મૂળ ફંક્શનનું ફોર્મ y = |(|x| – 2) 2 – 5| હશે.

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવા માટે, અમે ફંક્શનના ક્રમિક ગ્રાફ બનાવીએ છીએ:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – કોઓર્ડિનેટ્સ (2; -5) સાથે બિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલા; (ફિગ. 1).

2) y = ( |x (ફિગ. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – બિંદુ 2 માં બાંધવામાં આવેલ ગ્રાફનો ભાગ, જે x-અક્ષની નીચે સ્થિત છે, તે x-અક્ષની ઉપરની તરફ સમપ્રમાણરીતે પ્રદર્શિત થાય છે. (ફિગ. 3).

ચાલો પરિણામી રેખાંકનો જોઈએ:

ફંક્શન y = a નો આલેખ એબ્સીસા અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા છે.

આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે ફંક્શન ગ્રાફમાં છ છે સામાન્ય બિંદુઓ(સમીકરણ છ મૂળ ધરાવે છે) જો એ અંતરાલ (1; 5) સાથે સંબંધિત હોય.

આ નીચેની આકૃતિમાં જોઈ શકાય છે:

ચાલો પરિમાણ a ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ શોધીએ:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

જવાબ: 3.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

પરિમાણના દરેક મૂલ્ય માટે a અસમાનતા ઉકેલો | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

પ્રથમ, ચાલો સહાયક સમસ્યા હલ કરીએ. ચાલો આ અસમાનતાને બે ચલ x x અને a સાથે અસમાનતા તરીકે ગણીએ અને કોઓર્ડિનેટ પ્લેન x O a xOa પર દોરો જેના કોઓર્ડિનેટ્સ અસમાનતાને સંતોષે છે.

જો 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (એટલે કે સીધી રેખા પર a = - 2 x a=-2x અને ઉચ્ચ), તો આપણને 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a મળશે. \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .

સેટ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 11.

હવે આ ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરીને મૂળ સમસ્યા હલ કરીએ. જો આપણે a a ને ઠીક કરીએ, તો આપણને આડી રેખા a = const a = \textrm(const) મળે છે. x x ની કિંમતો નક્કી કરવા માટે, તમારે અસમાનતાના ઉકેલોના સમૂહ સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સીસા શોધવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો a = 8 a=8, તો અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી (સીધી રેખા સમૂહને છેદેતી નથી); જો a = 1 a=1 , તો ઉકેલો બધા x x સેગમેન્ટ [ - 1 ; 1 ] [-1;1], વગેરે. તેથી, ત્રણ વિકલ્પો શક્ય છે.

1) જો $$a>4$$, તો કોઈ ઉકેલો નથી.

2) જો a = 4 a=4, તો x = - 2 x=-2.

જવાબ

$$a પર

a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 માટે;

$$a>4$$ માટે - ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

પરિમાણ a a ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે અસમાનતા $$3-|x-a| > x^2$$ a) ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે; b) ઓછામાં ઓછો એક સકારાત્મક ઉકેલ છે.

ચાલો અસમાનતાને $$3-x^2 > |x-a)$$ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ. ચાલો ડાબી બાજુના આલેખ બનાવીએ અને જમણા ભાગોપ્લેન પર x O y xOy. ડાબી બાજુનો ગ્રાફ બિંદુ (0; 3) (0;3) પર શિરોબિંદુ સાથે નીચે તરફની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે. આલેખ x-અક્ષને પોઈન્ટ (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) પર છેદે છે. જમણી બાજુનો ગ્રાફ એ x-અક્ષ પર શિરોબિંદુ સાથેનો ખૂણો છે, જેની બાજુઓ સંકલન અક્ષો તરફ 45 ° 45^(\circ) ના ખૂણા પર ઉપર તરફ નિર્દેશિત છે. શિરોબિંદુનો એબ્સીસા એ બિંદુ x = a x=a છે.

a) અસમાનતા માટે ઓછામાં ઓછું એક ઉકેલ હોય તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે ઓછામાં ઓછા એક બિંદુએ પેરાબોલા ગ્રાફ y = | x - a | y=|x-a| . જો ખૂણાનો શિરોબિંદુ એબ્સીસા અક્ષના બિંદુઓ A A અને B B વચ્ચે આવેલું હોય તો આ કરવામાં આવે છે (જુઓ આકૃતિ 12 - બિંદુ A A અને B B શામેલ નથી). આમ, કોણની શાખાઓમાંથી એક શિરોબિંદુની કઈ સ્થિતિમાં પેરાબોલાને સ્પર્શે છે તે નક્કી કરવું જરૂરી છે.

જ્યારે ખૂણાનું શિરોબિંદુ બિંદુ A A પર હોય ત્યારે ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ. પછી કોણની જમણી શાખા પેરાબોલાને સ્પર્શે છે. હર ઢાળ એક સમાન. આનો અર્થ એ છે કે સ્પર્શકતાના બિંદુ પર ફંક્શન y = 3 - x 2 y = 3-x^2 નું વ્યુત્પન્ન 1 1 બરાબર છે, એટલે કે - 2 x = 1 -2x=1, જ્યાંથી x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . પછી સ્પર્શક બિંદુનું ઓર્ડિનેટ y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) છે. કોણીય ગુણાંક k = 1 k=1 ધરાવતી અને કોઓર્ડિનેટ્સ (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) સાથેના બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ ) નીચે મુજબ છે * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

આ ખૂણાની જમણી શાખાનું સમીકરણ છે. x અક્ષ સાથે આંતરછેદના બિંદુનો એબ્સીસા બરાબર છે - 13 4 -\frac(13)(4), એટલે કે બિંદુ A એ A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4) સમન્વય ધરાવે છે. 0) . સમપ્રમાણતાના કારણોસર, બિંદુ B B માં કોઓર્ડિનેટ્સ છે: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

આમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) જો ખૂણાના શિરોબિંદુ F F અને B B બિંદુઓ વચ્ચે સ્થિત હોય તો અસમાનતામાં સકારાત્મક ઉકેલો હોય છે (ફિગ 13 જુઓ). બિંદુ F F ની સ્થિતિ શોધવી મુશ્કેલ નથી: જો ખૂણાનો શિરોબિંદુ F F બિંદુ પર હોય, તો તેની જમણી શાખા (સમીકરણ y = x - a y = x-a દ્વારા આપવામાં આવેલી સીધી રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે (0; 3 ) (0;3) અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ કે a = - 3 a=-3 અને બિંદુ F માં કોઓર્ડિનેટ્સ છે (- 3; 0) તેથી, a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4) ) .

જવાબ

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) , a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\!}^* ઉપયોગી સૂત્રો:

- \-- બિંદુ (x 0 ; y 0) (x_0;y_0)માંથી પસાર થતી સીધી રેખા અને કોણીય ગુણાંક k k ધરાવે છે તે સમીકરણ y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= દ્વારા આપવામાં આવે છે. k(x-x_0 );

- \-- બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનો કોણીય ગુણાંક (x 0 ; y 0) (x_0; y_0) અને (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), જ્યાં x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, સૂત્ર k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી.જો તમારે પેરામીટરનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય કે જેના પર સીધી રેખા y = k x + l y=kx+l અને પેરાબોલા y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c ટચ હોય, તો તમે લખી શકો છો શરત કે સમીકરણ k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c માં બરાબર એક ઉકેલ છે પછી a a ના મૂલ્યો શોધવાની બીજી રીત જેના માટે કોણનું શિરોબિંદુ છે બિંદુ A A પર છે તે નીચે મુજબ છે: સમીકરણ x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 પાસે બરાબર એક ઉકેલ છે ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\ dfrac(13)(4) .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ રીતે મનસ્વી ગ્રાફને સ્પર્શવા માટેની લાઇનની સ્થિતિ લખવી અશક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેખા y = 3 x - 2 y = 3x - 2 બિંદુ (1 ; 1) (1;1) પર ઘન પેરાબોલા y = x 3 y=x^3 ને સ્પર્શે છે અને તેને બિંદુ પર છેદે છે (- 2; - 8) (-2;-8), એટલે કે સમીકરણ x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 બે ઉકેલો ધરાવે છે.

પરિમાણ a a ના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 પાસે a) બરાબર બે અલગ મૂળ છે; b) બરાબર ત્રણ અલગ અલગ મૂળ.

ચાલો ઉદાહરણ 25 ની જેમ જ કરીએ. ચાલો આ સમીકરણના ઉકેલોના સમૂહને પ્લેન x O a xOa પર દર્શાવીએ. તે બે સમીકરણોના સંયોજનને સમકક્ષ છે:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 એ એક ખૂણો છે જેમાં શાખાઓ ઉપર અને બિંદુ પર શિરોબિંદુ છે (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - આ એક પરબોલા છે જેની ઉપર શાખાઓ છે અને બિંદુ (- 2 ; - 3) (-2;-3) પર શિરોબિંદુ છે. ફિગ જુઓ. 14.

આપણે બે ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ છીએ. કોણની જમણી શાખા y = x + 1 y=x+1 સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમીકરણ ઉકેલવું

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

આપણે શોધીએ છીએ કે x = 0 x=0 અથવા x = - 3 x=-3. માત્ર x = 0 x=0 મૂલ્ય જ યોગ્ય છે (જમણી શાખા x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0 માટે). પછી a = 1 a = 1 . એ જ રીતે, આપણે બીજા આંતરછેદ બિંદુ - (- 4 ; 1) (-4; 1) ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ.

ચાલો મૂળ સમસ્યા પર પાછા ફરીએ. સમીકરણમાં તે a માટે બરાબર બે ઉકેલો છે જેના માટે આડી રેખા a = const a=\textrm(const) સમીકરણના ઉકેલોના સમૂહને બે બિંદુઓ પર છેદે છે. ગ્રાફ પરથી આપણે જોઈએ છીએ કે આ ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup$1$ માટે સાચું છે. બરાબર ત્રણ ઉકેલો હશે ત્રણનો કેસઆંતરછેદ બિંદુઓ, જે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે a = - 1 a=-1 .

જવાબ

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 );

a\in (-3;-1)\bigcup$1$;\:\:\: b) a = - 1 a=-1 .

$$\begin(કેસ) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \અંત(કેસ) $$

બરાબર એક ઉકેલ છે.

ચાલો પ્લેન x O a xOa પર અસમાનતાઓની સિસ્ટમના ઉકેલોનું નિરૂપણ કરીએ. ચાલો સિસ્ટમને $$ \begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(cases) $$માં ફરીથી લખીએ.

જવાબ

પ્રથમ અસમાનતા પેરાબોલા a = - x 2 + x a = -x^2+x અને તેની નીચે પડેલા પોઈન્ટ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે, અને બીજી પેરાબોલા a = x 2 + 6 x 6 a = પર પડેલા પોઈન્ટ દ્વારા સંતોષાય છે. \dfrac(x^2 +6x)(6) અને ઉપર. આપણે પેરાબોલાના શિરોબિંદુઓ અને તેમના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ અને પછી આલેખ બનાવીએ છીએ. પ્રથમ પેરાબોલાની ટોચ છે (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), બીજા પેરાબોલાની ટોચ છે (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1)(6)), આંતરછેદ બિંદુઓ છે (0; 0) (0;0) અને (4 7 ; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12) )(49)). સિસ્ટમને સંતોષતા બિંદુઓનો સમૂહ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 15. તે જોઈ શકાય છે કે આડી રેખા a = const a=\textrm(const) આ સમૂહ સાથે બરાબર એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે (જેનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પાસે બરાબર એક ઉકેલ છે) a = 0 a=0 અને a = 1 4 a = \dfrac(1)(4) .

A = 0 , a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4) શોધોસૌથી નાનું મૂલ્ય

પરિમાણ a a , જેમાંથી દરેક સિસ્ટમ માટે

$$\begin(cases) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(કેસ) $$ ધરાવે છે.

એકમાત્ર ઉકેલ ચાલો પ્રથમ સમીકરણ બદલીએ,:

સંપૂર્ણ ચોરસને હાઇલાઇટ કરે છે

અગાઉની સમસ્યાઓથી વિપરીત, અહીં x O y xOy પ્લેન પર ડ્રોઇંગ દર્શાવવાનું વધુ સારું છે ("ચલ - પેરામીટર" પ્લેનમાં ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે એક ચલ અને એક પરિમાણ સાથેની સમસ્યાઓ માટે થાય છે - પરિણામ એ પ્લેન પરનો સમૂહ છે. આ સમસ્યામાં આપણે બે ચલ અને એક પરિમાણ (x; y; a) (x;y;a) માં દોરો ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા- આ મુશ્કેલ કાર્ય; આ ઉપરાંત, આવી ડ્રોઇંગ વિઝ્યુઅલ હોવાની શક્યતા નથી). સમીકરણ (18) ત્રિજ્યા 1 ના કેન્દ્ર (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) સાથે વર્તુળનો ઉલ્લેખ કરે છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર, a ના મૂલ્યના આધારે, તેના પર કોઈપણ બિંદુએ સ્થિત હોઈ શકે છે. રેખા y = 1 y=1.

સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ y = 3 | છે x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 એ 60 ° 60^(\circ) ના ખૂણા પર બાજુઓ સાથેના ખૂણોને એબ્સીસા અક્ષ પર સુયોજિત કરે છે (સીધી રેખાનો કોણીય ગુણાંક એ ની સ્પર્શક છે. ઝોકનો કોણ tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), બિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથે (0; - 4) (0;-4) .

જો વર્તુળ ખૂણાની એક શાખાને સ્પર્શે તો સમીકરણોની આ પદ્ધતિમાં બરાબર એક ઉકેલ છે. માં આ શક્ય છે ચાર કેસ(ફિગ. 16): વર્તુળનું કેન્દ્ર A A, B B, C C, D D બિંદુઓમાંથી એક પર હોઇ શકે છે. આપણે a a પરિમાણનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોવાથી, અમને બિંદુ D D ના એબ્સીસામાં રસ છે. ચાલો વિચાર કરીએ જમણો ત્રિકોણડી એચ એમ ડી એચ એમ બિંદુ D D થી સીધી રેખા H M HM સુધીનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું છે, તેથી D H = 1 DH=1. તેથી, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . બિંદુ M M ના કોઓર્ડિનેટ્સ બે રેખાઓ y = 1 y=1 અને y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 ( ડાબી બાજુકોણ).

આપણને M(- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) મળે છે. પછી બિંદુ D D નું એબ્સીસા બરાબર - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ sqrt(3)) .

વર્તુળના કેન્દ્રનો એબ્સીસા 3 a\sqrt(3) ની બરાબર હોવાથી, તે અનુસરે છે કે a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

જવાબ

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

પરિમાણ a a ના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંથી દરેક સિસ્ટમ માટે

$$\begin(કેસ) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(કેસ) $$

$$\begin(કેસ) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \અંત(કેસ) $$

ચાલો પ્લેન x O y xOy પર દરેક અસમાનતાના ઉકેલોના સેટનું નિરૂપણ કરીએ.

બીજી અસમાનતામાં, અમે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2 (9) ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

જ્યારે a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), અસમાનતા (19) કોઓર્ડિનેટ્સ (7 a ; 3 a) (7a;3a), એટલે કે (- 56 ; -) સાથે એક બિંદુનો ઉલ્લેખ કરે છે. 24) (-56;-24) . a (19) ના અન્ય તમામ મૂલ્યો માટે ત્રિજ્યાના બિંદુ (7 a ; 3 a) (7a;3a) પર કેન્દ્રિત વર્તુળ વ્યાખ્યાયિત કરે છે | a + 8 | |a+8| .

ચાલો પ્રથમ અસમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ.
1) નકારાત્મક a માટે તેની પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. મતલબ કે સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

2) જો a = 0 a=0, તો આપણને સીધી રેખા 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 મળે છે. બીજી અસમાનતામાંથી આપણને ત્રિજ્યા 8 નું કેન્દ્ર (0; 0) (0; 0) ધરાવતું વર્તુળ મળે છે. દેખીતી રીતે, એક કરતાં વધુ ઉકેલો છે.

3) જો $$a>0$$, તો આ અસમાનતા બેવડી અસમાનતાની સમકક્ષ છે - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . તે બે સીધી રેખાઓ y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) વચ્ચેની પટ્ટી વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેમાંથી દરેક સીધી રેખા 4 x + 3 y = 0 4x+ ને સમાંતર છે. 3y=0 (ફિગ. 17).

અમે $$a>0$$ ને ધ્યાનમાં લેતા હોવાથી, વર્તુળનું કેન્દ્ર y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) રેખા પર પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં સ્થિત છે. ખરેખર, કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ છે x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; a a અને સમીકરણ દર્શાવતા, આપણને x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) મળે છે, જ્યાંથી y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) મળે છે. સિસ્ટમ પાસે બરાબર એક ઉકેલ મેળવવા માટે, વર્તુળ સીધી રેખા a 2 a_2 ને સ્પર્શે તે જરૂરી અને પૂરતું છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે વર્તુળની ત્રિજ્યા અંતર જેટલુંવર્તુળના કેન્દ્રથી સીધી રેખા a 2 a_2 સુધી. બિંદુથી રેખા સુધીના અંતર માટેના સૂત્ર મુજબ * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

જવાબ

A = 2 a = 2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , !} સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . પછી બિંદુ M M થી સીધી રેખા l l સુધીનું અંતર સૂત્ર ρ = | દ્વારા નક્કી થાય છે a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac(|ax_0+bx_0+c|)(\sqrt(a^2+b^2)) .

પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર a a સિસ્ટમ કરે છે

$$\begin(cases) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(કેસો)$$ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી?

સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ x O y xOy (તેને બાંધવા માટે, x ≥ 0 x\geq 0 અને y ≥ 0 y\geq 0 નો વિચાર કરો. પછી સમીકરણ x + y = સ્વરૂપ લે છે. 1 x+y=1 અમે એક સેગમેન્ટ મેળવીએ છીએ - x + y = 1 x+y=1, પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં પડેલા, અમે આ સેગમેન્ટને O x Ox અક્ષની તુલનામાં પ્રતિબિંબિત કરીએ છીએ O y Oy અક્ષને સંબંધિત પરિણામી સમૂહને પ્રતિબિંબિત કરો (જુઓ આકૃતિ. 18). બીજું સમીકરણ ચોરસ P Q R S PQRS ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, ચોરસ સમાન A B C D ABCD , પરંતુ કેન્દ્રમાં (- a ; - a) (-a;-a) . ફિગ માં. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગ. 18 a = - 2 a=-2 માટે આ ચોરસ બતાવે છે. જો આ બે ચોરસ છેદે નહીં તો સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

તે જોવાનું સરળ છે કે જો સેગમેન્ટ્સ P Q PQ અને B C BC એકરૂપ થાય છે, તો બીજા ચોરસનું કેન્દ્ર બિંદુ (1; 1) (1;1) પર છે. a ના તે મૂલ્યો આપણા માટે યોગ્ય છે, જેના પર કેન્દ્ર "ઉપર" અને "જમણી બાજુએ" સ્થિત છે, એટલે કે $$a1$$.

જવાબ

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

પેરામીટર b b ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સિસ્ટમ

$$\begin(cases) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(કેસ) $$

a ની કોઈપણ કિંમત માટે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.

ચાલો કેટલાક કેસો ધ્યાનમાં લઈએ.

1) જો $$b2) જો b = 0 b=0 , તો સિસ્ટમ $$\begin(cases) y=x^2, \\ y=ax .\end(કેસ) $$ સ્વરૂપ લે છે.

કોઈપણ a માટે સંખ્યાઓની જોડી (0 ; 0) (0;0) આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે, તેથી b = 0 b=0 યોગ્ય છે.

3) ચાલો અમુક $$b>0$$ ને ઠીક કરીએ. પ્રથમ સમીકરણ y = x 2 - b y=x^2-b આ પેરાબોલાના ભાગને O x Ox અક્ષની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબિત કરીને મેળવેલા બિંદુઓના સમૂહ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે (ફિગ. 19a, b જુઓ). બીજું સમીકરણ સીધી રેખાઓના કુટુંબનો ઉલ્લેખ કરે છે (a ના વિવિધ મૂલ્યોને બદલીને, તમે બિંદુ (b; 0) (b;0)માંથી પસાર થતી તમામ પ્રકારની સીધી રેખાઓ મેળવી શકો છો, ઊભી એક સિવાય), પસાર બિંદુ દ્વારા (b; 0) (b;0) . જો બિંદુ (b; 0) (b;0) સેગમેન્ટ પર આવેલો છે [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . abscissa અક્ષ, પછી સીધી રેખા કોઈપણ ઢોળાવ (ફિગ. 19a) માટેના પ્રથમ કાર્યના ગ્રાફને છેદે છે. નહિંતર (ફિગ. 19b) કોઈ પણ સંજોગોમાં એક સીધી રેખા હશે જે છેદતી નથી આ શેડ્યૂલ. અસમાનતાનું નિરાકરણ - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) અને $$b>0$$ ધ્યાનમાં લેતા, આપણે તે b ∈ (0 ; 1 ] b \ મેળવીએ છીએ. માં (0;1].

અમે પરિણામોને જોડીએ છીએ: $$b \in $$.

જવાબ

$$b \in $$

a ની બધી કિંમતો શોધો, જેમાંથી દરેક માટે ફંક્શન f(x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x ઓછામાં ઓછો એક મહત્તમ બિંદુ ધરાવે છે.

મોડ્યુલનું વિસ્તરણ કરવાથી આપણને તે મળે છે

$$f(x) = \begin(કેસ) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \અંત(કેસો) $$

બે અંતરાલોમાંના દરેક પર, ફંક્શન y = f (x) y=f(x) નો ગ્રાફ ઉપરની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે.

ઉપરની શાખાઓ સાથેના પેરાબોલાસમાં મહત્તમ બિંદુઓ હોઈ શકતા નથી, એકમાત્ર શક્યતા એ છે કે મહત્તમ બિંદુ એ આ અંતરાલોનો સીમા બિંદુ છે - બિંદુ x = a 2 x=a^2 . આ બિંદુએ મહત્તમ હશે જો પેરાબોલાના શિરોબિંદુ y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 અંતરાલ $$x>a^2$$ પર પડે, અને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - $$x\lt a^2$$ (ફિગ. 20 જુઓ) માટે. આ સ્થિતિ અસમાનતાઓ અને $$2 \gt a^2$$ અને $$1 \lt a^2$$ દ્વારા આપવામાં આવી છે, જેને ઉકેલવાથી આપણે શોધીએ છીએ કે a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

જવાબ

A ∈ (- 2; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

a ના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક માટે સામાન્ય ઉકેલોઅસમાનતા

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a અને y - x ≥ 2 a (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

અસમાનતાનો ઉકેલ છે

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

પરિસ્થિતિ નેવિગેટ કરવા માટે, કેટલીકવાર એક પરિમાણ મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેવું ઉપયોગી છે. ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ, ઉદાહરણ તરીકે, a = 0 a=0 માટે. અસમાનતાઓ (20) (હકીકતમાં, આપણે અસમાનતાની સિસ્ટમ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ (20)) કોણ B A C BAC (ફિગ. 21 જુઓ) ના બિંદુઓથી સંતુષ્ટ છે - બિંદુઓ, જેમાંથી દરેક સીધી રેખાઓ y = - બંને ઉપર આવેલું છે. 2 x y=-2x અને y = x y =x (અથવા આ રેખાઓ પર). અસમાનતા (21) સીધી રેખા y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) ની ઉપર આવેલા બિંદુઓ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે. તે જોઈ શકાય છે કે જ્યારે a = 0 a=0 સમસ્યાની સ્થિતિ સંતુષ્ટ નથી.

જો આપણે પેરામીટર a a માટે અલગ મૂલ્ય લઈશું તો શું બદલાશે? દરેક લીટી ખસી જશે અને પોતાની સમાંતર લીટીમાં ફેરવાશે, કારણ કે લીટીઓના કોણીય ગુણાંક a પર આધાર રાખતા નથી. સમસ્યાની સ્થિતિને પરિપૂર્ણ કરવા માટે, સમગ્ર કોણ B A C BAC સીધી રેખા l l ની ઉપર આવેલો હોવો જોઈએ. સીધી રેખાઓ A B AB અને A C AC ના કોણીય ગુણાંક સીધી રેખા l l ના કોણીય ગુણાંક કરતા ચોક્કસ મૂલ્યમાં વધુ હોવાથી, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે કોણનું શિરોબિંદુ સીધી રેખા l l ની ઉપર આવેલું છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

$$\begin(કેસ) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(કેસ)$$

બિંદુ A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. તેઓએ અસમાનતા (21) ને સંતોષવી જોઈએ, તેથી $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, જ્યાંથી $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

જવાબ

$$a>\dfrac(9)(8)$$

ઓલ્ગા ઓટડેલ્કીના, 9મા ધોરણની વિદ્યાર્થીની

આ વિષય અભ્યાસનો અભિન્ન ભાગ છે શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત આ કાર્યનો હેતુ આ વિષયનો વધુ ઊંડાણમાં અભ્યાસ કરવાનો છે, સૌથી વધુ ઓળખવા માટે તર્કસંગત નિર્ણય, ઝડપથી જવાબ તરફ દોરી જાય છે. આ નિબંધ અન્ય વિદ્યાર્થીઓને પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સમજવામાં મદદ કરશે, આ પદ્ધતિની ઉત્પત્તિ અને વિકાસ વિશે શીખશે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

પરિચય2

પ્રકરણ 1. પરિમાણ સાથેના સમીકરણો

પરિમાણ3 સાથે સમીકરણોના ઉદભવનો ઇતિહાસ

વિયેટાનો પ્રમેય 4

મૂળભૂત ખ્યાલો 5

પ્રકરણ 2. પરિમાણો સાથેના સમીકરણોના પ્રકાર.

રેખીય સમીકરણો6

ચતુર્ભુજ સમીકરણો………………………………………………………………7

પ્રકરણ 3. પરિમાણ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ ……………………………………………………… 8

ગ્રાફિક પદ્ધતિ. ઉત્પત્તિનો ઇતિહાસ ………………………………9

ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ..…………….....…………….10

મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણનો ઉકેલ……………………………………………….11

વ્યવહારુ ભાગ………………………………………………………૧૨

નિષ્કર્ષ……………………………………………………………………………….19

સંદર્ભો ………………………………………………………………20

પરિચય.

મેં આ વિષય પસંદ કર્યો કારણ કે તે શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમનો અભિન્ન ભાગ છે. રસોઈ આ કામ, મેં આ વિષયના ઊંડા અભ્યાસનું ધ્યેય નક્કી કર્યું છે, સૌથી વધુ તર્કસંગત ઉકેલને ઓળખીને જે ઝડપથી જવાબ તરફ દોરી જાય છે. મારો નિબંધ અન્ય વિદ્યાર્થીઓને પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સમજવામાં મદદ કરશે, આ પદ્ધતિની ઉત્પત્તિ અને વિકાસ વિશે શીખશે.

IN આધુનિક જીવનઘણા અભ્યાસ કરે છે શારીરિક પ્રક્રિયાઓઅને ભૌમિતિક પેટર્ન ઘણીવાર પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા તરફ દોરી જાય છે.

આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, જ્યારે તમારે પરિમાણ α પર આધાર રાખીને સમીકરણમાં કેટલા મૂળ છે તે નિર્ધારિત કરવાની જરૂર હોય ત્યારે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ ખૂબ અસરકારક છે.

પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ સંપૂર્ણપણે ગાણિતિક રસની છે અને તેમાં યોગદાન આપે છે બૌદ્ધિક વિકાસવિદ્યાર્થીઓ, સેવા આપો સારી સામગ્રીકુશળતા પ્રેક્ટિસ કરવા માટે. તેમની પાસે ડાયગ્નોસ્ટિક મૂલ્ય છે, કારણ કે તેનો ઉપયોગ ગણિતની મુખ્ય શાખાઓ, ગણિતનું સ્તર અને તાર્કિક વિચારસરણી, પ્રારંભિક કુશળતા સંશોધન પ્રવૃત્તિઓઅને ઉચ્ચ શિક્ષણ સંસ્થાઓમાં ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં સફળતાપૂર્વક નિપુણતા મેળવવા માટેની આશાસ્પદ તકો.

મારા નિબંધમાં વારંવાર આવતા પ્રકારના સમીકરણોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે, અને હું આશા રાખું છું કે કામની પ્રક્રિયામાં મેં જે જ્ઞાન મેળવ્યું છે તે પાસ કરતી વખતે મને મદદ કરશે. શાળા પરીક્ષાઓ, છેવટેપરિમાણો સાથે સમીકરણોશાળાના ગણિતની સૌથી મુશ્કેલ સમસ્યાઓમાંની એક યોગ્ય રીતે ગણવામાં આવે છે. તે ચોક્કસપણે આવા કાર્યો છે જે સિંગલ પરના કાર્યોની સૂચિમાં આવે છે રાજ્ય પરીક્ષાયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા.

પરિમાણ સાથે સમીકરણોના ઉદભવનો ઇતિહાસ

ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી આર્યભટ્ટ દ્વારા 499 માં સંકલિત ખગોળશાસ્ત્રીય ગ્રંથ "આર્યભટ્ટિયમ" માં પરિમાણ સાથેના સમીકરણો પરની સમસ્યાઓ પહેલેથી જ આવી હતી. અન્ય એક ભારતીય વૈજ્ઞાનિક, બ્રહ્મગુપ્ત (7મી સદી) એ દર્શાવેલ છે સામાન્ય નિયમચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાથી એકીકૃત થઈ ગયું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ:

αx 2 + bx = c, α>0

સમીકરણમાંના ગુણાંક, પરિમાણ સિવાય, નકારાત્મક પણ હોઈ શકે છે.

અલ-ખ્વારીઝમી દ્વારા ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

બીજગણિત ગ્રંથમાં અલ-ખ્વારિઝમી પરિમાણ a સાથે રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું વર્ગીકરણ આપે છે. લેખક 6 પ્રકારના સમીકરણોની ગણતરી કરે છે, તેમને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરે છે:

1) "ચોરસ મૂળના સમાન છે," એટલે કે αx 2 = bx.

2) "ચોરસ સંખ્યાઓ સમાન છે", એટલે કે αx 2 = c.

3) "મૂળ સંખ્યા સમાન છે," એટલે કે αx = c.

4) "ચોરસ અને સંખ્યાઓ મૂળ સમાન છે," એટલે કે αx 2 + c = bx.

5) "ચોરસ અને મૂળ સંખ્યા સમાન છે", એટલે કે αx 2 + bx = c.

6) "મૂળ અને સંખ્યાઓ ચોરસ સમાન છે," એટલે કે bx + c = αx 2 .

યુરોપમાં અલ-ખ્વારિઝ્મીના અનુસાર ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો સૌપ્રથમ ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ફિબોનાકી દ્વારા 1202માં લખાયેલા "બુક ઓફ અબેકસ"માં નિર્ધારિત કરવામાં આવ્યા હતા.

માં પરિમાણ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ સામાન્ય દૃશ્યવિયેતા પાસે છે, પણ વિયેતાએ જ ઓળખી હકારાત્મક મૂળ. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ ટાર્ટાગ્લિયા, કાર્ડાનો, બોમ્બેલી 12મી સદીમાં પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં સામેલ હતા. ધ્યાનમાં લો, હકારાત્મક ઉપરાંત, અને નકારાત્મક મૂળ. માત્ર 17મી સદીમાં. ગિરાર્ડ, ડેસકાર્ટેસ, ન્યુટન અને અન્ય વૈજ્ઞાનિકોના કાર્યોને આભારી, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિએ તેનું આધુનિક સ્વરૂપ ધારણ કર્યું.

વિયેટાનું પ્રમેય

પરિમાણ, ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંક અને તેના મૂળ વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરતું પ્રમેય, જેનું નામ વિએટા છે, તે સૌપ્રથમ તેમના દ્વારા 1591માં નીચે મુજબ ઘડવામાં આવ્યું હતું: “જો b + d નો ગુણાકાર α ઓછા α દ્વારા કરવામાં આવે તો 2 , bc બરાબર છે, પછી α બરાબર b અને બરાબર d.”

વિયેટાને સમજવા માટે, આપણે યાદ રાખવું જોઈએ કે α, કોઈપણ સ્વર અક્ષરની જેમ, અજ્ઞાત (અમારા x) નો અર્થ થાય છે, જ્યારે સ્વરો b, d એ અજાણ્યા માટે ગુણાંક છે. આધુનિક બીજગણિતની ભાષામાં, ઉપરોક્ત વિએટા ફોર્મ્યુલેશનનો અર્થ છે:

જો ત્યાં છે

(α + b)x - x 2 = αb,

એટલે કે, x 2 - (α -b)x + αb =0,

પછી x 1 = α, x 2 = b.

સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ વ્યક્ત કરવો સામાન્ય સૂત્રોપ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને લખાયેલ, વિએટાએ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓમાં એકરૂપતા સ્થાપિત કરી. જો કે, વિયેટનું પ્રતીકવાદ હજી દૂર છે આધુનિક દેખાવ. તેણે સ્વીકાર્યું નહીં નકારાત્મક સંખ્યાઓઅને તેથી, સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, તેણે ફક્ત એવા કિસ્સાઓ જ ધ્યાનમાં લીધા જ્યારે બધા મૂળ હકારાત્મક હતા.

મૂળભૂત ખ્યાલો

પરિમાણ - એક સ્વતંત્ર ચલ જેની કિંમત નિશ્ચિત માનવામાં આવે છે અથવા કોઈપણ સંખ્યા, અથવા તેનાથી સંબંધિત નંબર આપેલ શરતવચ્ચેના કાર્યો.

પરિમાણ સાથે સમીકરણ- ગાણિતિકસમીકરણ, દેખાવઅને જેનો ઉકેલ એક અથવા વધુ પરિમાણોના મૂલ્યો પર આધારિત છે.

નક્કી કરો દરેક મૂલ્ય માટે પરિમાણ અર્થ સાથે સમીકરણx ના મૂલ્યો શોધો જે આ સમીકરણને સંતોષે છે, અને એ પણ:

1. સમીકરણના કયા પરિમાણોના મૂલ્યો છે અને તેમાંથી કેટલા છે તેની તપાસ કરો વિવિધ અર્થોપરિમાણો
2. મૂળ માટે તમામ સમીકરણો શોધો અને તે દરેક માટે તે પરિમાણ મૂલ્યો સૂચવે છે કે જેના પર આ અભિવ્યક્તિ વાસ્તવમાં સમીકરણનું મૂળ નક્કી કરે છે.

α(x+k)= α +c સમીકરણને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં α, c, k, x ચલ જથ્થાઓ છે.

α, c, k, x ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની સિસ્ટમચલ મૂલ્યોની કોઈપણ સિસ્ટમ છે જેમાં આ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુ બંને વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે.

A એ α ના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ, K એ k ના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ, X એ xના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ, C એ c ના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ. જો દરેક સેટ A, K, C, X માટે આપણે અનુક્રમે, એક મૂલ્ય α, k, c પસંદ કરીએ છીએ અને તેને સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, તો પછી આપણે x માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ, એટલે કે. એક અજાણ્યા સાથે સમીકરણ.

ચલો α, k, c, જે સમીકરણને ઉકેલતી વખતે સ્થિર ગણવામાં આવે છે, તેને પરિમાણો કહેવામાં આવે છે, અને સમીકરણ પોતે પરિમાણો ધરાવતું સમીકરણ કહેવાય છે.

પરિમાણો પ્રથમ અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે લેટિન મૂળાક્ષરો: α, b, c, d, …, k, l, m, n, અને અજ્ઞાત - x, y, z અક્ષરો દ્વારા.

સમાન પરિમાણો ધરાવતા બે સમીકરણો કહેવામાં આવે છેસમકક્ષ જો:

a) તેઓ સમાન પરિમાણ મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ છે;

b) પ્રથમ સમીકરણનો દરેક ઉકેલ એ બીજાનો ઉકેલ છે અને ઊલટું.

પરિમાણો સાથેના સમીકરણોના પ્રકાર

પરિમાણો સાથેના સમીકરણો છે: રેખીયઅને ચોરસ.

1) રેખીય સમીકરણ. સામાન્ય દૃશ્ય:

α x = b, જ્યાં x અજ્ઞાત છે;α, b - પરિમાણો.

આ સમીકરણ માટે, ખાસ અથવા નિયંત્રણ મૂલ્યપરિમાણ એ એક છે કે જેના પર અજ્ઞાત ગુણાંક અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

નક્કી કરતી વખતે રેખીય સમીકરણપરિમાણ સાથે, જ્યારે પરિમાણ તેના વિશિષ્ટ મૂલ્યની બરાબર હોય અને તેનાથી અલગ હોય ત્યારે કેસ ગણવામાં આવે છે.

પરિમાણ α નું વિશેષ મૂલ્ય એ મૂલ્ય છેα = 0.

1.જો, અને ≠0, પછી પરિમાણોની કોઈપણ જોડી માટેα અને b તેનો એક અનોખો ઉકેલ છે x =

2.જો, અને =0, પછી સમીકરણ ફોર્મ:0 લે છે x = b . આ કિસ્સામાં મૂલ્ય b = 0 છે વિશેષ મહત્વપરિમાણ b

2.1. ખાતે બી ≠ 0 સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

2.2. ખાતે બી =0 સમીકરણ ફોર્મ લેશે:0 x =0.

નિર્ણય દ્વારા આપેલ સમીકરણકોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણપરિમાણ સાથે.

સામાન્ય દૃશ્ય:

α x 2 + bx + c = 0

જ્યાં પરિમાણ α ≠0, b અને c - મનસ્વી સંખ્યાઓ

જો α =1, પછી સમીકરણને ઘટાડેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે

અભિવ્યક્તિ D = b 2 - 4 α c ભેદભાવ કરનાર કહેવાય છે.

1. જો D > 0 હોય, તો સમીકરણ બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે.

2. જો ડી< 0 — уравнение не имеет корней.

3. જો D = 0 હોય, તો સમીકરણ બે સમાન મૂળ ધરાવે છે.

પરિમાણ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ:

વિશ્લેષણાત્મક - પદ્ધતિ સીધો ઉકેલ, પરિમાણો વિના સમીકરણમાં જવાબ શોધવા માટે પ્રમાણભૂત પ્રક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન.
ગ્રાફિક - સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓના આધારે, અનુરૂપ ગ્રાફની સ્થિતિ ચતુર્ભુજ કાર્યકોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં.

વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ

ઉકેલ અલ્ગોરિધમ:

તમે પરિમાણો સાથે સમસ્યા હલ કરવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ, તમારે ચોક્કસ માટે પરિસ્થિતિને સમજવાની જરૂર છે સંખ્યાત્મક મૂલ્યપરિમાણ. ઉદાહરણ તરીકે, પેરામીટર α =1 ની કિંમત લો અને પ્રશ્નનો જવાબ આપો: શું આ કાર્ય માટે જરૂરી પેરામીટર α =1 નું મૂલ્ય છે.

ઉદાહરણ 1. પ્રમાણમાં ઉકેલોએક્સ પરિમાણ m સાથે રેખીય સમીકરણ:

સમસ્યાના અર્થ અનુસાર (m-1)(x+3) = 0, એટલે કે, m= 1, x = -3.

સમીકરણની બંને બાજુઓને (m-1)(x+3) વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને સમીકરણ મળે છે

અમને મળે છે

તેથી, m= 2.25 પર.

હવે આપણે તપાસવાની જરૂર છે કે જેના માટે m ની કોઈ કિંમતો છે કે કેમ

મળેલ x ની કિંમત -3 છે.

આ સમીકરણને ઉકેલતા, આપણે શોધીએ છીએ કે x એ m = -0.4 સાથે -3 બરાબર છે.

જવાબ: m=1, m =2.25 સાથે.

ગ્રાફિક પદ્ધતિ. મૂળનો ઇતિહાસ

અભ્યાસ સામાન્ય અવલંબન 14મી સદીમાં શરૂ થયું. મધ્યયુગીન વિજ્ઞાન શૈક્ષણિક હતું. આ પ્રકૃતિ સાથે, જથ્થાત્મક અવલંબનના અભ્યાસ માટે કોઈ જગ્યા બાકી ન હતી, તે ફક્ત વસ્તુઓના ગુણો અને એકબીજા સાથેના તેમના જોડાણો વિશે હતું. પરંતુ વિદ્વાનોમાં એક શાળા ઊભી થઈ જેણે દલીલ કરી કે ગુણો વધુ કે ઓછા તીવ્ર હોઈ શકે છે (નદીમાં પડી ગયેલી વ્યક્તિનો પોશાક વરસાદમાં પડેલા વ્યક્તિ કરતાં ભીનો હોય છે)

ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક નિકોલાઈઓરેસ્મે સેગમેન્ટ્સની લંબાઈ સાથે તીવ્રતા દર્શાવવાનું શરૂ કર્યું. જ્યારે તેણે આ ભાગોને ચોક્કસ સીધી રેખા પર લંબરૂપ મૂક્યા, ત્યારે તેમના છેડા એક રેખા બનાવે છે, જેને તેણે "તીવ્રતાની રેખા" અથવા "ઉપલા ધારની રેખા" (અનુરૂપ કાર્યાત્મક અવલંબનનો ગ્રાફ) "પ્લેનર" નો અભ્યાસ કર્યો હતો ” અને “ભૌતિક” ગુણો, એટલે કે કાર્યો, બે કે ત્રણ ચલો પર આધાર રાખીને.

ઓરેસ્મેની મહત્વપૂર્ણ સિદ્ધિ પરિણામી આલેખને વર્ગીકૃત કરવાનો તેમનો પ્રયાસ હતો. તેમણે ત્રણ પ્રકારના ગુણો ઓળખ્યા: સમાન (સતત તીવ્રતા સાથે), સમાન-અસમાન (સાથે સતત ગતિતીવ્રતામાં ફેરફાર) અને અસમાન-અસમાન (બધા અન્ય), તેમજ લાક્ષણિક ગુણધર્મોઆવા ગુણોનો આલેખ.

કાર્યોના ગ્રાફનો અભ્યાસ કરવા માટે ગાણિતિક ઉપકરણ બનાવવા માટે, ચલની વિભાવનાની જરૂર હતી. આ ખ્યાલ ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી રેને ડેસકાર્ટેસ (1596-1650) દ્વારા વિજ્ઞાનમાં દાખલ કરવામાં આવ્યો હતો. તે ડેકાર્ટેસ હતો જે બીજગણિત અને ભૂમિતિની એકતા અને ભૂમિકા વિશેના વિચારોમાં આવ્યો હતો. ચલો, ડેસકાર્ટેસે નિશ્ચિત રજૂઆત કરી એકમ સેગમેન્ટઅને તેની સાથેના અન્ય વિભાગોના સંબંધને ધ્યાનમાં લેવાનું શરૂ કર્યું.

આમ, તેમના અસ્તિત્વના સમગ્ર સમયગાળા દરમિયાન કાર્યોના આલેખ ઘણા મૂળભૂત પરિવર્તનોમાંથી પસાર થયા છે, જે તેમને તે સ્વરૂપ તરફ દોરી ગયા જેનાથી આપણે ટેવાયેલા છીએ. કાર્યોના આલેખના વિકાસમાં દરેક તબક્કો અથવા તબક્કો એ આધુનિક બીજગણિત અને ભૂમિતિના ઇતિહાસનો અભિન્ન ભાગ છે.

તેમાં સમાવિષ્ટ પરિમાણના આધારે સમીકરણના મૂળની સંખ્યા નક્કી કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક કરતાં વધુ અનુકૂળ છે.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ દ્વારા અલ્ગોરિધમનો ઉકેલ

કાર્યનો આલેખ - બિંદુઓનો સમૂહ કે જેના પરએબ્સીસામાન્ય દલીલ મૂલ્યો છે, એ ઓર્ડિનેટ- અનુરૂપ મૂલ્યોકાર્યો.

અલ્ગોરિધમ ગ્રાફિક ઉકેલપરિમાણ સાથે સમીકરણો:

સમીકરણની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર શોધો.
અમે α વ્યક્ત કરીએ છીએ x ના કાર્ય તરીકે.
કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આપણે ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ છીએα (x) x ના તે મૂલ્યો માટે કે જે આ સમીકરણની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સમાવિષ્ટ છે.
રેખાના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવીα =с, કાર્યના ગ્રાફ સાથે

α(x). જો રેખા α =с આલેખને પાર કરે છેα (x), પછી અમે આંતરછેદ બિંદુઓના એબ્સિસાસને નિર્ધારિત કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, સમીકરણને હલ કરવા માટે તે પૂરતું છે c = α (x) x ની સાપેક્ષ.

જવાબ લખો

મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા

ગ્રાફિકલી પેરામીટર ધરાવતા મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, ફંક્શનના આલેખ બનાવવું જરૂરી છે અને વિવિધ અર્થોતમામ સંભવિત કેસોને ધ્યાનમાં લેવાનું પરિમાણ.

ઉદાહરણ તરીકે, │x│= a,

જવાબ: જો એ < 0, то нет корней, a > 0, પછી x = a, x = - a, જો a = 0, તો x = 0.

સમસ્યાનું નિરાકરણ.

સમસ્યા 1. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?| | x | - 2 | =a પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

ઉકેલ. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (x; y) માં આપણે ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ બનાવીશું | x | - 2 | અને y = a . કાર્ય y = | નો આલેખ | x | - 2 | આકૃતિમાં બતાવેલ છે.

કાર્ય y = નો આલેખα a = 0).

ગ્રાફ પરથી તે જોઈ શકાય છે કે:

જો a = 0, તો સીધી રેખા y = a Ox અક્ષ સાથે એકરુપ છે અને કાર્ય y = | નો ગ્રાફ ધરાવે છે | x | - 2 | બે સામાન્ય મુદ્દાઓ; આનો અર્થ એ છે કે મૂળ સમીકરણના બે મૂળ છે (માં આ કિસ્સામાંમૂળ શોધી શકાય છે: x 1,2 = + 2).
જો 0< a < 2, то прямая y = α કાર્ય y = | ના ગ્રાફ સાથે ધરાવે છે | x | - 2 | ચાર સામાન્ય બિંદુઓ અને તેથી, મૂળ સમીકરણ ચાર મૂળ ધરાવે છે.
જો a = 2, પછી રેખા y = 2 માં ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે ત્રણ સામાન્ય બિંદુઓ છે. પછી મૂળ સમીકરણના ત્રણ મૂળ છે.
જો a > 2, પછી સીધી રેખા y = a મૂળ કાર્યના ગ્રાફ સાથે બે બિંદુઓ હશે, એટલે કે, આ સમીકરણના બે મૂળ હશે.

જવાબ: જો એ < 0, то корней нет;
જો a = 0, a > 2, તો બે મૂળ છે;
જો a = 2, તો ત્રણ મૂળ છે;
જો 0< a < 2, то четыре корня.

સમસ્યા 2. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?| x 2 - 2 | x | - 3 | =a પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

ઉકેલ. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (x; y) માં આપણે ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ બનાવીશું x 2 - 2 | x | - 3 | અને y = a.

કાર્ય y = | નો આલેખ x 2 - 2 | x | - 3 | આકૃતિમાં બતાવેલ છે. કાર્ય y = નો આલેખα ઓક્સની સમાંતર સીધી રેખા છે અથવા તેની સાથે સુસંગત છે (જ્યારે a = 0).

ગ્રાફમાંથી તમે જોઈ શકો છો:

જો a = 0, તો સીધી રેખા y = a Ox અક્ષ સાથે એકરુપ છે અને કાર્ય y = | નો ગ્રાફ ધરાવે છે x2 - 2| x | - 3 | બે સામાન્ય બિંદુઓ, તેમજ સીધી રેખા y = a ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ સાથે હશે x 2 - 2 | x | - 3 | પર બે સામાન્ય બિંદુઓ a > 4. તેથી, a = 0 અને a માટે > 4 મૂળ સમીકરણના બે મૂળ છે.
જો 0< a< 3, то прямая y = a કાર્ય y = | ના ગ્રાફ સાથે ધરાવે છે x 2 - 2 | x | - 3 | ચાર સામાન્ય બિંદુઓ, તેમજ સીધી રેખા y= a પર બનેલ કાર્યના ગ્રાફ સાથે ચાર સામાન્ય બિંદુઓ હશે a = 4. તેથી, 0 પર< a < 3, a = 4 મૂળ સમીકરણ ચાર મૂળ ધરાવે છે.
જો a = 3, પછી સીધી રેખા y = a કાર્યના ગ્રાફને પાંચ બિંદુઓ પર છેદે છે; તેથી, સમીકરણ પાંચ મૂળ ધરાવે છે.
જો 3< a< 4, прямая y = α બનાવેલ કાર્યના ગ્રાફને છ બિંદુઓ પર છેદે છે; આનો અર્થ એ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો માટે મૂળ સમીકરણ છ મૂળ ધરાવે છે.
જો a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α ફંક્શન y = | ના ગ્રાફને છેદતું નથી x 2 - 2 | x | - 3 |.

જવાબ: જો એ < 0, то корней нет;
જો a = 0, a > 4, તો બે મૂળ છે;
જો 0< a < 3, a = 4, પછી ચાર મૂળ છે;

જો a = 3, પછી પાંચ મૂળ;
જો 3< a < 4, то шесть корней.

સમસ્યા 3. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?

પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

ઉકેલ. ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ (x; y)

પરંતુ પહેલા તેને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ:

રેખાઓ x = 1, y = 1 એ ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે. કાર્ય y = | નો આલેખ x | + a કાર્ય y = | ના આલેખમાંથી મેળવેલ x | ઓય અક્ષ સાથે એકમો દ્વારા વિસ્થાપન.

કાર્ય આલેખ પર એક બિંદુએ છેદે છે a > - 1; આનો અર્થ એ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો માટે સમીકરણ (1) પાસે એક ઉકેલ છે.

જ્યારે a = - 1, a = - 2 ગ્રાફ બે બિંદુઓ પર છેદે છે; આનો અર્થ એ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો માટે, સમીકરણ (1) બે મૂળ ધરાવે છે.
ખાતે - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

જવાબ: જો એ > - 1, પછી એક ઉકેલ;
જો a = - 1, a = - 2, પછી બે ઉકેલો છે;
જો - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

ટિપ્પણી. સમસ્યાના સમીકરણને હલ કરતી વખતે, જ્યારે કેસ પર ખાસ ધ્યાન આપવું જોઈએ a = - 2, કારણ કે બિંદુ (- 1; - 1) ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત નથીપરંતુ ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત છે x | + a

સમસ્યા 4. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?

x + 2 = a | x - 1 |

પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

ઉકેલ. નોંધ કરો કે x = 1 એ આ સમીકરણનું મૂળ નથી, કારણ કે સમાનતા 3 = છે a કોઈપણ પરિમાણ મૂલ્ય માટે 0 સાચું હોઈ શકતું નથી a . ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને | દ્વારા વિભાજીત કરીએ x - 1 |(| x - 1 |0), પછી સમીકરણ સ્વરૂપ લે છેકોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ xOy માં આપણે ફંક્શનને પ્લોટ કરીશું

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. કાર્ય y = નો ગ્રાફ a ઓક્સ અક્ષની સમાંતર અથવા તેની સાથે એકરૂપ થતી સીધી રેખા છે (જો a = 0).