ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એ એક સામાન્ય ભૌમિતિક ખ્યાલ છે જે શીખવામાં બહુ મુશ્કેલી ઊભી કરતું નથી. તેના ગુણધર્મો વિશે જ્ઞાન રાખવાથી, તમે ઘણી મુશ્કેલી વિના ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરી શકો છો. દ્વિભાજક શું છે? અમે આ ગાણિતિક રેખાના તમામ રહસ્યોથી વાચકને પરિચિત કરવાનો પ્રયાસ કરીશું.

ખ્યાલનો સાર

વિભાવનાનું નામ લેટિનમાં શબ્દોના ઉપયોગથી આવ્યું છે, જેનો અર્થ છે "બાય" - બે, "સેકટીયો" - કટ. તેઓ ખાસ નિર્દેશ કરે છે ભૌમિતિક અર્થવિભાવનાઓ - કિરણો વચ્ચેની જગ્યાને તોડવી બે સમાન ભાગોમાં.

ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એ એક સેગમેન્ટ છે જે આકૃતિના શિરોબિંદુમાંથી ઉદ્ભવે છે, અને બીજો છેડો તેની સામે સ્થિત બાજુ પર મૂકવામાં આવે છે, જ્યારે જગ્યાને બે સરખા ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા ઝડપી સહયોગી યાદ રાખવા માટે ઘણા શિક્ષકો ગાણિતિક ખ્યાલોવિવિધ પરિભાષાનો ઉપયોગ કરો, જે કવિતાઓ અથવા સંગઠનોમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. અલબત્ત, મોટા બાળકો માટે આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે.

આ રેખા કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે? અહીં આપણે સેગમેન્ટ્સ અથવા કિરણોને નિયુક્ત કરવાના નિયમો પર આધાર રાખીએ છીએ. જો અમે વાત કરી રહ્યા છીએત્રિકોણાકાર આકૃતિના કોણ દ્વિભાજકના હોદ્દા વિશે, તે સામાન્ય રીતે એક સેગમેન્ટ તરીકે લખવામાં આવે છે જેના છેડા શિરોબિંદુ અને આંતરછેદ બિંદુ શિરોબિંદુની વિરુદ્ધબાજુ. તદુપરાંત, સંકેતની શરૂઆત શિરોબિંદુથી ચોક્કસ રીતે લખાયેલ છે.

ધ્યાન આપો!ત્રિકોણમાં કેટલા દ્વિભાજકો હોય છે? જવાબ સ્પષ્ટ છે: જેટલા શિરોબિંદુઓ છે - ત્રણ.

ગુણધર્મો

વ્યાખ્યા ઉપરાંત, માં શાળા પાઠ્યપુસ્તકતમે આના ઘણા ગુણધર્મો શોધી શકતા નથી ભૌમિતિક ખ્યાલ. ત્રિકોણના દ્વિભાજકની પ્રથમ મિલકત, જેમાં શાળાના બાળકોનો પરિચય થાય છે, તે અંકિત કેન્દ્ર છે, અને બીજી, તેની સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે, તે વિભાગોની પ્રમાણસરતા છે. નીચે લીટી આ છે:

1. વિભાજન રેખા ગમે તે હોય, તેના પર બિંદુઓ છે જે છે બાજુઓથી સમાન અંતરે, જે કિરણો વચ્ચે જગ્યા બનાવે છે.
2. ત્રિકોણાકાર આકૃતિમાં વર્તુળને ફિટ કરવા માટે, તે બિંદુને નિર્ધારિત કરવું જરૂરી છે કે જેના પર આ વિભાગો છેદે છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્રબિંદુ છે.
3. ત્રિકોણાકાર બાજુના ભાગો ભૌમિતિક આકૃતિ, જેમાં તેની વિભાજન રેખા વિભાજીત થાય છે, છે વી પ્રમાણસર નિર્ભરતાકોણ બનાવે છે તે બાજુઓમાંથી.

અમે બાકીની સુવિધાઓને સિસ્ટમમાં લાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું અને વધારાના તથ્યો રજૂ કરીશું જે આ ભૌમિતિક ખ્યાલના ફાયદાઓને વધુ સારી રીતે સમજવામાં મદદ કરશે.

લંબાઈ

શાળાના બાળકો માટે મુશ્કેલી ઊભી કરતી સમસ્યાઓ પૈકી એક ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકની લંબાઈ શોધવી છે. પ્રથમ વિકલ્પ, જે તેની લંબાઈ ધરાવે છે, તેમાં નીચેનો ડેટા છે:

• જેનાં શિખરમાંથી કિરણો આવે છે તે વચ્ચેની જગ્યા આ સેગમેન્ટ;
• બાજુઓની લંબાઈ જે આ કોણ બનાવે છે.

સમસ્યા હલ કરવા માટે ફોર્મ્યુલા વપરાય છે, જેનો અર્થ એ છે કે કોણ બનાવે છે તે બાજુઓના મૂલ્યોના ગુણોત્તરનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે, 2 ગણો વધીને, તેના અડધા ભાગના કોસાઇન દ્વારા બાજુઓના સરવાળા સાથે.

ચાલો જોઈએ ચોક્કસ ઉદાહરણ. ધારો કે આપણને ABC આકૃતિ આપવામાં આવી છે, જેમાં એક સેગમેન્ટ કોણ A થી દોરવામાં આવ્યો છે અને બાજુ BC ને K બિંદુ પર છેદે છે. આપણે A ની કિંમત Y તરીકે દર્શાવીએ છીએ. તેના આધારે, AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

સમસ્યાનું બીજું સંસ્કરણ, જેમાં ત્રિકોણના દ્વિભાજકની લંબાઈ નક્કી કરવામાં આવે છે, તેમાં નીચેનો ડેટા છે:

• આકૃતિની બધી બાજુઓના અર્થો જાણીતા છે.

આ પ્રકારની સમસ્યા હલ કરતી વખતે, શરૂઆતમાં અર્ધ પરિમિતિ નક્કી કરો. આ કરવા માટે, તમારે બધી બાજુઓના મૂલ્યો ઉમેરવાની અને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે: p=(AB+BC+AC)/2. આગળ, અમે કોમ્પ્યુટેશનલ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરીએ છીએ જેનો ઉપયોગ આ સેગમેન્ટની લંબાઈ નક્કી કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો અગાઉનું કાર્ય. નવા પરિમાણો અનુસાર ફોર્મ્યુલાના સારમાં કેટલાક ફેરફારો કરવા માટે જ જરૂરી છે. તેથી, અર્ધ-પરિમિતિ દ્વારા શિરોબિંદુને અડીને આવેલી બાજુઓની લંબાઈના ઉત્પાદનની બીજી ઘાતના બમણા મૂળનો ગુણોત્તર અને અર્ધ-પરિમિતિ અને લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત શોધવાનું જરૂરી છે. કોણ બનાવે છે તે બાજુઓના સરવાળા સાથે તેની વિરુદ્ધ બાજુ. એટલે કે, AK = (26AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

ધ્યાન આપો!સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવવાનું સરળ બનાવવા માટે, તમે ઇન્ટરનેટ પર ઉપલબ્ધ કોમિક વાર્તાઓ તરફ વળી શકો છો જે આ લાઇનના "સાહસો" વિશે જણાવે છે.

મધ્યવર્તી સ્તર

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક. વિગતવાર સિદ્ધાંતઉદાહરણો સાથે (2019)

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક અને તેના ગુણધર્મો

શું તમે જાણો છો કે સેગમેન્ટનું મધ્યબિંદુ શું છે? અલબત્ત તમે કરો. વર્તુળના કેન્દ્ર વિશે શું? સમાન. કોણનું મધ્યબિંદુ શું છે? તમે કહી શકો કે આવું થતું નથી. પરંતુ એક સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં કેમ વિભાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ કોણ નથી કરી શકતું? તે તદ્દન શક્ય છે - માત્ર એક બિંદુ નહીં, પરંતુ…. રેખા

શું તમને મજાક યાદ છે: દ્વિભાજક એ ઉંદર છે જે ખૂણાઓની આસપાસ ચાલે છે અને ખૂણાને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. તેથી, દ્વિભાજકની વાસ્તવિક વ્યાખ્યા આ મજાક જેવી જ છે:

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક- આ ખૂણાના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના બિંદુ સાથે જોડતા ત્રિકોણના ખૂણાનો આ દ્વિભાજક ભાગ છે.

એક સમયે, પ્રાચીન ખગોળશાસ્ત્રીઓ અને ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ઘણું શોધ્યું રસપ્રદ ગુણધર્મોદ્વિભાજકો આ જ્ઞાને લોકોના જીવનને ખૂબ જ સરળ બનાવ્યું છે. તે બાંધવું, અંતર ગણવું, તોપોના ફાયરિંગને પણ વ્યવસ્થિત કરવું સરળ બની ગયું છે... આ ગુણધર્મોનું જ્ઞાન અમને કેટલાક GIA અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોને ઉકેલવામાં મદદ કરશે!

આમાં મદદ કરશે તે પ્રથમ જ્ઞાન છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો દ્વિભાજક.

માર્ગ દ્વારા, શું તમને આ બધી શરતો યાદ છે? શું તમને યાદ છે કે તેઓ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ છે? ના? ડરામણી નથી. ચાલો હવે તેને શોધી કાઢીએ.

તેથી, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો આધાર- આ તે બાજુ છે જે અન્ય કોઈની સમાન નથી. ચિત્ર જુઓ, તમને લાગે છે કે તે કઈ બાજુ છે? તે સાચું છે - આ બાજુ છે.

મધ્યક એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલી રેખા છે અને વિરુદ્ધ બાજુને (ફરીથી તે છે) અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

નોંધ લો કે આપણે એમ નથી કહેતા, "સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો મધ્યક." શું તમે જાણો છો શા માટે? કારણ કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલ મધ્યક કોઈપણ ત્રિકોણમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે.

ઠીક છે, ઊંચાઈ એ ટોચ પરથી દોરેલી અને પાયા પર લંબરૂપ રેખા છે. શું તમે નોંધ્યું? અમે ફરીથી કોઈપણ ત્રિકોણ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, માત્ર એક સમદ્વિબાજુની નહીં. કોઈપણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ હંમેશા પાયાની લંબ હોય છે.

તો, શું તમે તેને શોધી કાઢ્યું છે? વેલ લગભગ. દ્વિભાજક, મધ્ય અને ઊંચાઈ શું છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા અને કાયમ માટે યાદ રાખવા માટે, તમારે તેમની એકબીજા સાથે તુલના કરવાની અને તેઓ કેવી રીતે સમાન છે અને તેઓ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ છે તે સમજવાની જરૂર છે. તે જ સમયે, વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે, દરેક વસ્તુનું વર્ણન કરવું વધુ સારું છે " માનવ ભાષા" પછી તમે સરળતાથી ગણિતની ભાષામાં કામ કરશો, પરંતુ શરૂઆતમાં તમે આ ભાષા સમજી શકતા નથી અને તમારે તમારી પોતાની ભાષામાં બધું સમજવાની જરૂર છે.

તો, તેઓ કેવી રીતે સમાન છે? દ્વિભાજક, મધ્ય અને ઊંચાઈ - તે બધા ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી "બહાર આવે છે" અને વિરુદ્ધ બાજુ પર આરામ કરે છે અને "કંઈક કરો" કાં તો તે કોણથી બહાર આવે છે, અથવા સાથે વિરુદ્ધ બાજુ. મને લાગે છે કે તે સરળ છે, ના?

તેઓ કેવી રીતે અલગ છે?

• દ્વિભાજક ખૂણાને વિભાજિત કરે છે જેમાંથી તે અડધા ભાગમાં બહાર આવે છે.
• મધ્યક વિરુદ્ધ બાજુને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.
• ઊંચાઈ હંમેશા વિરુદ્ધ બાજુ પર લંબ હોય છે.

હવે બસ. તે સમજવું સરળ છે. અને એકવાર તમે સમજો છો, તમે યાદ રાખી શકો છો.

હવે આગામી પ્રશ્ન. શા માટે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના કિસ્સામાં, દ્વિભાજક મધ્ય અને ઊંચાઈ બંને છે?

તમે ફક્ત આકૃતિને જોઈ શકો છો અને ખાતરી કરી શકો છો કે મધ્યક સંપૂર્ણપણે બે ભાગમાં વહેંચાયેલું છે સમાન ત્રિકોણ. બસ! પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેમની આંખો પર વિશ્વાસ કરવાનું પસંદ કરતા નથી. તેઓએ બધું સાબિત કરવાની જરૂર છે. ડરામણો શબ્દ? એવું કંઈ નથી - તે સરળ છે! જુઓ: બંનેની સમાન બાજુઓ છે અને, તેમની પાસે સામાન્ય રીતે એક સામાન્ય બાજુ છે અને. (- દ્વિભાજક!) અને તેથી તે તારણ આપે છે કે બે ત્રિકોણમાં બે છે સમાન બાજુઓઅને તેમની વચ્ચેનો કોણ. અમે ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ સંકેતને યાદ કરીએ છીએ (જો તમને યાદ ન હોય, તો વિષયમાં જુઓ) અને તે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ, અને તેથી = અને.

આ પહેલેથી જ સારું છે - તેનો અર્થ એ છે કે તે મધ્યક હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

પરંતુ તે શું છે?

ચાલો ચિત્ર જોઈએ -. અને અમને તે મળ્યું. તેથી, પણ! છેલ્લે, હુરે! અને.

શું તમને આ પુરાવો થોડો ભારે લાગ્યો? ચિત્ર જુઓ - બે સમાન ત્રિકોણ પોતાને માટે બોલે છે.

કોઈ પણ સંજોગોમાં, નિશ્ચિતપણે યાદ રાખો:

હવે તે વધુ મુશ્કેલ છે: અમે ગણતરી કરીશું કોઈપણ ત્રિકોણમાં દ્વિભાજકો વચ્ચેનો કોણ!ડરશો નહીં, તે એટલું મુશ્કેલ નથી. ચિત્ર જુઓ:

ચાલો તેને ગણીએ. શું તમને તે યાદ છે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો છે?

ચાલો આ અદ્ભુત હકીકત લાગુ કરીએ.

એક તરફ, તરફથી:

એટલે કે.

હવે ચાલો જોઈએ:

પણ દ્વિભાજકો, દ્વિભાજક!

ચાલો આ વિશે યાદ રાખીએ:

હવે પત્રો દ્વારા

\કોણ AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

તે આશ્ચર્યજનક નથી? તે બહાર આવ્યું છે કે બે ખૂણાના દ્વિભાજકો વચ્ચેનો કોણ ફક્ત ત્રીજા ખૂણા પર આધાર રાખે છે!

ઠીક છે, અમે બે દ્વિભાજકો તરફ જોયું. જો તેમાંથી ત્રણ હોય તો શું થાય?!! શું તેઓ બધા એક બિંદુ પર છેદે છે?

અથવા તે આના જેવું હશે?

તમે કેવી રીતે વિચારો છો? તેથી ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વિચાર્યું અને વિચાર્યું અને સાબિત કર્યું:

તે મહાન નથી?

શું તમે જાણવા માંગો છો કે આવું કેમ થાય છે?

તો...બે કાટકોણ ત્રિકોણ: અને. તેમની પાસે છે:

• સામાન્ય કર્ણ.
• (કારણ કે તે દ્વિભાજક છે!)

આનો અર્થ છે - કોણ અને કર્ણ દ્વારા. તેથી, આ ત્રિકોણના અનુરૂપ પગ સમાન છે! એટલે કે.

અમે સાબિત કર્યું કે બિંદુ કોણની બાજુઓથી સમાન (અથવા સમાન રીતે) દૂર છે. પોઈન્ટ 1 સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવે છે. હવે ચાલો બિંદુ 2 પર આગળ વધીએ.

શા માટે 2 સાચું છે?

અને ચાલો બિંદુઓને જોડીએ અને.

આનો અર્થ એ કે તે દ્વિભાજક પર આવેલું છે!

બસ!

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ બધું કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય? ઉદાહરણ તરીકે, સમસ્યાઓમાં ઘણીવાર નીચેનો વાક્ય હોય છે: "એક વર્તુળ ખૂણાની બાજુઓને સ્પર્શે છે...". સારું, તમારે કંઈક શોધવાની જરૂર છે.

પછી તમને તે ઝડપથી ખ્યાલ આવશે

અને તમે સમાનતાનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

3. ત્રિકોણમાં ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે

દ્વિભાજકની મિલકતમાંથી લોકસકોણની બાજુઓથી સમાન બિંદુઓ, નીચેનું વિધાન નીચે મુજબ છે:

તે બરાબર કેવી રીતે બહાર આવે છે? પરંતુ જુઓ: બે દ્વિભાજકો ચોક્કસપણે છેદશે, બરાબર?

અને ત્રીજો દ્વિભાજક આની જેમ જઈ શકે છે:

પરંતુ વાસ્તવમાં, બધું વધુ સારું છે!

ચાલો બે દ્વિભાજકોના આંતરછેદ બિંદુને જોઈએ. ચાલો તેને કૉલ કરીએ.

અમે અહીં બંને વખત શું વાપર્યું? હા બિંદુ 1, અલબત્ત! જો કોઈ બિંદુ દ્વિભાજક પર સ્થિત છે, તો તે કોણની બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે.

અને તેથી તે થયું.

પરંતુ આ બે સમાનતાને ધ્યાનથી જુઓ! છેવટે, તે તેમની પાસેથી અનુસરે છે અને તેથી, .

અને હવે તે અમલમાં આવશે બિંદુ 2: જો કોઈ ખૂણાની બાજુઓનું અંતર સમાન હોય, તો બિંદુ દ્વિભાજક પર આવેલું છે...કયો ખૂણો? ચિત્રને ફરીથી જુઓ:

અને કોણની બાજુઓનું અંતર છે, અને તે સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ કોણના દ્વિભાજક પર આવેલું છે. ત્રીજું દ્વિભાજક એ જ બિંદુ પરથી પસાર થયું! ત્રણેય દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે! અને વધારાની ભેટ તરીકે -

રેડી અંકિતવર્તુળો

(ખાતરી કરવા માટે, બીજો વિષય જુઓ).

સારું, હવે તમે ક્યારેય ભૂલશો નહીં:

ત્રિકોણના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ એ તેમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

ચાલો આગળ વધીએ નીચેની મિલકત માટે... વાહ, દ્વિભાજકમાં ઘણી મિલકતો છે, ખરું ને? અને તે મહાન છે, કારણ કે વધુ ગુણધર્મો, તે વધુ સાધનોદ્વિભાજક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે.

4. દ્વિભાજક અને સમાંતરવાદ, અડીને આવેલા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો

હકીકત એ છે કે દ્વિભાજક કેટલાક કિસ્સાઓમાં ખૂણાને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરે છે તે સંપૂર્ણપણે અનપેક્ષિત પરિણામો તરફ દોરી જાય છે. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે,

કેસ 1

મહાન, અધિકાર? ચાલો સમજીએ કે આવું કેમ છે.

એક તરફ, આપણે દ્વિભાજક દોરીએ છીએ!

પરંતુ, બીજી બાજુ, એવા ખૂણાઓ છે જે ક્રોસવાઇઝ આવેલા છે (થીમ યાદ રાખો).

અને હવે તે બહાર આવ્યું છે કે; વચ્ચે ફેંકી દો: ! - સમદ્વિબાજુ!

કેસ 2

ત્રિકોણની કલ્પના કરો (અથવા ચિત્ર જુઓ)

ચાલો મુદ્દાની બહાર બાજુ ચાલુ રાખીએ. હવે આપણી પાસે બે ખૂણા છે:

• - આંતરિક ખૂણો
• - બાહ્ય ખૂણો બહાર છે, બરાબર?

તેથી, અને હવે કોઈ એક નહીં, પરંતુ એક સાથે બે દ્વિભાજક દોરવા માંગે છે: બંને માટે અને માટે. શું થશે?

તે કામ કરશે? લંબચોરસ!

આશ્ચર્યજનક રીતે, આ બરાબર કેસ છે.

ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

તમને શું લાગે છે કે રકમ શું છે?

અલબત્ત, - છેવટે, તેઓ બધા સાથે મળીને એવો કોણ બનાવે છે કે તે સીધી રેખા બની જાય છે.

હવે યાદ રાખો કે અને દ્વિભાજકો છે અને જુઓ કે કોણની અંદર બરાબર છે અડધાચારેય ખૂણાઓના સરવાળામાંથી: અને - - એટલે કે બરાબર. તમે તેને સમીકરણ તરીકે પણ લખી શકો છો:

તેથી, અવિશ્વસનીય પરંતુ સાચું:

આંતરિક અને દ્વિભાજકો વચ્ચેનો કોણ બાહ્ય ખૂણોત્રિકોણ સમાન છે.

કેસ 3

શું તમે જુઓ છો કે અહીં બધું આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓ જેવું જ છે?

અથવા ચાલો ફરી વિચારીએ કે આવું કેમ થાય છે?

ફરીથી, માટે અડીને ખૂણા,

(સમાંતર પાયા સાથે અનુરૂપ).

અને ફરીથી, તેઓ બનાવે છે બરાબર અડધુરકમમાંથી

નિષ્કર્ષ:જો સમસ્યામાં દ્વિભાજકોનો સમાવેશ થાય છે અડીનેખૂણા અથવા દ્વિભાજકો સંબંધિતસમાંતર ચતુષ્કોણ અથવા ટ્રેપેઝોઇડના ખૂણા, પછી આ સમસ્યામાં ચોક્કસપણેજમણો ત્રિકોણ સામેલ છે, અથવા કદાચ આખો લંબચોરસ પણ છે.

5. દ્વિભાજક અને વિરુદ્ધ બાજુ

તે તારણ આપે છે કે ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને માત્ર અમુક રીતે જ નહીં, પરંતુ ખાસ અને ખૂબ જ રસપ્રદ રીતે વિભાજિત કરે છે:

તે છે:

એક આશ્ચર્યજનક હકીકત, તે નથી?

હવે અમે આ હકીકત સાબિત કરીશું, પરંતુ તૈયાર થઈ જાઓ: તે પહેલા કરતા થોડું વધુ મુશ્કેલ હશે.

ફરીથી - "જગ્યા" પર બહાર નીકળો - વધારાની રચના!

ચાલો સીધા જઈએ.

શેના માટે? હવે જોઈશું.

ચાલો દ્વિભાજકને ચાલુ રાખીએ જ્યાં સુધી તે રેખા સાથે છેદે નહીં.

શું આ એક પરિચિત ચિત્ર છે? હા, હા, હા, પોઈન્ટ 4, કેસ 1 માં બરાબર એ જ છે - તે તારણ આપે છે કે (- દ્વિભાજક)

ક્રોસવાઇઝ બોલવું

તેથી, તે પણ.

હવે ચાલો ત્રિકોણ જોઈએ અને.

તમે તેમના વિશે શું કહી શકો?

તેઓ... સમાન છે. સારું, હા, તેમના ખૂણાઓ લંબરૂપ સમાન છે. તેથી, બે ખૂણામાં.

હવે અમને સંબંધિત પક્ષોના સંબંધો લખવાનો અધિકાર છે.

અને હવે ટૂંકી નોંધમાં:

ઓહ! મને કંઈક યાદ અપાવે છે, બરાબર ને? શું આ આપણે સાબિત કરવા માગતા નથી? હા, હા, બરાબર તે!

તમે જુઓ છો કે "સ્પેસવૉક" કેટલું મહાન સાબિત થયું - એક વધારાની સીધી રેખાનું નિર્માણ - તેના વિના કંઈ થયું ન હોત! અને તેથી, અમે તે સાબિત કર્યું છે

હવે તમે સુરક્ષિત રીતે તેનો ઉપયોગ કરી શકો છો! ચાલો ત્રિકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોની વધુ એક મિલકત જોઈએ - ગભરાશો નહીં, હવે સૌથી મુશ્કેલ ભાગ સમાપ્ત થઈ ગયો છે - તે સરળ બનશે.

અમે તે મેળવીએ છીએ

પ્રમેય 1:

પ્રમેય 2:

પ્રમેય 3:

પ્રમેય 4:

પ્રમેય 5:

પ્રમેય 6:

ભૂમિતિની મૂળભૂત બાબતોમાંની એક એ દ્વિભાજક શોધવાનું છે, કિરણ જે ખૂણાને દ્વિભાજિત કરે છે. ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એ કોઈપણ ખૂણાના દ્વિભાજકનો ભાગ છે. આ કોણના શિરોબિંદુથી ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુ સાથે આંતરછેદ સુધીનો એક સેગમેન્ટ છે.

જો તમે બધા ખૂણાઓથી દ્વિભાજકો દોરો છો, તો તેઓ એક બિંદુએ છેદશે, જેને અંકિત ત્રિકોણનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

તમે દ્વિભાજકની ગણતરી કરી શકો છો જો તમને તે બાજુની લંબાઈ અથવા ત્રિકોણના ખૂણાઓનું કદ ખબર હોય.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો દ્વિભાજક

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં બે બાજુઓ એકબીજાની સમાન હોવાથી, બાજુના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો સમાન હશે. કારણ કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ પણ સમાન છે.

એક ખૂણામાંથી દ્વિભાજક દોરતી વખતે, તેને ઊંચાઈ ગણવામાં આવશે આપેલ ત્રિકોણઅને તેની મધ્ય.

ત્રિકોણના દ્વિભાજકને કેવી રીતે શોધી શકાય તેની સમસ્યાઓ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.

આ સૂત્રોને ઉકેલવા માટે, શરતોએ બાજુઓની લંબાઈના મૂલ્યો અથવા ત્રિકોણના ખૂણાઓના મૂલ્યો સૂચવવા જોઈએ. તેમને જાણીને, તમે કોસાઇન્સ અથવા પરિમિતિનો ઉપયોગ કરીને દ્વિભાજકની ગણતરી કરી શકો છો.

ઉદાહરણ તરીકે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC લો અને દ્વિભાજક AE ને આધાર BC તરફ દોરો. પરિણામી ત્રિકોણ AEB કાટખૂણે છે. દ્વિભાજક તેની ઊંચાઈ છે, બાજુ AB એ કર્ણ છે જમણો ત્રિકોણ, અને BE અને AE પગ છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ થાય છે - કર્ણનો ચોરસ સરવાળો સમાનપગના ચોરસ. તેના આધારે BE = v (AB - AE). AE એ ત્રિકોણ ABC નો મધ્યક હોવાથી, બાજુ BE = BC/2. આમ BE = v(AB - (BC/4)).

જો આધાર કોણ ABC આપવામાં આવે, તો ત્રિકોણનો દ્વિભાજક AEB, AE = AB/sin(ABC) છે. આધાર કોણ AEB, BAE = BAC/2. તેથી, દ્વિભાજક AE = AB/cos (BAC/2).

બીજા ત્રિકોણમાં અંકિત ત્રિકોણના દ્વિભાજકને કેવી રીતે શોધી શકાય?

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC માં, બાજુ BC ને બાજુ AC તરફ દોરો. આ સેગમેન્ટ ન તો ત્રિકોણનો દ્વિભાજક હશે કે ન તો તેની મધ્ય હશે. સ્ટુઅર્ટ સૂત્ર અહીં લાગુ પડે છે.

તેનો ઉપયોગ ત્રિકોણની પરિમિતિની ગણતરી કરવા માટે થાય છે - તેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો. ABC માટે આપણે અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી કરીએ છીએ. આ અડધા ભાગમાં વિભાજિત ત્રિકોણની પરિમિતિ છે.

P = (AB+ BC+ AC)/2. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બાજુ પર દોરેલા દ્વિભાજકની ગણતરી કરીએ છીએ. VK = v(4*VS*AS*P (R-AV)/ (VS+AS).

સ્ટુઅર્ટના પ્રમેય દ્વારા, તમે એ પણ જોઈ શકો છો કે ત્રિકોણની બીજી બાજુએ દોરેલા દ્વિભાજક VC સમાન હશે, કારણ કે ત્રિકોણની આ બે બાજુઓ એકબીજાની સમાન છે.

કાટકોણ ત્રિકોણનો દ્વિભાજક

કાટકોણ ત્રિકોણમાં દ્વિભાજક કેવી રીતે શોધવું તે જાણવા માટે, તમારે સૂત્રોનો પણ ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ભૂલશો નહીં કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં એક ખૂણો આવશ્યકપણે સાચો છે, એટલે કે. 90 ડિગ્રી સમાન. આમ, જો દ્વિભાજક થી શરૂ થાય છે જમણો ખૂણો, જો સ્થિતિ કોણની સાઈન અથવા કોસાઈન સૂચવતી નથી, તો પણ તમે તેમને કોણના કદ દ્વારા ઓળખી શકો છો.

• સ્ટુઅર્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દ્વિભાજક જોવા મળે છે. જો ત્યાં ABC ત્રિકોણ હોય, અને તેની અર્ધ-પરિમિતિ P = (AB+ BC+ AK)/2 તરીકે ગણવામાં આવે છે. આના આધારે, આપણે દ્વિભાજક AE = v(4*VK*AK*P (P-AB)/ (VK+AK) ની ગણતરી કરીએ છીએ.
• દ્વિભાજકની લંબાઈ આ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. AE = v (BK*AK) - (EB*EK), જ્યાં EB અને EK એ સેગમેન્ટ્સ છે જેમાં દ્વિભાજક AE બાજુ BK ને વિભાજિત કરે છે.
• અથવા તમે કાટકોણ ત્રિકોણના ખૂણાઓના કોસાઇન્સનો ઉપયોગ કરી શકો છો, જો તેઓ જાણીતા હોય. દ્વિભાજક (2*аb*(cos c/2))/(a+b) ની બરાબર હશે.
• અથવા આ રીતે દ્વિભાજક શોધો. ફોર્મ્યુલા (cos a) – (cos b)/2 નો ઉપયોગ કરીને, તમને ભવિષ્યમાં જોઈતા વિભાજક શોધો. આગળ, બાજુ c તરફ દોરેલી ઊંચાઈ પરિણામી મૂલ્ય દ્વારા વિભાજિત થાય છે. કોસાઇન્સ મેળવવા માટે, તમારે ખૂણાઓની તીવ્રતા જાણવાની જરૂર છે. અથવા ફક્ત મૂલ્યના આધારે તેમની ગણતરી કરો જાણીતો કોણ- સીધા, 90 ડિગ્રી.

સમભુજ ત્રિકોણ

આવા ત્રિકોણમાં, બધી બાજુઓ એકબીજાની સમાન હોય છે, અને તેથી ખૂણાઓ પણ હોય છે. તેથી, બધા દ્વિભાજકો અને મધ્યકો પણ સમાન હશે. જો અમુક બાજુના મૂલ્યો અજાણ્યા હોય, તો એક બાજુના મૂલ્યની જરૂર પડશે. કારણ કે બાજુઓ સમાન છે. અને ખૂણાના કદ પણ. તેથી, કોસાઇન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દ્વિભાજક શોધવા માટે, તમારે માત્ર એક ખૂણાના મૂલ્યને જાણવાની અથવા ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

ત્રિકોણના મધ્યક અને દ્વિભાજકની લંબાઈ બરાબર છે - L.

ત્રિકોણની બાજુઓ સમાન છે - a.

IN ત્રિકોણ ABC, દ્વિભાજક AE = (ABCv3)/2.

સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ સમભુજ ત્રિકોણની ઊંચાઈ અને મધ્યકની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

સ્કેલિન ત્રિકોણ

આવા ત્રિકોણમાં, બધી બાજુઓ હોય છે વિવિધ અર્થો, તેથી દ્વિભાજકો એકબીજા સાથે સમાન નથી.

મનસ્વી બાજુના મૂલ્યો સાથે ત્રિકોણ લો. જો બાજુઓના કેટલાક મૂલ્યો અજાણ્યા હોય, તો તે ત્રિકોણની પરિમિતિ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે.

કોણ દ્વિભાજકો દોરવામાં આવ્યા પછી, તેમના હોદ્દામાં સબસ્ક્રીપ્ટ1 ઉમેરવા યોગ્ય છે. સેગમેન્ટ કે જેમાં દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે તે પણ સબસ્ક્રિપ્ટ 1 સાથે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

આ સેગમેન્ટ્સની લંબાઈની ગણતરી સાઈન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

દ્વિભાજકની લંબાઈની ગણતરી L = v аb – а1b1 તરીકે કરવામાં આવે છે, જ્યાં аb એ વિભાગોને અડીને બાજુઓ છે અને а1b1 એ વિભાગોનું ઉત્પાદન છે. ફોર્મ્યુલા બધી બાજુઓ પર લાગુ પડે છે સ્કેલીન ત્રિકોણ. મુખ્ય વસ્તુ બાજુઓની લંબાઈને જાણવાની છે અથવા નજીકના ખૂણાઓના મૂલ્યોને જાણીને તેમની ગણતરી કરવી છે.

ગણિત, જેમ આપણે જાણીએ છીએ, વિજ્ઞાનની રાણી છે. તે કોઈ સંયોગ નથી કે શિક્ષકો, ખાસ કરીને જૂની પેઢીના શિક્ષકો આ અભિવ્યક્તિને ખૂબ પ્રેમ કરે છે. ગણિત ફક્ત તે લોકો માટે ખુલે છે જેઓ જાણે છે કે કેવી રીતે, પ્રથમ, તાર્કિક રીતે વિચારવું, અને બીજું, જેઓ હંમેશા જવાબ પ્રાપ્ત કરવાનું પસંદ કરે છે, પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ સાથે કામ કરે છે, છેતરપિંડી કર્યા વિના, પરંતુ વિશ્લેષણના આધારે નિર્ણયો લે છે, ફરીથી તાર્કિક જોડાણો બનાવે છે. આ ગુણો, શાળામાંથી લેવામાં આવે છે, તે પુખ્ત વયના ગંભીર જીવનમાં, કામ અને અન્ય બંનેમાં મોડ્યુલેટ કરવામાં સક્ષમ છે મુશ્કેલ ક્ષણો.

આજે ઘણા લોકોને ઉકેલવામાં સમસ્યાઓનો સામનો કરવો પડે છે ગાણિતિક સમસ્યાઓહજુ પણ અંદર પ્રાથમિક શાળા.

જો કે, તે શાળાના બાળકો પણ સફળતાપૂર્વક પ્રાથમિકમાં માસ્ટર કરે છે ગણિત કાર્યક્રમ, નવી શાળામાં જવાનું અને જીવન તબક્કોજ્યાં બીજગણિતને ભૂમિતિથી અલગ કરવામાં આવે છે, કેટલીકવાર તેઓ ગંભીર મુશ્કેલીઓનો સામનો કરે છે. દરમિયાન, એકવાર શીખ્યા અને, સૌથી અગત્યનું, સમજ્યા, ત્રિકોણનું દ્વિભાજક કેવી રીતે શોધવું, વિદ્યાર્થી આ સૂત્ર કાયમ યાદ રાખશે. ત્રણ દ્વિભાજકો સાથે ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો. આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, તે બધા એક બિંદુ પર ભેગા થાય છે.

પ્રથમ, ચાલો આપણે નિર્ધારિત કરીએ કે ત્રિકોણનો દ્વિભાજક, અને આ તેના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોમાંનો એક છે, તે ખૂણાને વિભાજિત કરે છે જ્યાંથી આવા સેગમેન્ટ અડધા ભાગમાં ઉદ્ભવે છે. એટલે કે, આપેલ ઉદાહરણમાં કોણ BAD કોણ સમાનડીએસી.

ગુણધર્મો

1. ત્રિકોણનો દ્વિભાજક તે બાજુને વિભાજિત કરે છે કે જેના પર તેને બે ભાગોમાં દોરવામાં આવે છે જે અનુક્રમે દરેક ખંડને અડીને આવેલી બાજુઓના પ્રમાણસરતાના ગુણધર્મો ધરાવે છે. આમ, BD/CD = AB/AC.
2. દરેક ત્રિકોણમાં ત્રણ આપેલ સેગમેન્ટ હોઈ શકે છે. અન્ય નોંધપાત્ર ગુણધર્મોખાનગી અને બંનેની ચિંતા કરે છે સામાન્ય કેસોચોક્કસ ત્રિકોણ વિચારણા હેઠળ છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં ગુણધર્મો

ત્રિકોણના દ્વિભાજકનું નિર્ધારણ

ચાલો ધારીએ કે વિચારણા હેઠળના ત્રિકોણમાં ABC બાજુ AB = 5 સેમી, AC = 4 સેમી. વિભાગ સીડી = 3 સે.મી.

લંબાઈ નિર્ધારણ

દ્વારા લંબાઈ નક્કી કરી શકાય છે નીચેનું સૂત્ર . એડી = વર્ગમૂળબાજુઓના ઉત્પાદન અને ઉત્પાદન વચ્ચેના તફાવતમાંથી પ્રમાણસર વિભાગો.

બાજુ BC ની લંબાઈ શોધો.

• ગુણધર્મો પરથી તે જાણીતું છે કે BD/CD = AB/AC.
• તો BD/CD = 5/4 = 1.25.
• BD/3 = 5/4.
• તો BD = 3.75.
• ABxAC = 5×4=20.
• CDxBD = 3x3.75 = 11.25.

આ ઉદાહરણજ્યારે દ્વિભાજકની લંબાઈના મૂલ્યો, ગણિતના અન્ય તમામ મૂલ્યોની જેમ, આમાં વ્યક્ત કરવામાં આવશે નહીં ત્યારે પરિસ્થિતિને સ્પષ્ટપણે સૂચવવાનો પણ હેતુ છે કુદરતી સંખ્યાઓજોકે, આનાથી ડરવાની જરૂર નથી.

કોણ શોધવું

દ્વિભાજક દ્વારા રચાયેલા ખૂણા શોધવા માટે, તે મહત્વનું છે, સૌ પ્રથમ, ખૂણાઓનો સરવાળો યાદ રાખો, હંમેશા 180 ડિગ્રી. ચાલો ધારીએ કે કોણ ABC 70 ડિગ્રી છે અને કોણ BCA 50 ડિગ્રી છે. આનો અર્થ એ છે કે સરળ ગણતરીઓ દ્વારા આપણે શોધીએ છીએ કે CAB = 180 – (70+50) = 60 ડિગ્રી.

જો આપણે મુખ્ય મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ, જે મુજબ તે ખૂણો જ્યાંથી તેણી બહાર આવે છે, અડધા ભાગમાં વહેંચાય છે, અમને મળે છે સમાન મૂલ્યોકોણ BAD અને CAD, જેમાંથી દરેક 60/2 = 30 ડિગ્રી હશે.

જો વધારાના સ્પષ્ટ ઉદાહરણ, એવી પરિસ્થિતિનો વિચાર કરો કે જ્યાં માત્ર કોણ BAD જાણીતું હોય, 28 ડિગ્રી બરાબર હોય, અને કોણ ABC, 70 ડિગ્રી બરાબર હોય. દ્વિભાજકની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોણ BAD ની કિંમતને બે વડે ગુણાકાર કરીને તરત જ કોણ CAB શોધીએ છીએ. CAB = 28×2 =56. તેથી, BAC = 180 – (70+56) અથવા 180 – (70+28×2) = 180 – 126 = 54 ડિગ્રી.

જ્યારે આ સેગમેન્ટ મધ્યક અથવા ઊંચાઈ તરીકે કાર્ય કરે છે તે પરિસ્થિતિને ખાસ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી ન હતી, આ માટે અન્ય વિશિષ્ટ લેખો છોડીને.

આમ, અમે જેમ કે ખ્યાલ ગણવામાં આવે છે ત્રિકોણ દ્વિભાજક, જેની લંબાઈ અને ખૂણા શોધવા માટેનું સૂત્ર આપેલ ઉદાહરણોમાં મૂક્યું અને અમલમાં મૂક્યું છે, જેનો હેતુ સ્પષ્ટપણે બતાવવાનો છે કે તેનો ઉપયોગ ભૂમિતિમાં કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે કેવી રીતે થઈ શકે છે. આ વિષય સાથે સંબંધિત વિભાવનાઓ પણ છે જેમ કે મધ્ય અને ઊંચાઈ. જો આ પ્રશ્નસ્પષ્ટ કર્યું, આપણે ત્રિકોણના અન્ય વિવિધ ગુણધર્મોના વધુ અભ્યાસ તરફ વળવું જોઈએ, જેના વિના ભૂમિતિનો વધુ અભ્યાસ અકલ્પ્ય છે.